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Eva Pla Viñallonga -SEK Catalunya1º ESO Curso 2014-2015
UNIDAD 1: NÚMEROS
NATURALES Y
NÚMEROS ENTEROS
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
1. El sistema de numeración:
Nuestro sistema de numeración es decimal, ya que 10 unidades del mismo orden, forman una
unidad del orden inmediatamente superior.
1 decena = 1 D = 10 unidades = 10 U
1 centena = 1 C = 10 decenas = 100 unidades
1 millar = 1UM = 10 centenas = 100 decenas = 1000 unidades
1 decena de millar = 1 DM = 10 millares = 10 000 unidades
Nuestro sistema de numeración utiliza 10 cifras.
Ejemplo:
El número 63 247 podemos descomponerlo de la siguiente forma:
63 247 = 60 000 + 3 000 + 200 + 40 + 7 = 6DM + 3UM +2C + 4D + 7U
Sistema de numeración romano:
Está compuesto por 7 símbolos:
Las cifras siempre tienen el mismo valor, aunque se suman o se restan dependiendo de la colocación.
IV = 4
XC = 90
CM = 900
VI = 6
CV = 105
MC = 1100
ACTIVIDADES:
1. Observa el número 943751026.
a. ¿Cuál es la cifra de las unidades de mil o millares? ¿Cuántos millares
tiene el número?
b. ¿Cuál es la cifra de las decenas de mil o decenas de millar? ¿Cuántas
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decenas de millar tiene el número?
c. ¿Cuántas decenas tiene el número dado? ¿Cuántas decenas de millón
tiene?
d. ¿Cuál es la cifra de las decenas de millón?
2. Completa el siguiente cuadro:
CM
256 378
9 507
81 690
567
679 003
DM
UM
C
d
u
3. Escribir los números naturales en numerales romanos.
a. 1112
g. 1795
b. 3453
h. 2481
c. 9741
i. 7562
d. 1109
j. 6086
e. 8009
k. 2860
f. 101
l. 1454
4. Escribir los números romanos en números naturales:
a. XIV
b. DLVI
c. MCMLXIII
d. CCCIII
e. DIX
f. CCXLVII
g. MMI
h. DXLV
i. CXXIII
j. CCLV
2. Los números naturales como códigos:
Con los números naturales podemos formular códigos que expresen cualquier clase de información:
- LOS CÓDIGOS POSTALES:
El código postal es un número de cinco cifras. Las dos primeras indican la provincia, y las otras tres,
la situación de la dirección en la provincia.
- Los prefijos telefónicos de las provincias:
Los números de teléfono en España tienen 9 cifras. Las dos o tres primeras son un código que se
denomina PREFIJO TELEFÓNICO y que indica de qué provincia es el teléfono.
-
Matrículas de coches:
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Las matrículas de los coches españoles están formadas por un grupo de 4 cifras y un grupo de 3
consonantes.
-
Las cuentas bancarias:
Las cuentas bancarias constan de 20 cifras, agrupadas de 4 en 4 números:
o El primero, de 4 cifras, identifica el banco.
o El segundo, de 4 cifras, identifica la sucursal (oficina)
o El tercero, de 2 cifras, es el código de control
o El cuarto, de 10 cifras, es el número de cuenta.
ACTIVIDADES:
5. Los números de cuenta de Elisabeth y Ana son, respectivamente:
4735-1003-21-0123456789 i 4735-1003-19-9876543210.
¿Ana y Elisabeth tienen las cuentas en el mismo banco? ¿Y en la misma oficina?
6. Observa el mapa de códigos postales y di de qué provincias son los siguientes:
a) 27 004
b) 50 336
c) 14 260
3.
