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Quantum Mechanics, Concepts and Applications
N. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second edition
V.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum Physics
F. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum Mechanics
Gary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum Mechanics
D. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second edition
R. Shankar 0306447908
Quantum physics
S. Gasiorowicz
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la
ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleo
Usando la masa reducida
2. Estructura fina
a) Correcciones relativistas
b) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita
3. Corrimiento Lamb
Debido a la cuantización del campo coulombiano
4. Estructura hiperfina
Debida a la interacción magnética entre los momentos
dipolares del electrón y el protón
Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno
Energía de Bohr
 mc
Estructura fina
 mc
Corrimiento Lamb
 5mc 2
Estructura hiperfina
2
4
2
2
m 4 2
 mc
mp
 mR e  Z
En   
2  2
 2 n
4
2
n  1, 2,3...
me M
La masa reducidad mR 
me  M
La constante de estructura fina
  e / c  1 / 137
2
La energía de los niveles del átomo
de hidrógeno es
2

E1Z
  n
3 
Enj   2 1  2 
 
n  n  j  1/ 2 4  
donde
J  L  S ; es decir,
j  l  1/ 2
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la
ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleo
Usando la masa reducida
2. Estructura fina
a) Correcciones relativistas
b) Correcciones por el acoplamiento espín-orbita
3. Corrimiento Lamb
Debido a la cuantización del campo coulombiano
4. Estructura hiperfina
Debida a la interacción magnética entre los momentos
dipolares del electrón y el protón
Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno
Energía de Bohr
 mc
Estructura fina
 mc
Corrimiento Lamb
 5mc 2
Estructura hiperfina
2
4
2
2
m 4 2
 mc
mp
BIBLIOGRAFÍA:
 Griffiths, sección 6.5, página 250
 Gasiorowicz, capítulo 17, página 287
 Quantum Physics. Michel Le Belac.
Cambridge University Press.
Sección 14.2.4, página 465
 The Physics of Astrophysics. Vol I: Radiation.
Problem set 5, problemas 2 y 3. Página 399
La estructura hiperfina se debe a la estructura
electromagnética del núcleo, que genera
campos electromagneticos permanentes,
que interaccionan con el momento angular
orbital L del electrón y con el espín S del
electrón.
Estudiaremos sólo el acoplamiento del
momento dipolar magnético del núcleo
(que genera un campo magnético
permanente) con el momento angular
orbital L del electrón y con el espín S
del electrón.
En esta sección nos restringiremos
al átomo de hidrógeno, por lo tanto
tomaremos Z  1, M  mP , y la masa
reducida mR como la masa del
electrón, es decir, mR  me
Es más, nos restringiremos a las modificaciones
hiperfinas al estado base del átomo de hidrógeno.
* Resaltamos la idea del fenomeno sin "perdernos"
en las complicaciones del cálculo
* La estructura hiperfina del estado base del
hidrógeno genera una transición fundamental
para la astrofísica, la línea de 21 cm.
Acoplamiento del momento dipolar magnético del núcleo
(que genera un campo magnético permanente) con el
momento angular orbital L y con el espín S del electrón.
Acoplamiento espín del protón-momento orbital:
E    p  eL / mecr
3
Acoplamiento espín del protón-espín del electrón:
E    p  e / r
3
El momento magnético intrinseco del electrón es
 e 
e   g e 
 Se
 2mec 
g e  2.0023
El momento magnético intrinseco del protón es
 e 
p  gp 
Sp

 2m p c 


g p  5.5856
 e 
e   g e 
 Se
 2me c 
g e  2.0023
 e 
p  gp 
S
 2m p c  p


g p  5.5856
Comparación del momento magnético del protón respecto
al momento magnético del electrón:
 e 
gp 
Sp

31
 2m p c 
p
g
m
5.5856
9.11

10
Kg
4


P
e


 10
27
e
ge mP 2.0023 1.67  10 Kg
 e 
 ge 
 Se
 2mec 
28
Corrección hiperfina me 9.1110 g
3


 10
24
Corrección fina
m p 1.67 10 g
La energía de interacción entre los momentos
magnéticos está dada como
Eprotón-órbita    p  eL / mecr
Eprotón-electrón    p  e / r
3
3
La energía de interacción entre los momentos magnéticos está dada como
Eprotón-órbita    p  eL / mecr 3 y Eprotón-electrón    p  e / r 3
Para los estados s  l  0  tenemos L  0
y sólo contribuye el término espín-espín:
Eprotón-electrón    p  e / r
3
 e 
El momento magnético del protón es p  g p 
S con g p  5.5856
 2m p c  p


