Download El lenguaje algebraico - Matemáticas en el IES Valle del Oja

Unidad
Didáctica
Introducción
El lenguaje Algebraico
El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen
números se llama lenguaje numérico.
El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las
trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico.
La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos
se llama Álgebra.
El lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el período
de Al–khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. El
lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y
algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico
es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes
operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si
queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b;
donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que
conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la
numeración.
Cómo aparecen las letras en matemáticas
Para trabajar con cantidades desconocidas y razonar de una manera precisa con
ellas. Una cantidad desconocida se suele representar con alguna letra llamada
variable. Ejemplos:



Sea x mi edad.
Sea y la edad de mi madre.
Entonces y – x son los años que tenía mi madre cuando yo nací.
Como vemos, empleamos letras para representar cualquier número desconocido,
realizamos operaciones aritméticas con ellas e, incluso, las incluimos en
expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico (ver ecuaciones).
Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente:
 Se usan todas las letras del alfabeto.
 Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como
constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi.
 Por lo regular las letras X, Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de
la función o expresión algebraica.
También el lenguaje algebraico ayuda mantener relaciones generales para
razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en
la vida cotidiana.
El lenguaje algebraico
Aquí se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más
comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje algebraico;
cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se
basa estrictamente en estas definiciones:

un número cualquiera
Se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:
a = un número cualquiera
b = un número cualquiera
c = un número cualquiera
... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto.

la suma de dos números cualesquiera
a+b = la suma de dos números cualesquiera
x+y = la suma de dos números cualesquiera

la resta de dos números cualesquiera
a-b = la resta de dos números cualesquiera
m-n = la resta de dos números cualesquiera

la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera
a-b+c =la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera

el producto de dos números cualesquiera
ab = el producto de dos números cualesquiera

el cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números
cualesquiera)
a/b= el cociente de dos números cualesquiera

la semisuma de dos números cualesquiera
(a+b)/2= la semisuma de dos números cualesquiera

el semiproducto de dos números cualesquiera
(ab)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera
Características del lenguaje algebraico
1.- El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos
expresar enunciados de una forma más breve.
El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 • = {±5, ±10, ±15, ...}.
En lenguaje algebraico se expresa 5 • n, con n un número entero.
2.- El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de
carácter general.
La propiedad conmutativa del producto se expresa a • b = b • a, donde a y b son
dos números cualesquiera.
3.- Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos
operaciones aritméticas con ellos.
El doble de un número es seis se expresa 2 • x = 6.
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El lenguaje algebraico
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan
con los signos de las operaciones aritméticas.
Las expresiones algebraicas surgen al traducir el impreciso lenguaje ordinario al
preciso lenguaje matemático. A modo de ejemplos, ofrecemos un listado de
frases con un contenido matemático traducidas al lenguaje algebraico:
Frase
La suma de 2 y un número
3 más que un número
La diferencia entre un número y 5
4 menos que n
Un número aumentado en 1
Un número disminuido en 10
El producto de dos números
Dos veces la suma de dos números
Dos veces un número sumado a otro
Cinco veces un número
Ene veces (desconocida) un número conocido
El cociente de dos números
La suma de dos números
10 más que n
Un número aumentado en 3
Un número disminuido en 2
El producto de p y q
Uno restado a un número
El antecesor de un número cualquiera
El sucesor de un número cualquiera
3 veces la diferencia de dos números
10 más que 3 veces un número
La diferencia de dos números
La suma de 24 y 19
19 más que 33
Dos veces la diferencia de 9 y 4
El producto de 6 y 16
3 veces la diferencia de 27 y 21
La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado
El cociente de 3 al cubo y 9
12 al cuadrado dividido por el producto
de 8 y 12
Expresión algebraica
2 + d (la "d" representa la
cantidad desconocida)
x+3
a-5
4-n
k+1
z - 10
a•b
2 ( a + b)
2a + b
5x
n multiplicado por el número
conocido
a
b
x+y
n + 10
a+3
a–2
p•q
n–1
x–1
x+1
3(a – b)
10 + 3b
a–b
24 + 19 = 43
33 + 19 = 52
2(9 – 4) = 18 – 8 = 10
6 • 16 = 96
3(27 – 21) = 81 – 63 = 18
92 – 42 = 81 – 16 = 65
33 / 9 = 27 / 9 = 3
122 ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 =
= 1,5
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El lenguaje algebraico
1. Practicando: expresa en lenguaje algebraico.
Escribe de forma simbólica las siguientes expresiones:

El triple de un número:

El cuádruple de un número:

El séxtuplo de un número:

El óctuple de un número:

El décuplo de un número:

La mitad de un número:

La cuarta parte de un número:

Un quinto de un número:

Los dos tercios de un número:

Las tres quintas partes de un número:

Los ocho séptimos de un número:

Los tres novenos de un número:

Un número es igual a la novena parte de otro:

Un número es igual a la décima parte de otro:

Un número es igual al doble de otro:

Un número es igual al triple de otro:

Un número es cinco veces otro:

Un número es nueve veces otro:

El cuadrado de un número:

El cubo de un número:

La cuarta potencia de un número:

La quinta potencia de un número:

La raíz cuadrada de un número:

La raíz cúbica de un número:

El cuadrado de un número más su doble:
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El lenguaje algebraico

Completa la tabla atendiendo a los siguientes enunciados:
o Teresa tiene x años.
o Su hija tiene 25 años menos que ella.
o Su madre tiene el doble de edad que ella.
o Su padre le saca 6 años a su madre.
o Lorenzo tiene 5 años más que Teresa.
Edad
Teresa
x
La hija
La madre
El padre
Lorenzo

Haz corresponder cada enunciado con su expresión algebraica:
1´3x
3
x
2
x
2
x  60
1´3 x
2
60x
o La mitad de un número.
o El triple de la mitad de un número.
o La distancia recorrida en x horas por un tren que viaja a 60 Km/h.
o El precio de x kilos de naranjas que cuestan 1´3 € el kilo.
o La edad de Pedro, sabiendo que su abuelo, que ahora tiene x años,
tenía 60 cuando nació Pedro.
o El área de un triángulo de base 1´3 m y altura x metros.

Diferencia entre:

El cuadrado de la suma de dos números / La suma del cuadrado de dos números.

El triple de la diferencia de dos números / La diferencia del triple de dos números.

Traduce los siguientes enunciados:
 El doble de la tercera parte de un número.
 El triple de la mitad de la quinta parte de un número.
 La quinta parte de cuádruplo de un número.
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El lenguaje algebraico
2. Practicando: expresa en lenguaje algebraico.
1) El doble de un número menos su cuarta parte.
2) Años de Ana Belén dentro de 12 años.
3) Años de Isabel hace tres años.
4) La cuarta parte de un número más su siguiente.
5) Perímetro de un cuadrado.
6) Un número par.
7) Un número impar.
8) Un múltiplo de 7.
9) Dos números enteros consecutivos.
10) Dos números que se diferencian en dos unidades.
11) El doble de un número menos su quinta parte.
12) El quíntuplo de un número más su quinta parte.
13) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años.
14) Dos números se diferencian en 13 unidades.
15) Dos números suman 13.
16) Un hijo tiene 22 años menos que su padre.
17) Dos números cuya suma es 25.
18) La cuarta parte de la mitad de un número.
19) Dimensiones de un rectángulo en el que su largo tiene 6 metros más que el ancho.
20) Un tren tarda tres horas menos que otro en ir de Madrid a Barcelona.
21) Repartir una caja de manzanas entre seis personas.
22) Un número es 10 unidades mayor que otro.
23) Un número menos su mitad más su doble.
24) Un número 5 unidades menor que otro.
25) El cuadrado de un número.
26) Un número y su opuesto.
27) Un número y su inverso.
28) Veinticinco menos el cuadrado de un número.
29) El cuadrado de un número menos su cuarta parte.
30) Dividir 25 en dos partes.
31) La suma de un número al cuadrado con su consecutivo.
32) La suma de un número con su consecutivo al cuadrado.
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El lenguaje algebraico
33) El cociente entre un número y su cuadrado.
34) La diferencia de dos números impares consecutivos.
35) El producto de un número con su consecutivo.
36) La diferencia de dos números consecutivos elevados al cuadrado.
37) Triple de un número elevado al cuadrado.
38) Restar 7 al duplo de un número al cuadrado.
39) Roberto es cinco años más joven que Arturo.
40) Antonio tiene 20 euros más que Juan.
41) Carmen supera a Concha en tres años.
42) El precio de “m” libros a 49 euros cada uno.
43) El número que es la cuarta parte del número “y”.
44) Dos múltiplos de tres consecutivos.
45) El 25% de un número.
46) Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada metro cuesta 8 euros.
47) El beneficio que se obtiene en la venta de un artículo que cuesta “a” euros y se
vende por “b” euros.
48) Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan “p” euros.
49) El número que representa 12 unidades más que el número “x”.
50) La edad de Juan es ocho veces la de Rafael.
51) El número que representa 20 unidades menos que el número “h”.
52) El número que es tres veces mayor que el número “n”.
Considerando un rebaño de “x” ovejas:
53) Número de patas del rebaño.
54) Número de patas si se mueren 6 ovejas.
55) Número de ovejas después de nacer 18 corderillos.
56) Número de ovejas después de dos años si el rebaño crece un cuarto al año.
Considerando que Ana tiene “x” euros:
57) Enrique tiene 100 euros más que Ana.
58) Susana tiene el doble de Enrique.
59) Charo tiene 400 euros menos que Susana.
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El lenguaje algebraico
SOLUCIONES
1) 2x− x/4
31) x2
2) x + 12
32) x
3) x – 3
33) x/x2
4)x/4
x 1
x 1
x 1
2
34) 2x 3 − 2x 1
5) 4x
35) x( x + 1)
6) 2x
36) x 1 2−x2
7) 2x + 1
37) 3⋅ x2
8) 7x
38) 2x2−7
9) x , x + 1
39) x – 5
10) x , x + 2
40) x + 20
11) 2x−x/5
41) x + 3
12) 5x x/5
42) 49m
13) 2x – 5
43) y/4
14) x , x + 13
44) 3x , 3x + 3
15) x , 13 – x
45) 25/100⋅ x
16) x – 22
46) 8c
17) x , 25 - x
47) b – a
18) x/4
48) 15/p
19) x , x+6
49) x + 12
20) x – 3
50) 8x
21) x/6
51) h – 20
22) x + 10
52) 3n
23) x−x/2 2⋅ x
53) 4x
24) x – 5
54) 4(x-6)
x2
55) x + 18
25)
26) x , -x
56) x x/4 1/4⋅ x x/4
27) x , 1/x
57) x + 100
28) 25−x2
58) 2(x + 100)
29)
x2−x/4
59) 2(x + 100) - 400
30) x , 25 – x
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El lenguaje algebraico
Control: el lenguaje algebraico.