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES:
Propiedades de la suma y de la multiplicación:
Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos o factores no cambia el resultado:
Ejemplo:
2+3=5
4 · 5 = 20
3+2=5
5 · 4 = 20
Propiedad asociativa: El orden en que se realicen las operaciones no cambia el resultado:
Ejemplo:
(6 + 5) + 4 = 11 + 4 = 15
(3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30
6 + (5 + 4) = 6 + 9 = 15
3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30
Propiedad distributiva del producto respeto la suma: El producto de un número para la suma de dos o más
números es igual a la suma de los productos de los números para cada sumando:
Ejemplo:
7 · (4 + 5) = 7 · 9 = 63
7 · (4 + 5) = 7 · 4 + 7 · 5 = 28 + 35 = 63
Propiedades de la resta:
Si los dos términos de una resta se les suma o resta el mismo número, la diferencia no cambia:
Ejemplo: Para hacer la resta de 48 – 23 podemos sumar 2 a cada término y se transforma en una diferencia
más sencilla:
48 – 23 = (48 + 2) – (23 + 2) = 50 – 25 = 25
Propiedades de la división:
En una división, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el residuo:
D=d·q+r
ACTIVIDADES:
7. Haz las siguientes operaciones:
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a) 17-10+4-6+11=
b) 32-31+15-8-6 =
c) 11+13-17+16-10=
8. Completa e indica la propiedad que aplicas en cada caso:
a) 13 + 7 =
+13=
b) (8 ·
)·5=
c) 12 · ( 3 + 5) =
· ( 3 · 5)=
+ 60 =
9. Calcula el resultado e indica los pasos de cada operación:
a) 4 + (9-5)+8=
b) (15+7)-(13-2)=
c) (4+6)·9=
d) (12+23)·8=
e) (190-80+20):10=
10. Completa la siguiente tabla sin hacer las divisiones e indica que propiedad estás teniendo en cuenta:
Dividendo
364
91
1564
2456
divisor
148
37
444
13
Cociente
2
resto
68
2
57
0
25
12
4. MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO:
Múltiplos de un número:
Un número es múltiplo de otro cuando es el resultado de multiplicar el segundo por cualquier número
natural.
Ejemplo:
múltiplo
12 = 3 · 4
12 es múltiplo de 3, ya que 12 = 3·4
de 3 y 4
12 es múltiplo de 4, ya que 12 = 4·3
factores de 12
Divisores de un número:
Un número es divisor o factor de otro cuando la división del segundo entre el primero es exacta.
Ejemplo:
1. Las divisiones 12 : 3 = 4 y 12 : 4 = 3 son exactas. Por lo tanto, 3 y 4 son divisores de 12
2. Marta quiere distribuir 18 cartas de un juego en filas de manera que formen un rectángulo.
Para ver de cuantas formas puede hacerse, necesita calcular los divisores de 18:
División
18:1=18
18:2= 9
18:3=6
18:6=3
18:9=2
18:18=1
Multiplicación
121·18=18
:3=4
2·9=18
3·6=18
12 6·3=18
:4=3
9·2=18
18·1=18
ACTIVIDADES:
Distribución de las cartas
1 hilera de 18 cartas
2 hileras de 9 cartas
Divisores de 12
3 hileras de 6 cartas
6 hileras de 3 cartas
9 hileras de 2 cartas
18 hileras de 1 carta
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11. Calcula tres múltiplos de 11 entre 27 y 90.
12. Comprueba si 556 es múltiplo de 4.
13. Determina el primer múltiplo de 17 que sea mayor de 500.
14. Escribe tres múltiplos de 9 mayores de 100.
15. Comprueba si 12 y 18 son divisores de 144.
16. ¿Cuál de estos números es divisor de 91?
a) 3
b) 7
c) 11
d) 13
17. Adivina todos los divisores de los números que hay a continuación:
5.
a) 24
c) 48
e)7
b) 27
d) 25
f) 56
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD:
2
5
10 o 100
4 o 25
3o9
11
Acaba en 0, 2, 4, 6, 8
Acaba en 0 o en 5
Acaba en 0 o en 00, respectivamente
El número formado por las dos últimas cifras es divisible por 4 o 25, respectivamente
La suma de los valores de las cifras es divisible por 3 o por 9, respectivamente
La diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la suma de las cifras
que ocupan los lugares impares es 0 o divisible por 11.
