Download rectángulo opuestos

NM3
MAGNITUDES VECTORIALES
OBJETIVOS
1) Reconocer la utilidad del lenguaje vectorial
en la descripción del movimiento.
2) Realizar operaciones simples con vectores.
3) Aplicar elementos de Algebra Vectorial y de
Trigonometría en la resolución de problemas
sobre ciertas magnitudes vectoriales:
Desplazamiento, Velocidad, Fuerza; etc.
UNIDADES DE MEDIDA
(S.I.)
Kg
UNIDAD: MAGNITUDES DERIVADAS
• RAPIDEZ
•VELOCIDAD
• FUERZA
• TORQUE
• CANTIDAD DE MOVIMIENTO
• ACELERACIÓN
• POTENCIA
• ENERGIA
UNIDAD: MAGNITUDES VECTORIALES
MAGNITUDES FÍSICAS QUE PARA SER
EXPLICITADAS REQUIEREN DE 3 DATOS:
 MÓDULO
 DIRECCIÓN
 SENTIDO
ALGUNAS MAGNITUDES VECTORIALES
• VELOCIDAD
• FUERZA
• TORQUE
• CANTIDAD DE MOVIMIENTO
• ACELERACIÓN
• MOMENTO ANGULAR
• CAMPO ELÉCTRICO
• CAMPO MAGNÉTICO
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA MAGNITUD
VECTORIAL
VECTOR = TRAZO DIRIGIDO
E (EXTREMO)

O(ORIGEN)
horizontal
OE: MÓDULO
E: SENTIDO
: DIRECCIÓN
COMPARACIÓN ENTRE VECTORES
Dados dos vectores,
ellos pueden diferenciarse en:
tamaño:
(módulo)
dirección:
o sentido:
u
EJERCICIO
DADOS:
RESPONDER:
SUMA DE VECTORES
POLÍGONO
A) MÉTODOS GEOMÉTRICOS
PARALELÓGRAMO
B) MÉTODO ANALÍTICO
SUMA POR MÉTODO DEL POLÍGONO
Al negativo de un vector se le llama VECTOR OPUESTO
SUMA POR MÉTODO DEL PARALELÓGRAMO
X+Y+Z=R
X+Y
PASOS A SEGUIR:
1) Unir los vectores en un origen común
2) Tomar dos de ellos y trazándoles sus
respectivas paralelas formando el primer
paralelógramo.
3) Trazar el vector resultante en la
diagonal del paralelógamo a partir del
origen común de los vectores.
4) A este vector resultante se le suma el
tercer vector de la misma forma… y así
hasta considerar el último vector sumando
R
PROPIEDADES DE LA SUMA VECTORIAL
RESTA DE VECTORES
PONDERACIÓN DE VECTORES
EJERCICIO
DADOS:
a)
b)
c)
EJERCICIO
DADOS:
A
B
C
E
D
F
G
H
a)
b)
c)
REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR
ĵ
ĵ
REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR
Si: ux=3 y
ĵ el
uy=4
vector u se puede escribir:
ĵ
u = 3î + 4ĵ
MEDICIÓN DE ÁNGULOS: GRADO SEXAGESIMAL
II cuad
III cuad
ÁNGULOS
I
+
cuad
IV
cuad
ÁNGULOS -
EL RADIÁN: MEDIDA DE ÁNGULOS
La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada
por la longitud del arco de circunferencia que subtiende,
dividido por el valor del radio.
Se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de
circunferencia: SE MULTIPLICA EL RADIO POR EL ÁNGULO
EN RADIANES.
Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] x
[Radio de la circunferencia]
Como el perímetro de una circunferencia de radio r =1 es:
2 r = 2 , entonces el ángulo de una circunferencia
completa, medido en radianes es
Entonces: 360º =
Luego:
2 (rad)
1 radian = 57,29º
2 .
EQUIVALENCIAS ENTRE RADIÁN Y GRADOS
360º = 2 radianes
180° =  radianes
90º = /2 radianes
60º = /3 radianes
45º = /4 radianes
30º = /6 radianes
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Seno (sen)
Coseno (cos)
Tangente (tg ó tan)
Cotangente (ctg ó cotan)
Secante (sec)
Cosecante (cosec ó csc)
SIEMPRE EL ARGUMENTO DE LA FUNCIÓN ES
UN ÁNGULO EN GRADOS O EN RADIANES)
DEFINICIONES FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Sen  = cateto opuesto/hipotenusa
cos  = cateto adyacente/hipotenusa
tg  = cateto opuesto / cateto adyacente
ESTAS DEFINICIONES SON VÁLIDAS
SOLAMENTE PARA ÁNGULOS AGUDOS DE
UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
DEFINICIONES FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Sen  = cateto opuesto/hipotenusa
cos  = cateto adyacente/hipotenusa
tg  = cateto opuesto / cateto adyacente
B
sen  = a / c
cos  = b / c
c
a

