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8. El interior de una estrella
8. EL INTERIOR DE UNA ESTRELLA
En este Capítulo procederemos a identificar los procesos que tienen lugar dentro de una
estrella con los resultados hallados en Capítulos anteriores. También incluiremos algunas
herramientas útiles para el análisis de la evolución estelar y por último presentaremos un
modelo simple de la estructura del interior estelar.
Cúmulos globulares
Con la aparición de los primeros telescopios, los astrónomos comenzaron a rastrear el cielo y
encontraron que además de estrellas había objetos nebulosos, la mayoría de los cuales no son
visibles a simple vista. A medida que los telescopios se perfeccionaban, se descubrieron más
objetos nebulosos. Podríamos decir que la observación de éstos fue casual, ya que algunos
astrónomos los identificaron tan sólo para no confundirlos con otros objetos de su interés1.
Recién a principios del siglo XX surgió la Astronomía Extragaláctica, al reconocer la
existencia de sistemas estelares externos a la Vía Láctea. Como ya vimos en el Capítulo 5 los
cúmulos globulares son agrupaciones de estrellas muy compactas, cuya zona central es más
concentrada. Un típico cúmulo globular muestra una concentración de estrellas casi esférica,
cuya cantidad oscila entre 104 y 106 aproximadamente. Estos cúmulos son las reliquias mas
antiguas que podemos estudiar en detalle, por este motivo su estudio es tan interesante, ya
que han proporcionado un gran caudal de información que ayudó a resolver muchas
incógnitas acerca de la evolución estelar. Al ser los objetos más viejos de la galaxia
podemos por medio de ellos analizar la evolución estelar porque sus miembros son estrellas
nacidas simultáneamente pero con diferente masa, y son tan antiguos que estrellas con masas
tan bajas como la del Sol han evolucionado para convertirse en gigantes.
1
Charles Messier creó en 1784 el primer catálogo con este fin.
62
8. El interior de una estrella
El diagrama de Hertzsprung-Russell
Al observar estrellas de diferentes masas en distintos estadios de su evolución conviene
ordenarlas y clasificarlas según criterios accesibles a la observación. El diagrama de
Hertzsprung-Russell, llamado así en honor a sus creadores2, nos permite desentrañar la ley
de desarrollo estelar. Este diagrama relaciona dos parámetros: el color y la magnitud
absoluta, lo que equivale a una relación entre temperatura y luminosidad. El brillo observado
de una estrella se expresa por medio de su magnitud aparente. El ojo desnudo puede detectar
estrellas hasta la magnitud 6. Sirio A, la estrella más brillante del cielo, tiene magnitud
− 1.4 . Se utiliza una escala logarítmica y por convención, si los flujos de energía recibidos
desde dos estrellas son f1 y f 2 , la diferencia de magnitud entre las mismas es:
m1 − m2 = −2.5 log10 ( f1 / f 2 )
(8.01)
Como el flujo de energía recibido desde una estrella es proporcional a su luminosidad e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, la diferencia de magnitudes de dos
estrellas idénticas a diferentes distancias está dada por:
(
)
m1 − m2 = −2.5 log10 d 22 / d12 = 5 log10 (d1 / d 2 )
(8.02)
La radiación que recibimos de una estrella se extiende más allá del espectro visible, y para
tener en cuenta esto los astrónomos diferencian la magnitud visual que tiene en cuenta el
brillo en el espectro visible, y la magnitud bolometrica3. Definiendo esta última como la
magnitud absoluta correspondiente a la estrella en cuestión medida a la distancia de 10
parcecs4 con un detector que responde a todo el espectro electromagnético, comparada con la
del Sol:
M B = −2.5 log10 ( L / L ) + 4.72
(8.03)
donde L = 4 × 10 26 W es la luminosidad del Sol, y 4.72 es la magnitud absoluta del Sol.
2
El astrónomo danés Ejnar Hertzsprung quien lo diseñó originalmente en 1911 y el norteamericano Henry
Norris Russell lo perfeccionó en 1913.
3
La magnitud bolométrica suele llamarse comúnmente magnitud absoluta y así lo haremos de aquí en más.
4
1 parsec =
3.086 × 1016 m = 3.26 años luz.
63
8. El interior de una estrella
Se define también la temperatura superficial efectiva de una estrella como la temperatura de
un cuerpo negro del mismo tamaño que aquel cuya luminosidad queremos conocer. Para una
estrella de luminosidad L y radio R:
L = 4πR 2σTE4
(8.04)
Como dijimos la temperatura superficial está relacionada con el color de la estrella mediante
el espectro de la radiación de un cuerpo negro, pero generalmente se utiliza el parámetro de
color porque es una magnitud fácilmente observable por medio de filtros de color en el
telescopio con el cual se observa a la estrella. Para nuestros fines basta recordar que el color
es una medida de la temperatura superficial. La otra propiedad relacionada con la
temperatura es la absorción de las líneas espectrales. Cuando la radiación atraviesa la
fotósfera (la región superficial de donde proviene la mayor parte de la radiación detectada)
ciertas longitudes de onda características son absorbidas por los iones y átomos de manera
que el espectro contiene líneas oscuras de absorción, que permiten clasificar las estrellas de
acuerdo a su tipo espectral. Estos tipos se denotan con la secuencia de letras O, B, A, F, G, K
y M, la cual refleja una disminución de la temperatura superficial ya que la absorción de
líneas depende del grado de excitación e ionización de la fotósfera.
Ahora que sabemos relacionar los parámetros observables con los parámetros que nos
interesan, es decir luminosidad y temperatura superficial, podemos observar distintas
estrellas y construir un gráfico que relacione estas propiedades. En el diagrama de
Hertzsprung-Russell la luminosidad se representa en las ordenadas y la temperatura en las
absisas. En el diagrama se puede observar que la distribución de las estrellas no es uniforme,
sino que éstas se concentran en distintos sectores a los cuales se les llama grupos y se los
numera con números romanos (Figura 8.01). La mayoría de las estrellas se ubica en la
Secuencia Principal (V), que es una banda que cruza el gráfico desde las estrellas azules de
gran luminosidad (arriba a la izquierda) hasta las estrellas rojas de baja luminosidad (abajo a
la derecha). Por encima de la secuencia principal y hacia la derecha se ubican las Gigantes
(II y III) generalmente rojas y la Supergigantes (Ia y Ib). Finalmente en la parte inferior
aparecen las Enanas Blancas en menor cantidad.
64
8. El interior de una estrella
Figura 8.01. El diagrama de Hertzsprung-Russell que relaciona la magnitud
absoluta con la temperatura superficial para 22000 estrellas catalogadas. Los tipos
espectrales O y B corresponden a temperaturas entre 1×10 5 K y 3× 10 5 K, el tipo A
entre 75× 10 2 K y 1×10 5 K, el tipo F entre 6000K y 7500K, el tipo G entre 5000K y
6000K, el tipo K entre 3500K y 5000K, el tipo M menores que 3500K.
Como veremos, se puede hallar una relación entre la luminosidad y la masa que permite
deducir la masa de las estrellas de los distintos sectores. En la banda de la Secuencia
Principal se observan las estrellas de menor luminosidad, y más frías, de color naranja y rojo.
Su consumo más lento de combustible nuclear las ha dejado con suficiente hidrógeno para
permanecer en la secuencia principal prácticamente por una eternidad. Luego la Secuencia
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8. El interior de una estrella
Principal se interrumpe al pasar a luminosidades altas. Las estrellas más masivas, o sea las
que se quemaron más rápido, de la línea superior, han consumido ya desde hace tiempo la
mayoría de su hidrógeno y se han transformado en Gigantes Rojas. Al hacer ésto se
apartaron de la secuencia media desplazándose hacia la parte superior derecha del diagrama,
y más tarde terminaron su combustible colapsando en Enanas Blancas o tal vez explotando
como supernovas. Observando los puntos donde se corta la secuencia principal, podemos
decir que las estrellas situadas por debajo de una determinada masa son de la Secuencia
Principal, mientras que en el dominio de las masas mayores, esta secuencia no está ocupada.
Esta observación ha proporcionado la clave final para comprender el desarrollo temporal de
las estrellas.
Ionización de átomos en las estrellas
En el Capítulo 7 se halló la ecuación de Saha para la ionización del hidrógeno, proceso que
es fundamental en el interior estelar. Aplicando estos resultados al caso del Sol podemos ver
algunos aspectos de su funcionamiento. Ya dijimos que podemos considerar que el Sol está
compuesto principalmente por hidrógeno con una densidad ρ ≈ 1.4 × 10 3 kg m −3 a una
temperatura
T ≈ 6 × 10 6 K,
entonces
usando
la
ecuación
(7.13)
hallamos
que
aproximadamente el 95% del hidrógeno está ionizado. Este cálculo no es exacto ya que si
bien los electrones y protones son pequeños y forman un gas ideal, el tamaño del átomo de
hidrógeno es comparable a la distancia de separación típica d = (ρ / m H )
−1 / 3
≈ 10 −10 m entre
las partículas a esta densidad. Por lo tanto los átomos interactúan con el gas y la probabilidad
de ionización crece. Podemos intentar extender nuestro razonamiento a la ionización de
átomos más pesados en el Sol. Aunque en estos materiales los electrones están ligados más
fuertemente, la ionización es casi completa porque las cantidades de átomos pesados son
pequeñas y están dispersos en la gran sopa de hidrógeno que es el Sol. Consideremos por
ejemplo, una pequeña cantidad de átomos de Carbono disueltos en el Sol, cuyo hidrógeno
está completamente ionizado de manera que ne ≈ ρ / mH ≈ 8 ×10 29 m −3 . Como el núcleo de
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8. El interior de una estrella
Carbono tiene Z=6 su energía de ionización es unas Z2 = 36 veces mayor que la del átomo de
hidrógeno, por lo que tendremos que adaptar la ecuación de Saha para hallar el índice de
ionización para los átomos que hayan perdido sólo 5 electrones, el cual depende de la
concentración de electrones provista por la ionización del hidrógeno:
nC (6 ) 10 21 −
≈
e
nC (5) ne
36×158000
T
≈ 10
(8.05)
Como antes, este cálculo subestima el grado de ionización, pero no obstante indica que la
mayoría de los átomos están ionizados. Recordemos que las estrellas se clasifican de acuerdo
a su tipo espectral (O, B, A, F, G, K y M), clasificación que relaciona la composición
química con la temperatura superficial. Si conocemos la composición química, temperatura y
densidad de la atmósfera de una estrella podemos determinar el grado de ionización
utilizando la ecuación de Saha. En general, los elementos metálicos (Li, Na, Mg, Al, K, Ca,
etc) con una energía de ionización aproximada de 5 eV se encuentran mayoritariamente
ionizados. Elementos como H, C, N, O, F, P, S, Cl, Ar, con energías de ionización entre 10 y
20 eV están parcialmente ionizados y los gases nobles como He y Ne, con energías de más
de 20 eV sólo algo ionizados aún en las atmósferas estelares mas calientes. La situación
general se puede describir considerando los elementos más representativos de cada tipo:
Sodio (Na), ε I = 5.14 eV,
n Na
Hidrógeno (H), ε I = 13.6 eV,
Helio (He), ε I = 24.6 eV,
10 21 T 3 / 2 −
≈
e
ne
n Na +
nH +
nH
nHe +
nHe
60000
T
10 21 T 3 / 2 −
≈
e
ne
10 21 T 3 / 2 −
≈
e
ne
158000
T
286000
T
(8.06)
Las distintas exponenciales en (8.06) causan que el grado de ionización de cada elemento sea
muy diferente, en el caso del Sol con una temperatura superficial de 6000K tenemos:
n Na +
n Na
≈
nH +
nH
10 7 y
n He +
n He
≈
nH +
nH
10 −10
(8.07)
La ionización de los elementos metálicos juega un papel central en la atmósfera de las
estrellas. Como podemos observar en (8.07) la cantidad de Sodio ionizado es muy superior a
67
8. El interior de una estrella
la del hidrógeno ionizado y esto compensa la relativa escasez de Sodio con respecto al
hidrógeno en la atmósfera del Sol, causando que a pesar de que la materia estelar está
compuesta principalmente de hidrógeno y Helio, la mayoría de los electrones de la atmósfera
estelar proviene de la ionización de elementos metálicos como el Sodio. Es más, el grado de
ionización del hidrógeno y el Helio dependen de la concentración de estos electrones libres.
Como la densidad de electrones libres en el Sol es ne ≈ 1019 m −3 de (8.06) obtenemos que:
n Na +
n Na
≈ 10 3 ,
nH +
nH
≈ 10 −4 ,
nHe +
nHe
≈ 10 −14
(8.08)
Queda claro que en la atmósfera solar el hidrógeno está parcialmente, el Helio muy poco y el
Sodio mayormente ionizado. El grado de ionización es alto en las atmósferas estelares.
Grado de ionización
1
Sodio
0.5
None
0
2000
3000
4000
5000
6000
Grado de ionización
1
Hidrógeno
0.5
None
0
5000
7000
9000
11000
13000
Grado de ionización
1
Helio
0.5
None
0
12000
14000
16000
Temperatura [K]
18000
Figura 8.02. Grado de ionización del Na, H y He en función de la temperatura para
la concentración de electrones solar típica ne=1019m−3.
68
8. El interior de una estrella
Utilizando (7.12) y (8.06) podemos calcular el grado de ionización en función de la
temperatura para distintos elementos. Como se observa en la Figura 8.02, para la
concentración de electrones del Sol ( ne = 1019 m −3 ) el 50% del Sodio está ionizado a los
3700K, el 50% del hidrógeno está ionizado a los 9000K y el 50% del Helio esta ionizado a
los 15500K. Estas consideraciones permiten explicar la relación entre la temperatura
superficial y la clasificación espectral. Ésta se basa en la observación de las líneas de
absorción del espectro de la estrella. Por ejemplo la observación de líneas de absorción de la
serie de Balmer muestra que la temperatura es tal que hay átomos de hidrógeno en el nivel
n = 2 , que pueden excitarse a otros niveles. Pero la presencia de átomos en este nivel solo es
posible en determinado rango de temperaturas ya que si la atmósfera está muy caliente todos
los átomos están ionizados y si está muy fría los átomos están en el estado fundamental o
formando moléculas. Este análisis, entonces, indica que la absorción de estas líneas sólo es
posible en estrellas de los grupos A y F donde las temperaturas están comprendidas entre los
11000K y los 6000K. Este tipo de consideraciones aplicadas a las líneas de absorción de
otros elementos permite, por ejemplo, afirmar que el espectro de las estrellas de los grupos O
y B están caracterizados por las líneas de absorción debidas al He¯ , que no aparecen en
estrellas mas frías. Las líneas debidas a la presencia de metales neutros son características
del espectro de estrellas de los grupos G, K y M. Las líneas espectrales debidas a la
absorción de fotones con energías particulares se ven siempre sobre un fondo opaco y
luminoso producido por la absorción y emisión de fotones con un continuo de energías en la
región visible del espectro electromagnético. Por ejemplo, los electrones absorben y emiten
fotones al acelerarse cuando pasan cerca de iones. Estos procesos se conocen como
bremsstrahlung y bremsstrahlung inverso, y son particularmente importantes en las
atmósferas calientes. Pero en las atmósferas frías se produce otro proceso de interés: la