Ejemplos:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
1422 es divisible por 2 ya que termina con número par
135 es divisible por 5 ya que su última cifra es 5
1440 es divisible por 3, 5 y 10
3400 es divisible por 4, 25, y 100 ya que termina en 00
4028 es divisible por 4, ya que 28 es divisible por 4
162 es divisible por 9, ya que 1+6+2=9 que es múltiplo de 9
80729 es múltiplo de 11 ya que:
o Suma de las cifras pares: 0+2=2
o Suma de las cifras impares: 8+7+9= 24
o Diferencia de las sumas: 24-2 = 22 que es múltiplo de 11.
ACTIVIDADES:
18. Aplica los criterios de divisibilidad y descubre si el número 53475 es divisible por 2, por 3, por 4, por 5,
por 6, por 10, por 25 o por 100.
19. Por parejas, aplicad los criterios de divisibilidad para rellenar la tabla siguiente:
Divisible
por
375
990
1848
12300
14240
2
3
4
5
9
10
11
25
100
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
20. Continúa con tu pareja y calcula la cifra que falta en cada número para que se cumpla lo que se indica:
a) 31_0 Múltiplo de 25, pero no de 100.
b) 45_4 Divisible por 2, pero no por 4.
c) 152_ Múltiplo de 3 y de 4.
6.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS:
Un número es primo cuando tiene solamente dos divisores, el mismo número y el 1.
Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores.
Ejemplo:
1. 17= 1 · 17 , solamente tiene dos divisores, 1 y 17.
2. 18= 1 · 18
18 = 2 · 9
18 = 3 · 6
Los divisores de 18 son; 1, 2, 3, 6, 9 y 18; es un número compuesto.
ACTIVIDADES:
21. Indica cuál de los siguientes números son primos y razona la respuesta:
a) 8
b) 101
c) 57
d) 49
e) 61
f) 63
22. Busca tres números primos entre 500 y 550.
23. Realiza la siguiente actividad:
..\..\..\curso 13-14\1º eso\1º trimestre\1º evaluación\La Criba de Eratóstenes.doc
7.
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS:
La descomposición de un número en factores primos es la expresión del número como un producto de
factores primos.
Para descomponer un número en factores primos hay que:
a) Dividir el número por un factor primo. Resulta cómodo empezar por el más pequeño.
b) Dividir el cociente obtenido por otro factor primo y repetimos el procedimiento.
c) Acabamos cuando el último cociente es 1.
El número es igual al producto de los factores primos por los cuales hemos ido dividiendo.
Ejemplo:
La descomposición de 126 en
factores primos, es por lo tanto:
126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · 32· 7
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
ACTIVIDADES:
24. Haz e indica la descomposición de los siguientes números:
a) 210
b) 396
210 =
8.
c) 80
396 =
80 =
MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DIVERSOS NÚMEROS:
El máximo común divisor de diversos números es el mayor de los divisores comunes que tiene. Se escribe
MCD.
Ejemplo:
Martín tiene 30 CD de música pop y 18 de música clásica. Quiere ordenarlos en estanterías iguales de la
mayor capacidad posible sin mezclar los CD de diferentes tipos y sin dejar estanterías incompletas.
1º Como no quiere que queden estanterías vacías, tiene que buscar divisores de 30 y 18.
30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
2º quiere que haya el mismo número de CD por estantería, por lo tanto, tiene que buscar el divisor común a
30 y 18.
Divisor común: 1, 2, 3 y 6
3º El número de CD, tiene que ser el más grande posible, es decir, necesita una capacidad igual al mayor de
los divisores comunes: 6
Solución: tiene que poner 6 CD por estantería.
Para calcular el mcd de diferentes números:
1º Escribimos cada número como producto de factores primos
2º MCD es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
ACTIVIDADES:
25. Calcula el MCD de:
a) 18, 36 y 54
b) 42, 72 y 48
c) 30, 45 y 60
d) 4, 6, 18 y 32
e) 3, 4, 12, 36 y 48
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26. Un manzanar de forma rectangular tiene 180 manzanos a lo ancho y 120 a lo largo. Queremos dividirlo en
parcelas cuadradas que tengan el número más grande posible de manzanos.
a) ¿Cuántos manzanos debe tener cada parcela?
b) ¿Cuántas parcelas se conseguirán?
