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Estructura de la material 3, 1er cuatr. 2016
Dep. Física, FCEN, UBA
Guía 1: Átomos Hidrogénicos
Esta guía está orientada al estudio del átomo de hidrógeno, y por extensión a hidrogénicos (iones con un
electrón, H, He+, Li2+). También es una aproximación de primer orden para átomos con N electrones,
utilizando una carga efectiva que represente al núcleo apantallado por N-1 electrones y 1 electrón “activo”.
Describiremos los casos de electrones en estados ligados y también de electrones en el continuo.
En los siguientes anexos http://users.df.uba.ar/mclaudia/e3/Anexos_Guia1.pdf encontrarán información
para la resolución de esta guía: En el Anexo 1 incluimos algunas integrales de utilidad. En el Anexo 2
están las expresiones de las funciones hidrogénicas, radiales y angulares (armónicos esféricos).
A. Estados ligados hidrogénicos
Recordemos: El Hamiltoniano de 2 cuerpos en un potencial central puede analizarse desde el sistema
centro de masa y separar así la dependencia radial y angular

1 2

  2  
L2
H 
  V (r )  
 V (r )
r

2
2 r 2 r  r  2 r 2
2

Donde L es el operador momento angular y L Yl m ( ,  )  l (l  1) 2 Yl m ( ,  ) . Para un átomo hidrogénico el
potencial es el de Coulomb entre el núcleo y el electrón. Los autovalores son En=-Z2/2n2 y las

autofunciones de los estados ligados son:  nlm ( r )  Rnl ( r ) Yl m ( ,  ) , con
Yl m ( ,  ) armónicos esféricos (autofunciones de L2 y de L z )
Rnl ( r ) 
n
a
N
S N ( , r )
N l 1
  Z / n ; a N  (1) N l 1
(n  l  1)! (n  l )! (2 N )!
1
2n
( N  l  1)! (n  N )! ( N  l )!
Y los orbitales de Slater son S N
N 1 / 2

2 
( , r ) 
r N 1e  r .
( 2 N )!
Otra alternativa es escribir las funciones radiales R nl (r ) utilizando la función hipergeométrica:
Rnl ( r )  N nl e   / 2  l 1 F1 ( n  l  1;2l  2;  )
3
donde   2Z r / n ; N nl
1 F 1( a; b; z )
1
( n  l )!
 2Z 
 
y

2
 n  ( 2l  1)! 2n ( n  l  1)!
a( a  1) z 2 a( a  1)(a  2) z 3
a
z

 .... .
b
b(b  1) 2! b(b  1)(b  2) 3!
Note que la hipergeométrica es un polinomio y el grado dependerá de coeficiente a . Si es entero y
negativo los a( a  1)(a  2)... se anulan a partir de cierto valor.
Profesor: Jorge Miraglia, JTP: Claudia Montanari
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Departamento de Física, FCEN, UBA
Se demuestra que para cualquier estado ns las funciones de onda verifican la condición de Kato, es decir
 ns / r r 0  Z  ns (r  0)
1. Escriba las funciones de onda  nlm con n=2. Use expansión en Slaters o hipergeométrica.
a) Grafique las funciones, revise el número de nodos, y el valor en r=0 y el comportamiento asintótico.
Compare con el Anexo 2.
b) Chequee que las funciones son ortonormales
c) Verifique la condición de Kato cuando corresponda.
2. Muestre que los orbitales de Slater satisfacen

r

2
r
dr S N ( , r ) S N ( , r )  1 , pero
0
2
dr S N ( , r ) S N ' ( , r )   NN '
0

3. Escriba la función de onda  3s (r ) del átomo de hidrógeno en términos de la función hipergeométrica
1 F 1( a , b, r ) .

Desarrolle la expresión polinómica de  3s (r ) y relacione con el número de nodos del estado
3s. Chequee el resultado con el Anexo 2. Verifique la condición de Kato.

