Download Apuntes DINÁMICA ROTACIONAL - MSc. José Fernando Pinto Parra

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
UNEFA NUCLEO MERIDA
APUNTES DE FÍSICA I
Profesor: José Fernando Pinto Parra
UNIDAD 11
DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL
Cuando un objeto real gira alrededor de algún
eje, su movimiento no se puede analizar como si
fuera una partícula, porque en cualquier instante,
diferentes partes del cuerpo tienen velocidades y
aceleraciones distintas. Por esto es conveniente
considerar al objeto real como un gran número
de partículas, cada una con su propia velocidad,
aceleración. El análisis se simplifica si se
considera al objeto real como un cuerpo rígido.
Un cuerpo rígido, es un caso especial de un sistema de muchas partículas, donde la
distancia entre las partículas se considera que permanece constante, lo que permite señalar
que son absolutamente indeformables aunque se apliquen fuerzas al mismo. El movimiento
general de un cuerpo rígido es la composición de un movimiento de traslación del centro de
masas y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas,
donde ocurre que:
• En el movimiento de traslación, todos los puntos del sólido se mueven en
trayectorias paralelas. La velocidad de un punto del sólido es la misma que la
velocidad del centro de masas.
• En el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas,
la velocidad de un punto del sólido es proporcional al radio de la circunferencia que
describe, y su dirección es tangente a dicha circunferencia.
Variables rotacionales
La figura, que a continuación se muestra, representa un cuerpo rígido que rota alrededor de
un eje fijo, perpendicular a un plano se denomina plano de rotación. En la figura, el plano
de rotación coincide con el plano (x,y), además el cuerpo rota de derecha a izquierda.
Es posible considerar el cuerpo como un sistema de partículas, que como se ha señalado, ni
la posición relativa de las partículas entre sí, ni la distancia de cada partícula al eje de
rotación, varía con el transcurso del tiempo. En estas condiciones, la trayectoria descrita por
cualquiera de las partículas será siempre una circunferencia.
APUNTES DE FÍSICA I
Dinámica del Movimiento Rotacional
Profesor: José Fernando Pinto Parra
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Para describir la rotación de la partícula en el punto P, se
asocia un sistema de coordenadas al eje de rotación, de
forma de poder especificar el punto mediante su vector
de posición R, constante.
Además de especificar la posición de la partícula
mediante el vector de posición, es posible hacerlo dando
los valores del par (x,y) ya que:
𝑹 = 𝑅𝑥 + 𝑅𝑦
Ahora esto es utilizando las coordenadas cartesianas,
pero en realidad R no varía con el tiempo, mientras que el
ángulo 𝜃 que barre si lo hace, lo que permite expresar
las coordenadas del vector como:
𝑅𝑥 = 𝑹 cos 𝜃
𝑦 𝑅𝑦 = 𝑹 sin 𝜃
En las rotaciones se escoge ésta última posibilidad, ya que si se desea describir la variación
temporal del punto P, sólo hay que analizar como varia 𝜃 con el tiempo, es decir, que la
forma de la función es:
𝜃=𝜃 𝑡
En otras palabras, El ángulo 𝜃 que se forma con el eje x describe la posición rotacional del
cuerpo; por lo que se define como la variable rotacional o coordenada de rotación. Esta
coordenada angular 𝜃 gira sobre un eje fijo y puede ser positiva o negativa. Como ejemplo
tomemos el caso planteado en la figura, que como se ha señalado, el cuerpo gira de derecha
a izquierda, si hacemos que los ángulos positivos se midan en sentido antihorario, es decir,
en el sentido contrario al de las agujas del reloj, entonces 𝜃 en la figura es positivo. En
cambio, si elegimos la dirección horaria como la rotación positiva, será negativo.
Ahora, prestemos atención a la siguiente figura,
cualquier familia de circunferencias con un origen
común tiene la propiedad de que la razón entre la
longitud de los arcos definidos por dos radios
cualesquiera y la longitud del radio correspondiente es
constante:
𝑹 𝑹′ 𝑹′′
=
= ′′ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑆 𝑆′
𝑆
Esa constante es el ángulo 𝜃, es decir la variable
rotacional, por tanto y como se ha señalado:
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Dinámica del Movimiento Rotacional
𝑹
𝜃 = 𝑆.
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Momento de una fuerza o momento estático
Cuando se aplican fuerzas a un cuerpo que tiene un eje fijo de rotación, se encuentran los
siguientes resultados experimentales:
1. La aceleración angular 𝛼 depende del punto de
aplicación de la fuerza. Será mayor mientras más
lejos se encuentre la fuerza F del eje de rotación.
