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Número entero
1
INTRODUCCIÓN
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales
y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos
deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia
(las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por
encima o por debajo de la entrada al mismo…).
Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa
|a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:
si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;
si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.
El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.
Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones
internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos
números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.
2
SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:
Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone
el signo que tenían los sumandos:
7 + 11 = 18
-7 - 11 = -18
Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se
restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:
7 + (-5) = 7 - 5 = 2
-7 + 5 = - (7 - 5) = -2
14 + (-14) = 0
La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a+b=b+a
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,
a+0=a
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,
a + (-a) = 0
3
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el
resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le
pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para
obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla
de los signos y se sintetiza del siguiente modo:
+·+=+
+·-=-·+=-·-=+
La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
a·b=b·a
Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación,
a·1=a
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c
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RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:
a - b = a + (-b)
Por ejemplo:
5 - (-3) = 5 + 3 = 8
-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7
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Fracción
1
INTRODUCCIÓN
Fracción, el cociente indicado
de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. Ha de ser
b ≠ 0.
Por ejemplo, en la fracción
el denominador, 5, indica que son “quintas partes”, es
decir, denomina el tipo de parte de la unidad de que se trata; el numerador, 3, indica
cuántas de estas partes hay que tomar: “tres quintas partes”.
Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número
entero:
Si el numerador no es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número
fraccionario, es decir, a un número no entero.
2
EQUIVALENCIA
Dos fracciones
y
son equivalentes, y se expresa
si a · b′ = b · a′.
Así,
porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252.
3
SIMPLIFICACIÓN
Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo
número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente
a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido:
Por ejemplo:
La fracción
4
es el resultado de simplificar
dividiendo sus términos por 10.
FRACCIÓN IRREDUCIBLE
Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son
números primos entre sí.
La fracción
es irreducible. La fracción
no es irreducible porque se puede
simplificar:
5
REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR
Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones
respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si
las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser
un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.)
de ellos, entonces se dice que se ha reducido a mínimo común denominador.
Por ejemplo, para reducir a común denominador las fracciones
se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene:
Es decir,
es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador:
90.
Pero si en vez de 90 se toma como denominador común 45, que es el m.c.m. de 3, 9
y 5, entonces se obtiene
que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común denominador.
6
SUMA DE FRACCIONES
Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los
numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo:
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PRODUCTO DE FRACCIONES
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus
numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores:
8
INVERSA DE UNA FRACCIÓN
La inversa de una fracción
es otra fracción,
, que se obtiene permutando el
numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1:
9
COCIENTE DE FRACCIONES
El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la
segunda:
5 DECIMALES
El concepto de valores posicionales se puede extender para incluir a las fracciones.
En vez de escribir ?, o dos décimos, se puede utilizar una coma decimal (,) de
manera que 0,2 representa también a la fracción. Del mismo modo que las cifras a la
izquierda de la coma representan las unidades, decenas, centenas..., aquéllas a la
derecha de la coma representan los lugares de las décimas (s), centésimas (t),
milésimas (1/1.000) y así sucesivamente. Estos valores posicionales siguen siendo
potencias de 10, que se escriben como 10-1, 10-2, 10-3... En general, un número
como 5.428,632 se denomina quebrado o fracción decimal, y 0,632 representa
Este número se lee como: “cinco mil cuatrocientos veintiocho coma seiscientos
treinta y dos”.
Raíz cuadrada
1
INTRODUCCIÓN
Raíz cuadrada, de un número a, es otro número b tal que b2 = a:
Los números reales positivos tienen dos raíces cuadradas; por ejemplo, 5 y –5 son
las raíces cuadradas de 25.
La expresión
aplicada a un número real positivo representa (por convenio) a su
raíz cuadrada positiva. Por tanto, para referirnos a las raíces cuadradas de 2
pondremos  y -.
La única raíz cuadrada del cero es él mismo.
Los números negativos no tienen ninguna raíz cuadrada en el campo de los números
reales, pues el cuadrado de un número real es siempre positivo o cero.
La raíz cuadrada de un número cuadrado perfecto es un número natural. Se dice que
la raíz es exacta. Por ejemplo, son raíces exactas
La raíz entera de un número n es el mayor número natural cuyo cuadrado es menor
o igual a n. Así, la raíz cuadrada entera de 200 es 14 porque 142 = 196 < 200
mientras que el cuadrado de 15 supera a 200.
2
MÉTODO PARA HALLAR LA RAÍZ CUADRADA ENTERA DE UN
NÚMERO
Para hallar la raíz cuadrada entera de un número, por ejemplo 465.685, se procede
como se explica a continuación.
1. Se separan grupos de dos cifras, de derecha a izquierda:
2. Se halla la raíz cuadrada entera del primer grupo (el de la izquierda) y se resta de
él su cuadrado.
