Download Descargar PDF - Mi Mochila Digital

TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:06 Page 50
Números comunes
Para contar, ordenar y agrupar diferentes objetos en cantidades iguales, o para
resolver situaciones donde debamos encontrar coincidencias de tiempos, de
cantidades o de distancias, nos ayuda encontrar múltiplos comunes. Si
necesitamos buscar las maneras de repartir objetos, podemos evitar hacer las
cuentas de dividir ayudándonos con los criterios de divisibilidad.
LOS PANES VIENEN
DE A 4.
CADA CAJA
TRAE 6
HAMBURGUESAS.
Los chicos quieren comprar la misma cantidad de hamburguesas que de panes.
¿Cuál es el menor número que tienen que comprar de cada producto?
50
TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:06 Page 50
Números comunes
Para contar, ordenar y agrupar diferentes objetos en cantidades iguales, o para
resolver situaciones donde debamos encontrar coincidencias de tiempos, de
cantidades o de distancias, nos ayuda encontrar múltiplos comunes. Si
necesitamos buscar las maneras de repartir objetos, podemos evitar hacer las
cuentas de dividir ayudándonos con los criterios de divisibilidad.
LOS PANES VIENEN
DE A 4.
CADA CAJA
TRAE 6
HAMBURGUESAS.
Los chicos quieren comprar la misma cantidad de hamburguesas que de panes.
¿Cuál es el menor número que tienen que comprar de cada producto?
50
TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:06 Page 51
En este proyecto aprendemos…
 Los números tienen múltiplos y divisores. Leé atentamente, completá los casilleros y los
descubrirás.
4
Te tanto en tanto
 Morena y Nacho juegan un juego de mesa.
• En la primera ronda del juego deben avanzar de 3 en 3. Escribí los diez primeros casilleros donde
pueden llegar a caer comenzando a contar por el que tiene el número 1.
CASILLEROS
-------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
• En la segunda ronda avanzan de 5 en 5. Escribí los diez primeros casilleros donde pueden caer.
CASILLEROS
-------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
• En la segunda ronda, ¿llegarán justo al casillero número 95? ¿Y al 48?
¿Cómo te diste cuenta? Y en la primera, ¿llegarán a esos números?
• Explicá cómo lo pensaste.
Desafío en la calculadora
Un número es
múltiplo de otro
si lo contiene un
número exacto
de veces.
 Escribí un número de dos cifras en la calculadora
y restale 6 todas las veces que se pueda.
a) ¿Llegaste a obtener el 0?
b) Buscá dos números con los que estés seguro de obtener el 0.
• Comparalos con los de tus compañeros. ¿Todos pensaron los mismos números?
• Ahora, hacé lo mismo, pero escribiendo un número de tres cifras.
• Compará con los de tus compañeros. ¿Todos pensaron los mismos?
c) ¿Cuántos números que al restarles 6 llegues a 0 podrías escribir?
d) ¿Obtendrías 0 con los números 500, 113 y 600? ¿Por qué?
Un número es
divisible por
otro, si el resto
de la división
entre ellos es
cero.
 Intentá escribir el número 64 como resultado de multiplicar 3 números, pero que ninguno de ellos
sea el 1.
 Ahora, intentá
escribirlo como el
resultado de
multiplicar 5 números,
pero que ninguno de
ellos sea el 1.
Con un ejemplo:
48 : 3 = 16, resto 0
48 es múltiplo de 3
3 es divisor de 48
1 es divisor de todos los números.
0 es múltiplo de todos los números.
Múltiplos y divisores
51
TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 52
De reparto
 María Sol compró este bloc de hojas cuadriculadas para repartir en
una de sus carpetas en cada asignatura.
Si las quiere repartir entre MATEMÁTICA y CIENCIAS NATURALES...
• ¿Podrá poner la misma cantidad de estas hojas en cada asignatura sin
que le sobren hojas?
• Explicá cómo lo pensaste.
4
 Y compró este bloc de hojas rayadas para la otra
carpeta, donde pondrá LENGUA, SOCIALES e INGLÉS.
• ¿Puede poner la misma cantidad de hojas en cada
asignatura sin que le sobren hojas? ¿Por qué?
