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ASIGNATURA
TRIGONOMETRIA
PROFESORA: Eblin Martínez M.
GUÍA Nº 03
GRADO: 10°
ESTUDIANTE:
PERÍODO:3
DURACIÓN: 20 horas
LOGROS:
 Analiza las funciones trigonométricas como funciones periódicas dentro de los números
reales.
 Demuestra Identidades Trigonométricas a partir de las fundamentales.
 Resuelve Ecuaciones Trigonométricas.
OBJETIVO: Desarrollar un proceso de comprensión en el análisis de las funciones
trigonométricas y en la demostración de identidades.
COMPETENCIA: Comprendo y aplico las características de las funciones trigonométricas como
dominio,
rango,
periodicidad,
amplitud,
etc.
Aplico
las
identidades
fundamentales
procedimientos del cálculo matemático en la demostración de igualdades trigonométricas.
RETO DE INGENIO: Origami Grulla
Realiza el doblez en una hoja de papel cuadrada, paso a paso como se indica en la
figura:
y
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FUNCIONES PERIODICAS
Se dice que una función f es periódica si existe un número real positivo p, tal que
siempre que x esté en el dominio de f, entonces x + p también estará en el dominio
de f y f (x + p) = f(x).
Por ejemplo la función f(x) = Tan x tiene periodo p = Π, de manera que es fácil
verificar para cualquier ángulo dado θ, que Tan (θ + Π) = Tan θ.
Ejemplo: Utilice la periodicidad de las funciones seno y coseno así como los
valores de sen x y cos x, donde 0 < x < 2Π, para determinar el valor exacto de
cada una de las siguientes expresiones:
a) Sen 17Π/4 = sen (4Π + Π/4) = sen (2.(2Π) + Π/4) = senΠ/4 = √2/2
b) Cos7Π/3 = cos (2Π + Π/3) = cos Π/3 = 1/2
c) Sen 15Π/2 = Sen (7Π + Π/2) = sen Π/2 = 1
Una función periódica también puede tener la característica de ser par o impar:
 Una función f es una función par si para cada x del dominio de f, f(- x) = f(x).
 Una función f es una función impar si para cada x del dominio de f, f(- x) = - f(x).
Por ejemplo, obsérvese que cos (- 60°) = cos 60°, de modo que cos x es una función
par al igual que su recíproca que es la secante. Mientras que, por ejemplo: sen (30°) = - sen(30°), por tanto sen x es una función impar al igual que su recíproca que
es la cscx. La tangente y cotangente también son funciones impares.
AMPLITUD DE UNA FUNCIÓN
En la gráfica de la función seno, y = sen x, se puede apreciar que los valores de y
oscilan entre 1 y – 1.
La amplitud de una función en un periodo corresponde al valor absoluto de la
semidiferencia del valor máximo y el valor mínimo.
El valor máximo de y = sen x es 1
El valor mínimo de y = sen x = - 1
La amplitud de la función sen x es: A =
1  (1)
2