continua producción y destrucción de iones H¯ . Este último es un protón ligado a dos
electrones, pero el núcleo tiene carga +1, por lo que el segundo tiene una baja energía de
ligadura, tan solo 0.75 eV. Entonces los fotones que son emitidos y absorbidos tienen una
longitud de onda de 1650nm. La reacción se puede escribir:
69
8. El interior de una estrella
γ + H − ⇔ e− + H
(8.09)
Sin embargo, el gas de hidrógeno absorberá o emitirá fotones de esta forma si hay electrones
libres, de modo que una masa de hidrógeno caliente se puede volver opaca en presencia de
electrones libres, una pequeña cantidad de elementos metálicos fácilmente ionizables puede
proveer estos electrones libres. Para ver esto último supongamos que una cantidad de estos
elementos, que notaremos X, están parcialmente ionizados. La concentración de estas
partículas y su grado de ionización están dados por:
[
ne = n X + = χ X n X + n X +
]
(8.10)
Si suponemos que todos estos elementos metálicos tienen la misma energía de ionización del
Sodio, la ecuación de Saha nos indica que:
1− χ X
χ X2
≈
ne
e
21 3 / 2
10 T
60000
T
(8.11)
Por lo tanto el equilibrio dinámico de la reacción está determinado por la concentración de
electrones provistos por la ionización de X. Podemos escribir entonces la ecuación de Saha
para el índice de ionización del hidrógeno:
nH −
nH
n
≈ 21 e 3 / 2 e
10 T
8700
T
(8.12)
donde ne queda determinado por (8.10) y (8.11). Para ilustrar el comportamiento podemos
graficar las ecuaciones (8.11) y (8.12). La fracción χ X de átomos metálicos ionizados y la
concentración de electrones libres crecen con la temperatura hasta que todos los átomos X se
encuentran ionizados a unos 4000K. La concentración de H¯ refleja este cambio de la
abundancia de electrones libres ya que crece con la temperatura mientras encuentre
electrones libres, pero disminuye cuando ne se aproxima al nivel de saturación y la
temperatura se torna demasiado alta para que el ión H¯ sobreviva.
70
8. El interior de una estrella
XX
1
0.5
None
0
2
3
Temperatura [10−3 K]
4
5
nH¯ / nH × 107
4
3
2
1
None
0
2
3
Temperatura [10−3 K]
4
5
Figura 8.03. Grado de ionización de los elementos metálicos e índice de ionización
del hidrógeno para una concentración de electrones libres inicial de ne=1019m−3.
Como muestra la Figura 8.03 a la temperatura de 3000K se encuentran abundantes electrones
libres e iones H¯ en equilibrio según la reacción (8.09) donde se emite y absorbe radiación
visible. Si la temperatura es menor que ésta el número de electrones libres decrece y el
número de iones H¯ en equilibrio con esos electrones cae abruptamente. Como resultado el
gas se vuelve oscuro y opaco. Esto implica que las temperaturas superficiales observadas son
siempre mayores a 3000K. Este resultado tiene una implicación para la evolución de una
estrella que ha abandonado la Secuencia Principal. Al abandonar esta fase la luminosidad
aumenta y la temperatura superficial decrece, entonces las estrellas se mueven hacia arriba y
hacia la derecha en el diagrama H-R5. Como la temperatura superficial no puede ser menor
que 3000K ya que si no dejaría de emitir radiación visible, la estrella sólo puede incrementar
5
Diagrama de Hertzsprung-Russell que en adelante escribiremos así.
71
8. El interior de una estrella
su luminosidad si se expande a temperatura superficial casi constante. Durante esta fase la
estrella entra en la región de las llamadas Gigantes. Ésta, y otras etapas de una estrella con la
Luminosidad [L]
masa del Sol se muestran en el diagrama H-R de la Figura 8.04.
Nebulosa planetaria
Súpergigante
roja
Agigantamiento
asintótico
Gigante roja
Subgigante
Secuencia principal
(enanas)
Enana blanca
Temperatura superficial [K]
Figura 8.04. El diagrama H-R para una estrella de la masa del Sol. Las flechas
indican el sentido del desplazamiento a lo largo del tiempo.
Por otro lado vimos en el Capítulo anterior que cuando la temperatura sube lo suficiente se
produce la creación de pares electrón-positrón. Ya vimos que la concentración de electrones
está dada por la ionización de la materia estelar, y que en la región central de una estrella que
ha evolucionado solo quedan rastros de hidrógeno sin quemar. De acuerdo con la ecuación
(7.17) la concentración de electrones es aproximadamente:
ne ≈
ρ
2m H
(8.13)
A modo de ejemplo, consideremos ρ ≈ 10 7 kg m −3 y T ≈ 10 9 K. Entonces nos queda
ne − ≈ 3 × 1033 m −3 , y usando (7.20) podemos calcular la concentración en equilibrio de
electrones y positrones:
72
8. El interior de una estrella
ne + ≈
ne −
100
(8.14)
Por otro lado cuando la densidad es elevada y los electrones están degenerados como ocurre
en el centro de estrellas muy masivas a temperaturas elevadas y densidad comparativamente
bajas, se generan neutrinos según (7.21). Los neutrinos producidos pueden escapar muy
fácilmente de la estrella proveyendo así un mecanismo muy efectivo para la pérdida de
energía. Este mecanismo es muy importante en estrellas cuyos núcleos alcanzan T ≈ 10 9 K
con densidades para las cuales los electrones no están muy degenerados (por ejemplo
menores a 10 9 kg m −3 ). Aunque este proceso recibe el nombre de enfriamiento por neutrinos,
en realidad no lleva al enfriamiento. De hecho estimula la tasa de fusión manteniendo
constantes las condiciones dentro de la estrella, es decir acelera el ritmo de evolución de la
estrella.
En las estrellas la fusión no se produce debido a que la temperatura interna sea lo
suficientemente alta como para que los núcleos atómicos adquieran energía suficiente para
pasar la barrera de Coulomb. Por ejemplo a la temperatura de 107K, kT es del orden de
1KeV muy por debajo de los MeV requerida por la (7.24). La fracción de núcleos con
energías del orden de los MeV es aproximadamente e −1000 , pero la fusión se produce por
efecto túnel cuando los núcleos se aproximan y ocurre con una tasa proporcional a la
probabilidad de penetración dada por (7.28). Veamos un ejemplo para dos protones con
temperatura del orden 107K, según (7.27) EG ≈ 493 KeV , kT ≈ 1 KeV. Según (7.28) la
probabilidad de penetración es del orden de e −22 , y sin duda es baja lo cual nos indica que el
ritmo de fusión nuclear es bajo causando que las estrellas tarden millones de años en
consumir su combustible. Por ejemplo cuando una estrella comienza a fusionar hidrógeno, el
proceso comienza por vía de la cadena protón-protón descripta por (7.40). La característica
esencial de esta reacción es su lentitud, de hecho es tan lenta que su sección eficaz no puede
ser medida en laboratorio. Pero valores teóricos para el factor S de la ecuación (7.39) lo
estiman en 3.8 ×10 −22 KeV barns, con este valor y las ecuaciones (7.33) y (7.36) es posible
calcular la vida media del protón antes de una fusión. Para el caso del Sol podemos estimar
73
8. El interior de una estrella
que en su núcleo T = 15× 10 6 K, ρ = 10 5 kg m −3 y X 1 = 0.5 ; con lo que calculamos
n p = X 1 ρ / mH ≈ 3 × 1031 m −3 y su ritmo de fusión es 5 ×1013 s −1m −3 . Los cual indica que un
protón en el centro del Sol puede, en promedio, deambular por 9 × 10 9 años antes de
fusionarse con otro protón. Estos tiempos enormes fijan la escala temporal de la fase de las
estrellas en la que queman hidrógeno. El porcentaje de las veces que se dan las tres ramas de
la cadena protón-protón (ver Figura 7.03) nos permite calcular la energía liberada por el Sol
con este proceso:
0.85 × 26.2 / 2 + 0.15 × 25.7 = 15 MeV
(8.15)
Combinando esto con el ritmo estimado de la reacción vemos que el Sol produce
120 W m −3 .
Es útil contar con una expresión que nos de la tasa de producción de energía en función de la
temperatura, densidad y fracción de masa del hidrógeno. Si usamos la expresión (7.36) con
EG = 493 KeV para temperaturas cercanas a la del centro del Sol, el ritmo de fusión queda
proporcional a T4 y a np2 o sea X 12 ρ 2 . Si tomamos como referencia al Sol debemos
normalizar el ritmo de la reacción a 120 W m −3 con el T, ρ y X1 solares, pudiendo escribir:
ε p − p = 9.5 ×10 −37 X 12 ρ 2T 4 W m −3
(8.16)
En las estrellas de la secuencia principal que tienen una masa comparable con la del Sol la
combustión del hidrógeno está dada principalmente por la cadena protón-protón. Por otro
lado la cadena Carbono-nitrógeno también se produce en el interior de nuestro Sol. En éste
caso el ritmo de producción de energía esta controlado por la reacción (7.42). La vida media
del núcleo de nitrógeno en el centro del Sol se puede estimar si suponemos que
ρ ≈ 10 5 kg m −3 , T ≈ 15× 10 6 K, X 1 ≈ 0.5 y S ≈ 3.3 KeV barns. Sustituyendo estos valores en
las ecuaciones (7.33) y (7.36) resulta que la vida media del
14
N es de aproximadamente
5× 108 años. El ritmo de fusión por unidad de volumen depende, por supuesto, de la
abundancia de nitrógeno en el centro del Sol la cual se estima en 0.6%, por lo que el ritmo de
fusión es más o menos 1.6 × 1012 m −3s −1 , de modo que este ciclo no es importante para
nuestra estrella, donde el 98.4% de la producción de energía proviene de la cadena protón-
74
8. El interior de una estrella
protón. La etapa de combustión del hidrógeno en el Sol dura un tiempo típico de 1010 años.
En las estrellas más masivas de la secuencia principal la temperatura no es muy superior a la
del Sol pero su luminosidad es mucho mayor, demasiado alta para ser explicada por la
dependencia T4 de la cadena protón-protón. Un ejemplo de este tipo de estrella es Sirio A, y
para explicar su luminosidad se debe invocar el ciclo Carbono-nitrógeno. Como el Carbono
es escaso dentro de la estrella debe ser reciclado continuamente. Esta cantidad de Carbono
proviene de la combustión del Helio en generaciones anteriores de estrellas. Si calculamos la
EG de la reacción (7.42) y usamos la ecuación (7.36) encontramos que la tasa de fusión es
proporcional a T18, lo cual explica la luminosidad de estas estrellas ligeramente más
calientes. Este ciclo juega un papel importante en la alquimia estelar ya que durante su
desarrollo se producen
13
C,
14
N y 15N además del He que aparece cada vez que termina un
ciclo, pero en un momento cualquiera dentro de una estrella hay ciclos empezados en
cualquier estadio de su evolución por lo que encontraremos una cantidad de estos elementos,
y puesto que la reacción más lenta es la (7.42) el elemento más abundante será el 14N. Para
estrellas masivas el ritmo de fusión es mucho mayor y la etapa de quemar hidrógeno dura
aproximadamente 106 años, muchísimo menos que para nuestro Sol.
Como el producto de la fusión del hidrógeno es el Helio, al agotarse el hidrógeno el núcleo
de la estrella queda poblado de Helio, y al irse agotando el hidrógeno la estrella abandona el
equilibrio hidrodinámico. Veamos por qué. Ya que la energía liberada por la fusión del
hidrógeno depende de la fracción de masa (X1) del mismo, cuando ésta disminuye
apreciablemente la energía producida también disminuye y llega a un nivel en el cual ya no
puede compensar la energía radiada de modo que el núcleo no tendrá mas remedio que
contraerse, como ya explicamos. Durante la contracción, según (4.02) y (4.03), la mitad de la
energía gravitatoria liberada escapa como radiación y la otra aumenta la temperatura, lo que
causa que se comience a fusionar el hidrógeno que rodea al núcleo incrementando la presión,
y dando como resultado que las capas externas se expanden. Parte del Helio generado en las
capas externas se deposita en el núcleo volviéndolo mas denso y caliente. Si la estrella es
suficientemente masiva ( M > 0.5M ) el núcleo adquiere la temperatura y la presión
75
8. El interior de una estrella
necesaria para que su componente principal, el Helio, comience a fusionarse dando Carbono.
Si la materia del núcleo no está degenerada, esta nueva reacción causa que la estrella se
expanda y se enfríe, con lo que el ritmo de fusión disminuye y la estrella se convierte en una
gigante roja, con un núcleo formado principalmente por Carbono y Oxígeno. El Helio se
quema a su alrededor y más lejos del núcleo se quema el hidrógeno remanente. Por otro lado
si la materia del núcleo está degenerada el exceso de energía producido por la fusión del
Helio produce la expansión del sistema y como los electrones tienden a quedar menos
localizados, debido al principio de incerteza su energía cinética disminuye, lo cual sin
embargo no tiene demasiada influencia sobre la alta temperatura. El ritmo de fusión se
vuelve descontrolado y se produce una liberación explosiva de energía. Sólo una parte de
ésta se escapa por radiación, y la mayoría se consume en sacar a los electrones de su estado
degenerado, de resultas de lo cual el núcleo se expande y el ritmo de fusión se controla. Esto
ocurre en estrellas con la masa del Sol. Si la estrella tiene una masa superior ( M > 8M )
puede pasar a quemar Carbono para formar Ne, Na y Mg. Si la temperatura excede los 109K
comienza a intervenir la reacción (7.22), la desintegración de núcleos juega un papel
importante durante las etapas avanzadas de la producción de núcleos en estrellas masivas. Si
la masa es mayor aun ( M > 11M ) se alcanzan temperaturas del orden de 3× 10 9 K por lo
que pueden fusionar el silicio para producir hierro, que es la fusión más pesada que tiene
lugar en una estrella. El destino final de la estrella depende mucho de la masa que quede en
el núcleo cuando la fusión ya no puede detener el colapso gravitacional.
En el caso de una estrella con la masa del Sol, cuando se agota el hidrógeno y el Helio
central termina la etapa de fusión en su núcleo y éste queda formado por C y O, con una
envoltura de H y He. Al cesar la fusión dentro del núcleo, éste se contrae, y la liberación de
energía gravitatoria eleva la temperatura causando que el ritmo de fusión del Helio en la
envoltura aumente, por lo que ésta se expandirá para formar una nebulosa planetaria. Por
otro lado el núcleo continúa su colapso pero no alcanza temperaturas suficientes como para
fusionar el Carbono. Agotadas las reservas de combustible nuclear, sólo el colapso puede
seguir produciendo energía, y dicho colapso prosigue hasta que en cualquier punto de la
76
8. El interior de una estrella
estrella se alcanza el equilibrio entre la gravedad y la presión de los gases estelares, cuando
bajo el extraordinario peso de los gases exteriores, los átomos se dividen en sus
componentes, perdiendo todos sus electrones, y el gas se degenera. Los electrones libres son
más rápidos cuanto mayor es la densidad y ejercen una presión que impide el colapso de la
estrella. Ésta se reduce a proporciones mínimas, con un radio del orden del de la Tierra; si
esto ocurre la estrella se convierte en una enana blanca.
Llegado este punto conviene sintetizar y ampliar lo que sabemos de las ecuaciones que
determinan la evolución estelar, para poder explicar con claridad la estructura interna de
sistemas complejos como las enanas blancas.
El modelo de Clayton
Las ecuaciones fundamentales que encontramos hasta ahora son cuatro (2.01), (2.05), (6.66)
y (6.68):
dm
= ρ (r )π 4r 2 (2.01)
dr
dP
m( r )
= − ρ (r )G 2 (2.05)
dr
r
dL
= π 4r 2ε (r ) (6.66)
dr
3ρ (r )κ (r ) L(r )
 dT 
(6.68)
 =−

