Download numeros enteros ( ℤ )

NÚMEROS NATURALES-NÚMEROS ENTEROS
Guía N° 1
Habilidades de la guía En el desarrollo práctico La PSU de matemática no es sólo dominio teórico,
sino también el dominio de las habilidades.
Aplicación: Es el desarrollo práctico tangible de la información que permite aplicar los contenidos
asimilados.
Análisis: Implica conocer, comprender interpretar e inferir información a partir de datos que no
necesariamente son de conocimiento directo.
Evaluación Es la más compleja de las habilidades, implica conocer, comprender, discriminar,
seleccionar y concluir información para argumentar una respuesta.
NÚMERO PAR Y NÚMERO IMPAR
Números Naturalesℕ
ℕ= {1, 2, 3, . . . } el conjunto es discreto es decir:
n = número natural cualquiera; n-1= antecesor de n; n+1= sucesor de n
Número Par
a número natural par⇔ a = 2 n ; n ∊ℕ
Número par es cualquier que puede expresarse como el producto de 2 por algún número
natural
Ejemplos:
(1) 24 = 2•12
(2) En el conjunto de los números naturales el sucesor del par
2n es 2n +2
Número Impar
a número natural impar ⇔ a = 2n-1, n ∊ℕ
Número Impar es cualquier número que puede expresarse como la resta 2n-1, n ∊ℕ
Ejemplos:
(1) 25 = 2• 13+1
(2) En el conjunto de los números impares el antecesor de 2n–1 es 2n–3
1
DIVISOR O FACTOR
Divisibilidad
a divisor o factor de c ⇔∃ b ∊ℕ : a•b = c
(∃ significa existe)
“a es divisor o factor de c si solo si existe por lo menos un número natural b tal quea•b =
c”
Ejemplo:
3 es divisor o factor de 12 pues 3•4=12
Conjunto de los divisores o factores
𝑎
F(a)= D(a) = {x ∊ℕ / 𝑥 es número natural}
“El conjunto de los factores o divisores contiene los números naturales que son factores o
divisores de a y solamente ellos”
F (15)={1,3,5,15} = ¨D(15)
Múltiplo
C es múltiplo de a es equivalente a decir que a es divisor o factor de c
Ejemplo15 es múltiplo de 5 pues 5 es un factor de 15
Conjunto de los múltiplos M= { x∊ℕ / x= n•a, n ∊ }
Ejemplo M ( 3 )= { 3•1, 3•2,…….3•11,…}
Número primo y Número compuesto Número Primo
p número primo ⇔F (p)={1,p}
“p número primo si y solo si tiene dos y solo dos divisores”
Ejemplo:
(1) 2 es primo ya que F (2)= {1, 2}
(2) 11 es primo pues F (11)= { 1, 11}
(3) 18 no es primo pues F (18)= {1, 2, 3, 6, 9, 18}
2
Número Compuesto
Es aquel número que tiene más de dos divisores o factores
Ejemplos: (1) 15 es un número compuesto pues D (15)= {1, 3, 5, 15}
(2) x=3a2 con a∊ℕ representa un número compuesto ya que
Sus divisores son D (3a2)= {1, 3a2, 3, 3a, a, a2 }
Factorización en primos
Factorización en primos de un número natural x, o factorización completa de x, significa
expresarlo como producto de números primos
Ejemplos:
(1) 26= 13•2
(2) 8= 2•2•2 = 2 3(potencia de base 2 y exponente 3 )
(3) 90= 32•5•2
Máximo Común Divisor (MCD)
Máximo común divisor entre dos números m y n es el mayor de los elementos
pertenecientes a la intersección del conjunto de los factores de m con el conjunto de los
factores de n.