48 s
a
hoj
48 as
j
ho
 Santino y Ana compraron el mismo bloc de hojas rayadas que compró María Sol.
• Leé lo que dicen los chicos:
Las puedo repartir en
igual cantidad para cada
una, entre mis seis
materias.
Yo tengo, en una carpeta,
MATEMÁTICA, LENGUA,
HISTORIA Y GEOGRAFÍA.
 Si las reparte en
cantidades iguales en
cada una, ¿le sobran
hojas de su bloc a Ana?
 ¿Estás de acuerdo con
lo que dice Santino?
 Pensá y completá:
En cada uno de los cuatro casos, se reparten ----------- hojas, en partes iguales sin que sobren hojas.
48 : 3 =
48 : 2 =
48 : 6 =
48 : 4 =
52
Múltiplos y divisores
sobran:
sobran:
sobran:
sobran:
48 es múltiplo de 3
3 es divisor de 48
48 es
de 2
2 es
de 48
48 es
de 6
6 es
de 48
48 es
de 4
4 es
de 48
TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 53
Criterios de divisibilidad
Son de gran ayuda para reconocer fácilmente a los divisores de un número.
-Un número es divisible por 2 si termina en 0 o cifra par. Por ejemplo: 32 es divisor de 2 porque
termina en 2 y es un número par.
-Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. Por ejemplo: 75 es
divisible por 3 porque 7 + 5 = 12 y 12 es múltiplo de 3.
-Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Por ejemplo: 180 es divisible por 2 y por
3. Esto implica que es divisible por 6.
-Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Por ejemplo: 195 es divisible por 5 porque
termina en 5.
-Un número es divisible por 10 si termina en 0. Por ejemplo 40 es divisible por 10.
4
Todos los números tienen al menos un divisor, el número 1.
Algunos tienen solo dos divisores: el 1 y el mismo número,
se llaman PRIMOS. Los que tienen más de dos divisores se
llaman COMPUESTOS.
1. a. Coloreá, en cada caso, los divisores
del número:
9
4
12
36
5
10
2
5
9
8
20
30
3
2
3
2
10
12
2. a. Analizá el árbol de divisores de 20 y
encerrá solo los factores primos.
2
20
2
10
5
5
4
12
6
4
b. Creá vos tu propuesta escribiendo el número
central y los divisores que le corresponden.
1
48
b. Completá el cálculo con los factores primos
seleccionados y comprobá lo siguiente:
“Un número compuesto se puede escribir
como producto de factores primos.”
20 =….....… x ….....… x ….....…
1
3. Realizá nuevamente el procedimiento completando la información necesaria:
24
24 =….....… x ….....…
27
x ….....… x ….....…
27 =….....… x ….....…
x ….....…
Divisibilidad
53
TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 54
Matemática entre las flores
 Para distribuir todas las flores en ramos equivalentes Aldana y Morena aplican el
procedimiento aprendido en la escuela: dcm.
4
Aldana lo aplicó así:
Tienen:
40 jazmines
70 rosas
blancas
100 flores
silvestres
40
20
10
5
1
2
2
2
5
40 = 23 x 5
70
35
7
1
2
5
7
100
50
25
5
1
2
2
5
5
70 = 2 x 5 x 7 100 = 22 x 52
dcm (40,70,100) = 2 x 5 = 10
Morena lo resolvió así:
40: 1,2,4,5,8,10,20,40
70: 1,2,5,7,10,14,35,70
100: 1,2,4,5,10,20,25,50,100
dcm (40,70,100) = 10
En grupo
Puesta en común:
• ¿Qué procedimiento les resulta más simple? ¿Por qué?
• ¿Qué diferencias y similitudes encuentran entre ellos?
 Redactá las conclusiones del grupo en tu carpeta
El dcm entre dos o más
números es el producto de los
factores primos comunes a
ellos elevados a su menor
exponente.
Una multiplicación de factores
iguales puede escribirse en
forma de potencia.
 Resolvé con el procedimiento que te resultó más fácil.
Los chicos de 6.º año hicieron, por el barrio, una colecta de leche en polvo y
galletitas para donar a la Casa del Niño.
