Download Guía de la unidad I del Curso CINU-2016

“Material de Apoyo Académico”
UNIDAD I
(Semana 1-2)
Elaborado por el docente Willman Oswaldo Villamizar Ortiz
Guacara, 16 de Octubre del 2016
Objetivo de aprendizaje:
Aplicar las propiedades que satisfacen las leyes de composición interna del conjunto de los
Números Reales (ℝ) a expresiones algebraicas definidas dentro del conjunto.
1 Expresiones algebraicas
Las matemáticas se mueven en torno a un razonamiento consensado de simplicidad del
lenguaje, de formalismo y de rigurosidad en determinados conjuntos numéricos y trabajar de
forma idónea sobre estos conjuntos requiere del uso de un vocabulario y una técnica
homogénea dentro de la universalidad matemática y más aun en nuestra institución
académica. Y como ya es bien sabido por la población estudiantil el empleo o uso de la
matemática hace énfasis dentro de su lenguaje del uso de los símbolos.
El álgebra como una de las ramas de las matemáticas estudia las estructuras y las relaciones de
los elementos que constituyen a los conjuntos numéricos, valiéndose de muchos símbolos y
convenciones para representar tales operaciones. Su gran importancia reside en la capacidad
de síntesis de su lenguaje, pues gracias a ella grandes expresiones que involucran una idea
específica se pueden escribir de forma compacta y rápida.
1.1 Terminología
1.1.1. Variable
Se denomina variable en una proposición matemática, definida dentro de cierto conjunto
numérico, al símbolo empleado para representar un elemento arbitrario perteneciente a dicho
conjunto numérico. Normalmente para ello se emplean las últimas letra del alfabeto en
minúscula, aunque no necesariamente debe ser así pues un símbolo es una representación
perceptible de una idea con rasgos asociados a una convención socialmente aceptada, por
ejemplo si ese valor arbitrario al cual hace alusión el símbolo por ejemplo pertenece al
conjunto de los números reales se dice que es una variable real.
1.1.2. Constante
Se denomina constante en una proposición matemática, definida dentro de cierto conjunto
numérico, al símbolo empleado para representar un elemento invariable o fijo en la
proposición matemática. Normalmente para ello se emplean las primeras letras del alfabeto
en minúscula y en el caso de que el número de constantes en una proposición matemática
excedan la cantidad de letras del alfabeto se suelen emplear letras con subíndices (ai) para
mayor comodidad y evitar el agotamiento de símbolos en la identificación de las constantes al
momento de plantear la proposición matemática. Si la constante representa an un valor fijo
dentro del conjunto de los números reales se dice que la misma es una constante real.
1.1.3. Coeficiente
Se denomina coeficiente en una proposición matemática, definida dentro de cierto conjunto
numérico, al factor numérico fijo o constante que acompaña a un determinado objeto
matemático o elemento arbitrario de un conjunto (Una variable, una función, una matriz, un
vector, etc.) en una determinada multiplicación.
1.1.4. Grado
En matemáticas existen múltiples significados de la palabra grado dependiendo del área
matemática en la cual se esté contextualizando uno. Para efectos de este curso matemático se
denominara grado al exponente natural que presenta una determinada variable en una
proposición matemática, definida dentro de cierto conjunto numérico, también a este número
se le suele identificar con el calificativo de exponente de la variable.
1.1.5. Término
Se denomina término es una expresión algebraica elemental en la cual solo está presente la
multiplicación de dos factores o más, uno numérico y otro literal. El factor numérico está
representado por el coeficiente y el factor literal integrado por las letras que designan a las
variables o variable. Tanto el número como cada letra pueden estar elevados a un grado o
exponente.
1.1.6. Expresión algebraica
Se llama expresión algebraica a toda constante, variable o a toda combinación de constantes y
variables que estén ligadas a través de un número finito de relaciones definidas dentro del
conjunto en el cual se hace la proposición matemática que involucra a estas constantes o
variables, o sus posibles combinaciones.