1. la mitad de un número
A) 2 · x
B) x/2
C) x²

2. el doble de un número más tres
A) 2x + 3
B) 2 · (x + 3)
C) x/2 + 3

3. el triple de un número menos cuatro
A) x - 3 · 4
B) 3 · 4 - x
C) 3x – 4

4. la mitad del cubo de un número
A) 3 · x /2
B) 3/2 · x
C) x3/2

5. siete menos un número
A) 7 - 3
B) 7 - x
C) x – 7

6. el doble de la suma de dos números
A) 2 · (m + n)
B) 2 · m + n
C) m + n · 2

7. la edad de una persona hace cinco años
A) 5 - x
B) 32 - 5
C) x – 5

8. el cuadrado más el triple de un número
A) 32 + 3 · x
B) x2 + 3 · x
C) x + 32

9. la quinta parte del triple de un número
A) 3 · 5 /x
B) 3 · x / 5
C) x/3 · 5

10. el triple de la suma de tres números
A) 3 · (a + b + c)
B) 3 + a + b + c
C) a + b + c · 3
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El lenguaje algebraico
Empareja
números
y letras
1. El anterior de un número
2. El doble de un número, más 3
3. El siguiente de un número
4. El triple de un número
5. El triple de un número menos 5
6. La mitad de un número menos 4
7. Un múltiplo cualquiera de 2
8. Un múltiplo cualquiera de 5
9. Un número impar
10. Un número par
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
5x
x/2 – 4
3x - 5
2x + 3
2x
2x + 1
x+1
2x
3x
x-1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Dos nºs impares consecutivos.
El cuadrado de la + de dos nºs
El triple de un número impar.
La suma de los cubos de dos nº
Resta de un nº y su cuadrado.
Tres nºs pares consecutivos.
Tres nº naturales consecutivos
Un número impar.
Un número par.
Un número par siguiente a 2x
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
x - x2
2x
2y, 2y + 2, 2y + 4
2a + 1
(a + b)2
2a + 1, 2a + 3
n, n + 1, n + 2
3(2n + 1)
2x +2
x3 +y3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Dos nºs cuya suma sea 12.
El perímetro de un cuadrado.
El perímetro de un rectángulo.
El área de un cuadrado.
El área de un rectángulo.
La mitad de n menos 4 unidades
La mitad de un número.
Reparte dinero entre 5 amigos
Un múltiplo de cinco.
Un nº menos su mitad.
K.
L.
M.
N.
O.
P.
Q.
R.
S.
T.
x + y = 12
x2
4x
x·y
x/5
x - x/2
x/2
n/2 - 4
5a
2x + 2y
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
(b·h)/2
2a+2b
3x
3x+2
4l
b·h
l²
x(x+1)
x+2
x-2
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
El área de un rectángulo cualquiera.
La edad de Juan dentro de dos años.
la edad de María hace dos años
El área de un cuadrado de lado l.
El perímetro de un triángulo equilátero.
Al triple de un número le sumamos dos unidades.
El área de un triángulo cualquiera.
El producto de un número y su consecutivo.
El perímetro de un rectángulo.
El perímetro de un cuadrado de lado l.
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El lenguaje algebraico
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de
sustituir las letras por números y realizar a continuación las operaciones que se
indican. Se trata de una simple sustitución de letras por números para después
hacer los cálculos indicados por la expresión y obtener así un resultado:
Ejemplo:
Dada la expresión:
Respuesta: 1066
Solución:
Sustituimos las letras por los números teniendo en cuenta los signos
aritméticos:
9.25 Calcula el valor numérico de:
3a – 2b + 4a + 3b si a = 2 y b = 3
Respuesta: 17
9.26 Calcula el valor numérico de:
Respuesta: 7
9.27 Calcula el valor numérico de:
Respuesta:
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El lenguaje algebraico
9.28 Halla el valor numérico:
para a = 3, b = 4 y c = 5
Respuesta:
9.29 Calcula el valor numérico de:
Para p = 5, a = 2, b = 3 y c = 4
