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TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:06 Page 50 Números comunes Para contar, ordenar y agrupar diferentes objetos en cantidades iguales, o para resolver situaciones donde debamos encontrar coincidencias de tiempos, de cantidades o de distancias, nos ayuda encontrar múltiplos comunes. Si necesitamos buscar las maneras de repartir objetos, podemos evitar hacer las cuentas de dividir ayudándonos con los criterios de divisibilidad. LOS PANES VIENEN DE A 4. CADA CAJA TRAE 6 HAMBURGUESAS. Los chicos quieren comprar la misma cantidad de hamburguesas que de panes. ¿Cuál es el menor número que tienen que comprar de cada producto? 50 TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:06 Page 50 Números comunes Para contar, ordenar y agrupar diferentes objetos en cantidades iguales, o para resolver situaciones donde debamos encontrar coincidencias de tiempos, de cantidades o de distancias, nos ayuda encontrar múltiplos comunes. Si necesitamos buscar las maneras de repartir objetos, podemos evitar hacer las cuentas de dividir ayudándonos con los criterios de divisibilidad. LOS PANES VIENEN DE A 4. CADA CAJA TRAE 6 HAMBURGUESAS. Los chicos quieren comprar la misma cantidad de hamburguesas que de panes. ¿Cuál es el menor número que tienen que comprar de cada producto? 50 TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:06 Page 51 En este proyecto aprendemos… Los números tienen múltiplos y divisores. Leé atentamente, completá los casilleros y los descubrirás. 4 Te tanto en tanto Morena y Nacho juegan un juego de mesa. • En la primera ronda del juego deben avanzar de 3 en 3. Escribí los diez primeros casilleros donde pueden llegar a caer comenzando a contar por el que tiene el número 1. CASILLEROS -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- • En la segunda ronda avanzan de 5 en 5. Escribí los diez primeros casilleros donde pueden caer. CASILLEROS -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- • En la segunda ronda, ¿llegarán justo al casillero número 95? ¿Y al 48? ¿Cómo te diste cuenta? Y en la primera, ¿llegarán a esos números? • Explicá cómo lo pensaste. Desafío en la calculadora Un número es múltiplo de otro si lo contiene un número exacto de veces. Escribí un número de dos cifras en la calculadora y restale 6 todas las veces que se pueda. a) ¿Llegaste a obtener el 0? b) Buscá dos números con los que estés seguro de obtener el 0. • Comparalos con los de tus compañeros. ¿Todos pensaron los mismos números? • Ahora, hacé lo mismo, pero escribiendo un número de tres cifras. • Compará con los de tus compañeros. ¿Todos pensaron los mismos? c) ¿Cuántos números que al restarles 6 llegues a 0 podrías escribir? d) ¿Obtendrías 0 con los números 500, 113 y 600? ¿Por qué? Un número es divisible por otro, si el resto de la división entre ellos es cero. Intentá escribir el número 64 como resultado de multiplicar 3 números, pero que ninguno de ellos sea el 1. Ahora, intentá escribirlo como el resultado de multiplicar 5 números, pero que ninguno de ellos sea el 1. Con un ejemplo: 48 : 3 = 16, resto 0 48 es múltiplo de 3 3 es divisor de 48 1 es divisor de todos los números. 0 es múltiplo de todos los números. Múltiplos y divisores 51 TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 52 De reparto María Sol compró este bloc de hojas cuadriculadas para repartir en una de sus carpetas en cada asignatura. Si las quiere repartir entre MATEMÁTICA y CIENCIAS NATURALES... • ¿Podrá poner la misma cantidad de estas hojas en cada asignatura sin que le sobren hojas? • Explicá cómo lo pensaste. 