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Dios creó el número natural, todo lo demás esobra del hombre.
L . K ronecker (1823-1891)
Unidad 2
Números naturales y enteros
Objetivos
mat emát ic as 1
2.1. Los números naturales
L
os números naturales son los números que nos sirven para contar. Se representan con el
símbolo N y contienen los siguientes elementos: N = {0, 1, 2, 3,...} .
Pero, ¿cuándo y en dónde surge una idea clara de ellos?Ésta es una pregunta que no es posible
contestar por completo a pesar de las distintas investigaciones que se han llevado a cabo entre las
lenguas primitivas de la raza humana. Por ejemplo, sabemos que entre las tribus bárbaras no había
familiaridad con el concepto de número y son varios los estudios (tribus de la selva de Brasil o de
Australia) que avalan que los conocimientos no llegaban más allá del 1 y 2 ó del 1, 2 y 3. Estos hechos
han disuadido a los matemáticos de su intento por ubicar el origen de los números en épocas muy
remotas. Con relación a los métodos de numeración, el más antiguo, y aparentemente universal en
todos los tiempos, es la idea de contar con los dedos. Esto lo puedes apreciar en los niños: pídele a
uno que cuente e instintivamente recurrirá a ellos. H istóricamente pueden existir algunas variantes,
como sucede con ciertas tribus del Amazonas, que en lugar de contar con los dedos, lo hacían con
las articulaciones de los mismos, de ahí que se limitaran a contar hasta el número 3.
Es interesante saber que aun cuando los hombres ya dominaban el concepto de número,
tardaron mucho tiempo en aprender a usar los signos para representarlo. Si nos remontamos a Egipto,
al año 3000 a. C., podemos observar que los egipcios, debido a sus necesidades comerciales, habían
establecido un conjunto de numerales con los que podían expresar números de varios valores diferentes,
desde las unidades hasta cientos de miles. Desde aquella época hasta nuestros días los numerales han
cambiado mucho, pero las ideas básicas se han mantenido constantes. A nosotros nos corresponde
estudiar las propiedades de los números bajo la perspectiva actual. Por tal motivo la siguiente sección
se refiere directamente a las propiedades de las operaciones con los números naturales.
2.2. Operaciones con los números naturales
2.2.1. Suma y resta
Observa el comportamiento de expresiones como:
a) 8+ 5
b) 5+ 8
c) 12 – 4
d) 4 –12
Aun cuando resolver estas operaciones representa un trabajo sumamente ligero, con el fin de
allanar el terreno para otros casos no tan triviales, nos apoyaremos en una gráfica para resolverlas:
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Unidad 2
+5
+ 8
8
0
5 8
8+ 5= 13
–4
5
13
0
4
12
13
5+ 8= 13 N
N
–12
5 8
0
8 12
12 – 4= 8 N
–8
0 4
4 –12= –8 N
Por medio de estos ejemplos podemos observar que si se tiene un número natural y se le
suma otro, el resultado es un número natural (propiedad de cerradura). Sin embargo, con las
restas de naturales no siempre sucede esto. Análogamente, intuimos que si se suman dos números
naturales, el orden no afecta el resultado de la suma (propiedad conmutativa), pero en el caso
de la resta sí. Estas características son dos propiedades de la suma de números naturales, cuyos
enunciados formales son los siguientes:
Propiedad de cerradura para la suma de números naturales. Si a
entonces a+ b N .
N yb
N,
Si se suman dos números naturales, el resultado esun número natural.
Propiedad conmutativa para la suma de números naturales. Si a
entonces a+ b= b+ a.
N yb
N,
Si a se le suma , el resultado es igual que si a se le suma .
Esto se puede ver así:
+
Figura 2.1.
a
=
+
b
=
+
b
+
a
Propiedad asociativa para la suma de números naturales. Si a, b, c
a+ (b+ c)= (a+ b)+ c.
N , entonces
Al sumar 3 números naturales , y , es lo mismo sumar primero
con y luego sumar , que sumar primero con y luego sumar .
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mat emát ic as 1
Esto lo podemos ver así:
+
Figura 2.2. [
a
+
+
b
] +
=
c
=
+
+
a
+ [
b
+
c
]
Cuando empezamos esta unidad establecimos que 0 N y sabemos por cursos anteriores
que si a N , entonces a+ 0 = a. N o todos los autores lo consideran así, y muchos de ellos excluyen
al cero de los números naturales. N osotros, sí lo incluimos.
¿Existe algún número natural que al sumárselo a otro no lo altere? L a respuesta es sí y es
nuestra siguiente propiedad:
Elemento neutro aditivo de los números naturales. Existe un elemento n en N, tal que
a+ n = a para todo a número natural. D icho elemento n es el número 0.
Ejercicio 1
1. Judith ha colocado 3 objetos en su mochila, luego sacó 1, después guardó 4, luego sacó su lápiz y su
monedero y por último guardó su cuaderno. ¿Cuántos objetos tiene en su mochila? _______________.
2. La distancia entre la casa de Pepe y la de M ario es de 300 m. Si Pepe salió de su casa y caminó hacia
la de Mario 52 m, luego regresó 17 m porque se le había caído su pluma, después avanzó 25 m y se
detuvo a comprar unas cosas en la tienda, por último avanzó 78 m y platicó con un vecino, ¿cuántos
metros ha recorrido y cuántos le faltan para llegar a la casa de Mario?______________________________.
3. Considera el ejercicio anterior. Si Pepe ha recorrido 89 m de su casa a la de M ario y M ario ha
recorrido 72 m de su casa a la de Pepe, ¿qué distancia los separa?_________________________________.
4. 2+ 105+ 3+ 12–5+ 8–3= _______________________________________________________________________.
5. 16–3+ 11–4–2+ 8 = ____________________________________________________________________________.
2.2.2. Multiplicación
L a multiplicación no es otra cosa que una suma abreviada. Si consideramos la multiplicación
como una suma abreviada de naturales, la siguiente propiedad resulta inmediata:
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Unidad 2
Propiedad de cerradura para la multiplicación de números naturales. Si a N y b N ,
entonces, a b N . Si se multiplican dos números naturales, el resultado es un número natural.
significa sumar veces .
Además a b= b a. ¡El resultado no se altera! Esto no debe sorprendernos si seguimos
considerando la multiplicación como una suma abreviada.
2 × 3 = 3 × 2.
Ejemplos:
1.
5×3=3+3+3+3+3=15
Suma 5 veces 3
Figura 2.3. Este arreglo representa
ó
3×5=5+5+5=15
Suma 3 veces 5
Figura 2.4. Este arreglo representa
El enunciado formal de esta propiedad es:
Propiedad conmutativa para la multiplicación de números naturales. Para todo a N
y b N , entonces a b = b a.
Si se multiplica por es lo mismo
que se multiplique por .
“El orden de los factores no
altera el producto”.
H aciendo analogías con las propiedades de la suma, la siguiente a considerar sería la
asociatividad, por lo que resulta natural preguntarse si ésta se satisface con la multiplicación. L a
respuesta es ¡sí! y su enunciado formal y justificación aparecen a continuación:
62
mat emát ic as 1
Propiedad asociativa para la multiplicación de naturales.
Para todo a, b, c N , a · (b · c) = (a · b) · c
Al multiplicar 3 números naturales , y , lo mismo es multiplicar primero
con y después por , que multiplicar primero con y luego por .
L a propiedad asociativa puede ilustrarse fácilmente a través de la idea de puntos. Veamos
un ejemplo y comprobemos que: 2(3 · 4)= (2 · 3)4.
Gráficamente la operación 2(3 · 4) la podemos representar como un prisma rectangular
(una caja), como se muestra en la figura 2.5. ¿Cuántos puntos se necesitan para “ armar” la caja?
En total 24 puntos.
Figura 2.5.
· 4).
Ahora consideremos el producto (2·3)4 e interpretémoslo gráficamente como se muestra
en la figura 2.6. ¿Cuántos puntos se necesitan para “ armar” la caja? I gual que en el caso anterior,
se necesitan 24 puntos.
Figura 2.6.
· 3)4.
En general la representación gráfica de a · (b · c) es la misma que la de (a · b) · c. L a única
diferencia es la posición. Por lo tanto, a · (b · c) = (a · b) · c.
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Unidad 2
Continuemos con las propiedades de la multiplicación de naturales.
¿Existe algún elemento en los números naturales que al multiplicarlo por cualquier otro
natural no lo altere? ¡Sí!:
Elemento neutro multiplicativo de los números naturales. Existe un elemento n
tal que a n= n para todo número natural a. D icho elemento n es el número 1.
N,
H asta aquí hemos estudiado algunas de las propiedades de la suma y de la multiplicación de
naturales, pero siendo estas dos operaciones parientes tan cercanas, no podía faltar una propiedad
conjunta:
Pr opiedad dist r ibut iva de los númer os nat urales. Para todo a, b, c, N ,
a (b+ c)= (a b)+ (a c). La propiedad distributiva se refiere a repartir la multiplicación sobre la
suma de naturales. Es lo mismo sumar primero b con c y después multiplicar por a, que multiplicar
a por b, luego a por c y posteriormente sumar estos dos resultados.
Retomemos el ejemplo con las figuras para comprobar que 2· (3 + 5) = (2 · 3) + (2 · 5).
+
+
+
·
· 5)
Figura 2.7.
Por lo tanto, 2·(3 + 5)= (2·3) + (2·5).
En general la propiedad se establece como a ·(b + c) = (a · b) + (a · c).
Con esta propiedad sucede un fenómeno curioso: a pesar de que claramente se establece
con base en una igualdad, tendemos a utilizarla sólo de un lado:
Ejemplos:
2. 5 · (3+ 2) = (5 · 3) + (5 · 2) = 15 + 10 = 25
Nadie discutirá que aquí se aplicó la propiedad distributiva.
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mat emát ic as 1
Sin embargo, es común que se cause cierto descontrol cuando se asegura que la validez de
la siguiente igualdad (5 · 3) + (5 · 2) = 5 · (3+ 2) está basada en la misma propiedad distributiva.
Si sabemos que una igualdad tiene tanto camino de ida como de regreso, al proceder con la
operación (5 · 3) + (5 · 2) = 5 · (3+ 2) se está aplicando “ el regreso” .
Si nos adelantamos un poco, estaremos de acuerdo con que
esto también se conoce como factorización:
3. L a propiedad distributiva se puede aplicar para efectuar cálculos mentales.
a) 5 · 32 = 5 · (30 + 2) = (5 · 30) + (5 · 2) = 150 + 10 = 160
b) 4 · 19 = 4 · (20 – 1) = (4 · 20) – (4 · 1) = 80 – 4 = 76
Tabla 1. Resumen de las propiedades de las operaciones básicas con números naturales.
a, b, c
N
1. Cerradura
4. D istributividad
a+ b
a(b + c) = ab + ac
a· b
N
N
2. Conmutatividad
5. Existencia de elementos neutros
a + b= b+ a
a· b= b· a
a) Elemento neutro aditivo
0 N , tal que a + 0 = a
3. Asociatividad
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
Nota: Recuerda que el símbolo
b) Elemento neutro multiplicativo
1 N , tal que a · 1 = a
se lee como “para todo...” y
como “existe al menos un...”