3. A la derecha del resto (10), se baja el grupo siguiente (56). Del número obtenido
se separa la cifra de la derecha (6) y el número que queda a su izquierda (105) se
divide por el doble de la parte de la raíz hallada hasta ese momento (2·6 = 12). El
cociente entero de esa división (8) se escribe a la derecha del duplo de la raíz hallada
(12), y el número resultante (128) se multiplica por ese mismo cociente
(128·8 = 1024). El resultado se resta del bloque anterior (1056 - 1024 = 32). El
cociente obtenido (8) se pone en la parte superior obteniendo una nueva raíz parcial
(68).
En algunos casos, en este proceso hay que introducir una corrección. Por ejemplo, si
el número fuera 461.685, el primer resto sería 1016. A partir de aquí se procedería
así: el cociente entero entre 101 y 12 es 8; el producto 128·8 = 1024 es mayor que
1016 y, por tanto, la cifra obtenida (8) no es válida: hay que rebajarla en una unidad
(7). Con esta corrección se seguiría así:
127·7 = 889; 1016 – 889 = 127
El valor de la raíz parcial sería 67 y el correspondiente resto 127. En este punto, se
continúa el proceso.
4. Se vuelve a bajar el grupo siguiente y se procede como en el paso anterior.
La raíz entera es 682 y el resto 561.
La comprobación es sencilla: 6822 + 561 = 465.124 + 561 = 465.685.
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Potencia (matemáticas)
1
INTRODUCCIÓN
Potencia (matemáticas), producto formado mediante sucesivas multiplicaciones de
un número, letra o expresión algebraica por sí misma.
En la potencia an, a es la base y n el exponente.
2
POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL
Si el exponente es un número entero mayor que 1, se define:
an = a ·…· a (n factores)
En especial, a1 = a.
Las propiedades de las potencias de exponente natural son las siguientes:
1. am · an = am + n
Por ejemplo, 52 · 54 = 56
2. (a · b)n = an · bn
Por ejemplo, (2 · 5)3 = 23 · 53
3. (am)n = am · n
Por ejemplo, (32)5 = 310
4. Si m > n,
Por ejemplo,
Si m < n,
Por ejemplo,
5.
Por ejemplo,
3
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
Si n >0, se define
Por ejemplo,
Para n = 0, a0 = 1; por ejemplo, 170 = 1.
Las propiedades de las potencias de exponente entero son las mismas que las de
exponente natural. Es decir, aunque el exponente sea un entero negativo, las
propiedades siguen siendo las mismas. Sólo la propiedad 4 se puede poner de forma
más sencilla y general:
4. Si m y n son dos números enteros cualesquiera, y a ≠ 0,
Por ejemplo,
4
POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO
Si m y n son enteros, n ≥ 2, se define
Por ejemplo,
Las propiedades de las potencias de exponente fraccionario son las mismas que las
de exponente entero.
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Ecuación
1
INTRODUCCIÓN
Ecuación, igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es
decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas.
Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la
ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha.
Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de
valores de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede
tener una, ninguna o varias soluciones. Por ejemplo:
3x – 7 = x + 1 es una ecuación con una incógnita. Tiene una única solución: x = 4.
x2 + y2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos
cuadrados es un número positivo a partir del cual no se puede obtener 0
sumándole 5.
2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones,
algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.
Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas
carecen de solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0
porque ambas tienen como solución única x = 4.
2
TIPOS DE ECUACIONES
Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones. Las
ecuaciones con varias incógnitas, sin embargo, suelen tener infinitas soluciones; por
ello, estas ecuaciones interesa estudiarlas cuando forman sistemas de ecuaciones.
Las ecuaciones con una incógnita pueden ser de distintos tipos: polinómicas,
racionales, exponenciales, trigonométricas…
Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en
x. O bien, son de tal forma que al trasponer términos y simplificar adoptan esa
expresión. 3x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica.
Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llaman ecuaciones
lineales. 5x + 7 = 3 es lineal y también lo es (x - 5)2 + 3 = x2 - 1 porque al
desarrollar y simplificar se obtiene -10x + 29 = 0.
Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, se llaman
cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo: x2 - 5x + 3 = 0, (x – 2)2 + 7x =5 + x.
Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo
radical, como
Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de
polinomios; por ejemplo:
En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente:
2x + 4x + 1 - 18 = 0
En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función
trigonométrica; por ejemplo:
sen (p/4 + x) – cos x = 1
3
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien concluir que no tiene
solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya fisonomía sea
más sencilla. Así, mediante una serie de pasos sucesivos se llega a una última
ecuación del tipo x = s en la que la incógnita está despejada (es decir, aislada en el
primer miembro), con lo que la solución es evidente.
Por ejemplo, para resolver la ecuación 5x – 6 = 3x + 12 se procede como se explica
a continuación.
