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División Académica de Ciencias Básicas
Licenciatura en Matemáticas
Programa Educativo:
MPROGRAMA DE ESTUDIO
Teoría de Conjuntos
Área de Formación :
Horas teóricas:
Horas prácticas:
Total de Horas:
Total de créditos:
Clave:
Licenciatura en
Matemáticas
Sustantiva
Profesional
3
2
5
8
F1141
Tipo :
Programa elaborado por:
Fecha de elaboración:
Asignatura
Carácter de la
Optativa
asignatura
L.M. José Edilberto Rodríguez Cervera
Dr. José Leonardo Sáenz Cetina
Agosto de 2004
Fecha de última actualización:
Julio de 2010
Seriación explícita
Asignatura antecedente
No
Asignatura Subsecuente
Seriación implícita
Conocimientos previos:
Sí
Conocimiento de los métodos de demostración. Lenguaje de
lógica matemática. La divisibilidad y sus propiedades. Manejo de
funciones reales de variable real.
F1141 Teoría de Conjuntos
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Licenciatura en Matemáticas
Presentación
George Ferdinand Ludwid Philipp Cantor (1845-1918), suele ser considerado el iniciador de lo que hoy en día se conoce
como Teoría de Conjuntos. Algunos de los matemáticos y filósofos que de igual manera contribuyeron al desarrollo de
esta teoría son Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916), Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953), Bertrand
Arthur William Russell(1872 - 1970).
Actualmente las ideas de cardinalidad, productos cartesianos, las clases de equivalencia, el axioma de elección, entre
otros, que forman parte de la curricula de un curso de teoría de conjuntos son ampliamente empleados en topología,
probabilidad, teoría de la medida, entre otras áreas de desarrollo de la matemática.
En este curso de Teoría de Conjuntos se estudiarán las operaciones entre conjuntos, relaciones de equivalencia,
funciones, productos cartesianos. Dando énfasis a propiedades más generales a las estudiadas, en estos mismos temas
por ejemplo en los cursos de cálculo diferencial y álgebra superior. Se analizará el concepto de cardinalidad y se
introducirá al alumno al mundo de los números cardinales. De igual manera se estudiará el axioma de elección, que
proporciona una herramienta fundamental para el estudio del análisis y la topología. Se analizarán algunas de las formas
equivalentes de este axioma. Los temas abordados en esta asignatura prepararán al estudiante para su incursión en el
análisis matemático y la topología, entre otras asignaturas subsecuentes.
Objetivo General
Comprender y aplicar los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos.
Competencias que se desarrollaran en esta asignatura
Habilidad para demostrar resultados ligados a los elementos de la teoría de Conjuntos (Conjuntos, funciones, etc).
Habilidad para analizar relaciones desde el punto de vista de las relaciones de equivalencia, Clases de equivalencia,
orden, funciones).
Habilidad para determinar la cardinalidad de algunos conjuntos.
Habilidad para operar con cardinales.
Habilidad para aplicar el Teorema de Cantor- Schröder-Bernstein.
Habilidad para aplicar el Axioma de Elección en la demostración de resultados de la teoría.
Conocer el concepto de relación y su uso en la definición de funciones, espacio de clases de equivalencia, conjuntos
parcial y totalmente ordenados.
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Conocer resultados sobre la cardinalidad de conjuntos infinitos.
Conocer resultados básicos sobre la aritmética cardinal.
Conocer la Hipótesis del Continuo.
Conocer el Axioma de Elección y diversas formas equivalentes a él.
Conocer algunas de las paradojas de la teoría de conjuntos.
Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura
Capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas.
Disciplina y hábitos de estudio que le permitan superarse constantemente para afrontar nuevos retos.
Espíritu de innovación y actitud crítica en la búsqueda de mejores soluciones.
Actitud positiva para colaborar en equipos interdisciplinarios.
Honestidad, compromiso, responsabilidad y ética profesional.
Escenario de aprendizaje
Salón de clases, biblioteca, Centro de Cómputo, Hogar.
Perfil sugerido del docente
Sólida formación en los temas considerados en el curso.
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Contenido Temático
Unidad No.
1
Objetivo particular
Hrs. estimadas
Temas
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
Álgebra de Conjuntos:
Unión, Intersección y
Complemento.
Producto Cartesiano
de
Familias
de
conjuntos.
Relaciones
Funciones
Conjuntos
parcialmente
ordenados.
Conjuntos totalmente
ordenados.
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Elementos de la Teoría de Conjuntos
Conocer los objetos básicos de la teoría de conjuntos así como las operaciones entre
ellos y sus interrelaciones.
25
Resultados del
aprendizaje
Habilidad para demostrar
resultados ligados a los
elementos de la teoría de
Conjuntos
(Conjuntos,
funciones, etc).
Sugerencias didácticas
Exposiciones del profesor.
Estrategias y criterios de
evaluación
Exámenes
parciales
escritos.
Presentación de ejemplos
en cada uno de los Participación en clase.
conceptos.
