Download 1. Topología de complementos finitos. 2. Topología de

Introducción a la topología.
Curso 2010.
Práctico 2.
Facultad de Ciencias.
Centro de Matemática.
1. Topología de complementos nitos.
Dado un conjunto no vacío A se dene la topología de los complementos nitos como:
τf := {B : B es un subconjunto no vacío de A, B c es nito} ∪ {φ}
a) Probar que τf es una topología en A.
b) ¾Qué sucede con τf si A es nito?.
c) Probar que si A es innito entonces dos abiertos no vacíos cualesquiera tienen intersección no
vacía.
2. Topología de complementos numerables.
Dado un conjunto no vacío A se dene la topología de los complementos numerables como:
τ∞ := {B : B es un subconjunto no vacío de A, B c es numerable} ∪ {φ}
a) Probar que τ∞ es una topología en A.
b) ¾Qué sucede con τ∞ si A es numerable?.
3. Topologías a partir de seminormas.
Sea V un espacio vectorial no nulo sobre R o C. Una seminorma en V es una función k k : V → R tal
que:
kx + yk 6 kxk + kyk ∀ x, y ∈ V .
kλxk = |λ|kxk para todo x ∈ V y λ ∈ R (o C según el caso, |λ| es el valor absoluto o el módulo).
kxk > 0 ∀ x ∈ V .
Dados x ∈ V y r > 0 denimos la bola abierta y la bola cerrada de centro x y radio r respectivamente
como:
B(x, r) := {y ∈ V : kx − yk < r} B[x, r] := {y ∈ V : kx − yk 6 r}.
Probar que
τ := {U : U ⊂ V, U 6= φ, ∀ x ∈ U ∃ r > 0 : B(x, r) ⊂ U } ∪ {φ}
es una topología en V , tal que toda bola abierta pertenece a τ (es decir que toda bola abierta es
abierta, ¾es inmediato?). Además calcular la clausura, el interior y la frontera de una bola cerrada y
una abierta. Sugerencia: recordar la desigualdad |kxk − kyk| 6 kx − yk.
4. Topologías en Rn .
P
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En este ejercicio k k : Rn → R denotará la norma euclídea de Rn , es decir k(x1 , . . . , xn )k = ( i x2i ) 2 .
Usaremos la notación del ejercicio anterior y llamaremos τ a la topología que genera k k. Por otro
lado, dados n intervalos abiertos no vacíos I1 , . . . , In ⊂ Rn denimos
I1 × . . . × In := {x ∈ Rn : x = (x1 , . . . , xn ), xi ∈ Ii ∀ i = 1, . . . , n}.
Un bloque abierto es un conjunto de la forma I1 × . . . × In para I1 , . . . , In como antes. Ahora denimos
τ 0 := {U : U ⊂ Rn , U 6= φ, ∀ a ∈ U ∃ un bloque abierto B : a ∈ B ⊂ U } ∪ {φ}.
Probar que: i) τ 0 es una topología en Rn , ii) un bloque abierto es abierto según τ 0 , y iii) τ = τ 0 .
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5. En este ejercicio consideramos Z con la topología de los complementos nitos. Calcular la clausura y
el interior de los siguientes conjuntos:
{n} para un n ∈ Z cualquiera.
F , siendo F un subconjunto nito de Z.
I , siendo I un subconjunto innito de Z.
¾Qué sucede con la frontera en cada uno de los casos anteriores?.
6. En este ejercicio consideramos R con la topología de los complementos numerables. Calcular la clausura
de los siguientes conjuntos:
{x} para un x ∈ R cualquiera.
F , siendo F un subconjunto numerable de R.
[0, 1].
I , siendo I un subconjunto no numerable de R.
Probar además que los conjuntos con interior no vacío son exactamente los conjuntos abiertos no
vacíos.
7. Sea (X, τ ) un espacio topológico. Para un subconjunto A de X notamos δA a la frontera de A, A a la
clausura, y A◦ al interior de A. Para dos subconjuntos A, B de X probar las siguientes armaciones
para:
δA = A ∩ Ac = A − A◦ ; (δA)c = A◦ ∪ (Ac )◦ ; A = A ∪ δA; (A)c = (Ac )◦ ;
A◦ = A − δA;
A ⊂ A;
A = A;
A ∪ B = A ∪ B.
8. Supongamos que X es un conjunto y {τi }i∈I es una familia de topologías en X (es decir que para cada
i ∈ I τi es una topología en X ). Probar que ∩i∈I τi es una topología en X . ¾Es cierto que ∪i∈I τi es una
topología en X ?. Deducir que: existe una única topología en X contenida en cada τi y que contiene a
cualquier otra topología contenida en todas las τi .
¾Existe una topología que contiene a todas las τi , y que a su vez está contenida en cualquier otra que
contiene a todas las τi ?1 .
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½Qué trabalenguas!
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