Para pasar los términos en x al primer miembro y los números al segundo miembro,
se resta en ambos miembros 3x y se suma 6, con lo que queda:
5x – 3x = 12 + 6
Y simplificando, 2x = 18.
Para despejar la x se divide por 2 en ambos miembros:
x = 18/2 = 9
La solución es, evidentemente, x = 9.
Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas
especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.
1
Resolución de ecuaciones cuadráticas
La expresión general de una ecuación cuadrática (polinomio de segundo grado) es:
ax2 + bx + c = 0
con a ≠ 0. Para resolverla se aplica la fórmula:
Por ejemplo, la ecuación 2x2 + 5x – 3 = 0 de coeficientes a = 2, b = 5, c = -3, se
resuelve así:
Hay dos soluciones: x1 = 1/2; x2 = -3.
Esta misma ecuación se podría haber resuelto despejando la x. Para ello, se
multiplica la ecuación por 2:
4x2 + 10x – 6 = 0
Se pasa el 6 al segundo miembro:
4x2 + 10x = 6
Se suman 25/4 para completar un cuadrado perfecto (el cuadrado de una suma) en
el primer miembro:
4x2 + 10x + 25/4 = 6 + 25/4
Simplificando:
(2x + 5/2)2 = 49/4
Extrayendo la raíz cuadrada y recordando que si A2 = B2 entonces A = ±B:
2x + 5/2 = ±7/2
Como consecuencia del signo ±, la igualdad da lugar a dos ecuaciones:
2x + 5/2 = 7/2
2x + 5/2 = -7/2
Resolviéndolas se obtiene:
4x + 5 = 7 → 4x = 2 → x1 = 1/2
4x + 5 = -7 → 4x = -12 → x2 = -3
Siguiendo este largo proceso se obtienen las mismas soluciones que mediante la
fórmula inicial. Es claro que la aplicación de ésta es un procedimiento mucho más
cómodo. De hecho, la fórmula se obtiene algebraicamente a partir de la ecuación
general mediante un proceso similar al que se ha seguido para resolver esta
ecuación concreta.
Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas
porque les falta uno de los términos:
ax2 + bx = 0
ax2 + c = 0
Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas
despejando directamente la x.
En el primer caso,
ax2 + bx = 0 → (ax + b)x = 0
Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0.
Por ejemplo:
3x2 + 5x = 0 → (3x + 5)x = 0
Las soluciones son: x = 0; x = -5/3.
En el segundo caso,
ax2 + c = 0 → ax2 = -c → x2 = -c/a
Por ejemplo:
3x2 - 17 = 0 → 3x2 = 17
Las soluciones son:
2
Resolución de ecuaciones bicuadradas
Se llama bicuadrada la ecuación de la forma:
ax4 + bx2 + c = 0 (1)
es decir, una ecuación polinómica de cuarto grado que no tiene términos de grado
impar. Si se realiza el cambio de variable x2 = y, con lo cual x4 = y2, entonces se
transforma en una ecuación de segundo grado:
ay2 + by + c = 0 (2)
Cada una de sus soluciones puede dar lugar a dos, una o ninguna solución de la
ecuación inicial. Así, si y es solución de la ecuación (2), se verifica que:
si y1 > 0 , entonces x1 = √y1, x2 = -√y1 son raíces de (1);
si y1 = 0 , también x1 = 0 es raíz de (1);
si y1 < 0 , x2 = y1 no da lugar a ninguna solución real de x.
Por ejemplo, la ecuación bicuadrada:
x4 - x2 – 12 = 0
se transforma, mediante el cambio de variable x2 = y, en la ecuación de segundo
grado:
y2 - y - 12 = 0
Cuyas soluciones son
y1 = 4, y2 = -3
Para y1 = 4: x2 = 4
Luego, x1 =2, x2 = -2 son soluciones de la ecuación bicuadrada.
Para y2 = -3: x2 = -3
Por tanto, las únicas raíces de la ecuación x4 - x2 - 12 = 0 son x1 = 2, x2 = -2.
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Logaritmo
R
Logaritmo, en matemáticas, es el exponente o potencia a la que un número fijo,
llamado base, se ha de elevar para dar un número dado. Por ejemplo, en la
expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2. Esto se escribe como
log10 100 = 2. Los logaritmos fueron originalmente inventados para simplificar los
procedimientos aritméticos de multiplicación, división, potencias y extracción de
raíces, pero actualmente tienen muchas aplicaciones tanto en las matemáticas puras
como en las aplicadas.
Las primeras tablas de logaritmos fueron publicadas por separado por el matemático
escocés John Napier en 1614 y por el suizo Justus Byrgius en 1620. La primera tabla
de logaritmos comunes (los de base 10) fue compilada por el matemático inglés
Henry Briggs. A menudo se utiliza un sistema de logaritmos en los que la base es el
número trascendente e; son los llamados logaritmos naturales, logaritmos
neperianos o simplemente neperianos, y normalmente se escriben como "ln" en vez
de "loge".