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Unidad 2
Ejercicio 2
En cada uno de los siguientes procedimientos escribe la propiedad que justifica cada paso.
1. (5+ 2)3 = 3(2+ 5)
= 6+ 15
= 6+ 15+ 0
2. 3(4 5) = (3 · 4) · 5
= 3(3+ 1) 5
= (9+ 3) 5
= 21
= 45+ 15
= 60
3. 3 · 4(2 + 6) = 3(4(2 + 6))
= 3(8+ 24)
= 3(8(1+ 3))
= (3 · 8)(1 + 3)
D escribe cómo efectuarías mentalmente los siguientes cálculos:
4. 45 · 5____________________________________________________________________________________________.
5. 15 · 7____________________________________________________________________________________________.
2.3. Otras características de los números naturales
2.3.1. Números pares y números impares
Al conjunto de los naturales lo podemos dividir en dos subconjuntos disjuntos: N úmeros
pares y números impares. Sus características son las siguientes:
Números
naturales.
Números pares.
Figura 2.8.
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Números impares.
mat emát ic as 1
Un número m es par, si es el doble de un natural.
El cero es par.
m es par si tiene mitad entera.
Un número m es impar, si no es par.
El cero no es impar.
m es impar si no tiene mitad entera.
Un número es impar si su última cifra es
1, 3, 5, 7 y 9.
Un número es par si su última cifra es
cero, 2, 4, 6 u 8.
Figura 2.9. No existe número alguno que sea par e impar a la vez.
Podemos hacernos preguntas como: ¿la suma de dos números impares es impar? ¿L a suma
de un impar más par es impar o par? ¿El producto de impar por par es par o impar?
Para responder estas preguntas basta considerar la última cifra de la derecha en los números
que se operan y en su resultado. Por ejemplo: 25( impar) + 32( par) = 57.
25 termina en 5, 32 termina 2 y el resultado 57 termina en 7. Considerando sólo las
terminaciones tenemos: 5+ 2= 7; observamos entonces que el resultado es impar.
L as tablas que aparecen abajo muestran el dígito que queda en la terminación cuando se
suman o multiplican números con las terminaciones que indican la columna de la izquierda y el
primer renglón. La operación que se efectúa es la que aparece en la esquina superior izquierda.
1 3 5 7 9
+ 0 2 4 6 8
1 2 4 6 8 0
1 1 3 5 7 9
1 0 2 4 6 8
3 4 6 8 0 2
3 3 5 7 9 1
3 0 6 2 8 4
5 6 8 0 2 4
5 5 7 9 1 3
5 0 0 0 0 0
7 8 0 2 4 6
7 7 9 1 3 5
7 0 4 8 2 6
9 0 2 4 6 8
9 9 1 3 5 7
9 0 8 6 4 2
Impar + par = impar.
Impar x par = par
+
Impar + impar = par.
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Unidad 2
Ejercicio 3
1. ¿(par + par) = par?_____________________________________________________________________________.
2. ¿(par + par) + impar = impar?________________________________________________________________.
3. ¿(par) (impar) = impar?_______________________________________________________________________.
4. ¿(par + impar) par = impar?__________________________________________________________________.
5. ¿(par impar) + impar = impar?______________________________________________________________.
6. ¿(impar impar) impar = impar?____________________________________________________________.
2.3.2. Números primos
Compara los números que aparecen en la primera lista con los de la segunda, tratando de
encontrar para cada uno de ellos 2 números naturales que al multiplicarlos te den como resultado
3
4
11
12
17
25
23
37
el número que seleccionaste.
Por ejemplo:
3= 1·3
Existe un único par de naturales que al multiplicarlos dan 3.
38
12= 1·12= 2·6= 3·4
37= 1·37
Existe másde un par de naturales que al multiplicarlos dan 12.
Existe un único par de naturales que al multiplicarlos dan 37.
46
46= 1·46= 2·23
Existe más de un par de naturales que al multiplicarlos dan 46.
Generalizando:
D ado un número natural m, si a y b son naturales tales que m = a · b, entonces a y b se
llaman factores de m, y m es múltiplo de a y de b.
Por ejemplo: los factores de 12 son: 2, 6; 3, 4; 1, 12; 2, 2, 3. L os factores de 37 son sólo
1 y 37.
L os números que sólo tienen como factores a ellos mismos y a la unidad se llaman números
primos; los que tienen además de estos factores a otros se les llama números compuestos.
Por convención, 0 y 1 no son primos.
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mat emát ic as 1
Empecemos con las preguntas: ¿existe un número que sea primo y par a la vez? Sabemos
que si un número n es par n = 2p para un p N. Por lo tanto, la única forma de que un número
par sea primo es que p = 1, por lo que concluimos que:
Existe un único número que es par y primo a la vez: el 2.
L os números pares excepto el 2, son números compuestos.
Números primos.
Números naturales.
{ 0,1}
Números compuestos.
D avid Slowinski y Paul Gage, ambos estadounidenses, descubrieron en el año de 1994, el
hasta entonces mayor número primo conocido. Este gigante consta de 258 716 cifras y es el número
28 5 9 4 3 3 –1. En la siguiente tabla te presentamos los números primos entre 1 y 5 000 (no incluye
estos dos números).
Tabla 2. Números primos entre 1 y 5 000
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
211
223
227
229
233
239
241
251
257
263
269
271
277
281
283
293
307
311
313
317
331
337
347
349
353
467
479
487
491
499
761
769
773
787
797
503
509
521
523
541
547
557
563
569
571
577
587
593
599
809
811
821
823
827
829
839
853
857
859
863
877
881
883
887
601
607
613
617
619
631
907
911
919
929
937
1063
1069
1087
1091
1093
1097
1103
1109
1117
1123
1129
1151
1153
1163
1171
1181
1187
1193
1201
1213
1217
1223
1229
1231
1237
1409
1423
1427
1429
1433
1439
1447
1451
1453
1459
1471
1481
1483
1487
1489
1493
1499
1511
1523
1531
1543
1549
1553
1559
1567
1709
1721
1723
1733
1741
1747
1753
1759
1777
1783
1787
1789
1801
1811
1823
1831
1847
1861
1867
1871
1873
1877
1879
1889
1901
2063
2069
2081
2083
2087
2089
2099
2111
2113
2129
2131
2137
2141
2143
2153
2161
2179
2203
2207
2213
2221
2237
2239
2243
2251
2389
2393
2399
2411
2417
2423
2437
2441
2447
2459
2467
2473
2477
2503
2521
2531
2539
2543
2549
2551
2557
2579
2591
2593
2729
2731
2741
2749
2753
2767
2777
2789
2791
2797
2801
2803
2819
2833
2837
2843
2851
2857
2861
2879
2887
2897
2903
2909
3109
3119
3121
3137
3163
3167
3169
3181
3187
3191
3203
3209
3217
3221
3229
3251
3253
3257
3259
3271
3299
3301
3307
3313
3463
3467
3469
3491
3499
3511
3517
3527
3529
3533
3539
3541
3547
3557
3559
3571
3581
3583
3593
3607
3613
3617
3623
3631
3637
3803
3821
3823
3833
3847
3851
3853
3863
3877
3881
3889
3907
3911
3917
3919
3923
3929
3931
3943
3947
3967
3989
4001
4003
4157
4159
4177
4201
4211
4217
4219
4229
4231
4241
4243
4253
4259
4261
4271
4273
4283
4289
4297
4327
4337
4339
4349
4357
4363
4547
4549
4561
4567
4583
4591
4597
4603
4621
4637
4639
4643
4649
4651
4657
4663
4673
4679
4691
4933
4937
4943
4951
4957
4967
4969
4973
4987
4993
4999
4703
4721
4723
4729
4733
69
Unidad 2
Tabla 2. Números primos entre 1 y 5 000
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
173
179
181
191
193
197
199
359
367
373
379
383
389
397
401
409
419
421
431
433
439
443
449
457
461
463
641
643
647
653
659
661
673
677
683
691
701
709
719
727
733
739
743
751
757
941
947
953
967
971
977
983
991
997
1009
1013
1019
1021
1031
1033
1039
1049
1051
1061
1249
1259
1277
1279
1283
1289
1291
1297
1301
1303
1307
1319
1321
1327
1361
1367
1373
1381
1399
1571
1579
1583
1597
1601
1607
1609
1613
1619
1621
1627
1637
1657
1663
1667
1669
1693
1697
1699
1907
1913
1931
1933
1949
1951
1973
1979
1987
1993
1997
1999
2003
2011
2017
2027
2029
2039
2053
2267
2269
2273
2281
2287
2293
2297
2309
2311
2333
2339
2341
2347
2351
2357
2371
2377
2381
2383
2609
2617
2621
2633
2647
2657
2659
2663
2671
2677
2683
2687
2689
2693
2699
2707
2711
2713
2719
2917
2927
2939
2953
2957
2963
2969
2971
2999
3319
3323
3329
3331
3343
3347
3359
3361
3371
3373
3389
3391
3001
3011
3019
3023
3037
3041
3049
3061
3067
3079
3083
3089
3407
3413
3433
3449
3457
3461
3643
3659
3671
3673
3677
3691
3697
3701
3709
3719
3727
3733
3739
3761
3767
3769
3779
3793
3797
4007
4013
4019
4021
4027
4049
4051
4057
4073
4079
4091
4093
4099
411
4127
4129
4133
4139
4153
4373
4391
4397
4409
4421
4423
4441
4447
4451
4457
4463
4481
4483
4493
4507
4513
4517
4519
4523
4751
4759
4783
4787
4789
4793
4799
4801
4813
4817
4831
4861
4871
4877
4889
4903
4909
4919
4931
Ejemplos:
Si m se descompone como m = 1 · m, entonces decimos que su descomposición es trivial,
o que sus factores son triviales.
4. 24 es un número compuesto, porque además de tener como factores a 1 y 24, tiene por
ejemplo a 3 y 8; ó 2 y 12; ó 4 y 6. Por lo tanto podemos decir que: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 son
factores de 24, o bien que 24 es múltiplo de ellos.
Consideremos de nuevo el número 24. Con él podemos observar que un número compuesto
puede descomponerse como producto de más de dos factores.
24 = 2 12
2
2 4 3 = 2·2·2·3
3
Cuando cada uno de losfactores esun número
primo ya no es posible descomponerlo en más.
Otro ejemplo puede ser 105 = 5 · 21 = 5 · 3 · 7.
5, 3 y 7 son números primos, entonces
no es posible descomponerlo más.
70
mat emát ic as 1
Podemos resumir esta idea como: todo número natural mayor o igual que 2 puede
descomponerse en factores primos. N otarás que el 0 y el 1 han quedado excluidos de esta propiedad.