Respuesta:
Solución:
9.30 Calcula el valor numérico de:
Para a = 5 y b = 3
Respuesta:
Solución:
Recuerda que si entre paréntesis no hay signos aritméticos, se entiende que se
encuentra el signo X.
9.31 Calcula el valor numérico de:
Respuesta: 15
9.32 Calcula el valor numérico de:
Para a = 1 y b = 2
Cuidado con los signos negativos.
Respuesta: -3
9.33 Calcula el valor numérico de:
Para
Respuesta:
9.34 Halla el valor numérico de:
Respuesta:
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El lenguaje algebraico
Clasificación de las expresiones algebraicas
Monomios
Un monomio se define como aquella expresión algebraica que está constituida
por coeficientes, exponentes y bases.
Coeficiente numérico: es la cantidad numérica o letra que se encuentra a la
izquierda de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se debe sumar
o restar dependiendo del signo que tenga.
Ejemplos:
7x4 = x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4
– 3x2 = – x2 – x2 – x2
Exponente numérico: es la cantidad que se encuentra arriba a la derecha de la
base, la cual indica la cantidad de veces que la base se toma como producto.
Ejemplos:
5x3 = 5 (x) (x) (x)
8(– x + 5)2 = 8(– x + 5) (– x + 5)
Polinomios
Un polinomio es así:
un ejemplo de polinomio
este tiene 3 términos
Están hechos de:
constantes (como 3, -20, o ½)
variables (como x e y)
exponentes (como el 2 en y2) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc
Que se pueden combinar usando:
+ - × sumas, restas y multiplicaciones...
... ¡pero no divisiones!
Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos!
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El lenguaje algebraico
¿Son polinomios o no?
Estos son polinomios:
 3x
 x-2
 3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5
Y estos no son polinomios
 2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido
 3xy-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser
0,1,2,...)
Pero esto sí está permitido:
 x/2 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5)
 también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)
Monomios, binomios, trinomios
Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos:
¿Cómo te aprendes los nombres?
¡Piensa en bicicletas!
(También existen cuatrinomio (4 términos) y quintinomio (5 términos), pero se usan
poco)
“Poli” + “nomios” = Muchos términos
Los polinomios pueden tener montones de términos, pero no infinitos términos.
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El lenguaje algebraico
¿Qué tienen de especial los polinomios?
Por su definición tan estricta, es fácil trabajar con polinomios.
Por ejemplo sabemos que:
 Si sumas o restas polinomios te sale un polinomio
 Si multiplicas polinomios te sale un polinomio
Así que puedes hacer muchas sumas y multiplicaciones con ellos, y siempre sale un
polinomio al final.
Grado
El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa
variable. Ejemplo:
El grado es 3 (el mayor exponente de x)
Para casos más complicados, lee Grado (de una expresión).
Sumar y restar polinomios
Para sumar polinomios simplemente suma juntos los términos similares... ¿qué
son términos similares?
Términos similares
"Términos similares" son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en
x2) son los mismos.
En otras palabras, términos que "se parecen".
Ejemplos:
Términos
Por qué son "similares"
7x
x
-2x
porque las variables son todas x
(1/3)xy2
-2xy2
6xy2
porque las variables son todas xy2
Sumar polinomios
Dos pasos:
 Pon juntos los términos similares
 Suma los términos similares
Ejemplo: suma 2x2 + 6x + 5 y 3x2 - 2x - 1
Junta los términos similares: 2x2 + 3x2
+
6x - 2x
+
5-1
Suma los términos similares: (2+3)x2 + (6-2)x + (3-1) = 5x2 + 4x + 4
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El lenguaje algebraico
Sumar en columnas
Puedes sumar varios polinomios juntos así.
Ejemplo: suma (2x2 + 6y + 3xy), (3x2 - 5xy - x) y (6xy + 5)
Ponlos alineados en columnas y suma:
2x2 + 6y + 3xy
3x2
- 5xy - x
6xy
+5
2
5x + 6y + 4xy - x + 5
Usar columnas te ayuda a poner juntos los términos similares en las sumas
complicadas.
Restar polinomios
Para restar polinomios, primero invierte el signo de cada término que vas a restar
(en otras palabras cambia "+" por "-", y "-" por "+"), después suma normalmente.
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del
sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x 3 + 5x − 3) − (2x 3 − 3x 2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x 3 + 5x − 3 − 2x 3 + 3x 2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x 3 − 2x 3 + 3x 2 + 5x− 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x 2 + x − 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y
como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio
por el número.
3 · (2x 3 − 3 x 2 + 4x − 2) = 6x 3 − 9x 2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica
el
monomio por
todos
y cada uno
los monomios que forman el polinomio.
3 x 2 · (2x 3 − 3x 2 + 4x − 2) = 6x 5 − 9x 4 + 12x 3 − 6x 2
de
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x 2 − 3 Q(x) = 2x 3 − 3x 2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos
los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x 2 − 3) · (2x 3 − 3x 2 + 4x) =
= 4x 5 − 6x 4 + 8x 3 − 6x 3 + 9x 2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x 5 − 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los
grados de los polinomios que se multiplican.
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El lenguaje algebraico
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = x 5 + 2x 3 − x − 8
Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es
completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer
monomio del divisor.
x5 : x 2 = x 3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el
resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el
primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el
divisor y lo restamos al dividendo.
2x 4 : x 2 = 2 x 2
Procedemos igual que antes.
5x 3 : x 2 = 5 x
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El lenguaje algebraico
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x 2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del
divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x 3 +2x 2 +5x+8 es el cociente.
División por Ruffini
Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces
utilizamos
un método
más
breve para
hacer
la división,
llamado regla de Ruffini.
Resolver por la regla de Ruffini la división:
(x 4 −3x 2 +2) : (x −3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo
los términos que faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término
independendiente del divisor.
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos
debajo del siguiente término.
6Sumamos los dos coeficientes.
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El lenguaje algebraico
7Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8El último número obtenido, 56 , es el resto.
