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UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Fundamentos teóricos
para analizar circuitos
Susana Fernández de Ávila López
Rafael Hidalgo García
Fundamentos teóricos para analizar circuitos
© Susana Fernández de Ávila
Rafael Hidalgo García
ISBN:
978–84–9948–164–7
Depósito legal: A–776–2010
Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33
C/ Decano, 4 – 03690 San Vicente (Alicante)
www.ecu.fm
[email protected]
Printed in Spain
Imprime: Imprenta Gamma. Telf.: 965 67 19 87
C/. Cottolengo, 25 – 03690 San Vicente (Alicante)
www.gamma.fm
[email protected]
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento
electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de
reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.
Prefacio
Este libro recopila la colección de transparencias que hemos preparado y
mejorado a lo largo de 7 años de experiencia impartiendo las asignaturas
correspondientes a la materia troncal “Análisis de Circuitos y Sistemas
Lineales” de primer curso de las Ingenierías Técnicas de Telecomunicación
en la Universidad Miguel Hernández.
Todos los temas tratados en este curso son básicos y esenciales para
cualquier Ingeniero, técnico o no, de Telecomunicación, y cualquier otro
Ingeniero, Físico, o simplemente interesado, en comprender los principios
de la Electrónica práctica. La intemporalidad de los conocimientos aquí
tratados asegura que este libro seguirá siendo fundamental en asignaturas
equivalentes en los nuevos grados aprobados con motivo de la entrada de
España en el nuevo Espacio Europeo de Educación Superior (EEES).
La intención de esta publicación ha sido doble, por un lado recopilar en
forma resumida, pero con claridad, los conceptos que el estudiante debe
manejar para resolver problemas relacionados con el análisis de circuitos, y
por otra, compartir este trabajo con otros profesores que impartan
asignaturas equivalentes en otras universidades o centros, para que puedan
reproducirlo en sus clases. Por esta razón el texto está redactado de forma
abreviada y muy gráfica, ya que cada página del mismo puede ser utilizada
directamente como una transparencia o proyección de la teoría que
habitualmente se debe explicar en el aula.
Desde nuestra experiencia particular, hemos comprobado que la utilización
en clase de estas transparencias ha ayudado a nuestros alumnos a identificar
los conceptos fundamentales, permitiéndonos así ganar tiempo en la
asignatura para realizar problemas y ejercicios prácticos de los que
posteriormente serán evaluados para superar la asignatura. La bibliografía
referente al Análisis de Circuitos es obviamente muy extensa, y en muchos
casos, el estudiante se encuentra perdido entre la gran variedad de libros
recomendados y la extensión y profundidad con que se abordan los
diferentes temas en cada uno. En nuestro caso, la recopilación de
fundamentos teóricos básicos que hemos preparado y facilitado a nuestros
alumnos, les ha ayudado en gran medida a centrarse en los objetivos y
capacidades que deben adquirir para analizar circuitos electrónicos.
El libro está dividido en 6 temas siguiendo el orden con que se vienen
impartiendo en nuestras asignaturas en los últimos años.
El Tema 1 es el tema fundamental, ya que en él se describen las técnicas
básicas de análisis de circuitos que se utilizarán después en el resto de
temas y, por supuesto, en todas la demás asignaturas relacionadas con la
electrónica de dispositivos y circuitos electrónicos. Es muy importante
remarcar al estudiante que el dominio de este tema es imprescindible para
i
la superación de esta asignatura. Se añade también, como punto final de
este tema, la teoría correspondiente al amplificador operacional ideal y su
análisis en circuitos de aplicaciones lineales. La sencillez y sistematicidad
de la resolución de este tipo de problemas enlaza muy bien como
aplicación de todos los lemas de resolución de circuitos vistos en este
primer tema.
En el Tema 2 se estudia el análisis de circuitos en régimen transitorio,
particularizando las respuestas natural y forzada (al escalón) para circuitos
de primer orden y circuitos sencillos de 2.º orden (Circuitos RLC serie o
paralelo). Aunque en el texto se muestra la resolución detallada de las
ecuaciones diferenciales involucradas, atendiendo al escaso conocimiento
de la resolución de este tipo de ecuaciones que suelen poseer los alumnos
de primer curso, se les plantea una metodología de resolución sistemática
para que el desconocimiento matemático no impida la resolución correcta
de estos problemas.
