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MATEMÁTICAS III
COLEGIO DE BACHILLERES
COORDINACIÓN DE ADMINISTRACIÓN
ESCOLAR Y DEL SISTEMA ABIERTO
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE,
CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
DE LA ASIGNATURA
MATEMÁTICAS III
VERSIÓN PRELIMINAR
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
1
MATEMÁTICAS III
MATEMÁTICAS III
Coordinador General del Proyecto
Álvaro Álvarez Barragán
Dirección Técnica
Uriel Espinosa Robles
Coordinación:
Luis Antonio López Villanueva
Elaboración:
Daniel González Frías
Javier Tecuapetla Díaz
Revisión de Contenido:
Marlo Ulises Alvarado Hernández
Pedro Arrazola Calva
Ricardo Garnica Juárez
Joel Díaz Guadarrama
José Carlos López Jiménez
Miguel Ángel Marrufo Chan
Sergio Muñoz Martínez
Conrado Octaviano Pacheco Gasca
Juan Pérez Rodríguez
Asesoría Pedagógica:
Obdulia Martínez Villanueva
Diseño Editorial
Rosa Maria Cedillo Aguilar
Julia Mary Soriano Sáenz
Apoyo técnico
Esteban Hernández Salazar
 Copyright en trámite para el Colegio de Bachilleres, México.
Colegio de Bachilleres, México
Rancho Vista Hermosa No. 105
Ex-Hacienda Coapa,
04920, México, D.F.
La presente obra fue editada en el procesador de palabras Word 97.
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transmitirse en forma alguna, ni tampoco por medio alguno, sea este eléctrico, electrónico, químico, mecánico,
óptico, de grabación o de fotocopia, sin la previa autorización escrita por parte del Colegio de Bachilleres,
México.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
2
MATEMÁTICAS III
ÍNDICE
PRESENTACIÓN
4
5
INTRODUCCIÓN
6
I.
OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SUMATIVA
II.
TEMAS FUNDAMENTALES
III.
RETROALIMENTACIÓN Y VERIFICACIÓN DE APRENDIZAJES
8
9
3.1 COMPENDIO FASCÍCULO 1.
CONSTRUCCIÓN, EXPERIMENTACIÓN Y OBSERVACIÓN DE LAS
PROPIEDADES DE LA FIGURA GEOMÉTRICA: UNA VISIÓN ESTÁTICA.
10
3.2 COMPENDIO FASCÍCULO 2.
CONSTRUCCIÓN, EXPERIMENTACIÓN Y OBSERVACIÓN DE LAS
PROPIEDADES DE LA FIGURA GEOMÉTRICA: UNA VISIÓN DINÁMICA.
36
3.3 COMPENDIO FASCÍCULO 3.
ORGANIZACIÓN DEL CONOCIMIENTO: EL MÉTODO AXIOMÁTICO.
78
3.4 COMPENDIO FASCÍCULO 4.
ELEMENTOS DE OTRAS GEOMETRÍAS.
91
IV.
HOJA DE COTEJO DE LA EVALUACIÓN
105
V.
EVALUACIÓN MUESTRA
115
5.1
HOJA DE RESPUESTA
131
5.2
HOJA DE COTEJO DE LA EVALUACIÓN MUESTRA
133
VI.
SIMBOLOGÍA
134
VII. GLOSARIO
135
BIBLIOGRAFÍA
136
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
3
MATEMÁTICAS III
PRESENTACIÓN
El presente Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Consolidación y Retroalimentación ha sido
elaborado tomando en cuenta los diferentes aspectos que caracterizan a los estudiantes del
Sistema de Enseñanza Abierta del Colegio de Bachilleres.
El cuaderno ha sido estructurado de tal forma que facilite la verificación de los aprendizajes
obtenidos a través del estudio de tu compendio fascicular.
Los elementos didácticos que lo estructuran son los siguientes:
•
Objetivos de evaluación sumativa que te informa acerca de lo que se pretende lograr con el
estudio del compendio fascicular.
•
Temas fundamentales donde se mencionan los contenidos que a nivel general se abordan
en el Cuaderno.
•
Retroalimentación y verificación de aprendizajes en el cual encontrarás instrucciones
generales y del compendio fascicular la síntesis de cada tema, ejemplos y evaluación a
contestar.
•
Hoja de cotejo de evaluación en la cual identificarás las respuestas correctas de la
evaluación que respondiste.
•
Evaluación muestra donde se te presentan reactivos semejantes a los que te vas a encontrar
en tu evaluación final de la asignatura.
•
Bibliografía que te apoya en la ampliación del conocimiento independientemente del
compendio fascicular.
Esperando te sirva de apoyo para tu aprendizaje:
¡ TE DESEAMOS SUERTE !
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
4
MATEMÁTICAS III
INTRODUCCIÓN
El Departamento de Evaluación de la CAESA como parte de su actividad y basado en la
concepción de evaluación que se tiene “...como un proceso integral, sistemático, continuo y
flexible, que valora aspectos y elementos... por medio de la aplicación de distintas técnicas,
procedimientos e instrumentos que proporcionan información... que permite tomar decisiones...”1,
ha elaborado el siguiente Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Retroalimentación y
Consolidación.
El Cuaderno tiene el propósito de apoyar al estudiante en su proceso de asesoría que desarrolla
en el Sistema de Enseñanza Abierta, en él se da cuenta de la totalidad de objetivos de evaluación
sumativa de la asignatura a la que está dirigida; (cabe señalar que es un documento para uso del
estudiante y del asesor).
Asimismo tiene como finalidad apoyar el aprendizaje del estudiante, además de prepararlo para la
evaluación sumativa, ya que resolviendo los ejercicios que se presentan, se reafirmarán e
identificarán aquellos avances y/o problemáticas que se tienen de uno o más contenidos de la
asignatura.
La asignatura de Matemáticas III tiene como objetivo general, aplicar el conocimiento matemático
en la profundización de la geometría euclidiana y la trigonometría, facilitando el avance en el
dominio de las funciones trigonométricas y adquiriendo habilidades en el manejo de las
propiedades geométricas que le permitan generar en el estudiante una metodología de estudio
propio y útil en el desempeño académico general.
Matemáticas III integra junto con Matemáticas I, II y IV la materia de Matemáticas que a su vez
tiene relación con Cálculo Diferencial e Integral I y II, Estadística Descriptiva e Inferencial I y II, así
como el laboratorio de Informática I y II.
Matemáticas III recibe servicio de la asignatura de Taller de Lectura y Redacción y Métodos de
Investigación en el desarrollo de habilidades para el manejo y comprensión del lenguaje, así como
el manejo de la lógica y el estudio del método científico. A su vez da servicio a las asignaturas del
Área de Ciencias Naturales (Física, Química y Biología) en el apoyo de desarrollo de
procedimientos, habilidades de análisis, observaciones y abstracción del conocimiento.
Con base a lo anterior, éste Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Consolidación y
Retroalimentación apoyará:
Al asesor.
•
Para emplear las propuestas del Cuaderno como un apoyo más para el proceso
formativo de los estudiantes , conjuntamente con los compendios fasciculares y
materiales que haya desarrollado como parte de su práctica educativa.
¡ ESPERAMOS LE SEA DE UTILIDAD !
Al estudiante.
•
Para utilizarlo como un apoyo en su estudio independiente, procesos formativo y su
evaluación sumativa.
¡ ÉXITO !
1
COLEGIO DE BACHILLERES , La Evaluación del Aprendizaje en el SEA . Documento Normativo CAESA , 1988,
pág. 12.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
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MATEMÁTICAS III
I. OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SUMATIVA
COMPENDIO FASCÍCULO 1
1.1 Operará las propiedades de congruencia en segmentos y ángulos y semejanza sólo en
segmentos de recta.
1.2 Convertirá la medida de un ángulo del sistema circular al sistema sexagesimal y viceversa.
1.3 Relacionará y determinará el valor de los ángulos que se forman al trazar dos paralelas
cortadas por una transversal llamada secante.
1.4 Clasificará a los polígonos de acuerdo a sus características principales.
1.5 Aplicará los postulados de congruencia en la resolución de diversos ejercicios sobre triángulos.
1.6 Determinará el valor de uno de los lados de un triángulo, aplicando los teoremas de
semejanza.
1.7 Aplicará el teorema de Pitágoras en la resolución de diversos ejercicios y problemas sobre
triángulos rectángulos.
1.8 Reconocerá y obtendrá las rectas y puntos notables de los triángulos.
1.9 Obtendrá los lados y ángulos de diversos polígonos regulares.
1.10 Determinará el número de lados, el radio, el apotema, el perímetro y el área de diversos
polígonos regulares.
1.11 Relacionará y determinará los elementos de la circunferencia.
1.12 Determinará el perímetro y área de la circunferencia y de figuras combinadas donde aparezca
dicha circunferencia.
COMPENDIO FASCÍCULO 2
2.1 Obtendrá las funciones trigonométricas y sus características gráficas, a partir de la relación
existente entre los elementos del triángulo rectángulo.
2.2 Obtendrá el valor de los elementos del triángulo rectángulo, mediante la aplicación de las
funciones trigonométricas.
2.3 Determinará la solución de problemas, mediante la aplicación de las funciones trigonométricas.
2.4 Obtendrá los elementos del triángulo rectángulo, mediante la aplicación de la ley de los senos
y de los cosenos.
2.5 Determinará la solución de problemas, mediante la aplicación de la ley de los senos y de los
cosenos.
2.6 Representará simbólicamente la dirección, sentido, magnitud, proyección y punto de aplicación
de los vectores.
2.7 Determinará la solución de problemas sobre vectores por distintos métodos (del triángulo, del
paralelogramo y del polígono).
2.8 Aplicará los movimientos de traslación, rotación y reflexión en figuras geométricas libres y del
plano cartesiano.
2.9 Obtendrá los tipos de simetría que tienen las figuras geométricas libres y del plano cartesiano.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
6
MATEMÁTICAS III
COMPENDIO FASCÍCULO 3
3.1 Conocerá el proceso de construcción de la geometría por medio de la importancia del
razonamiento inductivo (de lo particular a lo general).
3.2 Conocerá el proceso de construcción normal de la geometría por medio de la importancia del
razonamiento deductivo (de lo general a lo particular).
3.3 Conocerá los elementos que estructuran la demostración geométrica (directa e indirecta).
COMPENDIO FASCÍCULO 4
4.1 Conocerá las condiciones sobre el quinto postulado de Euclides y las geometrías no
euclidianas.
4.2 Determinará la dimensión fractal de distintas figuras y generará fractales por medio de
métodos recursivos y de iteración (polvos de Cantor, triángulos de Sierpinski, curva de Koch,
triángulo de Pascal y autómatas celulares).
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
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MATEMÁTICAS III
II. TEMAS FUNDAMENTALES
COMPENDIO FASCÍCULO 1
I.
ESTUDIO DE LÍNEAS Y ÁNGULOS.
II.
ESTUDIO DEL PRIMER POLÍGONO: EL TRIÁNGULO.
III.
ESTUDIO DE LOS POLÍGONOS Y EL CÍRCULO.
COMPENDIO FASCÍCULO 2
IV.
LA FUNCIÓN EN EL
TRIGONOMÉTRICAS.
ESTUDIO
DEL
TRIÁNGULO :
FUNCIONES
V.
LOS VECTORES : UN PUENTE CON EL ÁLGEBRA.
VI.
EL MOVIMIENTO DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS: TRANSFORMACIONES.
COMPENDIO FASCÍCULO 3
VII.
TIPOS DE RAZONAMIENTO : DEDUCTIVO E INDUCTIVO.
COMPENDIO FASCÍCULO 4
VIII.
GEOMETRÍAS DIFERENTES : SUS FUNDAMENTOS.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
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MATEMÁTICAS III
III. RETROALIMENTACIÓN Y VERIFICACIÓN DE
APRENDIZAJES
A continuación se presenta el nombre de cada tema con sus características generales y uno o más
ejemplos dependiendo de su amplitud. Dentro de cada ejemplo se especifican los pasos,
propiedades y leyes que se aplican en el desarrollo para llegar a la solución correcta. Al trabajar
con los conceptos de la geometría euclidiana aplicados a situaciones correspondientes con la
realidad, implican el conocimiento de procesos operativos de la aritmética y el álgebra adquiridos
en las asignaturas anteriores y que el estudiante deberá dominar y visualizar para las aplicaciones
prácticas de las asignaturas siguientes.
Posteriormente, en el apartado de evaluación se presenta una serie de ejercicios correspondientes
a los temas especificados; es importante señalar que para resolver dichos ejercicios, debiste haber
adquirido los conocimientos, habilidades y actitudes necesarios de los contenidos temáticos de tu
compendio fascicular; si no fue así te pedimos que consultes dicho compendio y a tu asesor de
contenido. En este mismo apartado podrás verificar tus respuestas y resultados que te
proporcionamos en la hoja de cotejo.
Por último, debes contestar la evaluación muestra eligiendo la respuesta correcta de cada reactivo,
dicha evaluación es semejante a la evaluación global de la asignatura. Al final podrás verificar tus
resultados en la hoja de respuestas.
Las fórmulas que se aplican a lo largo del contenido, únicamente se mencionan y se aplican, ya
que sus deducciones las puedes consultar en tu compendio fascicular.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
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MATEMÁTICAS III
3.1 COMPENDIO FASCÍCULO 1 CONSTRUCCIÓN,
EXPERIMENTACIÓN Y OBSERVACIÓN DE LAS
PROPIEDADES DE LA FIGURA GEOMÉTRICA: Una visión
estática.
En el compendio fascículo 1 conociste los principios de semejanza y congruencia, el estudio de
los ángulos y los polígonos empezando con el triángulo, sus postulados de semejanza y
congruencia, la aplicación del teorema de Pitágoras, así como sus puntos y rectas notables;
finalmente realizaste el estudio de los demás polígonos regulares y el círculo, obteniendo su
perímetro y área.
PRINCIPIOS DE SEMEJANZA (∼) Y CONGRUENCIA (≅).
Dos figuras son congruentes cuando son exactamente iguales.
Dos figuras son semejantes cuando son parecidas y están a escala una con respecto de la otra.
EJEMPLO
* Indicar si los dos segmentos de recta son congruentes.
A
5 cm
B
C
0.05m
D
- Como ambos segmentos tienen la misma longitud (5cm = 0.05m), entonces son iguales; por lo
tanto son congruentes, es decir: AB ≅ CD .
* Indicar si las dos figuras son semejantes o congruentes.
C
D
1 cm
G
H
F
E
4 cm
B
A
2 cm
8 cm
- Al comparar las medidas de los segmentos de ambas figuras, se observa que el segmento mayor
es cuatro veces más grande que el segmento menor tanto en su largo como en su ancho, por lo
tanto ambas figuras son semejantes, es decir: ABCD ~ EFGH
ESTUDIO DE LOS ÁNGULOS
Un ángulo es positivo o negativo según la dirección de su abertura.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
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MATEMÁTICAS III
Ángulo Positivo
Ángulo Negativo
B
B
α
α
0
0
A
La simbolización de un ángulo, es
AOB ,
A
0 ó
α
La medida de un ángulo se representa en grados, minutos y segundos en el sistema sexagesimal y
en radianes en el sistema circular; La medida de dicho ángulo en ambos sistemas, es equivalente.
Conversión de Medidas de Ángulos del Sistema Sexagesimal al Circular y Viceversa.
S
R
;
=
180° π
donde “S” representa los grados y “R” los radianes. De la fórmula se establece que πrad = 180º .
Para convertir la medida de un ángulo de un sistema a otro, se emplea la fórmula,
EJEMPLO
* Convertir 120º a radianes.
- Como S = 120º, entonces se sustituye en la fórmula de conversión y se despeja “R” para obtener
su valor.
120° R
=
180° π
R=
120
π
180
∴ R=
2
πrad
3
ó R = 2.09rad .
Del resultado anterior, se observa que el valor de “R” se puede representar en términos de π o en
decimales de radianes.
* Convertir 286º37’12” a radianes.
- Los minutos y segundos se convierten a decimales de grados.
 1' 
- Como 60’’ = 1’ ; entonces los 12” se convierten a minutos: 12" 
 = 0.2'
 60" 
- Los minutos obtenidos se suman a los 37’ originales: 37’ + 0.2’ = 37.2’
 1° 
- Como 60’ = 1º ; entonces los 37.2’ se convierten a grados: 37.2' 
 = 0.62°
 60' 
- Los grados obtenidos se suman a los 286º originales: 286º + 0.62º = 282.62º
- Una vez que se tiene la medida específicamente en grados, entonces se sustituye en la fórmula
de conversión y se obtienen los radianes despejando “R”.
286.62° R
=
180°
π
∴
R=
286.62
π
180
R = 1.5923π rad.
ó