Exposición de la resolución
Trabajar
con
grupos de problemas por parte de
pequeños en la solución de los alumnos.
ejercicios y problemas
que
involucren
los
conceptos y resultados de
los
temas
estudiados,
haciendo énfasis en el
planteamiento y en las
estrategias de solución a los
mismos.
Habilidad
para
analizar
relaciones desde el punto de
vista de las relaciones de
equivalencia, Clases de
equivalencia,
orden,
funciones).
Conocer el concepto de
relación y su uso en la
definición de funciones,
espacio de clases de
equivalencia,
conjuntos
parcial
y
totalmente Asignar problemas y
ordenados.
ejercicios extra-clase a los
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alumnos para reforzar los
conocimientos y las
habilidades.
Unidad No.
2
Objetivo particular
Hrs. estimadas
Temas
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
Cardinalidad
Generalizar el concepto de número natural al de número cardinal, estableciendo
propiedades aritméticas entre estos nuevos objetos.
30
Resultados del
aprendizaje
Conjuntos Finitos e Habilidad para determinar la
Infinitos.
cardinalidad de algunos
Conjuntos
conjuntos.
Numerables y No Habilidad para operar con
Numerables.
cardinales.
Equivalencia
de
Conjuntos.
Habilidad para aplicar el
La No Numerabilidad Teorema
de
Cantordel Conjunto de los Schröder-Bernstein.
Números Reales.
Números Cardinales.
Conocer resultados sobre la
El
Teorema
de cardinalidad de conjuntos
CantorSchröder- infinitos.
Bernstein.
El
Teorema
de Conocer resultados básicos
Cantor.
sobre la aritmética cardinal.
Hipótesis
del
F1141 Teoría de Conjuntos
Sugerencias didácticas
Exposiciones del profesor.
Estrategias y criterios de
evaluación
Exámenes
parciales
escritos.
Presentación de ejemplos
en cada uno de los Participación en clase.
conceptos.
Exposición de la resolución
Trabajar
con
grupos de problemas por parte de
pequeños en la solución de los alumnos.
ejercicios y problemas
que
involucren
los
conceptos y resultados de
los
temas
estudiados,
haciendo énfasis en el
planteamiento y en las
estrategias de solución a los
mismos.
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2.9.
Continuo.
Aritmética Cardinal.
Licenciatura en Matemáticas
Conocer la Hipótesis del Asignar problemas y
Continuo.
ejercicios extra-clase a los
alumnos para reforzar los
conocimientos y las
habilidades.
Unidad No.
3
Objetivo particular
Hrs. estimadas
Temas
3.1.
3.2.
3.3.
El Axioma de Elección
Comprender y aplicar el Axioma de Elección y sus varias formas equivalentes.
25
Resultados del
Sugerencias didácticas
aprendizaje
Habilidad para aplicar el Exposiciones del profesor.
Axioma de Elección, Axioma de Elección en la
Lema de Zorn y demostración de resultados Presentación de ejemplos
Teorema del Buen de la teoría.
en cada uno de los
Orden.
conceptos.
Aplicaciones
del Conocer el Axioma de
Axioma de Elección.
Elección y diversas formas Trabajar
con
grupos
Paradojas
de
la equivalentes a él.
pequeños en la solución de
Teoría de Conjuntos.
ejercicios y problemas que
Conocer algunas de las involucren los conceptos y
paradojas de la teoría de resultados de los temas
conjuntos.
estudiados,
haciendo
énfasis en el planteamiento
y en las estrategias de
F1141 Teoría de Conjuntos
Estrategias y criterios de
evaluación
Exámenes
parciales
escritos.
Participación en clase.
Exposición de la resolución
de problemas por parte de
los alumnos.
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solución a los mismos.
Asignar problemas y
ejercicios extra-clase a los
alumnos para reforzar los
conocimientos y las
habilidades.
Bibliografía básica
1. Halmos, P. R. (1998). Naive Set Theory. New York: Springer-Verlag.
2. Halmos, P. R. (1965). Teoría Intuitiva de los Conjuntos. México: C.E.C.S.A.
3. Hernández, Hernández, F. (1998). Teoría de Conjuntos: Aportaciones Matemáticas 13: Sociedad Matemática
Mexicana.
4. Hrbacek, Karen., Jech Thomas. (1999). Introduction to set theory. third edition. Pure and Applied Mathematics: Marcell
Dekker, Inc.
5. Konstantinovich, Nikolai., Shen, A., Vereshchagin, N. K. (2002). Basic Set Theory, Student Mathematical Library.
Vol.17. USA: The American Mathematical Society.
Bibliografía complementaria
1. Devlin, Keith. (1993). The Joy of sets. Fundamentals of contemporary set theory: New York: Springer-Verlag.
2. Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V. (1999). Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. U.S.A: Dover
Publications.
3. Lipschutz, S. (1998). Schaum's Outline of Set Theory and Related Topics. 2nd ed. USA: The McGraw-Hill
Companies, Inc.
4. Lipschutz, S. (1988). Teoría de Conjuntos y Temas Afines. México: McGraw-Hill.
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