Un antilogaritmo es la base elevada a la potencia del número dado. Por ejemplo, el
antilogaritmo de 2 en base 10 es 102 = 100.
El uso de los logaritmos se puede entender más fácilmente utilizando una serie de
potencias del número 2: 21, 22, 23, 24, 25 y 26, que son la sucesión 2, 4, 8, 16, 32 y
64. Los exponentes 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son los logaritmos en base 2 de estos números.
Para multiplicar dos números de esta sucesión, basta con sumar los logaritmos de los
números y después calcular el antilogaritmo de la suma, que es igual a la base
elevada a la suma. Usando este procedimiento, para multiplicar 16 por 4, primero
vemos que los logaritmos de 16 y 4 son 4 y 2 respectivamente, la suma de los
logaritmos 4 y 2 es 6, y el antilogaritmo de 6 es 64, el producto buscado. Para
dividir, se restan los logaritmos. Así, para dividir 32 por 8, se resta 3 de 5, que da 2
que es el logaritmo del cociente, 4.
Para elevar un número a una potencia cualquiera, se multiplica el logaritmo del
número por la potencia deseada y se calcula el antilogaritmo. De esta manera, para
hallar 43: log2 4 = 2, 3 × 2 = 6, antilog 6 = 64, que es 4 a la tercera potencia. La
extracción de raíces se calcula dividiendo el logaritmo del radicando por la raíz. Para
calcular la raíz quinta de 32: log2 32 = 5, 5 : 5 = 1, antilog 1 = 2, que es la raíz
quinta de 32.
El principal problema al construir una tabla de logaritmos es conseguir que los
intervalos entre dos valores sucesivos sean lo suficientemente pequeños. En los
ejemplos anteriores los valores eran las potencias 2, 4, 8,..., que están bastante
alejados entre sí, por lo que no son útiles para multiplicar números grandes. Usando
procedimientos matemáticos avanzados, se puede calcular el logaritmo de cualquier
número en cualquier base, y existen tablas de logaritmos muy detalladas. Un
logaritmo está formado por un número entero y una fracción decimal, llamados
característica y mantisa respectivamente. En el sistema de los logaritmos comunes—
base 10— el logaritmo de 7 tiene característica 0 y mantisa 84510 (con cinco cifras
decimales correctas) por lo que se escribe 0,84510. El logaritmo de 70 es 1,84510;
el logaritmo de 700 es 2,84510. El logaritmo del número 0,7 es -0,15490, que se
escribe a veces como 9,84510 - 10 para simplificar los cálculos. Hoy en día las tablas
de logaritmos han sido sustituidas por calculadoras y ordenadores con funciones
logarítmicas.
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Trigonometría
1
INTRODUCCIÓN
Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y
los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la
navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era
determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida
de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables
aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de
la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de
corriente alterna.
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la
trigonometría esférica.
2
TRIGONOMETRÍA PLANA
Se ocupa fundamentalmente de la resolución de triángulos planos. Para ello, se
definen las razones trigonométricas de los ángulos y se estudian las relaciones entre
ellas.
1
Razones trigonométricas de ángulos agudos
La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas, valores numéricos
asociados a cada ángulo, que permiten relacionar operativamente los ángulos y lados
de los triángulos. Las más importantes son seno, coseno y tangente, que se definen
a continuación.
En un ángulo  de un triángulo rectángulo, ABC, se llama seno de , y se escribe
sen , al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
Análogamente se definen el coseno (cos) como cociente entre el cateto adyacente y
la hipotenusa, y la tangente (tg) como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto
adyacente:
Hace no muchos años existían tablas numéricas en las que se daban los valores de
las razones trigonométricas de una gran cantidad de ángulos. En la actualidad, con
una calculadora científica se obtienen con toda precisión los valores de las razones
trigonométricas de cualquier ángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo cumplen las siguientes propiedades:
Aunque el ángulo  pertenezca a otro triángulo rectángulo de lados distintos al
anterior, los valores obtenidos para sen , cos  y tg  son los mismos. Es decir, las
razones trigonométricas de un ángulo no dependen del triángulo sobre el que se
midan. Esto es debido a que dos triángulos rectángulos con un mismo ángulo agudo
son semejantes y, por tanto, los cocientes, a/c, b/c, a/b coinciden en ambos.
