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5. NÚMEROS ENTEROS
Números naturales:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ....... }
Recuerda: los números positivos se escriben sin el signo que les precede; +3 = 3
DEF.: Los números enteros son: Z = { ....., −4, − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, .......}
El conjunto de los números enteros está formado por los enteros positivos, el cero y los enteros negativos.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA: los números enteros se representan, como todos los números, con un punto sobre la
recta y una vez representados quedan ordenados de menor a mayor de izquierda a derecha.
Un número entero a es menor que otro b,
a < b,
si al representarlos sobre la recta a está a la izquierda de b.
DEF.: El opuesto de un número entero es el número obtenido cambiando al número,
Ejemplos:
op(3) = −3
op(−5) = −(−5) = 5
op(a) = −a
op(−26) = 26
Entonces se puede decir que el conjunto de los números enteros se forma juntando los números naturales
Z = { 0, 1, 2, 3, 4, ..... −1, −2, −3, −4, .....}
con sus opuestos y el cero.
DEF.: El valor absoluto de un número entero es el propio número si es positivo o es su opuesto si es negativo.
Ejemplos:
|5|=5
|3|=3
| −5 | = op(−5) = −(−5) = 5
| 45 | = 45
| −3 | = 3
| −27 | = 27
OPERACIONES:
 Suma: si tienen el mismo signo se suman manteniendo el signo y si tienen distinto signo se restan y se
pone es signo del de mayor valor absoluto.
Ej. Igual signo:
Distinto signo:
 Resta:
2 + 5=7
−4 + (−3) = −7
−5 + 4 = −1
−4 + 6 = 2
(se mantiene el signo)
(signo del dominante)
se restan sumando al primero el opuesto del segundo: a − b = a + (−b).
Ejemplos:
2 − 5 = 2 + (−5) = −3
2 − (−5) = 2 + 5 = 7
−2 − 5 = −2 + (−5) = −7
−2 − (−5) = −2 + 5 = 3
Propiedades Asociativa:
E. neutro:
a + b + c = (a + b) + c
a+0=a
el cero
Conmutativa: a + b = b + a
E. simétrico: a + (−a) = 0
el opuesto
 Producto y cociente: primero se multiplican o se dividen los signos según las siguientes reglas y después
se multiplican o dividen los números como si fueran números naturales:
+ · + =+
5 · 6 = 30
+ : + =+
− · (−) = +
−2 · (−3) = 6
− : (−) = +
−35 : (−5) = 7
+ · (−) = −
6 · (−2) = −12
+ : (−) = −
8 : (−2) = −4
− · + =−
−3 · 5 = −15
− : +=−
20 : 4 = 5
−56 : 7 = −8
Orden en las operaciones: Primero se hacen las operaciones del interior de los paréntesis y lo demás queda como está;
después las multiplicaciones y divisiones y lo demás queda como está, y finalmente sumas y restas.
IES Val Miñor
OPERACIONES CON ENTEROS
1. Representa sobre una recta los números: 2, –3, 5, –4, –7 e 4.
2. Escribe en el espacio en blanco el signo > o bien < según corresponda:
a) –3 ___ –8
3. Calcula:
b) –6 ___ –4
c) –3 ___ 1 d) 4 ___ –7
e) 10 ___ –5
2 ___ –12
f)
a) 3 + (–6) =
c) 4 + (–2) =
e) –12 + 5 =
g) –4 + 0 =
b) –6 + (–1) =
d) –5 + 4 =
f) –4 + (–3) =
h) –2 + (–6) =
4. Averigua el término que falta:
a) 6 + ___ = 3
b) –3 + ___ = –5
c) ___ + (–5) = –7
5. Calcula: a) 3 + 4 + (−5) + (−1) =
b) −3 + (−1) + (−2) + 4=
d) ___ + 8 = 5
e) ___+ (–3) = 10
c) 2 + (−10) + (−12) + 15=
e) 4 + 6 + (−1) + 3 + (−1) =
d) 12 + (−3) + 9 + (−20) =
f) −6 + 3 + (−4) + 2 + 1 =
6. Calcula:
a) 3 – 7 =
d) 9 – (–6) =
g) –4 – (–3) =
k) 3 – (–3) =
n) –7 – 5 =
p) –4 + 4 =
b) –10 – 4 =
e) –6 – (–9) =
h) 8 – 14 =
l) –7 – 3 =
ñ) –4 – (–8) =
q) 6 – (–17) =
c) –5 – (–4) =
f) 5 + (–10) =
i) –9 + 12 =
m) 22 – 35 =
o) –4 – 8 =
r) 17 + (–20) =
a) 4 − 2 + 6 + 8 − 7 + 10 =
7. Calcula:
b) −6 + 7 − 4 − 2 + 1 − 9
8. Calcula:
9. Efectúa:
10. Efectúa:
c) 10 + 9 − 12 − 8 − 10 + 2 + 5 =
d) −20 + 15 − 10 − 8 − 3 + 7 + 19
=
=
a) 5 + (−7) − (−3) + 5 − 9 − (−4) =
c) 7 − (−4) + (−9) + (−6) − 10 − (−5) =
b) −13 + 7 − (−2) − 8 + 4 + (−6) =
d) −12 + 7 − (−10) + (−9) − 3 − (−8) + (−6) =
a) 3 − (7 + 10) =
c) −7 − (8 − 10) =
e) 8 − (10 − 3) − (−1) =
b) 6 − (−4 − 3) =
d) −(−3 + 10) + 7 =
f) −(−5) + (−3 − 6) =
a) 6 − (5 − 3) − [7 − (−1 − 4)] =
d) −7 + 3 − [−(10 − 5) − (8 − 10)] =
b) −(5 + 6) − [−4 − (7 + 3)] =
e) −[8 − (7 + 3) − (1 − 9)] − (4 − 8 + 2) =
c) 10 − [−6 + (−8) − 4] − (−3 − 2)
11. Calcula: a) 5 · 6 · (−2) =
=
f) 9 − [15 + (7 − 10)] − [8 − (7 + 3) + (−2)] =
d) (−2) · (−3) · (−1) · (−4) =
g) −36 : (−9) : [2 · (−2)] =
b) 60 : (−30 : 2) =
e) −18 : (−3) · (−2) =
h) −30 : 3 · (−3 · 2) =
c) 60 : (−30) : 2 =
f) −18 : [(−3) · (−2)] =
12. Efectúa: a) 4 + 5 − 6 · 2 + 7 – 10 =
d) 5 · (−3) − 6 : (−2) + 1 =
g) 12 : (−4 + 6) + (−3) =
b) −3 + 4 · (−5) + 6 : 2 =
e) 4 + (5 − 6) · 2 + 7 – 10 =
h) 5 · (−3) − 6 : (−2 + 1) =
c) 12 : (−4) + 6 + (−3) =
f) (−3 + 4) · (−5) + 6 : 2 =
13. Calcula:
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a) 10 − 9 − [−(3 + 2) − (7 − 9)] =
e) 2 · [8 − 4 · (10 − 6) − (−3 − 2)]
b) −6 + [8 − (−3 + 5)] · (−2) =
f) (−9 + 7) · (3 − 2 · 4) : [6 − (−9 + 10)] =
c) 9 − [24 − (−1 − 2)] : (−9) =
g) [8 − (−10 + 14)] : [9 − (4 + 2 · 3)] =
d) (10 − 15) + 3 · [3 − (2 + 1)] =
h) −5 · [4 − (3 − 2 · 5 + 8)] − [15 − (−5)] =
=