27.
Queremos empaquetar 48 paquetes de chicles de fresa y 72 paquetes de chicles de menta en bandejas que
sean iguales y tan grandes como sea posible. ¿Cuál debe ser el número de paquetes de chicles de cada
bandeja?
9.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DIVERSOS NÚMEROS:
El mínimo común múltiplo de diversos números es el menor de los múltiplos comunes que tiene diferente
de cero. De forma abreviada se escribe MCM.
Ejemplo:
Cristina quiere adivinar el número de cromos que tiene Rosa. Rosa le dice que el número de cromos que
tiene es el más pequeño que le permite hacer grupos de 18 y 30 sin que en ninguno de los casos sobre
ninguno.
Como Cristina puede hacer grupos de 18 y 30, el número de cromos tiene que ser múltiplo de 18 y 30.
Múltiplo de 18:
18, 36, 54, 72, 90, 108, 109, 126, 144, 162, 180, 198,….
Múltiplo de 30:
30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240,…
Solución: El múltiplo común más pequeño es 90, por lo tanto, se puede comprobar que Rosa tiene 90
cromos.
Para calcular el mcm de diferentes números:
1º Escribir cada número como producto de factores primos
2º El MCM es igual al producto de los factores primos, comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
ACTIVIDADES:
28. Haz la descomposición de los números y calcula el mcm de:
a) 6 y 18
b) 18, 27 y 54
c) 21, 14, 35
d) 16, 32, 80
e) 2, 4, 8, 16
f) 3, 5, 6 y 30
29. Jaime observa que los alumnos que participan en unas olimpiadas escolares se pueden contar
exactamente de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, de 5 en 5 y de 6 en 6.
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
¿Cuál es el menor número de alumnos que participan en las olimpiadas?
30. Por una parada de autobuses pasa el autobús de la línea 1 cada 48
minutos, el de la línea 2 cada 36 minutos y el de la línea 3 cada 60 minutos.
Si los tres autobuses han coincidido en la parada a las 16.00, a qué hora
volverán a coincidir?
PROBLEMAS:
31. Las distancias entre las ciudades A, B y C son: entre A y B 235 km; entre A y C 49 Km y entre B y C
134km. Calcula los km que recorre Silvia en estos casos.
a) Va de A a C pasando por B
b) Va de B a A y visita antes a su prima por C.
32. María lleva los papeles al contenedor de reciclaje cada 5 días y Pedro cada 3. El día 20 de mayo se
encontraron allí. ¿cuándo volverán a coincidir?
33. En un terreno rectangular de 240 por 360 metros se quieren poner placas cuadradas lo más grande posible
para recoger energía solar.
¿Cuánto miden los lados de las placas?
34. Carlos, ha colocado unas fotos en un álbum y se ha dado cuenta que si las coloca 4 en cada página,
solamente quedan 2 para la última página. Lo mismo pasa si pone 5 o 6 fotos en cada página.
a) ¿Cuántas fotos tiene Carlos?
b) ¿Cuántas tiene que colocar en cada página para que todas tengan el mimo número y no sobre ninguna?
Evaluación inicial.
1. De los números naturales a los enteros:
Muchas veces no es suficiente el uso de los números naturales para expresar de forma matemática
situaciones de la vida cotidiana:
-
Los números enteros y las temperaturas:
Si la temperatura es de 25º, podemos pensar que estamos pasando calor
o frío. Debemos colocar un signo positivo (+) delante del 25 para indicar
que la temperatura está por encima del 0, o un signo negativo (-) si está
por debajo del cero.
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
-
-
Los números enteros y la economía:
Si tienes un cuaderno con las ganancias y las pérdidas, lo que ganas está en positivo, y lo
que pierdes en negativo.