Las razones trigonométricas sen y cos de un mismo ángulo guardan la siguiente
relación fundamental:
(sen )2 + (cos )2 = 1
En vez de (sen )2 se acostumbra a escribir sen2 , y lo mismo con las demás
razones trigonométricas. Por eso, la igualdad anterior se suele expresar así:
sen2  + cos2  = 1
Las razones sen , cos  y tg  se relacionan entre sí del siguiente modo:
2
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera
Para definir las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (de 0º a 360º) se
empieza situando el ángulo en la llamada circunferencia goniométrica, una
circunferencia de radio 1 con su centro, O, situado sobre unos ejes coordenados:
El vértice del ángulo se sitúa en O y el primero de sus lados, a, sobre la parte
positiva del eje de las X. El segundo lado, b, se abre girando en sentido contrario a
las agujas del reloj. Este segundo lado corta a la circunferencia goniométrica en un
punto, P, cuyas coordenadas son c = cos  y s = sen . Es decir, P(cos , sen ). La
tg = t se sitúa sobre la recta r, tangente a la circunferencia en U, y queda
determinada por el punto T en que el lado b, o su prolongación, corta a r.
Según esta definición, las razones trigonométricas sen, cos y tg toman valores
positivos o negativos según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo . En la
figura siguiente se resumen los signos de las tres razones:
Los ángulos 90º y 270º no tienen tangente, pues para ellos el segundo lado no corta
a la recta r.
Las razones trigonométricas de ángulos no agudos cumplen las mismas relaciones
que las de los ángulos agudos:
sen2  + cos2  = 1
3
Otras razones trigonométricas
A partir de las razones trigonométricas sen, cos y tg se definen la cosecante (cosec),
la secante (sec) y la cotangente (cot) del siguiente modo:
Estas razones trigonométricas no están definidas cuando el denominador es cero. Por
ejemplo, sec  no está definida para  = 90º ni para  = 270º, pues cos 90º = 0 y
cos 270º = 0.
La cotangente es cero donde la tangente no está definida, es decir, cot 90º = 0 y
cot 270º = 0.
Estas tres razones trigonométricas se sitúan en la circunferencia goniométrica como
se indica en la figura:
4
Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos
ángulos
Si dos ángulos son complementarios (suman 90º) sus razones trigonométricas están
relacionadas. También lo están las de los ángulos suplementarios (los que suman
180º) y las de los opuestos (los que suman 360º). A continuación se dan las
relaciones fundamentales entre ellas.
Ángulos complementarios,  y 90º - :
sen (90º - ) = cos 
cos (90º - ) = sen 
tg (90º - ) = cos /sen  = 1/tg 
Ángulos suplementarios,  y 180º - :
sen (180º - ) = sen 
cos (180º - ) = -cos 
tg (180º - ) = -tg 
Ángulos opuestos,  y -:
sen (-) = -sen 
cos (-) = cos 
tg (-) = -tg 
Ángulos que difieren en 180º,  y  + 180º:
sen ( + 180º) = -sen 
cos ( + 180º) = -cos 
tg ( + 180º) = tg 
5
Resolución de triángulos
Las razones trigonométricas de ángulos agudos sirven para resolver triángulos
rectángulos, es decir, para averiguar uno de sus elementos desconocidos a partir de
algunos otros conocidos.
Por ejemplo, si se conoce la hipotenusa, h, y un ángulo , se puede calcular el cateto
opuesto, c, a ese ángulo, mediante el seno, puesto que al ser sen  = c/h se obtiene
que c = h sen .
Los teoremas del seno y del coseno permiten resolver triángulos oblicuángulos. Por
ejemplo, si se quiere conocer el lado c de un triángulo del que se conocen los otros
dos lados a y b, y el ángulo, C, opuesto al lado desconocido, el teorema del coseno
permite calcularlo:
c2 = a2 + b2 – 2ab·cos C
O bien, si se conocen un lado, a, y los ángulos de un triángulo, se puede hallar otro
lado, b, mediante el teorema del seno:
De aquí, despejando b se obtiene:
6
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones trigonométricas de
la forma siguiente:
El ángulo se expresa en radianes. Por tanto, los 360º de una circunferencia pasan a
ser 2 radianes.
Se considera que cualquier número real puede ser la medida de un ángulo. Sus
razones trigonométricas se relacionan con las razones de los ángulos comprendidos
en el intervalo [0, 2) del siguiente modo: si x - x’ = k · 2, k número entero,
entonces sen x = sen x’, cos x = cos x’, tg x = tg x’. Es decir, si dos números
difieren en un número entero de veces 2, entonces tienen las mismas razones
trigonométricas.
De este modo se obtienen las funciones trigonométricas y = sen x, y = cos x,
y = tg x, llamadas también funciones circulares. Sus representaciones gráficas son:
Las otras funciones trigonométricas, y = cosec x, y = sec x, y = cot x, por la relación
que tienen con las tres anteriores, se representan con ellas en las figuras siguientes:
Todas las funciones trigonométricas son periódicas: sen, cos, sec y cosec tienen
periodo 2, mientras que tg y cot tienen periodo .