Juntaron 70 paquetes de leche y 50 de galletitas. Si quieren armar la mayor cantidad
de cajas con el mismo contenido en cada una de ellas:
a) ¿Cuántas cajas podrán armar?
b) ¿Cuántos paquetes de leche y cuántas bolsas de pañales habrá en cada caja?
 Para organizar todas las fichas del fichero de la oficina, Juan debe acomodar, de cada color,
la misma cantidad de fichas en cada cajón: tiene 82 rojas, 66 blancas y 58 verdes.
a. ¿Cuál es la mayor cantidad de cajones que podrá usar?
b. ¿Qué cantidad de fichas de cada clase colocará por cajón?
c. ¿Podría hacerlo con tres cajones?
54
Divisor común máximo
TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 55
Coincidiendo...
 En la escuela se realizan diferentes proyectos. A Matías le interesa participar del taller de
deportes y del espacio de arte. El taller de deportes organiza un partido cada 12 días y el de arte
un encuentro de artistas cada 16 días.
4
Matías lo piensa así:
¡ Sí, cada 48 días
tendré partido y
encuentro de arte,
qué divertido!
Partido cada 12 días:
12, 24, 48, 60, 72, ...
Arte cada 16 días:
16, 32, 48, 64, ...
mcm: factores comunes y
no comunes con su mayor
exponente.
 ¿Lo hacemos factorizando?
12
6
3
1
2
2
3
12 = 22 x 3
16
8
4
2
1
2
2
2
2
16 = 24
El mcm es el mínimo común múltiplo, es
decir, el menor de los múltiplos comunes.
Podés encontrarlo factorizando, para ello
buscá los factores comunes y no comunes
con su mayor exponente.
mcm (12;16) = 24 x 3 = 48
 Con el procedimiento que te resultó más fácil, resolvé las siguientes situaciones factorizando.
Hallá el mcm entre:
a. 45 y 90
Analizá el caso c. ¿Qué sucede?
b. 60 y 18
c. 19 y 23
 Juliana realiza trabajos prácticos de Matemática cada 3 lunes, y de Lengua, cada 4 lunes. Si
comienza con ambos el mismo lunes, ¿cuántos lunes pasarán hasta que vuelva a coincidir?
………………………………………………………………………………………………………..……...
 A lo largo del recorrido de la carrera pedestre, cada 4 m hay una persona que reparte agua para
beber; cada 5 m un enfermero y, cada 30 m, les tiran agua a los corredores para que se refresquen.
¿Cada cuántos metros coinciden los tres servicios?
………………………………………………………………………………………………………………..
En grupo
 Conversen sobre cómo lo resolvieron y qué estrategias de cálculo utilizaron.
• ¿Llegaron a las mismas respuestas?
Mínimo común múltiplo
55
TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 56
Al compás de los triángulos
Los triángulos se clasifican según:
4
Según sus lados:
EQUILÁTEROS
ISÓSCELES
3 lados iguales
ESCALENOS
2 lados iguales
Ningún lado igual a otro
ACUTÁNGULOS
RECTÁNGULOS
OBTUSÁNGULOS
Sus ángulos son todos
AGUDOS (menores que 90°)
Uno de sus ángulos es
RECTO (igual a 90°)
Uno de sus ángulos es
OBTUSO (mayor que 90°)
Según sus ángulos:
Curiosidades triangulares
Propiedad:
En todo triángulo cada segmento debe ser
menor que la suma de los otros dos.
En un triángulo abc:
a debe ser menor que b + c,
b debe ser menor que a + c,
c debe ser menor que a + b.
Los triángulos tienen alturas.
Llamamos altura a la distancia
desde un vértice del triángulo
a su lado opuesto trazada
en forma perpendicular.
Los triángulos tienen 3
vértices por lo tanto
tienen 3 alturas.
a
b
 Ahora sí, podés completar el cuadro con la información obtenida. Decí en cada caso si es posible o
no la construcción del triángulo según los lados dados.
