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Tema 1. Conceptos Básicos de la Teoría de Circuitos
1.1 Introducción
i5
1.2 Sistema de unidades
1.3 Carga y corriente
1.4 Tensión
i4
i1
i3
1.5 Potencia y energía
1.6 Ley de Ohm
1.7 Fuentes independientes
i2
1.8 Leyes de Kirchhoff
1.9 Divisores de tensión y de corriente
1.10 Fuentes dependientes
Análisis de Circuitos (G-286). Grado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
José A. Pereda, Dpto. Ing. de Comunicaciones, Universidad de Cantabria.
1
Bibliografía Básica para este Tema:
[1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, “Fundamentos de circuitos
eléctricos”, 3ª ed., McGraw-Hill, 2006.
[2] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, “Introduction to electric circuits”,
7th ed., John Wiley & Sons, 2006.
Sadiku à Temas 1 y 2
Dorf à Temas 1, 2 y 3
2
1.1 Introducción
- Un circuito eléctrico es una interconexión
de elementos eléctricos
- El circuito de la figura está formado por:
* Batería: suministra energía eléctrica
* Bombillas: transforman la energía eléctrica
en luz y calor
* Cables: conectan los elementos entre sí
R1
- Para estudiar un circuito real es necesario
aproximarlo por un modelo matemático más
sencillo.
R2
VS
+
3
1.1 Introducción
- La Teoría de Circuitos es un caso particular (aproximación)
de la Teoría Electromagnética
- La aproximación se basa en suponer que el tamaño físico del circuito
es mucho menor que la longitud de onda de las señales presentes en él
- En realidad, supondremos que los circuitos no tienen dimensión física
ß
Circuitos de Parámetros Concentrados
- En general, el comportamiento de un circuito viene descrito por un
conjunto de ecs. diferenciales
ß
Esto permite establecer analogías entre el comportamiento
de los circuitos y de otros sistemas físicos
4
1.2 Sistema de unidades
- Definición de magnitud física:
“La Oficina Internacional de Pesas y Medidas define la magnitud
física como un atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede
ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente”
- Magnitudes escalares:
Se determinan completamente con un solo valor escalar
Ej.: masa, temperatura, carga eléctrica, etc.
- Magnitudes vectoriales:
Se determinan completamente con 2 valores: Módulo y Dirección
Ej.: Fuerza , velocidad, campo eléctrico, etc.
5
1.2 Sistema de unidades
- Unidades fundamentales del Sistema Internacional (SI)
6
1.2 Sistema de unidades
- Prefijos del Sistema Internacional (SI):
- Prefijos más usados en el ámbito de la ingeniería
Multiplicador Prefijo
Símbolo
1012
tera
T
109
giga
G
106
mega
M
103
kilo
k
10-3
mili
m
10-6
micro
m
10-9
nano
n
10-12
pico
p
7
1.3 Carga y corriente
• Concepto de carga eléctrica:
“Propiedad intrínseca de las partículas subatómicas”
1. Protón: carga +e
2. Electrón: carga -e
e
+
-
unidad fundamental de la carga eléctrica
• Constitución de la materia:
carga corteza: Z(-e)
átomo = núcleo + corteza
-
Z: número atómico
-eZ + eZ = 0
¡¡ El átomo es neutro !!
-
+
+ +
carga núcleo: Z(+e)
¡¡ El universo es neutro !!
8
1.3 Carga y corriente
• Cuantización de la carga:
“Cualquier carga Q es múltiplo entero de e”
Q = ±Ne
• Conservación de la carga:
“En cualquier proceso físico o químico la carga total se conserva”
• Unidades de la carga: El culombio (C)
Es una unidad derivada:
1 culombio = 1 amperio ´ 1 segundo
1 C = 1 A ´1s
• Valor de “e” en culombios:
e = 1.602177 × 10-19 C
9
1.3 Carga y corriente
• Conductores:
“Son materiales en los cuales parte de los electrones son capaces
de moverse libremente”
Ej.: metales
• Aislantes:
“Son materiales en los cuales todos los electrones están ligados a
los átomos y no pueden moverse libremente”
Ej.: madera, plástico, vidrio, etc.