1.2 Tipos de expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas son proposiciones matemáticas que se plantean en determinados
conjuntos numéricos o espacios, por tanto su clasificación dependerá del conjunto o espacio
en el cual se plantea tal proposición:
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝑹𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 (ℚ)
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙
(𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙)
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝑹𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 (ℝ)
(𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙) 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝑰𝒓𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 (ℝ ∖ ℚ)
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒋𝒐𝒔 (ℂ)
{ (𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎𝑠)
(𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑎)
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝑰𝒎𝒂𝒈𝒊𝒏𝒂𝒓𝒊𝒐𝒔 (𝒊)
(𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎)
{
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝑹𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 (ℚ)
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐𝒔 (ℤ)
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝑵𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍𝒆𝒔 (ℕ)
{
{
(𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) (𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑠) (𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠)
No obstante a partir de los elementos constitutivos de estos conjuntos numéricos se pueden
definir ciertos espacios para generar otra caracterización de expresiones algebraicas, por
ejemplo si tomamos elementos del conjunto de los números Reales (ℝ) y formamos ternas
ordenadas de números generamos elementos de un espacio vectorial de ℝ𝟑 y con estos se
pueden generar expresiones algebraicas de tipo vectorial, observe el siguiente ejemplo:
Determine el valor del vector 𝑋⃗ para que se satisfaga la siguiente expresión
⃗⃗. 𝐵
⃗⃗. 𝑋⃗ + 2. 𝐶⃗ = 3𝐵
⃗⃗, definida en el espacio vectorial de ℝ𝟑 , si se sabe
algebraica 𝐵
⃗⃗ = (2,3,4) 𝑦 𝐶⃗ = (2,1,3).
que 𝐵
⃗⃗. 𝐵
⃗⃗. 𝑋⃗: es una expresión algebraica cuyo coeficiente o parte numérica está
𝐵
⃗⃗
conformada por un número real fijo generado por el producto escalar de 𝐵
consigo mismo, es decir, su módulo y la parte literal de la variable por el vector 𝑋⃗
de componentes (𝑋𝑥 , 𝑋𝑦 , 𝑋𝑧 ).
Por otro lado si tomamos elementos del conjunto de los números Reales (ℝ) y formamos
arreglos rectangulares de números de dos filas y dos columnas generaríamos el espacio
matricial de 2x2, nótese la siguiente proposición algebraica en un espacio matricial de 2x2:
0 −𝑎12
] para que la siguiente
𝑎21
𝑜
proposición 𝑑𝑒𝑡|𝐴|. 𝐴 + 3𝐵 + 𝐶 = 𝐴, definida en el espacio matricial de 2x2, si se
1 2
1 2
conoce que 𝐵 = [
] y 𝐴=[
].
5 𝑜
2 5
Determine el valor de la matriz 𝐴 = [
𝑑𝑒𝑡|𝐴|. 𝐴: es una expresión algebraica cuyo coeficiente o parte numérica está
conformada por un número real fijo generado por el determinante de A, es decir,
𝑑𝑒𝑡|𝐴|, y su parte literal de la variable por la matriz A de de vectores fila o
0 −𝑎12
columna[
].
𝑎21
𝑜
Aclaratoria:
El estudiante debe tener presente de forma clara y concisa la diferenciación entre
variable e incógnita en una proposición matemática. Desde un punto de vista
moderno en las Matemática, una incógnita es una variable independiente
asociada a un modelo matemático que generalmente es expresado como una
relación al momento de definir a una función. Pese a que Históricamente el
término incógnita fue utilizado en la modelización de problemas algebraicos
relacionados con polinomios no debemos pensar en la incógnita solo en un
contexto polinómico. Debemos pensar en la incógnita como un elemento
constitutivo de una expresión matemática que normalmente se simboliza por una
letra asociada a un "valor desconocido" que es constitutivo del conjunto donde se
platea el modelo matemático.
Es conveniente desde un punto de vista matemático recalcar que se hace imposible identificar
una expresión algebraica si no se conoce el conjunto numérico donde se define tal expresión.
Por ejemplo si usted afirma que la expresión algebraica,
1 4
𝑥
4
+ √5𝑥 − 243 , es racional por no
tener afectada su parte literal con radicales, está cometiendo un error de concepción
conjuntista. No es una expresión algebraica una constante (243) o una variable (x), o en su
1
1
defecto la combinación de ellas (4 𝑥 4 = 4 . 𝑥. 𝑥. 𝑥. 𝑥 𝑦
√5. 𝑥) a través de ciertas relaciones
definidas en el conjunto (la multiplicación o ley de composición interna), entonces como va
usted a identificar la relación si desconoce la naturaleza de los elementos que se vinculan en la
relación que esta plateada en la proposición.