4 Y compró este bloc de hojas rayadas para la otra carpeta, donde pondrá LENGUA, SOCIALES e INGLÉS. • ¿Puede poner la misma cantidad de hojas en cada asignatura sin que le sobren hojas? ¿Por qué? 48 s a hoj 48 as j ho Santino y Ana compraron el mismo bloc de hojas rayadas que compró María Sol. • Leé lo que dicen los chicos: Las puedo repartir en igual cantidad para cada una, entre mis seis materias. Yo tengo, en una carpeta, MATEMÁTICA, LENGUA, HISTORIA Y GEOGRAFÍA. Si las reparte en cantidades iguales en cada una, ¿le sobran hojas de su bloc a Ana? ¿Estás de acuerdo con lo que dice Santino? Pensá y completá: En cada uno de los cuatro casos, se reparten ----------- hojas, en partes iguales sin que sobren hojas. 48 : 3 = 48 : 2 = 48 : 6 = 48 : 4 = 52 Múltiplos y divisores sobran: sobran: sobran: sobran: 48 es múltiplo de 3 3 es divisor de 48 48 es de 2 2 es de 48 48 es de 6 6 es de 48 48 es de 4 4 es de 48 TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 53 Criterios de divisibilidad Son de gran ayuda para reconocer fácilmente a los divisores de un número. -Un número es divisible por 2 si termina en 0 o cifra par. Por ejemplo: 32 es divisor de 2 porque termina en 2 y es un número par. -Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. Por ejemplo: 75 es divisible por 3 porque 7 + 5 = 12 y 12 es múltiplo de 3. -Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Por ejemplo: 180 es divisible por 2 y por 3. Esto implica que es divisible por 6. -Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Por ejemplo: 195 es divisible por 5 porque termina en 5. -Un número es divisible por 10 si termina en 0. Por ejemplo 40 es divisible por 10. 4 Todos los números tienen al menos un divisor, el número 1. Algunos tienen solo dos divisores: el 1 y el mismo número, se llaman PRIMOS. Los que tienen más de dos divisores se llaman COMPUESTOS. 1. a. Coloreá, en cada caso, los divisores del número: 9 4 12 36 5 10 2 5 9 8 20 30 3 2 3 2 10 12 2. a. Analizá el árbol de divisores de 20 y encerrá solo los factores primos. 2 20 2 10 5 5 4 12 6 4 b. Creá vos tu propuesta escribiendo el número central y los divisores que le corresponden. 1 48 b. Completá el cálculo con los factores primos seleccionados y comprobá lo siguiente: “Un número compuesto se puede escribir como producto de factores primos.” 20 =….....… x ….....… x ….....… 1 3. Realizá nuevamente el procedimiento completando la información necesaria: 24 24 =….....… x ….....… 27 x ….....… x ….....… 27 =….....… x ….....… x ….....… Divisibilidad 53 TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 54 Matemática entre las flores Para distribuir todas las flores en ramos equivalentes Aldana y Morena aplican el procedimiento aprendido en la escuela: dcm. 4 Aldana lo aplicó así: Tienen: 40 jazmines 70 rosas blancas 100 flores silvestres 40 20 10 5 1 2 2 2 5 40 = 23 x 5 70 35 7 1 2 5 7 100 50 25 5 1 2 2 5 5 70 = 2 x 5 x 7 100 = 22 x 52 dcm (40,70,100) = 2 x 5 = 10 Morena lo resolvió así: 40: 1,2,4,5,8,10,20,40 70: 1,2,5,7,10,14,35,70 100: 1,2,4,5,10,20,25,50,100 dcm (40,70,100) = 10 En grupo Puesta en común: • ¿Qué procedimiento les resulta más simple? ¿Por qué? • ¿Qué diferencias y similitudes encuentran entre ellos? Redactá las conclusiones del grupo en tu carpeta El dcm entre dos o más números es el producto de los factores primos comunes a ellos elevados a su menor exponente. Una multiplicación de factores iguales puede escribirse en forma de potencia. Resolvé con el procedimiento que te resultó más fácil. Los chicos de 6.