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Introducción a la topología.
Curso 2010.
Práctico 3.
Facultad de Ciencias.
Centro de Matemática.
1. Topología de la convergencia puntual. Supongamos que X es un conjunto no vacío y que F (X, R)
es el conjunto de las funciones de X en R (no necesariamente continuas). Dado un punto x ∈ X
y un abierto A ⊂ R definimos U (x, A) := {f ∈ F (X, R) : f (x) ∈ A}. Probar que la familia de
los conjuntos U (x, I) con x ∈ X e I un intervalo abierto de R es una sub-base de una topología en
F (X, R). Describir una base de dicha topología. Demostrar que una red {fi }i∈I ⊂ F (X, R) converge a
f ∈ F (X, R) sii lı́mi fi (x) = f (x) para todo x ∈ X, por esto la topología definida se llama la topología
de la convergencia puntual.
¿Puede verse F (X, R) como un espacio producto de manera que la topología que definimos antes
coincide con la topología producto?.
Supongamos que X = R con la topología usual y que en F (R, R) tomamos la topología que definimos
antes, ¿Es el conjunto de las funciones continuas cerrado en F (R, R)?.
2. Supongamos que X es un conjunto no vacío, {Yi }i∈I es una familia de espacios topológicos y {fi }i∈I
es una familia de funciones tales que fi : X → Yi para todo i ∈ I. En X tomamos la topología inicial
generada por las fi . Demostrar que una función g : Z → X es continua sii fi ◦ g es continua para todo
i ∈ I.
3. Supongamos que X es un espacio topológico y que f, g : X → R son continuas con la topología usual,
y a ∈ R. Probar que las funciones af : X → R x 7→ af (x) y f + g : X → R x 7→ f (x) + g(x) son
continuas. Usando el ejercicio anterior concluir que cualquier transformación lineal de Rn en Rm es
continua (con la topología usual).
4. Probar que en un espacio seminormado (Ejercicio 3 del práctico 2) la familia de bolas abiertas es
una base de la topología. Concluir que los espacios seminormados son N1 ¿Es cierto que todo espacio
seminormado separable es N2 ?
5. Demostrar que toda base de un espacio N2 contiene una base numerable.
6. Demostrar que todo conjunto discreto de un espacio N2 es numerable. Recordar que un conjunto
es discreto si para cada uno de sus elementos existe un entorno del mismo cuya intersección con el
conjunto consta únicamente del elemento.
7. Una función f : R → R se dice acotada si sup{|f (x)| : x ∈ R} < ∞. Llamamos BR al conjunto de las
funciones acotadas, si para f, g ∈ BR y a ∈ R se definen f + g : R → R x 7→ f (x) + g(x), y af : R → R
x 7→ af (x). Entonces BR es un espacio vectorial sobre R. Si además se define kf k := sup{|f (x)| : x ∈
R} para cada f ∈ BR entonces BR es un espacio normado. Probar que dicho espacio normado no es
N2 (pero sí N1 por el Ejercicio 1). Sugerencia: considerar el ejercicio anterior.
8. Probar que Rn con la topología usual es N2 , probar que un conjunto no numerable no es N1 con la
topología de los complementos numerables ni con la de los complementos finitos.
9. Un conjunto Gδ es un conjunto que es la intersección numerable de abiertos. Probar que en un espacio
T1 y N1 todo conjunto de la forma {x} es un Gδ .
10. Sea X un espacio topológico N2 y A un subconjunto no numerable, probar que existen infinitos puntos
de A en A0 (es decir que existen infinitos puntos de A que son de acumulación de A).
11. Probar que todo espacio normado es Hausdorff (una norma es una seminorma k k tal que kxk = 0 sii
x = 0, ver el Ejercicio 3 del práctico 2), y que un espacio seminormado es T2 sii es T1 sii la seminorma
que define la topología es una norma.
12. Ver que todo conjunto infinito con la topología de los complementos finitos es T1 pero no Hausdorff, y
que sucede lo mismo con un conjunto no numerable con la topología de los complementos numerables.
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13. En N consideramos la topología {[n, +∞) : n ∈ N} ∪ {φ}, probar que N con dicha topología es T0
pero no T1 .
14. LLamaremos progresión aritmética a un conjunto de números reales de la forma {a + nd : n ∈ N}
siendo a y d fijos.
a) Probar que la familia de todas las progresiones aritméticas de números naturales forma una base
para una topología en N.
b) Usar la topología anterior para demostrar que existe una cantidad infinita de primos.
15. Dar ejemplos de las siguientes situaciones: i) un espacio que no es T0 ii) un espacio T0 pero no T1 ,
iii) un espacio T1 pero no T2 , iv) un espacio N1 pero no N2 , v) un espacio que no es N1 , sugerencia:
F (R, R).
16. Una función entre espacios topológicos se dice cerrada si la imagen de todo cerrado es cerrado. Un
homemomorfismo es una función biyectiva continua con inversa continua. Probar que una función
biyectiva es un homemorfismo sii es continua y cerrada sii es continua y abierta.
17. Sea (X, τ ) un espacio topológico, y A ⊂ X. Se dice que A es un retracto si existe una función continua
r : X → A (llamada retracción) tal que r(a) = a para todo a ∈ A.
i) Probar que X y {x} son retractos de X, para todo x ∈ X.
ii) Probar que A es un retracto de X sii para cualquier espacio topológico Y , toda función continua
f : A → Y se extiende a una función continua en X.
iii) Probar que un retracto de un espacio de Hausdorff es un conjunto cerrado.
iv) Probar que los unicos retractos de R son los intervalos cerrados (finitos o infinitos).
v) Sea X un conjunto infinito con la topología de los complementos finitos. Probar que todo abierto
no vacío es un retracto de X y que, en consecuencia, no se puede sustituir en iii) la condición de
ser de Hausdorff por la de ser T1 .
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