1.2.1. Enteras
Si se tiene que una expresión algebraica es una constante o una variable, o en su defecto la
combinación de ellas a través de ciertas relaciones definidas en el conjunto de los números
enteros (ℤ), es decir, la suma y la multiplicación definida en conjunto de los números enteros.
Por lo tanto la constante debe ser un número entero fijo, la variable hace alusión a un número
entero arbitrario desconocido perteneciente al conjunto de números enteros y la combinación
del las constantes con las variables a través de las relaciones o leyes de composición interna
definidas en el conjunto deben generar un valor numérico perteneciente al conjunto de los
números enteros (ℤ). No olvidemos que la terna (ℤ, + , . ) es un anillo.
Recordemos que el valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al
sustituir cada una de sus variables por el valor que se les ha asignado de antemano, una vez
efectuadas las operaciones indicadas en la expresión algebraica.
Ejemplos de expresiones algebraicas enteras:
a. −25; una constante (Número Entero fijo).
b. 𝑦; variable arbitraria desconocida perteneciente al conjunto de los números enteros.
c. 3. 𝑦; combinación de constante con variable entera a través de la multiplicación
definida en el conjunto de los números enteros.
d. 3𝑥 2 − 24: una combinación de los dos casos anteriores.
Ejemplos de expresiones que no son algebraicas enteras:
2
3
a. − ; una constante (valor fijo que no pertenece a los Número Entero sino a los
Números Racionales).
e.
𝑦
;
3
1
3
combinación de constante no entera con variable ( . 𝑦) a través de la multiplicación
definida en el conjunto de los números enteros, por tanto la misma no estaría definida
en el conjunto de las números enteros, pues solo se pueden relacionan dos enteros a
través de esta ley de composición interna.
a.
3
𝑥;
4
3
combinación de constante no entera con variable (4 . 𝑥) a través de la
multiplicación definida en el conjunto de los números enteros, por tanto la misma no
estaría definida en el conjunto de las números enteros, pues solo se pueden relacionan
3
dos enteros a través de esta ley de composición interna (4 no es un entero).
b.
1 2
𝑥
3
4
5
− ; una combinación de los dos casos anteriores, por lo tanto no es una
expresión algebraica entera.
Aclaratoria:
Debe tenerse presente que una expresión algebraica será entera si la constate es entera y la
variable es entera, o la combinación de ambas generan un valor numérico entero,
independientemente del valor arbitrario que pueda tomar la variable implícita en la expresión.
Recordemos la que la suma y la multiplicación de números enteros son leyes de composición
internas en el conjunto, es decir, que tomados dos elementos cualesquiera del conjunto y
aplicada la relación su imagen será un elemento perteneciente al conjunto de los Números
Enteros.
1.2.2. Polinómicas (monomios, binomios y polinomios)
Se denomina polinomio a toda expresión algebraica que consiste únicamente en una suma
finita de monomios.
Se llama monomio a toda expresión algebraica definida por la relación de multiplicación entre
una constante o coeficiente (an) perteneciente a un determinado anillo (normalmente a los ℝ
o ℂ) y una variable de grado o exponente natural (Xn), la cual hace alusión a una relación
definida en el conjunto de los números reales como multiplicación abreviada denominada
𝑥. 𝑥. 𝑥. … . 𝑥
potenciación (𝑥 𝑛 =
; se multiplica la base por sí misma la cantidad de veces que
n veces
indica el exponente o grado de la variable).
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑠𝑒𝑟á 𝑢𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 ⇔ 𝑎𝑛 𝜖ℝ Λ 𝑛𝜖ℕ; 𝑥 puede ser representada por
cualquier otra letra del alfabeto y representa un valor arbitrario dentro de
cualquier conjunto numérico.