10
1.3 Carga y corriente
- Proceso físico de la conducción eléctrica en metales:
a) Campo eléctrico aplicado nulo:
r
E=0
b) Campo eléctrico aplicado NO nulo:
r
E¹0
+q
+q
Dl
v=
¹0
Dt
6
v
»
10
m/s
Vel. instantánea: i
Desplazamiento medio: Dl = 0
Velocidad media:
Dl
v=
=0
Dt
Dl ¹ 0
mp
r
v
r
r
v = mpE
Movilidad de los portadores
Velocidad media,
de arrastre o de deriva
v << vi
11
1.3 Carga y corriente
- Definición de intensidad de corriente eléctrica:
“La intensidad de corriente eléctrica, o simplemente corriente
eléctrica, se define como la cantidad de carga eléctrica que
atraviesa una superficie por unidad de tiempo”
S
+q
dq
i=
dt
S
i
12
1.3 Carga y corriente
- Dirección de la corriente: por convenio, se considera que la
dirección de i es la correspondiente al flujo de cargas positivas
(los electrones se mueven en dirección opuesta a la dirección
de la corriente)
i
- Unidades de la corriente: El amperio (A)
- En el SI la corriente es una magnitud fundamental, mientras que
la carga no lo es, ya que deriva de la corriente y del tiempo.
13
1.3 Carga y corriente
* Corrientes volúmicas:
- “Los electrones viajan por todo el volumen del conductor”
i
* Corrientes filiformes:
- “Son corrientes que viajan por líneas geométricas”
- Es una idealización que se usa en la teoría de circuitos.
i
14
1.3 Carga y corriente
* Carga total transferida en un intervalo de tiempo:
dq
i=
Þ dq = i dt
dt t f
tf
tf
ò dq = ò i dt Þ Q = ò i dt
ti
ti
ti
* En general la corriente es función del tiempo
i
tf
Q = ò i dt
ti
i = i (t )
- Corriente de continua o corriente directa (dc): no varía con el
tiempo. Se denota mediante el símbolo I
- Corriente de alterna (ac): varía sinusoidalmente con el tiempo
c. continua
c. alterna
15
- Ejemplo 1: Calcular la carga total que entra por un terminal entre los
instantes t = 1 s y t = 2 s si la corriente que pasa es i = (3t2-t) A.
Solución:
i (t )
- Según acabamos de ver:
- En este ejemplo
tf
Q = ò i dt
ti
ti = 1 s
tf = 2s
(
)
i = 3t 2 - t A
- Luego:
Q=ò
2
1
2
2
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
t
2
1
2
3
3
3
3t - t dt = çç t - ÷÷ = çç 2 - ÷÷ - çç1 - ÷÷ = 5.5 C
2 ø1 è
2ø è
2ø
è
(
)
integramos
2
evaluamos en
los límites
16
1.4 Tensión
- Definición de tensión entre dos puntos A y B:
- Para mover un electrón es necesario aportar energía (realizar
trabajo
- Esta energía la dan las fuentes o generadores del circuito
“La tensión (o diferencia de potencial) vAB entre dos puntos A
y B de un circuito es la energía necesaria para mover una
carga de valor unidad desde A hasta B”
- Matemáticamente:
vAB =
dw
dq
- Unidades de la tensión: El voltio (V)
1 julio
1 voltio =
1 culombio
1J
1V =
1C
17
1.4 Tensión
- Tensión entre los terminales de un elemento:
+
vAB
B
A
- Los signos + y – indican la polaridad de la tensión
- El punto A está a un potencial
vAB voltios mayor que el punto B
- Se dice que hay una caída de tensión de
vAB voltios de A hasta B
- Las siguientes figuras son equivalentes
+
A
vAB
-
-
B
-vAB
B
A
+
A
-vBA
B
+
vAB = - vBA
18
1.4 Tensión
- En general la tensión es función del tiempo
v = v(t )
- Tensión de continua: no varía con el tiempo. Se denota mediante el
símbolo V
- Tensión de alterna: varía sinusoidalmente con el tiempo
V
t. continua
v
t. alterna
19
1.5 Potencia y energía
- Definición de potencia:
- Los cálculos de potencia y energía son importantes en el
análisis de circuitos
“La potencia p es la cantidad de energía (absorbida o suministrada)
por unidad de tiempo”
- Matemáticamente:
dw
p=
dt
20
1.5 Potencia y energía
- Potencia (absorbida o suministrada) por un elemento de circuito:
p=
dw dw dq
=
dt dq dt
p = vi
“La potencia absorbida o suministrada por un elemento es el
producto de la tensión entre los extremos del elemento por la
corriente que pasa a través de él”
- Unidades de la potencia: El vatio (W)
- De la expresión anterior se deduce: 1 W = 1V ´ 1A
21
1.5 Potencia y energía
- Cálculo de la potencia en un elemento de circuito:
- 1er caso: La corriente entra por el terminal positivo