2
2

2
1
2
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RESPONDE: ¿Cuál será la amplitud de la función cos x?
¿Se puede determinar la amplitud de las funciones tangente, cotangente, secante
y cosecante? ¿por qué?
Grafica las funciones y = 3 senx y y = ½ sen x y determina sus amplitudes.
INVESTIGA: ¿Qué son las curvas sinusoidales y cosenoidales? Traer 1 ejemplo y
realiza la descripción de la siguiente gráfica:
 Y = 2sen(3x) comparada con y = 2senx
¿Qué diferencias se observan en cuanto a dominio, rango, periodo, amplitud, etc?
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ANGULO DE FASE
El ángulo de fase o desfase de una función sinusoidal o cosenoidal consiste en
restar un ángulo constante a la medida del ángulo x. así, se obtienen funciones de
la forma:
Y = a.sen(nx – ϕ) y Y = a.cos (nx – ϕ).
El valor a es llamado factor de amplitud, el factor n es el factor de periodicidad y el
ángulo ϕ es llamado Ángulo de Fase. (Matemática 2000. P. 86 - 91)
Ejemplo 1: Y = cos (x + Π/6)
Para esta función tenemos: a =1, n = 1.
 La amplitud es A  a  1  1
 Periodo: P = 2Π/n = 2Π/1 = 2Π
 Angulo de fase: ϕ = - Π/6
 Rango: [-1,1]
Ejemplo 2: y = -4sen (3x + Π/2)
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Para esta función tenemos: a =-4, n = 3.
 La amplitud es A  a   4  4
 Periodo: P = 2Π/n = 2Π/3
 Angulo de fase: ϕ = - Π/2
 Rango: [-4,4]
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Son igualdades que se cumplen para cualquier valor del ángulo.
 IDENTIDADES FUNDAMENTALES:
Tanx 
Senx
Cosx (1)
Secx 
1
Cos x (2)
Cscx 
1
Senx (3)
Cotx 
1
Tanx (4)
De las anteriores se obtienen:
Tan 2 x 
Sen 2 x
Cos 2 x
Sec 2 x 
1
Cos 2 x
Csc 2 x 
1
Sen 2 x
Cot 2 x 
1
tan 2 x
 IDENTIDADES PITAGÓRICAS:
Sen 2  Cos 2  1
Tan 2  1  Sec 2
Cot 2  1  Csc 2
Sen 2  1  Cos 2
(5)de donde,
(6) de donde,
(7) de donde,
y
Cos 2  1  Sen 2
Tan 2  Sec 2  1
Cot 2  Csc 2  1
 IDENTIDADES PARA ANGULOS DOBLES:
Cos 2  Cos 2  Sen 2
Cos 2  2Cos 2  1 Sen2  2Sen.Cos
Tan2 
2Tana
1  Tan 2 a
DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES
EJEMPLO 1: Demostremos que: Cotx 
Cosx
Senx :
Demostración: partimos ya sea del lado izquierdo de la igualdad para llegar a la
expresión del lado derecho o viceversa. En este caso partiremos del lado izquierdo
y justificaremos cada paso en la demostración:
Cotx 
1
tan x
(Por la Identidad Fundamental 4)
Cotx 
1
senx
cos x
(Aplicando la identidad 1 a tanx)
Cotx 
Cosx
Senx
(Aplicando Propiedades invertivas o ley de la oreja)
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EJEMPLO 2: Demostrar que (1 – cos x)(1 + cos x) = sen2 x
Demostración: Partiendo del lado de la izquierda, podemos resolver el producto de
binomios:
(1 – cos x)(1 + cos x)
= 1 + cos x – cos x – cos2x (Multiplicando término a
término)
= 1 – cos2x
= sen2x
EJEMPLO 3: Demostrar que 2 csc 2 x 
(cancelando los términos cos x)
(aplicando identidad 5)
1
1

(1  cos x) (1  cos x)
Demostración: Podemos iniciar la demostración efectuando la suma del lado
derecho:
(1  cos x)  (1  cos x)
1
1


(aplicando producto cruzado)
(1  cos x) (1  cos x)
1  cos 2 x
=
1  cos x  1  cos x
(Suprimiendo paréntesis)
1  cos 2 x
1  cos x  1  cos x
(Cancelando términos y sumando
1  cos 2 x
semejantes)
2
=
(aplicando identidad pitagórica a 1 – cos2x)
2
sen x
=
= 2(
1
) (sacando a 2 como factor)
sen 2 x
= 2 csc2x
1. Determina la amplitud, periodo y desfase de cada una de las siguientes
funciones:


a. 2 sen  5 x  
4

1

b.  3 cos x  3 
3

c.
1
2 

cos 3x 

2
3 

2. La ecuación que describe el movimiento de un péndulo es: f (t )  3 cos(t ) .
Donde t es el tiempo en segundos. Hallar el periodo (en segundos) del
movimiento del péndulo y su amplitud de oscilación en cm.
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3. Se suspende una masa de 30 gramos de un resorte. Despreciando el
rozamiento, la posición de la masa después de t segundos está dada por la
ecuación:


D(t) = 2 sen 3t  
3

a. Determina la amplitud, el periodo y el desfase de la función.
b. Traza la gráfica de la función D.
4. Investiga sobre las funciones trigonométricas inversas: Función Arcoseno,
Arcocoseno,
Arcotangente,
Arcosecante,
Arcocosecante
y
Arcocotangente.
5. Sin utilizar la calculadora hallar los valores de las siguientes expresiones:
 2

a. Sen-1 

2


b. Cos-1(-1/2)
c. Sen-10
d. Tan(
 1 
tan 1 
)
 3

e. Arcsen(sen   )
2
f. Arctan(1) + arctan(√3)
2 3

g. Csc-1 

 3 
6. Aplica las identidades trigonométricas fundamentales y simplifica las
expresiones:
a. Sec x . cos x
b. Sen x . csc x
c. Tan x. cot x
d. Sen A. Cot A
e. Cotϕ . secϕ. Senϕ
f. Secx. Cosx. Tanx. Cot x
g.
senx
sec x. tan x
h.
tan 2 x. csc 2 x
sec 2 x. cot 2 x
7. Demostrar las identidades 6 y 7 a partir de la identidad pitagórica número 5.
(ayuda: aplica división por un mismo término sen2 x o cos2 x toda la
expresión)
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8. Aplica las identidades Pitagóricas y simplifica las expresiones:
a. (1 – sen2x) sec2x
b. Cos2x (tan2 x + 1)
c. (1 – sen x)(1 + cscx)
d. (sen x + 1)(senx – 1)
e. Tan x 1  sen 2 x
f. (senx + cosx)2 + (senx – cosx)2
9. Demostrar las identidades:
a.
sen 2 x  cos 2 x
 csc 2 x
2
1  cos x
b. 1 – senx.cosx.tanx = cos2x
c.
1  cos 2 x
 cos 2 x
2
tan x
d.
1
sen 2 x

1
cos 2 x cos 2 x
e. Senx (1 – senx)( 1 
f.
1
) = cos2x
senx
senx
1  cos x

(ayuda: multiplicar por la conjugada de 1 – cosx)
1  cos x
senx
g. (1 + cscx)(1- senx) = cotx . cosx
h.
senx  tan x
 tan x
1  cos x
i.
sen 2 x  cos 2 x
 tan 2 x  1
2
1  sen x
j.
1  1

 cos x   1  sec 2 x

cos x  cos x

10. Investiga las identidades para la suma y resta de ángulos.
11. Demostrar la identidad: cos(A + B) + cos (A – B) = 2 cosA.cosB
12. Demostrar la identidad: sen(A + B) + sen (A – B) = 2 senA.senB
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones que involucran expresiones
trigonométricas. Resolver una ecuación trigonométrica consiste en hallar los
ángulos que hacen verdadera la igualdad.
Recomendaciones para resolver una ecuación trigonométrica:
 Expresamos todas las funciones que intervienen en términos de una
sola función, usando identidades trigonométricas.
 Factorizamos siempre que sea posible.
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 Si obtenemos una ecuación cuadrática que no se pueda factorizar en
los enteros, entonces usamos la formula cuadrática. x 
 b  b 2  4ac
.
2a
 Recordemos que si axb= 0 entonces a= 0 o b= 0.
 Resolvemos la parte trigonométrica, que consiste en hallar los valores
del ángulo que satisfacen la ecuación en el intervalo dado; esto lo
logramos mediante funciones trigonométricas inversas.
EJEMPLO: Resolver la ecuación: cosx – sen2x + 1 = 0, en el intervalo 0  x  360°.
SOLUCIÓN:
Expresamos todo en función de cos x:
cos x – (1 – cos2x) + 1 = 0
Cos x – 1 + cos2x + 1 = 0
Cos2x + cos x = 0
Cosx.(cosx + 1) = 0
Asi, obtenemos: (1) cos x = 0 o (2) cos x + 1 = 0
(1) Si cos x = 0  x = cos-1 0 = 90° (x = Π/2)
(2) Si cos x + 1 = 0  cos x = - 1  x = cos-1(-1) = 270° ( x = 3Π/2)
1. Resuelve las ecuaciones:
a. 2 sen x = 1
b. Tan x = - 3/3
c. Sen2x + sen x = 2 (verificarla con el valor dado entre 0  x  2Π)
d. 3 cos2x = sen2x
e. Sec2x – 4 tan x = 0
f. Cos 2x + cos x + 1 = 0
2. Traer un ejemplo en tu cuaderno de una ecuación trigonométrica y
exponer su solución en clase.
¡Muchos éxitos en este periodo!
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Recopilado y adaptado por: Lic. Eblin Martinez M.
Bibliografia: Matematica 2000 10°, Ed. Voluntad, Matemáticas 10° Ed. Santillana.
Vértices 10°. Ed. Norma. Aciertos Matemáticos 10° Ed. Norma.