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5. NÚMEROS ENTEROS Números naturales: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ....... } Recuerda: los números positivos se escriben sin el signo que les precede; +3 = 3 DEF.: Los números enteros son: Z = { ....., −4, − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, .......} El conjunto de los números enteros está formado por los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. REPRESENTACIÓN GRÁFICA: los números enteros se representan, como todos los números, con un punto sobre la recta y una vez representados quedan ordenados de menor a mayor de izquierda a derecha. Un número entero a es menor que otro b, a < b, si al representarlos sobre la recta a está a la izquierda de b. DEF.: El opuesto de un número entero es el número obtenido cambiando al número, Ejemplos: op(3) = −3 op(−5) = −(−5) = 5 op(a) = −a op(−26) = 26 Entonces se puede decir que el conjunto de los números enteros se forma juntando los números naturales Z = { 0, 1, 2, 3, 4, ..... −1, −2, −3, −4, .....} con sus opuestos y el cero. DEF.: El valor absoluto de un número entero es el propio número si es positivo o es su opuesto si es negativo. Ejemplos: |5|=5 |3|=3 | −5 | = op(−5) = −(−5) = 5 | 45 | = 45 | −3 | = 3 | −27 | = 27 OPERACIONES: Suma: si tienen el mismo signo se suman manteniendo el signo y si tienen distinto signo se restan y se pone es signo del de mayor valor absoluto. Ej. Igual signo: Distinto signo: Resta: 2 + 5=7 −4 + (−3) = −7 −5 + 4 = −1 −4 + 6 = 2 (se mantiene el signo) (signo del dominante) se restan sumando al primero el opuesto del segundo: a − b = a + (−b). Ejemplos: 2 − 5 = 2 + (−5) = −3 2 − (−5) = 2 + 5 = 7 −2 − 5 = −2 + (−5) = −7 −2 − (−5) = −2 + 5 = 3 Propiedades Asociativa: E. neutro: a + b + c = (a + b) + c a+0=a el cero Conmutativa: a + b = b + a E. simétrico: a + (−a) = 0 el opuesto Producto y cociente: primero se multiplican o se dividen los signos según las siguientes reglas y después se multiplican o dividen los números como si fueran números naturales: + · + =+ 5 · 6 = 30 + : + =+ − · (−) = + −2 · (−3) = 6 − : (−) = + −35 : (−5) = 7 + · (−) = − 6 · (−2) = −12 + : (−) = − 8 : (−2) = −4 − · + =− −3 · 5 = −15 − : +=− 20 : 4 = 5 −56 : 7 = −8 Orden en las operaciones: Primero se hacen las operaciones del interior de los paréntesis y lo demás queda como está; después las multiplicaciones y divisiones y lo demás queda como está, y finalmente sumas y restas. IES Val Miñor OPERACIONES CON ENTEROS 1. Representa sobre una recta los números: 2, –3, 5, –4, –7 e 4. 2. Escribe en el espacio en blanco el signo > o bien < según corresponda: a) –3 ___ –8 3. Calcula: b) –6 ___ –4 c) –3 ___ 1 d) 4 ___ –7 e) 10 ___ –5 2 ___ –12 f) a) 3 + (–6) = c) 4 + (–2) = e) –12 + 5 = g) –4 + 0 = b) –6 + (–1) = d) –5 + 4 = f) –4 + (–3) = h) –2 + (–6) = 4. Averigua el término que falta: a) 6 + ___ = 3 b) –3 + ___ = –5 c) ___ + (–5) = –7 5. Calcula: a) 3 + 4 + (−5) + (−1) = b) −3 + (−1) + (−2) + 4= d) ___ + 8 = 5 e) ___+ (–3) = 10 c) 2 + (−10) + (−12) + 15= e) 4 + 6 + (−1) + 3 + (−1) = d) 12 + (−3) + 9 + (−20) = f) −6 + 3 + (−4) + 2 + 1 = 6. Calcula: a) 3 – 7 = d) 9 – (–6) = g) –4 – (–3) = k) 3 – (–3) = n) –7 – 5 = p) –4 + 4 = b) –10 – 4 = e) –6 – (–9) = h) 8 – 14 = l) –7 – 3 = ñ) –4 – (–8) = q) 6 – (–17) = c) –5 – (–4) = f) 5 + (–10) = i) –9 + 12 = m) 22 – 35 = o) –4 – 8 = r) 17 + (–20) = a) 4 − 2 + 6 + 8 − 7 + 10 = 7. Calcula: b) −6 + 7 − 4 − 2 + 1 − 9 8. Calcula: 9. Efectúa: 10. Efectúa: c) 10 + 9 − 12 − 8 − 10 + 2 + 5 = d) −20 + 15 − 10 − 8 − 3 + 7 + 19 = = a) 5 + (−7) − (−3) + 5 − 9 − (−4) = c) 7 − (−4) + (−9) + (−6) − 10 − (−5) = b) −13 + 7 − (−2) − 8 + 4 + (−6) = d) −12 + 7 − (−10) + (−9) − 3 − (−8) + (−6) = a) 3 − (7 + 10) = c) −7 − (8 − 10) = e) 8 − (10 − 3) − (−1) = b) 6 − (−4 − 3) = d) −(−3 + 10) + 7 = f) −(−5) + (−3 − 6) = a) 6 − (5 − 3) − [7 − (−1 − 4)] = d) −7 + 3 − [−(10 − 5) − (8 − 10)] = b) −(5 + 6) − [−4 − (7 + 3)] = e) −[8 − (7 + 3) − (1 − 9)] − (4 − 8 + 2) = c) 10 − [−6 + (−8) − 4] − (−3 − 2) 11. Calcula: a) 5 · 6 · (−2) = = f) 9 − [15 + (7 − 10)] − [8 − (7 + 3) + (−2)] = d) (−2) · (−3) · (−1) · (−4) = g) −36 : (−9) : [2 · (−2)] = b) 60 : (−30 : 2) = e) −18 : (−3) · (−2) = h) −30 : 3 · (−3 · 2) = c) 60 : (−30) : 2 = f) −18 : [(−3) · (−2)] = 12. Efectúa: a) 4 + 5 − 6 · 2 + 7 – 10 = d) 5 · (−3) − 6 : (−2) + 1 = g) 12 : (−4 + 6) + (−3) = b) −3 + 4 · (−5) + 6 : 2 = e) 4 + (5 − 6) · 2 + 7 – 10 = h) 5 · (−3) − 6 : (−2 + 1) = c) 12 : (−4) + 6 + (−3) = f) (−3 + 4) · (−5) + 6 : 2 = 13. Calcula: IES Val Miñor a) 10 − 9 − [−(3 + 2) − (7 − 9)] = e) 2 · [8 − 4 · (10 − 6) − (−3 − 2)] b) −6 + [8 − (−3 + 5)] · (−2) = f) (−9 + 7) · (3 − 2 · 4) : [6 − (−9 + 10)] = c) 9 − [24 − (−1 − 2)] : (−9) = g) [8 − (−10 + 14)] : [9 − (4 + 2 · 3)] = d) (10 − 15) + 3 · [3 − (2 + 1)] = h) −5 · [4 − (3 − 2 · 5 + 8)] − [15 − (−5)] = =