R = 5.002 rad.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
11
MATEMÁTICAS III
* Convertir
4
π rad a grados.
3
4
π rad ; entonces se sustituye en la fórmula de conversión y se despeja “S” para
3
4
π rad
S
4
S = 180° 
S = 240°
= 3
∴
obtener su valor en grados.
180°
π rad
3
- Como R =
* Convertir 0.75 rad a grados con minutos y segundos.
- Como R = 0.75 rad; entonces se sustituye en la fórmula de conversión y se despeja “S” para
0.75(180°)
S
0.75 rad
S=
=
∴
obtener su valor en grados.
S = 42.97°
180°
π rad
π
 60' 
- La parte decimal de grados se convierten a minutos, mediante la expresión : 0.97°
 = 58.2'
 1° 
 60" 
- La parte decimal de los minutos se convierten a segundos mediante la expresión: 0.2' 
 = 12"
 1' 
- Finalmente se representa el valor de “S” con grados, minutos y segundos: S = 42°58’12”
Clasificación de los Ángulos en el Sistema Sexagesimal.
AGUDO
Mayor de 0° y menor de 90°.
RECTO
Igual a 90°.
OBTUSO
Mayor de 90° y menor de 180°.
LLANO O COLINEAL
Igual a 180°
ENTRANTE O CÓNCAVO
Mayor de 180° y menor de 360°.
PERIGONAL
Igual a 360° (1 vuelta completa).
EJEMPLO
* Indicar el nombre de cada uno de los siguientes ángulos de acuerdo a su medida y establecer
cuál de ellos son congruentes entre sí.
A
B
C
D
E
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
12
MATEMÁTICAS III
- De la abertura de los ángulos, se establece que:
El A y el D son obtusos, el B y el E son agudos y el C es recto.
Como el B y el E tienen la misma medida, entonces ambos son congruentes
B≅
E
Pares de Ángulos.
Se forman cuando dos ángulos son adyacentes (comparten un lado y un vértice) y se clasifican de
la siguiente forma:
COMPLEMENTARIOS SUPLEMENTARIOS
CONJUGADOS
OP. POR EL VÉRTICE
Dos ángulos, cuya Dos ángulos, cuya Dos ángulos, cuya Dos ángulos opuestos
por el vértice, son
suma es igual a 360°
suma es igual a 180°
suma es igual a 90°
congruentes.
B
0
C
A
∠ A0D ≅ ∠ B0C
∠ A0C ≅ ∠ B0D
D
A
C
D
EJEMPLO
* Encontrar el valor de “x” y la medida de los ángulos que aparecen en la siguiente figura.
D
C
6x + 10
B
2x
A
- Se sustituye cada ángulo por la expresión de su medida:
ABC = 2x y
CBD = 6x + 10
- Como los ángulos son complementarios, entonces se establece la siguiente igualdad.
ABC +
CBD = 90°
2x + (6x + 10) = 90
- Se resuelve la ecuación (igualdad) anterior y se obtiene el valor de “x”.
80
x = 10
8
- Se sustituye el valor de “x” en la expresión de la medida de cada ángulo y se obtiene el valor en
grados.
2x + 6x + 10 = 90
ABC = 2x
CBD = 6x + 10
8x = 90 − 10
∴
ABC = 2(10)
∴
x=
ABC = 20°
CBD = 6(10) + 10 ∴
CBD = 70
Del ejemplo se establece que dos ángulos complementarios son equivalentes a un ángulo recto.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
13
MATEMÁTICAS III
* Encontrar el valor de “x” y la medida de los ángulos que aparecen en la siguiente figura.
D
8x + 60
2x
C
B
A
- Se sustituye cada ángulo por la expresión de su medida:
ABD = 2x y
DBC = 8x + 60
- Como los ángulos son suplementarios, entonces se establece la siguiente igualdad.
ABD +
DBC = 180°
2x + (8x + 60) = 90
- Se resuelve la ecuación (igualdad) anterior y se obtiene el valor de “x”.
2x + 8x + 60 = 180
10x = 180 − 60
x=
∴
120
x = 12
10
- Se sustituye el valor de “x” en la expresión de la medida de cada ángulo y se obtiene el valor en
grados.
ABD = 2x
ABD = 2(12)
∴
ABD = 24°
DBC = 8(12) + 60 ∴
DBC = 8x + 60
DBC = 156
Del ejemplo se establece que dos ángulos suplementarios son equivalentes a un ángulo llano o
colineal.
Formación de Ángulos en Dos Rectas Cortadas por una Transversal.
Al trazar dos paralelas cortadas por una transversal, se obtienen los siguientes ángulos.
2
3
6 5
7 8
1
4
1≅
2≅
3≅
4≅
3≅
4≅
1≅
2≅
1≅
2≅
5≅
6≅
5
6
7
8
5
6
7
8
3
4
7
8
Ángulos
Correspondientes.
Ángulos
Alternos Internos.
Ángulos
Alternos Externos.
Ángulos
Opuestos por el Vértice.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
14
MATEMÁTICAS III
EJEMPLO
* Encontrar el valor de los ángulos indicados, justificando su relación.
a = 145° b
c d
e
g
-
f
h
Por ser ángulos opuestos por el vértice: a ≅ d ∴
d = 145°
Por ser ángulos alternos internos: d ≅ e ∴
e = 145°
Por ser ángulos colaterales internos: c +
e = 180° ∴ c = 180° − 145°
Por ser ángulos alternos internos: c ≅ f ∴ f = 35°
Por ser ángulos correspondientes: f ≅ b ∴
b = 35°
Por ser ángulos alternos externos: b ≅ g ∴
g = 35°
Por ser ángulos suplementarios: g + h = 180° ∴
h = 180° − 35°
c = 35°
h = 145°
Así se obtienen todos los ángulos formados por las dos rectas paralelas cortadas por una secante.
* Encontrar el valor de “x” y “y” en la siguiente figura de ángulos.
2x
3x − 20
y + 10
- Por ser ángulos alternos internos, se establece que: 3x − 20 = 2x ∴ x = 20
- Por ser ángulos correspondientes, se establece que: y + 10 = 2x
∴ y = 2x − 10
Sustituyendo el valor “x” en la igualdad, se obtiene el valor de “y” : y = 2(20) − 10
y = 30
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS.
Los polígonos son figuras planas cerradas que se clasifican en:
Regulares (todos su lados y ángulos son iguales) e irregulares (tienen lados y ángulos desiguales).
Su número de lados, triángulo(3 lados), cuadrilátero(4 lados), pentágono(5 lados), etc.
Cóncavos (aquellos que al prolongar uno de sus lados, la figura queda dividida) y convexos
(aquellos que al prolongar uno de sus lados, la figura no queda dividida).
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
15
MATEMÁTICAS III
EJEMPLO
* Indicar la característica de cada figura de acuerdo al concepto y clasificación de los polígonos.
I
II
III
IV
V
- La figura I es un polígono pentagonal (cinco lados), irregular y cóncavo.
- La figura II es un polígono de cuatro lados (cuadrilátero), regular y convexo.
- La figura III no es polígono, ya que está abierta.
- La figura IV es un polígono hexagonal (seis lados), regular y convexo.
- La figura V es un polígono de siete lados (heptágono), irregular y cóncavo.
EL TRIÁNGULO.
Polígono con menor número de lados que se clasifica con respecto a sus lados en equilátero (3
lados iguales), isósceles (2 lados iguales y 1 desigual) y escaleno (3 lados desiguales) y con
respecto a sus ángulos en triángulo rectángulo (1 ángulo recto), acutángulo (3 ángulos agudos) y
obtusángulo (1 ángulo obtuso).
En todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°.
EJEMPLO
* Establecer el nombre de cada triángulo, de acuerdo a las características de sus lados.
I
II
36
28
III
25
48
34
42
34
25
25
- La figura I es un triángulo escaleno por que tiene sus tres lados diferentes.
- La figura II es un triángulo isósceles por que tiene dos lados iguales.
- La figura III es un triángulo equilátero por que tiene sus tres lados iguales.
* Obtener el valor de los ángulos que estan indicados con letras en la siguiente figura.
C
85°
z
E
v
A
30°
x
y
40°
B
D
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
16
MATEMÁTICAS III
- Del triángulo ∆DBC se establece que
DBC +
BCD + CDB = 180°
Sustituyendo valores y despejando “y”, se obtiene su valor.
y + 30° + 40° = 180°
y = 180° − 40° − 30°
∴
y = 110°
- Como el ángulo “B” está formado por dos ángulos suplementarios, entonces se establece que:
y + x = 180°
Sustituyendo valores y despejando “x”, se obtiene su valor.
x = 180° − 110°
110° + x = 180°
∴
x = 70°
- Del triángulo ∆ABC se establece que
BAC + ACB +
CBA = 180°
Sustituyendo valores y despejando “v”, se obtiene su valor.
v = 180° − 85° − 70° ∴
v + 85° + 70° = 180°
v = 25°
- Como el ángulo “A” está formado por dos ángulos suplementarios, entonces se establece que:
z + v = 180°
Sustituyendo valores y despejando “z”, se obtiene su valor.
z = 180° − 25°
z + 25° = 180°
∴
z = 155°
TRIANGULOS CONGRUENTES.
Dos triángulos son congruentes en todo sus puntos por superposición directa o simétrica y se rigen
por tres postulados: lado−ángulo–lado (LAL) , ángulo–lado–ángulo (ALA) y lado–lado–lado (LLL).
EJEMPLO
* Identificar el postulado de congruencia y obtener los valores de “x” y “y” en la siguiente figura de
triángulos congruentes, donde AB // DC .
D
C
2x
I
60°
3y
II
24°
A
B
Del análisis de la figura, se establece que:
- El
CAD es congruente con el
ACB por ser alternos internos. Por lo tanto,
CAD ≅
ACB
- El
DCA es congruente con el
BAC por ser alternos internos. Por lo tanto,
DCA ≅
BAC
- El lado AC del triángulo I es congruente con el lado AC del triángulo II por ser el mismo lado
para ambos. AC ≅ AC
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
17
MATEMÁTICAS III
De las congruencias establecidas, se llega a la conclusión que el postulado aplicado, es:
Angulo–lado–ángulo (A L A).
De las congruencias establecidas, se obtienen las siguientes igualdades que al resolverlas, se
determina el valor de “x” y “y”.
CAD ≅
ACB
60° = 3y ∴ y = 20
DCA ≅
BAC
2x = 24° ∴ x = 12
- Se sustituye el valor de “x“ y “y” en las expresiones de la medida de los ángulos y se obtienen su
valores correspondientes.
ACB = 3y = 3(20) = 60° ∴
ACB = 60°
DCA = 2x = 2(12) = 24° ∴
DCA = 24°
TRIANGULOS SEMEJANTES.
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales, éstos se
rigen por tres postulados: ángulo–ángulo–ángulo (AAA), lado–ángulo–lado (LAL) y lado–lado–lado
(LLL).
EJEMPLO
* Identificar el postulado de semejanza y obtener el valor de “x” en el siguiente par de triángulos
semejantes, donde AB // DC .
2.5
A
B
l
x
C
3
ll
D
E
1.5
Del análisis de la figura, se establece que:
DCE por ser opuestos por el vértice. ∴
- El
ACB es congruente con el
- El
A es congruente con el
E por ser alternos internos. ∴
A≅
E
- El
B es congruente con el
D por ser alternos internos. ∴
B≅
D
ACB ≅
De las congruencias establecidas, se llega a la conclusión que el postulado aplicado, es:
Ángulo–ángulo–ángulo (A A A).
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
18
DCE
MATEMÁTICAS III
Por el postulado de semejanza se establece que los lados de los triángulos son proporcionales, por
CD DE
=
lo tanto, la proporción, es:
BC
AB
3 1.5
- Al sustituir la medida de los lados en la proporción, se obtiene la ecuación: =
x 2. 5
- Resolviendo la ecuación, se obtiene el valor de “ x “.
3 1.5
=
x 2. 5
1.5x = 3(2.5)
x=
3(2.5)
1 .5
∴
x=5
Del valor de “x” se establece que lado BC = 5
* Obtener el valor de “x” y la longitud de los segmentos BD y CE en el siguiente par de
triángulos semejantes.
A
48
56
B
x−1
C
x+2
D
E
Del análisis de la figura, se establece la proporción:
AC
AB
=
BD CE
- Al sustituir la medida de los lados en la proporción, se obtiene la ecuación:
48
56
=
x −1 x + 2
- Resolviendo la ecuación, se obtiene el valor de “ x “.
48
56
=
x −1 x + 2
48(x + 2) = 56(x − 1)
48x + 96 = 56x − 56
8x = 152
∴ x = 19
- Se sustituye el valor de “x” en los segmentos BD y CE para obtener sus valores
correspondientes.
BD = x − 1 = 19 − 1
∴
BD = 18
;
CE = x + 2 = 19 + 2
∴ CE = 21
* Resolver el siguiente problema por medio de la semejanza de triángulos.
Si una persona que mide 1.7 m de altura, proyecta una sombra de 2.7 m. Entonces; ¿Qué
sombra proyectará un poste que mide 6.6 m de altura?
- Se realiza un esquema del problema para establecer la semejanza de los triángulos.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
19
MATEMÁTICAS III
POSTE 6.6 m
HOMBRE 1.7 m
X
2.7 m
- De la figura, se establece la proporción
x
6.6
=
2.7 1.7
- De la proporción se despeja a “x” para obtener su valor.
x=
2.7(6.6)
1 .7
∴ x = 10.48
El valor de “x” corresponde a la solución del problema, esto quiere decir que el poste proyecta una
sombra de 10.48 m.
TEOREMA DE PITÁGORAS.
El teorema se establece para triángulos rectángulos constituidos por una hipotenusa (lado opuesto
al ángulo recto) y dos catetos (lados adyacentes al ángulo recto). Dicho teorema demuestra que el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
c
c2 = a2 + b2
a
b
EJEMPLO
* Determinar el valor del cateto que falta en el siguiente triángulo rectángulo.
A
b=3
c=6
C
a
B
- Se establece el teorema de Pitágoras para el triángulo y se despeja el cateto “a”.
c 2 = a2 + b2 ∴ a =
c 2 − b2
- Se sustituyen valores en la expresión despejada y se obtiene el valor del cateto “a”.
a=
( 6 ) 2 − (9 ) 2
a=
36 − 9
∴ a=5
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
20
MATEMÁTICAS III
*
Obtener el valor de “x”, el valor del cateto y la hipotenusa en el siguiente triángulo rectángulo.
B
5
C
x
x−1
A
- Se establece el teorema de Pitágoras para el triángulo y se sustituyen valores.
c 2 = a2 + b2
x2 = (5)2 + (x − 1)2
- Desarrollando el binomio, simplificando términos e igualando a cero la expresión, se obtiene una
ecuación lineal. x2 = 25 + x2 − 2x + 1 ∴ 2x = 26
26
∴ x = 13
2
- Se sustituye el valor de “ x “ en la expresión de cada lado del triángulo para obtener su valor.
b = x − 1 = 13 − 1 = 12 ∴ cateto b = 12
c = x = 13 ∴ hipotenusa c = 13
- Se despeja a “x” para obtener su valor:
x=
* Encontrar el valor de “x” y de los catetos en el siguiente triángulo rectángulo.
C
3x + 2
A
x + 1
9
B
- Se establece el teorema de Pitágoras para el triángulo y se sustituyen valores.
c 2 = a2 + b2
(9)2 = ( x + 1 )2 + (3x + 2)2
- Desarrollando los binomios, simplificando términos e igualando a cero la expresión, se obtiene
una ecuación cuadrática. 81 = x2 + 2x + 1+ 9x2 + 12x + 4 ∴ 10x2 + 14x – 76 = 0
- Se resuelve la ecuación cuadrática, aplicando la fórmula general. x =
− b ± b 2 − 4ac
2a
- Siendo a = 10, b = 14 y c = −76 , éstos valores se sustituyen en la fórmula general y se obtiene el
valor de “x”.
−14 + 56.885
= 2.14 ∴ x1 = 2.14
x1 =
20
x=
− 14 ± (14) 2 − 4(10)( −76)
2(10)
→ x=
−14 ± 56.885
20
x2 =
−14 − 56.885
= −3.54 ∴ x2 = −3.54
20
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
21
MATEMÁTICAS III
- Se sustituye el valor positivo de “ x “, ya que es la única que puede existir en la expresión de
cada lado del triángulo para obtener su valor.
∴ cateto a = 3.14
a = x + 1 = 2.14 + 1 = 3.14
b = 3x + 2 = 3(2.14) + 2 = 6.28 ∴ cateto b = 6.28
* Resolver el siguiente problema por medio del teorema de Pitágoras.
Calcular la altura de un poste que tiene un tirante de 27 m desde la punta del poste hasta el
clavo que se encuentra a 20 m de la base del poste.
- Se realiza un esquema del problema, para establecer el triángulo rectángulo.
27 m
h
Poste
Clavo
20 m m
- Se establece el teorema de Pitágoras para el triángulo y se despeja el cateto “a”.
c 2 = a2 + b2
∴ a=
c 2 − b2
- Como a = h , b = 20 m y c = 27 m; Entonces se sustituyen éstos valores en la expresión
despejada y se obtiene el valor de la altura “h”.
h=
(27) 2 − (20) 2
h=
729 − 400
∴ h = 18.13 m, la cual, es la altura del poste.
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE LOS TRIÁNGULOS.
Mediana. Segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto. El punto de
intersección de las tres medianas se llama baricentro.
Mediatriz. Perpendicular que pasa en el punto medio de cada lado. El punto de intersección de las
tres mediatrices se llama circuncentro.
Bisectriz. Recta que divide al ángulo interior de un triángulo en dos partes iguales. El punto de
intersección de las tres bisectrices se llama incentro.
Altura. Perpendicular que une el lado de un triángulo con su vértice opuesto. El punto de
intersección de las tres alturas se llama ortocentro.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
22
MATEMÁTICAS III
EJEMPLO
* Identificar en la siguiente figura, las rectas y puntos notables de cada triángulo.
I
II
III
c
1
l
2
l
l
a
●
1
l
2
- En la figura I, el punto es baricentro, ya que es la intersección de las tres medianas.
- En la figura II, la recta es bisectriz por que divide el ángulo en dos partes iguales.
- En la figura III, la recta es mediatriz porque es perpendicular y pasa por el punto medio del lado.
ESTUDIO DE LOS POLÍGONOS CONVEXOS REGULARES.
Un polígono es regular cuando sus lados son iguales. Y es convexo cuando al considerar dos