El análisis de los circuitos en régimen permanente sinusoidal se aborda en
los Temas 3 y 4, al haber reunido la parte relacionada con el estudio de la
potencia en estos circuitos en el Tema 4. Dada la necesidad de trabajar en
estos temas con números complejos se añade al final del libro el Anexo I,
en el que se resumen los conocimientos matemáticos mínimos (representaciones y operaciones con números complejos) que los alumnos deben
dominar para resolver los problemas relacionados con este tema y los
siguientes.
El Tema 5 se dedica al análisis en frecuencia de los circuitos electrónicos y
el estudio de los filtros. Se explica primero en profundidad cómo obtener el
diagrama de Bode de una función de transferencia cualquiera, y a
continuación se aborda el concepto de filtro y su clasificación, atendiendo
especialmente a la amplitud. Se analizan en detalle los filtros de primer y
segundo orden, y finalmente se aborda el diseño de filtros por el método de
la aproximación. Nos centramos en el diseño de filtros de tipo Butterworth
y Chebyshev, comparando sus características, para presentar finalmente el
procedimiento para escalar filtros ya diseñados en frecuencia e impedancia.
Por último, el Tema 6 está dedicado a los cuadripolos. Se estudian las
familias de parámetros más características, sus circuitos equivalentes y las
asociaciones entre ellos.
Además del anexo dedicado a los números complejos, se ha añadido un
Anexo II que recopila las fórmulas de cada tema que serán más útiles a la
hora de resolver problemas de Análisis de circuitos. Puede ser una buena
opción que los alumnos puedan utilizar este formulario en los exámenes,
para que les permita avanzar más rápidamente en la resolución de
ejercicios, permitiendo al profesor aumentar en cierto grado el nivel del
examen atendiendo no tanto a la memoria del estudiante, como a su
ii
capacidad de razonamiento, y dando la seguridad al alumno de las fórmulas
que necesita conocer o las que no a la hora de preparar el examen.
Finalmente, el Anexo III resume las abreviaturas ordenadas alfabéticamente que se utilizan en el texto.
Queremos destacar, antes de finalizar este prólogo, que se ha decidido no
incluir una reseña bibliográfica de los libros que se han utilizado como
referencia para elaborar este texto debido a la gran cantidad de libros ya
“clásicos” consultados en algún momento para desarrollar y mejorar éste.
Antes que olvidarnos de alguno, preferimos no presentar una lista donde
iban a estar la gran mayoría de los libros habituales en la bibliografía de
cualquier asignatura de Análisis de Circuitos.
También nos gustaría mencionar aquí nuestro agradecimiento a otros
profesores anteriores de la asignatura que aunque no han participado
directamente en la elaboración de este texto, sin embargo aportaron su
granito de arena con la preparación de los “apuntes” iniciales de la
asignatura, en especial a la profesora M.ª del Mar Sánchez y el profesor
Angel Luis Álvarez.
Esperamos que este libro sea de utilidad a los futuros estudiantes y
profesores, y si en algún tema el lector necesita mayor detalle, estamos
seguros de que les será muy fácil encontrar multitud de textos donde
consultar ampliaciones o ejemplos que le ayuden a mejorar la comprensión
del mismo.