3
4ac[T (r )] π 4r 2
 dr  rad
El problema de la evolución estelar se reduce al de hallar la solución de este sistema de
cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: P(r), m(r), T(r), L(r). Para encontrarla necesitamos
cuatro condiciones de contorno de las cuales dos son obvias: m(0)=0 y L(0)=0, pero las otras
dos dependen del modelo estelar que usemos. Comentaremos las consideraciones del modelo
de Clayton6, el cual supone una forma para la presión. Tengamos en cuenta que en el centro
de una estrella la presión es mucho mayor que la presión media, por otro lado la condición
de equilibrio hidrostático impone fuertes restricciones sobre la presión. Cerca del centro
donde r es pequeño podemos aproximar la densidad por un valor constante ρ C , por lo tanto
la masa encerrada m(r) es aproximadamente ρ C π 4r 3 / 3 y la ecuación (2.05) se convierte en:
6
Propuesto por Clayton en 1986.
77
8. El interior de una estrella
dP
4π
= − ρ C2 rG
dr
3
(8.17)
Cerca de la superficie, donde r encierra casi toda la masa, podemos aproximar m(r) por la
masa total de la estrella, por lo que tenemos que (2.05) se vuelve:
dP
ρ (r )
= −GM 2
dr
r
(8.18)
Entonces el equilibrio hidrostático impone que el gradiente de presiones es cero en el centro
de la esfera, puede crecer linealmente muy cerca del centro pero vuelve a ser nulo en la
superficie. Se propone entonces que el gradiente de presiones tiene la forma:
r2
−
dP
4π
=−
Gρ C2 re a
dr
3
(8.19)
donde a es una longitud característica a determinar. La expresión (8.19) es una buena
aproximación del gradiente de presión para valores pequeños de r, pero es bastante grosera
para r grandes. Esto último mejora si el parámetro a es pequeño comparado con el radio R de
la estrella. Este parámetro fija también el valor máximo de dP / dr a una distancia
r = a / 2 del centro de la estrella.
None
Gradiente de presión dP/dr
Distancia al centro r
Figura 8.05. Variación típica del gradiente de presión dentro de una estrella.
Integrando la ecuación (8.19) obtenemos la expresión de la presión:
78
8. El interior de una estrella
R
 −r2
− 2
2π
P(r ) =
Gρ C2 a 2  e a − e a