2. Dado un punto de aplicación, 𝛼 depende de
la dirección de aplicación de F. En la figura,
las fuerzas F, F’ y F’’, aunque iguales en
módulo y aplicadas en el mismo punto,
ejercen efectos diferentes sobre el cuerpo.
En particular, la fuerza F’’, cuya
prolongación pasa por el eje de rotación, no
produce aceleración alguna.
3. La aceleración angular 𝛼
depende de la distribución de
masa alrededor del eje de
rotación. Aunque el punto de
aplicación está a la misma
distancia del eje de rotación y
el ángulo de la fuerza también
es el mismo, al invertir el
cuerpo se cambia la distribución de masa respecto al eje de rotación, y también
varía el efecto de F y la correspondiente aceleración angular.
En tal sentido, se introduce concepto de torque 𝜏 o
momento de una fuerza F con el fin de describir
correctamente el efecto de las fuerzas sobre los cuerpos
que tienen la posibilidad de rotar. El torque que actúa
sobre una partícula en un punto P, cuya posición, en torno
al origen O del marco de referencia, está dado por el
vector posición r, se define como el producto vectorial
entre F y r, es decir:
𝝉=𝑭×𝒓
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Según la definición de producto vectorial, el vector 𝜏 es perpendicular al plano de rotación,
tal como se observa en la figura, sigue la regla de la mano derecha y su modulo viene dado
por:
𝜏 = 𝐹𝑟 sin 𝜃
Las unidades que coincide con las unidades de la energía, pero no es una energía, y se
expresa usualmente como Nm.
Propiedades del Torque
1. Si r y F son colineales, 𝜃 = 0° ó 180°, el torque de F es
cero.
2. La suma de torques es una suma vectorial, en particular, si hay n torques actuando
sobre el cuerpo en el plano de rotación, el torque resultante vendrá dado por la suma
vectorial de los n torques:
𝑛
𝝉 𝒊 = 𝝉𝟏 + 𝝉𝟐 + ⋯ + 𝝉𝒏
𝑖=1
3. La componente de F paralela a r no contribuye
al torque, en la figura, el eje de rotación se
encuentra perpendicular al plano de rotación, lo
que permite ver que la componente paralela al
vector de posición, F||, no contribuye al valor
del torque. Nótese también de la figura que
𝑏 = 𝑟 sin 𝜃, donde el brazo b es la
perpendicular que va desde el eje de rotación
hasta la prolongación de la fuerza. De aquí que
el torque también puede ser interpretado como
el producto del brazo por la fuerza:
𝜏 = 𝐹𝑏
Energía cinemática de rotación y momento de inercia
Un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento, así que tiene energía cinética que
podemos expresar en términos de la rapidez angular del cuerpo y una nueva cantidad
llamada momento de inercia, que depende de la masa del cuerpo y de la forma en que se
distribuye tal masa.
Tal como se puede ver en la figura, cualquier cuerpo
rígido girando alrededor de un eje fijo se puede
considerar formado por rebanadas o discos de espesor
despreciable. Por lo tanto, para considerar la rotación
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del cuerpo se analizará solamente una de estas rebanadas o discos, de allí se desprende que
las propiedades derivadas para un disco serán fácilmente extensibles a todo el cuerpo, con
tal que las distancias consideradas sean siempre las distancias desde cada punto hasta el eje
de rotación. Como se ha señalado, la energía cinética del sistema de n partículas, está dada
por la expresión:
𝑛
𝐸𝐶 =
𝑖=1
1
𝑚𝑣2
2 𝑖 𝑖
Sustituyendo en esta ecuación la expresión donde se relaciona la velocidad lineal con la
velocidad angular 𝑣 = 𝑟𝜔, se obtiene:
𝑛
𝐸𝐶 =
𝑖=1
1
𝑚𝑖 𝑟𝑖 2 𝜔 2
2
De donde se obtiene que la expresión de la energía cinética de rotación 𝐸𝐶𝑅 sea:
𝐸𝐶𝑅
1
= 𝜔2
2
𝑛
𝑚𝑖 𝑟𝑖 2
𝑖=1
El otro concepto que se encuentra presente en la ecuación anterior, es el de momento de
inercia ó inercia de rotación del cuerpo 𝐼 , del cuan señalaremos que es una medida
numérica de la inercia rotacional; es decir, de la propiedad que tienen los cuerpos para
resistirse a cambiar su estado de reposo o movimiento circular uniforme mientras sobre
ellos no actúen torques externos, se define por la expresión:
𝑛
𝑚𝑖 𝑟𝑖 2
𝐼=
𝑖=1
Donde la suma es para todas las partículas que componen el cuerpo. Como se dijo
anteriormente, 𝑟𝑖 es la distancia de cada partícula al eje de rotación. Por tanto, expresando
la energía cinética en función del momento de inercia se obtiene:
1
𝐸𝐶𝑅 = 𝜔 2 𝐼
2
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1
Esta expresión es análoga a la energía cinética de traslación 𝐸𝐶 = 2 𝑚𝑣 2 , donde 𝜔 hace el
papel de v y el momento de inercia 𝐼 hace el papel de la masa 𝑚. Por lo que se puede
señalar que el momento de inercia de un cuerpo depende del eje en torno al cual está
girando, así como de la manera en que está distribuida su masa, y desempeña el papel de
“masa” en las ecuaciones rotacionales, en la figura se muestra a continuación se presentan
el valor de 𝐼 de diversos cuerpos.