4. A partir de las expresiones generales de las  nlm (r ) , muestre que los únicos estados no nulos en r=0
3
son los ns, y que  ns ( r  0) 
2
5. Sea
1z
  .
 n
Aˆ   nlm Aˆ  nlm el valor medio del operador  en el estado ligado nlm,
a) Halle r
nlm
1
r
y
para iones hidrogénicos con carga nuclear Z en los estados con n=1 y 2
nlm
b) Dado H=T+V, considere un átomo de hidrógeno en el estado 2p±1 y verifique que se cumple el
Teorema del Virial 2 T   V .
c) Compare r
2p
del C+5 con el valor obtenido por el método Hartree-Fock1 para C neutro 1.714495.
Halle una carga efectiva Zef correspondiente. Interprete el resultado en término del apantallamiento del
núcleo con Z=6 por los otros 5 electrones. Y si se compara la energía con la del C neutro E2p=-0.43 a.u.?
6. Considere el átomo de Tritio 3H compuesto por un núcleo con un proton y dos neutrones y con un
electrón ligado. El núcleo de 3H es inestable y por emisión beta decae al de 3He (dos protones y un
neutrón). El decaimiento es muy rápido comparado con los tiempos atómicos característicos. El resultado
1
Bunge et al, Atomic Data and Nuclear Data Tables 53, 113-162(1993)
2
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es que se duplica “instantáneamente” el potencial coulombiano entre el electrón ligado y el núcleo. Halle la
probabilidad de que si el 3H estaba en 1s, el 3He+ esté en: i) el estado 1s, ii) en el 2s, iii) en un estado con
l≠0.
~ 

7. Dada la transformada de Fourier de una función f (r ) definida como f ( k ) 

dr
 (2 )
3/ 2
 

e ik r f ( r )
 
exp(
i
k
.r )

a) Demuestre que la transformada de Fourier de la onda plana  k ( r ) 
es la delta de Dirac
3/ 2
( 2 )
b) Dado el potencial Coulombiano V ( r )  Z / r muestre que la transformada de Fourier es
2 Z
Z
~
~
. Ayuda (solución de Bethe): escriba V ( r )   exp( r ) , calcule V ( k ) y luego haga el
V (k )  
2
 k
r
límite   0 .
c) (Optativo) Verifique que la ecuación de Schrödinger en el espacio de los momentos es



k2  ~
du

~  
E


(
k
)

V ( k  u ) ~ nlm (u )
 nl
 nlm
3/ 2
2
( 2 )



8. Halle la autofunción del estado fundamental del hidrógeno en el espacio de los momentos ~1s ( k ) .
Chequee la normalización y muestre que <T> = <k 2>/2=Z2/2. Relaciónelo con la energía del 1s y verifique
el teorema del Virial.

9. Calcule las expresiones de la función del onda en el espacio de los momentos,~ nlm ( k ) , para los
estados 2p0, 2p±1. Revise los resultados obtenidos con las expresiones dadas en la clase teórica.
Corrección Relativista, estructura fina: Dada la ecuación de Dirac (relativista), el Hamiltoniano se
escribe como H=H0+Hrelat, donde H0 es el hamiltoniano no relativista y Hrelat es
H rel  
p4
8m 3 c 2

H1=Hcinet
  2 Ze 2
1 dV  
L
.
S

 (r ) ,
2m 2 c 2 r dr
2m 2 c 2 4 0
1
H2=HS.O
H3=HDarwin
donde se han dejado los términos a primer orden en (v/c)2.
Las autofunciones de H0 lo son también de H1 y H3, pero no de HS.O que no conmuta con Lz ni con Sz. Esto




esta manera puede tenerse una base de autofunciones nljm j
autovalores j ( j  1) 2 , l (l  1) 2 , s( s  1) 2 , En, y m j  . A orden cero los
como combinación lineal de las autofunciones de H 0 nlm j m s


1 2
J  L2  S 2 . De
2
2
2
comunes a J , L2 , S , H 0 y J z con
se resuelve introduciendo el momento angular total J  L  S y escribiendo L.S 
nljm j
pueden construirse
utilizando los coeficientes de Clebsh-
Gordan. La corrección spin-órbita (término L.S en el Hamiltoniano relativista) rompe la degeneración en
spin.
Se demuestra que Enlj  En  E1  E2  E3 , y los corrimientos son
3
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E1  
1
2c 2
 2
1
 En  2En Z
r

Z2
nlm
E 2 
1
3

  ( r )   j ( j  1)  l (l  1)   ,
2
4

E3 
2n 2
En  l ,0 ,
c2
con E n  
Z2
2
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1
r2

,
nlm 
la energía no relativista,  ( r ) 
2n
de la luz en unidades atómicas
10.
z
2c 2 r 3
,
 l ,0
la delta de Kronecker, c=137 es la velocidad
Halle la expresión para la corrección E1 en términos de nlm, muestre que E1  0 . Haga un
esquema de los corrimientos en energía para 2s - 2p. Revise la importancia de esta corrección con la
carga Z
11. Demuestre que la corrección spin-órbita (término L.S en el Hamiltoniano relativista) rompe la
degeneración en spin, y es
E 2  E S .O 
1

(l  1) si j  l  1 / 2
.
.