El campo magnético producido por el protón es
3    rˆ  rˆ   8
Br  

  r 
3
r
3
(Jackson, pag. 147)
 e 
p  gp 
Sp

 2m p c 


3    rˆ  rˆ   8
Br  

  r 
3
r
3
Por tanto,
Bp  r  
  e 

 e 
3 g p 
S p  rˆ  rˆ  g p 
Sp


 2m p c 
  2m p c 

8  e 







 gp 
 S p  r 
3

r
3  2m p c 
  e 

 e 
3 g p 
S p  rˆ  rˆ  g p 
Sp


 2m p c 
  2m p c 

8  e 






Bp  r  
 gp 
 S p  r 
3

r
3  2m p c 
Bp  r  


eg p 3 S p  rˆ rˆ  S p
2m p c
r
3
8 e

g p S p  r 
6m p c
Bp  r  


eg p 3 S p  rˆ rˆ  S p
r3
2m p c

8 e
g p S p  r 
6m p c
Como el momento magnético del electrón es
 e 
e   g e 
 Se
 2mec 
la energía de interacción es
 e  B p  r  


 eg 3 S p  rˆ rˆ  S p 8 e

 e 
p

 ge 

g p S p  r  
 Se 
3
r
6m p c
 2m p c

 2mec 


La energía de interacción es


 eg 3 S p  rˆ rˆ  S p 8 e

 e 
p

 e  B p  r   g e 
S


g p S p  r  
 e
3
r
6m p c
 2m p c

 2mec 


Por lo tanto el hamiltoniano de interacción queda como
Hˆhf 



g p g ee2 3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se
4c 2 m p me
r3
2
g
g
e
4 p e

S p  Se  r 
2
6 c m p me
H 
(0)
H =  H
(0)
k
(0)
E 
  H    E
Ek  E
E
 
(0)
k
(1)
(0)
k
(1)
k
(0)
k
(0)
k
 E
(1)
k
H
(1)

(0)
k
Para utlizar la fórmula E  
(1)
k
(0)
k
H 
(1)
(0)
k
derivada para el caso no degenerado, debemos
de hallar otro operador que conmute con el
hamiltoniano y que tenga valores propios
diferentes.
Momento angular total:
F  J  Sp  L  Se  S p
Número cuántico:
1 1
f l 
2 2
Hˆhf 


4c 2m p me
r3
Ehf 


g p gee2 3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se
g p g ee
2
2
4c m p me
nlml ms

2
g
g
e
4 p e

S p  Se  r 
2
6 c m p me


3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se
r
3
4 g p g ee

nlml ms S p  Se  r  nlml ms
2
6 c m p me
2
nlml ms
Ehf 
g p g ee
2
2
4c m p me
nlml ms



3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se
r
3
nlml ms
2
g
g
e
4 p e

nlml ms S p  Se  r  nlml ms
2
6 c m p me
nlml ms S p  Se  r  nlml ms 
 ms S p  Se ms nlml   r  nlml
Ehf 
g p g ee 2
2
4c m p me
nlml ms



3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se
r
3
nlml ms
2
g
g
e
4 p e

ms S p  Se ms nlml   r  nlml
2
6 c m p me
nlml   r  nlml   

nlml
 r   r nlm  r  dV  nlm  0 
l
2
Ehf 

g p g ee2
2
4c m p me
nlml ms



3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se
r
3
2
4 g p g ee

ms S p  Se ms nlm  0 
2
6 c m p me
2
nlml ms
Ehf 
g p g ee 2
2
4c m p me



3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se
nlml ms
r
3
nlml ms
2
g
g
e
2
4 p e

ms S p  Se ms nlm  0 
2
6 c m p me
Para los estados con l  0
nlml ms



3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se
3
nlml ms  0
r
(Problema 6.25, pag. 252, capítulo 6 del Griffiths)
Para los estados con l  0
nlml ms
2 



3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se
r
3
nlml ms  0
4
(
a
·
r
)(
b
·
r
)
sin

d

d


(
a
·
b
)
0 0
3
2 
 (a·r )(b·r )sin d d
;
r  sin cos i  sin sin j  cos k
0 0
2 
 [(a i  a
x
y
j  az k )
0 0
·(sin  cos  i  sin  sin  j  cos  k )]
[(bx i  by j  bz k )
·(sin cos i  sin sin j  cos k )]sin d d 
2 

 (a sin cos i  a sin sin j  a cos k )
x
y
z
0 0
(bx sin cos i  by sin sin j  bz cos k )sin d d
2
 