+
v
-
p = + vi
i
- 2º caso: La corriente entra por el terminal negativo
-
v
+
p = -vi
i
- En ambos casos:
- Si p > 0 à el elemento disipa potencia
- Si p < 0 à el elemento suministra potencia
- En el 1er caso se dice que “se cumple el convenio pasivo de signos”
22
- Ejemplo 2: Calcular la potencia en cada elemento del circuito de la
figura indicando si es potencia suministrada o consumida
-3V
+
5
2A
- -1 A
-
+
1 -5V
2 5V
+
3A
+
-8V
6
5V
4
+
-
+
0V 3
0 A -3A
-
23
Solución:
p = + vi si la corriente entra por +
- Potencia en un
elemento
p = - vi si la corriente entra por -
- Elemento 1: V1 = -5 V I1 = 3 A
P1 = +V1I1 = +(- 5)´ 3 = -15 W < 0 (suministra)
- Elemento 2: V2 = 5 V I 2 = 0 A
P2 = -V2 I 2 = -5 ´ 0 = 0 W
- Elemento 3: V3 = 0 V I 3 = -3 A
P3 = -V3 I 3 = -0 ´ (- 3) = 0 W
- Elemento 4: V4 = 5 V I 4 = -1 A
P4 = -V4 I 4 = -5 ´ (- 1) = 5 W > 0 (consume)
- Elemento 5: V5 = -3 V I 5 = 2 A
P5 = +V5 I 5 = (- 3)´ 2 = -6 W < 0 (suministra)
- Elemento 6: V6 = -8 V I 6 = 2 A
P6 = -V6 I 6 = -(- 8) ´ 2 = 16 W > 0 (consume)
-3V
+
5
2A
- -1 A
-
+
1 -5V
2 5V
+
3A
+
-8 V
6
5V
4
+
-
+
0V 3
0 A -3A
-
- Total potencia suministrada = -21 W
- Total potencia consumida = +21 W
24
1.5 Potencia y energía
- Ley de conservación de la energía para un circuito eléctrico:
“La suma algebraica de la potencia en un circuito eléctrico
debe ser cero, en cualquier instante de tiempo”
- Matemáticamente:
åp
n
=0
n
pabsorbida + psuministra da = 0
pabsorbida > 0
psuministra da < 0
25
1.5 Potencia y energía
- Cálculo de energía absorbida o suministrada en un intervalo de tiempo:
dw
p=
Þ dw = p dt
dt
- Integrando:
ò
t2
t1
t2
t2
t1
t1
dw = ò p dt Þ w = ò vi dt
- Unidades de la energía (SI): El julio (J)
1 julio = 1 vatio ´ 1 segundo
1 J = 1 W ´ 1s
- En la vida cotidiana (recibo de la luz) es usual emplear como unidad
de energía el vatio-hora (Wh)
1 Wh = 1 W ´ 3600 s = 3600 J
26
1.6 Ley de Ohm
- Elementos activos y pasivos:
“Un elemento es pasivo si siempre (en cualquier instante de
tiempo) absorbe energía del resto del circuito”
- Ejemplos: resistencias, condensadores y bobinas
t
w = ò vi dt ³ 0 "t
-¥
+
v
-
i
“Un elemento es activo si es capaz de suministrar energía al
resto del circuito en algún instante de tiempo”
- Ejemplos: baterías y generadores
27
1.6 Ley de Ohm
- Característica i-v de un elemento:
“La característica i-v de un elemento es la relación entre la
corriente que lo atraviesa y la tensión entre sus terminales”
- Característica i-v ….:
- Cada tipo de elemento tiene una propia
+
v
-
i
- En general, es una relación no lineal
- Se expresa en forma de ecuación o de gráfica
- Determina el comportamiento de un elemento dentro de
un circuito
28
1.6 Ley de Ohm
- Definición de resistividad:
“La resistividad ρ de un material es la capacidad para oponerse
al desplazamiento de carga a través de él”
- Los buenos aislantes tienen resistividades altas, mientras que los
buenos conductores las tienen bajas
- El inverso de la resistividad se denomina conductividad σ
s = 1/r
29
1.6 Ley de Ohm
- Tabla de resistividades
Material
Resistividad (Ohm m)
Plata
1.6 10-8
Cobre
1.7 10-8
10-8
Aluminio
2.8
Oro
2.5 10-8
Carbón
4.0 10-5
Germanio
47 10-2
Silicio
6.4 10+2
Papel
1
10+10
Mica
5
10+11
Vidrio
1
10+12
Teflón
3
10+12
Buenos conductores
Semiconductores
Aislantes
30
1.6 Ley de Ohm
- Ley de Ohm y definición de resistencia:
“En 1827 el físico alemán Georg S. Ohm determinó
experimentalmente que la tensión entre los terminales de un
cuerpo resistivo es proporcional a la corriente que lo atraviesa”
- Matemáticamente:
v = Ri
- La constante de proporcionalidad R se denomina resistencia y vale:
l
R=r
S
S
+
v
-
r
i
l
- Unidades de la resistencia: El ohmio (Ω)
1V
1W =
1A
31
1.6 Ley de Ohm
- Ley de Ohm y definición de resistencia:
- Resistencia como elemento de circuito
S
+
v
-
r
i
Þ
i
+
l
i
+
i
R
v
v = + Ri
-
-
R
v
-
R
v
+
v = - Ri
32
1.6 Ley de Ohm
- Ley de Ohm y definición de resistencia:
- La ecuación v=Ri es un modelo (lineal).