Elche, marzo de 2010
iii
Índice
Tema 1. Análisis básico de circuitos lineales
1.1 Magnitudes eléctricas fundamentales. Componentes
básicos. Linealidad ……………………………………... 1
1.2 Lemas de Kirchhoff ……………………………………. 9
1.3 Simplificación de circuitos con componentes básicos … 11
1.3.1 Asociación de resistencias en serie ………………. 11
1.3.2 Asociación de resistencias en paralelo …………... 13
1.3.3 Transformación Δ-Y ……………………………... 15
1.3.4 Asociación de condensadores en serie …………… 16
1.3.5 Asociación de condensadores en paralelo ……….. 18
1.3.6 Asociación de bobinas en serie/paralelo ………… 19
1.3.7 Asociación serie/paralelo de fuentes ……………. 19
1.3.8 Movilidad de fuentes …………………………….. 23
1.3.9 Transformación de fuentes ………………………. 26
1.4 Aplicaciones de circuitos resistivos simples …………. 27
1.5 Teorema de superposición …………………………… 29
1.6 Técnicas de análisis sistemático de circuitos: Análisis por
mallas y nodos ………………………………………… 31
1.6.1 Análisis por mallas ……………………………… 31
1.6.2 Análisis por nodos ………………………………. 33
1.7 Teoremas de Thévenin y Norton ……………………… 36
1.7.1 Teorema de Thevenin. Equivalente de Thevenin … 36
1.7.2 Teorema de Norton. Equivalente de Norton ……… 36
1.7.3 Máxima transferencia de potencia ………………. 37
1.8 Fuentes dependientes …………………………………. 40
1.8.1 Tipos de fuentes dependientes …………………… 40
1.8.2 Análisis de circuitos con fuentes dependientes …. 42
1.9 Amplificador operacional ideal: configuraciones básicas 45
1.9.1 Simbología y aplicaciones ……………………….. 45
1.9.2 Funcionamiento básico de un amplificador
operacional ideal ………………………………… 47
1.9.3 El amplificador operacional real. Desviaciones de la
idealidad …………………………………………… 48
1.9.4 Resolución de problemas con amplificadores
operacionales ideales ……………………………….50
v
Tema 2. Análisis de circuitos en régimen transitorio
2.1 Concepto de régimen transitorio ………………………. 53
2.2 Ecuación diferencial y condiciones iniciales ………….. 54
2.3 Respuesta de circuitos de 1er orden ……………………. 56
2.3.1 Respuesta natural de un circuito RL ……………… 56
2.3.2 Respuesta natural de un circuito RC ……………… 58
2.3.3 Respuesta al escalón de un circuito RL ………….. 60
2.3.4 Respuesta al escalón de un circuito RC ………….. 62
2.3.5 Fórmula general para circuitos de 1.er orden ……... 63
2.4 Respuesta de circuitos de 2.º orden. …………………….. 64
2.4.1 Respuesta natural de un circuito RLC paralelo ….. 64
2.4.2 Respuesta al escalón de un circuito RLC paralelo … 68
2.4.3 Respuesta natural de un circuito RLC serie ………. 70
2.4.4 Respuesta al escalón de un circuito RLC serie ……. 72
2.4.5 Resolución de circuitos de 2.º orden ……………….. 74
Tema 3. Análisis de circuitos en régimen permanente sinusoidal
3.1 Señales senoidales ………………………………………. 75
3.2 Concepto de fasor ………………………………………. 77
3.3 Concepto de impedancia y admitancia para
los componentes básicos ……………………………….. 78
3.4 Revisión de técnicas de simplificación y herramientas de
análisis ………………………………………………… 80
3.4.1 Lemas de Kirchhoff en régimen permanente
sinusoidal ………………………………………….. 80
3.4.2 Asociación de impedancias serie/paralelo ………... 81
3.4.3 Transformación triángulo-estrella ………………... 82
3.4.4 Divisor de tensión y de corriente …………………. 82
3.4.5 Transformación de fuentes (V ⇔ I) ……………... 84
3.4.6 Asociación y movilidad de fuentes ………………. 84
3.4.7 Análisis por mallas y nodos ………………….…... 84
3.4.8 Equivalente Thevenin y Norton ………………..… 84
3.4.9 Teorema de superposición ………………………… 85
3.4.10 Resolución de circuitos ……………………….…. 86
3.5 Frecuencia de resonancia de un circuito …………..…… 87
3.6 Función de transferencia de un circuito …………..……. 89
vi
Tema 4. Potencia en régimen permanente sinusoidal
4.1 Cálculos de potencia …………………………..………
4.1.1 Potencia instantánea ………………………….…..
4.1.2 Potencia media o real …………………………..…
4.1.3 Potencia reactiva ……………………………….…