La energía de rotación tiene las mismas unidades que cualquier otra energía. Para el
momento de inercia la unidad es 𝐾𝑔. 𝑚2 .
Teorema de los ejes paralelos
Como se ha señalado, un cuerpo no tiene un solo momento
de inercia. De hecho, tiene un número infinito, porque el
número de ejes sobre los que podría girar es infinito. No
obstante, hay una relación simple entre el momento de
inercia 𝐼𝐶𝑀 de un cuerpo de masa M alrededor de un eje que
pasa por el centro de masa y el momento de inercia 𝐼𝑃
alrededor de cualquier otro eje paralelo al original pero
desplazado una distancia 𝑑. Esta relación, llamada teorema
de los ejes paralelos, dice que:
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Sea 𝐼𝐶𝑀 el valor del momento de inercia respecto a un eje que pasa por el CM de un cuerpo
y sea 𝐼𝑃 el valor respecto a un eje de rotación paralelo al anterior que se encuentra a una
distancia d del mismo. Entonces se cumple que:
𝐼𝑃 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝑑 2
Dinámica rotacional de un cuerpo rígido
Al referirnos a la dinámica de
rotación, lo que se pretende es
deducir en términos del movimiento
rotacional la segunda Ley de Newton,
para lograrlo analicemos el trabajo
que realizan las partículas que rotan,
cuando actúan sobre ellas torques
externos, para ello observemos la
figura:
Trabajo infinitesimal realizado por F,
viene dado por:
𝑑𝑊 = 𝜏𝑑𝜃
Al derivar con respecto al tiempo se obtiene la expresión de la potencia.
𝑃 = 𝜏𝜔
Si actúan varias fuerzas:
𝑑𝑊 =
𝜏𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑑𝜃 =
𝜏𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝜔𝑑𝑡
Recordando el teorema de trabajo y energía cinética, que señala 𝑑𝑊 = 𝑑𝐸𝐶 , en términos
rotacionales al derivar la energía cinética rotacional con respecto al tiempo y recordando
𝑑𝜔
que 𝑑𝑡 = 𝛼, se obtiene:
𝑑𝐸𝐶𝑅 = 𝑑
1 2
𝜔 𝐼 = 𝐼𝜔𝑑𝜔 = 𝐼𝛼𝜔𝑑𝑡
2
Por tanto, como:
𝑑𝑊 =
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𝜏𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝜔𝑑𝑡 = 𝑑𝐸𝐶𝑅
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Sustituyendo:
𝜏𝑒𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝜔𝑑𝑡 = 𝐼𝛼𝜔𝑑𝑡
De donde se desprende que la ecuación de la rotación análoga a la segunda ley de Newton,
tanto para torques internos como externos, es:
𝜏 = 𝐼𝛼
El movimiento combinado de translación y rotacional de un cuerpo rígido
Para analizar la energía cinética de un cuerpo
rígido con movimiento tanto traslacional como
rotacional, veamos la siguiente figura, en ella el
punto O es un eje instantáneo de rotación, que
cambia continuamente mientras la rueda va
rotando, notese que la fuerza de fricción f se
opone al movimiento relativo de las superficies, e
impide que la rueda deslice, por lo tanto f no
realiza trabajo.
En este caso, la energía cinética del cuerpo es la
suma de la energía asociada al movimiento del
centro de masa y la energía asociada a la rotación
alrededor de un eje que pasa por el centro de masa, es decir:
1
1
𝐸𝐶 = 𝑚𝑣𝐶𝑀 2 + 𝐼𝜔 2
2
2
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