- En realidad, para tensiones altas la
relación i-v deja de ser lineal
33
34
1.6 Ley de Ohm
- Ley de Ohm y definición de resistencia:
- El inverso de la resistencia se denomina conductancia G
G = 1/R
- Unidades de la conductancia: Siemen (S), también se usa mho
- Casos límite:
i
+
G=¥
R=0
v=0
Corto-circuito
G=0
R=¥
i=0
-
+
v
-
Circuito-abierto
35
1.6 Ley de Ohm
- Potencia en una resistencia:
p = vi
v = Ri
i
p = i2R ³ 0
- Alternativamente
+
R
v
-
v2
p=
R
- La resistencia es un elemento pasivo, siempre absorbe (disipa) energía
- En una resistencia la energía eléctrica se transforma en calor
36
- Ejemplo 3: Se dispone de una pieza de Nicromo (aleación 80% niquel
y 20% cromo), de resistividad ρ = 103 x 10-6 Ω cm, con forma de
paralelepípedo. El área de las bases es S = 2 cm2 y la longitud ℓ = 5 cm.
Sabiendo que la caída de potencial entre las bases es V = 10 V,
calcular la potencia y la energía disipada en Δt = 2 h.
+
Solución:
V2
p=
R
I
-6
l (103 ´ 10 ) ´ 5
R=r =
= 2.58 ´ 10- 4 W
S
2
-
V
I
r
S
l
V2
10 2
5
p=
=
=
3
.
88
´
10
W
-4
R 2.58 ´ 10
w = pDt = (3.88 ´105 ) ´ (2 ´ 60 ´ 60) = 2.79 ´109 J
37
1.7 Fuentes independientes
- Las fuentes son elementos activos que, generalmente, suministran
energía al circuito al que están conectadas
- Hay dos tipos de fuentes: independientes y dependientes
- Las fuentes independientes pueden ser de tensión y de corriente
“Fuente de tensión ideal: es un elemento que proporciona,
entre sus terminales, una tensión prefijada. La corriente que
lo atraviesa depende del resto del circuito”
- Símbolos:
i
i
-+
vs
fuente de tensión
variable con el tiempo
+
-
V0
fuente de tensión
de continua
38
1.7 Fuentes independientes
“Fuente de corriente ideal: es un elemento que proporciona
una corriente prefijada. La tensión entre sus terminales
depende del resto del circuito”
- Símbolo:
is
+
v
- Las fuentes también pueden absorber energía!!
39
- Ejemplo 4: Dos fuentes ideales, una de tensión y otra de corriente,
se conectan directamente como se muestra en la figura. Calcular la
potencia en cada fuente, indicando si es suministrada o absorbida.
Dorf-7ª P 2.5-3
IS = 3 A
+
- VS = 12 V
40
Solución:
Is = 3 A
+
-
+
- Vs = 12 V
- Fuente de corriente: La corriente entra por el terminal negativo
p = -vi = -Vs I s = -12 ´ 3 = -36 W < 0 (suministrada)
- Fuente de tensión: La corriente entra por el terminal positivo
p = + vi = +Vs I s = +12 ´ 3 = +36 W > 0 (absorbida)
41
1.8 Leyes de Kirchhoff
- Definición de Nudo y de Malla:
- Nudo: punto de conexión entre dos o más elementos de circuito
- Malla: cualquier trayectoria cerrada de un circuito
-Ej: Identificar todos los nudos y mallas del circuito de la figura
5W
12 V
+
-
20 W
1W
2W
42
Solución:
- Nudo: punto de conexión entre dos o más elementos de circuito
- Hay 4 nudos:
-
Nudo
Nudo
Nudo
Nudo
1: A
2: B
3: C
4: D
A
12 V
+
-
5W
20 W
B
1W
2W
D
C
- Malla: cualquier trayectoria cerrada de un circuito
- Hay 3 mallas:
- Malla 1: ABCDA
- Malla 2: ABCA
- Malla 3: ACDA
43
1.8 Leyes de Kirchhoff
- Las leyes de Kirchhoff fueron introducidas en 1847 por el físico
alemán Gustav R. Kirchhoff
- Ley de Kirchhoff de las corrientes (KCL):
- Expresa el principio de conservación de la carga
“La suma algebraica de las corrientes que entran (o salen) de