Por tanto si se trata de un polinomio de variable real, el mismo se puede generalizar como:
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑛−(𝑛−𝑘) 𝑥 𝑛−(𝑛−𝑘) + ⋯ + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎0
Recuerde que 𝑎0 = 𝑎0 . 1 = 𝑎0 𝑥 0 y por definición todo número real diferente de cero elevado
al exponente cero da como resultado la unidad (𝑥 0 = 1). No debe pasar por la cabeza la idea
de que cuando la variable toma el valor de x=0 se produce la indeterminación de la estructura
polinómica, pues 00 no está definido, ya que en ese caso no se tendría ninguna estructura
algebraica.
Los polinomios de acuerdo al número de términos que lo conforma suelen clasificarse de la
siguiente manera:
1.
2.
3.
4.
Monomio: expresión algebraica compuesta de un sólo términos.
Binomio: expresión algebraica compuesta sólo de dos términos.
Trinomio: expresión algebraica compuesta sólo de tres términos.
Polinomio: expresión algebraica compuesta por más de tres términos.
Ejemplo de expresiones algebraicas polinómicas:
De variable real: con x Є ℝ
1. 6. 𝑥 4 + 3. 𝑥 3 + (−2). 𝑥 2 + 6. 𝑥 + 145
2. 456 + 𝑥 2
3.
7 5
𝑥
6
6
4. 𝑥 + 4. 𝑥 7 + 3. 𝑥 2 + 12
De variable compleja: con x Є ℂ
2
1. −5. 𝑥 7 + 4. 𝑥 2 + (−2). 𝑥 5 + 6. 𝑥 + 5
2. 4 + 𝑥 5
3.
7 2
𝑥
6
4. 𝑥 5 + (−5). 𝑥 2 + 7. 𝑥 3 + (−1)
1.2.3. Racionales
Son expresión algebraicas racionales una constante o una variable pertenecientes al conjunto
de los números racionales, o en su defecto la combinación de ellas a través de ciertas
relaciones definidas en el conjunto de los números racionales (ℚ), es decir, la suma y la
multiplicación definida en conjunto de los números racionales.
Por lo tanto la constante debe ser un número racional fijo, la variable hace alusión a un
número racional arbitrario desconocido perteneciente al conjunto de números enteros y la
combinación del las constantes con las variables a través de las relaciones o leyes de
composición interna definidas en el conjunto deben generar un valor numérico perteneciente
al conjunto de los números racionales (ℚ). No olvidemos que la terna (ℚ, + , . ) es un cuerpo.
Ejemplo de expresiones algebraicas racionales: con x Є ℚ
1.
3
. 𝑥4
5
+ 3. 𝑥 3 + (−2). 𝑥 2 + 6. 𝑥 + 145
2. 456 + 𝑥 2
3.
7 5
𝑥
6
6
4. 𝑥 + 4. 𝑥 7 + 3. 𝑥 2 + 12
1.2.4. Radicales (Un subconjunto de los irracionales)
Un número es irracional (ℝ ∖ ℚ 𝑜 𝕀) si es decimal y tiene infinitas cifras decimales sin que
exista un patrón o forma periódica en ellas. De este modo no nos es posible conocer dichos
números, puesto que sería necesario invertir un tiempo infinito en conocer sus interminables
cifras. No obstante se dice que un número es irracional cuando su expresión decimal no se
𝑎
puede transformar a la forma racional, es decir, 𝑏 , con a y b pertenecientes al conjunto de los
números enteros y b≠0. La denotación de este conjunto por definición es ℝ ∖ ℚ (en otros
textos se suele escribir como 𝕀, pero la misma no es una notación universalmente aceptada ni
debe confundir la i de imaginarios puros). A pesar de que ellos no constituyen ninguna
estructura algebraica como lo son los Naturales (ℕ), los Enteros (ℤ), los Racionales (ℚ), los
Reales (ℝ) y los Complejos (ℂ), los matemáticos han sido capaces de trabajar con ellos, al igual
que los ingenieros y físicos quienes los usan tomando sólo una porción de sus cifras decimales
sin perder de vista los errores de aproximación que ellos acarrean en los algoritmos adoptados
desde el punto de vista matemático.