3

2
2




(8.20)
Si calculamos la masa encerrada en una esfera de radio r combinando (2.01) y (2.05)
tenemos:
Gm(r )dr = −π 4r 4 dP
(8.21)
Integrando ambos miembros de la igualdad y reemplazando la expresión hallada de la
presión podemos obtener:
m(r ) =
π 4r 3
3
ρ C Φ ( x)
(8.22)
con x = r / a y:
(
x
)
Φ (r ) = 6∫ x'5 e − x ' dx' = 6 − 3 x 4 − 2 x 2 + 2 e − x
2
2
2
(8.23)
0
A partir de la ecuación (8.22) podemos encontrar la densidad:
1 dm
x 3e − x
=
ρ (r ) =
ρ
C
π 4r 2 dr
Φ ( x)
2
(8.24)
Para hallar la temperatura necesitamos la ecuación de estado del material. Por ejemplo si
suponemos que la estrella está sostenida por un gas ideal usando P = nkT y la (1.16) nos
queda:
T (r ) =
m P (r )
k ρ (r )
(8.25)
con el m definido según (1.16). El modelo se simplifica si la masa de la estrella está
concentrada hacia el centro, de manera que la densidad central sea mucho mayor que la
densidad media. En este caso a es muy pequeño comparado con R, y los términos
proporcionales a e − a
2
/ R2
se pueden despreciar. La masa total queda:
M=
π 4ρC a 3
3
Φ( R / a) ≈
π 4ρC a 3 6
Entonces la densidad media de la estrella es aproximadamente
r = 0 en (8.20) obtenemos la presión central:
79
(8.26)
3
6 (a / R ) ρ C . Poniendo
3
8. El interior de una estrella
R

− 2
PC =
Gρ a 1 − e a

3

π2
2
2
C
2
  π 1 / 3
 ≈   GM 2 / 3 ρ 4 / 3
C
  36 

(8.27)
Con la ayuda de (6.26) podemos expresar a en términos de M y ρ :
π 
PC ≈   GM 2 / 3 ρ C4 / 3
 36 
1/ 3
(8.28)
Esta ecuación predice una relación entre la presión y la densidad central de la estrella que se
espera sea válida para cualquier estrella homogénea en la que la masa se concentra hacia el
centro.
Masa mínima de una estrella de la secuencia principal
En la práctica la mayor parte de las estrellas en su etapa inicial tienen una masa entre 0.1 M
y 50 M. Este rango tan acotado está determinado por la condición de equilibrio. La masa de
la protoestrella debe ser suficiente para alcanzar la temperatura de fusión del hidrógeno. Pero
inicialmente la energía irradiada es suplida por la contracción gravitatoria, la presión es baja
y en una primera aproximación los electrones y los iones se comportan como un gas ideal
clásico de modo que la presión y la temperatura centrales cumplen la relación:
PC =
ρ C kTC
m
(8.29)
Si igualamos esta presión con la presión necesaria para soportar el sistema (8.28) vemos que
la temperatura central durante el período de contracción lenta es:
π 
kTC ≈   Gm M 2 / 3 ρ C1 / 3
 36 
1/ 3
(8.30)
La temperatura es mayor si la densidad central crece, y seguirá creciendo hasta que una
buena parte de la energía se genere por fusión, o que los electores en el centro se vuelvan
degenerados. En el primer caso la fusión nuclear es la fuente de energía y detiene la
contracción gravitacional. En el segundo caso los electrones que ocupan niveles de energía
más bajos de acuerdo con el principio de exclusión de Pauli, se oponen a la compresión y
soportan el sistema. Por lo tanto la protoestrella no se convertirá en estrella si los electrones
80
8. El interior de una estrella
se degeneran antes de encenderse la fusión. Para estimar la temperatura máxima que se
alcanza en el centro, vamos a suponer que todos los electrones están degenerados y los iones
son clásicos. En este caso la presión central es:
PC = K NR nC5 / 3 + ni kTC
(8.31)
Donde KNR esta dada por (6.51). Imponiendo la condición de equilibrio hidrostático
igualamos la presión dada por la ecuación (8.31) a la necesaria para soportar la masa M:
ρ
π 
kTC ≈   GmH M 2 / 3 ρ C1 / 3 − K NR  C
 36 
 mH
1/ 3
1/ 3



(8.32)
Esta ecuación nos da la temperatura central de una masa de hidrógeno que se contrae durante
la etapa en que los electrones están degenerados en el centro y los iones son clásicos. A
diferencia de (8.30) tiene dos términos, el primero proviene de los iones clásicos y el
segundo de los electrones degenerados y se vuelve importante a altas densidades. Con la
ecuación (8.32) podemos calcular la temperatura en el centro en función de ρ C , ver Figura
8.06.
190
1.8 × 106
180
TC [K]
1.6 × 10 6
170
1.4 × 10 6
1.2 × 10 6
160
1.0 × 106
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
20000300004000050000600007000080000
ρC [kg m−3]
Figura 8.06. Temperatura de una nube de hidrógeno en contracción con masa
M/16.
81
8. El interior de una estrella
En la Figura 8.06 podemos observar con claridad que, como esperábamos, la temperatura
crece con la densidad, pero cuando la presión debida a los electrones degenerados se torna
importante crece mas lentamente; finalmente a altas densidades predomina la presión de los
electrones y TC deja de crecer. Evidentemente TC ( ρ C ) tiene un máximo, que podemos
encontrar fácilmente:
[kTC ]max
π 
≈ 
 36 
2/3
G 2 mH8 / 3 4 / 3
M
4 K NR
(8.33)
Podemos encontrar también la condición para que una protoetrella comience a fusionar
hidrógeno igualando la temperatura central a la mínima requerida para la ignición:
1/ 2
M min
 36 
≈ 
π 
 4 K NR 
 2 8 / 3 
 G mH 
3/ 4
(kT )
3/ 4
ign
(8.34)
Si tomamos la temperatura de ignición del hidrógeno Tign ≈ 1.5 × 10 6 K , o sea el 10% de la
temperatura central del Sol, resulta que la masa mínima de una estrella es de 0.05 M.
Cálculos mas precisos indican que esta masa es de 0.08 M.
Masa máxima de una estrella de la secuencia principal
Como vimos anteriormente el equilibrio hidrostático se vuelve inestable si la presión que
contrarresta la gravedad proviene de partículas relativistas, como por ejemplo fotones. Esto
impone un límite superior para la masa de una estrella de la secuencia principal. Para hallar
este límite supondremos que los electores, iones y fotones en el centro de la estrella están en
equilibrio térmico. La presión central es la suma de la presión de los electrones e iones, que
llamaremos Pg y la presión de radiación ejercida por los fotones Pr , entonces PC = Pr + Pg .
Anteriormente probamos que a altas temperaturas y bajas densidades los electrones e iones
forman un gas ideal clásico, por lo que:
Pg =
ρC
m
kTC
(8.35)
Como vimos en el Capítulo 7 los fotones forman un gas de Bosones y podemos usar la
relación (6.57):
82
8. El interior de una estrella
a
Pr = TC4
3
(8.36)
Introducimos ahora el parámetro X para indicar la fracción de la presión total que
representan las dos contribuciones de la presión de manera que:
Pg = XPC y Pr = (1 − X ) PC
(8.37)
Eliminando TC en la combinación de las ecuaciones (8.35) y (8.36) encontramos:
 3 (1 − X )   kρ C 
PC = 

 
4
  m 
a X
1/ 3
4/3
(8.38)
Ahora podemos igualar esta presión con la requerida para soportar la estrella dada por el
equilibrio hidrostático. Obtenemos:
 3 1− X   k 
π 
2/3
 