7
Funciones inversas
La expresión “y es el seno de θ” o y = sen θ, es equivalente a la expresión “θ es el
ángulo cuyo seno es igual a y”, lo que se expresa como θ = arcsen y, o también
como θ = sen-1y. La función arcsen (que se lee arco seno) es la función inversa o
recíproca de la función sen. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccot y,
arcsec y, y arccosec y, se definen del mismo modo. En la expresión y = sen θ o θ =
arcsen y, un valor dado de y genera un número infinito de valores de θ, puesto que
sen /6 = sen 5/6 = sen ((/6) + 2) =…= , teniendo en cuenta que los ángulos
/6 y 5/6 son suplementarios. Por tanto, si θ = arcsen , entonces θ = (/6) + n 2
y θ = (5/6) + n 2, para cualquier entero n positivo, negativo o nulo. El valor /6 se
toma como valor principal o fundamental del arcsen . Para todas las funciones
inversas, se suele dar su valor principal. Existen distintas costumbres, pero la más
común es que los valores principales de las funciones inversas estén en los intervalos
que se dan a continuación:
-/2 ≤ arcsen y ≤ /2
0 ≤ arccos y ≤ 
-/2 < arctg y < /2
0 < arccosec y < 
-/2 < arcsec y < /2
0 < arccot y < 
3
TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
La trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía,
estudia triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias
máximas contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo esférico, al igual que
el triángulo plano, tiene seis elementos: los tres lados a, b, c, y los tres ángulos A, B
y C. Sin embargo, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares en
vez de lineales, y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su
medida viene dada por el ángulo central correspondiente. Un triángulo esférico
queda definido dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en
la geometría plana, hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo,
que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos.
Por ejemplo, el teorema del seno adopta la siguiente forma para triángulos esféricos:
La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección
estereográfica y en geodesia. Es también el fundamento de los cálculos
astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza
para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una
estrella y otras magnitudes.
4
HISTORIA
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en
Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados,
minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó
a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de
Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un
ángulo de 7° y yendo hasta 180° con incrementos de 7°, la tabla daba la longitud
de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una
circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se
sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años
más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el
sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.
Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía el Almagesto, una tabla de
cuerdas con incrementos angulares de °, desde 0° hasta 180°, con un error menor
que 1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de
cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para
calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos.
Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver
triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción
básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo, los astrónomos
de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la
función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, al contrario que
el seno utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino la longitud del lado
opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los
matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las
tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las
últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco
funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la
trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos
sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que dio lugar a los valores
modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el
triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron
a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para
encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones
diarias requeridas por la ley islámica. Los científicos árabes también compilaron
tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente,
construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1
dividido por 700 millones. Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el
Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica
como ciencias matemáticas independientes.
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones
de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El
primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y
astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo,
el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el
concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de
longitudes de ciertas líneas. El matemático francés François Viète incorporó el
triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las
funciones de ángulos múltiples, sen nθ y cos nθ, en función de potencias de sen θ y
cos θ.
Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático
escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII.
También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y
algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos
esféricos oblicuos.
Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier,
Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del
trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando
series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y
series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones
trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un
importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones
trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los
números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la
trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
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Álgebra de Boole
Álgebra de Boole, rama de las matemáticas con propiedades y reglas similares,
aunque diferentes, al álgebra ordinaria. Es útil, entre otras cosas, para la lógica y
para la teoría de conjuntos.
Formalmente, el álgebra de Boole es un sistema matemático compuesto por un
conjunto de elementos, llamado habitualmente B, junto a dos operaciones binarias,
que se pueden escribir con los símbolos  y . Estas operaciones están definidas en
el conjunto B y satisfacen los siguientes axiomas:
1. Ambas operaciones son asociativas. Esto es, cualesquiera que sean los elementos
x, y, z de B, se cumple que
(x  y)  z = x  (y  z)
(x  y)  z = x  (y  z)
2. Ambas operaciones son conmutativas. Esto es, para cualquier pareja de elementos
x, y del conjunto B, se cumple que
xy=yx
xy=yx
3. Cada una de las operaciones  y  es distributiva con respecto a la otra. Esto es,
para tres elementos cualesquiera x, y, z del conjunto B, se cumple que
x  (y  z) = (x  y)  (x  z)
y que
x  (y  z) = (x  y)  (x  z)
4. En el conjunto B existe un elemento neutro bien definido para cada una de las
operaciones  y . Estos elementos se representan habitualmente con los símbolos 0
y 1, son distintos y tienen la propiedad de que
0x=x
1x=x
para cualquier elemento x del conjunto B.
5. A cada elemento x del conjunto B le corresponde otro elemento llamado
complementario de x, que normalmente se representa con el símbolo x′. El elemento
x′ cumple las siguientes propiedades con respecto a las dos operaciones  y :
x  x′ = 0
x  x′ = 1
Esta estructura recibe este nombre en honor al matemático inglés George Boole, que
la describió en 1854 en su obra Investigación sobre las leyes del pensamiento.