Por otro lado debemos recordar que se llama función potencial de exponente o grado n,
siendo n un número real, a la función 𝑓: ℝ → ℝ, definida a través de la relación 𝑦 = 𝑥 𝑛 (en la
mayoría de calculadores este operador matemático se suele representar por el símbolo ⋀) y
1
𝑛
su inversa 𝑓 −1 : 𝐴 ⊂ ℝ → 𝐵 ⊂ ℝ, definida a través de la relación 𝑦 = 𝑥 𝑛 o 𝑦 = √𝑥 es la
llamada función radical, las características de su dominio y la forma de bosquejar su
comportamiento de pares ordenados representativos de la función inversa en el plano
cartesiano dependen mucho de cuál sea el valor que tome exponente n.
Hagamos primero una distinción de las partes que componen a relación que define a la función
radical:
Observe a continuación algunos casos de relevancia matemática en donde se pueden observar
las características del dominio y la forma de bosquejar su comportamiento de pares ordenados
representativos de la inversa de la función potencial en el plano cartesiano:
1. Para el caso donde n es un número entero positivo:
Se pueden presentar dos opciones
 n sea par: n=2, 4, 6, 8, …, 2x con x Є Z*+
Dom [f-1]=ℝ
Rang [f-1]= ℝ+
 n sea impar: n=1, 3, 5, 7,…, 2x+1 con x Є Z*+
Dom [f-1]=ℝ
Rang [f-1]=ℝ
2. Para el caso donde n es un número entero negativo:
Se pueden presentar dos opciones
 n sea par: n=-2, -4, -6, -8, …, -2x con x Є Z*+
Dom [f-1]=ℝ
Rang [f-1]= ℝ+
 n sea impar: n=-1, -3, -5, -7,…, -(2x+1) con x Є Z*+
Dom [f-1]=ℝ
Rang [f-1]=ℝ
𝒂
3. Para el caso donde n es un número racional positivo (n= 𝒃 fracción irreducible):
Recuerde que una fracción irreducible es aquella fracción en la cual se cumple que
m.c.m. (a, b)=1. No obstante se pueden presentar tres opciones:
𝒂
1 3 7
𝑎
 n = 𝒃 > 0 sea b sea par y a impar: n=2, 4, 2, … con 𝑏 Є ℚ*+
𝑏
Se razonaría pensando en 𝑦 = √𝑥 𝑎 , donde la parte subradical debe ser
positiva solamente.
Dom [f-1]=ℝ+
Rang [f-1]= ℝ+
𝒂
1 3 7
𝑎
 n = 𝒃 > 0 sea b sea impar y a impar: n=3, 5, 9, … con 𝑏 Є ℚ*+
𝑏
Se razonaría pensando en 𝑦 = √𝑥 𝑎
Dom [f-1]=ℝ
Rang [f-1]=ℝ
𝒂
2 4 8
𝑎
 n = 𝒃 > 0 sea b sea impar y a par: n=3, 5, 9, … con 𝑏 Є ℚ*+
𝑏
Se razonaría pensando en 𝑦 = √𝑥 𝑎
Dom [f-1]=ℝ
Rang [f-1]=ℝ+
𝒂
4. Para el caso donde n es un número racional negativo (n= 𝒃 fracción irreducible):
Recuerde que una fracción irreducible es aquella fracción en la cual se cumple que
m.c.m. (a, b)=1. No obstante se pueden presentar tres opciones:
𝒂
𝒃
1
2
3
4
7
2
𝑎
𝑏
 n = < 0 sea b sea par y a impar: n=− , − , − , … con Є ℚ*𝑏
Se razonaría pensando en 𝑦 = √𝑥 𝑎 , donde la parte subradical debe ser
positiva solamente.
Dom [f-1]=ℝ −
{0}
Rang [f-1]= ℝ∗+
𝒂
1
3
7
𝑎
 n = 𝒃 < 0 sea b sea impar y a impar: n=− 3, − 5, − 9, … con 𝑏 Є ℚ*𝑏
Se razonaría pensando en 𝑦 = √𝑥 𝑎
Dom [f-1]=ℝ − {0}
Rang [f-1]=ℝ − {0}
𝒂
𝒃
2
3
4
5
8
9
𝑎
𝑏
 n = < 0 sea b sea impar y a par: n=− , − , − , … con Є ℚ*𝑏
Se razonaría pensando en 𝑦 = √𝑥 𝑎
Dom [f-1]=ℝ∗+
Rang [f-1]=ℝ∗+
En fin se pueden presentar una infinidad de curvas al momento de querer bosquejar las
inversas de la función potenciales y están se hacen más laboriosas cuando su base es negativa
y sus exponente alternan la paridad e imparidad, ya que se generarían puntos de
discontinuidad con saltos al infinito y haría que la función dejara de ser sobreyectiva, condición
necesaria para que una función tenga inversa.