1
c 2 (l  1 / 2 ) 
si j  l  1 / 2
( l )
nE n2
Halle las expresiones de energías E2s1/2, E2p1/2, E2p3/2 tomando en cuenta E1
12.
Muestre que las energías hidrogénicas relativistas (estructura fina) son
 ( Z / c) 2
E nj  E n  E1  E S .O  E3  E n 1 
n2

 n
3 

  .
 j  1 / 2 4 
Note que no depende de l . Para algún ion hidrogénico resuelva la separación de estructura fina del nivel
n=2. Elija Z para que la corrección relativista a la energía sea mayor 1%. Haga un esquema del tipo
En este esquema las energías están dadas en cm-1. Recuerde que E  h  hc .

4
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B. Electrones en el continuo, scattering
Para una partícula libre con energía cinética E  k 2 / 2m la solución para la función de onda es la onda
plana. El continuo del potencial Coulombiano es más complejo (ver teórica). En la realidad siempre hay
algún apantallamiento al coulombiano puro.
En el límite k   la onda plana es una aproximación
razonable. Para potenciales menos potentes que el coulombiano, en el límite asintótico r   , las
funciones del continuo pueden escribirse como


k ( r )   k ( r ) 
f ( ) exp(ikr)
,
r
( 2 ) 3 / 2

donde  k (r ) es la onda plana2 y f ( ) es la amplitud de scattering, f ( )  (2 ) 2 T , con
T   k V k la matriz de transición entre el momento inicial y final (desviado) del electrón. En la
f
aproximación de Born T Born ( )   k V  k . La sección eficaz de scattering (diferencial en el ángulo de
f
desviación) es
d
2
 f ( ) .
d
kf
k

13.
Una posibilidad para describir la interacción de un electrón con un átomo neutro de carga nuclear Z
es mediante el potencial apantallado de Moliere V (r )  
Z M
 (r ) , con
r
 M (r )  0.35 exp(0.3 r )  0.55 exp(1.2 r )  0.1exp(6.0 r ) .
a) Encuentre la sección eficaz
d
(scattering elástico) en la aproximación de Born, discuta su valor en
d
términos de la carga nuclear.
b) Demuestre que para altas energías E la sección eficaz tiende a
d
Z2

que es la
d 16 E 2 sen 4 ( / 2)
ecuación de Rutherford clásica.
14.
La interacción de un electrón con el He+ puede representarse en primera aproximación por un
potencial coulombiano apantallado V ( r )  
2

 k (r )

 
exp( i k . r )
(2 )
3/ 2


l ,m
2

1
(1  e r / aTF ) , donde aTF  0.8853 Z 1 / 3 es el radio de
r
i l j l (kr) Yl m (rˆ ) Ylm* ( kˆ )
5
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Thomas Fermi. Encuentre la sección eficaz
d
en la aproximación de Born. Analice su dependencia
d
con E sen 2 ( / 2) , e interprete los límites asintóticos,
15.
1
1
 E sen 2 / 2 y
 E sen 2 / 2 .
2
2
2 a TF
2 a TF
Scattering: La amplitud de scattering puede desarrollarse en serie de ondas parciales como
f ( ) 
f
l
( 2l  1) Pl (cos  ) ,
l
donde Pl (cos  ) es el polinomio de Legendre: Pl (cos  ) 
4
2l  1
Y
l
m*
(rˆ1 ) Ylm ( rˆ2 ) ,  es el ángulo entre
m
exp 2i l   1
 
r1 y r2 , f l  f l k  
y  l (k ) son los desfasajes que contienen la información sobre el
2ik
potencial (por ejemplo, si V=0,  l  0 y reobtengo la onda plana).
a) Demuestre que la sección eficaz total  
 
4
k2
 (2l  1) sen 
2
l

f ( ) d puede expresarse en serie como
2
.
l
Analice los límites  l  0 y cuando  l   / 2 .
b) A partir de estos resultados demuestre el Teorema óptico: Im[ f (  0)]  k  ,
4
c) Demuestre que a bajas energías (límite k  0 ) la sección eficaz total de scattering tiende a
   f ( ) d  4a 2 , donde a  l ,0   lim k 0 tg ( l ) / k .
2
6