Las dos operaciones  y  se pueden representar con otra pareja cualquiera de
símbolos; +,  y  se utilizan a veces en vez de ; ×, ^, , ·, en vez de .
Veamos un ejemplo de un álgebra de Boole. Sea X un conjunto de elementos y sea
P(X) el conjunto de todos los posibles subconjuntos del conjunto X. P(X) se
denomina normalmente conjunto de las partes del conjunto X. P(X) junto con la
unión () y la intersección () de conjuntos forma un álgebra de Boole. En realidad,
cualquier álgebra de Boole se puede representar como un álgebra de conjuntos
(véase Teoría de conjuntos).
Dada la simetría de los axiomas con respecto a las dos operaciones y sus respectivos
elementos neutros, se puede demostrar el llamado principio de dualidad, que afirma
que cualquier proposición algebraica verdadera deducible a partir de los axiomas del
álgebra de Boole es también verdadera si se intercambian las operaciones  y  y
los elementos neutros 1 y 0 en la proposición. Dos de los muchos teoremas que se
pueden deducir a partir de los axiomas del álgebra de Boole y que son de gran
importancia son las leyes de Morgan, que dicen que
(x  y)′ = x′  y′
y que
(x  y)′ = x′  y′
Los elementos que forman el conjunto B de un álgebra de Boole pueden ser objetos
abstractos o cosas concretas como números, proposiciones, conjuntos o redes
eléctricas. En el desarrollo original de Boole, los elementos de su álgebra eran una
colección de proposiciones, o simplemente oraciones gramaticales con la propiedad
de ser verdaderas o falsas. Las operaciones eran, esencialmente, la disyunción y la
conjunción, que se escriben con los símbolos  y ^ respectivamente. Si x e y
representan dos proposiciones, entonces la expresión x  y (leída "x o y") es
verdadera si y sólo si o x o y o ambas son verdaderas. La proposición x ^ y (leída "x
e y") es verdadera si y sólo si ambas son verdaderas. En esta álgebra de Boole, el
complementario de un elemento o proposición es simplemente la negación de la
proposición.
Un álgebra de Boole de proposiciones y una de conjuntos están muy relacionadas.
Por ejemplo, sea p la afirmación "la bola es azul", y sea P el conjunto de todos los
elementos para los que la proposición es verdadera, es decir, el conjunto de las bolas
azules. P es el conjunto verdad de la proposición p. De esta manera, si P y Q son los
conjuntos verdad de las proposiciones p y q, entonces el conjunto verdad de la
proposición p  q es claramente P  Q y para p ^ q el conjunto verdad es P  Q.
El álgebra de Boole tiene muchas aplicaciones prácticas en las ciencias físicas,
especialmente en la informática y en la electrónica. A continuación se expone un
ejemplo del uso del álgebra de Boole en la teoría de circuitos electrónicos. Sean p y q
dos proposiciones, es decir, oraciones afirmativas que son o verdaderas o falsas
(pero no las dos cosas al mismo tiempo). Si cada una de las proposiciones p y q se
asocia con un interruptor que está cerrado si la afirmación es verdadera y abierto si
es falsa, entonces la proposición p ^ q se representa en el circuito conectando los
interruptores en serie. La corriente circulará por este circuito si y sólo si ambos
interruptores están cerrados, esto es, si ambas p y q son verdaderas. De la misma
manera, otro circuito se puede usar para representar p  q. En este caso los
interruptores tienen que estar conectados en paralelo, con lo que la corriente circula
si o p o q o ambas son verdaderas (interruptores cerrados). Proposiciones más
complejas darán lugar a circuitos más complicados.
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Estadística
1
INTRODUCCIÓN
Estadística, rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar
datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos
y la toma de decisiones.
2
HISTORIA
Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística,
pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas,
palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o
cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para
recopilar datos sobre la producción agrícola y sobre los géneros vendidos o
cambiados mediante trueque. En el siglo XXXI a.C., mucho antes de construir las
pirámides, los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país. Los
libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de
estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo
describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían
registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos
realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrar
impuestos.
El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos
sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante
la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes
caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las
propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la
conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó
la realización de un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en
1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones
comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer
estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of
Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres). Un estudio
similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado
en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la
primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método
científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los
investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos
para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.
En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir
con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos,
biológicos o físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos.
El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos,
sino sobre todo en el proceso de “interpretación” de esa información. El desarrollo de
la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la
estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud,
utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se
pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para
comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la
cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico.
3
MÉTODOS ESTADÍSTICOS
La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos al
contar o medir elementos. Al recopilar datos estadísticos se ha de tener especial
cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta.