º año hicieron, por el barrio, una colecta de leche en polvo y galletitas para donar a la Casa del Niño. Juntaron 70 paquetes de leche y 50 de galletitas. Si quieren armar la mayor cantidad de cajas con el mismo contenido en cada una de ellas: a) ¿Cuántas cajas podrán armar? b) ¿Cuántos paquetes de leche y cuántas bolsas de pañales habrá en cada caja? Para organizar todas las fichas del fichero de la oficina, Juan debe acomodar, de cada color, la misma cantidad de fichas en cada cajón: tiene 82 rojas, 66 blancas y 58 verdes. a. ¿Cuál es la mayor cantidad de cajones que podrá usar? b. ¿Qué cantidad de fichas de cada clase colocará por cajón? c. ¿Podría hacerlo con tres cajones? 54 Divisor común máximo TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 55 Coincidiendo... En la escuela se realizan diferentes proyectos. A Matías le interesa participar del taller de deportes y del espacio de arte. El taller de deportes organiza un partido cada 12 días y el de arte un encuentro de artistas cada 16 días. 4 Matías lo piensa así: ¡ Sí, cada 48 días tendré partido y encuentro de arte, qué divertido! Partido cada 12 días: 12, 24, 48, 60, 72, ... Arte cada 16 días: 16, 32, 48, 64, ... mcm: factores comunes y no comunes con su mayor exponente. ¿Lo hacemos factorizando? 12 6 3 1 2 2 3 12 = 22 x 3 16 8 4 2 1 2 2 2 2 16 = 24 El mcm es el mínimo común múltiplo, es decir, el menor de los múltiplos comunes. Podés encontrarlo factorizando, para ello buscá los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. mcm (12;16) = 24 x 3 = 48 Con el procedimiento que te resultó más fácil, resolvé las siguientes situaciones factorizando. Hallá el mcm entre: a. 45 y 90 Analizá el caso c. ¿Qué sucede? b. 60 y 18 c. 19 y 23 Juliana realiza trabajos prácticos de Matemática cada 3 lunes, y de Lengua, cada 4 lunes. Si comienza con ambos el mismo lunes, ¿cuántos lunes pasarán hasta que vuelva a coincidir? ………………………………………………………………………………………………………..……... A lo largo del recorrido de la carrera pedestre, cada 4 m hay una persona que reparte agua para beber; cada 5 m un enfermero y, cada 30 m, les tiran agua a los corredores para que se refresquen. ¿Cada cuántos metros coinciden los tres servicios? ……………………………………………………………………………………………………………….. En grupo Conversen sobre cómo lo resolvieron y qué estrategias de cálculo utilizaron. • ¿Llegaron a las mismas respuestas? Mínimo común múltiplo 55 TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 56 Al compás de los triángulos Los triángulos se clasifican según: 4 Según sus lados: EQUILÁTEROS ISÓSCELES 3 lados iguales ESCALENOS 2 lados iguales Ningún lado igual a otro ACUTÁNGULOS RECTÁNGULOS OBTUSÁNGULOS Sus ángulos son todos AGUDOS (menores que 90°) Uno de sus ángulos es RECTO (igual a 90°) Uno de sus ángulos es OBTUSO (mayor que 90°) Según sus ángulos: Curiosidades triangulares Propiedad: En todo triángulo cada segmento debe ser menor que la suma de los otros dos. En un triángulo abc: a debe ser menor que b + c, b debe ser menor que a + c, c debe ser menor que a + b. Los triángulos tienen alturas. Llamamos altura a la distancia desde un vértice del triángulo a su lado opuesto trazada en forma perpendicular. Los triángulos tienen 3 vértices por lo tanto tienen 3 alturas. a b Ahora sí, podés completar el cuadro con la información obtenida. Decí en cada caso si es posible o no la construcción del triángulo según los lados dados. 