un nudo es cero”
- Matemáticamente:
N
å in = 0
n =1
(las corrientes salientes positivas y
las entrantes negativas, o viceversa)
donde N es el número de corrientes que entran/salen del nudo
e in es la n-ésima corriente
44
1.8 Leyes de Kirchhoff
- Ley de Kirchhoff de las corrientes (KCL):
-Ej: Aplicar la KCL al nudo de la figura
Solución:
5
- Hay 5 corrientes à
åi
n =1
n
=0
i5
i1
i4
i2
i3
- Tomamos positivas las corrientes salientes:
5
åi
n =1
n
=0
- i1 + i2 - i3 - i4 + i5 = 0
- También podemos escribir:
i1 + i3 + i4 = i2 + i5
- Enunciado alternativo de la KCL:
“La suma de las corrientes que entran en un nudo es igual a la
suma de las corrientes que salen de él”
åi
entrantes
= å isalientes (todas positivas)
45
1.8 Leyes de Kirchhoff
- Ley de Kirchhoff de las corrientes (KCL):
- La KCL puede generalizarse aplicándose a superficies cerradas
(en 2D curvas cerradas)
i5
i4
i2 + i3 = i1 + i4 + i5
i1
i3
i2
Estas curvas se
denominan SUPERNUDOS
- En un circuito de N nudos, sólo N-1 ecuaciones de nudos son
independientes
46
- Ejemplo 5: Calcular las corrientes indicadas en los circuitos de la
figura aplicando la ley de Kirchhoff de las corrientes.
I?
2A
I?
-3A
2A
-1 A
-4A
(a)
(b)
I?
3A
5W
-2A
2A
1A
(c)
10 W
(d)
I?
47
Solución:
åi
(a)
entrantes
= å isalientes
+ ( -1) = 2 + I Þ I = -3 A
I?
2A
signo de la ley
signo de la variable
-1 A
(b)
åi
entrantes
2A
I?
-3A
= å isalientes
2 + (-3) = (-4) + I Þ I = 3 A
-4A
48
(c)
3A
åi
entrantes
-2A
= å isalientes
1 + I = 3 + (-2) Þ I = 0 A
1A
I?
(d)
I?
5W
2A
10 W
åi
entrantes
= å isalientes
0= I Þ I =0A
49
1.8 Leyes de Kirchhoff
- Ley de Kirchhoff de las tensiones (KVL):
- Expresa el principio de conservación de la energía
“La suma algebraica de las tensiones a lo largo de una
trayectoria cerrada es cero”
- Matemáticamente:
M
å vm = 0
m =1
(las subidas de tensión positivas y
las caídas negativas, o viceversa)
donde M es el número de tensiones a lo largo de la malla y vm es
la m-ésima tensión
- Nota: no es necesario que la trayectoria esté recorrida por
un cable
50
1.8 Leyes de Kirchhoff
- Ley de Kirchhoff de las tensiones (KVL):
-Ej: Aplicar la KVL al circuito de la figura
Solución:
+
- Elegimos un sentido de giro y lo
v1
indicamos con una flecha
+ v2 -
- Asignamos a cada tensión el signo
del primer terminal que encontramos
(es decir, subidas negativas y caídas positivas)
5
åv
m =1
m
=0
+ v3 -
v4
+
+
v5 -
- v1 + v2 + v3 - v4 - v5 = 0
- También podemos escribir: v1 + v4 + v5 = v2 + v3
- Enunciado alternativo de la KVL:
“En un lazo (camino cerrado), la suma de subidas de tensión es
igual a la suma de caídas”
åv
subidas
= å vcaídas (todas positivas)
51
- Ejemplo 6: Calcular las tensiones indicadas en los circuitos de la
figura aplicando la ley de Kirchhoff de las tensiones .
+
6V
-3V
-
5V
-+
+
-
3V
+
V?
+-
-+
(b)
-
+
+
+
1V
V?
-5V
V?
10 W
1V
-
+
-
(a)
-
-
+3V
10 V
+
-
(c)
+
-5V
-
+
+
-
V1 ?
V2 ?
-
-
-5V
+
5A
(d)
52
M
åV
Solución:
m =1
m
+
(a)
=0
-3V
-
3
åV
m
m =1
6V
+
-
=0
+ (-3) - V - 6 = 0 Þ V = -9 V
signo de la ley
+
(b)
V?
-+
+
-
4
V?
-+
signo de la variable
-
5V
3V
(suma algebraica)
åV
m =1
m
=0
- V + 1 - 3 - 5 = 0 Þ V = -5 V
+
1V
53
(c)
10 W
1V
+-
+
VR
5
- +
åV
m =1
+ V - 3 + (-5) + 1 + VR = 0 Þ V = 7 V
V?