Por tanto podemos decir que una expresión algebraica será radical cuando el valor numérico
de la expresión algebraica de alguno de los términos que la constituyen este afectado por
exponente racional, es decir, un número racional expresado en forma de fracción irreducible
a/b (m.c.m. (a, b)=1). No debe confundirse con que una de las partes constituyentes de un
término lo sea, observe el siguiente ejemplo ilustrativo:
1
5
3 + √2. √2 = 3 + √2.2 = 3 + √22 = 3 ± 2 = { ; pese a que √2 es un 22 , es decir una
1
potencia con exponente irreducible al definir el valor numérico de la expresión su resultado no
es un número irracional (5 y 1), por consiguiente 3 + √2. √2 no es una expresión algebraica
radical.
1.3 Operaciones con expresiones algebraicas
Realizar operaciones con expresiones algebraicas, consiste básicamente en poner en práctica
las propiedades que satisfacen las leyes de composición interna definidas en los conjuntos
numéricos donde se plantea la proposición matemática (asociatividad, conmutatividad,
distributividad, etc.).
Para nuestro caso e interés serán las propiedades que satisfacen les leyes de composición
interna, la suma y la multiplicación, definidas en el conjunto de los números reales, los cuales
tienen estructura de cuerpo o campo.
Todo cuerpo o campo satisface de manera general los siguientes axiomas:
i.
ii.
iii.
El par (ℝ,+) es un grupo Abeliano.
El par (ℝ,∙) es un Semigrupo.
La relación + distribuye respecto de ∙ .
Leyes de composición interna:
Sea A un conjunto diferente del vacío, llamaremos ley de composición interna u
operación binaria definida en A, a la función + o ∙ que asigna a cada par de elementos
del producto cartesiano AxA un único elemento del conjunto A.
1.3.1. Propiedades de la suma en el conjunto de los números reales:
El par (ℝ,+) es un grupo Abeliano y por tanto satisface los siguientes axiomas:
1. La relación + es una ley de composición interna en ℝ
+: ℝ𝑥ℝ → ℝ es una función / ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ
2. La relación + es asociativa:
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ⇒ (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
3. Existe neutro en la relación + definida en ℝ:
∃𝑒 ∈ ℝ/∀𝑎 ∈ ℝ ⇒ 𝑎 + 𝑒 = 𝑎
4. Existe simétrico sumativo en la relación + definida en ℝ:
∃𝑎, ∈ ℝ/∀𝑎 ∈ ℝ ⇒ 𝑎 + 𝑎, = 𝑒
5. La relación + es conmutativa:
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
(Grupoide)
(Semigrupo)
(Monoide)
(Grupo)
(Grupo Abeliano)
1.3.2. Propiedades de la multiplicación en el conjunto de los
números reales:
El par (ℝ,∙) es un Semigrupo y por tanto satisface los siguientes axiomas:
1. La relación ∙ es una ley de composición interna en ℝ
∙: ℝ𝑥ℝ → ℝ es una función / ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ⇒ 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℝ
2. La relación ∙ es asociativa:
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ⇒ (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐)
3. La relación ∙ distribuye respecto de la relación +:
(𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐 = (𝑎 ∙ 𝑐) + (𝑏 ∙ 𝑐)
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ⇒ {
𝑐 ∙ (𝑎 + 𝑏) = (𝑐 ∙ 𝑎) + (𝒄 ∙ 𝑏)
(Grupoide)
(Semigrupo)
Es muy importante que el estudiante comprenda que es de vital importancia saber que el valor
numérico de una expresión algebraica no permite categorizar la misma dentro de
subconjuntos numérico, hasta que no hayamos probado o garantizado que para cualquier
valor que tome la variable, en la expresión algebraica, este converge en un valor
representativo del conjunto numérico que caracterizamos o afirmamos. De tal forma que
podamos hablar con propiedad acerca de una expresión algebraica natural, una entera, una
racional, una irracional, una real o una compleja.