4.2 Potencia vectorial o compleja ………………………….
4.3 Teorema de máxima potencia transferida …………….
91
91
93
96
98
99
Tema 5. Análisis en frecuencia: diseño de filtros analógicos
5.1 Diagramas de Bode a partir de la función de transferencia 101
5.1.1 Análisis en frecuencia de la función de transferencia.
Diagrama de Bode ……………………………….. 103
5.1.2 Representación de la amplitud y fase de términos
elementales de H(ω) ……………………...……… 106
5.1.2.1 Relación entre octava y década ………… 110
5.1.3 Composición gráfica de H(ω) ………………….. 110
5.1.4 Factorización de la función de transferencia …… 115
5.1.5 Polos y ceros cuadráticos ………………………. 119
5.1.6 Corrección del diagrama de Bode (módulo) …… 122
5.2 Función de atenuación. Ancho de banda y frecuencia de
corte: Concepto de filtro ……………………………… 126
5.2.1 Clasificación de filtros según su respuesta en
Amplitud ………………………………………... 126
5.2.2 Parámetros característicos de un filtro …………. 129
5.2.3 Tipos de filtros según los componentes ……….. 129
5.3 Filtros elementales de 1.er orden. ……………………… 130
5.3.1 Filtro paso bajo …………………………………. 130
5.3.2 Filtro paso alto …………………………………. 134
5.4 Filtros elementales de 2.º orden. ………………………. 138
5.4.1 Relación entre la respuesta en ω y la respuesta en el
tiempo en los circuitos de 2.º orden ……………… 139
5.4.2 Filtro paso bajo …………………………………. 141
5.4.3 Filtro paso alto ………………………….………. 144
5.4.4 Filtro paso banda ………………………………… 146
5.4.5 Filtro rechaza banda ……………………………… 153
5.5 Diseño de filtros por el método de la aproximación …. 157
5.5.1 Especificación de las características de un filtro .. 158
vii
5.5.2 Filtro de Butterworth …………………………….
5.5.3 Filtro de Chebyshev ……………………………..
5.5.4 Implementación de filtros de Butterworh y
Chebyshev ……………………………………….
5.5.5 Uso de tablas para el diseño de filtros paso bajo ..
5.5.6 Criterios de diseño para otros tipos de
especificaciones ………………………………….
5.5.7 Escalado en frecuencia e impedancia ………….
162
164
168
170
172
175
Tema 6. Circuitos de dos puertos: cuadripolos
6.1 Concepto de cuadripolo ……………………………..
6.2 Clasificación de cuadripolos …………………………
6.3 Parámetros característicos y su determinación ………
6.3.1 Parámetros Z (Impedancia) ……………………..
6.3.2 Parámetros Y (Admitancia) …………………….
6.3.3 Parámetros h (híbridos) …………………………
6.3.4 Parámetros g …………………………………….
6.3.5 Parámetros de transmisión ………………………
6.4 Relaciones entre familias de parámetros ……………..
6.5 Circuitos equivalentes del cuadripolo ………………..
6.6 Asociación de cuadripolos ……………………………
6.6.1 Conexión en cascada ……………………………
6.6.2 Conexión en paralelo ……………………………
6.6.3 Conexión en serie ……………………………….
6.6.4 Conexión paralelo-serie ………………………….
6.6.5 Conexión serie-paralelo ………………………..
6.7 Corriente de circulación. Condición de Brune ………
179
180
182
182
183
184
184
185
185
188
189
191
192
194
195
196
196
Anexo I: Revisión de números complejos ……………………
Anexo II: Formulario …………………………………………
Anexo III: Lista de abreviaturas ……………………………..
201
205
211
viii
Fundamentos teóricos para analizar circuitos
TEMA 1: ANÁLISIS BÁSICO DE CIRCUITOS
LINEALES
1.1. Magnitudes eléctricas fundamentales.
Componentes básicos. Linealidad
• Variables eléctricas fundamentales:
carga
q (C)
energía
w (J)
tiempo
t (s)
Fenómenos eléctricos debidos a un flujo de carga
corriente (i)
• Magnitudes eléctricas fundamentales:
dq
dt
[i] =
C
=A
s
(amperio)
dW
dq
[v] =
J
=V
C
(voltio)
[ p] =
J
=W
s
(watio)
Corriente: i (t ) =
Tensión: v(t ) =
Potencia: p (t ) =
dW
dt
i(t): magnitud vectorial, definida por el módulo +
dirección y sentido. Representa el movimiento de cargas
positivas.
Sin energía externa la corriente va de mayor a menor
potencial.
1
Tema 1: Análisis básico de circuitos lineales
Concepto de señal eléctrica: magnitud eléctrica (tensión o
corriente) variable en el tiempo y cuya misión es
transportar información (energía).