Los números enteros y la altitud:
Cuando queremos hablar de las profundidades,
colocamos un signo negativo para decir que estamos
bajo el nivel del mar.
Los números enteros comprenden:
- enteros positivos: +1, +2, +3, +4,…
- enteros negativos: … -5, -4, -3, -2, -1.
- el número 0. Es el único número que no tiene signo, ni positivo
ni negativo.
Los números enteros positivos coinciden con los números naturales:
+1 = 1
+2 = 2
2. Representación de números enteros. Valor absoluto. Opuesto:
Los números enteros se representan en una recta siguiendo estos pasos:
1º Dibujamos una recta horizontal y marcamos un punto que represente el cero, le denominamos
origen.
2º Fijamos el 1, y tomando como unidad su distancia al origen, marcamos puntos a la derecha e
izquierda del cero.
Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero, y los enteros negativos a la
izquierda.
Valor absoluto:
En la recta numérica hay números enteros que están a la misma distancia del origen, por ejemplo:
+6 y -6, +2 y -2,…
Decimos que estas parejas de números tienen el mismo valor absoluto y se indica escribiendo:
+2=-2=2
El valor absoluto sde un número entero s es el número natural que resulta de sacarle el signo.
Lo utilizamos cuando hablamos de distancias.
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
Ejemplo:
Un submarino se encuentra a 125 metros bajo el mar, y Carlos está a la cima de una montaña que
está a 240m sobre el nivel del mar. ¿qué distancia les separa?
Submarino: -125m
Carlos: +240
-125++240= 125+240= 365m
La distancia que les separa es de 365metros.
Opuesto:
El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto y signo
diferente.
Dos números son opuestos si cuando se representan en la recta están a la misma distancia del cero.
Ejemplo:
El opuesto del número +6 es:
Op(+6) = -6
ACTIVIDADES:
35.Ordena de menor a mayor estos números enteros positivos: 12, 5, 8, 11
36. Ordena de mayor a menor los siguientes números enteros negativos: -5, -1, -2, -25
37. Ordena de menor a mayor estos números enteros: -3, 6, 0, -8
38. Completa con los signos < o > estas expresiones:
a) 4
1
b) -1
-6
c) 0
3
d) -8
2
e) -2
0
f)
5
-9
39. Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y calcular los opuestos y
valores absolutos de los siguientes números enteros:
8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7
40. Representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los
siguientes números enteros:
−4, 6, −2, 1, −5, 0, 9
3. Comparación de números enteros:
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
Un número entero es mayor que otro si cuando lo representamos en la recta se encuentra a su
derecha.
a. Cualquier entero positivo es más grande que cualquier entero negativo
b. El cero es más pequeño que cualquier entero positivo y más grande que cualquier
entero negativo.
Dados dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
Dados dos números enteros negativos, es mayor el que tiene valor absoluto más pequeño.
Ejemplo:
Cuando representamos dos enteros negativos, comprobamos que a la derecha se
encuentra situado el que tiene menor valor absoluto.
ACTIVIDADES:
41. Javier tiene un termómetro, y cada cuatro horas anota la temperatura en ºC y obtiene los
siguientes valores durante el día:
-4
0
3
6
2
-2
a) Indica las temperaturas máximas y mínimas
b) ¿Cuál es la máxima variación en la temperatura?
42. Cuando se representan dos números enteros en la recta numérica, la distancia entre estos es 8.
Di de que números se trata si:
a) los dos son opuestos
b) los dos tienen el mismo valor absoluto
4. Suma de números enteros:
Suma de números enteros del mismo signo:
Para sumar dos números enteros del mismo signo, sumamos los valores absolutos y al resultado le
añadimos el signo de los sumandos:
Ejemplo:
-6-1 = -6+-1= -7
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
Suma de números enteros de diferente signo:
Para sumar dos números enteros de diferente signo, restamos los valores absolutos y al resultado le
añadimos el signo del sumando que tiene un valor absoluto mayor.