56
ab
bc
ca
10 cm
3 cm
5 cm
4 cm
9 cm
4 cm
2 cm
5 cm
1 cm
7 cm
11 cm
3 cm
22 cm
4 cm
21 cm
6 cm
6 cm
6 cm
Propiedades de los triángulos
¿Sí o no?
c
 Analizá el triángulo:
a. Nombrá sus vértices.
b. Clasificalo según sus lados y sus ángulos.
Según sus ángulos .........................................
Según sus lados .............................................
c. Trazá las alturas
correspondientes.
d. Medí los ángulos.
¿Cuánto suman?
TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 57
Más curiosidades triangulares
Propiedad:
En todo
triángulo la
suma de los
ángulos
interiores es
igual a 180°
En un triángulo
abc el ángulo a, el
b y el c deben
sumar 180°.
4
a
c
a + b + c = 180°
b
 Comprobá la propiedad midiendo y sumando los ángulos de los siguientes triángulos:
 Escribí tu conclusión sobre el trabajo realizado:
………………………………………………………………………………………………………………….…
………………………………………………………………………………………………………………….…
………………………………………………………………………………………………………………….…
Mentalmente
 Calculá mentalmente los
ángulos que faltan en cada
triángulo y clasificalos.
Ángulo a
Ángulo b
35°
120°
60°
60°
90°
45°
55°
70°
Ángulo c
Según sus
ángulos
Según sus
lados
Apuntando al ángulo
 En tu carpeta, construí los siguientes triángulos y, en los casos en los que no puedas hacerlo,
explicá qué dificultad encontraste.
a) AB= 5 cm; BC= 3 cm; CA= 3 cm.
b) A= 50º; B= 110º.
c) A= 30º; B= 50º; C= 60º.
d) A= 40º; B= 60º; C= 80º.
e) AB= 6 cm; A= 30º; B= 100º.
Triangulate con tus compañeros
 Construí un triángulo en el cual dos de sus ángulos miden 70° y 30° respectivamente.
 Compará tu construcción con las de dos compañeros.
• ¿Todos construyeron el mismo triángulo?
• ¿Qué dato agregarías al problema para que haya una única solución?
Propiedades de los triángulos
57
TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 58
Todos juntos nos evaluamos
 Construí el siguiente triángulo, pero antes de hacerlo, observá los datos y clasificalo según
sus lados y sus ángulos.
Lado ab de 5 cm. Ángulo a: 120º. Ángulo b: 95º.
• ¿Encontraste alguna dificultad para construirlo?
• ¿Por qué?
 Observá cuáles de estos triángulos podés construir y
hacelo en tu carpeta. Fundamentá tus respuestas.
a) Lados: 5 cm, 3 cm y 4 cm.
b) Lado: 6 cm. Ángulo: 45º. Ángulo 45º.
c) Lados: 8 cm, 3 cm y 4 cm.
d) Ángulos: 120º, 30º y 50º.
 Leé las pistas y ubicalos en el cuadro:
PISTAS:
Triángulo
Triángulo
Triángulo
Triángulo
abc: tiene dos lados iguales y un ángulo recto.
def: tiene un ángulo obtuso y tres lados distintos.
ghi: tiene tres ángulos iguales.
jkl: tiene dos ángulos agudos iguales y otro agudo.
ACUTÁNGULO
RECTÁNGULO
EQUILÁTERO
ISÓSCELES
ESCALENO
 Trazá la altura de cada uno de los lados en los siguientes triángulos.
• ¿Qué elemento utilizás?
• ¿Cuál es el error en las siguientes alturas trazadas? Explicá por qué.
58
Todos juntos nos evaluamos
OBTUSÁNGULO
TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 59
Múltiplos y divisores
a) El número 1.261 es múltiplo de 13. ¿Cuál es el número que multiplicado por 13 da como
resultado 1.261?
• Explicá cómo hiciste para encontrar la solución.
b) Se sabe que 450 es múltiplo de 18. ¿Es cierto que al dividirlos su resto es cero?
 Sin hacer las cuentas, marcá las divisiones de las que podés estar seguro que el resto también es 0.
450 : 6
450 : 4
450 : 3
450 : 8
 Descomponé los siguientes números en sus factores primos e indicá cuáles son primos.