0

0
(Sin[ ]Cos[ ]) * (Sin[ ]Cos[ ])Sin[ ]d d 
2 
 ( Sin[ ]Cos[ ]) * ( Sin[ ]Sin[ ]) Sin[ ]d d  0
0 0
2 
 ( Sin[ ]Cos[ ]) * (Cos[ ]) Sin[ ]d d  0
0 0
2 
 ( Sin[ ]Sin[ ]) * ( Sin[ ]Cos[ ]) Sin[ ]d d  0
0 0
2 
 ( Sin[ ]Sin[ ]) * ( Sin[ ]Sin[ ]) Sin[ ]d d 
0 0
2 
 ( Sin[ ]Sin[ ]) * (Cos[ ]) Sin[ ]d d  0
0 0
2 
 (Cos[ ]) * ( Sin[ ]Cos[ ]) Sin[ ]d d  0
0 0
2 
 (Cos[ ]) * ( Sin[ ]Sin[ ]) Sin[ ]d d  0
0 0
2 
 (Cos[ ]) * (Cos[ ]) Sin[ ]d d 
0 0
4
3
4
3
4
3
2 
 (a·r )(b·r )sin d d
r  sin cos i  sin sin j  cos k
;
0 0
2 
 (a sin cos i  a sin sin j  a cos k )
x
y
z
0 0
(bx sin cos i  by sin sin j  bz cos k ) sin d d
4
4  

(ax bx  a y by  az bz ) 
( a·b )
3
3
2 
4  
0 0 (a·r )(b·r ) sin d d  3 ( a·b )
Para los estados con l  0
nlml ms



3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se
r


3


nlml ms  0
3( S p ·r )( S e ·r )  S p ·S e
 n, l , ml , ms |
| n, l , ml , ms 
3
r


 
1
  n | 3 | nl , ml , ms | 3( S p ·r )( S e ·r )  S p ·S e | l , ml , ms 
r
nlml ms



3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se
r

 n, l , ml , ms |
3


nlml ms  0

3( S p ·r )( S e ·r )  S p ·S e
| n, l , ml , ms 
3
r


 
1
  n | 3 | nl , ml , ms | 3( S p ·r )( S e ·r )  S p ·S e | l , ml , ms 
r




l , ml , ms | 3( S p ·r )( S e·r )  S p ·S e | l , ml , ms  




 3l , ml , ms | ( S p ·r )( S e ·r ) | l , ml , ms   l , ml , ms | S p ·S e | l , ml , ms 
2 
 sin[ ]d d  4
0 0




l , ml , ms | S p ·S e | l , ml , ms   4  ms | S p ·S e | ms 
nlml ms



3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se
r

 n, l , ml , ms |
3


nlml ms  0

3( S p ·r )( S e ·r )  S p ·S e
| n, l , ml , ms 
3
r


 
1
  n | 3 | nl , ml , ms | 3( S p ·r )( S e ·r )  S p ·S e | l , ml , ms 
r
2 
4
(
a
·
r
)(
b
·
r
)
sin

d

d


( a·b )
0 0
3




l , ml , ms | S p ·S e | l , ml , ms   4  ms | S p ·S e | ms 




l , ml , ms | 3( S p ·r )( S e ·r )  S p ·S e | l , ml , ms  
 
 
4
 3( ) ms | S p ·S e | ms   4  ms | S p ·S e | ms  
3
0
Ehf 
g p g ee 2
2
4c m p me
nlml ms



3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  S e
r
3
nlml ms
2
2
4 g p g ee

ms S p  Se ms nlm  0 
2
6 c m p me
Para los estados con l  0
3 S p  rˆ Se  rˆ  S p  Se
nlml ms
nlml ms  0
3
r
así que
2
2
4 g p g ee
Ehf 
S p  Se n 0 m  0 
6 m p me



2
g
g
e
2
4 p e
Para los estados con l  0, Ehf 
S p  Se n 0 m  0 
6 mp me
Para el estado base,
100  0 
2
1

3
a
por tanto
2
4 g p g ee
Ehf  estado base  
S p  Se
3
6 m p me a
En presencia del acoplamiento espín-espín,
los momentos angulares de espín individuales
no se conservan, y por tanto, no son buenos
números cuánticos. Los operadores no
conmutan con el hamiltoniano. Los vectores
propios que se deben considerar son los del
momento angular de espín total
S  Se  S p
S  Se  S p
Elevando al cuadrado,
S  S  S  2Se  S p
2
2
e
2
p
de donde
1 2
2
2
Se  S p   S  Se  S p 
2
3
S  ms 
4
2
2
 ms
S z  ms  ms  ms
1 2
Se  S p   S  Se2  S p2 
2
Estado triplete. Espines paralelos. Espín total=1
1 2
1
2
2
Se  S p   S  Se  S p  
2
4
2
Estado singulete. Espines antiparalelos. Espín total=0
1 2
3
2
2
Se  S p   S  Se  S p   
2
4
2
2
g
g
e
4 p e
Ehf  estado base  
S p  Se
3
6 mp me a
Estado triplete. Espines paralelos. Espín total=1
1 2
1
2
2
Se  S p   S  Se  S p  
2
4
2
Estado singulete. Espines antiparalelos. Espín total=0
1 2
3
2
2
Se  S p   S  Se  S p   
2
4
2
2
4 g p gee
Ehf  estado base  
S p  Se
3
6 mp me a
triplete
 1/ 4
4 g p g ee
Ehf  estado base  
3 
6 m p me a 3 / 4 singulete
2
2
2 2
e
g
g
4 p e
6
eV
10

