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Geometría
Geometría
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José de Jesús Angel Angel
[email protected]
c 2007-2012
MathCon Contenido
1. Geometría
1.1. Definiciones. . . . . . . . . . .
1.2. Postulados. . . . . . . . . . . .
1.3. Definiciones. . . . . . . . . . .
1.4. Postulado de las rectas paralelas.
1.5. Ejercicio. . . . . . . . . . . . .
1.6. Conversión de grados a radianes.
1.7. Triángulos. . . . . . . . . . . .
1.8. Clasificación de triángulos. . . .
1.9. Teorema de Pitágoras. . . . . . .
1.10. Triángulos semejantes. . . . . .
1.11. Perímetros y áreas. . . . . . . .
1.12. Volúmenes. . . . . . . . . . . .
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Capítulo 1
Geometría
1.1. Definiciones.
1. Un punto: es un lugar geométrico de dimensión cero.
2. Una recta: es un lugar geométrico de dimensión uno.
3. Un plano: es un lugar geométrico de dimensión dos.
1.2. Postulados.
1. Una línea contiene almenos dos puntos.
2. Dados dos puntos existe exactamente una línea recta que los contiene.
3. Dados tres puntos existe exactamente un plano que los contiene.
4. Don planos se intersectan en una línea.
5. Dada una recta existe otra que se llama paralela y que no intersecta a la primera.
6. Dos rectas perpendiculares se llaman ortogonales.
1.3. Definiciones.
1. Un segmento: dada una línea y dos puntos P, Q sobre la línea, la parte de línea
que inicia en P y termina en Q se llama segmento de línea P Q.
2. Ángulo: dado dos segmentos de dos líneas que se intersectan, están forma un
ángulo.
1.4. Postulado de las rectas paralelas.
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3. Ángulo bisector: dado un ángulo, el segmento de línea que biseca al ángulo en
dos partes iguales se llama bisector.
4. Ángulo recto: el ángulo que se forma por dos rectas perpendiculares se llama
recto y se le asocia la medida de 90.
5. Ángulo agudo: es un ángulo que mide menos de 90.
6. Ángulo obtuso: es un ángulo que mide más de 90 grados, pero menos de 180.
7. Ángulos adyacentes: son dos ángulos que uno le sigue al otro.
8. Ángulos opuestos por el vértice: el punto de intersección de dos rectas se llama
vértice, entonces hay dos ángulos opuestos por un vértice que no son adyacentes.
9. Suma de ángulos, los ángulos se pueden sumar, sumando los grados que miden.
10. Ángulos complementarios: son dos ángulos cuya suma es 90.
11. Ángulos suplementarios : son dos ángulos cuya suma es 180.
1.4. Postulado de las rectas paralelas.
Postulado de las rectas paralelas:
1 2
3 4
5 6
7 8
Los ángulos ∠1, ∠4 son iguales por opuestos por su vértice.
Los ángulos ∠2, ∠3 son iguales por opuestos por su vértice.
Los ángulos ∠5, ∠8 son iguales por opuestos por su vértice.
Los ángulos ∠6, ∠7 son iguales por opuestos por su vértice.
Los ángulos ∠3, ∠6 son iguales por alternos internos.
Los ángulos ∠4, ∠5 son iguales por alternos internos.
Los ángulos ∠1, ∠8 son iguales por alternos externos.
Los ángulos ∠2, ∠7 son iguales por alternos externos.
1.5. Ejercicio.
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1.5. Ejercicio.
1. Encontrar el valor de los otros ángulos.
50°
1.6. Conversión de grados a radianes.
La equivalencia de la medida de grados a un número real se llama radián. Es recomendable hacer los cálculos que relacionen ángulos en radianes por ser más exactos,
y solo escribirla en grados por razones de presentación.
180◦ = π radianes
1.7. Triángulos.
1.8. Clasificación de triángulos.
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Un triángulo es la figura formada por 3 lados, y forman 3 ángulos:
C
A
B
Teorema:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180◦ .
Se sigue de manera inmediata del postulado de las paralelas.
1.8. Clasificación de triángulos.
Triángulo equilatero, tiene tres lados iguales:
C
A
B
1.8. Clasificación de triángulos.
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Triángulo isósceles, tiene dos lados iguales:
C
A
B
Triángulo escaleno, tiene tres lados diferentes:
Triángulo rectángulo: un ángulo de 90◦ .
1.9. Teorema de Pitágoras.
Triángulo obtuso: un ángulo mayor de 90◦ .
Triángulo agudo: un ángulo menor de 90◦ .
1.9. Teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras:
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.
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1.10. Triángulos semejantes.
8
1.10. Triángulos semejantes.
Dos triángulos △ABC, △A′ B ′ C ′ son semejantes si tienen
sus tres ángulos iguales,
∠A = ∠A′ , ∠B = ∠B ′ , ∠C = ∠C ′
o si la razón de los lados es igual
b
c
a
= ′ = ′
′
a
b
c
Criterio AA, si dos tríangulos tienen dos ángulos iguales,
entonces los triángulos son semejantes.
Criterio LAL, si dos tríangulos tienen dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos igual, entonces los triángulos
son semejantes.
Criterio LLL, si dos tríangulos que tienen sus lados
proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.
Teorema de Tales: dado un triángulo A, y se obtiene otro
con una línea paralela a cualquiera de los lados del A, entonces los triángulos son semejantes.
1.11. Perímetros y áreas.
Polígonos:
1. Un triángulo: es un polígono de tres lados.
2. Un cuadrilatero: es un polígono de cuatro lados.
3. Un pentágono: es un polígono de 5 lados.
1.12. Volúmenes.
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4. Un hexagono: es un polígono de 6 lados.
Perímetros y áreas:
1. Cuadrado de lados a: P er = 4a, Area = a2 .
2. Rectángulo de lados a, b: P er = 2a + 2b, Area = ab.
3. Paralelogramo de base a, lado b y altura h, P er = 2a + 2b, Area = ah.
4. Triángulo de lados a, b, c y altura h P er = a + b + c, Area = 1/2bh.
5. Trapezio de bases b2 , b2 lados a, c y altura h P er = a + b1 + c + b2 , Area =
1/2(b1 + b2 )h.
6. Círculo de radio r P er = 2πr, Area = πr 2 .
1.12. Volúmenes.
Volúmenes:
1. Cilindro circular de altura h, V = πr 2 h.
2. Pirámide rectángular de altura h y base B, V = 1/3Bh.
3. Cono circular radio r y altura h, V = 1/3πr 2h.
4. Esfera de radio r, V = 4/3πr 3.