  GM ≈ 
4 
a X  m
 36 
1/ 3
1/ 3
4/3
(8.39)
Podemos ver que la masa determina la fracción X, la cual decrece cuando aumenta M, por lo
que la presión de radiación se vuelve mas importante cuando la masa es grande. Si la estrella
es muy masiva Pr es importante y se vuelve inestable. Usando la ultima relación podemos
hallar una cota máxima para la masa de una estrella, por ejemplo si pedimos que la presión
de radiación no supere el 50% de la presión total en el centro de la estrella, de esta manera X
no debe superar el valor 0.5. Suponiendo que m = 0.61 uma, resulta que la masa no puede ser
superior a 100 M. La observación indica que en la secuencia principal es muy poco
frecuente encontrar estrellas que superen las 50 M.
Unidad fundamental de masa estelar
Los límites máximo y mínimo para la masa de una estrella están impuestos por el efecto
desestabilizador de la presión de radiación y por la necesidad de la fusión nuclear,
respectivamente. Este rango de masas es sorprendentemente angosto, típicamente de 0.1 M
a 50 M y como vemos usar la masa del Sol como unidad de masa resulta cómodo. Pero
queremos expresar los resultados en función de constantes fundamentales de la naturaleza,
por lo que buscaremos una unidad de masa fundamental. Introduzcamos entonces una
83
8. El interior de una estrella
medida adimensional de la energía gravitatoria entre dos nucleones separados a la distancia
fundamental h / mH c (que a menos del factor 1/2π es igual a la longitud de onda Compton
del protón), ponemos mH porque la masa del átomo de hidrógeno es casi igual a la masa de
los nucleones (protón y neutrón). Si esta energía la expresamos en unidades de la energía en
reposo de un nucleón mH c 2 obtenemos:
GmH2
αG =
= 5.9 × 10 −39
hc
(8.40)
Este pequeño número α G será nuestra medida de la fuerza gravitatoria entre nucleones, y es
análogo a la constante de estructura fina α de la fuerza electromagnética.
La ecuación (8.34) que determina la masa mínima de una estrella de la secuencia principal
contiene la constante K NR definida según (6.51) y depende de la constante de Planck y la
masa del electrón que son constantes fundamentales de la naturaleza. Si usamos que
Tign ≈ 1.5 × 10 6 K podemos escribir la masa mínima como:
M min = 0.03α G−3 / 2 m H
(8.41)
Para escribir la masa máxima volveremos a considerar que el límite lo encontramos
considerando que la mitad de la presión en el centro proviene de la radiación. Por lo que
reemplazando X = 0.5 en (8.39) y suponiendo m = 0.61 uma encontramos que podemos
expresar la masa máxima como:
M max ≈ 56α G−3 / 2 m H
(8.42)
Con estos resultados podemos definir la masa estelar fundamental M * como:
M * = α G−3 / 2 m H
(8.43)
y la usaremos como escala de masa de las estrellas de la secuencia principal. Con lo cual
podemos decir que una protoestrella con masa M << M * no conseguirá fusionar su
hidrógeno por lo que no se convertirá en una estrella, una con M ≈ M * será estable y tendrá
una “larga vida”, y una con M >> M * será inestable debido a la presión de radiación. La
84
8. El interior de una estrella
masa del Sol era una buena escala de masa estelar por eso no nos debe sorprender que sea
comparable con la masa estelar fundamental:
M * = 1.85M (8.44)
Utilizando esta unidad de masa es muy fácil saber la cantidad de nucleones de una estrella
típica, este número es:
N* =
M*
= α G−3 / 2 = 2× 10 57
mH
85
(8.45)
9. Las enanas blancas
9. LAS ENANAS BLANCAS
Reseña histórica
La historia de las enanas blancas comienza en 1844, cuando Friedrich W. Bessel vio que la
imagen de Sirio, la estrella más brillante de nuestro firmamento, fluctuaba. Bessel llego a la
conclusión de que Sirio está acompañada por otra estrella oscura que, al orbitar, tira de ella,
generando una variación ondulante de su posición en el cielo. Bessel no vio la estrella
oscura, pero diecinueve años después Alvan Clark localizó la compañera oscura de Sirio
mientras probaba unas lentes nuevas de 18 pulgadas. Pero había algo extraño en la
compañera de Sirio. En 1910 Henry Norris Russell percibió que esta estrella no se ajustaba a
la secuencia principal, y tal excepción le hizo sospechar que la correlación que había
descubierto entre el brillo superficial y la densidad de las estrellas fuera errónea. En los siete
años siguientes se descubrieron dos estrellas excepcionales del mismo tipo. Normalmente,
las estrellas de baja luminosidad habrían de ser de color rojo pero la compañera de Sirio
ardía al rojo blanco. La única explicación de su brillo era que fuera extremadamente
pequeña. Pero si era tan pequeña no tendría masa suficiente como para provocar en una
estrella tan grande como Sirio el movimiento observado. Una solución a este dilema era
suponer que la compañera de Sirio era ciertamente muy pequeña pero estaba compuesta de
materia 3.000 veces más densa que la de las estrellas ordinarias. Dicha solución parecía un
disparate, pues en las primeras décadas del siglo XX no se sabía que existiese una forma tan
densa de materia. Para resolver el problema de la compañera de Sirio habría que esperar a
que se formulara la teoría cuántica en 1927 y a las investigaciones que realizó en 1930 un
indio de diecinueve años, Subrahmanyan Chandrasekhar1. Partiendo de los trabajos previos
que había realizado en Inglaterra Ralph H. Fowler, que demostraban que cuando una estrella
agota su combustible nuclear tiene que colapsar, Chandrasekhar vio en que se convertiría: en
una nueva forma de materia superdensa que resistiría el colapso gravitatorio, siempre que su
1
Quien obtuvo el Premio Novel en 1983 por haber formulado la teoría de los estadios tardíos de la evolución
de estrellas masivas.
86
9. Las enanas blancas
masa total no fuera demasiado grande. Hoy los astrónomos han localizado ya más de
trescientas enanas blancas.
Relación entre la masa y la densidad central
Explicaremos la estructura de las enanas blancas suponiendo que éstas se encuentran
sostenidas únicamente por la presión de un gas de electrones completamente degenerados.
Comenzaremos por obtener la relación entre la masa y la densidad central. La densidad de
electrones en el centro de la estrella está dada por:
ne = Ye
ρc
(9.01)
mH
donde Ye es el número de electrones por nucleón, que de acuerdo con la ecuación (7.17) es
Ye ≈ (1 + X 1 ) / 2 . Supongamos que la estrella está soportada por un gas de electrones
degenerado no relativista, de modo que la presión está dada por (6.19), en la cual podemos
reemplazar (9.01) para obtener:
P = K NR n
5/3
e
Y ρ 
= K NR  e c 
 mH 
5/3
(9.02)
Por otro lado, según el modelo de Clayton para materia de alta densidad la presión necesaria
para soportar a la estrella es aproximadamente M 2 / 3 (π / 36) ρ c4 / 3G . Podemos igualar esta
1/ 3
presión a (9.02) y despejar ρ c :
3.1mH
ρc ≈
Ye
2
 M   me c 
 


 M*   h 
3
(9.03)
Aquí hemos usado el valor de KNR dado por (6.51), M * es la masa fundamental (8.43) y M la
masa de la enana blanca. Estas consideraciones se hicieron pensando que el gas es no
relativista pero como vimos en el Capítulo 6 un gas de Fermiones se vuelve relativista
cuando la densidad de electrones es grande comparada con (me c / h ) , por eso la hipótesis no
3
relativista cae cuando ne es grande en comparación con mH /(h / me c) 3 . Por lo tanto la
ecuación (9.03) vale cuando M es pequeña con respecto a M * . Por ejemplo consideremos
87
9. Las enanas blancas
una enana blanca con masa igual a 0.4M; la densidad central que predice (9.03) es
5.4 × 10 8 kg m −3 , y para esta densidad la energía de Fermi de los electrones es 0.19mec2 por lo
que considerar el modelo no relativista está en el límite de lo aceptable. Pero de ninguna
manera será una buena aproximación para masas mayores a 0.4M, pues entonces no
podremos usar la aproximación no relativista. Si tenemos en cuenta estos efectos la densidad
es mayor que la indicada por (9.03) y crece más rápidamente que M2.
Para estudiar el caso ultra-relativista procedemos de igual modo que antes, pero tomando la
presión dada por (6.50) en la cual podemos reemplazar (9.01) para obtener:
P = KUR n
4/3
e
Y ρ 
= KUR  e c 
 mH 
4/3
(9.04)
donde KUR está dado por (6.51). Igualando esta expresión a la presión necesaria para soportar
la estrella llegamos a que:
Y ρ 
K UR  e c 
 mH 
4/3
π 
≈ G 
 36 
1/ 3
M 2 / 3 ρ c4 / 3
(9.05)
En la fórmula (9.05) podemos la ver que existe una masa límite para la cual la densidad
central es muy grande comparada con mH /(h / me c) 3 , de hecho tiende a infinito. Esta masa se
denomina masa de Chandrasekhar, y está dada por:
1/ 2
M CH
 36 
≈ 
π 
 Ye

 mH
2
  K UR 
 

  G 
3/ 2
≈ 4.43 Ye2M
(9.06)
Si M << M CH el equilibrio es posible y la densidad se puede calcular usando (9.03). Para
masas mayores pero tales que M < M CH los electrones se vuelven relativistas y la densidad
será mayor pero el equilibrio es posible. Pero si M > M CH la presión del gas de electrones
no es suficiente para detener el colapso gravitatorio, la contracción de la estrella continúa y
la densidad tiende a infinito a menos que otro mecanismo físico detenga el colapso. Por lo
tanto las enanas blancas deben tener una masa menor que la masa de Chandrasekhar.
En el caso intermedio en que M es menor pero no muy lejano a M CH tenemos que usar la
relación general entre energía y momento:
88
9. Las enanas blancas
ε 2 = me2 c 4 + p 2 c 2
(9.07)
La presión del gas se obtiene escribiendo la velocidad como v p = pc 2 / ε p , y como los
electrones están degenerados ocupan todos los estados con velocidad menor a
v F ≡ 2ε F / m . Usando la densidad de estados correspondiente podemos ver que la presión
está dada por:
P=
1
3V
pF
∫
0
p 2 c 2 2V
4πp 2 dp
ε p h3
(9.08)
Si usamos el momento adimensional x = p / me c como variable de integración obtenemos:
8π me4 c 5
P=
3 h3
xF
x4
∫ (1 + x )
2 1/ 2
dx
(9.09)
0
El límite superior de la integral es el momento adimensional de Fermi xF que vale:
 3Y ρ 
xF =  e c 
 8π mH 
1/ 3
h
me c
(9.10)
La integral se puede calcular y llegamos a la presión del gas:
P = KUR ne4 / 3 I ( x F )
(9.11)
donde:
I (x ) =
3
2x 4
)
(