-
-5V
+-
+
=0
-
3V
3
(d)
10 V
=0
m
-
+
+
-
(1)
-5V
åV
+
m =1
+
=0
m
(lazo 1)
+ V1 - ( -5) - 10 = 0 Þ V1 = 5 V
-
V1 ? (2) V2 ?
-
+
-5V
5A
3
åV
m =1
m
= 0 (lazo 2)
- ( -5) - V2 - 5 = 0 Þ V2 = 0 V
54
1.8 Leyes de Kirchhoff
- Análisis de circuitos:
- El objetivo general del análisis de circuitos es determinar las
tensiones y corrientes asociadas a cada elemento de un circuito
- Para ello es necesario resolver un conjunto de ecuaciones
simultáneas que se obtienen aplicando de forma combinada las leyes
de Kirchhoff y las relaciones i-v de los elementos del circuito
- Las relaciones i-v gobiernan el comportamiento de cada elemento
con independencia de en qué circuito esté conectado
- Las leyes de Kirchhoff son condiciones impuestas a las conexiones,
independientes de los elementos concretos presentes en el circuito
55
- Ejemplo 7: Calcular las tensiones y las corrientes para cada elemento
del circuito de la figura. V0 =10 V, R1 = 2000 Ohm y R2 = 3000 Ohm.
R1
V0 +
-
R2
56
Solución:
i1
- Asignamos tensión y corriente
a cada elemento:
3 elementos => 6 incógnitas
iS
R1
+
+
V0 +
- vS
-
v1 -
+
v2
i2
R2
-
- Ecs. para los elementos (Relaciones i-v):
vS = V0
v1 = R1i1
v2 = R2i2
- Ecs. para las conexiones (Ecs. de Kirchhoff):
iS = i1
- Nudo B: i1 = i2
- Malla: - vS + v1 + v2 = 0
- Nudo A:
i1
A
iS
+
V0 +
- vS
-
R1
+
v1 -
B
+
v2
i2
R2
C
57
vS = V0
v1 = R1i1
v2 = R2i2
iS = i1
i1 = i2
- vS + v1 + v2 = 0
i1
A
iS
+
V0 +
- vS
-
R1
+
v1 -
B
+
v2
-
i2
R2
C
- Sustituyendo en la última:
- V0 + R1i1 + R2i1 = 0
- de donde
Þ
V0
10
i1 =
=
= 2 mA
R1 + R2 2000 + 3000
v1 = R1i1 = 2000 ´ 2 ´10 -3 = 4 V
v2 = R2i2 = R2i1 = 3000 ´ 2 ´10 -3 = 6 V
- En el tema 2 veremos métodos más sencillos y sistemáticos
de resolver circuitos !!
58
1.9 Divisores de tensión y de corriente
- Conexiones serie y paralelo:
- Conexión en serie:
“Dos elementos están conectados en serie cuando comparten un
nudo común al que no hay conectado ningún otro elemento. En
consecuencia, por dos elementos conectados en serie pasa la
misma corriente.”
- Gráficamente:
i
i
- Esta idea se puede extender al caso de más de dos elementos:
i
i
59
1.9 Divisores de tensión y de corriente
- Conexiones serie y paralelo:
- Conexión en paralelo:
“Dos elementos están conectados en paralelo cuando están
conectados entre el mismo par de nudos. En consecuencia, dos
elementos conectados en paralelo tienen la misma tensión entre
sus terminales”
- Gráficamente:
+
v
- Para más de dos elementos:
+
v
-
60
- Ejemplo 8: En los siguientes circuitos, identificar qué elementos
están conectados en serie y cuales en paralelo
61
Solución:
- Circuito (a):
- 1 y 2 están conectados en serie
(a)
- 4 y 5 están conectados en serie
- Circuito (b):
- 2 y 3 están conectados en paralelo
(b)
- 4 y 5 están conectados en paralelo
- Circuito (c):
- 1, 2 y 3 están conectados en paralelo
(c)
- Circuito (d):
- 2 y 4 están conectados en paralelo
(d)
62
1.9 Divisores de tensión y de corriente
- Definición de circuitos equivalentes:
“Dos circuitos son equivalentes cuando tienen las mismas
características i-v para un par de terminales determinado”
iA
+
vA
-
Circuito A
iB
Circuito B
+
vB
-
vA vB
=
iA iB
- En este tema aplicaremos esta definición para simplificar circuitos