56 ab bc ca 10 cm 3 cm 5 cm 4 cm 9 cm 4 cm 2 cm 5 cm 1 cm 7 cm 11 cm 3 cm 22 cm 4 cm 21 cm 6 cm 6 cm 6 cm Propiedades de los triángulos ¿Sí o no? c Analizá el triángulo: a. Nombrá sus vértices. b. Clasificalo según sus lados y sus ángulos. Según sus ángulos ......................................... Según sus lados ............................................. c. Trazá las alturas correspondientes. d. Medí los ángulos. ¿Cuánto suman? TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 57 Más curiosidades triangulares Propiedad: En todo triángulo la suma de los ángulos interiores es igual a 180° En un triángulo abc el ángulo a, el b y el c deben sumar 180°. 4 a c a + b + c = 180° b Comprobá la propiedad midiendo y sumando los ángulos de los siguientes triángulos: Escribí tu conclusión sobre el trabajo realizado: ………………………………………………………………………………………………………………….… ………………………………………………………………………………………………………………….… ………………………………………………………………………………………………………………….… Mentalmente Calculá mentalmente los ángulos que faltan en cada triángulo y clasificalos. Ángulo a Ángulo b 35° 120° 60° 60° 90° 45° 55° 70° Ángulo c Según sus ángulos Según sus lados Apuntando al ángulo En tu carpeta, construí los siguientes triángulos y, en los casos en los que no puedas hacerlo, explicá qué dificultad encontraste. a) AB= 5 cm; BC= 3 cm; CA= 3 cm. b) A= 50º; B= 110º. c) A= 30º; B= 50º; C= 60º. d) A= 40º; B= 60º; C= 80º. e) AB= 6 cm; A= 30º; B= 100º. Triangulate con tus compañeros Construí un triángulo en el cual dos de sus ángulos miden 70° y 30° respectivamente. Compará tu construcción con las de dos compañeros. • ¿Todos construyeron el mismo triángulo? • ¿Qué dato agregarías al problema para que haya una única solución? Propiedades de los triángulos 57 TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 58 Todos juntos nos evaluamos Construí el siguiente triángulo, pero antes de hacerlo, observá los datos y clasificalo según sus lados y sus ángulos. Lado ab de 5 cm. Ángulo a: 120º. Ángulo b: 95º. • ¿Encontraste alguna dificultad para construirlo? • ¿Por qué? Observá cuáles de estos triángulos podés construir y hacelo en tu carpeta. Fundamentá tus respuestas. a) Lados: 5 cm, 3 cm y 4 cm. b) Lado: 6 cm. Ángulo: 45º. Ángulo 45º. c) Lados: 8 cm, 3 cm y 4 cm. d) Ángulos: 120º, 30º y 50º. Leé las pistas y ubicalos en el cuadro: PISTAS: Triángulo Triángulo Triángulo Triángulo abc: tiene dos lados iguales y un ángulo recto. def: tiene un ángulo obtuso y tres lados distintos. ghi: tiene tres ángulos iguales. jkl: tiene dos ángulos agudos iguales y otro agudo. ACUTÁNGULO RECTÁNGULO EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO Trazá la altura de cada uno de los lados en los siguientes triángulos. • ¿Qué elemento utilizás? • ¿Cuál es el error en las siguientes alturas trazadas? Explicá por qué. 58 Todos juntos nos evaluamos OBTUSÁNGULO TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 59 Múltiplos y divisores a) El número 1.261 es múltiplo de 13. ¿Cuál es el número que multiplicado por 13 da como resultado 1.261? • Explicá cómo hiciste para encontrar la solución. b) Se sabe que 450 es múltiplo de 18. ¿Es cierto que al dividirlos su resto es cero? Sin hacer las cuentas, marcá las divisiones de las que podés estar seguro que el resto también es 0. 450 : 6 450 : 4 450 : 3 450 : 8 Descomponé los siguientes números en sus factores primos e indicá cuáles son primos. 