El primer problema para los estadísticos reside en determinar qué información y en
que cantidad se ha de reunir. En realidad, la dificultad al compilar un censo está en
obtener el número de habitantes de forma completa y exacta; de la misma manera
que un físico que quiere contar el número de colisiones por segundo entre las
moléculas de un gas debe empezar determinando con precisión la naturaleza de los
objetos a contar. Los estadísticos se enfrentan a un complejo problema cuando, por
ejemplo, toman una muestra para un sondeo de opinión o una encuesta electoral. El
seleccionar una muestra capaz de representar con exactitud las preferencias del total
de la población no es tarea fácil.
Para establecer una ley física, biológica o social, el estadístico debe comenzar con un
conjunto de datos y modificarlo basándose en la experiencia. Por ejemplo, en los
primeros estudios sobre crecimiento de la población, los cambios en el número de
habitantes se predecían calculando la diferencia entre el número de nacimientos y el
de fallecimientos en un determinado lapso. Los expertos en estudios de población
comprobaron que la tasa de crecimiento depende sólo del número de nacimientos,
sin que el número de defunciones tenga importancia. Por tanto, el futuro crecimiento
de la población se empezó a calcular basándose en el número anual de nacimientos
por cada 1.000 habitantes. Sin embargo, pronto se dieron cuenta que las
predicciones obtenidas utilizando este método no daban resultados correctos. Los
estadísticos comprobaron que hay otros factores que limitan el crecimiento de la
población. Dado que el número de posibles nacimientos depende del número de
mujeres, y no del total de la población, y dado que las mujeres sólo tienen hijos
durante parte de su vida, el dato más importante que se ha de utilizar para predecir
la población es el número de niños nacidos vivos por cada 1.000 mujeres en edad de
procrear. El valor obtenido utilizando este dato mejora al combinarlo con el dato del
porcentaje de mujeres sin descendencia. Por tanto, la diferencia entre nacimientos y
fallecimientos sólo es útil para indicar el crecimiento de población en un determinado
periodo de tiempo del pasado, el número de nacimientos por cada 1.000 habitantes
sólo expresa la tasa de crecimiento en el mismo periodo, y sólo el número de
nacimientos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear sirve para predecir el
número de habitantes en el futuro.
4
POBLACIÓN, INDIVIDUO, CARÁCTER
El primer campo de actuación de la estadística, como se ha visto, es la demografía.
De esta ciencia ha tomado la nomenclatura (población, individuo…).
Se llama población al conjunto de todos los elementos cuyo conocimiento interesa.
Cada uno de esos elementos es un individuo. Si se está estudiando el resultado de
ciertos experimentos químicos, cada uno de esos experimentos será un individuo
estadístico y el conjunto de todos los posibles experimentos en esas condiciones será
la población.
Cada individuo puede ser descrito mediante uno o varios caracteres. Por ejemplo, si
los individuos son personas, el sexo, el estado civil, el número de hermanos o su
estatura son caracteres. Y si el individuo es una reacción química, el tiempo de
reacción, la cantidad de producto obtenido o si éste es ácido o básico serán posibles
caracteres que pueden analizarse.
Un carácter puede ser cuantitativo si es medible numéricamente o cualitativo si no
admite medición numérica. El número de hermanos y la estatura son caracteres
cuantitativos mientras que el sexo y el estado civil son caracteres cualitativos.
Los distintos valores que puede tomar un carácter cuantitativo configuran una
variable estadística. La variable estatura, en cierta población estadística, toma
valores en el intervalo 147-205; y la variable número de hermanos toma los valores
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Una variable estadística como esta última es discreta, ya
que sólo admite valores aislados. Una variable estadística es continua si admite todos
los valores de un intervalo, como ocurre con la estatura.
5
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
La estadística descriptiva analiza, estudia y describe a la totalidad de individuos de
una población. Su finalidad es obtener información, analizarla, elaborarla y
simplificarla lo necesario para que pueda ser interpretada cómoda y rápidamente y,
por tanto, pueda utilizarse eficazmente para el fin que se desee. El proceso que sigue
la estadística descriptiva para el estudio de una cierta población consta de los
siguientes pasos:
Selección de caracteres dignos de ser estudiados.
Mediante encuesta o medición, obtención del valor de cada individuo en los
caracteres seleccionados.
Elaboración de tablas de frecuencias, mediante la adecuada clasificación de los
individuos dentro de cada carácter.
Representación gráfica de los resultados (elaboración de gráficas estadísticas).
Obtención de parámetros estadísticos, números que sintetizan los aspectos más
relevantes de una distribución estadística.
6
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
La estadística descriptiva trabaja con todos los individuos de la población. La
estadística inferencial, sin embargo, trabaja con muestras, subconjuntos formados
por algunos individuos de la población. A partir del estudio de la muestra se pretende
inferir aspectos relevantes de toda la población. Cómo se selecciona la muestra,
cómo se realiza la inferencia, y qué grado de confianza se puede tener en ella son
aspectos fundamentales de la estadística inferencial, para cuyo estudio se requiere
un alto nivel de conocimientos de estadística, probabilidad y matemáticas.
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