¿Por qué? Porque no existen dos números primos cuyo producto sea 0 ó 1.
La forma usual para descomponer en factores un número es por medio del siguiente arreglo:
Por ejemplo, la descomposición del 24 se efectúa como sigue:
Número resultante:
24
12
6
3
Primo por el que se divide:
2
2
2
3
1
Cuando obtengas un 1,
el proceso ha terminado.
El producto de los números de esta columna es la
descomposición en factores primos: 24 = 2 · 2 · 2 · 3
L a descomposición en factores primos podemos efectuarla con un esquema más sencillo.
Por ejemplo, el recuadro de la derecha muestra la factorización de 105.
Número resultante:
105
21
3
1
Primo por el que se divide:
5
7
3
105= 3 5 7
Ejercicio 4
D etermina si cada uno de los siguientes números es primo o compuesto:
1. 323______________________________________________________________________________________________.
2. 253______________________________________________________________________________________________.
3. 143______________________________________________________________________________________________.
4. M aría ha extraviado $31.00 y para evitar una reprimenda ha pensado decir que los gastó en la
compra de lápices para la escuela. Su mamá sólo recuerda que los lápices cuestan más de $1.00 y
que la cantidad es cerrada. ¿Creerá la historia de M aría?___________________________________________.
71
Unidad 2
5. José tiene $18.00 destinados para comprar golosinas y ha decidido gastar exactamente esta cantidad.
Si los tipos de golosinas y sus precios son: caramelos, $3.00 y chiclosos, $2.00, ¿de cuántas formas
puede gastar su dinero y cuántas golosinas de cada tipo puede comprar en cada caso?_______________
_____________________________________________________________________________________________________.
El teorema más importante relacionado con los números naturales es el siguiente:
Teorema fundamental de la aritmética. Todo número natural diferente de 0 ó 1 puede
descomponerse como producto de factores primos (la descomposición es única).
D ecir que la descomposición de un número natural en factores primos esúnica significa que
si encuentras una forma de descomponer un número ya no es posible que encuentres otra, excepto
por el orden en que acomodes los factores.
Ejemplos:
5. La descomposición en factores primos de 317 520 está dada como se muestra en la tabla:
317 520
158 760
79 380
39 690
19 845
6 615
2 205
735
245
49
7
1
2
2
2
2
3
3
3
3
5
7
7
Por lo tanto, 317 520= 2 2 2 2 3 3 3 3 5 7 7.
H emos observado que las descomposiciones pueden tener factores primos repetidos y en
ocasiones “ muy repetidos” como sucede con el ejemplo:
64 800= 2 2 2 2 2 3 3 3 3 5 5
L a pregunta es inmediata y más que natural: ¿existe alguna otra forma para expresar esta
descomposición? ¡sí! Con la potencia de números naturales, que se aborda precisamente en la
siguiente sección.
6. ¿Se podrán repartir 7 315 objetos en 8 cajas, de tal forma que todas contengan lo mismo?
La única manera de que esto suceda es cuando 8 es un factor de 7 315, pero 7 315= 5 7 11 19
Por lo tanto, no es posible.
72
mat emát ic as 1
Ejercicio 5
Encuentra la descomposición en factores primos de los siguientes números:
1. 2 310 = _________________________________________________________________________________________.
2. 9 900 = _________________________________________________________________________________________.
3. 5 400 = _________________________________________________________________________________________.
4. 5 291 = _________________________________________________________________________________________.
5. Se pretende gastar exactamente $130 321 en comprar 11 objetos que cuestan lo mismo y donde
el precio de cada uno es una cantidad cerrada, ¿es posible?___________________________________________.
6. ¿Se podrán repartir 2 564 cuadernos entre 19 niños, de tal forma que a todos les toque la misma
cantidad y que no sobre ninguno?_________________________________________________________________.
2.4. Potencia de un número natural
Potencia de un número natural
Cuando un número a se multiplica por sí mismo n veces, en lugar de escribir
puede utilizar la notación an.
Si a, n
n veces
a a ... a
se
N , entonces a a a ... a en donde hay n factores de a, se escribe como an y se lee
como “a a la n” . También se dice que a está elevada a la n–ésima potencia. a se llama base y n se
llama exponente.
U tilizando esta nueva noción podemos escribir:
64 800= 2 2 2 2 2 3 3 3 3 5 5= 25 34 52
Aprovechemos esta notación tan compacta para dar una nueva “ versión” del Teorema
Fundamental de la Aritmética:
Todo número natural diferente de 0 ó 1, puede descomponerse como producto de potencias
de primos.
Propiedades de los exponentes
¿Cuánto es 23 24? 23 24 = (2
, entonces 23 24 = 23+ 4 = 128.
73
Unidad 2
Generalicemos este procedimiento. Considera los números naturales a, n y m, y efectúa la
multiplicación an am. Esto se hace como:
an am
( aa ... a)( aa ... a)
n
m
veces veces
aa...a
n m
veces
an
m
H emos obtenido la regla de las potencias con bases iguales.
Regla 1. Bases iguales. Potencias con bases iguales, se suman sus exponentes: anam = an+ m.
Ahora veamos qué sucede cuando los exponentes son iguales:
22 32 = (2 2)(3 3) = (2 3) 2 = 36
Generalizando este procedimiento obtenemos que si a, b y n son naturales, entonces
an bn
( aa...a)( bb...b)
n
n
veces veces
abab...ab ( ab) n
n
veces
Las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación nos
permiten agrupar los factores en esta forma.
Así, hemos obtenido la regla de potencias con exponentes iguales.
Regla 2. Exponentes iguales. En potencias con exponentes iguales, se multiplican las
bases y el exponente queda igual: anbn= (ab) n
Potencia de potencias
¿Cómo se afectan la base o los exponentes cuando una potencia se eleva a otra potencia?
Veamos un ejemplo:
( 4 2 )3
( 4 2 )( 4 2 )( 4 2 )
42
2 2
4( 2 )( 3)
46
4 096.
3 veces
Generalizando este procedimiento obtenemos que si a, n y m son naturales, entonces:
74
mat emát ic as 1
( an ) m
an an ...an
m
veces
m
veces
( a...a)( a...a) ...( a...a)
n
n
n
veces veces veces
m
veces
a (n
n ... n)
amn
Como tenemos bases igualespodemos sumar losexponentes directamente.
Regla 3. Potencia de potencias. La potencia de una potencia se obtiene multiplicando
los exponentes (an) m = anm
Ejemplos:
7. 5452 = 54+ 2 = 56.
8. (32) 3 = 32
2 2
9. 7 2 = (7
10.
2
= (33) 2(22) 2
(33
= 36
Regla 1.
.
Regla 3.
¡Cuidado!
Se acepta.
00 no
está
a0=1
a 0
. Regla 2.
Regla 2.
Regla 3.
11. Cierto tipo de bacterias tienen como fórmula de crecimiento:
(población original) número de horas
El número de horas no debe exceder de 5. Si la población original es de 89 bacterias, ¿cuál
es la población después de tres horas?
Solución. D espués de 3 horas la población es (89) 3 = 704 969 bacterias.
12. El consejero sabio
D icen que cierto monarca quedó tan complacido con uno de su consejeros que le prometió
cualquier cosa que pidiera. El consejero sabía que el Rey no era amante del arte y que en su salón
de reuniones contaba con apenas 15 pinturas, por lo que respetuosamente dijo: “ me gustaría, su
M ajestad, tener los centenarios suficientescomo para colocar en cada pintura de su salón de reuniones las
monedas en la siguiente forma: en la primera pintura 1 centenario; en la segunda, 3; en la tercera, 9;
en la cuarta, 27; en la quinta, 81 y así sucesivamente hasta llegar a la última pintura que es la número
75
Unidad 2
15” . El rey ordenó traer uno de sus cofres de centenarios. Sin embargo, sus sirvientes no llevaban
ni siquiera la mitad de las pinturas con los centenarios distribuidos en la forma requerida por el
consejero, cuando tuvieron que ir por otros cofres de monedas. Preocupado el rey pidió a uno de
sus súbditos hacer los cálculos y éste procedió como sigue:
Número de
pintura
1
2
3
4
5
6
7
8
. . .
11
12
13
14
15
1
3
32
33
34
35
36
37
. . .
310
311
312
313
314
Centenario
por pintura
Por lo tanto el total de centenarios es:
1 + 3 + 32+ 33+ 3 4+ 35+ 3 6+ 3 7+ ... + 313 + 314
Con ayuda de una calculadora encontramos que el número de centenarios que el rey debe
dar a su consejero es 7 174 453. Verifica este resultado.
Ejercicio 6
Calcula:
1. 3532 = ___________________________________________________________________________________________.
2. 7253 = ___________________________________________________________________________________________.
3. 4353 = ___________________________________________________________________________________________.
4. (32) 3 = __________________________________________________________________________________________.
5. (43
________________________________________________________________________________________.
6. ¿Cuántos centenarios pediría el consejero del ejemplo 12, si en el salón hubiera sólo 5 pinturas
y él hubiera pedido 1 centenario por la primera pintura; 2 por la segunda; 22 por la tercera; 23 por
la cuarta y 24 por la quinta?_______________________________________________________________________.
2.5. Prioridad entre operaciones
Para terminar el tema de los números naturales estableceremos la jerarquía entre las
operaciones. Estas prioridades son válidas con cualquier tipo de números, por tal motivo, aun
cuando no se ha estudiado el concepto de raíz éste aparece en la tabla 3.
76
mat emát ic as 1
Conocer qué operación pesa más sobre otra simplifica, en la mayoría de los casos, la notación
matemática.
Tabla 3. Orden en las operaciones aritméticas.
Prioridad 1:
Agrupación.
Prioridad 2:
Potencia, Raíz.
Prioridad 3:
Multiplicación, División.
Prioridad 4:
Suma, Resta.
U na forma sistemática para efectuar operaciones tanto aritméticas como algebraicas es que
procedamos como sigue: empieza tus desarrollos de izquierda a derecha, resolviendo primero todas
las raíces y las potencias, después todas las multiplicaciones y las divisiones. Por último resuelve
todas las sumas y restas. Si en tu expresión aparecen símbolos de agrupación, inicia con ellos y ten
presente que tienen prioridad sobre cualquiera de las operaciones indicadas.
Ejemplos:
13. 4+ 5 40–12÷ 4= 4+ 200–3= 204 – 3= 201.
Se inició con la multiplicación y con
la división.
Observa las diferencias que marca un simple paréntesis.
4+ 5(40 –12)÷ 4= 4+ 5 28÷ 4= 4+ 140÷ 4= 4+ 35= 39
Se empieza con la agrupación y
luego se procede de acuerdo con
la tabla 3.