A
b
C
tg  = a / b
Entonces: tg = ?
ALGUNOS VALORES DE FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS
ángulo
0º
sen
0
cos
1
30º
1/2
( 3)/2
45º
60º
90º
(  2)/2 (2)/2
1/2
(3)/2
1
0
DETERMINAR:
Valores de la función tangente para
los mismos ángulos
LÍNEAS TRIGONOMETRICAS
Entonces; ¿Cuál será el valor máximo de:
sen  = ?
cos  = ?
tg  = ?
VALORES DE LAS FUNCIONES DE LOS ARCOS PRINCIPALES
Angulos
0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°
(grados)
Angulos
(radianes)
sen
cos
tg
ctg
sec
cosec
2
/6
0 1/2
1
0
1
/4
/3
/2
1/2
1
0
1
1
0
-1
0
0
2
2
3 /2
-1
0
0
-1
1
-1
DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
PARA DETERMINAR LAS COMPONENTES RECTANGULARES DEL
VECTOR V DE LA FIGURA :
V
SE LE ASOCIA UN SISTEMA DE
COORDENADAS X-Y DE MODO
QUE SU ORIGEN COINCIDA
CON EL ORIGEN DE V.
y
SE TRAZA LA PROYECCIÓN DE V
EN CADA EJE COORDENADO
OBTENIENDO LAS COMPONENTES
RECTANGULARES DE V:
Vy
Vx y Vy
¿QUÉ REPRESENTA
?
V

Vx
x
DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
SI CONOCEMOS  PODEMOS DETERMINAR LOS VALORES DE
LAS COMPONENTES RECTANGULARES:
SI APLICAMOS PROPIEDADES DE
LOS VECTORES PODEMOS
TRASLADAR VY DE MODO DE
FORMAR UN TRIÁNGULO
RECTÁNGULO.
COMO:
Sen  = Vy / V
Vy = V Sen 
Cos  = Vx / V
Vx = V Cos 
y
V

Vx
Vy
x
DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
DE ESTA MANERA EL VECTOR V SE PUEDE ESCRIBIR
EN FUNCIÓN DE LOS VALORES DE SUS COMPONENTES
RECTANGULARES COMO:
V = ( Vx , VY )
A PARTIR DE LOS VALORES ANTERIORES, SE DETERMINA LA
DIRECCIÓN

APLICANDO LA FUNCIÓN
tg  = VY/Vx
tg:
 = arc tg (VY/Vx)
DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
A CADA EJE COORDENADO SE LE PUEDE ASOCIAR
UN VECTOR UNITARIO (VECTOR QUE TIENE POR
MÓDULO LA UNIDAD, ES DECIR,
INDICAR LA DIRECCIÓN):
- AL EJE X :
ENTONCES SI:
î
V = ( 3 ,4 );
1
Y QUE SIRVE PARA
- AL EJE Y :
ĵ
SE PUEDE ESCRIBIR:
V = 3î + 4ĵ
PROBLEMA
SOBRE UN CUERPO ACTÚAN SIMULTÁNEAMENTE
LAS SIGUIENTES FUERZAS MEDIDAS EN (N):
F1 = 4î + 2 ĵ
F2 = 2î - 3 ĵ
F3 = 0î + 5ĵ
F4 = -3î + 0ĵ
¿CUÁL ES LA INTENSIDAD Y LA
DIRECCIÓN DE LA FUERZA NETA
O RESULTANTE FR?
FR= 3î + 4ĵ
INTENSIDAD: FR= 5(N)
DIRECCIÓN:  = 53,13°
PRODUCTOS ENTRE VECTORES
PRODUCTO ESCALAR
EL PRODUCTO DE DOS VECTORES
RESULTA UN ESCALAR
PRODUCTO VECTORIAL
EL PRODUCTO DE DOS VECTORES
RESULTA UN NUEVO VECTOR
PRODUCTO ESCALAR ( O PUNTO)
B

A
EL PRODUCTO A • B EQUIVALE AL PRODUCTO
ENTRE EL MÓDULO DE A Y EL MÓDULO DE LA
PROYECCIÓN DE B SOBRE A (B COS )

B COS 
POR LO TANTO:
A • B = AB COS 
PRODUCTO ESCALAR: EJEMPLO
TRABAJO MECÁNICO:
W=F•d
W = Fd cos
PRODUCTO VECTORIAL ( O CRUZ )
C

D
EL PRODUCTO C X D= F; DONDE F ES UN VECTOR
PERPENDICULAR AL PLANO DETERMINADO POR LOS
DOS VECTORES Y CUYO SENTIDO SE DETERMINA POR
LA “REGLA DEL TIRABUZÓN”
CXD≠ D XC
EL MÓDULO DE F ESTÁ DADO POR EL
ÁREA DEL PARALELÓGRAMO FORMADO
POR LOS DOS VECTORES = PRODUCTO
DE SUS LADOS POR EL SEN DEL
ÁNGULO QUE FORMAN
F = CD sen 
PRODUCTO VECTORIAL: EJEMPLO
TORQUE (
=r
X


):
F
= r F sen