5.88


3
6 m p me a

h
 1420.406 MHz

hc

 21.106 cm
Única técnica conocida de detección de hidrógeno neutro
triplete
4 g p gee  1/ 4
Ehf  estado base  
3 
6 mp me a 3/ 4 singulete
2 2
1S1/ 2 ( S  1)  1S1/ 2 ( S  0)

 1420.406 MHz ;  
hc
 21.106 cm
h

15 1
Probabilidad de transición=2.9  10 s
En 1944, Hendrik van de Hulst
predijo la emisión HI del
hidrógeno neutro (esta transición
hiperfina de 21 cm).
La emisión fue descubierta en 1951
por H.I.Ewen and E. M. Purcell de
la Universidad de Harvard usando
las técnicas de radar desarrolladas
en la guerra.
Nature 168, 356 (1 September 1951)
Observation of a Line in the Galactic Radio Spectrum: Radiation from Galactic Hydrogen at 1,420
Mc./sec.
H. I. EWEN & E. M. PURCELL
1.Lyman Laboratory, Harvard University, Cambridge, Mass. June 14.
13.6 eV
triplete
4 g p gee  1/ 4
Ehf  estado base  
3 
6 mp me a 3/ 4 singulete
2 2
1S1/ 2 ( S  1)  1S1/ 2 ( S  0)

 1420.406 MHz ;  
hc
 21.106 cm
h

15 1
Probabilidad de transición=2.9  10 s
1S1/ 2 ( S  1)  1S1/ 2 ( S  0)

h
 1420.406 MHz
; 
hc

 21.106 cm
Esta transición es prohibida electromagnéticamente porque
viola la regla de selección l  1, pues se tiene l  0.
La excitación se produce por colisiones.
Por tanto se puede conocer la densidad y la temperatura
media de las nubes de H en el espacio interestelar.


e 

2
i
= H D   e     p  A    mc  
t
c 



 
k 2
1
 1
2
      0 (k  l )
k
l
l
k
     0
k
k
1

0
 
0

0
0

1 0 0
0 1 0 

0 0 1
0

0
2  
0

i
0 0 i 

0 i 0
i 0 0 

0 0 0
0
0
0

0
1  
0

1
0 0 1

0 1 0
1 0 0

0 0 0
0 0

0
0
3  
1 0

 0 1
0

0 1
0 0

0 0
1


e 

2
i
= H D   e     p  A    mc  
t
c 







2 

Enj  mc  1 
2

2
   n   j  1/ 2    j  1/ 2   
 
n  1,2,3,....




2 1/ 2






 1


1 3 5
1
j  , , ,..., n 
2 2 2
2
Tarea: Demostrar que de este espectro sale el que hemos
encontrado con teoría de perturbaciones
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la
ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleo
Usando la masa reducida
2. Estructura fina
a) Correcciones relativistas
b) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita
3. Corrimiento Lamb
Debido a la cuantización del campo coulombiano
4. Estructura hiperfina
Debida a la interacción magnética entre los momentos
dipolares magnéticos del electrón y el protón
Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno
Energía de Bohr
 2 mc 2
Estructura fina
 4 mc 2
Corrimiento Lamb
 mc
Estructura hiperfina
5
2
m 4 2
 mc
mp
En2
Efs 
2mR c 2

4n 
3 

j

1/
2


Persiste la degeneración:
1
Con j  l  con el número cuántico ms
2
Ejemplo:
2S1/2 (n  2, l  0, j  1/ 2)
tiene la misma energía que
2P1/ 2 (n  2, l  1, j  1/ 2)
ELamb

1   l ,0
E1z 

K  n, l  

3 
2n 
  j  1/ 2  l  1/ 2  
3
1
j l
2
K  n,0  es una función creciente de n
K 1,0   12.7  K  ,0   13.7;
K  n, l  0 
0.05
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html