También es importante destacar que si en una expresión aparecen dos operaciones que tienen la
misma prioridad, se puede efectuar primero cualquiera de ellas y posteriormente la otra, sin que por
esto se afecte el resultado. En el ejemplo anterior optamos por seguir el procedimiento sistemático
y por tal motivo resolvimos primero 5
4 5( 40 12) 4
4 5 28 4
en lugar de 28÷ 4. Ahora hagámoslo al revés:
4 5 7
4 35
39
El resultado no se altera porque la multiplicación y la división tienen la misma prioridad.
¡Peligro!
¡Cuidado con los símbolos de agrupación! Un simple paréntesis puede marcar una gran
diferencia.
77
Unidad 2
14. Eliminaremos todos los símbolos de agrupación que no sean necesarios para simplificar
la expresión:
3+ (27÷ 9)–2+ 5(12 – 4) = 3+ 27÷ 9 – 2+ 5(12–4).
El paréntesis le da
prioridad al –. No
se puede eliminar.
tiene prioridad
sobre + y –
Ejercicio 7
1. 2+ 56 2+ 204÷ 3+ 5= ___________________________________________________________________________.
2. 3+ 43+ (6–2) 7___________________________________________________________________________________.
3. L a sra. M ejía ha hecho los siguientes movimientos en su chequera: el domingo giró un cheque
por $350.00, el lunes depositó $500.00 y giró un cheque por $172.00 y otro por $53.00. El martes
depositó $302.00. El miércoles giró cheques por $45.00. El jueves no hizo movimiento alguno. El
viernes giró un cheque por $80.00. ¿Cuál es su incremento o decremento en su cuenta de cheques
en esta semana?_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________.
4. En un concurso de televisión el participante debe contestar 5 preguntas y empieza con 15 puntos.
Por cada respuesta errónea se le descuentan 3 puntos y por cada acierto se le aumentan 4. Al final
del concurso la cantidad de puntos acumulados se multiplica por 12 y ésa es la cantidad de dinero
en pesos que recibe. Si un concursante acertó 3 respuestas, ¿cuánto dinero recibirá? ______________
_____________________________________________________________________________________________________.
5. L a administración de un hotel solicitó a su proveedor los siguientes artículos: Tres televisores de
$1 350.00 cada uno, 12 tapetes para baño de $82.00 cada uno, 7 lámparas de noche de $325.00
cada una. ¿Cuánto debe pagar por todos los artículos?______________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________.
78
mat emát ic as 1
2.6. Construcción de los enteros
L os números enteros forman un conjunto que contiene los números naturales, por lo que
no debe sorprenderte que muchas de las propiedades que ya estudiamos aparezcan de nuevo en
esta sección, aunque con una variante importante.
El primer problema con el que nos topamos en esta unidad fue el de la resta de naturales;
observamos que al restar dos naturales a y b, en ocasiones a–b sí es un natural y en otras no. Quizás
esto no te parezca tan terrible, pero desde el punto de vista de las matemáticas
sí lo es. Cuando en esta disciplina se define una operación, se debe especificar
¿Por qué
el tipo de conjunto del cual se tomarán los elementos que se van a operar y
sur gen los
se espera que los resultados de dichas operaciones pertenezcan a ese mismo
ent er os?
conjunto. Si reflexionas un poco y haces memoria, verás que esto no es otra
cosa que la cerradura para la operación. La resta de naturales causa problemas
precisamente porque no todos los resultados pertenecen al conjunto de los naturales. Una forma de
sortear esta dificultad es construyendo un conjunto que contenga los resultados de las operaciones que
se “portan bien”, como son la suma y la multiplicación, y también los resultados de las operaciones
que se “portan mal” . Claramente observamos que los elementos por añadir son los que aparecen en
situaciones como: 6 – 8= –2; 7–10= –3; 25 – 68= – 43, etc. Este nuevo conjunto que contiene al
–1, –2, –3, . . . y también a todos los números naturales se conoce como el conjunto de los números
enteros. Recuerda que para nosotros el cero está incluido en los naturales.
El conjunto de los números enteros se representa por Z y está dado como la unión:
Z = N { –1, –2, –3,...} .
A los elementos del conjunto { –1,–2,–3,...} se les llama enteros negativos. Su ubicación en
la recta numérica se encuentra a la izquierda del cero.
Este conjunto se representará por Z –.
A los elementos del conjunto { 1, 2, 3, ...}
se les llama enteros positivos. Su ubicación en la
recta numérica se encuentra a la derecha del cero.
||||||||||||
+
Este conjunto se representará por Z .
Enterosnegativos. 0
Ambos conjuntos se muestran gráficamente
en la figura 2.10.
|| | | || | || | | |
El cero es un número entero, pero no es ni
positivo ni negativo.
0 Enterospositivos.
Figura 2.10. Enteros positivos y negativos.
79
Unidad 2
Observa que Z Z –
Por lo tanto, Z = Z –
Z + . ¿Por qué? Porque falta el cero.
Z+
{ 0} .
“ N uestro” conjunto de números naturales, N , también podemos llamarlo el conjunto de los
enteros no negativos. Decimos “ nuestro” porque no debes olvidar que algunos textos no incluyen
al cero como natural. N osotros, como mucho otros autores, decidimos que sí.
I lustremos algunas de estas ideas por medio de diagramas de Venn.
Figura 2.11. Z+ y Z – son subconjuntos de Z. 0 es elemento de Z.
El diagrama de Venn representa a los enteros como la unión
de enteros positivos, enteros negativos y el cero.
Z–
Z+
Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2,...}.
0
Z= Z
–
Z+
{ 0}
Z
N
Figura 2.12. El diagrama de Venn representa a los
naturales como un subconjunto de los enteros.
N
Z
N úmeros enteros
{
Positivos= { 1, 2, 3, ...} .
0 (cero).
N egativos= { ..., –4, –3, –2, –1} .
Pero, ¿todo número entero esnatural? ¡N o!, por ejemplo: –10.
L os enteros no aparecen por un simple capricho de las matemáticas, sino como un recurso
útil dentro de nuestras actividades cotidianas. Por ejemplo, cuando se menciona una temperatura
bajo cero, cuando se habla de profundidades bajo el nivel del mar o cuando se debe dinero, se
utilizan enteros negativos.
Estudiemos ahora las operaciones con números enteros.
80
mat emát ic as 1
2.7. Operaciones con números enteros
2.7.1. Suma y resta
Cuando construimos el conjunto de los enteros, la idea fue formar un conjunto que tuviera
como elementos todos los resultados posibles de la suma y resta de naturales. Sin embargo, ahora
que ya podemos hablar de números negativos, vale la pena destacar que restar un número a otro
es equivalente a sumarle su negativo: a – b = a + (–b). Por esta razón, cuando hablemos de sumas
de enteros quedará implícito el caso de la resta.
Por otra parte, sabemos que las ilustraciones aclaran las ideas y este tema no es la excepción,
así que echaremos mano de la recta numérica para hablar de la suma y resta de enteros.
–9
0
9
Figura 2.13. El cero es punto de referencia.
Como hemos mencionado con anterioridad, el cero es el punto de referencia. A su derecha se
encuentran los enteros positivos y a su izquierda los enteros negativos. Por ejemplo, –9 se encuentra
a 9 unidades a la izquierda de 0, como se muestra en la figura 2.13.
Para localizar un entero en la recta numérica lo primero que debes hacer es ubicar al 0. Si
el entero es positivo debes recorrer hacia la derecha tantas unidades como indique el número a
localizar. Si el entero es negativo se procede igual, pero tienes que recorrer hacia la izquierda.
D e lo anterior podemos afirmar que, para localizar números enteros en la recta numérica, es
suficiente conocer el número de unidades y el sentido hacia el cual hay que moverse. Para capturar
esta idea dentro del contexto de las matemáticas hablaremos de un nuevo concepto:
Valor absoluto de un entero. D esde el punto de vista gráfico, el valor absoluto de un entero
a es el número de unidades que hay desde el cero hasta la ubicación de a en la recta numérica.
Se representa por | a | .
4 unidades
Ejemplos:
15. | 4| = ?
0
1
2
3
4
Por lo tanto, | 4| = 4
81
Unidad 2
3 unidades
16. | –3| = ?
Por lo tanto, | –3| = 3
–3 –2 –1
0
1
0 unidades
17. | 0| = ?
Por lo tanto, | 0| = 0
–3 –2 –1
0
1
Figura 2.14. Valores absolutos de –3 y de 0.
¿Cómo afecta el valor absoluto a un entero?
Si el número es positivo o cero, lo deja igual.
Si el número es negativo, “ le quita” el signo menos.
Suma de enteros con signos iguales
Consideremos el caso de dos enteros positivos a y b. Como Z + N , no hay nada nuevo que
decir: los enteros positivos se suman igual que como se suman los naturales, porque son naturales.
Consideremos ahora dos enteros negativos a y b, por ejemplo: – 3 y – 5. Ubiquémoslos
en la recta numérica.
Para sumar –3 + (–5), a partir del cero recorremos 3 unidades a la izquierda y a partir de
este lugar geométrico recorremos 5 unidades más en el mismo sentido.
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
3 unidades a la izquierda
más
5 unidades a la izquierda
Figura 2.15.
¿Qué relación guarda el concepto de valor absoluto en todo esto?
Para sumar dos enteros a y b con signos iguales, se suman sus valores absolutos y el resultado
tendrá como signo el mismo que tienen los números que sumaste.
Con esto evitas hacer gráficas.
82
mat emát ic as 1
Ejemplos:
18. –3+ (–5)= ?
| –3| + | –5| = 3 + 5 = 8
Sumamos los valores absolutos.
Por lo tanto, –3+ (–5)= –8.
El resultado lleva el signo de los números que sumaste.
19. –2+ (–14)= ? | –2| + | –14| = 2+ 14 = 16. Entonces –2 + (–14) = –16
Suma de enteros con signos diferentes
Consideremos ahora dos enteros a y b con signos diferentes, por ejemplo: 3 y –5. Para
efectuar la suma 3 + (–5), recorremos 3 unidades a la derecha a partir del cero y a partir de este
lugar recorremos 5 unidades en el sentido opuesto (porque es –5).
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
3 unidades a la derecha
más
5 unidades a la izquierda
Figura 2.16.
L a gráfica muestra que 3+ (–5)= –2
¿Qué relación guarda todo esto con el concepto de valor absoluto?
Para sumar dos enterosa y b con signosdiferentes, al mayor valor absoluto se le resta el menor,
y el resultado es el número que obtuviste con el signo del entero que tuvo el valor absoluto más
grande.
Ejemplos:
20. 4+ (–2)= ? | 4| = 4, | –2| = 2, esto implica | 4| –| –2| = 4 – 2= 2. Al mayor valor absoluto
se le resta el menor. Por lo tanto 4 + (–2) = 2.
El signo es+ (no se escribe). El signo del número de valor absoluto másgrande es+ .
21. –14+ 10= ? | –14| –| 10| = 4. Entonces –14+ 10= – 4.
El signo es – porque el signo del número de valor absoluto más grande es–.
83
Unidad 2
22. Resulta un caso interesante sumar enteros con signos diferentes, pero con valores
absolutos iguales. Por ejemplo, –3 + 3.