puntos cualesquiera de su región interior, el segmento que une éstos puntos queda contenido en
dicha región interior.
EJEMPLO
* Establecer si los siguientes polígonos son regulares, irregulares, convexos o cóncavos.
I
II
III
IV
- La figura I y II son polígonos convexos porque los segmentos que forman los puntos están dentro
de la región de cada figura; también son regulares porque sus lados son iguales respectivamente.
- Las figuras II y IV son cóncavas porque los segmentos que forman los puntos están fuera de la
región de cada figura; también son irregulares porque sus lados son desiguales respectivamente.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
23
MATEMÁTICAS III
Características de los Polígonos Regulares de “n” Número de Lados.
La diagonal de un polígono es un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos y el
número de diagonales que se trazan desde un vértice se obtienen con la expresión, d = n – 3.
n ( n − 3)
Las diagonales totales trazadas en un polígono se obtienen con la expresión, D =
.
2
Con las diagonales trazadas desde un vértice de un polígono, se forman triángulos que se obtienen
con la expresión N°∆s = n − 2.
EJEMPLO
* Si se tiene un hexágono regular (n = 6 lados); entonces determinar:
A) El número de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices.
B) El número total de diagonales que se pueden trazar en el interior del polígono.
C) El número de triángulos que se forman a partir de las diagonales que se trazan desde un
vértices.
- Se sustituye el valor de “n” en la expresión correspondiente a cada inciso.
A) d = n − 3 = 6 − 3 = 3 ∴ Son 3 diagonales que se pueden trazar desde un vértice.
n(n − 3) 6(6 − 3)
B) D =
=
= 9 ∴ Son 9 diagonales que se pueden trazar en total.
2
2
C) N°∆s = n − 2 = 6 − 2 = 4 ∴ Son 4 triángulos que se forman en el interior del hexágono.
* Si a partir del vértice de un polígono se pueden trazar 17 diagonales; entonces, ¿De cuántos
lados está constituido dicho polígono?
- Como d = 17, entonces se sustituye en la expresión d = n − 3 y se despeja “n” para obtener su
valor. 17 = n − 3 ∴ n = 20 ; Como el polígono tiene 20 lados, entonces es un icoságono.
* ¿Cuántos lados tiene un polígono, si con el trazo de diagonales desde uno de sus vértice se
forman 3 triángulos en su interior?
- Como N°∆s = 6, entonces se sustituye en la expresión N°∆s = n − 2 y se despeja “n” para obtener
su valor. 6 = n − 2 ∴ n = 8 ; Como el polígono tiene 8 lados, entonces es un octágono.
Ángulos de los Polígonos
180°(n − 2)
.
n
La expresión para calcular la suma de los ángulos internos es, ∑i = 180 (n – 2 ).
360°
, el ángulo central es equivalente al
La expresión para calcular un ángulos central es, e =
n
ángulo exterior en cualquier polígono.
La expresión para calcular un ángulo interno de un polígono regular es,
i=
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
24
MATEMÁTICAS III
EJEMPLO
* Calcular el número de lados de un polígono regular cuyos ángulos interiores suman 1440°.
- Como ∑i = 1440°, entonces se sustituye en la expresión ∑i = 180 (n – 2 ) y se despeja “n”.
1440°
n = 10
+2
1440° = 180° ( n – 2 ) ∴
n=
180°
Del valor de “n” se establece que el polígono tiene 10 lados, por lo tanto es un decágono.
* Hallar el valor de un ángulo interior de un dodecágono regular.
- Como el polígono está formado por 12 lados, entonces n = 12 y se sustituye en la expresión,
180°(n − 2)
180°(12 − 2)
i=
para obtener el valor del ángulo interior:
i=
∴
i = 150°
n
12
Calcular el valor de cada ángulo exterior de un pentadecágono regular.
- Como el polígono está formado por 15 lados, entonces n = 15 y se sustituye en la expresión,
360°
360°
∴
e = 24°
e=
, para obtener el valor del ángulo exterior:
e=
15
n
PERÍMETRO Y ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR.
El perímetro de un polígono es la suma de la longitud de sus lados y se obtiene con la expresión,
P = n l , donde “ l ” es la longitud de uno de sus lados y “n” el número de lados.
P•a
El área es igual al producto del perímetro y la apotema entre dos: A =
2
EJEMPLO
* Resolver el siguiente problema.
Araceli posee un alhajero que tiene forma de un polígono regular. Si cada uno de los lados
mide 4.5 cm y su perímetro es de 31.5 cm; entonces, ¿Cuántos lados tiene el alhajero y qué
nombre recibe por su forma poligonal?
- Del problema se establece que l = 4.5 cm y P = 31.5 cm; éstos valores se sustituyen en la
expresión, P = n l y se despeja “n” para conocer el número de lados del alhajero.
31.5 = 4.5 n ∴ n = 7, Esto indica que el alhajero tiene 7 lados, por lo que es un heptágono.
* Calcular el área de un octágono regular que mide 6 m por lado y 7.24 m de apotema.
- Del enunciado se establece que n = 8 y l = 6 m; éstos valores se sustituyen en la expresión,
P = n l y se obtiene el valor del perímetro: P = (8)(6) ∴ P = 48 m.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
25
MATEMÁTICAS III
- El área se obtiene sustituyendo en la expresión, A =
A=
( 48 m )(7.24 m )
2
∴
P•a
el valor de P = 48 m y a = 7.24 m.
2
A = 173. 76 m2
* Resolver el siguiente problema.
Si el área de un plafón pentagonal mide 122.47 m2 y cada lado mide 10 m; entonces, ¿Cuál es
el valor de su apotema.
- Del enunciado se establece que n = 5 , l = 10 m y A = 122.47 m2; éstos valores se sustituyen en
P•a
y se obtiene el valor del apotema despejando la variable “a”.
la expresión A =
2
(5)(10)(a )
122.47 =
∴ a = 4.9 , Esto indica que la apotema del plafón mide 4.9 m.
2
CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es una curva cerrada plana, cuya región interior y su frontera es el círculo.
En la circunferencia existen líneas notables: radio (segmento que une un punto cualquiera de la
circunferencia con su centro), diámetro (cuerda que pasa por el centro y es equivalente a dos
radios), secante (recta que corta a la circunferencia en dos puntos), tangente (recta que toca a la
circunferencia en un solo punto y es perpendicular al radio), cuerda (segmento determinado por
dos puntos de la circunferencia), arco (porción de la circunferencia) y flecha (perpendicular que
une el punto medio de la cuerda con su arco).
EJEMPLO
* Analizar en la figura las líneas o arcos de cada circunferencia y establecer sus nombres.
I
III
II
IV
- En la figura I, la recta es una tangente porque toca en un sólo punto a la circunferencia.
- En la figura II, la recta es un diámetro porque pasa en el centro y toca dos puntos de la
circunferencia.
- En la figura III, la recta es una secante porque el segmento corta a la circunferencia en dos
puntos.
- En la figura IV la línea es un arco, ya que es una porción de la circunferencia.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
26
MATEMÁTICAS III
Ángulos de la Circunferencia.
Ángulo Central
Ángulo inscrito
A
Ángulo seminscrito
B
C
A
B
B
C
C B
0
0
A
0
C
Formado por dos radios
Formado por dos cuerdas.
ACB = AB
ABC =
Ángulo interior
A
D
AC
2
Ángulo exterior
B
A
Formado por una tangente y
una secante.
AB
CBA =
2
Ángulo circunscrito
B
D
E
0
0
A
E
X
A
C
C
Formado por dos cuerdas Formado por dos secantes que se
que se cortan fuera del centro. cortan fuera de la circunferencia.
0
Y
B
AEC =
AC + DB
2
DAE =
C
Formado por dos tangentes.
BC − DE
2
BAC =
BYC − BXC
2
EJEMPLO
* Determinar el valor del arco y en la siguiente circunferencia si el ángulo
C
x = 85°.
B
100°
y
x
E
D
A
AC + y
y se sustituyen los
2
x = 85° y el arco AC = 100° para obtener el valor del arco y despejándolo
- Como el ángulo es interior, entonces se establece la expresión
valores del ángulo
en dicha expresión.
85° =
100 + y
2
∴
x=
y = 70°
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
27
MATEMÁTICAS III
* Determinar el valor del arco y en la siguiente circunferencia si el ángulo
x = 30°.
D
C
y
100°
A
x
E
B
BC − y
y se sustituyen los
2
x = 30° y el arco BC = 100° para obtener el valor del arco y despejándolo
- Como el ángulo es exterior, entonces se establece la expresión
valores del ángulo
en dicha expresión.
30° =
* Determinar el valor del
C
100 − y
2
∴
x=
y = 40°
DAE en la siguiente circunferencia, si DE = 15° y
CDB = 55°.
D
A
B
E
- En la figura se analiza que es una combinación de un ángulo inscrito y un ángulo exterior.
- Como el ángulo
CDB = 55° es inscrito, entonces es establece la expresión
CDB =
CB
y se
2
despeja el arco CB para obtener su valor.
55° =
- Como el ángulo
CB
2
∴
CB = 110°
DAE es exterior, entonces es establece la expresión
DAE =
CB − ED
y se
2
sustituyen los valores correspondientes para obtener su valor.
110° − 15°
∴
DAE = 47.5°
DAE =
2
PERÍMETRO Y ÁREA DE LA CIRCUNFERENCIA.
El perímetro es la longitud de la circunferencia y se obtiene con la expresión, P = 2 π r.
El área es la superficie del interior de la curva y se obtiene con la expresión, A = π r2.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
28
MATEMÁTICAS III
EJEMPLO
* Calcular la longitud y la superficie de una circunferencia que mide 5 cm de radio.
- Se sustituye el valor del radio en las expresiones del perímetro y el área obteniéndose sus
respectivos valores. P = 2 (π) ( 5 cm) ∴ P = 31.4 cm
;
A = π (5 cm)2 ∴ A = 78.5 cm2
* Calcular el área de un círculo si su circunferencia mide 18π m.
- Se sustituye 18π en la expresión del perímetro y se despeja el radio para obtener su valor.
18π
r =
∴ r = 9 cm
P= 2 π r
18 π = 2πr
2π
- Se sustituye el valor del radio en la expresión del área y se obtiene su valor.
A = π (9 cm)2 ∴ A = 254.4 cm2
* Obtener el área de la parte sombreada en la siguiente figura.
40 mm
30 mm
300 mm
diámetro
diámetro
500 mm
- Del análisis de la figura, se establece que: A sombrada = A del rectángulo – A círculo mayor – A círculo menor
- Se obtienen las áreas de cada figura sustituyendo sus valores correspondientes.
A rectángulo = (largo)(ancho)
A rectángulo = (500 mm)(300 mm) ∴ A rectángulo = 150000 mm2
- Como el diámetro es la mitad del radio, entonces los radios de ambos círculos son 20 y 15 mm
respectivamente.
A círculo mayor = π r2
A círculo mayor = (π)(20 mm)2 ∴ A círculo mayor = 62.832 mm2
A círculo menor = π r2
A círculo menor = (π)(15 mm)2 ∴ A círculo menor = 47.124 mm2
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
29
MATEMÁTICAS III
- Se sustituyen las áreas de cada figura en la expresión que se estableció para obtener el área de
la parte sombreada.
A sombreada =150000 mm2 – 62.832 mm2 – 47.124 mm2 ∴ A sombreada = 149890.004 mm2
* Obtener el área de la parte sombreada en la siguiente figura.
80 cm
200 cm
c
200
- Del análisis de la figura, se establece que: A sombrada = A del rectángulo – A medio círculo
- Se obtienen las áreas de cada figura sustituyendo sus valores correspondientes.
A rectángulo = (largo)(ancho)
A rectángulo = (200 cm)(80 cm) ∴ A rectángulo = 16000 cm2
- Como el ancho del rectángulo es igual al diámetro del medio círculo, entonces el radio es 40 cm.
πr 2
π ( 40) 2
∴ A medio círculo = 2513.27 cm2
A medio círculo =
A medio círculo =
2
2
- Se sustituyen las áreas de cada figura en la expresión que se estableció para obtener el área de
la parte sombreada.
A sombreada =16000 cm2 – 2513.27 cm2 ∴ A sombreada = 13486.73 cm2
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
30
MATEMÁTICAS III
EVALUACIÓN
Contesta en tu cuaderno de notas lo que se te pide en cada ejercicio.
1.
Indica si las dos figuras son semejantes o congruentes.
C
D
3 cm
G
H
F
E
9 cm
B
A
2 cm
6 cm
2.
Convierte las siguientes medidas de grados a radianes.
3.
A)
160° a radianes.
B)
52°49’52” a radianes.
Convierte las siguientes medidas de radianes a grados.
4.
A)
3 radianes a grados
B)
1
π rad a grados.
2
Establece el nombre de cada uno de los siguientes ángulos de acuerdo a su medida e
indica cuál de ellos son congruentes entre sí.
A
5.
C
B
D
E
Determina el valor de “x” y la medida de los ángulos que aparecen en la siguiente figura.
D
C
4x + 15
3x + 12
B
A
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
31
MATEMÁTICAS III
6.
Encuentra el valor de “x” en la siguiente figura.
3x + 36
A
5x – 8
B
7.
A´
B´
Indica el nombre de cada triángulo, según las características de sus lados.
I
II
40
30
III
40
40
60
8.
30
50
30
30
Determina el valor de los ángulos que se especifican en la siguiente figura.
A
75°
D
z
110°
x
38°
y
C
B
9.
Identifica el postulado de congruencia y obtén los valores de “ x “ y “ y “ en el siguiente par
de triángulos congruentes.
C
2x
A
3y + 8
x
D
2y
B
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
32
MATEMÁTICAS III
10.
Obtén los valores de “ x “ y “ y ” en el siguiente par de triángulos semejantes.
A
A´
4
x+1
y–1
8
C´
C
11.
6
B´
B
12
Encuentra el valor de “ x “ y el valor de los catetos del siguiente triángulo rectángulo.
3x – 12
C
x+2
A
10
B
12.
Encuentra el valor de “ x “ y el valor del cateto y la hipotenusa en el siguiente triángulo
rectángulo.
B
x
8
C
x−5
A
13.
Resuelve el siguiente problema por medio del teorema de Pitágoras.
¿Cuál es la longitud de la diagonal de un terreno rectangular de 400 m de largo por 300 m
de ancho?
14.
Indica el nombre del triángulo en el cual su altura correspondiente a su base es también su
mediatriz, su mediana y su bisectriz de dicho triángulo.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
33
MATEMÁTICAS III
15.
Identifica en la siguiente figura las rectas y puntos notables de cada triángulo.
I
II
III
l
l
1
l
2
1
l
2
16.
En la siguientes figura indica el nombre de cada polígono de acuerdo a sus lados e indica
si son regulares, irregulares, convexos o cóncavos.
I
17.
1
l
2
II
III
IV
Determina la característica del polígono que se indica en cada inciso.
A)
Si en un polígono se pueden trazar 44 diagonales en total; entonces, ¿De cuántos
lados está constituido dicho polígono?
B)
Calcula el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un
eneágono.
C)
Si los ángulos interiores de un polígono regular suman 1080°; entonces ¿De cuántos
lados está constituido dicho polígono?
D)
Calcula la medida de cada ángulo interior de un octágono regular.
18.
Obtén el área de un pentágono regular que su radio mide 8 m y cada lado mide 12 m.
19.
El área de la azotea de un edificio hexagonal regular mide
118
2
16 m . Si cada lado de
2
dicha azotea mide 6 m; entonces, ¿Cuál es el valor de su apotema?
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
34
MATEMÁTICAS III
20.
Indica el valor del ángulo que se forma entre la cuerda y la flecha de una circunferencia.
21.
Identifica en la siguiente figura las líneas ó arcos notables de cada circunferencia.
I
22.
III
II
Determina lo que se te indica en cada figura.
A)
B)
C
B
x
120°
y
x
y
210°
E
A
D
C
A
E
D
B
Si
23.
x = 90°, entonces hallar y
Si
x = 90°, entonces hallar y
Determina el área de la parte sombreada en la siguiente figura.
Radio r = 20 cm
24.
Se tiene un jardín circular de 50.26 m2 de superficie y se desea construir un camino
alrededor del jardín que tenga 62.83 m2 de superficie. Tomando en cuenta éstos datos,
determina el valor del radio que va del centro del jardín al extremo exterior del camino.
Jardín
Camino
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
35
MATEMÁTICAS III
3.2 COMPENDIO FASCÍCULO 2 CONSTRUCCIÓN,
EXPERIMENTACIÓN Y OBSERVACIÓN DE LAS
PROPIEDADES DE LA FIGURA GEOMÉTRICA: Una visión
dinámica.
En el compendio fascículo 2 estudiaste las funciones trigonométricas básicas para triángulos
rectángulos, acutángulos y obtusángulos, realizaste problemas de aplicación y analizaste las
propiedades de los vectores, obteniéndose el vector resultante, por métodos analíticos
(paralelogramo) y por componentes. También estudiaste algunos tipos de movimientos
geométricos de figuras tales como las transformaciones (la rotación, traslación y reflexión) para
comprender la simetría.
RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
La razón entre dos lados de un triángulo rectángulo que están en función de un ángulo agudo se
llama función trigonométrica. Las funciones trigonométricas directas, son: seno, coseno, y
tangente; las funciones trigonométricas recíprocas, son: cosecante, secante y cotangente.
EJEMPLO
* Expresar como razón, el valor de las seis funciones trigonométricas correspondientes al ángulo
agudo
B del siguiente triángulo rectángulo.
B
60
C
61
11
- Con respecto al ángulo
hipotenusa es c = 61.
A
B, el cateto adyacente es a = 60, el cateto opuesto es b = 11 y la
- Por definición se obtienen las siguientes funciones trigonométricas.
Funciones básicas:
Funciones recíprocas:
sen B =
cateto opuesto
11
=
hipotenusa
61
csc B =
61
hipotenusa
=
11
cateto opuesto
cos B =
cateto adyacente
60
=
hipotenusa
61
sec B =
hipotenusa
61
=
60
cateto adyacente
cateto opuesto
11
=
60
cateto adyacente
cot B =
cateto adyacente
60
=
11
cateto opuesto
tan B =
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
36
MATEMÁTICAS III
5
, entonces encontrar el valor del lado desconocido del triángulo y obtener las
13
razones de las demás funciones.
* Si sen A =
- Por definición se tiene que sen A =
5
cat op
; de esto se establece que el cateto opuesto es 5
=
hip
13
y la hipotenusa es 13.
- Con los valores establecidos, se construye el siguiente triángulo rectángulo.
c = 13
a=5
b =?
- Para conocer el lado “b“ que corresponde al cateto adyacente se aplica el teorema de Pitágoras:
c 2 = a2 + b2 ∴ b =
c 2 − a2
- Sustituyendo datos y realizando operaciones, se obtiene el valor de “b”.
b=
(13) 2 − (5) 2
b=
169 − 25
∴ b = 12
- Por definición se obtienen las seis funciones trigonométricas; siendo a = 5, b = 12 y c = 13.
5
c
13
sen A =
= 0.3846
csc A =
=
= 0.26
13
a
5
b
12
c
13
= 1.0833
cos A =
=
= 0.9231
sec A =
=
c
13
b
12
tan A =
a
5
= 0.4167
=
b
12
cot A =
b
12
=
= 2.4
a
5
* Si sec A = 5, entonces encontrar el valor del lado desconocido y la función cot A.
- Por definición se tiene que sec A =
hip
= 5; de esto se establece que la hipotenusa es 5 y el
cat ady
cateto adyacente es 1..
- Con los valores establecidos, se construye el siguiente triángulo rectángulo.
a =?
c=5
b=1
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
37
MATEMÁTICAS III
- Para conocer el lado “a“ que corresponde al cateto opuesto se aplica el teorema de Pitágoras:
c 2 = a2 + b2 ∴ a =
c 2 − b2
- Sustituyendo datos y realizando operaciones, se obtiene el valor de “a”.
a=
(5) 2 − (1) 2
a=
25 − 1 ∴ a = 24
- Por definición se tiene que cot A =
b
, como a = 24 y b = 1; entonces cot A =
a
1
24
= 0.2041
Función Trigonométrica Inversa.
Es la expresión que sirve para obtener el valor principal del ángulo de una función y puede
representarse de la siguiente forma, θ = sen –1 x que indica: θ es igual al seno inverso de x.
EJEMPLO
* Obtener la función trigonométrica inversa de la función Tan θ = 1
- Aplicando la definición de función inversa, se obtiene la expresión θ = tan −1 (1).
- En una calculadora en modalidad DEG o SHIFT se busca la función inversa correspondiente,
resultando el valor de θ = 45°.
* Obtener la función trigonométrica inversa de la función sen θ =
1
.
2
 1
- Aplicando la definición de función inversa, se obtiene la expresión θ = sen −1  
2
- Se obtiene el valor de θ en la calculadora, resultando θ = 30°.
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS MEDIANTE LA APLICACIÓN DE LAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
- Existen dos casos: uno cuando se conocen un lado y un ángulo del triángulo rectángulo y el otro
cuando se conocen dos lados de dicho triángulo.
EJEMPLO
* Resolver el triángulo rectángulo ABC, si θ = 65° y c = 70 m.
A
c
θ
b=?
B
β=?
a=?
α
C
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
38
MATEMÁTICAS III
- Por condición de los triángulos, se tiene la expresión, θ + β + α = 180°.
- Sustituyendo valores en la expresión y haciendo las operaciones correspondientes, se obtiene el
valor de “β”. 65° + β + 90° = 180°
β = 180° − 65° − 90° ∴ β = 25°.
- Para obtener el valor de “b”, se aplica la función trigonométrica que relacione el lado “b “ con el
ángulo θ y el lado “ c “, posteriormente se sustituyen valores y se realizan operaciones para
b
b
cos 65° =
b = (70 m)(cos 65°) ∴ b = 29.583 m.
obtener dicho valor. cos θ =
70 m
c
- Para obtener el valor de “a”, se aplica la función trigonométrica que relacione el lado “a “ con el
ángulo θ y el lado “ c “, posteriormente se sustituyen valores y se realizan operaciones para
a
a
sen 65° =
a = (70 m)(sen 65°) ∴ a = 63.441 m.
obtener dicho valor. sen θ =
70 m
c
- De lo anterior se establece que los ángulos del triángulo rectángulo son: θ = 65°, β = 25° y
α = 90° y los lados a = 63.441 m, b = 29.583 m y c = 70 m.
* Resolver el triángulo rectángulo ABC, si θ = 30° y b = 30 m.
A
θ
c=?
B
β=?
b
α
a=?
C
- Por condición de los triángulos, se tiene la expresión, θ + β + α = 180°.
- Sustituyendo valores en la expresión y haciendo las operaciones correspondientes, se obtiene el
valor de “β”. 30° + β + 90° = 180°
β = 180° − 30° − 90° ∴ β = 60°.
- Para obtener el valor de “a”, se aplica la función trigonométrica que relacione el lado “a “ con el
ángulo θ y el lado “ b “, posteriormente se sustituyen valores y se realizan operaciones para
a
a
tan 30° =
a = (30 m)(tan 30°) ∴ a = 17.32 m.
obtener dicho valor. tan θ =
30
m
b
ángulo θ y el lado “ b “, posteriormente se sustituyen valores y se realizan operaciones para
b
30 m
30 m
cos 30° =
obtener dicho valor. cos θ =
c=
∴ c = 34.64 m.
c
cos 30°
c
- De lo anterior se establece que los ángulos del triángulo rectángulo son: θ = 30°, β = 60° y
α = 90° y los lados a = 17.32 m, b = 30 m y c = 34.64 m.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
39
MATEMÁTICAS III
* Resolver el triángulo rectángulo ABC, si a = 45 m y b = 18 m.
A
θ=?
c=?
β=?
B
b= 18
α = 90°
a = 45 m
C
- Para obtener el valor de “θ”, se aplica la función trigonométrica que relacione el lado “a “ con el
ángulo θ y el lado “ b “, posteriormente se sustituyen valores y se realizan operaciones para
obtener dicho valor.
a
45 m
tan θ =
tan θ =
θ = tan −1 (2.5) ∴ θ = 68.1985° ó 68°11’55”.
18 m
b
- Por condición de los triángulos, se tiene la expresión, θ + β + α = 180°.
- Sustituyendo valores en la expresión y haciendo las operaciones correspondientes, se obtiene el
valor de “β”.
68.1985° + β + 90° = 180°
β = 180° − 68.1985° − 90° ∴ β = 21.8015° ó 21°48’5”.
- Para obtener el valor de “c”, se aplica la función trigonométrica que relacione el lado “c “ con el
ángulo θ y el lado “ a “, posteriormente se sustituyen valores y se realizan operaciones para
obtener dicho valor.
a
45 m
45 m
sen 68.1985° =
c=
∴ c = 48.46 m.
sen θ =
c
sen 68.1985°
c
- De lo anterior se establece que los ángulos del triángulo son : θ = 68.1985° ó 68°11’55”,
β = 21.8015° ó 21°48’5” y α = 90° y los lados a = 45 m, b = 18 m y c = 48.46 m.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR MEDIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
En la solución de problemas se aplica el ángulo de elevación o depresión, según las condiciones
de dichos problemas.
A
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
B
El ángulo de elevación es cuando la persona B observa a la persona A.
El ángulo de depresión es cuando la persona A observa a la persona B.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
40
MATEMÁTICAS III
EJEMPLO
* Resolver el siguiente problema.
Calcular la altura de una torre si desde un punto situado a 800 m de la base, se ve la cúspide
con un ángulo de elevación de 17°.
- Se analiza el enunciado y se realiza un esquema que relacione los datos y la incógnita del
problema.
h
17°
Torre
Observador
800 m
- Se aplica la función trigonométrica que relacione los 800 m, el ángulo de 17° y la altura “ h “ del
triángulo formado. Posteriormente se realizan las operaciones correspondientes y se obtiene el
valor de “h”.
h
h = (800 m) (tan 17°) ∴ h = 244.58 m.
tan 17° =
800 m
El valor de “h” es la altura de la torre, por lo tanto dicha torre mide 244.58 m de altura.
* Resolver el siguiente problema.
Una torre de 45 m de altura está situada a la orilla de un río. Desde la alto de un edificio de 15 m
de altura, el ángulo de depresión a la orilla opuesta es de 26°. De acuerdo con esto, hallar el
ancho del río.
- Se analiza el enunciado y se realiza un esquema que relacione los datos y la incógnita del
problema.
26°
θ
Ancho
45 m
15 m
Río
Torre
Edificio
- El ángulo de depresión es un ángulo complementario al ángulo del triángulo rectángulo, por lo
tanto el valor de “ θ ” se obtiene con la expresión: θ + 26° = 90°
θ = 90° − 26° ∴ θ = 64°.
- De la figura se establece que el lado vertical del triángulo se obtiene restando la altura del
edificio a la altura de la torre. h = 45m − 15m ∴ h = 30 m.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
41
MATEMÁTICAS III
- Se aplica la función trigonométrica que relacione el ángulo “ θ ” y el lado vertical del triángulo con
ancho del río
el ancho del río. tan θ =
lado vertical del triángulo
- Sustituyendo datos y realizando operaciones, se obtiene el ancho del río.
ancho del río
tan 64° =
ancho del río = (30 m)(tan64°) ∴ ancho del río = 61.51 m.
30 m
Funciones Trigonométricas en el Plano Cartesiano.
El ángulo dirigido es aquel en donde se considera su amplitud y se toma en cuenta su sentido.
El ángulo en posición normal es aquel cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo de las “x“,
su vértice coincide con el origen del plano y su lado terminal se llama radio vector (r).
EJEMPLO
4
, entonces establecer el ángulo en posición normal en el plano cartesiano y
5
encontrar los valores del sen θ y tan θ.
* Si cos θ =
x
cat ady
4
; con esto se establece que cos θ =
=
y se
hip
5
r
forma el ángulo en el plano cartesiano.
y
- Por definición se tiene que cos θ =
P(x,y)
r=5
0
y
x=4
x
Con el ángulo en posición normal, se forma un triángulo rectángulo, cuyos catetos son “x” y “y”. Y
la hipotenusa es el radio vector o lado terminal del ángulo.
- Para encontrar el cateto “y” del triángulo rectángulo, se aplica el teorema de Pitágoras:
r2 = x2 + y2
∴y=
r 2 − x2
- Sustituyendo datos en la expresión del teorema, se obtiene el valor del cateto “y”.
y=
(5 ) 2 − ( 4 ) 2
∴ y = 3.
- Del triángulo formado en el plano, se obtienen las funciones sen θ y tan θ.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
42
MATEMÁTICAS III
sen θ =
y
3
cat op
=
=
hip
5
r
∴ sen θ =
3
5
tan θ =
y 3
cat op
=
=
cat ady
x 4
∴ tan θ =
3
4
* Si un ángulo en posición normal tiene un radio vector r = 30 y un ángulo θ = 50° como se
muestra en la figura. Entonces; ¿Cuál es el valor de “x” y “y”?
y
P(x,y)
r = 30
y
θ = 50°
0
x
x
- Para obtener los valores de los catetos “x” y “y”, se establecen las funciones trigonométricas que
x
y
; cos θ =
relacionen los datos del ejercicio con los lados del triángulo. sen θ =
r
r
- Se sustituyen valores y se despeja “x” y “y” en ambas funciones respectivamente.
sen 50° =
y
30
y = (30)(sen 50°)
∴ y = 22.98
cos 50° =
x
50
x = (30) (cos 50°)
∴ x = 19.28
Gráficas de las Funciones Trigonométricas
Cada función trigonométrica tiene un comportamiento gráfico particular, que se obtiene
asignándole valores arbitrarios a la variable independiente (x) que se sustituyen en la función para
evaluarla y así obtener los valores de la variable dependiente f(x); con esto se forman pares de
puntos P[x,f(x)] que se representan en el plano y se unen para construir la gráfica.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
43
MATEMÁTICAS III
EJEMPLO
* Dada la función f(x) = sen x ; obtener:
A) Su representación gráfica.
B) El dominio y el rango de la función.
C) Los intervalos de valores donde la curva es creciente y decreciente.
- Se construye la tabulación, sustituyendo los valores del dominio en la variable independiente de
la función para obtener los valores de la variable dependiente y formar los puntos coordenado.
(Recuerda que los valores de “x” pueden estar en radianes o en grados y que 180° = π rad).
x (rad)
0
π/4
π/2
3π/4
π
5π/4
3π/2
7π/4
2π
f(x) = sen x
f(0) = sen (0)
f(π/4) = sen (π/4)
f(π/2) = sen (π/2)
f(3π/4) = sen (3π/4)
f(π) = sen(π)
f(5π/4) = sen (5π/4)
f(3π/2) = sen (3π/2)
f(7π/4) = sen (7π/4)
f(2π) = sen (2π)
f(x)
0
0.7
1
0.7
0
−0.7
−1
−0.7
0
P[x,f(x)]
P(0,0)
P(π/4,0.7)
P(π/2,1)
P(3π/4,0.7)
P(π,0)
P(5π/4,−0.7)
P(3π/2,−1)
P(7π/4,−0.7)
P(2π,0)
- Se representan los puntos en el plano y se unen para obtener la gráfica correspondiente.
A) Gráfica:
y
1
x (rad)
0
π/2
π
3π/2
2π
-1
B) De la gráfica se establece que el dominio para la función son todos los números reales y el
rango es el intervalo de valores cerrado [−1,1]
C) De la gráfica se observa que la curva tiene las siguientes características: En el 1° cuadrante
(0° a 90°), la curva crece de 0 a 1; en el 2° cuadrante (90° a 180°), decrece de 1 a 0 ; en el 3°
cuadrante (180° a 270°), la curva decrece de 0° a –1 y en el 4° cuadrante (270° a 360°), la
curva crece de –1 a 0.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
44
MATEMÁTICAS III
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.
Los triángulos oblicuángulos se clasifican en acutángulos (tres ángulos agudos) y obtusángulos (un
ángulo obtuso). Y sus lados y ángulos se obtienen aplicando las leyes de los senos y los cosenos.
ley de los senos: “en todo triángulo oblicuángulo, los lados son proporcionales a los senos de los
a
b
c
=
=
ángulos opuestos a dichos lados”:
sen A sen B sen C
ley de los cosenos: “el cuadrado de un lado, es igual ala suma de los cuadrados de los otros dos
lados, menos el doble producto de los dos lados, por el coseno del ángulo opuesto a dicho lado”
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc Cos A
Caso I. Cuando se Conocen Dos Ángulos y Un Lado del Triángulo.
EJEMPLO
* Resolver el triángulo oblicuángulo ABC, si a = 22 m , θ = 35° y β = 65°.
- Se realiza un esquema con los datos del ejemplo y se establecen las incógnitas.
B
c
β =6
α
θ =35°
A
a = 22
C
b
Del esquema se observa que faltan conocer los lados b y c, y el ángulo α del triángulo.
- De la ley de los senos se elige la primera proporción para obtener el lado “ b “.
a
b
=
sen A
sen B
- De la proporción, se despeja “b” y se sustituyen datos para obtener su valor.
b=
(a ) sen B
sen A
b=
22 m (sen 65°)
sen 35°
∴ b = 34.76 m.
- Como θ + β + α = 180°, entonces se despeja “α” para obtener su valor.
α = 180° − θ − β
α = 180° − 35° − 65° ∴ α = 80°.
- Por la ley de los senos se elige la proporción que involucra los lados “a” y “c”:
a
c
=
.
sen A
sen C
- De la proporción, se despeja “c” y se sustituyen datos para obtener su valor.
c=
(a ) sen C
sen A
c=
22 m (sen 80°)
sen 35°
∴ c = 37.77 m.
Caso II. Cuando se Conocen Dos Lados y Un ángulo.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
45
MATEMÁTICAS III
EJEMPLO
* Resolver el triángulo oblicuángulo ABC, si a = 125 m, b = 230 m y α = 35°.
- Se realiza un esquema con los datos del ejemplo y se establecen las incógnitas.
B
β
c
a = 125 m
α = 35°
θ
A
C
b = 230
m
Del esquema se observa que faltan conocer el lados c y los ángulos θ y β del triángulo.
- Se aplica la ley de los cosenos para obtener el valor del lado “c”. c2 = a2 + b2 − 2ab Cos C.
- Se sustituyen valores en la expresión y se realizan las operaciones correspondientes.
c2 = (125 m)2 + (230 m)2 – 2 (125 m)(230 m) Cos 35°
c2 = 15625 m2 + 52900 m2 – 57500 m2 (Cos 35°)
c2 = 68525 m2 – 47101.24 m2
c=
21423.75 m 2
∴ c = 146.36 m.
- Se aplica la ley de los senos para obtener el valor del ángulo “θ”.
a
c
=
.
sen A
sen C
- Se despeja “A” y se sustituyen datos para obtener su valor.
 (a ) sen C 
A = sen −1 