9El cociente es un polinomio de grado inferior en una
unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos
obtenido.
x 3 + 3 x 2 + 6x +18
Ejercicios y problemas resueltos de polinomios
1(x 4 −2x 2 +2 ) · (x 2 −2x +3) =
= x 6 −2x 5 + 3x 4 − 2x 4 + 4x 3 − 6x 2 + 2x 2 − 4x +6=
= x 6 −2x 5 − 2x 4 + 3x 4 + 4x 3 + 2x 2 − 6x 2 − 4x +6 =
= x 6 −2x 5 + x 4 + 4x 3 − 4x 2 − 4x + 6
2
=
=
=
(3x 2 − 5x) · (2x 3 + 4x 2 − x +2) =
6x 5 + 12x 4 − 3x 3 + 6x 2 − 10x 4 − 20x 3 + 5x 2 − 10x =
6x 5 + 12x 4 − 10x 4 − 3x 3 − 20x 3 + 6x 2 + 5x 2 − 10x =
6x 5 + 2x 4 − 23x 3 + 11x 2 − 10x
3 (2x 2 − 5x + 6) · (3x 4 − 5 x 3 − 6 x 2 + 4x − 3) =
= 6x 6 − 10x 5 − 12 x 4 + 8x 3 − 6 x 2 −
− 15x 5 + 25x 4 + 30x 3 − 20x 2 + 15x +
+18x 4 − 30x 3 − 36x 2 + 24x − 18 =
= 6x 6 − 10x 5 − 15x 5 − 12 x 4 + 25x 4 + 18x 4 +
+8x 3 − 30x 3 + 30x 3 − 6 x 2 − 20x 2 − 36x 2 + 15x + 24x − 18 =
= 6x 6 − 25x 5 + 31x 4 + 8x 3 − 62x 2 + 39x − 18
1Dados los polinomios:
P(x) = 4x 2 − 1
Q(x) = x 3 − 3x 2 + 6x − 2
R(x) = 6x 2 + x + 1
S(x) = 1/2x 2 + 4
T(x) = 3/2x 2 +5
U(x) = x 2 + 2
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El lenguaje algebraico
Calcular:
1P(x) + Q (x) =
= (4x 2 − 1) + ( x 3 − 3x 2 + 6x − 2) =
= x 3 − 3x 2 + 4x 2 + 6x − 2 − 1 =
= x 3 + x 2 + 6x − 3
2P(x) − U (x) =
= (4x 2 − 1) − (x 2 + 2) =
= 4x 2 − 1 − x 2 − 2 =
= 3x 2 − 3
3P(x) + R (x) =
= (4x 2 − 1) + (6x 2 + x + 1) =
= 4x 2 + 6x 2 + x − 1 + 1 =
= 10x 2 + x
42P(x) − R (x) =
= 2(4x 2 − 1) − (6x 2 + x + 1) =
= 8x 2 − 2 − 6x 2 − x − 1 =
= 2x 2 − x − 3
5S(x) + T(x) + U(x) =
= (1/2x 2 + 4 ) + (3/2x 2 +5 ) + (x 2 + 2) =
= 1/2 x 2 + 3/2 x 2 + x 2 + 4 + 5+ 2 =
= 3x 2 + 11
6S(x) − T (x) + U(x) =
= (1/2x 2 + 4) − (3/2x 2 +5) + (x 2 + 2) =
= 1/2x2 + 4 − 3/2x2 − 5 + x2 + 2 = 1
2Dados los polinomios:
P(x) = x 4 − 2x 2 − 6x − 1
Q(x) = x 3 − 6x 2 + 4
R(x) = 2x 4 −2 x − 2
Calcular:
P(x) + Q(x) − R(x) =
= (x4 −2x 2 − 6x − 1) + (x 3 − 6x 2 + 4) − ( 2x 4 − 2x − 2) =
= x 4 −2x 2 − 6x − 1 + x 3 − 6x 2 + 4 − 2x 4 + 2 x + 2 =
= x 4 − 2x 4 + x 3 −2x 2 − 6x 2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 =
= −x 4 + x 3 − 8x 2 − 4x + 5
P(x) + 2 Q(x) − R(x) =
=(x 4 −2x 2 − 6x − 1) + 2(x 3 − 6x 2 + 4) − ( 2x 4 −2 x − 2)=
= x 4 − 2x 2 − 6x − 1 +2x 3 − 12x 2 + 8 − 2x 4 + 2 x + 2 =
= x 4 − 2x 4 + 2x 3 −2x 2 − 12x 2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =
= −x 4 + 2x 3 − 14x 2 − 4x + 9
Q(x)+ R(x) − P(x)=
= (x 3 − 6x 2 + 4) + ( 2x 4 −2 x − 2) − (x 4 −2x 2 − 6x − 1) =
= x 3 − 6x 2 + 4 + 2x 4 −2 x − 2 − x 4 +2x 2 + 6x + 1=
= 2x 4 − x 4 + x 3 − 6x 2 +2x 2 −2 x + 6x + 4− 2 + 1=
= x 4 + x 3 − 4x 2 + 4x + 3
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El lenguaje algebraico
3Dividir los polinomios:
1(x 4 − 2x 3 −11x 2 + 30x −20) : (x 2 + 3x −2)
2(x 6 + 5x 4 + 3x 2 − 2x) : (x 2 − x + 3)
3 P(x) = 2x 5 + 2x 3 −x − 8
Q(x) = 3x 2 −2 x + 1
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El lenguaje algebraico
4 Dividir por Ruffini:
1 (x 3 + 2x +70):(x+4)
2(x 5 − 32):(x − 2)
C(x) = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16 R= 0
3 (x 4 −3x 2 +2 ):(x −3)
C(x) = x 3 + 3 x 2 + 6x +18 R= 56
Ecuaciones
Un Acertijo
¿Cuál es el número que falta?
- 2
= 4
Bueno pues, la respuesta es 6, ¿no? Porque 6-2=4.
Bien, en Álgebra no usamos espacios vacíos o cajas sino que usamos una letra
(normalmente una x o una y, pero cualquier letra está bien). Entonces escribiríamos:
x
2 = 4
Es así de sencillo. La letra (en este caso una x) sólo quiere decir “aún no lo
sabemos” y se la llama frecuentemente incógnita o variable.
Y una vez que la resuelves, escribes:
x = 6
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El lenguaje algebraico
¿Por qué usar una letra?
Porque:
es más fácil escribir “x” que dibujar cajitas vacías (y más fácil decir “x” que
“caja vacía”)
si hubiera muchas cajitas vacías (muchas “incógnitas”) podríamos utilizar
una letra diferente para cada una.
Cómo Resolver
El álgebra es como un acertijo donde empiezas con algo como “x-2=4” y quieres
llegar a algo como “x=6”.
Pero en lugar de decir “obviamente x=6”, usa el siguiente método paso a paso:
 Piensa qué es lo que debes quitar para llegar a “x=…”
 Quítalo haciendo lo opuesto (sumar es opuesto a restar)
 Esto último hazlo en ambos lados
Aquí tienes un ejemplo:
Queremos
quitar el “-2”
Para quitarlo, haz
lo opuesto, en
este caso suma 2
Hazlo en
Lo cual es ...
ambos lados:
¡Resuelto!
¿Por qué agregamos 2 a ambos lados?
Para “mantener el equilibrio”…
Agrega 2 a la
izquierda
Equilibrada
¡Desequilibrada!
Agrega 2
a la derecha también
Equilibrada de nuevo
Acuérdate de esto:
Para mantener el equilibrio, ¡lo que se hace a un lado del “=”
también debe hacerse al otro lado!
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El lenguaje algebraico
Otro Acertijo
Resuelve éste:
x
+
5
=
12
Comienza con:
x + 5 = 12
Lo que estás buscando es una respuesta como “x=…”
¡y el +5 está molestando!
Si restas 5, puedes cancelar el +5 (porque 5-5=0)
Entonces, intentemos restar 5 en ambos lados:
x+5 -5 = 12 -5
Un poquito de aritmética (5-5=0 y 12-5=7) da como resultado:
x+0 = 7
Lo cual es simplemente:
x=7
¡Resuelto!
(chequeo rápido: 7+5=12)
Inténtalo Tú Mismo
Ahora practica con estos Ejercicios Simples de Álgebra y luego controla tus
respuestas en la página que le sigue.
¡Intenta utilizar los pasos que te hemos mostrado aquí, en lugar de adivinar!
ntroducción al Álgebra - Multiplicación
Por favor lee la Introducción al Álgebra primero
Otro Puzzle
¿Cuál es el número que falta?
×
4
=
8
La respuesta es 2, ¿verdad? Porque 2 × 4 = 8.
Bueno, en álgebra no se usan cuadros en blanco, se usan letras. Así que podemos
escribir:
x
×
4
=
8
¡Pero la letra "x" se parece al "×"! ... eso puede confundirnos... así que en álgebra
no se usa el signo de multiplicar (×) entre números y letras, sólo hay que poner el
número al lado de la letra para indicar una multiplicación:
4x
=
8
En español lo dirías "cuatro equis es igual a ocho", lo que quiere decir que 4 x's
hacen 8. Y la respuesta la escribirías:
x
=
2
Cómo resolver
En la otra página te enseñamos este cómodo método paso a paso:
 Averigua qué tienes que quitar para conseguir "x = ..."
 Quítalo haciendo lo contrario
 Haz eso en los dos lados
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El lenguaje algebraico
Eso también funciona aquí, pero lo que te hace falta saber es que dividir es lo
contrario de multiplicar. Mira este ejemplo:
Queremos quitar
Para quitarlo, haz lo opuesto,
Hazlo en los dos
Eso es ...¡Resuelto!
el "4"
en este caso divide entre 4: lados:
¿Por qué hemos dividido entre 4 en los dos lados?
Porque hace falta equilibrio...
Divide a la izquierda entre
Divide también a la derecha
4
entre 4
En equilibrio
¡Desequilibrado!
Sólo recuerda...
Para mantener el equilibro, ¡lo que
tienes que hacerlo también al otro lado!
En equilibrio otra vez
hagas a
un
lado del
"="
Otro puzzle
Resuelve este:
x
/
3
=
5
Empieza por:
x/3 = 5
Lo que tienes que conseguir es una respuesta como "x =
...", ¡y el divide entre 3 te estorba!
Si multiplicas por 3 puedes cancelar el dividir entre
3 (porque 3/3=1)