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
3 unidades a la izquierda
más
3 unidades a la derecha
Figura 2.17.
Si deseas aplicar la idea de valor absoluto para resolver este tipo de ejercicios, el 3 es al mismo
tiempo el mayor y el menor valor absoluto, ya que | –3| = | 3| = 3. Y como signo puedes considerar
+ ó –, porque –0= + 0= 0.
Ejercicio 8
1. –13+ 22 = ______________________________________________________________________________________.
2. –25–18 = _______________________________________________________________________________________.
3. 7–34 = __________________________________________________________________________________________.
4. | 3–2+ 1– 4| = __________________________________________________________________________________.
5. 3–2+ 1– 4 = _____________________________________________________________________________________.
6. – | –24 –9–7+ 5| = ______________________________________________________________________________.
7. D urante una brusca onda fría la temperatura bajó 2°C en una hora; en la siguiente hora bajó 1°C,
en la tercera hora bajó 3°C, pero luego subió 2°C. ¿Cuál fue el cambio en la temperatura?________
_____________________________________________________________________________________________________.
8. U n espeleólogo había descendido verticalmente 416 m en la caverna Gouffe Berger, que es una
de las más profundas del mundo. En su ascenso el explorador subió 180 m, descendió otros 8 m,
ascendió 104 m y por último descendió 8 m. Tomando como punto de partida los – 416 m de
profundidad recorrida inicialmente, encuentra su posición final respecto a la superficie ____________
_____________________________________________________________________________________________________.
84
mat emát ic as 1
Todas las características que hemos notado a través de los ejemplos las podemos resumir
como sigue:
Si a, b Z entonces a+ b Z + , ó a+ b Z –, ó a+ b= 0. L o que significa que la suma de
enteros es un entero.
Propiedad de cerradura para la suma de números enteros. Si a, b
Z, entonces a+ b Z.
Otra de las propiedades de la suma de enteros es:
Propiedad conmutativa para la suma de números enteros. Si a, b Z, entonces a+ b= b+ a.
Si queremos verificar gráficamente ésta o cualquier otra propiedad que también satisfaga
los naturales, se procede de igual manera.
Propiedad asociativa para la suma de números enteros. Si a, b, c
a+ (b+ c)= (a+ b)+ c.
N , entonces
Existencia del elemento neutro aditivo. Existe 0 Z , tal que a + 0 = a, para todo a Z.
0 se llama el neutro aditivo de a.
U na propiedad que poseen los enteros y que no tienen los naturales es la que aparece en el
ejemplo 21: la suma de dos enteros con valores absolutos iguales y signos diferentes es cero.
Su enunciado se establece como:
Existencia del inverso aditivo. Para todo a Z, existe un – a Z, tal que a+ (–a)= 0. – a
se llama el inverso aditivo de a.
2.7.2. Multiplicación
Con la multiplicación de enteros sucede lo mismo que con la suma respecto a los naturales,
es decir, la multiplicación de enteros es cerrada, conmutativa y asociativa. En los enteros también
existe un elemento que al multiplicarlo por cualquier otro entero no lo altera y por supuesto en
este derroche de características no podía faltar la propiedad distributiva. L a verificación gráfica es
igual que para la multiplicación de naturales.
Propiedad de cerradura para la multiplicación de enteros. Para todo a, b
que a b Z .
Z , tenemos
85
Unidad 2
Propiedad conmutativa para la multiplicación de números enteros. Para todo a, b
Z,
tenemos que a b = b a.
Propiedad asociativa para la multiplicación de números enteros. Para todo a, b, c
tenemos que a b c
Z,
ab c
¿Existe algún elemento en los números enteros que al multiplicarlo por otro entero no lo
altere? ¡Sí!
El elemento neutro multiplicativo de los naturales también funciona para los enteros.
Elemento neutro multiplicativo de los números enteros. Existe un elemento n
Z ,
tal que a n = a para todo a número entero. D icho elemento n es el número 1.
Propiedad distributiva de los números enteros. Para todo a, b, c, Z , a (b+ c)= (a b)+ (a c).
H emos mencionado que la multiplicación de 2 números positivos, por ejemplo 3 y 5, la
podemos interpretar como: si hay 3 cajas de refrescos y cada caja contiene 5 envases, ¿cuántos refrescos
hay en total? La respuesta es calculada a través de: 3 5= 5+ 5+ 5= 15,
“ se tomó 3 veces el 5” . El significado del producto 3 (–5) puede darse de
manera análoga: 3 (–5)= (–5)+ (–5)+ (–5), “ se tomó 3 veces –5”. Pero
multiplicar
por un ent er o
negativo?
¿qué significa –3 5? Carecería de sentido decir que puede interpretarse
como “se tomó menos3 veces 5”. Con la finalidad de poder interpretar tanto
los productos –3 5 y – 3 (–5) consideremos el siguiente ejemplo:
23. Supongamos que está entrando agua en un tanque a razón de
3 l/min ; entonces podemos contestar las siguientes preguntas (l es
abreviatura de litro):
1. Dentro de 5 min, ¿cuántos litros más habrá en el tanque? 5min 3 l/ min= 15 litros más.
2. H ace 5 min, ¿cuántos litros menos había en el tanque? –5min 3 l/ min= –15 litros. Es
decir, 15 litros menos.
Ahora consideremos que el agua fluye fuera del tanque a razón de 3 l/min, es decir, –3 l/min.
Entonces podemos hacer las siguientes consideraciones:
3. Dentro de 5 min, ¿cuántos litros menos habrá en el tanque?5min (–3) l/ min= –15 litros.
Por lo tanto, la respuesta es 15 litros menos.
4. H ace5 min, ¿cuántoslitrosmáshabíaen el tanque?–5min (–3) l/ min= 15 litros. 15 litrosmás.
86
mat emát ic as 1
Regla de los signos para la multiplicación
Cuando multiplicas un número a por (–1) su ubicación en la recta numérica es en la posición
simétrica (lado opuesto) de donde estaba antes de multiplicarlo por (–1):
Figura 2.18.
multiplicación
Analicemos el caso particular de – (–1). Empecemos por ubicar el 1 en la recta numérica,
luego ubicaremos el –1 y, por último, el – (–1).
0
1
–1
0
1
–1
0
1
Figura 2.19.
Por lo tanto, –(–1)= 1, es decir, (–)(–) = + .
Regla de los signos para la multiplicación
(+ )(+ )= +
( –) ( –) = +
Signos iguales: +
( –) (+ )= –
(+ )(–)= –
Signos diferentes: –
Ejemplos:
24. (3)(5)= 15, signos iguales (+ ).
25. (–4)(3)= –12, signos diferentes (–).
26. –7(8 – 5)= – 7(3)= – 21
27. (3 – 1)(2 – 5) = (2)(–3) = –6
28. 7 – 2(4 – 1) + 8(3 – 5 + 1) = 7– 2(3) + 8(–1) = 7 – 6 – 8 = –7
Antes de iniciar la sección de ejercicios nos queda un detalle por considerar:
¿Cuándo un entero espar? ¿Cuándo es impar?
Para contestar estas preguntas basta que generalicemos la definición que ya tenemos para
naturales pares e impares:
U n entero a es par si es el doble de algún entero.
U n entero a es impar si no es el doble de algún entero.
87
Unidad 2
También se satisface que: un entero es par si termina en 0, 2, 4, 6 u 8. Un entero es impar
si termina en 1, 3, 5, 7, 9.
Ejercicio 9
1. En un tanque el agua entra a razón de 7 l/min. H ace 3 min, ¿cuántos litros menos había? ______
_____________________________________________________________________________________________________.
2. Al limpiar una piscina, el agua sale a razón de 4 l/s. D entro de 5 s, ¿cuántos litros menos habrá?
_____________________________________________________________________________________________________.
3. Encuentra una interpretación física para –2(3+ 5) _____________________________________________.
4. 5(3–10)–8(5–2)= ______________________________________________________________________________.
5. (3–10)(4+ 5)= __________________________________________________________________________________.
6. (2–5)(1–3)+ 7–3= ______________________________________________________________________________.
2.8. Máximo común divisor y mínimo común
múltiplo
Ahora que ya sabemos cómo descomponer en factores los números naturales (factorizarlos),
podemos introducir las nociones de máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
Consideremos los siguientes ejemplos de factorización:
18 = (2)(3)(3). Factores primos de 18: 2, 3, 3.
= (6)(3). Factores de 18: 6, 3.
= (2)(9). Factores de 18: 2, 9.
15= (3)(5). Factores primos de 15: 3, 5.
= (1)(15). Factores de 15: 1, 15.
= (1)(18). Factores de 18: 1, 18.
D ivisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18
D ivisores de 15: 1, 3, 5 y 15
3 es un divisor común de 18 y 15.
En general, si n= ab y m= ac, entonces a y b son divisores de n; a y c son divisores de m; a
es un divisor común de n y m.
88
mat emát ic as 1
El máximo común divisor de dos números naturales es el número natural más grande que
es factor de ambos. Si a, b N , el máximo común divisor de a y b se representa por (a,b).
También se acostumbra escribir sólo las iniciales: mcd.
El mcd de dos naturales podemos encontrarlo descomponiendo en factores primos ambos
números. El producto de los factores comunes entre las dos factorizaciones es el mcd.
Ejemplos:
1386
2
1254
29. Encontraremos el máximo común divisor de 1 386 y
693
3
627
1 254. Factoricemos 1 386 en factores primos y hagamos lo
231
3
209
mismo con 1 254.
77
7
19
L os factores primos comunes de 1 386 y 1 254 son:
11
11
1
(2)(3)(11). Por lo tanto, (1 386, 1 254)= 66.
1
30. Encontraremos el máximo común divisor de 68 992
y 6 160.
68 992= (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(7)(7)(11)
6 160= (2)(2)(2)(2)(7)(5)(11)
Por lo tanto, (68 992, 6 160) = (2)(2)(2)(2)(7)(11)= 1 232.
2
3
11
19
El 2 es un factor común de 68 992 y 6 160.
Paraformar el mcd, losfactoresseescriben tantasvecescomo son comunes.
Ahora consideremos los números 6 y 21. 6 es divisor de, por ejemplo: 12, 18, 24, 30, 36, 42 , 84
y 12, 18, 24, 30, 36, 42, 84 son sus múltiplos.
21 es divisor de (por ejemplo): 42 , 84, 105, 126, 147 y 42, 84, 105, 126,147 son sus múltiplos.
42 es un múltiplo de 6 y de 21, por lo tanto es un múltiplo común, de hecho es el menor.
84 es un múltiplo de 6 y 21, por lo tanto es un múltiplo común, pero no es el menor.
En general:
El mínimo común múltiplo de dos números naturales es el número natural más pequeño
del cual ambos números son factores.
Si a, b N , el mínimo común múltiplo de a y b se representa por [ a,b] .
También se acostumbra escribir sólo las iniciales: mcm.