c


 125 m (sen 35°) 
A = sen −1 

146.36


∴ A = 29.33° ó θ = 29°19’55”.
- Como θ + β + α = 180°, entonces se despeja “β” para obtener su valor.
β = 180° − θ − α
β = 180° − 29.33° − 35° ∴ β = 115.67° ó β = 115°40’5”.
Caso III. Cuando se Conocen los Tres lados.
EJEMPLO
* Resolver el triángulo oblicuángulo ABC, si a = 36 m, b = 48 m y c = 30 m.
- Se realiza un esquema con los datos del ejemplo y se establecen las incógnitas.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
46
MATEMÁTICAS III
B
c = 30 m
β
a = 36 m
α
θ
C
A
b = 48 m
Del esquema se observa que faltan conocer los ángulos θ, β y α del triángulo; los cuales se
obtienen aplicando la ley de los cosenos.
- Se despeja “A” en la ley de los cosenos, se sustituyen valores y se realizan las operaciones
correspondientes.
a2 = b2 + c2 − 2bc Cos A
b2 + c 2 − a2 
A = Cos −1 

2bc


 ( 48m ) 2 + (30m ) 2 − (36m ) 2 
A = Cos −1 

2( 48m )(30m )


∴
A = 48.509°
ó
θ = 48°30’32”
- Se despeja “B” en la ley de los cosenos, se sustituyen valores y se realizan las operaciones
correspondientes.
b2 = a2 + c2 − 2ac Cos B
a2 + c 2 − b2 
B = Cos −1 

2ac


 (36m ) 2 + (30m ) 2 − ( 48m ) 2 
B = Cos −1 

2(36m )(30m )


∴
B = 92.8659°
ó
β = 92°51’57”
- Como θ + β + α = 180°, entonces se despeja “α” para obtener su valor.
α = 180° − θ − β
α = 180° − 48.509° − 92.8659° ∴ α = 38.6251° ó α = 38°37’31”.
Problemas de Aplicación de Triángulos Oblicuángulos
EJEMPLO
* Resolver el siguiente problema.
Dos personas que están de frente y a 2500 m de distancia una con respecto de la otra en el
mismo nivel horizontal, observan un avión con ángulos de elevación de 50° y 65°
respectivamente. De acuerdo con esto; ¿Cuál es la altura del avión?
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
47
MATEMÁTICAS III
- Se realiza un esquema que representa al problema con sus datos y la incógnita.
Avión
h
Persona 1
β = 50°
α = 65°
Persona 2
2500 m
- Por el teorema de los ángulos internos de un triángulo se establece la expresión: θ + β + α = 180°
- Se despeja “θ”, se sustituyen valores y se realizan operaciones.
θ = 180° − 50° − 65° ∴ θ = 65°.
θ = 180° − β − α
- Se aplica la ley de los senos para obtener el lado opuesto del ángulo α.
a
c
=
θ
sen
sen α
- Se despeja “c”, se sustituyen valores y se realizan operaciones.
c=
(a)senα
senθ
c=
(2500 ) sen 65°
sen 65°
∴ c = 2500 m.
Para calcular la altura (h) se busca una función trigonométrica que relacione el lado “h”, el lado “c”
h
y ángulo “β”. sen β =
∴ h = c sen β
c
- Sustituyendo valores y realizando las operaciones, se obtiene la altura del avión.
h = 2500 m ( sen 50°) ∴ h = 1915.11 m.
* Resolver el siguiente problema.
Un terreno está limitado por tres calles que se cortan. Los lados del terreno miden 511 m, 312 m
y 472 m. De acuerdo con esto, hallar los ángulos interiores formados por las calles al cortarse.
- Se realiza un esquema que representa al problema con sus datos y la incógnita.
A
a = 312 m
B
b = 472 m
C
c = 511 m
- Se calcula el valor de los ángulos, aplicando la ley de los cosenos y los senos.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
48
MATEMÁTICAS III
- Para obtener el valor de “A”, se aplica la expresión: a2 = b2 + c2 – 2bc Cos A
- Se despeja “A”, se sustituyen valores y se realizan las operaciones correspondientes.
 (511 m ) 2 + (312 m ) 2 − ( 472 m ) 2 
A = Cos −1 

2 (511 m ) (312 m )


b2 + c 2 − a2 
A = Cos −1 

2bc


 261121 m 2 + 97344 m 2 − 222784 m 2 
A = Cos −1 

318864 m 2


- Para obtener el valor de “B”, se aplica la proporción:
∴
A = 64.8168° ó
A = 64°49’1”.
a
b
=
.
Sen A
Sen B
- Se despeja “B”, se sustituyen valores y se realizan las operaciones correspondientes.
 (511 m ) (sen 64.8168°) 
B = Sen−1 
 ∴ B = 78.4429° ó B = 78°26’34”
472 m


 (b ) sen A 
B = Sen−1 

a


- Para obtener el valor de “C”, se aplica la expresión: A + B + C = 180°
- Se despeja “C”, se sustituyen valores y se realizan las operaciones correspondientes.
C = 180° − A − B
C = 180° − 64.8168° − 78.4429°
∴
C = 36.7403° ó
C = 36°44’25”.
VECTORES.
Un vector es una magnitud física que tiene punto de aplicación, magnitud, dirección y sentido y se
llaman magnitudes vectoriales.
Un vector resultante es equivalente a la suma de los vectores que intervienen en un sistema.
Un vector equilibrante es equivalente a un vector resultante pero de sentido contrario.
Vectores considerados como Desplazamientos.
El desplazamiento del vector se representa con dos letras y una flecha encima de ellas.
EJEMPLO
* Representar gráficamente el desplazamiento de los vectores AB y BA y obtener la suma
resultante de ambos.
- Como ambos vectores están representados por los mismo puntos, entonces tienen la misma
magnitud, pero distinto sentido por la dirección de sus flechas.
AB
BA
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
49
MATEMÁTICAS III
- De la gráfica se establece la suma de los dos vectores: AB + BA = 0 y dicha suma
corresponde a la propiedad de dirección opuesta.
* Representar gráficamente el desplazamiento de los vectores AB y BC y obtener la suma
resultante de ambos.
- Como el vector AB tiene su punto final en “B” y el vector BC tiene su punto inicial en “B”,
entonces “B” es el punto en común para ambos vectores.
C
A+C
A
B
- De la gráfica se establece la suma de los dos desplazamientos: AB + BC = AC y dicha suma
se obtiene aplicando la propiedad transitiva.
Vectores considerados como Magnitudes Vectoriales.
Un vector se representa con una letra y tiene una magnitud, una dirección y un sentido.
EJEMPLO
* Represente el vector V1 = 30, θ = 60° y sentido noreste.
- Se toma como referencia una línea horizontal donde se coloca el punto de aplicación y se traza
el vector V1 con un θ = 60° tomando como referencia el sentido contrario de las manecillas del
reloj y sentido noreste (tomando como referencia los puntos cardinales):
N
NORESTE
V1 = 30
θ = 60°
E
* Si se tiene el vector V1 = 50, θ = 50° y sentido noreste, entonces representar el vector –V1
estableciendo su ángulo y sentido.
- Se toma como referencia una línea horizontal donde se coloca el punto de aplicación y se traza
el vector V1 y el vector –V1.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
50
MATEMÁTICAS III
N
V1= 50
θ = 210°
θ = 30°
E
−V 1 = 50
El vector –V1 se obtiene prolongando el vector V1 en sentido opuesto a su dirección considerando
su misma magnitud y su ángulo se obtiene sumando 180° al ángulo de V1. Con esto se establece
que el vector –V1 = 50, θ = 210° y sentido suroeste.
* Si dos vectores parten de un punto en común como lo muestra la figura; entonces obtener
gráfica y la expresión de las siguientes operaciones:
Suma de los dos vectores.
Suma de los dos vectores, si V2 es negativo.
C) La doble suma de los dos vectores.
V2
V1
Solución.
A) Suma de los dos vectores.
- Se traza una paralela a V1 a partir del punto final de V2 y otra paralela a V2 a partir del punto final
de V1 , se une el punto de aplicación en común y el punto de intersección de las líneas
paralelas con una diagonal; dicha diagonal representa gráficamente la suma de V1 + V2.
V2
V1 + V2
V1
De la gráfica se obtiene que la suma de los dos vectores se puede realizar de la forma, V1 + V2 ó
V2 + V1 ; ya que por la propiedad conmutativa se establece que: V1 + V2 = V2 + V1.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
51
MATEMÁTICAS III
B) Suma de los dos vectores, si V2 es negativo.
- Como V2 es negativo, entonces el vector se prolonga en sentido contrario respecto a su
magnitud y dirección original. Posteriormente se traza una paralela a V1 a partir del punto final
de −V2 y otra paralela a −V2 a partir del punto final de V1, se une el punto de aplicación en
común y el punto de intersección de las líneas paralelas con una diagonal; dicha diagonal
representa gráficamente la suma de V1 + (−V2).
V2
V1
−V2
V1 - V2
De la suma anterior se establece la expresión equivalente. V1 + (−V2) = V1 −V2 que indica una
diferencia de vectores.
C) La doble suma de los dos vectores.
- Se retoma la gráfica del inciso “A” y se prolongan los vectores V1 y V2 en la misma dirección y
sentido para obtener un vector resultante correspondiente a la doble suma de los dos vectores.
V2
V1 + V2
V1
V2
V1+V2
V1
De la gráfica se obtiene que la doble suma de los dos vectores, se puede realizar de la forma:
(V1 + V2) + (V1 + V2) ó aplicando la propiedad distributiva 2 (V1 + V2) = 2 V1 + 2 V2
Con la expresión anterior se generaliza que n (V1 + V2) = n V1 + n V2
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
52
MATEMÁTICAS III
* Establecer las formas en que se pueden sumar los tres vectores que se representan en la
siguiente gráfica.
V1
V1 + V2 + V3
V2
V3
V1 + V2
- En la figura se observa que hay tres vectores sucesivos, los cuales al sumarlos se obtiene un
vector resultante, dicha suma se realiza aplicando la propiedad asociativa.
V1 + V2 + V3 = ( V1 + V2 ) + V3 = V1 + ( V2 + V3 )
SOLUCIÓN DE VECTORES
La solución de vectores se realiza gráfica y analíticamente por medio de los métodos del triángulo,
el paralelogramo y el polígono, según las características de dichos vectores.
Método del Triángulo.
Se aplica cuando el ángulo formado entre dos vectores es recto y se utiliza el teorema de Pitágoras
y las funciones trigonométricas, según las características del problema.
EJEMPLO
* Determinar la suma de los vectores que forman un ángulo de 90° como lo muestra la figura.
V2= 10
90°
V1=15
- Se trazan líneas paralelas a los vectores y se forma el vector resultante (VR) que va del punto de
aplicación en común que tienen los dos vectores al punto de intersección de las líneas paralelas.
V2= 10
VR
θ
V1=15
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
53
MATEMÁTICAS III
- Para calcular el vector resultante, se aplica el teorema de Pitágoras y se despeja VR.
(VR)2 = (V1)2 + (V2)2
(V1 ) 2 + (V2 ) 2
∴ VR =
- Se sustituyen valores y se obtiene el valor del vector resultante. VR =
15 2 + 10 2 ∴ VR = 18.028
- Para obtener el ángulo de la resultante se aplica la función trigonométrica que relacione V1 ,V2 y
V 
V
∴ θ = tan−1  2 
el ángulo θ . Dicha función es la tangente y se despeja “θ”. tan θ = 2
V 
V1
 1 
- Se sustituyen valores y se obtiene la medida del ángulo de la resultante.
 10 
θ = tan−1   ∴ θ = 33°41’24”
 15 
De los resultados obtenidos, se establece que la suma de los dos vectores es un vector resultante
que tiene como magnitud y dirección VR = 18.028 y θ = 33°41’24”
* Resolver el siguiente problema por medio de la aplicación de los vectores.
Un barco navega hacia el Norte con una velocidad de 12 Nudos. Si la velocidad de la marea es
de 5 Nudos dirección Este-Oeste; entonces, ¿Cuál es la velocidad resultante y la dirección del
barco hacia el Oeste medida a partir del Norte?
- Se realiza un esquema que representa al problema con sus datos y la incógnita.
N
BARCO = 12 N
VR
θ
O
MAREA = 5 N
E
- Se aplica el teorema de Pitágoras para obtener el vector resultante VR que corresponde a la
velocidad del barco.
VR = (12N ) 2 + (5N ) 2
∴
VR = 13 Nudos.
- Se aplica la función tangente para obtener el ángulo θ de la resultante que corresponde al
sentido del barco.
5N
 5N 
θ = tan −1 
tan θ =
 ∴ θ = 22°37’11”
12N
 12N 
De los resultados obtenidos, se establece que el barco tiene una velocidad resultante de 13
Nudos con una dirección N 22°37’11” O.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
54
MATEMÁTICAS III
Método del Paralelogramo.
Se aplica cuando el ángulo formado entre dos vectores es diferente de 90° y se utiliza la ley de los
cosenos y de los senos.
EJEMPLO
* Obtener el vector resultante del sistema mostrado en la siguiente figura:
V1= 7
θ = 30°
V2 = 5
- Se trazan líneas paralelas a V1 y V2 y una diagonal partiendo del punto de aplicación al punto de
intersección de las líneas paralelas siendo ésta el vector resultante (VR).
V1= 7
VR
θ = 30°
V2 = 5
- Se traslada el V1 a su paralela y se obtiene el ángulo formado por V1 y V2.
V1= 7
VR
β
θ = 30°
V1= 7
α
θ = 30°
V2 = 5
- Como los ángulos θ y α son suplementarios, entonces θ + α = 180° y α = 180° − θ .
- Se sustituye el valor de θ y se obtiene el de α. α = 180° − 30° ∴ α = 150°
- Para obtener el valor del vector resultante VR, se aplica la ley de los cosenos.
(VR2) = (V1)2 + (V2)2 – 2 (V1)(V2) cos α
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
55
MATEMÁTICAS III
- Se sustituyen valores en la expresión y se obtiene el valor del vector resultante.
(VR)2 = (7)2 + (5)2 – 2 (7)(5) cos 150°
VR =
49 + 25 − 70 cos 150 °
- Se obtiene el ángulo β de la resultante, aplicando la ley de los senos.
∴ VR = 11.6
VR
V1
=
sen β
sen α
- Se despeja β y se sustituyen valores en la expresión para obtener el ángulo de la resultante.
 V sen α 