Ejemplos:
(1) Establezca el MCD de 36 y 48
A=F(36)={1,2,3,4,6,9,12,18,36} B=F(48)={1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}
A⋂B=F(36)⋂F(48)={1,2,3,4,6,12} donde el elemento mayor es 2
(2) Siendo x= a3 b5 c2 y= a7 b4 c6 z= a b3 c5 son factorizaciones completas
de los números naturales x, y, z entonces w= a b4 c2 es el MCD
Nota: se ha considerado que aparecen los factores comunes pero con su menor
exponente
Mínimo Común Múltiplo (mcm)
Mínimo común múltiplo entre dos números naturales p y q es el menor elemento de la
intersección del conjunto múltiplos de p con el conjunto múltiplos de q
3
Ejemplos
(1) Establezca el mínimo común múltiplo entre 8 y 12
A=M(8)={ 8,16,24,32,40,48,56,64,72,….} B=M(12)={ 12,24,36,48,60,72,…}
A⋂B= {24, 48, 72,
96…} el mcm es 24
(2) encontrar el mcm entre X, Y, Z
X= 3a5 b c2
(X, Y, Z)
Y= 2 b3 c Z= 22 a c4 entonces 22 • 3 • a5 • b3 • c4 = 12 a 5 b 3 c 4 es el mcm
Nota se ha considerado que aparecen los factores comunes pero con su mayor
exponente
Números Primos Entre Sí
A y b son primos entre sí, si y solo si el único factor común entre ellos es 1
Ejemplos
(1) 36 y 25 si F(36)={1,2,3,4,6,9,12,18,36} y F(25)={ 1, 5 } el factor común
entre ellos es 1
Nota: Al ser dos números primos entre ellos el mcm es el producto entre ellos, como 4 y 9
son primos entre sí mcm = 4 • 9=36
OPERACIONES Y PRIORIDAD CLAUSURA
El conjunto de los números naturales es cerrado al operar entre dos naturales su resultado
es un numero natural ( sólo para la adición y producto), 2+3=5; 3•2=6 para la diferencia o
sustracción no siempre es así, sólo se cumple si el minuendo es mayor que el sustraendo
como por ejemplo 65 – 15 = 50; para la división, sólo si el divisor es un factor del
dividendo arrojando un Cuociente natural y resto igual a cero; por ejemplo al hacer 63 :9 =
7(dividendo es 63, divisor es 9, cuociente es 7)
CONMUTATIVIDAD
Al operar dos elementos del conjunto de los números naturales el resultado es el mismo
que al operarlos en forma contraria: como por ejemplo 2+3=3+2=5; para el producto 4 • 8
= 8 • 4 = 32; para la división esto no se cumple, a no ser que sea el número dividido por sí
mismo
4
ASOCIATIVIDAD
Para la suma (a+b)+c = a+ (b+c)
Para el producto (a • b) •c = a • (b •c)
PRIORIDAD
En el conjunto de los números naturales hay operaciones que tienen prioridad sobre otras
esto es primero los productos y/o divisiones luego las sumas y/o restas. Ejemplo: 4 •
6+3=24+3=27;
60/5-2= 12-2=10; también se marca la prioridad utilizando paréntesis
como por ejemplo 4 • (6/3)=8; otro ejemplo puede ser 4 • (6+3)=4•9=36
Entonces la prioridad queda en el siguiente orden 1º potencias; 2º paréntesis; 3ºproducos
y/o divisiones; 4º sumas y/o restas
Ejemplos
(a) (72/2 3)/3+5 42 = (72/8)/3 +5 16 = 9/3 +80 =3+80=83
(b) 5+15/3-3=5+5-3=7
(c) 8 2 /4/2•15/3 2 = 64/4/2 • 15/9= 16/2•15/9=8•15/9=90/9=10
Cuando no existe aparentemente una prioridad, se debe operar siempre de izquierda a
derecha teniendo mucha concentración para no equivocarse.
NUMEROS ENTEROS ( ℤ )
Este conjunto de los números enteros corresponde a la recta numérica, también es un
conjunto discreto (sucesores y antecesores) además es ordenado como lo es también el
conjunto de los números naturales, es decir existen mayores y menores para un elemento
cualquiera n por ejemplo: 4 >2 (4 es mayor que 2); 7 < 9 (7 es menor que 9. El concepto de
paridad también es válido.
Se puede escribir ℤ = ℤ-⋃ℤ+⋃ {0} ℤ- = {….-4,-3,-2,-1} son los enteros negativos; ℤ+= {1, 2,
3, 4,…} son los enteros positivos y {0} es el conjunto con un elemento que es el cero
VALOR ABSOLUTO
Es la distancia que hay desde el número entero al origen que es el cero, haciendo hincapié
en que siempre las distancias son positivas. Ejemplo |-5|=5; |7|=7
5
2
Si a<0 entonces |a|=-a por ejemplo |-9|= -(-9)= 9 otra manera sería |a|= √a2 , siendo
2
√a = √a la raíz cuadrada de a Ejemplo √9 = 3; √64 = 8; √121 = 11; |−8| = √(−8)2 =
√64 = 8 ; se ha utilizado (-) • (-) = (+)
SIGNO DE LAS OPERACIONES
Sumas y Restas
(+p) + (-q) = se conserva el signo del número mayor en valor absoluto
Ejemplo: 8 + (-10)= - 2 el signo es menos porque 10 es mayor que 8
(-) + (-) = (-) o (+)+ (+) = (+) conserva el signo de los sumandos
(+p) – (-q) = p+q ya que -(-)=+ el signo menos antes del paréntesis cambia el signo por