2 2 
2 
 x 1 + x  3 x − 1 + ln x + 1 + x 




(9.12)
A bajas densidades x F << 1 por lo que I ( x F ) 
→ 4 x F / 5 y la formula (9.11) tiende a su
xF <<1
expresión no relativista de acuerdo con (9.02). Cuando la densidad es alta x F >> 1 por lo que
I ( x F ) 
→1 y la fórmula (9.11) tiende a su expresión ultrarelativista (9.04).
xF >>1
Para estudiar el caso ultrarelativista procedemos igual que antes pero usando la (6.50) en la
cual podemos reemplazar (9.01) para obtener:
P = KUR n
4/3
e
Y ρ 
= KUR  e c 
 mH 
89
4/3
(9.13)
9. Las enanas blancas
Si imponemos la condición de equilibrio hidrostático en el centro de la estrella igual que
hicimos antes resulta:
Y ρ 
K UR  e c 
 mH 
4/3
π 
I (x F ) ≈ G  
 36 
1/ 3
M 2 / 3 ρ e4 / 3
(9.14)
de donde podemos despejar:
M ≈ [I ( x F )] M CH
3/ 2
(9.15)
None
1
M/MCH
0.99998
0.99996
0.99994
0.99992
0
2× 10 9
4× 10 9
4× 10 9
8× 10 9 10 ×10 9
ρC [kg m−3]
Figura 9.01. Resultado de (9.14) en el que se muestra la masa de una enana blanca
en unidades de MCH con Ye = 0.5, en función de densidad central. Se aprecia que
cuando la masa tiende a la masa de Chandrasekhar la densidad crece
indefinidamente.
En la Figura 9.01 muestran los resultados de (9.14), y se puede apreciar que para masas bajas
la densidad no es tan alta, cuando la masa es mayor los electrones se vuelven relativistas y la
densidad en el centro aumenta más rápidamente con la masa, finalmente cuando la masa se
acerca a M CH los electrones se vuelven ultrarelativistas y la densidad en el centro crece
indefinidamente.
La masa y el radio
De acuerdo con la Figura 9.01 la densidad de una enana blanca se incrementa rápidamente
cuanto mayor es su masa, esto implica que las enanas de menor tamaño son las más masivas.
90
9. Las enanas blancas
Si suponemos que los electrones son no relativistas en su mayoría, la estructura de la estrella
es similar a un modelo politrópico con P ∝ ρ 5 / 3 , y en este caso se puede ver que la densidad
media es ρ c / 6 ; esto junto a la (9.03) permiten demostrar que:
2
mH
0.51  M 

ρ ≈ 5 
Ye  M *  (h / me c )3
(9.16)
y que:
 3M
R=
 4π ρ

1/ 3




1/ 3
≈ 0.77 Y
5/3
e
 M* 
−1 / 2 h

 αG
me c
M 
(9.17)
Podemos observar que el tamaño característico de una enana blanca está determinado por la
constante fundamental α G = 5.9 × 10 −39 y la longitud de onda Compton del electrón
λC = h / me c = 2.4 × 10 −12 m, este tamaño característico es del orden del radio de la Tierra:
α G−1/ 2 λC ≈ 3× 10 7 m
(9.18)
La densidad característica:
mH
λ3C
≈ 1× 10 8 kg m −3
(9.19)
es inmensamente superior a cualquier densidad con la que estemos familiarizados. Para dar
una idea de cuán grande es esta densidad media diremos que un dado como los que se usan
para jugar a la generala hecho de materia que tenga esta densidad pesaría en la Tierra media
tonelada. Podemos expresar el radio en términos del radio del Sol (R= 6.96 × 108 m) para
Ye = 0.5 :
R≈
1
(M/M)1/3R
74
(9.20)
Esta expresión se puede usar para encontrar la relación entre la masa y la luminosidad;
reemplazando (9.20) en la definición de esta última (8.04) hallamos:
1  T 
L≈ 2 E 
74  6000 
2/3
(M/M)1/3L
91
(9.21)
9. Las enanas blancas
Por ejemplo una enana blanca de masa M = 0.4 M y TE = 104 K tiene una luminosidad
3 × 10 −3 L.
Enfriamiento de una enana blanca
Si las teorías presentadas hasta ahora son exactas, el estado de enana blanca es la última fase
de la evolución de las estrellas de poca masa. Posteriormente se produce lentamente la
muerte térmica. Al cesar la contracción gravitacional y agotarse las reservas de combustible
nuclear, la enana blanca, aún muy caliente, empieza a enfriarse como una barra de hierro
recién sacada del fuego. La mayor parte de una enana blanca está compuesta por un sistema
denso de iones clásicos y electrones degenerados rodeado por una fina capa de un gas de
partículas clásicas. El enfriamiento está dado principalmente por la conducción del calor
debida a los electrones en el interior y por la difusión de radiación a través de la capa
externa. Pero el proceso de enfriamiento es muy lento por la gran energía térmica de los
iones en el interior y la gran opacidad del gas que compone la capa envolvente, además la
estrella irradia poca energía al ser tan pequeña su superficie, y cada vez menos a medida que
su temperatura disminuye. Por lo tanto una enana blanca tarda muchísimo tiempo en morir.
Para explicar el enfriamiento consideraremos un modelo simple consistente en una esfera
metálica caliente rodeada por una capa aislante de gas ionizado. Los electrones degenerados
tienen un camino libre medio largo porque gracias a la degeneración sólo pueden pasar a
estados que están desocupados, entonces poseen una alta conductividad térmica.
Considerando esto último supondremos que la temperatura en el interior es casi uniforme. A
la temperatura interior la llamaremos Ti, y supondremos que la energía térmica de los iones,
típicamente 3kTi/2 por ion, se pierde a medida que el calor es transportado a través de la capa
envolvente. Por lo tanto las propiedades de ésta son las que controlan el ritmo de perdida de
energía. Mientras pierde energía la estructura de la enana blanca cambia muy poco a causa
de la degeneración de su material. Comenzaremos entonces analizando la capa envolvente.
Suponemos que el gas ionizado de la capa exteriores es clásico e ideal, por lo tanto su
presión está dada por:
92
9. Las enanas blancas
ρkT
P=
(9.22)
m
Existe un gradiente de presión determinado por el equilibrio hidrostático (2.05) y un
gradiente de temperatura producido por el flujo de calor hacia la superficie, que
supondremos determinado por la difusión de radiación (6.68):
dP
G m(r ) ρ (r ) dT
3 L(r ) ρ (r )κ
σ
=−
y
=−
con a = 4
2
2 3
dr
r
dr
ac16π
r T
c
(9.23)
donde σ es la constante de Boltzmann. Como no se genera energía, L(r) es la luminosidad
superficial, reemplazando m(r) por M y combinando las ecuaciones (9.23):
dP  ac16πG M  T 3
=

dr 
3
Lκ
(9.24)
Supondremos además que la opacidad de la envoltura está dada por la absorción ligado-libre
y que el 90% de la masa es Helio y el 10% elementos pesados. En estas condiciones
podemos usar la ley de Kramers (6.63) para aproximar la opacidad, y la podemos combinar
con (9.22) para escribir:
κ = κ0
ρ
T
7/2
= 4.34 × 1019
κ m  P
=  0  9/2
kg  k  T
ρ m2
T
7/2
(9.25)
Sustituyendo en la ecuación (9.24) obtenemos una ecuación diferencial que relaciona la
presión y la temperatura de la capa envolvente:
dP
T 15 / 2
=C
dT
P
con C =
ac16πG M
3κ 0 m L
(9.26)
Integrando (9.26) y usando la condición de borde P = 0 a T = 0 obtenemos:
P 2 C 17 / 2
= T
4 17
(9.27)
La presión, temperatura y densidad se incrementan hacia el interior de la enana blanca.
Estamos interesados en la densidad de electrones porque se vuelven degenerados cuando nos
acercamos al centro. Como aproximadamente 2/3 de las partículas de la capa externa son
electrones entonces:
ne =
2 P
3 kT
93
(9.28)
9. Las enanas blancas
Esta ecuación combinada con (9.27) obtenemos:
1/ 2
ne =
2  4 
13 / 4
 C  Ti
3k  17 
(9.29)
Cuando la densidad de electrones deja de cumplir la condición (6.10) los electrones dejan de
comportarse como un gas clásico. Esto sucede si ne >> nQ , siendo nQ la concentración
cuántica no relativista definida por (6.07). Entonces podemos obtener una expresión de la
temperatura interior suponiendo que a esta temperatura ne = 10nQ y usando las ecuaciones
(9.29) y (9.28) tenemos que:
 m π 2kT 
10 e 2 

 h
3/ 2
1/ 2
2 4 
=  C  Ti13 / 4
3k  17 
(9.30)
Reemplazando el valor de C y usando al Sol como unidad de luminosidad y masa2 llegamos
a la siguiente expresión:
 L / L 

Ti ≈ 7 ×10 
M
M
/


7
2/7
K
(9.31)
Por ultimo podemos escribir la luminosidad en función de la temperatura:

 Ti
L≈

7
 7 × 10 K 
7/2
M
L
M
(9.32)
La fuente de luminosidad de la enana blanca es la energía térmica del gas clásico de iones
del interior. Por ejemplo, si se trata un gas clásico de Carbono ionizado la energía es
aproximadamente:
E≈
3
3 M
NkTi = 
2
2  12mH

kTi

(9.33)
Esta energía es de 8 × 10 40 J si la masa es 0.4 M a 108 K. Pero en verdad, aunque puede
parecer raro, hay grandes analogías entre las propiedades de la materia del centro de una
enana blanca (hiperdensa) y de la materia ordinaria a bajas temperaturas, próximas al cero
absoluto. Los electrones libres se mueven con velocidad relativista casi sin encontrar
2
Recordemos que L = 3.86 × 10 26 W y M = 1.99 × 10 30 kg
94
9. Las enanas blancas
resistencia, como ocurre a temperaturas próximas al cero absoluto en los fenómenos de
superconductividad. Dentro de este gas de electrones móviles los núcleos (de Helio, Carbono
o hierro) tienden a rechazarse por tener carga positiva, y buscan una posición de relativo
equilibrio colocándose en el vértice de una red cristalina, igual que los átomos de la materia
sólida ordinaria, aunque con la diferencia que en la materia ordinaria basta que la
temperatura aumente un centenar o un millar de grados para que la red cristalina se destruya
y la materia sea licúe o vaporice, mientras que para destruir la red cristalina en el centro de
las enanas blancas se necesitan temperaturas de centenares de millones de grados. Se piensa
que la formación de un núcleo cristalino sólido en la región central de las enanas blancas es
posible, sobre todo si el corazón de la estrella es rico en Carbono o hierro, y que la
temperatura del centro de estas estrellas no es suficiente para que se destruya un núcleo
sólido.
Volviendo al tema que nos interesa, con la luminosidad (9.32) y la reserva de energía de la
estrella (9.33) podemos hallar el ritmo de enfriamiento. Si igualamos la tasa de eliminación
de de la energía interna a la luminosidad queda:
dTi

 Ti
= −α 

7
dt
 7 × 10 K 
7/2
con α ≈
2  12mH

3k  M 
 L ≈ 6K por año

(9.34)
Esta simple ecuación diferencial se puede integrar para hallar la expresión de la temperatura
interna en función del tiempo. Las condiciones iniciales están determinadas por las
características del proceso de formación de la enana blanca. Por ejemplo si se forma después
del ciclo de combustión de Helio su temperatura inicial es de unos 108K y si M = 0.4M resulta L = L . En la Figura 9.02 se muestra el descenso de la luminosidad a través del
tiempo, y se puede ver que para que la luminosidad descienda de L a 10 −4 L es necesario
esperar mil millones de años.
95
9. Las enanas blancas
L/L
100
10-3
10-4
101
103
105
107
109
None
Tiempo [años]
Figura 9.02. Se muestra el descenso de la luminosidad de una enana blanca de
Carbono con temperatura inicial de 108 K.
El cálculo anterior es puramente estimativo, pues cálculos más precisos deben tener en
cuenta las propiedades de los iones y la energía perdida por emisión de neutrinos.
Vimos anteriormente que la luminosidad de la estrella depende de la temperatura superficial
como TE4, y como acabamos de ver la luminosidad va decreciendo a un ritmo lento. Esto
implica que la capa exterior de la enana blanca también se enfría con ese ritmo. Si
representamos la evolución de la estrella en el diagrama de H-R vemos que una enana blanca
sigue una trayectoria específica durante su enfriamiento. Claramente al enfriarse se desplaza
hacia la derecha y como su luminosidad disminuye se desplaza hacia abajo. Si observamos
un número grande de enanas blancas esperamos entonces encontrar las estrellas de distintas
edades en sucesivos puntos de la trayectoria predicha por la teoría. El diagrama de H-R para
las enanas blancas catalogadas se muestra en la Figura 9.03 y en efecto muestra la curva
teórica de evolución de una enana blanca. La curva teórica de evolución que pasa por un
punto del diagrama es única y depende de la masa de la estrella por eso podemos estimar la
masa y el estadio de evolución ubicando la estrella en el diagrama.
96
9. Las enanas blancas
Luminosidad [L]
Temperatura superficial
Enanas Blancas
Figura 9.03. Se muestra el diagrama H-R de enanas blancas catalogadas. En el
mismo podemos observar la evolución de las enanas blancas, que se desplazan de
izquierda a derecha en el diagrama a medida que pasa el tiempo. Las estrellas no
siguen todas la misma trayectoria porque tienen distintas masas.
Para terminar de comprender el diagrama recordemos que para que la temperatura
superficial, que al principio es de unos treinta mil grados, descienda hasta los siete mil tienen
que pasar unos tres mil millones de años; para pasar de siete mil a cuatro mil grados una
enana blanca necesita cinco mil millones de años. Por otra parte, según las teorías más
acreditadas, la edad del Universo no es superior a veinte mil millones de años, y por lo tanto
probablemente ninguna enana blanca ha alcanzado la muerte térmica. Otra cuestión que se
presta a confusión es la siguiente: una estrella del tipo que consideramos es enana porque
contiene la masa un Sol en un volumen como el de la Tierra, aunque podría no ser blanca. En
efecto, a medida que la estrella se enfría su color cambia: con siete mil grados el color es
amarillento, con cuatro mil es naranja y de tres mil hacia abajo es roja. Por tanto se podría
dar el caso de una enana blanca roja. Al decir enana blanca no nos referimos al color de la
estrella colapsada: es un sinónimo de estrella degenerada, aunque es cierto que la mayoría de
las que conocemos son de color blanco.
Dos estrellas de idéntica masa evolucionan más o menos paralelamente. Pero una estrella de
masa superior gasta más rápidamente su combustible nuclear, y se convierte antes en una
gigante roja e inicia primero el descenso final hacia el estadio de enana blanca. Algunas de
97
9. Las enanas blancas
las enanas blancas, como la compañera de Sirio, forman parte de un sistema estelar binario
cuyo otro elemento es una estrella normal. La enana puede orbitar muy cerca de la estrella
normal y extraer gas de ella. El gas, principalmente hidrógeno, cae sobre la enana y se
acumula, comprimido a presiones y temperaturas cada vez mayores por la intensa gravedad
de la enana blanca, hasta que la atmósfera robada a la gigante roja sufre reacciones
termonucleares y la enana experimenta una breve erupción que la hace brillar. En efecto al
fundirse el hidrógeno en Helio, explota sobre la superficie de la enana como millones de
bombas de hidrógeno. Una binaria de este tipo se llama nova. Se han observado cientos de
explosiones de tipo nova de este género, que aportan una confirmación suplementaria de las
extrañas propiedades de las enanas blancas. Para observar una enana blanca vieja tendríamos
que buscarla en los cúmulos globulares, donde debería haber cientos de miles, al menos en
teoría. Pero por ahora no las podemos observar por la enorme distancia de dichos cúmulos y
la débil luminosidad de las enanas blancas. Por ahora debemos limitarnos a estudiar las
enanas blancas más cercanas.
98
10. Otros posibles finales
10. OTROS POSIBLES FINALES
En el Capítulo anterior vimos que una enana blanca se mantiene en equilibrio si su masa es
menor que la masa de Chandrasekhar. Una estrella que tiene una masa once veces superior a
la del Sol durante su permanencia en la secuencia principal alcanza, en su etapa de gigante
roja, una masa de 6M, y su núcleo post-nebulosa planetaria es de 1,44 M. Después de que
la estrella ha agotado su combustible nuclear, ha generado un masivo núcleo de hierro, y
pierde el equilibrio de sustentación frente a su propia gravedad, y se desploma en una
explosión de Supernova. Las explosiones de supernovas no son fenómenos frecuentes y,
normalmente, son detectados por medio de telescopios, aunque algunas de ellas se han
observado a simple vista1. Lo que queda después de la explosión es un núcleo de neutrones
calientes sujetos entre sí por las fuerzas nucleares, que forman un único núcleo de gran masa
con un peso atómico de 1056, y de unos treinta kilómetros de diámetro. Allá por 1933, el
físico Lev Landau e independientemente los astrofísicos Fritz Zwicky y Walter Baade,
postularon teóricamente la existencia de objetos de este tipo. Landau mostró que estrellas
con una masa superior a 1,44 M (límite de Chandrasekhar) pueden balancear la fuerza de
gravedad al hacer que los neutrones se compacten apilándose entre sí. Landau dedujo que
estas estrellas de neutrones, a pesar de ser más masivas que el Sol, deberían ser muy
pequeñas. En 1939, Robert Oppenheimer2 y George Volkoff estimaron teóricamente la masa
mínima y máxima de las estrellas de neutrones. Aunque el valor preciso es todavía incierto
no es probable que exceda las tres masas solares con un diámetro de hasta 20 kilómetros.
La estructura de una estrella de neutrones se puede estudiar del mismo modo que la de una
enana blanca, esto es lo que haremos en este Capítulo.
1
Toktagu relata: “El día chi-chbou del quinto mes del primer año del reinado de Chi-Ho (4 de julio de 1054),
apareció en el sudeste de Thien-K'uan una estrella que medía varios centímetros. Al cabo de un año se
desvaneció”. Otras famosas supernovas en nuestra galaxia han sido las descubiertas por Tycho Brahe en 1572,
por Johannes Kepler en 1604.
2
El director del proyecto que desarrollo la primera bomba atómica.
99
10. Otros posibles finales
Colapso del núcleo estelar
Se espera que una estrella con masa mayor que 11 M pase por todas las etapas de fusión
nuclear. La combustión del silicio se da a los 3 × 10 9 K y deja la estrella con un núcleo de
hierro rodeado de capas esféricas concéntricas de Silicio, Oxígeno, Neón, Carbono, Helio e
hidrógeno. Como no se puede liberar energía por fusión de Fe el núcleo se contrae.
Inicialmente esta contracción puede ser controlada por la presión del gas denso de electrones
degenerados en el núcleo, pero la fusión del silicio en la capa que rodea al núcleo deposita
más hierro sobre éste lo que causa que los electrones se vayan volviendo más relativistas.
Cuando la masa del núcleo se acerca a M CH ≈ 1.4 M los electrones se vuelven
ultrarelativistas y ya no pueden soportar el núcleo. Al contraerse una estrella sabemos que
convierte su energía gravitatoria en energía interna. Si ésto lleva a la activación de la fusión
nuclear exotérmica la energía cinética interna crece, la presión aumenta y se opone a la
contracción. Por otro lado si se activan procesos de absorción la energía cinética es
absorbida produciendo que la capacidad de la presión para frenar la contracción disminuya y
entonces la estrella continúa el colapso sin oposición. Existen dos procesos de absorción que
pueden producir este efecto: la fotodesintegración de los núcleos atómicos y la captura de
electrones vía decaimiento beta inverso, y son tan efectivos que podemos describir el colapso
como una caída libre (Capítulo 2) y usar (2.07) para estimar el tiempo del mismo que resulta
ser t CL ≈ 1× 10 −3 s.
Fotodesintegración de núcleos
Dijimos que al contraerse el núcleo se eleva la temperatura causando que los fotones puedan
ganar energía suficiente como para fotodesintegrar los núcleos de hierro mediante la
reacción:
γ + 56 Fe ⇔ 13 4 He + 4n
(10.01)
Esta reacción es endotérmica y la energía absorbida es:
Q = (13m4 + 4m1 − m56 )c 2 ≈ 124.4 MeV
100
(10.02)
10. Otros posibles finales
Entonces un kg de hierro puede absorber 2 × 1014 J , energía equivalente a 50 kilotones de
TNT. En el equilibrio hidrostático podemos escribir la siguiente relación entre los
potenciales químicos:
13µ 4 + 4 µ1 = µ 56
(10.03)
Usando (6.08) y (6.09) en (10.03) podemos encontrar la relación entre las concentraciones:
(n4 )13 (n1 )4 = (g 4 )13 (g1 )4 (nQ 4 )13 (nQ1 )4 e − kTQ
n56
g 56
nQ 56
(10.04)
Como el spin del neutrón es ½, g1 = 2. Para los núcleos de hierro y Helio podemos suponer
g4 = g56 = 1. Podemos ver entonces que si la densidad y la temperatura alcanzan los valores
ρ = 1012 Kg/m 3 y T = 1010 K entonces ¾ de los núcleos de hierro están disociados.
A temperaturas superiores se puede producir la reacción:
γ + 4 He ⇔ 2 p + 2n
(10.05)
que libera Q = 38.3 MeV. Si inicialmente tenemos un núcleo de hierro con una masa
comparable a MCH entonces se absorben por medio de la reacción (1.01) 4 × 10 44 J y otros
10 45 J por medio de la (10.05), de modo que la energía total que puede ser absorbida es
comparable con la emitida por el Sol durante diez mil millones de años.
Captura de electrones
Un neutrón libre es inestable y tiene una vida media de 10.25 minutos antes de decaer en un
protón, un electrón y un neutrino mediante el decaimiento beta:
n → p + e − +ν e
(10.06)
Las energías del neutrino y el electrón suman 1.3 MeV, entonces sólo se producen electrones
con energía de hasta 1.3 MeV. El principio de exclusión nos dice que si los electrones
degenerados ocupan todos los niveles de energía menores o igual a este valor los neutrones
no pueden decaer. Por el contrario si la densidad es suficiente se produce el proceso inverso,
llamado decaimiento beta inverso:
e − + p → n +ν e
101
(10.07)
10. Otros posibles finales
Este proceso se puede dar aún si los protones están ligados formando un núcleo y produce
núcleos con más neutrones. Consideremos por ejemplo la reacción e − + 56 Fe→ 56 Mn + ν e ; el
56
Mn no tiene una vida media muy larga, pero antes de decaer puede capturar otro electrón
para formar
56
Cr , y este último puede capturar otro electrón. El proceso de captura de
electrones se vuelve muy rápido cuando la densidad supera 1014 kg/m 3 , y la consecuencia de
esto es que los neutrinos se llevan la energía de los electrones degenerados atravesando las
capas de la estrella hacia el espacio exterior. Por consiguiente la presión generada por los
electrones desaparece y la estrella se precipita sobre sí misma, contrayéndose rápidamente al
tiempo que ocurre una explosión de neutrinos. La energía perdida por este proceso es
aproximadamente 1.6 ×10 45 J .
Fuerzas nucleares
Uno de estos dos procesos (la fotodesintegración y/o la captura de electrones) causa que la
estrella colapse hasta alcanzar una densidad comparable con la densidad nuclear, entonces
comienzan a actuar las fuerzas nucleares, las cuales podrían oponerse a la gravedad y detener
el colapso. Podemos estimar la densidad de un núcleo estelar en este estado en función del
número de nucleones y del radio efectivo del núcleo del hidrógeno r0 = 1.2 × 10 −15 m.
Sabiendo que el radio R de un núcleo atómico que contiene A nucleones es R = r0 A1 / 3
podemos calcular la densidad:
ρ NUC =
3 AmN
= 2.3 × 1017 Kg/m 3
3
4πR
(10.08)
Se estima que el colapso se detiene cuando la densidad supera en dos o tres veces ρ NUC . Se
espera que las partículas colapsadas reboten y produzcan una onda de choque a través de la
materia que rodea al núcleo y producir una supernova. Hay dos tipos de supernova, las del
tipo I no presentan líneas de hidrógeno en su espectro, en general se trata de sistemas
binarios en los cuales uno de sus componentes es una enana blanca que extrae materia de su
compañera incrementando su masa hasta alcanzar la masa MCH, entonces se contrae y se
102
10. Otros posibles finales
inicia la fusión del Oxígeno y Carbono en su interior, pero como la materia en su interior
esta degenerada el exceso de energía tiende a bajar la energía de los electrones degenerados
evitando que la temperatura disminuya de manera que el mecanismo de control del ritmo de
fusión no se activa y la estrella se comporta como una enorme bomba de fusión. Tras la
explosión puede o no quedar un núcleo residual. En las supernovas del tipo II se detectan
líneas de hidrógeno y su luminosidad decae en forma irregular.
En general después del colapso queda un núcleo residual en el que la fuerza nuclear soporta
el peso de la estrella formando una estrella de neutrones pero si la masa del núcleo residual
es muy grande no hay fuerza capaz de detener el colapso y se forma un agujero negro.
La energía liberada en el colapso que da lugar a una estrella de neutrones está determinada
principalmente por el cambio de su energía gravitacional. Antes del colapso tiene una masa
parecida a la del Sol en una esfera de 100 Km de radio y luego queda más o menos la misma
masa concentrada en un radio de 10 Km. En una estrella de neutrones de radio R y masa M la
energía liberada se aproxima por:
E LIB
 M 
GM 2