Así que vamos a probar a multiplicar por 3 en los dos
x/3 ×3 = 5 ×3
lados:
Un poco de aritmética (3/3 = 1 y 5×3 = 15) nos da:
1x = 15
Y esto es:
x = 15
¡Resuelto!
(Comprobación rápida: 15/3 = 5)
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El lenguaje algebraico
Prueba tú ahora
Ahora prueba con esta hoja de ejercicios de multiplicación algebraica y comprueba
tus respuestas en la página de después. ¡Intenta usar los pasos que te hemos
enseñado, en lugar de adivinar!
Un ejemplo más complicado
¿Cómo resolverías este?
Parece
difícil,
pero
x / 3 + 2 = 5
no
lo es si lo
resuelves paso
Primero quitaremos el "+2":
Empieza por:
Para quitar el más 2 usa menos 2 (porque 2-2=0)
Un poco de aritmética (2-2 = 0 y 5-2 = 3) nos da:
Y esto es:
a
paso.
x/3 + 2 = 5
x/3 + 2 -2 = 5 -2
x/3 + 0 = 3
x/3 = 3
Ahora quitamos el "/3":
Empieza por:
x/3 = 3
Si multiplicas por 3 puedes cancelar el dividir entre 3 x/3 ×3 = 3 ×3
Un poco de aritmética (3/3 = 1 y 5×3 = 15) nos da: 1x = 9
Y esto es:
x=9
¡Resuelto!
(Comprobación rápida: 9/3 + 2 = 3+2 = 5)
Cuando tengas más experiencia:
Cuando tengas más experiencia, podrás resolverlo así:
Empieza por:
Resta 2 de los dos lados:
Simplifica:
Multiplica por 3 en los dos lados:
Simplifica:
O incluso así:
Empieza por:
Resta 2:
Multiplica por 3:
x/3 + 2 = 5
x/3 + 2 -2 = 5 -2
x/3 = 3
x/3 ×3 = 3 ×3
x=9
x/3 + 2 = 5
x/3 = 3
x=9
Prueba tú
Ahora practica con esta hoja de ejercicios de álgebra (para resolver en dos pasos) y
comprueba tus respuestas en la página de después. ¡Intenta usar los pasos que te
hemos enseñado, en lugar de adivinar!
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El lenguaje algebraico
Ecuaciones y fórmulas
Qué es una ecuación
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por
ejemplo: x +2 = 6
Lo que la ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que
está en la derecha (6)
Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"
Qué es una fórmula
Una fórmula es un tipo especial de ecuación que muestra la relación entre
diferentes variables (una variable es un símbolo que representa un número que no
conocemos todavía).
Ejemplo: La fórmula para calcular el volumen de una
caja es V = lpa
V significa volumen, l longitud, p profundidad y a
altura.
Si l=5, p=10 y a=4, entonces V = 5×10×4 = 200
Una fórmula tiene más de una variable.
Todas estas son ecuaciones, pero sólo algunas son fórmulas:
x = 2y - 7
a2 + b2 = c2
x/2 + 7 = 0
Fórmula (que relaciona x e y)
Fórmula (que relaciona a, b y c)
No es una fórmula (sólo una ecuación)
Sin el igual
A veces una fórmula se escribe sin el "=":
Ejemplo: la fórmula para el volumen de una caja es: lpa
Pero de alguna manera el "=" está allí, porque podrías haber escrito V = lpa si
hubieras querido.
Sujeto de una fórmula
El "sujeto" de una fórmula es la variable sola (normalmente a la izquierda del "=")
que es igual a todo lo demás.
Ejemplo: en la fórmula
s = vt + ½ at2
"s" es el sujeto de la fórmula
Cambiar el sujeto
Una de las cosas más poderosas que puede hacer el Álgebra es "transformar" una
fórmula para que otra variable sea el sujeto.
Transformar la fórmula del volumen de una caja (V = lpa) para que la longitud sea el
sujeto:
Empieza por:
V = lpa
divide los dos lados entre p: V / p = la
divide los dos lados entre a: V / pa = l
intercambia los lados:
l = V / pa
Así que si tienes una caja con profundidad 2m, altura 2m y volumen 12m 3, puedes
calcular su longitud:
l = V / pa
l = 12m3 / (2m×2m) = 12/4 = 3m
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