El mcm de dos números naturales se puede encontrar factorizando ambos números en
factores primos, para luego formar el producto de los factores que aparecen en una, otra o ambas
factorizaciones.
89
Unidad 2
Ejemplos:
31. Encontremos el mínimo común múltiplo de 60 y 72.
60= (2)(30)= (2)(2)(15)= (2)(2)(3)(5)
72= (2)(36)= (2)(2)(18)= (2)(2)(2)(3)(3)
[ 60, 72] = (2)(2)(2)
Por lo tanto
mcm(60,72) = 360.
(3) (3) (5)}
Si hay factorescomunes se toma la agrupación que contiene
más términos. Por ejemplo, (2)(2) es factor de 60 y
(2)(2)(2) de 72. Nos quedamos con (2)(2)(2). (3)
esfactor de 60 y (3)(3) de 72. Nosquedamoscon (3)(3).
Ademásse toman los factores no comunes.
32. Encontraremos el mínimo común múltiplo de 83 853, 17 787 y 2 079.
83 853= (3)(3)(11)(11)(11)(7) 17 787= (3)(7)(7)(11)(11) 2 079= (3)(3)(3)(7)(11)
Por lo tanto, mcm(83 853, 17 787, 2 079)= (3)(3)(3)(7)(7)(11)(11)(11)= 1 760 913
Ejercicio 10
Encuentra el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números:
1. 310 y 155= _____________________________________________________________________________________.
2. 254 y 228= ____________________________________________________________________________________.
3. 860 y 234= ____________________________________________________________________________________.
4. 360, 882 y 180 = ______________________________________________________________________________.
5. 315, 900 y 112 = ______________________________________________________________________________.
2.9. El algoritmo de la división
¿Cuándo un número es factor de otro? Analicemos algunos casos: ¿5 es factor de 21? N o,
porque no existe natural alguno que al multiplicarlo por 5 dé 21. El natural que hace que el producto
de él por 5 esté lo más cercano posible a 21 (sin pasarlo) es 4, pero le falta un 1 para ser igual.
Con notación podemos escribir que 21= (5)(4)+ 1. Así, 5 no divide a 21. ¿7 es factor de 356?
N o, pero el natural que hace que el producto de él por 7 se acerque (sin pasarlo) lo más posible a
356 es 50, pero le faltan 6 para que sea igual. Por lo tanto, 356= (7)(50)+ 6 y concluimos que 7
no divide a 356. ¿3 es factor de 693? Sí, porque 231 es un natural tal que al multiplicarlo por 3 da
como resultado 693 y con esto no le falta nada para establecer la igualdad. Con notación se escribe
693= (3)(231)+ 0 y concluimos que 3 divide a 693.
90
mat emát ic as 1
Esta idea de “ dados dos naturales a y b, encontrar un factor c tal que ac esté lo más cercano
posible a b, sin pasarlo, para luego agregar el número que falta o cero para que se satisfaga la igualdad
con b” , es lo que se conoce como el algoritmo de la división. Su enunciado formal se establece así:
Algoritmo de la división. Si a, b, N , entonces es posible encontrar dos números q, r,
tales que a= bq + r, en donde r es estrictamente menor que b.
L a notación usual es:
q
Divisor
b
Cociente
a
Dividendo
r
Residuo
N
Esta condición esla que propicia que sea el
natural que al multiplicarlo por genere el producto
más cercano posible a .
Veamos un ejemplo con error:
12
5 68
8
Lacondición del residuo no se cumple, 8 no esestrictamente menor que 5. Esto sucede porque
12 no esel natural que al multiplicarse por 5 hace que el producto sea el número máscercano
a 68, sin pasarlo. El entero correcto es13, ya que (5)(13)= 65 y sólo le faltan 3 para ser
igual a 68.
L a división correcta es:
13
5 68
Si el residuo esestrictamente menor que el divisor se asegura que el cociente es el número
que al multiplicarlo por el divisor genera el natural más cercano al dividendo.
3
El algoritmo de la división puede determinar el máximo común
divisor entre dos números.
Ejemplo:
33. Si queremos aplicar el algoritmo de la división para encontrar
el mcd de 216 y 90, procedemos como sigue: Divide el número mayor
por el menor. Posteriormente tienes que dividir el divisor por el residuo,
hasta que obtengas 0 como residuo (observa estos pasos en la figura
2.20).
91
Unidad 2
Cuando el residuo sea 0 habrás terminado el proceso, porque el mcd de 216 y 90 es el último
residuo diferente de 0. Por lo tanto, (216,90)= 18.
Comprobémoslo factorizando los números: 216= (2)(2)(2)(3)(3)(3) y 90= (3)(3)(2)(5).
Entonces, (216, 90)= (2)(3)(3)= 18, el número que obtuvimos con el algoritmo de la división.
Ejercicio 11
Aplica el algoritmo de la división para encontrar el mcd de
1. 630 y 525 _______________________________________________________________________________________.
2. 3 762 y 882 _____________________________________________________________________________________.
3. 345 y 210 _______________________________________________________________________________________.
4. 6 300 y 22 050 _________________________________________________________________________________.
5. 6 006 y 7 938 __________________________________________________________________________________.
2.10. Potencia y raíz de un número entero
2.10.1. Potencia
Las reglas de los exponentes que establecimos para el caso de los naturales se siguen cumpliendo
para el caso de los números enteros. Para verificarlas se procede de manera análoga al caso de los
naturales. La única variante que aparece en este caso es que las bases pueden ser
¿Cómo se
maneja
una base
negativa?
números negativos. La potencias siguen siendo enteros no negativos.
Si la base es el entero negativo a, entonces se puede escribir como a= – b, en
donde b es un entero positivo. Como –b= (–1)(b) nos concretaremos a analizar el
comportamiento de (–1) elevado a una potencia entera: (–1)3 = (–1)(–1)(–1)= –1,
(–1) 6 = (–1)(–1)(–1)(–1)(–1)(–1)= 1. El comportamiento de una potencia que
tiene como base –1 la resumimos como:
Si n, sin considerar su signo, es impar, (–1) n= –1.
Si n, sin considerar su signo, es par, (–1) n = 1.
92
mat emát ic as 1
Ejemplos:
(–7) 7 = (–1) 7(7) 7 = –823 543
34. (–5) 4 = (–1) 4 (5) 4 = (1)(625)= 625
A continuación resumimos las reglas de los exponentes (enteros no negativos) para enteros:
Reglas de los exponentes para enteros:
Si a y b Z y n y m
1. an am = an + m
Z+
{ 0} entonces es válido que:
2. an bn = (ab) n
3. (an) m = (a) n m
2.10.2. Raíz de un entero
Analicemos la descomposición de los siguientes números:
4
36
22
28 ( 22 )(7)
( 2)( 2)(3)(3)
( 2 3) 2
62
( 2 2 5)2
400
( 2)(( 2)( 2)( 2)(5)(5)
512
( 2)( 2)( 2)( 2)( 2)( 2)( 2) ( 2)( 2)
20736
42
20 2
( 2 2 2)3
( 2)( 2)( 2)( 2)(2
2)( 2)( 2)( 2)(3)(3)(3)(3)
( 2)(3)(7)
520
83
( 2 2 3)
( 23 )(5)(13)
35 (5)(7)
4
12
4
101 (1)(101)
L a diferencia entre los números de la izquierda y los de la derecha es que los de la primera
columna se pueden descomponer como un producto de n factores iguales, mientras que los de la
segunda columna no.
Cuando un número satisface la propiedad de los números de la izquierda, su factor
representativo y el número de veces que es repetido reciben un nombre especial:
Raíz n–ésima de un entero. Si un número entero a puede descomponerse en n factores
iguales,
a = bb...b = bn
n veces
se dice que b es la raíz n–ésima de a. Simbólicamente se representa por b=
es el símbolo de radical y n es el índice de la raíz.
a se llama radicando,
n
a.
D e esta forma tenemos que las raíces cuadradas de 36 son 6 y –6, porque 62= (–6) 2= 36.
Esto se indica como: 36
6, ó 36 6 y
36
6.
También aparecen casos como: ¿cuál es la raíz cuadrada de –49?, o de manera equivalente,
¿existe algún entero que al multiplicarlo por sí mismo dé –49? L a respuesta es no, porque si dicho
entero es negativo, al multiplicarlo por sí mismo daría un positivo; y si el entero fuera positivo,
93
Unidad 2
también. L o mismo sucede para cualquier raíz de orden par. Si el radicando es negativo no existe
su raíz. Generalizamos este caso como sigue:
Si a
Z — y n es un número par, entonces
n
a no existe.
Con seguridad te estarás preguntando qué sucede con las raíces de orden impar. Con este caso
no existe ningún problema: se pueden extraer raíces de orden impar tanto de números positivos,
3
8 , ¿existe un entero que al elevarlo al cubo
como de número negativos y de cero. Por ejemplo,
n
a , con – a negativo y n impar, lo que estamos buscando es un
nos dé –8 ¡sí!: –2. En general si
número b, tal que bn= –a; entonces b tiene que ser un número negativo para que al elevarlo a una
potencia impar el resultado sea también negativo. Quizás la respuesta no siempre sea una raíz exacta,
es decir, un número entero, pero siempre es posible calcular o en su defecto aproximar. Las raíces que
no son exactas no nos corresponden en esta sección, pero se estudiarán un poco más adelante.
Ejemplos:
Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones, si están definidas:
35. 3 64
4 , porque (–4) 3= –64.
36. 5 45 , como el índice es impar la raíz sí existe, pero su resultado no es un entero.
Para que puedas hacer el cálculo con ayuda de tu calculadora, oprime las teclas que se indican
a continuación. A los números no les pondremos la forma de tecla, pero también debes oprimirlos
en el orden que aparecen. A los datos que tú debes meter a la calculadora los llamaremos Entrada.
A los datos que aparecen en la pantalla los llamaremos Salida.
Entrada: 4
Salida:
5
shift
2.1411274.
x
y
5 =
Ésta es una aproximación de la raíz quinta de 45.
Observación: existen calculadoras que en lugar de la tecla
En estos casos se procede como sigue:
Entrada:
Salida:
Entrada:
Salida:
94
x
x
y
tienen la tecla
x
xy 1
y
Para indicar el exponente escribimos 1 y. Por ejemplo:
–371 293
13
y
xy
1
xy
=
5
=
5
371 293.
mat emát ic as 1
37.
24
675 no está definida porque el radicando es un entero negativo y el índice un número
par.
n
38.
0
0 para cualquier n
N que no sea ni 0, ni 1.
Ejercicio 12
1.
3
1 728 = _______________________________________________________________________________________.
2.
3.
4.
361 = ________________________________________________________________________________________.
1 024
5
4
= ______________________________________________________________________________________.
14 641 = ____________________________________________________________________________________.
5. El área de un cuadrado es 2 601 cm2; si su lado está determinado por la fórmula lado
área,
¿cuál es su longitud?_______________________________________________________________________________.