β = sen −1  1
 VR

 (7)sen150° 
β = sen−1 

11.6


∴ β = 17°33’40”
De los resultados obtenidos, se establece que el vector resultante tiene como magnitud y dirección
VR = 11.6 y β = 17°33’40”
* Resolver el siguiente problema por medio de los vectores.
Determinar el peso de un cuerpo suspendido y sostenido por dos cuerdas como se muestra en la
figura.
F2= 47 N
F1 = 52 N
θ 1 = 65°
θ 2 = 55°
Cuerpo
P=?
- Del análisis de la figura, se observa que el peso del objeto ejerce una fuerza equivalente a la
magnitud de la fuerza resultante ejercida por las dos cuerdas, por lo que FR = P.
- Se realiza un esquema trazando un paralelogramo para obtener el ángulo entre las dos cuerdas.
F2= 47 N
F2= 47 N
θ 3 = 60°
θ 1 = 65°
α = 120°
F1 = 52 N
θ 3 = 60°
θ 3 = 60°
θ 2 = 55°
Cuerpo
P=?
F1 = 52 N
-Como los ángulos α y θ 3 son suplementarios, entonces α + θ 3 = 180° y α = 180° − θ 3 .
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
56
MATEMÁTICAS III
- Se sustituye el valor de θ 3 y se obtiene el valor de α. α = 180° − 60 ° ∴ α = 120°.
- Como se forma un triángulo oblicuángulo donde la resultante corresponde a un lado, entonces se
aplica la ley de los cosenos y se sustituyen valores para obtener a dicha resultante.
(FR)2 = (F1)2 + (F2)2 – 2(F1)(F2)cos α
FR =
(55 N ) 2 + ( 47 N ) 2 − 2(55 N ) ( 47 N ) cos 120°
FR = 88.4 N
Como la fuerza resultante es la fuerza equilibrante del peso del objeto, entonces el peso es igual
a 88.4 N.
Método del Polígono.
Se aplica cuando actúan mas de dos vectores y se utiliza el plano cartesiano, las funciones
trigonométricas y el teorema de Pitágoras.
EJEMPLO
* Obtener el vector resultante y el ángulo de la resultante del siguiente sistema de fuerzas.
y
F1= 2.5 N
θ 2 = 25°
θ 1 = 90°
F2 = 3 N
θ 3 = 0°
θ 4 = 40°
x
F3 = 4 N
F4= 2N
- Se determinan las componentes vertical y horizontal de cada fuerza o vector que actúa en el
sistema.
- Para F1 :
Componente horizontal. F1x = F1 cos θ 1
F1x = (2.5 N) cos 90° ∴ F1x = 0
F1y = (2.5 N) sen 90° ∴ F1y = 2.5 N ; como el
Componente vertical. F1y = F1 sen θ 1
vector está en el primer cuadrante, entonces el valor del componente tiene signo positivo.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
57
MATEMÁTICAS III
- Para F2 :
Componente horizontal. F2x = F2 cos θ 2
vector está en el primer cuadrante, entonces
Componente vertical. F2y = F2 sen θ 2
vector está en el primer cuadrante, entonces
F2x = (3 N) cos 25° ∴ F2x = 2.7189 N ; como el
el valor del componente tiene signo positivo.
F2y = (3 N) sen 25° ∴ F2y = 1.2678 N ; como el
el valor del componente tiene signo positivo.
- Para F3 :
Componente horizontal. F3x = F3 cos θ 3
F2x = (4 N) cos 0° ∴ F3x = 4 N ; como el vector
está en el primer cuadrante, entonces el valor del componente tiene signo positivo.
F3y = (4 N) sen 0° ∴ F3y = 0 N.
Componente vertical. F3y = F3 sen θ 3
- Para F4 :
F4x = (2 N) cos 40° ∴ F2x = 1.532 N ; como el vector
Componente horizontal. F4x = F4 cos θ 4
está en el tercer cuadrante, entonces el valor del componente tiene signo negativo. F2x = −1.532 N
F4y = (2 N) sen 25° ∴ F2y = 1.285 N; como el vector
Componente vertical. F4y = F4 sen θ 4
está en el tercer cuadrante, entonces el valor del componente tiene signo negativo. F2y = −1.285 N
- Posteriormente se suman los componentes:
Para “x“: Rx = F1x + F2x + F3x + F4x
Rx = 0 N + 2.7189 N + 4 N + (−1.532 N) ∴ Rx = 5.1869 N
Para “y“ : Ry = F1y + F2y + F3y + F4y
Ry = 2.5 N + 1.2678 N + 0 N + (−1.285 N) ∴ Ry = 2.4828 N
- Se representan en el plano cartesiano los componentes Rx y Ry.
y
R
Ry = 2.4828 N
θR
0 Rx = 5.1869 N
x
- Se calcula la fuerza resultante “ R “ por el teorema de Pitágoras :
R2 = (Rx)2 + (Ry)2
R=
(R x ) 2 + (R y ) 2
R=
(5.1869N ) 2 + (2.4828N ) 2
∴ R = 5.75 N
- Para obtener el ángulo de la resultante se emplea la función tangente:
tan θ R =
Ry
Rx
 Ry
θ R = tan−1 
 Rx