20
20 =
125
125 =
31
111
31 =
43
11 =
43 =
A curarse prontito
 Mariano tiene que tomar dos medicamentos por algunos días. El médico indicó que uno lo tome cada
6 horas y el otro cada 4 horas. La mamá comienza dárselos juntos a las 12 del mediodía.
• Ayudala a organizar los horarios. ¿A qué hora tomará nuevamente los dos medicamentos juntos?
• Si cada caja contiene 25 comprimidos, ¿para cuántos días le alcanzarán?
Un recuerdo de cumpleaños
 Flor arma las bolsitas para regalarles a sus amigos luego de su cumpleaños. Cada bolsa tendrá
chupetines, caramelos, chocolatines y gomitas.
Si tiene 40 caramelos, 35 chupetines, 20 chocolatines y 70 gomitas:
• ¿Cuál
es la máxima
cantidad
de bolsas que puede armar, con igual cantidad de golosinas cada una?
Mi
maestra
piensa que
progresé...
• ¿Qué cantidad de golosinas pondrá en cada bolsa?
• ¿Cuántas de cada clase?
Pintáá la carita que corresponda.
Pint
(Si es necesario, hacé las correcciones
en tu carpeta)
Me salió
muy bien.
Me salió
bien.
Debo seguir
practicando.
Todos juntos nos evaluamos
59
TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 60
Todos juntos aprendimos
 Completá los esquemas organizando todo lo que aprendiste en este proyecto. Si es necesario,
volvé a consultar las páginas anteriores.
Un número es ............................................ de otro
si lo contiene un número exacto de veces.
Un número es divisible por otro si el resto
de la ......................................... entre ellos es cero.
Número
natural
1 es ................................... de todos los números.
................... es múltiplo de todos los números.
Los números ................................................ son los
que tienen solo dos divisores.
MCM :
es ...................................
Para verificarlos
nos ayudamos con
los criterios de
..........................................
DCM:
es ....................................
Los que tienen más de dos divisores se
llaman ...................................................................
Triángulos
.................... LADOS
3 ..................................
3 lados
iguales
......... lados
iguales
3 lados
diferentes
Un ...................
recto
...........................
Isósceles
...........................
Rectángulo
3 alturas: cada una es ..............................................
al lado correspondiente.
3 ángulos
agudos
Un ángulo
.........................
...........................
Obtusángulo
La suma de los ángulos interiores es
.............................................................................................
 Si te costó realizar esta tarea, podés repasar un poco más las ideas. Si la completaste sin dificultad,
podés avanzar al siguiente proyecto.
60
Todos juntos aprendimos
TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 61
Todos juntos pensamos
 Para leer, analizar, intercambiar opiniones y responder en grupo.
Si tenemos que tomar un colectivo que
pasa cada 8 minutos por la parada, y
perdimos el que habitualmente tomamos…
• ¿Calculando múltiplos podemos saber
rápidamente a qué hora pasará el próximo?
Cuando llegue la primavera, en el jardín
de la escuela podremos cortar cada 7 días
los claveles y cada 2 las margaritas. Para
saber cada cuántos días juntaremos flores
de ambas clases a la vez…
• ¿Nos sirvió aprender a buscar un
múltiplo común?
Si nos tenemos que agrupar con la misma
cantidad de compañeros en cada grupo, sin
que quede nadie solo, para hacer un trabajo
de Sociales, y somos 21 compañeros…
• ¿Sabiendo buscar divisores de un número
podemos encontrar más rápido cuántos
grupos podríamos hacer? ¿Y cuántos
compañeros habría en cada uno?
Para el Día del Maestro, queremos
hacer tarjetas triangulares para
regalárselas a las señoritas.
• ¿Es útil saber que no podemos poner
dos ángulos rectos para hacer el molde de
los triángulos?
Para comprender dónde se mide la
altura de una montaña…
• ¿Es útil comparar su forma con un
triángulo y verificar que la altura debe ser
perpendicular al lado de la base?
 Escribimos situaciones que nos pasaron y en las que nos fue útil usar lo que aprendimos en este
proyecto.
Todos juntos pensamos
61