ejemplo (i) 8- (-5)= 8+5=13; (ii) -(a-b+d-q)= -a+b-d+q
nota. El signo más conserva todos los signos dentro del paréntesis
Productos y Divisiones
(+)•(+)= (-)• (-)= (+) ; (+) (-) = (-) (+)=(-)
(+)/(+)= (-)/(-)= (+) ; (+)/(-) = (-)/(+)=(-)
Ejemplo(i) -2•8=-16 ; (ii) 5• (-9)= -45
6
EJERCICIOS CON RESPUESTA
1.- Demuestre que la suma de dos impares cualesquiera es par
Solución: Sean los impares p=2k-1 q=2r-1 con k y r ∊ℤ
La suma entre p y q es p+q= 2k+2r-1-1=2k+2r-2=2(k+r-1) que es un número par ya que
esta multiplicado por 2(todo número multiplicado por 2 lo convierte en un número par)
2.-En el conjunto de los números naturales (ℕ), determine si el producto de dos números
consecutivos es par o impar
Solución: Sean p y q números naturales consecutivos es decir p=q+1, además uno de ellos
es par p=2k q=2k+1; al multiplicarlos resulta p•q=2k•(2k+1)=2(2k2+2) que es un número
par
3.- El producto de dos impares (en ℕ) cualesquiera es impar
Solución: sean p=2k+1,q=2r+1 con k y r naturales entonces pq=(2k+1)(2r+1) lo que nos da
pq= (2k+1)2r+(2k+1)1= 4kr+2r+2k+1=2(2kr+r+k)+1= nºpar+1=nº impar
RAZONAR LO APRENDIDO
1.- Determine si es verdadero o falso para los siguientes enunciados:
A)
B)
C)
D)
n; n+1; n+2 son tres números consecutivos
2n; 2n+2; 2n+4 son tres pares consecutivos
2n+1; 4n+1; 6n+1 son tres pares consecutivos
2n+5; 2n+3; 2n+1 son tres impares consecutivos
2.-Encuentre el mcm y el MCD entre
A) 2; 5; 7 B) 15; 25; 30 C) 24x 3 y; 9 x 2 ; 18 x y 4 D) 2 x 5 ; 4 x 2; 8 x 3
3.- Escriba el conjunto A= {x∊ℕ/ x es primo, 60< x <70}
4.- El MCD y el mcm entre 50 y 10 respectivamente
5.-Escriba todos los números menores que 100 divisibles simultáneamente por 2; 3; 5
6.-Si el antecesor de a es b, y el sucesor de a es 3 .Determine a+b
7
7.- la suma de los cuadrados de dos impares consecutivos es 394¿cuáles son dichos
números?
8.-(x+y+1) es un número par. ¿Cuál es el número natural que le antecede, y cuál es el
número par que le sucede?
9.-¿Cuál es el mcm y MCD entre 3 a 8 ; 4 a 3; 6?
10.-Si a es el mayor de tres enteros consecutivos ¿cuál es el promedio entre ellos?
ZONA DE EJERCICIOS
1.- Si a un número impar se le resta el par anterior, el resultado es el doble de lo que
resulta al sumar ambos números. ¿Cuál era el número par?
A) -2
B) 0
C) 2
D) 4
E) No existe tal número
2.- El mínimo común múltiplo entre 2, 10640 y 394 es:
A) 2
B) 394 C) 788 D) 5320 E) 10640
3.- ¿Cuántas veces el doble de 5 es 100?
A) 2
B)
C) 10
D) 25
E) Otro valor
4.- Si a>b, c>d y a=d, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I d>b
A) Sólo I
II c>a
III c>b
B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Sólo I y III E) I, II y III
5.- A es un conjunto formado por cuatro números negativos enteros consecutivos cuya
suma es -30. ¿Cuál (es) delos siguientes enteros es(son) elemento(s) de A?
I -5
A) Sólo I
II -6
III -9
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) Ninguno de ellos
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6.- En una sucesión de números, cada término es igual al doble del anterior, menos tres. Si
el segundo término es -5, ¿cuánto vale la diferencia entre el tercero y el quinto término
en valor absoluto?
A) -61
B) -48
C) 13
D) 16
E) 48
7.- Calcular el valor de la siguiente expresión en ℤ; (8+4):(2-15:3):-4
A)-3
B) -2
C) -1
E) No existe el valor en ℤ
D)1
8.-Si b y c son números enteros positivos, la expresión (b 2 +c)/b representa un número
entero si:
(1) (b 2 +c) es un número entero
(2) c/b es un número entero
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
9.-La suma de cuatro números primos consecutivos es 53, el MCD entre ellos es
A) 53
B) 17
C)...13…
D) 1
E) No se puede determinar
10.- Encuentre el menor número natural que arroje residuo 1 al dividirlo por cualquiera de
los números 3; 2; 5; 7
A) 211
B) 210
11.- El mcm entre
A) 16
B) 32
C) 26
D) 15
E) 13
2 3; 2; 3 2 ; 6 es:
C) 48
D) 72
E) 98
12.- El máximo común divisor (MCD) entre dos números representa:
A) el mayor de ellos dos
B) el mayor número en que ambos están contenidos exactamente
C) el menor número por el cual son ambos divisibles
9
D) el mayor factor común entre ambos
E) el cuociente entre los números
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