• Componentes básicos de un circuito eléctrico:
9 Resistencias (R).
9 Condensadores (C).
9 Bobinas (L).
9 Fuentes de tensión.
9 Fuentes de corriente.
• Clasificaciones posibles de los componentes:
1) Clasificación de los componentes en función de la
linealidad de la característica corriente-tensión (I-V):
Componente lineal: su señal de salida es función
lineal de la señal de entrada
Propiedades que debe cumplir:
− Homogeneidad: f (ax ) = a·f ( x) , con a = constante
− Aditividad: f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )
2) Clasificación de componentes en función de su papel
energético:
− Si el total de la energía suministrada a un
componente es siempre mayor que 0 componente pasivo (R, C, L).
− Si el balance energético es negativo (el
componente suministra energía)
componente
activo (fuentes de alimentación).
2
Fundamentos teóricos para analizar circuitos
• COMPONENTES BÁSICOS DE UN CIRCUITO:
Resistencias:
Símbolo:
R
[ R] = Ω (ohmio)
⎡1⎤
⎢⎣ R ⎥⎦ = Ω (mho)
−1
(conductancia G)
Criterio de polarización:
VA > VB
i>0
Ley de Ohm: V = i·R
Potencia consumida:
P = V·i = i²·R =
R es un componente lineal:
v
a·v
i ( av ) =
i (v ) =
= a·i (v )
R
R
i (v1 + v2 ) =
v1 + v2 v1 v2
= + = i (v1 ) + i (v2 )
R R
R
V²
= V²·G
R
Homogeneidad
Aditividad
P = i²·R ≥ 0
R es un componente pasivo
NOTA:
- Si R → ∞
i=
v
=0
R
[Circuito abierto]
3
Tema 1: Análisis básico de circuitos lineales
- Si R → 0
v = i·R = 0
[Cortocircuito]
Condensadores:
Es un dispositivo electrónico compuesto por dos placas
conductoras separadas por un dieléctrico o aislante.
Símbolo:
Relación i(t) – v(t) :
dv (t )
i (t ) = C
dt
1
v (t ) = v0 + ∫ i (t ' ) dt' → C es un componente lineal
C
Potencia consumida (instantánea):
dv (t )
p = v (t )·i (t ) = C·v (t )
dt
Es también un componente pasivo
NOTA:
Si v(t) = constante →
4
dv (t )
= 0 → i (t ) = 0 (cto. abierto)
dt
Fundamentos teóricos para analizar circuitos
Bobinas:
Símbolo:
L: inductancia [H]
Puede almacenar energía magnética en función de la
corriente que la atraviesa.
Relación característica i(t) – v(t) :
di
1
v (t ) = L → i (t ) = i (0) + ∫ v (t ' ) dt'
dt
L
Es un componente lineal y pasivo.
NOTA:
Si i(t) = constante →
di (t )
= 0 → v (t ) = 0 (cortocircuito)
dt
Fuentes de tensión:
Fuente de tensión ideal
Elemento de dos terminales que establece una tensión
determinada entre ellos, independientemente de la
corriente que la atraviesa.
Símbolos circuitales:
5
Tema 1: Análisis básico de circuitos lineales
Característica corriente-tensión (I-V):
I
V
Vg
Se puede medir aplicando la sonda del osciloscopio o
multímetro a los terminales de la fuente.
Es un componente activo.
Si Vg = 0 V → en sus extremos hay un cortocircuito.
Fuente de tensión real
Es una fuente de tensión ideal con una resistencia en serie
(Rg) supuestamente pequeña (Rg → 0):
Característica I-V:
I
V
Vg
6
Fundamentos teóricos para analizar circuitos
Fuentes de corriente:
Fuente de corriente ideal
Elemento de 2 terminales que proporciona una corriente
determinada independientemente del valor o signo del
voltaje que aparece entre sus terminales.
Símbolo circuital:
Característica I-V:
I
Ig
V
Se puede medir conectando una resistencia de carga RL
entre sus terminales y midiendo: V = I g ·RL
Componente activo.
Si Ig = 0A → circuito abierto.
7
Tema 1: Análisis básico de circuitos lineales
Fuente de corriente real
Fuente de corriente ideal con una resistencia interna Rg
supuestamente grande en paralelo (R → ∞ ):
g
Característica I-V:
I
Ig
V
Circuito:
Es una interconexión de componentes (o dispositivos)
electrónicos con el fin de procesar (o generar) una señal.
