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Los Números Reales
El concepto de número
El concepto de número es una de las más
importantes abstracciones de la mente humana.
Los números han surgido a lo largo de la historia
como herramienta para resolver problemas de
conteo, medición, ordenación, etc.
El conocimiento de sus diferentes representaciones
y clasificaciones es el cimiento del estudio de las
matemáticas.
Matemáticas 1
2
Los números naturales
El conjunto de los números naturales es uno de los
primeros que necesitó el hombre para sobrevivir.
Este conjunto contiene a los números de contar.
No se incluye al cero entre los naturales. El cero
fue producto de una evolución muy posterior.
Matemáticas 1
3
Definición de números naturales
El conjunto de números naturales es:
Matemáticas 1
N = {1, 2, 3, K }
Los puntos suspensivos indican que se trata de un
conjunto infinito y ordenado.
4
Ejemplos de números naturales
Matemáticas 1
1 vaca
3 osos
4 coches
2 zapatos
5
Números enteros
Los números enteros abarcan a los números
naturales (los que se utilizan para contar), a los
números negativos (que son el resultado de
restar a un número natural otro mayor), e incluyen
al cero.
Los números enteros son aquellos que no tienen
parte decimal.
Definición de números enteros:
Z = { K, − 3, − 2, − 1 , 0, 1, 2, 3, K }
Matemáticas 1
6
Números enteros
Nota: la letra Z que se utiliza para designar a este
conjunto proviene de la palabra Zahl, que significa
número en alemán.
Durante los siglos XVIII y XIX los alemanes
influyeron notablemente en el desarrollo de la
teoría de los números, por esta razón se conserva
a esta notación.
Matemáticas 1
7
Números racionales
Los números racionales son aquellos que expresan
el cociente entre dos números enteros.
La noción de racional proviene de ración (parte de
un todo).
Matemáticas 1
8
Números racionales
Los números racionales están formados por:
Matemáticas 1
Los números enteros (que pueden expresarse como
cociente, por ejemplo:
5
38
1024
5=
, 38 =
, 1024 =
1
1
1
Los números fraccionarios (los números racionales
no enteros, por ejemplo:
2
7
,
,
5
12
69
253
9
Números racionales
Matemáticas 1
Es importante tener en cuenta que, mientras que
en los números enteros cada número tiene un
siguiente (-1, 0, 1, 2, 3, 4…), existen número
infinitos entre cada número racional.
1
4
... 5 , ... , 5 , ... , 5
... , 6 ...
4
5
10
Definición de números racionales
Definición de números racionales:
Donde:
p
q
Matemáticas 1


p
Q =  x = ; p , q ∈ Z, q ≠ 0 
q


numerador
denominador
La notación Q nos llega del inglés quotient
(cociente).
11
Cualidades de los números racionales
La definición formal de este conjunto nos indica dos
importantes cualidades:
Los números racionales son números que tienen la
forma de quebrado, fracción o razón, es decir, son
números obtenidos mediante la división de dos
números enteros.
La división entre cero no es una operación permitida.
Sin embargo, la división de cero entre cualquier número
diferente de cero si es posible y el resultado
invariablemente es cero.
Matemáticas 1
12
Más cualidades de los números
racionales
Los números racionales permiten expresar
medidas.
Cuando se compara una cantidad con su unidad, se
obtiene, por lo general, un resultado fraccionario.
Por ejemplo: Si divido una pizza en dos partes, tengo
dos mitades.
1
Cada porción será 2 de la pizza (una parte de dos).
En caso de tomar ambas porciones, volveré a tener la pizza
2
entera:
=1
2
Matemáticas 1
13
Números racionales:
fracciones propias e impropias
Matemáticas 1
Los números racionales pueden formar fracciones
propias o fracciones impropias.
Fracciones Propias: el numerador es menor que
el denominador. Ejemplos:
1
5
21
1
4
7
31
3
Fracciones Impropias: el numerador es mayor
que el denominador y pueden representarse con
enteros. Ejemplos:
23
4
7
3
8 = 4
2
17
5
17 = 3 2
5
5
14
Números racionales:
forma decimal
Los números racionales siempre se pueden
expresar en forma decimal:
= 1.5
3
4
= 0.75
Matemáticas 1
3
2
En su forma decimal, si se obtiene una cola
decimal que es infinita, pero periódica, se
denomina conmensurable:
7
9
= 0.777...
decimal
repetitivo
3
= 0.428571428571…
7
esta cadena se repite
15
Como convertir un número
decimal a fracción
Ejemplo
x = 0 . 777
1:
Paso 2 :
por 10
Se resta la x original
Matemáticas 1
Paso 1 : Se multiplica
10 x = 7 . 777 ...
10 x = 7 . 777 ...
− x = 0 . 777 ...
9x = 7
Esto resulta
7
x =
9
en :
16
Ejemplo
2:
Paso 1 :
porque
x = 0 . 323232 ...
Se multiplica
por 100
se tienen dos numeros
Paso 2 :
Se resta la x original
Matemáticas 1
100 x = 32 . 3232 ...
que se repiten
100 x = 32 . 3232 ...
−
x =
0 . 323232 ...
99 x = 32
Esto resulta
32
x =
99
en :
17
Definición de números irracionales
Definición de números irracionales:


p
Q =  x ≠ ; p , q ∈ Z, q ≠ 0 
q


'
p
q
Matemáticas 1
numerador
denominador
18
Números irracionales
Un número irracional se identifica porque en su
forma decimal tiene una cola decimal infinita no
periódica, por lo que se denominan
inconmensurables.
No pueden ser representados como una fracción
p
de enteros
.
Matemáticas 1
q
19
Números irracionales
Varios números son irracionales. Ejemplos:
2 = 1.41421356K
3
5 = 1.7099759K
Matemáticas 1
π = 3.141592653589K
e = 2.7182818K
De hecho, si la raíz cuadrada de un número natural no es
exacta entonces tenemos un número irracional.
20
Números reales
R =QUI
Matemáticas 1
Son representados con la letra R y es la unión de
los números racionales (que incluyen a los enteros
y, por tanto, a los naturales) y de los números
irracionales:
Los racionales siempre tienen forma fraccionaria y
los irracionales nunca.
El poderoso conjunto de los números reales tiene
las más amplias aplicaciones.
21
Mapa de los números reales
Números reales (R)
Matemáticas 1
Números naturales (N)
Números enteros (Z)
Números Racionales (R)
Números Irracionales (I)
22
La recta real
−π
−
− 1.333K
3
4
2.5
2
π
R
... -4
-3
-2
-1
0
1
2
Matemáticas 1
Una manera muy útil e interesante de representar
gráficamente a los números reales es mediante su
localización en la recta real (R).
Se acostumbra colocar una punta de flecha en el
extremo derecho de esta recta, como indicación de
que si un primer número está a la derecha de un
segundo número, entonces el primero es mayor
que el segundo:
3
4 ...
23
Densidad de la recta real
En general, todos los números reales, racionales o
irracionales, tienen un lugar y solamente uno en
la recta real.
Así, la recta real es completamente densa, es
decir, todo punto de ella corresponde a un número
real, y recíprocamente, todo número real tiene un
punto que le corresponde en la recta real.
Propiedad Arquimediana de R: entre dos
números reales cualesquiera, siempre es posible
encontrar a un racional y a un irracional.
Matemáticas 1
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