 2.4828 
θ R = tan−1 

 5.1869 
∴ θ R = 25.34’44”
De los resultados obtenidos, se establece que la fuerza resultante tiene como magnitud y dirección
R = 5.75 N y θ R = 25.34’44”
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
58
MATEMÁTICAS III
EL MOVIMIENTO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS: TRANSFORMACIONES.
Una figura geométrica libre y ubicada en el plano cartesiano, sufre una transformación al aplicarle
movimientos de traslación, rotación y reflexión. Una transformación es la obtención de una figura
congruente a partir de otra.
Movimiento de Traslación.
Es el desplazamiento horizontal, vertical u oblicuo que realiza una figura manteniendo su posición
original. En este movimiento, la figura inicial es llamada pre-imagen y la final imagen, donde ambas
son congruentes.
Traslación de figuras libres.
La traslación de una figura libre se realiza llevando como directriz una recta llamada eje y la
distancia entre los puntos homólogos es la misma y se llama amplitud.
EJEMPLO
* Trasladar la siguiente figura geométrica en una dirección horizontal , siguiendo una directriz de
4 cm de amplitud como lo indica la flecha.
A
B
D
C
J
F
K
H
E
I
G
4 cm
- La imagen de la figura se obtiene trasladando cada uno de los vértices y lados de la pre-imagen
en forma horizontal hacia la derecha con una amplitud de 4 cm.
A
B
D
C
F
J
A’
B’
K
D’
H
E
J’ K’
C’
I
F’
G
Pre-imagen
H’ I’
E’
G’
4 cm
Imagen
De la traslación obtenida, se establece que cada punto y lado de la pre-imagen es homólogo con
cada punto y lado de la imagen. A con A’ , B con B’ , C con C’, AB con A' B' , BC con B'C ' , etc.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
59
MATEMÁTICAS III
* Trasladar la siguiente figura geométrica en una dirección oblicua, siguiendo una directriz de
6 cm de amplitud como lo indica la flecha.
C
D
F
B
E
A
G
6 cm
- La pre-imagen debe trasladarse con una magnitud de 6 cm, con la dirección y sentido marcados
por la flecha.
- La imagen se obtiene trasladando cada uno de los puntos en forma paralela a la directriz.
Imagen
C´
D´
B´
F´
E´
A´
C
G´
D
F
B
E
A
G
6 cm
Pre-imagen
Traslación en el plano cartesiano.
La traslación de un punto P(x,y) en el plano cartesiano es P’(x’,y’), donde x’ = x + h y y’ = y + k.
“h” es la traslación de la abscisa, hacia la derecha es positiva y hacia la izquierda es negativa.
“y” es la traslación de la ordenada, hacia arriba es positiva y hacia abajo es negativa.
EJEMPLO
* Resolver el siguiente ejercicio.
La pre-imagen de una figura ubicada en el plano cartesiano tiene como vértices los puntos
A(2,3) , B(3,7) y C(7,5) ; y su imagen tiene los vértices A’(−8,5) , B’(−7,9) y C’(−3,7) como lo
muestra la siguiente figura. De acuerdo con esto, ¿Cuál es el valor de las traslaciones h y k que
se realizaron para llegar a la imagen de dicha figura.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
60
MATEMÁTICAS III
y
B´
B
C´
C
A´
A
x
- Para obtener las traslaciones h y k, se aplican las expresiones x´ = x + h y y’ = y + k
- Se despeja h y k y se sustituyen valores de cada punto para obtener las traslaciones
correspondientes.
Punto A y A’. h = x’ − x
k = y’ − y
h = − 8 − 2 ∴ h = −10
k=5−3 ∴ k=2
Punto B y B’. h = x’ − x
k = y’ − y
h = − 7 − 3 ∴ h = −10
k=9−7 ∴ k=2
Punto C y C’. h = x’ − x
k = y’ − y
h = − 3 − 7 ∴ h = −10
k=7−5 ∴ k=2
De los resultados obtenidos ,
se establece que la traslación
horizontal es diez unidades hacia
la izquierda y la vertical es dos
unidades hacia arriba.
* Resolver el siguiente ejercicio.
Los vértices de un cuadrilátero ubicado en el plano cartesiano son A(−2,2) , B(−3,6) , C(−6,4) y
D(−6,2). Si al cuadrilátero se le aplica una traslación en donde la imagen del punto A es
A’(3,−1); entonces, ¿Cuáles son las coordenadas de las imágenes de los puntos B, C y D, y
cuáles son los valores de las traslaciones h y k?
- Para obtener las traslaciones h y k, se aplican las expresiones x´ = x + h y y’ = y + k
- Se despeja h y k y se sustituyen valores del punto A y A’ para obtener las traslaciones
correspondientes.
h = x’ − x
h = 3 − (−2)
∴ h=5
;
k = y’ − y
k = −1 − 2
∴ k = −3
- Para obtener las imágenes de los puntos, se sustituyen valores en x´ = x + h y y’ = y + k
Imagen del punto B. x’ = −3 + 5 = 2
y’ = 2 + (−3) = −1
∴
B’(2,−1)
y’ = 4 + (−3) = 1
∴
C’(−1,1)
; y’ = 2 + (−3) = −1
∴
D’(−1,−1)
;
Imagen del punto C. x’ = −6 + 5 = −1 ;
Imagen del punto D. x’ = −6 + 5 = −1
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
61
MATEMÁTICAS III
Movimiento de Rotación.
Es el giro que realiza una figura hacia la izquierda o la derecha con respecto a un eje de rotación.
La magnitud del giro se mide en grados o en radianes (π rad = 180°).
Rotación en figuras libres.
Una figura sufre una transformación, si se le aplica una rotación mediante los siguientes giros.
Giro directo o levógiro, si es positivo, es decir, contrario al sentido de las manecillas del reloj.
Giro inverso, retrógrado o dextrógiro, si es negativo, es decir, en el sentido de las manecillas del
reloj.
EJEMPLO
* Resolver el siguiente ejercicio.
Si un reloj en cierto momento marca las 11:15 hrs y posteriormente marca las 13:30 hrs.
Entonces; ¿Cuántos grados y radianes habrá girado el minutero?
- Se realiza un esquema para analizar el giro del minutero en el reloj.
12
12
3
9
3
9
6
6
antes
después
- De la figura se establece que el minutero en general gira 2 vueltas completas, mas un cuarto de
vuelta, es decir: 2(360°) + 90° = 810°. Por lo tanto, el minutero ha girado 810°.
- Para el giro del minutero en radianes se aplica la expresión,
S
R
=
donde S = 810°
180° π
- Se sustituye el valor de “S” y se obtiene el valor de “R”.
810° R
=
180° π
R=
810π
180
R=
9
9
π rad . Por lo tanto, el minutero ha girado R = π rad
2
2
* Realizar la rotación del siguiente triángulo equilátero teniendo como eje su baricentro y
aplicándole un giro directo o levógiro de 80°.
A
Baricentro
B
C
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
62
MATEMÁTICAS III
- Como el tipo de giro es levógiro, entonces la dirección es hacia la izquierda, obteniéndose la
imagen siguiente.
A
C´
A´
80°
80°
80°
C
B
B´
* Realizar la rotación del siguiente triángulo teniendo como eje el punto “M” y aplicándole un giro
retrógrado o dextrógiro de 180°.
B
C
M
A
- Como el tipo de giro es dextrógiro, entonces la dirección es hacia la derecha, obteniéndose
la imagen siguiente.
B
C
A´
C´
M
A
B´
Rotación en el plano cartesiano.
La rotación de un punto P(x,y) en el plano cartesiano se realiza cuando a dicha punto se le aplica
un giro teniendo como eje de rotación el origen del plano.
EJEMPLO
* Realizar la rotación de un punto ubicado en el plano que tiene como coordenadas P(−5,5),
aplicándole un giro de tipo levógiro de 90°, 180° y 270°.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
63
MATEMÁTICAS III
- Como el tipo de giro es levógiro, entonces la dirección es hacia la izquierda, obteniéndose las
siguientes imágenes.
y
P(−5,5)
P’(5,5)
270° 180° 90°
x
0
P’(−5,−5)
P’(5,−5)
De la gráfica se establece que las imágenes del punto P(−5,5), son:
P’(−5,−5) para la rotación de 90°.
P’(5,−5) para la rotación de 180°.
P’(5, 5) para la rotación de 270°.
Movimiento de Reflexión.
La reflexión es el reflejo de una figura con respecto a un eje de simetría, donde cada uno de los
puntos de la pre-imagen y la imagen deben pertenecer a la misma perpendicular.
Reflexión de figuras libres.
En la reflexión de figuras libres, cada uno de los puntos de la pre-imagen y la imagen deben estar
a la misma distancia del eje de simetría que puede ser horizontal, vertical u oblicuo.
EJEMPLO
* Obtener la reflexión del siguiente triángulo, teniendo como eje de simetría una recta vertical
hacia la derecha de la figura.
EJE DE SIMETRÍA
B
0.8
A
C
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
64
MATEMÁTICAS III
- Se trazan líneas perpendiculares al eje de simetría, que salen de cada uno de los vértices del
triángulo como se muestra en el siguiente esquema.
Cada perpendicular que va de un punto de la pre-imagen al eje, tiene la misma longitud que la
perpendicular que va del eje al mismo punto de la imagen.
B
2.6
2.6
0.8
0.8
A
C
B´
A´
2.05
2.05
C´
Con lo anterior se generaliza que la reflexión es una forma especial de presentar un giro de 180°
levógiro ó dextrógiro sobre cualquier lugar; es decir, dentro o fuera de la figura, donde únicamente
cambiará la distancia de alejamiento dependiendo del eje de simetría.
Reflexión en el plano cartesiano.
La reflexión en el plano cartesiano se realiza teniendo como eje de simetría los ejes coordenados o
una recta que pasa por el origen de dicho plano.
EJEMPLO
* Aplicar un movimiento de reflexión a un triángulo que tiene como vértices los puntos A(−3,1) ,
B(−2,4) y C(−5,3) con respecto al eje de simetría que corresponde al eje de las ordenadas.
- Se ubican los puntos de la pre-imagen en el plano y se trazan rectas perpendiculares al eje de
simetría (eje y), para obtener los puntos de la imagen reflejada.
y
B
B’
4
3
C
C’
A
-5
-3
A’
-2
0
x
2
3
5
De la figura se establece que la reflexión de la pre-imagen, es la imagen que tiene como vértices
los puntos A’(3,1) , B’(2,4) y C’(5,3).
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
65
MATEMÁTICAS III
* Aplicar el movimiento de reflexión a los puntos A (2,4) y B (−3,−2) con respecto a una recta "L"
que está a 135° del eje de las abscisas como se muestra en la figura.
y
L
A
4
135°
0
-3
x
2
-2
B
- Se trazan rectas perpendiculares a la recta “L” correspondientes a cada uno de los puntos para
obtener su imagen reflejada en el plano cartesiano.
y
L
A
4
3
B’
135°
-4
0
-3
x
2
-2
A’
B
- De la gráfica se establece que la reflexión de los puntos A y B, son Las imágenes A’(−4,−2) y
B’(2,3).
Movimientos de traslación, rotación y reflexión aplicados en una figura.
Una figura sufre una transformación al aplicarle uno o más movimientos.
EJEMPLO
* Establecer el orden correcto de los tipos de movimientos que la figura 1 en el siguiente
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
66
MATEMÁTICAS III
siguiente esquema.
b
1
c
a
- Del esquema se establece que la pre-imagen (fig. 1) realiza los movimientos de reflexión,
rotación y traslación para legar a las imágenes a, b y c respectivamente.
La figura “a” se obtiene reflejando la figura “1” con respecto a un eje de simetría vertical.
La figura “b” se obtiene rotando la figura “a” con un giro de 180° en cualquier dirección.
La figura “c” se obtiene trasladando la figura “b” hacia la derecha y en forma horizontal.
SIMETRÍA DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
La simetría es desarrollar una habilidad basada en superponer figuras de tal forma que coincidan
en algún momento, es decir, la simetría puede darse respecto de un punto (simetría rotacional) ó
de una recta (simetría axial).
Simetría en Figuras Libres.
Una figura geométrica puede tener simetría axial, rotacional, ambas o ninguna.
La simetría rotacional aparece cuando se hace girar una figura con respecto a su centro de
gravedad y ésta coincide al menos una vez antes de dar un giro completo.
La simetría axial aparece cuando se traza un eje horizontal, vertical u oblicuo a una figura y ésta
queda dividida en dos partes reflexionadas.
EJEMPLO
* Establecer los tipos de simetría que tienen las siguientes figuras.
I
II
B
A
C
D
D
B
III
C
B
A
C
IV
B
A
A
C
- La figura I tiene tanto simetría rotacional como axial.
Tiene simetría rotacional porque al girar la figura con respecto a su centro, ésta coincide cuando el
giro es de 90°, 180°, 270° y 360°.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
67
MATEMÁTICAS III
A
B
D
C
primer giro ( 90° )
segundo ( 180° )
tercer ( 270° )
cuarto (360°)
LA FIGURA VUELVE A COINCIDIR
Á´
B´
D´
D´
C´
C´
B´
C´
A´
B´
D´
A´
Tiene simetría axial porque existen cuatro ejes que dividen a la figura en dos imágenes
reflexionadas.
EJE 1
EJE 2
EJE 3
EJE 4
- La figura II únicamente tiene simetría rotacional.
Tiene simetría rotacional porque al girar la figura, ésta coincide cuando el ángulo es de 180°.
C
D
B
A
A’
180°
B’
D’
C’
- La figura III no tiene ningún tipo de simetría.
- La figura IV tiene tanto simetría rotacional como axial.
Tiene simetría rotacional porque al girar la figura con respecto a su centro, ésta coincide cuando el
giro es de 120°, 240° y 360°.
B
C’
PRIMER GIRO (120°)
A’
SEGUNDO GIRO (240°)
TERCER GIRO (360°)
LA FIGURA VUELVE A COINCIDIR
A
C
B’
A’
C’
B’
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
68
MATEMÁTICAS III
Tiene simetría axial porque existen tres ejes que dividen a la figura en dos imágenes reflexionadas.
B
B
B
A
A
C
C
EJE 1
EJE 2
A
C
EJE 3
De lo anterior se concluye que si un triángulo es equilátero, entonces tiene 3 ejes de simetría.
Simetría en el Plano Cartesiano.
Una figura que posee tanto simetría axial como rotacional, puede realizar movimientos de reflexión
y rotación en el plano cartesiano, teniendo como eje de giro su centro de gravedad y como ejes de
reflexión los ejes coordenados.
EJEMPLO
* Determinar las equivalencias de movimientos que puede realizar la siguiente figura geométrica
a partir de las claves y condiciones que se especifican a continuación.
y
Clave:
Fi : Figura inicial.
y : Reflexión en y
x : Reflexión en x
Fm : Rotación de media vuelta
Fn : Figura intermedia al
hacer reflexión en x o en y.
A
B
x
0
D
C
Si se realizan los siguientes movimientos, entonces establecer las equivalencias en cada uno de
ellos.
A)
Fi
y
x
B)
Fm y
x
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
69
MATEMÁTICAS III
- Al realizar los movimientos que indica el inciso “A”, se obtienen las siguientes imágenes.
y
y
A’
C’’
D’
D’’
x
0
x
0
B’
B’’
A’’
C’
La figura inicial “Fi” al hacer reflexión en
“y”, se obtiene una figura intermedia “Fn”.
La figura intermedia “Fn” al hacer reflexión en
“x”, se obtiene una imagen equivalente a una
figura que realiza una rotación de media
vuelta “Fm”.
De las imágenes obtenidas, se establece que los movimientos equivalentes, son:
A) Fi y
Fn x
Fm
- Al realizar los movimientos que indica el inciso “B”, se obtienen las siguientes imágenes.
y
y
C’’’
A’’’’
B’’’
B’’’’
x
0
x
0
D’’’
D’’’’
C’’’’
A’’’
La figura de media vuelta “Fm” al hacer
reflexión en “y”, se obtiene una figura
intermedia “Fn”.
La figura intermedia “Fn” al hacer reflexión en
“x”, se obtiene una imagen equivalente a una
figura inicial “Fi”, ya que regresa a su posición
inicial.
De las imágenes obtenidas, se establece que los movimientos equivalentes, son:
B)
Fm y
Fn
x
Fi
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
70
MATEMÁTICAS III
EVALUACIÓN
Contesta en tu cuaderno de notas lo que se te pide en cada ejercicio.
25.
Determina el valor del lado desconocido de un triángulo rectángulo que su función coseno
10
es cos A =
y obtener las razones de las demás funciones trigonométricas directas y
15
recíprocas del ángulo A.
26.
Si sec A = 8, entonces encuentra el valor del lado desconocido y la función csc A.
27.
Resuelve el triángulo rectángulo ABC, si θ = 50° y c = 60 m.
A
α
c = 60 m
b
β = 50°
θ
C
28.
a
B
Resuelve el triángulo rectángulo ABC, si b = 37 m y θ = 40°.
B
β
c
a
θ
C
29.
α = 40°
b = 37 m
A
Resuelve el triángulo rectángulo ABC, si a = 47 m y b = 33 m.
A
α
b = 33 m
c
β
θ
C
30.
a = 47 m
B
Resuelve el siguiente problema por medio de las funciones trigonométricas.
El asta de una bandera está fijada verticalmente en lo alto de un edificio. Desde un punto a
50 m del pie del edificio, los ángulos de elevación al pie y a la punta del asta son 21° y 33°.
De acuerdo con esto; ¿Cuál es la medida del asta bandera?
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
71
MATEMÁTICAS III
31.
Resuelve el siguiente problema por medio de las funciones trigonométricas.
Se observa desde lo alto de un faro que los ángulos de depresión de dos barcos en línea
recta con él son 14° y 9° respectivamente; si la distancia del faro al primer barco es 200 m,
entonces, ¿Cuál es la altura del faro y la distancia de éste al segundo barco?
32.
Determina los lados de un triángulo rectángulo que se forma en el primer cuadrante con un
radio vector r = 20 unidades, formando un ángulo de 60° como se muestra en la figura.
y
r = 20
θ = 60°
33.
x
Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC, si a = 15 m , θ = 48° y β = 54°.
C
θ
a = 15 m
b
34.
β = 54°
α
A
B
c
Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC, si b = 15 m, c = 10 m y θ = 39°.
C
θ = 39°
b = 15 m
β
α
A
35.
a
c = 10 m
B
Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC, si a = 5 m, b = 7 m y c = 9 m.
b
c
a
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
72
MATEMÁTICAS III
36.
Resuelve el siguiente problema por medio de la ley de los senos.
Dos personas de frente y a 3000 m una de otra en el mismo nivel horizontal, observan un
avión con ángulos de elevación de 40° y 60°. Hallar la altura del avión
37.
Resuelve el siguiente problema por medio de la ley de los cosenos.
Un terreno está limitado por tres calles que se cortan. Si los lados del terreno miden 300 m,
400 m y 500 m; entonces, ¿Cuáles son las medidas de los ángulos formados por las calles
al cortarse.
38.
Resuelve el siguiente problema por medio de la ley de los senos.
Una montaña separa los puntos A y B. Si la distancia del punto A a un punto C
es AC = 300 m y la distancia del punto B al mismo punto C es BC = 200 m con un ángulo
ABC = 60°. Entonces; ¿Cuál es la distancia de AB?
39.
Si se tiene un vector V1 = 60 con dirección θ = 150° y sentido noreste, entonces representa
el vector –V1 con su ángulo respectivo.
40.
Representa gráficamente la suma de los vectores que parten en un punto en común como
lo muestra la siguiente figura:
V2
V1
41.
Resuelve el siguiente ejercicio, aplicando el método del triángulo para los vectores.
Determina el vector resultante que se obtiene al sumar dos vectores que forman un ángulo
de 90° entre sí.
V1 = 8
90°
V2 = 10
42.
Obtén el vector resultante del sistema mostrado en la figura, aplicando el método del
paralelogramo.
V1= 10
θ = 40°
V2 = 8
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
73
MATEMÁTICAS III
43.
Obtén el vector resultante y el ángulo de la resultante del siguiente sistema de fuerzas.
y
F1= 2.0 N
F2 = 4 N
θ 1 = 60°
θ 2 = 30°
θ 4 = 25°
x
F3 = 6 N
F4= 3.5N
44.
Resuelve el siguiente ejercicio por medio de la aplicación de los vectores.
Determina el peso de un cuerpo suspendido y sostenido por dos cuerdas como lo muestra
la figura.
F2= 50 N
F1 = 60 N
θ 1 = 55°
θ 2 = 50°
Cuerpo
P=?
45.
Realiza la traslación de las siguientes figuras, siguiendo como eje la flecha que se indica
en cada una de ellas.
A)
B)
C)
D
B
B
A
C
A
A
C
4 cm
B
C
5 cm
2 cm
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
74
MATEMÁTICAS III
46.
Encuentra los valores de h , k para cada par de puntos homólogos de las siguientes
figuras que se están trasladando.
A)
B)
y
y
B
B
C
C
A
D
A B´
B´
x
C´
A´
D´
A´
47.
Efectúa la rotación que se especifica en cada inciso.
A)
Giro de 40° levógiro sobre el centro de un cuadrado.
B)
Giro de 110° dextrógiro sobre el centro de un triángulo equilátero.
C)
Giro de 65° dextrógiro alrededor del punto B del siguiente triángulo.
A
C
B
D)
C´
x
Giro de 70° levógiro alrededor del punto E del siguiente triángulo.
B
A
C
E
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
75
MATEMÁTICAS III
48.
Resuelve el siguiente ejercicio por medio del movimiento de rotación.
Realiza las operaciones indicadas para encontrar las equivalencias entre dos movimientos
de rotación y un solo movimiento del mismo tipo, a partir de la siguiente figura y sus
respectivas claves.
x
EJE
y
Claves:
C = Giro de vuelta completa.
M = Giro de media vuelta.
D = Un cuarto de vuelta en sentido directo.
R = Un cuarto de vuelta en sentido retrógrado.
w
z
x
x
x
∴
CoC=
x
y
x
∴
DoR=
M
∴
MoM=
M
∴
DoM=
R
∴
RoR=
w
M
x
y
z
49.
R
Completa la siguiente tabla, aplicándoles movimiento de rotación de 90°, 180° y 270° en
sentido directo a cada uno de los siguientes puntos que se ubican en el plano cartesiano.
PUNTOS
P(x,y)
A(3,3)
B(−2,2)
C(7,−7)
50.
MOVIMIENTO DE ROTACIÓN
90°
180°
270°
Realiza la reflexión para las siguientes figuras conforme el eje de simetría especificado.
A)
B)
C
B
A
C
B
A
D
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
76
MATEMÁTICAS III
51.
Resuelve el siguiente ejercicio por medio del movimiento de reflexión.
Los vértices de un trapecio son los puntos A(2,2) , B(5,5) , C(5,8) y D(−1,2). Si al trapecio
se le aplica una reflexión, teniendo como eje de simetría el eje de las abscisas; entonces,
¿Cuáles son los puntos que corresponden a los vértices de su imagen?
52.
Indica el orden correcto de los tipos de movimiento que efectúa la figura 1.
1
A
B
C
53.