20 20 = 125 125 = 31 111 31 = 43 11 = 43 = A curarse prontito Mariano tiene que tomar dos medicamentos por algunos días. El médico indicó que uno lo tome cada 6 horas y el otro cada 4 horas. La mamá comienza dárselos juntos a las 12 del mediodía. • Ayudala a organizar los horarios. ¿A qué hora tomará nuevamente los dos medicamentos juntos? • Si cada caja contiene 25 comprimidos, ¿para cuántos días le alcanzarán? Un recuerdo de cumpleaños Flor arma las bolsitas para regalarles a sus amigos luego de su cumpleaños. Cada bolsa tendrá chupetines, caramelos, chocolatines y gomitas. Si tiene 40 caramelos, 35 chupetines, 20 chocolatines y 70 gomitas: • ¿Cuál es la máxima cantidad de bolsas que puede armar, con igual cantidad de golosinas cada una? Mi maestra piensa que progresé... • ¿Qué cantidad de golosinas pondrá en cada bolsa? • ¿Cuántas de cada clase? Pintáá la carita que corresponda. Pint (Si es necesario, hacé las correcciones en tu carpeta) Me salió muy bien. Me salió bien. Debo seguir practicando. Todos juntos nos evaluamos 59 TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 60 Todos juntos aprendimos Completá los esquemas organizando todo lo que aprendiste en este proyecto. Si es necesario, volvé a consultar las páginas anteriores. Un número es ............................................ de otro si lo contiene un número exacto de veces. Un número es divisible por otro si el resto de la ......................................... entre ellos es cero. Número natural 1 es ................................... de todos los números. ................... es múltiplo de todos los números. Los números ................................................ son los que tienen solo dos divisores. MCM : es ................................... Para verificarlos nos ayudamos con los criterios de .......................................... DCM: es .................................... Los que tienen más de dos divisores se llaman ................................................................... Triángulos .................... LADOS 3 .................................. 3 lados iguales ......... lados iguales 3 lados diferentes Un ................... recto ........................... Isósceles ........................... Rectángulo 3 alturas: cada una es .............................................. al lado correspondiente. 3 ángulos agudos Un ángulo ......................... ........................... Obtusángulo La suma de los ángulos interiores es ............................................................................................. Si te costó realizar esta tarea, podés repasar un poco más las ideas. Si la completaste sin dificultad, podés avanzar al siguiente proyecto. 60 Todos juntos aprendimos TJA_MATE6to_P4_Layout 1 15/12/14 09:07 Page 61 Todos juntos pensamos Para leer, analizar, intercambiar opiniones y responder en grupo. Si tenemos que tomar un colectivo que pasa cada 8 minutos por la parada, y perdimos el que habitualmente tomamos… • ¿Calculando múltiplos podemos saber rápidamente a qué hora pasará el próximo? Cuando llegue la primavera, en el jardín de la escuela podremos cortar cada 7 días los claveles y cada 2 las margaritas. Para saber cada cuántos días juntaremos flores de ambas clases a la vez… • ¿Nos sirvió aprender a buscar un múltiplo común? Si nos tenemos que agrupar con la misma cantidad de compañeros en cada grupo, sin que quede nadie solo, para hacer un trabajo de Sociales, y somos 21 compañeros… • ¿Sabiendo buscar divisores de un número podemos encontrar más rápido cuántos grupos podríamos hacer? ¿Y cuántos compañeros habría en cada uno? Para el Día del Maestro, queremos hacer tarjetas triangulares para regalárselas a las señoritas. • ¿Es útil saber que no podemos poner dos ángulos rectos para hacer el molde de los triángulos? Para comprender dónde se mide la altura de una montaña… • ¿Es útil comparar su forma con un triángulo y verificar que la altura debe ser perpendicular al lado de la base? Escribimos situaciones que nos pasaron y en las que nos fue útil usar lo que aprendimos en este proyecto. Todos juntos pensamos 61