Ejemplo:
-2+5= -2++5= 3
4-7= +4-+7= -3
Suma de diversos números enteros:
Para sumar más de dos números enteros podemos:
a)Sumar los de dos en dos sucesivamente:
(-5)+3+(-6)+7= (-2)+(-6)+7 = (-8)+7= -1
b) sumar por separado los positivos y los negativos:
(-5)+3+(-6)+7= (-5-6)+(3+7) = (-11)+10= -1
ACTIVIDADES:
43. Realiza las siguientes operaciones:
a. (+5) - (+3) =
b. (-3) - (+8) =
c. (-9) - (-2) =
d. (+4) - (-7) =
e. (+6) - (+2) =
f. (-7) + (+2) =
44. Encuentra el resultado de estas sumas:
a) (-3)+(-2)+(-7)+(-12)=
b) (-3)+(-7)=
c) (-2)+3=
d) (-2)+(+6)+(-7)+(-12)=
45. Comprueba si se cumplen las siguientes igualdades:
a) op ((+4)+(+3)) = op(+4) + op(+3)
b) op ((-5)+(-8) = op (-5)+ op (-8)
c) op ((-7)+(+8))=op (-7)+op (+8)
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
5. Resta de números enteros:
Para restar dos números enteros, sumamos al primero el opuesto del segundo.
Hay 4 casos distintos:
a) La resta de dos números enteros positivos pasa a ser una suma de un número entero
positivo más un número negativo:
(+12)-(+9)= (+12) + op(+9)= (+12)+(-9)= +3
b) La resta de un número positivo menos un número negativo, se convierte en una suma de
dos números positivos.
(+6)-(-5)= (+6)+op (-5) = (+6)+(+5)= 11
c) La resta de un número negativo menos un número positivo pasa a ser una suma de dos
números negativos.
(-4)-(+6)=(-4)+op(+6)= (-4)+(-6) = -10
d
d)La resta de dos números negativos se transforma en la suma de un número negativo más un
número positivo:
El signo negativo delante de
(-8)-(-5) = (-8)+op(-5)= (-8)+(+5)= -3
un paréntesis canvia el signo
de los números que hay
Ejemplo:
dentro del paréntesis.
Vamos a
resolver
la siguiente operación de dos
formas
distintas:
a) +7-((-3)+6) = +7-(+3)= 7 – 3 = 4
b) +7-((-3)+6) = +7+(3+(-6)) = +7+3+(-6)= 4
Se obtiene el mismo resultado en ambos casos.
Combinación de sumas y restas de números enteros:
Para poder resolver operaciones combinadas de sumas y restas de números enteros, primeramente
cambiamos el signo de las operaciones:
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
4+(-5-3)-7-(-6)= 4-5-3-7+6
Po
os resolver de dos formas distintas:
a) Sumamos o restamos los números sucesivamente:
4-5-3-7+6 = -1-3-7+6 = -4-7+6 = -11+6 = -5
b) Agrupamos por un lado los positivos y por otro los negativos. Finalmente restamos las
sumas:
4-5-3-7+6 = (4+6) - (5+3+7) = 10 – 15 = -5
Ejemplo:
Un autobús, empieza un viaje con 32 pasajeros. En la primera parada, suben 7 y bajan 9; en la
segunda parada bajan 12 y suben 2, y en la tercera parada bajan 9. ¿Cuántos pasajeros hay en el
autobús?
Las personas que suben, lo expresaremos con un número entero positivo, y los que bajan, con un
número entero negativo:
32 + (7-9)+(-12+2)+(-9) = 32 + (-2)+(-10)+(-9)= 32-2-10-9 = 11 pasajeros que quedan en el
autobús.
ACTIVIDADES:
46. Realiza la siguientes operaciones:
a) 3+(-8)=
b) (-10)+3=
c) 3-2=
d) 6-9=
e) 6-(-3)=
f) 8-(15+9-12)=
g) 27+(-17)+(-5)-(-25)=
h) -12-(-13-5-(-4))=
47. Un avión vuela a 3500 m y un submarino está sumergido a 40 m. ¿Qué altura en metros les
separa?