Si los componentes son lineales, el circuito será lineal.
Resolver circuitos lineales ≡ conocer V, I en cualquier
punto del circuito.
• Simplificaciones básicas en teoría de circuitos:
Para analizar los circuitos asumiremos como válidas las
siguientes aproximaciones:
1) La carga neta de un componente es nula.
2) No hay acoplamiento magnético entre los distintos
componentes (no se considera efecto magnético)
salvo en los dispositivos diseñados expresamente
para ello (transformadores).
3) No se consideran fenómenos asociados al carácter
ondulatorio de las partículas portadoras de carga (λ
señales >> dimensiones del circuito).
8
Fundamentos teóricos para analizar circuitos
1.2 Lemas de Kirchhoff
Coordinan las relaciones entre corriente y tensión en todos
los componentes del circuito.
Definimos:
Nodo: Punto del circuito en el cual se conectan dos o más
componentes.
Malla: Sucesión de componentes que forman un camino
cerrado. Se llama malla elemental a aquella que no alberga
ninguna otra malla en su interior.
MALLA ELEMENTAL
Las leyes de Kirchhoff son dos:
1.ª) Ley de Kirchhoff para las corrientes (KCL)
(Kirchhoff's Current Law)
“La suma algebraica (teniendo en cuenta su sentido) de las
corrientes que llegan a un nodo en cualquier instante es
cero”
∑ I entran = ∑ I salen
9
Tema 1: Análisis básico de circuitos lineales
I1 = I 2 + I 3
La KCL es una consecuencia de la no acumulación de
carga en el circuito, el flujo total de carga en cualquier
nodo es cero.
2.ª) Ley de Kirchhoff para las tensiones (KVL)
(Kirchhoff's Voltage Law)
“La suma algebraica de las tensiones en una malla es cero
en todo instante de tiempo”
Criterio de polarización de los componentes:
+
V
I
-
Aplicación de KVL:
Establecemos en cada malla un sentido único de
recorrido y sumamos algebraicamente las tensiones en ese
recorrido siguiendo el criterio de polarización.
10
Fundamentos teóricos para analizar circuitos
Ejemplo: 1ª malla elemental.
− Vg + VR1 + VR2 = 0
1.3 Simplificación de circuitos con componentes
básicos
Se trata de ir reduciendo un circuito a otro más simple y
equivalente. Para ello aplicaremos los lemas de Kirchhoff.
1.3.1 Asociación de resistencias en serie
Dos componentes están conectados en serie cuando comparten un nodo al que no llega ningún otro componente del
circuito.
R1, R2, R3 y Vg están en serie
en este circuito.
11
Tema 1: Análisis básico de circuitos lineales
Este circuito es equivalente a este otro:
Donde: Req = R1 + R2 + R3
Demostración:
- Aplicamos KCL a los nodos:
(a) ig = i1
(b) i1 = i2
(c) i2 = i3
(d) i3 = ig
Por tanto: ig = i1 = i2 = i3
[1]
- Aplicamos KVL a la malla (en sentido horario):
−Vg + V1 + V2 + V3 = 0
[2]
- Aplicamos la ley de Ohm a cada resistencia:
V1 = R1i1
V2 = R2i2
V3 = R3i3
Entonces de [2], aplicando [1] y [3] obtenemos:
Vg = V1 +V2 +V3
Vg = R1i1 + R2i2 + R3i3
Vg = R1ig + R2ig + R3ig
Vg = ( R1 + R2 + R3 )ig = Req ig
12
[3]
Fundamentos teóricos para analizar circuitos
de donde deducimos:
Req = R1 + R2 + R3
Conclusión: Las resistencias en serie se suman:
n
Rserie = ∑ R j
j =1
1.3.2 Asociación de resistencias en paralelo
Dos componentes están conectados en paralelo cuando los
nodos a que se conectan sus terminales coinciden.
La tensión entre los terminales de componentes es la
misma (KVL).
Ejemplo: Asociación de resistencias en paralelo:
Donde:
Req−1 =
1 1 1
+ +
R1 R2 R3
Conclusión: Las conductancias en paralelo se suman:
n
G paralelo = ∑ G j
j =1
13