≈
= 3 × 10 46 
R
 M 
2
 10Km 

J
 R 
(10.09)
Esta energía es un orden de magnitud mayor que la energía absorbida en la
fotodesintegración de núcleos atómicos y que la energía perdida por captura de electrones.
Puesto que sobra el 90% de la energía, es razonable suponer que tiene que haber una etapa
intermedia. Se cree que durante esta etapa se crea una estrella de neutrones caliente, grande y
opaca a la radiación, que se va enfriando y contrayendo vía la emisión de neutrinos.
El resultado final es un núcleo rico en neutrones en donde neutrones libres, núcleos y
electrones degenerados se mantienen en equilibrio. Como ya mencionamos los neutrones no
decaen debido al principio de exclusión. En efecto, para que ocurra el decaimiento beta, se
debe cumplir que:
ε F ( n ) > ε F ( p ) + ε F (e − )
(10.10)
El equilibrio en el cero absoluto se caracteriza por:
ε F ( n ) = ε F ( p ) + ε F (e − )
103
(10.11)
10. Otros posibles finales
Cuando la densidad es del orden de ρ NUC podemos considerar a los protones y neutrones
como no relativistas mientras que los electrones, de menor masa, son relativistas.
Suponemos además que la concentración de electrones es igual a la concentración de
protones. Podemos entonces usar la ecuación (10.11) para obtener la relación entre las
concentraciones de equilibrio. Para esto reemplazamos la expresión de la energía relativista
y no relativista según corresponda y obtenemos:
 3n p

 8π
1/ 3
 3n 

 hc +  p 
 8π 

2/3
h 2  3nn 
−

2m p  8π 
2/3
h2
≈ (mn − m p )c 2
2 mn
(10.12)
Por ejemplo si la densidad típica es 2 ×1017 kg m −3 esta relación nos dice que hay un electrón
por cada 200 neutrones.
Tamaño de una estrella de neutrones
Podemos proceder de forma análoga a lo realizado para las enanas blancas, sólo que ahora
supondremos que la estrella de neutrones está soportada por un gas ideal de neutrones
degenerados. Considerando la relación entre las concentraciones podemos aproximar
nn ≈ ρ C / mn , además podemos fijar Ye = 1 y aproximar la masa del átomo de hidrógeno por
la masa del neutrón, y entonces la condición de equilibrio queda:
2
M 
mn

ρ C ≈ 3.1
3
 M *  (h / mn c )
(10.13)
Siguiendo la analogía con las enanas blancas la ecuación (9.19) queda para nuestro caso:
1/ 3
h
M 
R ≈ 0.77 *  α G−1/ 2
mn c
M 
(10.14)
Pero ésta es una aproximación bastante mala ya que en realidad a estas densidades los
efectos relativistas en los neutrones no son despreciables y dado que el campo gravitatorio es
muy intenso hay que usar la Teoría General de la Relatividad. Aún así este análisis permite
realizar algunos cálculos a veces útiles.
No podemos sacar más conclusiones válidas considerando los modelos simplificados
empleados hasta aquí. Por eso nos limitaremos a comentar que considerando los efectos
104
10. Otros posibles finales
relativistas y empleando la Teoría General de la Relatividad se encuentra la masa límite
análoga a la masa de Chandrasekhar. Si la estrella de neutrones tiene una masa menor a este
límite se mantiene como tal, pero más allá de este valor crítico no hay equilibrio posible y no
se puede detener el colapso. La estrella acaba su existencia como un agujero negro cuyo
campo gravitacional es tan grande que ni siquiera la luz puede escapar de él. Los agujeros
negros son actualmente objeto de estudio y su comprensión todavía no es completa.
105
11. Bibliografía
11. BIBLIOGRAFÍA
[1] A. C. Phillips - The Physics of Stars, Second Edition- Wiley (2001)
[2] Julio Gratton - Termodinámica e Introducción a la Mecánica Estadística - FCEyN UBA (2003)
[3] Julio Gratton - Introducción a la Mecánica Cuántica - FCEyN UBA (2003)
[4] Fausto Gratton - Introducción a la Mecánica Estadística - FCEyN UBA (2002)
[5] G. A. Vázquez Rodríguez - Evolución Químico-Espectral de Poblaciones Estelares - IA UNAM (2001)
[6] M. Faraggi y E. Hernández - Cúmulos Globulares (Parte I) - Revista Astronómica 255 - AAAA (1997)
[8] R. Sánchez - El Universo Invisible - Revista Astronómica 252 - AAAA (1995)
[9] Carl Sagan - Cosmos sexta edición - Planeta (1982)
[10] C. Scavino - La conquista del espacio - Nueva Lente (1984)
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