6. El volumen de un cubo es 3 375 cm3; si su lado está determinado por la fórmula lado
3
volumen ,
¿cuál es su longitud?_______________________________________________________________________________.
2.11. Relación de orden
Por tu experiencia en cursos anteriores seguramente sabes reconocer, sin ningún problema,
cuándo un entero es mayor que otro. Por tal motivo esta sección sólo servirá para afinar algunos
detalles de tus concepciones.
Si a, b
escribe a
Z , decimos que a es mayor o igual que b, si a– b
Z+
{ 0} , simbólicamente se
b, en este caso también se dice que b es menor o igual que a, simbólicamente b a.
D e esta definición se desprende de manera inmediata que la única forma de que b a es
cuando b– a
x
Z+
Z–
{ 0} . Y que la única forma de que a= b es cuando a – b = b – a = 0.
{ 0} , es equivalente a x 0, y x Z
–
{ 0} es equivalente a x 0.
95
Unidad 2
Ejemplo:
39. 5 3, porque 5 – 3
.
Ley de la tricotomía para enteros. Si a, b
tres casos: a> b, a < b ó a = b.
Z , entonces sucede uno y sólo uno de los
Ejercicio 13
I nserta el símbolo adecuado (> , < , = ) entre los dos números.
1. –323 _________ – 451
2. 451 _________ 323
3. – 453 _________ 0
4. 532 _________ – 4
5. U n buzo está sumergido a una profundidad de –27 m y otro a una profundidad de –34 m. ¿Cuál
de los dos está más profundo?_____________________________________________________________________.
6. M anuel tiene una deuda de –$67.00 y Josefina de –$66.00. ¿Quién debe más?________________.
Caso práctico de aplicación. Los enteros
L os números enteros pueden usarse para describir las siguientes situaciones:
1. Si la temperatura está sobre cero se indica con (+ ) y si está bajo cero con (–).
24°C significa una temperatura agradable, 180°C es la temperatura perfecta para hornear
galletas y –13°C significa que debes sacar tu abrig o.
2. El balance de una empresa puede estar en números negros, lo que significa ganancia y se
puede indicar por (+ ) o en números rojos, que significan pérdida y puede representarse por (–).
$34 567.00, en la línea final de un balance, significa que la empresa tuvo ganancias. $0.0
en esta posición significa que el ejercicio de la empresa terminó sin pérdidas ni ganancias, pero
–$56 789.00 como resultado de un balance, significa que la empresa tuvo pérdidas.
3. Cuando la altitud de un lugar está sobre el nivel del mar, se representa por (+ ) y cuando
está bajo el nivel del mar, por (–).
La altitud de una ciudad que está sobre el nivel del mar, como por ejemplo, M éxico, D.F. que
se encuentra a 2 240 m sobre el nivel del mar, se representa por 2 240 m; esta altura puede afectar
a las personas que sufren de alta presión. Una ciudad que está al nivel del mar, se dice que tiene una
altitud de 0 m; esta altura es recomendable para personas ancianas o delicadas de salud. Por último,
la altitud de una ciudad que se encuentra a 800 m bajo el nivel del mar se representa por –800 m.
96
mat emát ic as 1
4. En una cuenta de ahorro los depósitos se indican con (+ ) y los retiros con (–).
D epositar $678.00 en tu cuenta de ahorros se escribe como $678.00; retirar $589.00, se
escribe como –$589.00
5. Antes de lanzar una nave al espacio el tiempo se considera como negativo (–); en el
momento del lanzamiento se considera cero (0) y después del lanzamiento, positivo (+ ).
El típico conteo regresivo antes del lanzamiento de una nave espacial empieza en –10 s, el
momento del despegue se representa por 0 s y 47 s después del lanzamiento se escribe 47 s.
97
Unidad 2
Ejercicios resueltos
1. En cada inciso escribe el número adecuado:
a) L a temperatura es de 11°C bajo cero.
b) José tiene ahorrados $ 278.00 y debe $ 40.00.
c) U n buzo está sumergido a 15 metros de profundidad.
Solución:
a) –11
b) 278 y – 40
2. Efectúa los cálculos.
a) –75+ (| –8| 2)–(5+ 3)
b) –5 (| –8| + 2)–[ | 7–9 5| + 32 –7| ] (–2)
c) 22 5–(| –3| 2) 3| –[ 5 (–3)] 2 42
Solución:
a)
–75+ (| –8| 2) – (5+ 3)= –75+ | –8| 2 –(5+ 3)
= –75+ 8 2 – 8
= –75+ 16 – 8
= – 67
b)
–5 (| –8| + 2) – [ | 7 – 9 5| + 32 | –7| ] (–2)
= –5 (8+ 2)–[ | 7– 45| + 224] (–2)
= –5 10 – [ | –38| + 224] (–2)
= –5 10 – [ 38+ 224] (–2)
= –50 – 262(–2)
= –50 + 524
= 474
c)
| 22 5 –(| –3| 2) 3| –[ 5 (–3)] 2 42
= | 4 5 –(3 2) 3| –(–15) 2 42
= | 20 –216| – 225 16
= | –196| – 3 600
= 196 – 3 600
= –3 404
98
c) –15
mat emát ic as 1
3. Determina si el resultado de cada una de las siguientes operaciones es un número par o impar.
a) L a suma de dos pares menos un impar.
b) El producto de un impar por la resta de un par menos par.
Solución:
a) En la sección de ejercicio 3 ya contestaste que par + par = par, así que sólo falta
analizar el caso de par–impar; la tabla A muestra las terminaciones, por lo que concluimos que
par–impar= impar. Resumiendo: (par + par) – impar = par–impar = impar.
b) L as terminaciones de la resta de par–par se muestran en la tabla B, por lo que concluimos
que par – par = par. El caso de (impar)(par) fue estudiado anteriormente en esta misma unidad y
el resultado fue par. Por lo tanto, (impar)(par – par) = (impar)(par) = par.
Por lo tanto, el producto de un impar por la resta de un par menos par es un par.
4. El balance de una sociedad anónima arroja una utilidad de $3.00 por acción, para un total
de 265 880 acciones. ¿Cuál ha sido la ganancia para el ejercicio económico de referencia?
Solución:
(265 880)(3) = 797 640. L a ganancia es de $ 797 640.00
5. Un industrial contrata 17 hombres y 12 mujeres, a $4.00 y $5.00 la hora, respectivamente.
Si cada uno trabaja 7 horas a la semana, ¿a cuánto asciende la cantidad total de sueldos?
Solución:
Total de horas de trabajo de las mujeres en una semana: (12)(7) = 84h.
Total de sueldos de las mujeres: (84)(5)= $420.00. Total de horas de trabajo de los hombres
en una semana: (17)(7) = 119h. Total de sueldos de los hombres: (119)(4)= $476.00
Cantidad total de sueldos: $420.00 + $476.00 = $896.00
99
Unidad 2
6. El precio de una caja fuerte es $1 260.00. Si tiene un descuento de $175.00 y el impuesto
es $126.00 sobre el precio de venta, ¿cuánto se debe pagar por 11 cajas fuertes?
Solución:
El precio de una caja fuerte es: 1 260 – 175+ 126 = $1 211.00
El precio de 11 cajas fuertes es: (1 211)(11)= $13 321.00
7. Considera el mismo enunciado del problema anterior (6) con la siguiente variante: Si se
compran 5 cajas fuertes, las cajas adicionales tienen $203.00 de descuento, en lugar de $175.00.
¿Cuánto se debe pagar por las 11 cajas fuertes?
Solución:
L as 5 primeras representan (5)(1 211) = $ 6 055.00. El precio de cada caja adicional
es: 1 260–203+ 126 = $1 183.00. El precio de las 6 cajas adicionales (6)(1 183) = $ 7 098.00
El precio de 11 cajas fuertes es: 6 055 + 7 098 = $13 153.00
8. a) 5 832 ¿tiene raíz cúbica exacta?
b) 2 400 ¿tiene raíz cuarta exacta?
Solución:
a) 5 832= 2(2 916)= 22 (1 458)= 23(729)= 239(81)= 2393 = ( ) 3= 183.
Por lo tanto, 18 es la raíz cúbica principal de 5 832.
b) 2 400= 102 24= 102 8 3= 102 23 3= (5 2) 223 3= 25 3 52.
N o existen 4 factores iguales de todas las variables. Concluimos que 2 400 no tiene raíz
cuarta exacta.
9. Encuentra el mcd y el mcm de:
a) 5 005 y 13 013.
b) 3 234 y 6 370.
Solución:
a) Empecemos descomponiendo cada número en factores primos.
Por lo tanto 5 005 = 5 7 11 13 y 13 013 = 7 11 13 13.
mcd(5 005, 13 013) = 7 11 13 = 1 001 mcm(5 005, 13 013) = 5 7 11 13
5 005
1 001
143
13
1
10 0
5
7
11
13
13 013
1 859
169
13
1
7
11
13
13
= 65 065.
mat emát ic as 1
b) D escomponiendo cada número en factores primos tenemos que:
3 234 = 2 3 7 7 11 y 6 370 = 2 5 7 7 13.
Obtenemos que: mcd(3 234, 6 370)= 2 7 7= 98 y mcm(3 234, 6 370)= 2 3 5 7 7 11 13= 210 210
3 234
1 617
539
77
11
1
2
3
7
7
11
6 370
3 185
637
91
13
1
2
5
7
7
13
10. Alejandro se ha gastado la mitad de su sueldo en la compra de regalos para el día del amor y
la amistad. Si gana $1 250.00 mensuales y compró 5 regalos iguales, ¿cuánto le costó cada regalo?
Solución:
La mitad de 1 250 significa dividir 1 250 por 2. Aplicando el algoritmo de la división obtenemos
un cociente de 625 y un residuo de 0. Para saber cuánto cuesta cada regalo dividimos 625 por 5,
obtenemos un cociente de 125 y un residuo de 0. Por lo tanto, cada regalo cuesta $125.00
11. Aplica las reglas de los exponentes para simplificar:
a) (52 2 33) 2
b) ((–3) 3 5 (–2) 3) 3
Solución:
a) (52 2 33) 2 = (52) 2 22 (33) 2 = 54 22 36 = (625)(4)(729) = 1 822 500
b) ((–3) 3 5(–2) 3) 3 = ((–3) 3) 3 53 ((–2) 3) 3 = (–3) 9 53 (–2) 9 = (–19 683)(125)(–512) =
= 1 259 712 000
12. I nserta el símbolo adecuado (< , > , = ) en el espacio indicado.
a) –38 ______ –45
b) –381______–380
c) 43_________–50
Solución:
a) –38 –(–45) = –38+ 45 = 7 > 0. Por lo tanto, –38 > –45.
b) –381 –(–380) = –381 + 380 = –1 < 0. Por lo tanto, –381 < –380.
c) 43 –(–50) = 43 + 50 = 93 > 0. Por lo tanto, 43 > –50.
