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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
2.2 GRUPO I. AXIOMAS DE INCIDENCIA.
I.1 Dos puntos distintos determinan una recta y solo una a la cual pertenecen. Por un
punto pasa por lo menos una recta. (Se identifican dos proposiciones distintas en este
axioma).
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
I.2 A toda recta pertenecen al menos dos puntos distintos.
I.3 Dada una recta, existe al menos un punto del espacio que no está en la recta.
Definición 1.
Puntos colineales son aquellos que están en una misma recta.
I.4 Tres puntos que no están en una misma recta, determinan un plano y solo uno al cual
pertenecen.
I.5 A todo plano pertenecen al menos tres puntos no colineales.
I.6 Si dos puntos de una recta están en un plano, la recta está contenida en el plano.
I.7 Si dos planos diferentes se cortan, su intersección es una recta.
Observación. El axioma I.7 establece que si dos planos tienen un punto en común, tiene un
segundo punto en común y en consecuencia, una recta común.
I.8 Dado un plano, existe por lo menos un punto del espacio que no está en el plano.
Definición 2.
Puntos coplanares son aquellos que están en un mismo plano.
Notación.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
i.
Para designar puntos, utilizaremos letras latinas mayúsculas individuales.
⃡ ó 𝐵𝐴
⃡ la recta a la cual pertenecen
ii. Para A, B puntos distintos, notaremos por 𝐴𝐵
estos puntos, ó también por letras minúsculas latinas individuales.
⃡ ó la recta l. (Ver figura 5).
Así, por ejemplo, nos referimos a la recta 𝐴𝐵
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Figura 5
TEOREMA 1.
Si dos rectas diferentes se intersectan, su intersección es solo un punto.
Demostración.
Sean l y m dos rectas diferentes que se cortan. (Razonemos por reducción al absurdo).
Supongamos que las rectas se cortan en dos puntos distintos A y B, por el axioma I.1 por los
puntos A y B pasa una recta única. Luego, l y m son la misma recta. Contradicción, ya que l y m
son rectas diferentes.
Figura 6
TEOREMA 2.
Si dos rectas diferentes se intersectan, existe un plano único que las contiene.
Demostración.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Sean l y m dos rectas diferentes con intersección no vacía. Sea A el punto de intersección
(teorema 1). Por el axioma I.2 existe otro punto B diferente de A en l y otro punto C diferente
de A en m. Por el teorema 1, A, B, C son no colineales ya que B no está en la recta m y C no está
en la recta l. Entonces por el axioma I.4 A, B, C determinan un plano único. Por el axioma I.6 las
rectas l y m están contenidas en ese plano. Este es el único plano que contiene a ambas. Si
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
existiera otro, A, B y C estarían en él. Contradicción con el axioma I.4.
Figura 7
TEOREMA 3.
Si l es una recta y A un punto que no pertenece a ella, existe un plano único que
contiene a la recta y al cual el punto pertenece.
Demostración.
Por el axioma I.2 la recta l tiene al menos dos puntos diferentes B y C. Por el axioma I.4 los tres
puntos son no colineales A, B y C determinan un plano único. A está en ese plano y por el
axioma I.6 la recta l está contenida en el plano.
Figura 8
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Este plano es único, si no, los tres puntos A, B y C estarían en otro plano. Contradicción con el
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
axioma I.4.