63
con múltiples resistencias en serie o en paralelo
- Ejemplo 9: Indicar si los circuitos de la figura son posibles y, en caso
caso afirmativo, sustituir las fuentes por una única fuente equivalente
i
+
v
-
+
- vS 2
+
- vS 1
i
A
(a)
B
i
iS 1
iS 2
+
+
v
S
1
- vS 2
-
resto del
circuito
i
B
iS 2
resto del
circuito
iS 1
(c)
+
v
-
resto del
circuito
(b)
B
A
+
v
-
A
A
+
v
-
resto del
circuito
B
(d)
64
Solución:
- Aplicando la KVL:
- vS1 - vS 2 + v = 0 Þ v = vS1 + vS2
i A
(a) Fuentes de tensión en serie
i
A
+
v
-
+
- vS 2
+
- vS 1
resto del
circuito
Û
(b) Fuentes de tensión en paralelo
+
+
- vS 1 - vS 2
A
+
v
-
resto del
circuito
B
B
i
+
- vS 1 + v S 2
+
v
-
resto del
circuito
- En general no es posible ya que v
no puede tener simultáneamente
dos valores distintos
- Solo sería posible si
vS 1 = v S 2
B
65
(c) Fuentes de corriente en paralelo
iS 2
iS1 + iS 2 = i
i
A
i
A
iS 1
+
v
-
resto del
circuito
Û
(b) Fuentes de corriente en serie
i
iS 1
+
v
-
iS 1 + iS 2
resto del
circuito
B
B
iS 2
- Aplicando la KCL en el nudo A:
A
+
v
-
resto del
circuito
- En general no es posible ya que i
no puede tener simultáneamente
dos valores distintos
- Solo sería posible si
iS 1 = i S 2
B
66
1.9 Divisores de tensión y de corriente
- Asociación de resistencias en serie:
- KVL:
i
R1
A
+
R2
- +
v1
+
- v
v2
-
v = v1 + v2
v2 = R2i
- Ley de Ohm: v1 = R1i
- Sustituyendo en KVL:
v = R1i + R2i = (R1 + R2 )i
v
= R1 + R2
i
B
- El circuito de partida es equivalente al circuito:
i
A
- con:
+
+
- v
Req
B
- Para N resistencias en serie:
Req = R1 + R2
- ya que:
v
= Req
i
N
Req = R1 + R2 + L + RN = å Rn
n =1
67
1.9 Divisores de tensión y de corriente
- Asociación de resistencias en paralelo:
i A
- KCL:
i1
+
- v
i = i1 + i2
- Ley de Ohm: v = R1i1
i2
R1
B
R2
v = R2i2
- Sustituyendo en KCL:
v
v æ 1
1 ö
i= +
= çç + ÷÷v
R1 R2 è R1 R2 ø
- El circuito de partida es equivalente al circuito:
i
1
1
1
= +
- con:
Req R1 R2
A
+
- v
Req
Þ
R1 R2
Req =
R1 + R2
1
v
- ya que: i =
Req
B
N
1
1
1
1
= +L+
=å
- Para N resistencias en paralelo:
Req R1
RN n =1 Rn
68
- Ejemplo 10: Calcular la resistencia equivalente del circuito de la figura.
R1 = 5, R2 = 1, R3 = 2, R4 = 3, R5 = 6, R6 = 4 y R7 = 8 (todas en ohmios)
R6
R2
A
R3
Req
R1
R4
R5
R7
B
69
Solución:
A
1W
- Asociamos 3 Ohm y 6 Ohm:
3´ 6
3 W || 6 W =
= 2W
3+6
4W
2W
Req
5W
6W
3W
8W
B
A
- Asociamos 1 Ohm y 5 Ohm:
1W
1W + 5 W = 6 W
- Asociamos 2 Ohm y 2 Ohm:
2W+2W= 4W
4W
2W
Req
5W
2W
8W
B
70
A
- Asociamos 6 Ohm y 4 Ohm:
6 W || 4 W =
6´ 4
= 2 .4 W
6+4
4W
Req
4W
6W
8W
B
A
- Finalmente:
4W
Req = 4 W + 2.4 W + 8 W = 14.4 W
2.4 W
Req
8W
B
A
Req = 14.4 W
B
71
1.9 Divisores de tensión y de corriente
- Divisor de tensión:
- La caída de tensión
en cada resistencia vale:
R1
v1 = R1i =
v
Req
R2
v2 = R2i =
v
Req
i
R1
A
+
+
- v
v1
R2
- +
v2
-
B
Req = R1 + R2
“En un divisor de tensión la tensión de la fuente se divide
entre sus resistencias de forma proporcional a la resistencia
de cada una”
- Matemáticamente:
Rn
vn =
v
Req
72
- Ejemplo 11: Determinar el valor de la resistencia R2 en el circuito de
la figura para que la caída de tensión en dicha resistencia sea ¼ de la
tensión vS suministrada por la fuente cuando R1 = 9 Ohm. Calcular la
corriente cuando vS = 12 V.