10 1
Unidad 2
13. Aplica el algoritmo de la división para encontrar el cociente y el residuo al dividir a por b.
a) a = 372, b = 15
b) a = 531, b = 21
Solución:
a) q = 24 y r = 12
15
24
372
72
12
b) q = 25 y r = 6
25
21 531
111
6
10 2
mat emát ic as 1
Divertimento
L lena los espacios en blanco
N úmeros naturales famosos:
a ) L as_______estaciones del año.
b ) L os_______ meses del año.
c ) L as_______ horas del día.
d ) L os_______ días del año.
e ) L os_______ puntos cardinales.
f ) L as_______tribus de I srael.
g ) L os_______días aztecas.
h ) L os_______días de la semana.
i ) L os_______mosqueteros.
j ) L os______polos de la Tierra.
k ) L os______jinetes del Apocalipsis.
l ) L as_______musas griegas.
m) L os_______continentes de la Tierra.
n ) L os_______ planetas del Sistema Solar.
ñ ) L os_______soles aztecas.
o ) L os_______ó_______días de febrero.
p ) L os_______ pecados capitales.
q ) L os_______dedos de las manos.
r ) L os_______huesos del esqueleto humano.
s ) L as_______cavidades del corazón.
t ) L as_______piezas dentales de la boca.
u ) L as_______ notas musicales.
v ) L as_______cuerdas de la guitarra.
w ) L as_______cartas de la baraja española.
x ) L os_______libros de los Elementos de Euclides.
y ) L os_______jugadores del equipo de fútbol.
z ) L as_______vocales.
10 3
Unidad 2
Nota histórica:
Números y sistemas de numeración
L a necesidad del uso de los números se manifiesta mucho antes que el lenguaje escrito. H acia el
año 5000 a. C. los egipcios contaban con un sistema jeroglífico de escritura numérica. Este sistema estaba
dado con base 10, debido probablemente a que los primeros brotes del concepto de “contar” se apoyaron
en establecer una relación entre los dedos de nuestras manos y los objetos que se pretendían “ contar” .
D espués, hacia el año de 3500 a. C., las transacciones comerciales de la civilización mesopotámica se
hacían a través de esferas huecas de arcilla en cuyo interior se guardaban tantas fichas como números
de intercambios hubieran hecho los mercaderes. Para no tener que romper la esfera, se inscribía en la
superficie blanda, con una cuña, un símbolo que representaba el número del contenido. Con el tiempo
las esferas se hicieron poco prácticas y se decidió aplanarlas, dejando el número de la transacción en el
exterior. D e esta manera surgen las tablillas de arcilla de la floreciente civilización con las que se dio a
conocer su escritura cuneiforme (hecha con cuña). Se conservan miles de ellas, pero sólo unas cuantas
se relacionan con temas de matemáticas.
H asta el año 1000 a. C. es cuando el número adquiere su verdadera identidad abstracta, es
decir, se desliga de los objetos que representa, debido a que en esta época ya se contaba con un sistema
desarrollado de numeración con base 60. Se cree que este número se tomó como base porque tiene muchos
más divisores que el 10. En este periodo surge la verdadera simplificación de la notación numérica y
de las operaciones, ya que se considera la relatividad del valor de una cifra según su posición. Este sistema
sexagesimal (con base 60) se usa actualmente para medir el tiempo y los ángulos.
D emos ahora un gran salto al siglo I V d. C. en M esoamérica, en donde floreció la civilización
maya. Aun cuando quedan varios jeroglíficos sin descifrar, se sabe que los mayas tenían dos sistemas
de numeración, ambos con base 20. U no lo usaban para hacer cálculos astronómicos y cronológicos,
por ejemplo, llamaban unidad de tercer orden a lo que para nosotros representan las centenas (tercera
posición de derecha a izquierda) y en lugar de asignarle el valor de 20 20= 400, le daban el valor de
360 días más 5 días “ nefastos” . Con esto obtenían un año con 365 días. En el otro sistema tenían dos
notaciones diferentes. Cada número del 0 al 19 se representaba por una cabeza distinta de sus dioses.
L a otra notación es mucho más práctica y sencilla, utilizaba los símbolos para el 1, – para el 5 y (un
·
caracol) para el cero. Si un número era mayor que 20 se escribía en columna y se leía de arriba hacia
abajo.
Si damos otro gran salto llegamos al final del siglo X y principios del siglo XI, época en que
el matemático italiano L eonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci, le dio significado por
primera vez a los números negativos. Al tratar de resolver un problema financiero llegó a la conclusión
10 4
mat emát ic as 1
de que éste sólo podía tener solución si se consideraban números negativos, los que describió como
pérdidas financieras. A pesar de la conclusión de Fibonacci la comunidad matemática en general
seguía recelosa de aceptar este tipo de números y no fue sino hasta el siglo XV I cuando fueron
acogidos por completo.
Sobre los números falta mucho por conocer y existen varios problemas que no han podido
resolverse desde hace siglos; por ejemplo, la conjetura de Christian Goldbach, matemático que vivió
de 1690 a 1764, y quien sospechaba que todo número par es igual a la suma de dos números primos,
por ejemplo: 8= 3+ 5; 110= 13+ 97. N adie desde entonces ha podido probar que en general esto sea
cierto. Con la ayuda de una computadora la conjetura se ha verificado para los primeros 100 millones
de pares, pero esto no asegura que se cumpla para el resto. ¿Te gustaría comprobarlo?
10 5
Unidad 2
Respuestas a los ejercicios
Ej. 1
1. 5 objetos.
2. Pepe lleva recorridos 138 m; por lo tanto le faltan 162 m.
3. 139 m.
4. 122
5. 26
Ej. 2
1. Conmutatividad de “ + ” y “ ” .
D istributividad.
Elemento neutro “ + ” .
D efinición “ + ” .
2. Asociatividad “ ” .
D efinición “ + ”
D istributividad.
D istributividad.
D efinición “ + ” .
3. Asociatividad “ ” .
D istributividad.
D istributividad.
Asociatividad “ ” .
4. U na forma es descomponer 45 en 40+ 5 y sumar como: (40)(5)+ (5)(5)
5. U na forma es descomponer 7 en 10 – 3 y restar como: (15)(10)–(15)(3)
10 6
mat emát ic as 1
Ej. 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Sí.
Sí.
N o.
N o.
Sí.
Sí.
Ej. 4
1. Compuesto. 323= (17)(19)
2. Compuesto. 253= (11)(23)
3. Compuesto. 143= (11)(13)
4. N o, porque 31 es número primo y en consecuencia la única posibilidad es la compra
de un lápiz con valor de $31.00 (no tiene sentido).
5. Cantidad caramelos
Cantidad chiclosos
2
6
4
3
6
0
0
9
Ej. 5
1. (2)(3)(5)(7)(11)
2. (2)(2)(3)(3)(5)(5)(11)
3. (2)(2)(2)(3)(3)(3)(5)(5)
4. (11)(13)(37)
5. N o, porque 11 no divide a 130 321
6. N o, porque 19 no es factor de 2 564
Ej. 6
1. 2 187
2. 6 125
3. 8 000
4. 729
5. 4 096 000 000
6. 31 centenarios.
10 7
Unidad 2
Ej. 7
1. 187
2. 95
3. 102
4. $252.00
5. $7 309.00
Ej. 8
1. 9
2. – 43
3. –27
4. 2
5. –2
6. –35
7. – 4C°
8. –148 m
Ej. 9
1. 21 litros menos.
2. 20 litros menos.
3. Por ejemplo: 2 llaves llenan con agua un estanque; la primera vierte agua a razón de
3 l/min y la segunda a razón de 5 l/min, entonces podemos decir que hace 2 minutos
había –2(3+ 5) litros menos de agua.
4. –59
5. –63
6. 10
Ej. 10
10 8
1. mcm(310, 155)= 310
mcd(310, 155)= 155
2. mcm(254, 228)= 28 956
3. mcm(860, 234)= 100 620
4. mcm(360, 882, 180)= 17 640
5. mcm(900, 112, 315)= 25 200
mcd(254, 228)= 2
mcd(860, 234)= 2
mcd(360, 882, 180)= 18
mcd(900, 112, 315)= 1
mat emát ic as 1
Ej. 11
1.
2.
3.
4.
5.
mcd(525, 630)= 105
mcd(882, 3 762)= 18
mcd(210, 345)= 15
mcd(6 300, 22 050)= 3 150
mcd(6 006, 7 938)= 42
Ej. 12
1. 12
2. ± 19
3. – 4
4. ± 11
5. 51 cm
6. 15 cm
Ej. 13
1. – 323 > – 451
2. 451 > 323
3. – 453 < 0
4. 532 > – 4
5. El buzo que está sumergido a –34 m
6. M anuel.
10 9
Matemáticas 1 (Álgebra 1)
Unidad 2. Números naturales y enteros
Nombre:
Grupo:
Número de cuenta:
Profesor:
Campus:
Autoevaluación
1. En la ciudad de Ensenada los cambios de temperatura son bruscos. Se dice que un día del año
de 1938 sucedió lo siguiente: en la madrugada la temperatura fue de 5°C, alrededor de las 7 de la
mañana había ascendido a 16°C, al mediodía el calor era realmente insoportable: la temperatura había
aumentado 27°C a partir de la medición de las 7 de la mañana; por la tarde el fresco fue sumamente
agradable, ya que la temperatura había descendido 19°C y por la media noche descendió 27°C más.
¿Cuál fue la temperatura del mediodía?¿Cuál fue la de la tarde?¿Cuál fue la temperatura final? Contesta
en el mismo orden.
a)
b)
c)
d)
e)
43°C; 24°C; y –3°C
45°C; 23°C; y –3°C
– 43°C; 24°C; y –3°C
43°C; 24°C; y 3°C
43°C; –24°C; y –3°C
2. Encuentra la descomposición en potencias del número 7 623.
a)
b)
c)
d)
e)
32 7 11
(3 7 11) 2
32 7 112
21 121 3
63 112
3. Se piensa comprar dos tipos de productos, uno que cuesta $5.00 y otro que cuesta $7.00. Con
$29.00, ¿cuántos productos se pueden adquirir de cada uno, gastándose exactamente los $29?
a)
b)
c)
d)
e)
2 de $5.00 y 2 de $7.00
2 de $5.00 y 3 de $7.00
3 de $5.00 y 3 de $7.00
3 de $5.00 y 2 de $7.00
4 de $5.00 y 1 de $7.00
111
4. Calcula (22 33 52 –43) 2
a) (4 27 25 64) 2
b) (22 33 52) 2 –46
c) 6 948 496
d) 698 896
e) –6 948 496
5. Encuentra el mcd y el mcm de 192 y 396:
a)
b)
c)
112
(192, 396)
12
[ 192, 396]
1 710
(192, 396)
6
[ 192, 396]
2 585
(192, 396)
12
[ 192, 396]
6 336
d)
(192, 396)
[ 192, 396]
e)
(192, 396)
[ 192, 396]
12
6 336
2
84