48. En una estación metereológica, el termómetro marcaba -15ºC a las 6:00, al mediodía, la
temperatura había subido 10 grados y a las 19.00 había bajado 5 grados respeto al mediodía. ¿Cuál
era la temperatura a esta hora?
49. Un emperador romano nació el 15 de octubre del 63 aC y murió el 12 de mayo del 14 dC.
¿Cuántos años vivió?
6. Multiplicación de números enteros:
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
Para multiplicar dos números enteros:
1º Multiplicamos los valores absolutos
2º Al resultado le añadimos el signo (+) si los dos tienen el mismo signo, y el signo (-) si tienen
signo distinto.
Para obtener el signo del producto de dos números enteros, debemos seguir la regla de los
signos:
Ejemplo:
1. Martina hace una extraescolar que le cuesta 30 euros al mes. Para calcular cuanto se gastará
durante el curso que dura nueve meses:
Recibo mensual es de 30€:
-30
Duración 9 meses:
·(+9)
Gasto:
-270
(-30)·(+9)= -270
Martina se gastará 270€ en los 9 meses.
Para hacer multiplicaciones de más de dos números, multiplicamos de dos en dos sucesivamente. O
estudiamos primero el signo final y después multiplicamos los valores absolutos.
Ten en cuenta que en los números enteros positivos no acostumbramos a escribir el signo.
Ejemplo:
a) (+12) · (+3) = + (12 · 3) = +36
b) (+8) · (-10) = -(8 · 10) = -80
c) (-3) · (+5) · (-7) = - (3 ·5) · (-7) = -15 · (-7) = + (15 · 7) = +105
ACTIVIDADES:
50. Efectúa las siguientes multiplicaciones:
a) (+12)·(+5) =
b) (+8)·(-40) =
c) (-6)·(+5)·(-2) =
d) (-4)·(-9)·(-3) =
e) 15·(-20) =
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
f) 10·(-8)·(-3) =
g) 10·9·(-4) =
g) -5·(-9)(-20) =
51. Un barco hundido a unos 200 m de profundidad sube a la superficie a una velocidad de 2metros
por minuto.
¿A qué profundidad se encontrará al cabo de una hora?
7. División exacta de números enteros:
Para calcular el cociente de dos números enteros:
1º Determinamos el cociente de los valores absolutos
2º Al resultado le añadimos el signo (+) si los dos tienen el mismo signo, y el signo (-) si tienen
signo diferente.
Igual que con la multiplicación usamos la regla de los signos:
Ejemplo:
Un buzo se sumerge 50m en dos minutos. Para calcular a qué profundidad se encuentra en un
minuto, haremos la siguiente operación:
(-50) : (+2) = -25
En un minuto se encuentra sumergido 25 metros.
En el caso de dividir más de dos números consecutivos, es muy importante que los dividamos de
izquierda a derecha, es decir, en el orden en que aparecen.
Ejemplo:
a) (+15) : (+3) = +(15:3) = +5
b) (+25) : (-5) = - (25 : 5) = - 5
c) (-60) : (+4) : (-3 ) = -(60:4) : (-3) = - 15 : (-3) = + (15:3) = +5
ACTIVIDADES:
52. Resuelve los siguientes cocientes:
a) (+21) : (+7)=
b) (+24) : (-8)=
c) (-72) : (-9) =
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
d) (-120) : (+10) =
e) (-54) : (-3) : (-6) =
f) (+125) : (- 5) : ( -5) =
53. Una casa tiene un depósito para regar de 9000 litros. Se abren al mismo tiempo un grifo que
pone 28 litros por minuto y un tubo de riego por el cual salen 40 litros por minuto. ¿Cuánto tardará
en quedarse vacío el depósito?
8. Propiedad distributiva:
El producto de un número entero por una suma, es igual a la suma de los productos de este
número para cada sumando.