D&S-7ª Ex. 3.3-1
R1
vs +
-
R2
73
Solución:
v2 = 14 vS
R1 = 9 W
R1
¿R2?
+
v
S
- Según la fórmula del divisor de tensión:
R2
v2 = vS =
vS
R1 + R2
+ v1 - +
v2
-
R2
1
4
de donde
R1
9
R2 = Þ R2 = = 3 W
3
3
i
- Cálculo de la corriente:
Req = R1 + R2
- Según la ley de Ohm:
vS 12
i=
=
=1A
Req 12
vS +
-
+
vS
-
Req
74
1.9 Divisores de tensión y de corriente
- Divisor de corriente:
i
- La corriente en cada
resistencia vale:
A
i1
+
- v
Req
1
R2
i1 = v =
i=
i
R1
R1
R1 + R2
i2
R1
R2
B
Req
1
R1
i2 =
v=
i=
i
R2
R2
R1 + R2
1
1
1
RR
= +
Þ Req = 1 2
Req R1 R2
R1 + R2
“En un divisor de corriente la corriente total se divide entre
sus resistencias de forma inversamente proporcional a la
resistencia de cada una”
- Matemáticamente:
in =
Req
Rn
i
75
- Ejemplo 12: Hallar las corrientes I1 e I2 que se indican en el circuito
de la figura.
5W
I2
I1
5A
20 W
20 W
5W
76
Solución:
- Para calcular I1 reducimos
el circuito a dos
resistencias paralelo:
I1
5A
20 ´ 10 20
Req = 20 W || 10 W =
=
W
20 + 10 3
5W
20 W
20 W
I2
5W
IS
Ix
I1
5A
- Aplicando las fórmulas del divisor
de corriente:
20 W
Req
Req
20
5
100
I1 =
IS =
=
= 1.25 A
20 + Req
3 20 + 20 80
3
I x = I S - I1 = 5 - 1.25 = 3.75 A
77
- Para calcular I2 volvemos al circuito sin reducir
IS
Ix
I1
5A
5W
20 W
20 W
I2
5W
- Aplicamos, nuevamente, las fórmulas del divisor de corriente:
I2 =
20
20
I x = ´ 3.75 = 2.5 A
20 + (5 + 5)
30
78
1.10 Fuentes dependientes
“Una fuente dependiente (o controlada) ideal es una fuente
cuyo valor es proporcional a la tensión o corriente existentes
en otra parte del circuito”
- Hay 4 tipos de fuentes dependientes:
- Fuente de tensión
controlada por tensión
- Fuente de tensión
controlada por corriente
+
vc
-
ic
+
- v = bvc
+
- v = ric
79
1.10 Fuentes dependientes
- Fuente de corriente
controlada por tensión
- Fuente de corriente
controlada por corriente
+
vc
-
ic
i = gvc
i = dic
80
- Ejemplo 13: Calcular las tensiones vx y v0 que se indican en el
circuito de la figura.
A&S-3ª P 2.6
10 W
35 V
+
-
+ vx -
+
- 2v x
5W
+ v0 -
Respuesta: 10 V, -5 V
81
Solución:
- Supondremos que la malla esta recorrida por una corriente i :
10 W
35 V
+
-
+ vx i
¿ v x , v0 ?
+
- 2v x
5W
+ v0 - Aplicamos la KVL:
- 35 + v x + 2v x - v0 = 0 (KVL)
- Aplicamos la ley de Ohm:
vx = 10 i; v0 = -5 i (ley de Ohm)
- Sustituimos la ley de Ohm en la KVL:
- 35 + 3 ´10 i + 5 i = 0 Þ i = 1 A
- Finalmente, sustituimos la corriente en la ley de Ohm:
vx = 10 i = 10 V; v0 = -5 i = -5 V
82
- Ejemplo 14: Calcular v0 e i0 en el circuito de la figura.
A&S-3ª PdeP 2.7
i0
6A
2W
1
4 0
i
+
v0
-
8W
Respuesta: 8 V, 4 A
83
Solución:
- Supondremos que por la resistencia de 8 ohm circula una corriente i :
Nudo A
i0
6A
2W
1
4 0
i
+
v0
-
i
¿ v0 , i0 ?
8W
1
- Aplicamos la KCL al nudo A: 6 = i0 + i0 + i (KCL)
4
v0
v0
- Aplicamos la ley de Ohm:
(ley de Ohm)
i0 = ; i =
2
8
v0 v0 v0
+ +
Þ v0 = 8 V
- Sustituimos la ley de Ohm en la KCL: 6 =
2 8 8
- Finalmente, sustituimos v0 en la ley de Ohm:
v0
i0 = = 4 A
2
84