Ejemplo:
1º hacemos la suma y después la multiplicación:
4· ((-2)+3) = 4 · (1) = 4
2º Primero multiplicamos el factor para cada sumando, y después sumamos los resultados:
4· ((-2)+3) = 4 · (-2)+ 4 · 3 = -8 + 12 = 4
Si utilizamos la propiedad distributiva, podemos convertir:
a) Una multiplicación en suma:
(-5) · ((-3) + 2) = (-5) · (-3) + (-5) · 2
b) Una suma en multiplicación:
(-5) · (-3) + (-5) · 2 = (-5) · ((-3) + 2)
ACTIVIDADES:
53. Calcula el resultado de dos formas distintas:
a) 4 · ((-7)+(-10)) =
b) (-2) · (12 + (-4)) =
c) ((-2) + 3) · (-5)) =
d) ((-6) + (-1)) · (-7) =
9. Factor común:
Si aplicamos la propiedad distributiva, en leerla de derecha a izquierda, transformamos la suma en
una multiplicación.
Sacar factor común consiste en escribir en forma de producto una suma en que todos los
sumandos tienen un factor común.
9 · (-5) + 9 · 6 = 9 · ((-5)+6)
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
Ejemplo:
Lucía gasta al mes 15 euros en cine y 17 en música, y quiere saber cuánto se gastará en 3 meses.
Puede calcularlo de dos formas:
1º
3·(15+17)= 3 · 32 = 96€
2º
3·15 + 3·17 = 96€
De las dos formas, obtenemos que Lucía se gastará 96€.
ACTIVIDADES:
54. Calcula el resultado sacando factor común:
a) (-8)·6+(-8)·4 =
b) (-4)·5+(-8)·(-3)+(-4)·6=
c) 5·(-6)+ 4· (-6) =
d) 2·9+2·(-11) =
e) 3·(-3) + 5·(-6) =
f) (-9)·(-2)+ 5·3 =
g) (-5)·2+(-3)·4+2·13=
h) 6·(-5)+(-4)·3+(-9)·4 =
10. Operaciones combinadas:
Para operar con números enteros, seguimos el siguiente orden:
1º Resolvemos las operaciones que están dentro los paréntesis
2º Hacemos las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha
3º Hacemos las sumas y restas.
Ejemplo:
6-(((-5)-3)+18:(-9)+(4-2)·3)·4 =
= 6 – ((-8) + (- 2) + (2) ·3) ·4=
= 6- ((-8) + (- 2) + (6)) · 4 =
= 6 – (-4) · 4 =
= 6- (-16) =
= 6 + 16 = 22
ACTIVIDADES:
55. Resuelve:
UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES y NÚMEROS ENTEROS
a) 32+(-12):2 =
b) 7+ 3·4+6-5=
c) (-8)·9 – 15 · (-3) =
d) 25: (60:12) + 15 =
e) 27: (-3)·2-(-4)=
f) (-4)·10:2+14:(-7)=
g) -4·(-3+5):2·5 =
h) 18:9 +5-((-15)·3+12·4=
i) ((3-4)+(-2))·4+9:(-3)·6 =
j) (-3)·2-((-5+(-7)-(-12))-(-3)) =
educaline
PROBLEMAS:
56. Un avión vuela a 3500metros y un submarino se encuentra sumergido 40 metros. ¿Qué altura
les separa?
57. Lorena ha ida al hospital a visitar a su prima. Ha subido al ascensor y ha pulsado en el ascensor
la planta en la que se encuentra su prima, pero antes ha hecho el siguiente recorrido:
1º sube 5 pisos
2º baja 7 pisos
4º sube 4 pisos
3º sube 10 pisos
5º baja 3 pisos
¿en qué piso está su prima?
58. En una estación de esquí, a temperatura baja 2 grados cada hora a partir de
las 00:00 y hasta las 8:00. ¿Qué temperatura hay a las 8:00 si a las 0:00 era de
4ºC?
59. La temperatura en una mañana de invierno era de -3ºC. Al mediodía, la
temperatura era igual a la opuesta del doble de la temperatura de la mañana.
a) ¿Cuál era la temperatura al mediodía?
b) Calcula la diferencia de temperatura entre el mediodía y la mañana.