Especifica el tipo de simetría y el número de ejes que tiene cada una de las siguientes
figuras.
54.
Resuelve el siguiente ejercicio por medio de la simetría en el plano cartesiano.
Determina las equivalencias de movimientos que puede realizar la siguiente figura
geométrica, a partir de las claves y condiciones que se especifican a continuación.
y
A
Clave:
Fi : Figura inicial.
y : Reflexión en y
x : Reflexión en x
Fm : Rotación de media vuelta
Fn : Figura intermedia al
hacer reflexión en x o en y.
B
x
0
D
C
Si se realizan los siguientes movimientos, entonces establecer las equivalencias en cada
uno de ellos.
A)
Fi
y
x
B)
Fm y
x
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
77
MATEMÁTICAS III
3.3 COMPENDIO FASCÍCULO 3
ORGANIZACIÓN DEL CONOCIMIENTO:
EL MÉTODO AXIOMÁTICO.
En el compendio fascículo 3 conociste las clases de razonamiento (deductivo e inductivo) para
construir las diferentes formas de explicar los problemas y las demostraciones que emplean
métodos directos ó indirectos, procedimientos analíticos ó sintéticos y el método indirecto que tiene
como procedimiento la inducción matemática completa.
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO.
Proceso de razonamiento para llegar a una conclusión, basándose en hechos aceptados.
El proceso consiste en aceptar una proposición general para obtener una conclusión en una
situación particular. Este razonamiento va de lo general a lo particular.
EJEMPLO
* Resolver el siguiente problema.
En una mueblería se robaron una televisión y, como de costumbre, la policía detuvo a cuatro
personas, quienes declararon lo siguiente.
Juan : “ Yo no robé la televisión”
Pedro : “ Juan miente”.
Laura : “ Pedro miente”.
Esther: “Lo robó Pedro”.
¿Quién dijo la verdad?, ¿Quién robó la televisión?
- Para resolver el problema se tiene que tomar en cuenta el principio de no−contradicción:
Esther contradice a Pedro.
Laura contradice a Pedro.
Pedro contradice a Juan.
Juan afirma únicamente.
- Como se observa en el análisis, Juan dijo la verdad y quién robó la televisión fue Pedro por
haber dos proposiciones contradictorias.
PROPOSICIONES.
La proposición es una expresión lingüística que afirma o niega algo.
Una o más proposiciones constituyen un razonamiento, el cual está conformado por una hipótesis
y una conclusión.
p
q
Si (hipótesis) , entonces (conclusión).
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
78
MATEMÁTICAS III
EJEMPLO
* Formular la hipótesis y la conclusión de las siguientes proposiciones.
A) Si voy a la escuela hoy, entonces veré al nuevo director.
B) Si los ángulos son rectos, entonces tiene la misma medida.
- Como las proposiciones contiene dos cláusulas: la primera precedida de “ si “ llamada hipótesis y
la segunda precedida de “ entonces” llamada conclusión, entonces en cada inciso se desprenden
dichas cláusulas.
A) Hipótesis (p) : Voy a la escuela hoy .
Conclusión(q) : Veré al nuevo director.
B) Hipótesis (p) : Los ángulos son rectos.
Conclusión(q) : Tienen la misma medida.
Reciproca de una Proposición.
La recíproca de una proposición es otra proposición que se obtiene cuando la hipótesis pasa a ser
la conclusión y la conclusión pasa a ser la hipótesis.
EJEMPLO
* Obtener la recíproca de las siguientes proposiciones.
A) Si un cuadrilátero es un rectángulo, entonces sus diagonales son iguales.
B) Si la temperatura continua bajando, entonces se congelará el lago.
- Se invierten las partes de las proposición en cada inciso.
A) Recíproca: Si las diagonales son iguales, entonces un cuadrilátero es un rectángulo.
B) Recíproca: Se congelará el lago, si la temperatura continua bajando.
Inversa de una Proposición.
La inversa de una proposición es otra proposición que se obtiene cuando a la hipótesis y la
conclusión se le agrega la negación.
EJEMPLO
* Obtener la inversa de las siguientes proposiciones.
A) Si Laura cumple 15 años, entonces se realizará una fiesta.
B) Si realizó un trabajo de Física, entonces aprobaré el semestre.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
79
MATEMÁTICAS III
- Se agrega la negación (no) tanto a la hipótesis como a la conclusión de cada proposición.
A) Inversa : Si Laura no cumple 15 años, entonces no se realizará una fiesta.
B) Inversa : Si no realizo un trabajo de Física, entonces no aprobaré el semestre.
RAZONAMIENTO INDUCTIVO.
Proceso de encontrar un principio general, basándose en la evidencia de casos específicos. Este
razonamiento va de lo particular a lo general.
EJEMPLO
* Establecer las condiciones del siguiente problema.
Cuando se sumergen cinco semillas de girasol en una disolución de cierto producto químico, las
semillas producen plantas que no florecen. Cuando se sumergen seis semillas de espinaca en la
misma disolución producen plantas similares al zacate. Cuando se sumergen cuatro semillas de
maíz, el maíz produce tallos exageradamente altos.
- Para establecer la conclusión se analiza cada premisa del problema, en las semillas de girasol el
producto químico afecta en su crecimiento, en la flores también afectan en su crecimiento, en las
espinacas igual y finalmente el de maíz también afecta su crecimiento por lo tanto se llega a la
conclusión:
La disolución del producto químico afecta a las semillas de tal manera que quedan incapacitadas
para producir plantas normales.
* Demostrar: “Si dos lados de un triángulo son desiguales, entonces ...............” ¿A que
conclusión se llagará?
- Para obtener la conclusión se trazan varios triángulos grandes para medir los ángulos por medio
de un transportador.
- Después de medir en cada figura los ángulos, se llega a la siguiente conclusión:
“ Los ángulos opuestos a esos lados tienen medidas desiguales y el ángulo mayor está opuesto al
lado mayor”
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
80
MATEMÁTICAS III
DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS.
La demostración es un razonamiento lógico que indica si un enunciado, proposición ó fórmula
matemática es verdadera.
Se compone de una proposición (la que se va a demostrar), una hipótesis(lo que se conoce como
cierto o evidente), una tesis (lo que se quiere demostrar), un esquema (representación de lo que se
va a demostrar), unos datos, un procedimiento(secuencia de proposiciones), unas razones
(secuencia de fundamento) y una conclusión (donde se afirma la tesis).
Método Directo y Procedimiento Analítico.
Tiene la forma de una cadena que va de la tesis a los principios que determinan su aplicación.
EJEMPLO
* Demostrar la siguiente proposición utilizando el método directo y el procedimiento analítico.
“La suma de los ángulos exteriores de un triángulo vale cuatro ángulos rectos”.
Información:
Proposición a demostrar
La suma de los ángulos exteriores de un triángulo vale cuatro ángulos rectos
Hipótesis: La suma de los ángulos exteriores de un triángulo.
Tesis : Vale cuatro ángulos rectos.
Esquema:
C
z
y
A
B
x
Datos : Ángulos A,B,C y ángulos externos x, y,z
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
81
MATEMÁTICAS III
Procedimiento analítico
Proposiciones:
Razones:
1. ∠ A + ∠ x = 2 ∠s rectos
1. Por ser ángulos adyacentes.
2. ∠ B + ∠ y = 2 ∠s rectos
2. Por ser ángulos adyacentes.
3. ∠ C + ∠ z = 2 ∠s rectos
3. Por ser ángulos adyacentes.
4. ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ x + ∠ y + ∠ z =
6 ∠s rectos
4. Suma de cantidades.
5. ∠ A + ∠ B + ∠ C = 2 ∠s rectos
5. Por la suma de ángulos interiores de un
triángulo.
6. 2 ∠s rectos + ∠ x + ∠ y + ∠ z = 6 ∠s rectos
6. Un número se puede sustituir por otro igual
en cualquier operación entre números.
7. 2 ∠s rectos − 2 ∠s rectos + ∠ x + ∠ y + ∠ z
= 6 ∠s rectos − 2 ∠s rectos
7. Restando cantidades iguales en una
igualdad no se altera.
8. ∠ x + ∠ y + ∠ z = 6 ∠s rectos − 2 ∠s rectos
8. Reduciendo términos.
9. ∠ x + ∠ y + ∠ z = 4 ∠s rectos
9. Lo que se quiere demostrar (LQQD).
Método Directo y Procedimiento Sintético
Consiste en iniciar con axiomas, postulados ó teoremas conocidos, hasta llegar, por medio de ellos
a la tesis que se quiere probar o demostrar. Este va de las premisas a la tesis en forma progresiva
y aprobatoria.
EJEMPLO
* Demostrar la siguiente proposición utilizando el método directo y el procedimiento sintético.
“En todo triángulo la suma de los ángulos interiores es igual a 180°”.
Información:
Proposición a demostrar: En todo triángulo la suma de los ángulos interiores es igual a 180°.
Hipótesis: En todo triángulo
Tesis: La suma de los ángulos interiores es igual a 180°
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
82
MATEMÁTICAS III
Esquema:
C
B
A
D
C
Datos: Triángulo ∆ABC, ángulos internos ∠a, ∠b, ∠c, rectas auxiliar CD paralela a AC , ángulos
exteriores ∠ α y ∠ β .
Procedimiento sintético.
Proposiciones:
Razones:
1.- ∠a + ∠b + ∠c = 180°
1.- Por la tesis.
2.- ∠a = ∠ α
2.- Por ser ángulos alternos – internos entre
paralelas cortadas por una transversal.
3.- Por ser ángulos alternos – internos entre
paralelas cortadas por una transversal.
3.- ∠c = ∠ β
4.- ∠ α + ∠b + ∠ β = 180°
4.- Por la formación de un ángulo llano entre el
rayo C, el punto B y el D.
5.- ∠a+ ∠b + ∠c = 180°
5.- Sustituyendo la 2, y 3 en la 4, se concluye
que es cierta la tesis.
Método Indirecto y Procedimiento Sintético
Para realizar una demostración indirecta se supone la negativa de la conclusión (por demostrar)
como cierta; se razona, a partir de la proposición supuesta, hasta llegar a una contradicción de un
hecho conocido y se indica que la proposición supuesta debe ser incorrecta y que la conclusión
deseada es cierta.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
83
MATEMÁTICAS III
EJEMPLO
* Demostrar la siguiente proposición utilizando el método indirecto y el procedimiento sintético.
“Si dos rectas son intersectadas por una transversal de tal manera que los ángulos
correspondientes sean iguales, entonces las rectas son paralelas”.
Información:
Proposición a demostrar: Si dos rectas son intersectadas por una transversal de tal manera que
los ángulos correspondientes sean iguales, entonces las rectas son paralelas.
Hipótesis: Si dos rectas son intersectadas por una transversal de tal manera que los ángulos
correspondientes sean iguales.
Tesis: Entonces las rectas son paralelas.
Esquema:
m
1
p
n
2
t
Datos: La transversal t intersecta a la recta m en el punto P, y a la recta n en un punto
cualquiera; ∠1 = ∠2.
- Como las rectas paralelas dan ángulos correspondientes y éstos son iguales, parece razonable
intentar una demostración indirecta. Supóngase que m no es paralela a n. Trácese una recta
que pasa por P y sea paralela a n y luego dedúzcase proposiciones contradictorias con
referencia a la relación entre el ∠1 y el ∠2.
- Para hacer uso de una recta auxiliar se traza nuevamente la figura y mostrar la recta, auxiliar en
forma punteada y concluir en la demostración un paso en el que se indique la existencia de
aquella recta.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
84
MATEMÁTICAS III
Proposiciones:
Razones:
1.- m no es paralela a n
1.- Negación de la tesis.
2. Por construcción adicional.
2.- Traza una recta j que pase por P y que
sea paralela a n.
m
1
p
n
2
t
3.- ∠3 = ∠2
3.- Por ser ángulos correspondientes.
4.- ∠1 = ∠2
4.-Por dato.
5.- ∠1 = ∠3
5.- Puesto cantidades iguales a una tercera son
iguales.
6.- ∠1 ≠ ∠3
6.- Puesto que en un semiplano , en el punto
extremo de un rayo que descansa en la frontera
del semiplano, existe otro rayo, y sólo uno, que
forma con éste un ángulo de una medida dada.
La suposición debe ser falsa, y se concluye que
m es paralela a n.
Método Indirecto y Procedimiento por Inducción Matemática Completa.
Parte de la validez de la primera proposición, para valores donde un número n de veces toma un
valor especifico k y algebraicamente se proyecta a un valor siguiente mediante la sustitución de
k + 1 valores, el cual se forma para la diferencia de términos y para la expresión que nos da el
enésimo término.
EJEMPLO
* Demostrar la siguiente proposición utilizando el método indirecto y el procedimiento por
inducción matemática completa.
“Si n es el número de lados (de un polígono convexo) entonces el número de triángulos
Nn, que se pueden trazar es Ns = (n – 2)”.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
85
MATEMÁTICAS III
Proposición: Si n es el número de lados ( de un polígono convexo), entonces el número de
triángulos Nn, que se pueden trazar es Ns = (n – 2).
Hipótesis: Si n es el número de lados (de un polígono convexo).
Tesis: Entonces el número de triángulos Nn que se pueden trazar en un polígono es Ns = ( n – 2).
Esquema:
3
1
1
Lados n
3
Ns Número de
triángulos 1
1
2
2
2
1
4
2
3
1
3
5
4
4
5
6
7
2
3
4
5
Plan : Se demostrará por el método de inducción matemática , considerando la sucesión :
1, 2, 3, 4, 5, ............. n – 2
Proposiciones:
Razones:
1.- El número de triángulos para un polígono de 1.- Por ser el polígono de menor número de
3 lados es de 1.
lados y no tener diagonales.
2.- Para n = 3 se tiene, N3 = 3 – 2 = 1
3.- Si n = k, se tiene Ns = (n – 2)
Por lo que: Nk = k – 2
4.- Al aumentar un vértice, el Ak + 1 , se tiene un
polígono de k + 1 lados:
Nk + 1 = N k + N 3
2.- Para verificar que la expresión es valida para
el segundo elemento en este caso del polígono
3.- Hipótesis de inducción : Supongamos el
número de triángulos formados del polígono
de k lados cuyos vértices son: A1, A2, A3,....Ak
4.- Demostramos a partir de aquí que el número
de triángulos formados en el polígono
convexo para n = k + 1 es Nk + 1 = (k +1) – 2
Si se une A1 con Ak , el polígono de k + 1
lados queda dividido en un polígono de k
lados y en un triángulo.
Nk + 1 = (k – 2) + 1
Por lo tanto
Nk + 1 = (k +1) – 2
Conclusión:
Esto significa que la suposición queda probada
por inducción matemática y puede aceptarse
como un teorema de la geometría.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
86
MATEMÁTICAS III
EVALUACIÓN
Contesta en tu cuaderno de notas lo que se te pide en cada ejercicio.
55.
Resuelve el siguiente problema, aplicando el razonamiento deductivo.
En una agencia automotriz se robaron un automóvil y como de costumbre, la policía detuvo
a cuatro personas, quienes declararon lo siguiente:
Javier : “ Yo no robé el automóvil”
Manuel : “ Javier miente “
Marisol : “ Manuel miente”
Silvia : “ Lo robó Manuel”
¿Quién dijo la verdad? , ¿Quién robó el automóvil ?
Establece la hipótesis y la conclusión de cada una de las siguientes proposiciones.
A) Si ahorro, entonces puedo ir al cine
B) Si cicatriza el tobillo de Juan, entonces jugará en el partido del sábado.
57.
Formula la proposición recíproca de las siguientes proposiciones.
A) Si hoy es lunes, entonces mañana es martes.
B) Si un árbol está muerto, entonces no tiene hojas
58.
Formula la proposición inversa de las siguientes proposiciones.
A) Si todos los ángulos de un triángulo son iguales entonces, el triángulo es equilátero.
B) Si dos triángulos son congruentes, entonces son semejantes.
59.
Establece las deducciones de los siguientes problemas.
A) Se observa que una hormiga prueba un líquido y muere. Posteriormente varias
hormigas prueban el mismo liquido y también mueren.
B) Se localiza un nido de huevos extraños, todos similares entre sí. Después de cierto
tiempo, los cascarones empiezan a romperse y se observa que los tres primeros son de
lagartija.
60.
Obtenga la conclusión de cada una de las siguientes proposiciones.
A) Todos los estudiantes de primero deben tomar una clase de orientación. María Sánchez
es una estudiante de primero.
B) Sólo los estudiantes que estudian con regularidad pasarán geometría. Guillermo
Martínez no estudia con regularidad.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
87
MATEMÁTICAS III
61.
Establece la conclusión de las siguientes hipótesis, completando la proposición.
A) Si a un triángulo obtusángulo se le trazan sus bisectrices, entonces se intersectan en.....
B) Si un trapecio tiene dos pares de lados paralelos, entonces es un................
62.
Completa el desarrollo de la siguiente demostración e indica el tipo de método y
procedimiento a utilizar.
Proposición a demostrar: “Si dos rectas se intersectan, los ángulos opuestos por el
vértice son iguales”.
Con base a la siguiente figura:
A
D
M
1
2
C
B
Si AB y CD se bisecan entre sí en M, los triángulos formados son iguales
Hipótesis: Si AB y CD se bisecan entre sí en M
Tesis : Los triángulos son iguales.
Método:__________________________
Proposición
Procedimiento: _________________________
Razones
1. AM = BM
1. AB es bisecado (Dato)
2. CM = DM
2.
3. ∠1 = ∠2
3.
4. ∆ACM ≅ ∆BDM
4.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
88
MATEMÁTICAS III
63.
Completa el desarrollo de la siguiente demostración e indica el tipo de método y
procedimiento a utilizar.
Proposición a demostrar: “Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los
ángulos opuestos a esos lados son también iguales”.
Hipótesis :___________________________________________________________
Tesis :______________________________________________________________
Método:___________________________
Esquema:
Procedimiento:________________________
C
A
B
Proposiciones
Razones
1. Sea el ∆ABC
1. Dato
2. Trazar la bisectriz del ∠C que interseca al
lado AB en el punto D
2. Un ángulo tiene una bisectriz y solo una.
C
A
D
B
3. ∠ ACD = ∠ BCD
3.
4. AC = BC
4.
5. CD = CD
5. Propiedad Reflexiva de la igualdad.
6. ∆ ACD ≅
7. ∠A = ∠ B
∆BCD
6.
7.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
89
MATEMÁTICAS III
64.
Completa el desarrollo de la siguiente demostración e indica el tipo de método y
procedimiento a utilizar.
Proposición a demostrar: “En todo triángulo cualquier ángulo exterior de éste es igual
a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él”.
Hipótesis:________________________________________________________________
Tesis: __________________________________________________________________
Datos: Línea, ABC, ∠a, ∠b y ∠c.
Esquema:
C
c
a
A
β
b
L
B
Método: ________________________
Procedimiento : _______________________
Proposiciones
Razones
1. ∠β = ∠a, + ∠c.
1. Por tesis
2. ∠b + ∠β = 180°
2.
3. ∠a, + ∠b + ∠c = 180°
3.
4. ∠b, + ∠β = ∠a, + ∠b + ∠c
4. Cantidades iguales a una tercera son iguales.
5. ∠β = ∠a + ∠c
5. Restando cantidades iguales en ambos lados
de la igualdad no se altera, concluyendo que
es cierta la tesis.
65.
Encuentre y demuestre por inducción matemática una formula para determinar la suma Sn
de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de n lados.(La suma de los
ángulos interiores de un triángulo es igual al doble de la medida de un ángulo recto).
66.
Obtenga y demuestre por inducción completa una fórmula para encontrar el Nn, de
diagonales que no se intersectan, requeridas para seccionar en triángulos a un polígono de
n lados.
67.
Obtenga y demuestre una fórmula para determinar el número de partes Np en que queda
dividido un plano al pasar por el n rectas concurrentes.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
90
MATEMÁTICAS III
3.4 COMPENDIO FASCÍCULO 4
ELEMENTOS DE OTRAS GEOMETRÍAS.
En el compendio fascículo 4 conociste los diferentes tipos de geometrías y sus características,
también generaste fractales por distintos casos para ver el comportamiento de las figuras
correspondientes a la naturaleza.
GEOMETRÍAS DIFERENTES.
Euclides aportó a la geometría plana el método axiomático para la demostración de teoremas que
deben probarse hasta llegar a un conjunto de proposiciones primarias llamadas postulados o
axiomas.
De la infinidad de teoremas que existen dentro de la geometría, se citan algunos de ellos, los
cuales son:
- La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulos es 180°.
- En triángulos congruentes, sus elementos homólogos son iguales.
- En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales.
El quinto postulado de la geometría euclidiana dejó insatisfechos a muchos pensadores e
intentaron encontrar la manera de eliminarlo o demostrar que no era necesario; para ello existen
dos formas básicas de negar el quinto postulado, las cuales conducen a las geometrías no
euclidianas (geometría hiperbólica y elíptica).
A) Geometría de Lobachevski o hiperbólica, la cual acepta los primeros cuatro postulados
euclidianos, pero en el quinto afirma que por un punto exterior a una recta dada pasa más de una
paralela a dicha recta.
B) Geometría de Riemann o elíptica, la cual también respeta los primeros cuatro postulados, pero
en el quinto afirma que por un punto exterior a una recta dada no pasa ninguna paralela a dicha
recta.
EJEMPLO
* Establecer gráficamente el quinto postulado de Euclides y la negación de éste en las
geometrías de Lobachevski y Riemann.
- El quinto postulado de Euclides sobre las paralelas, establece “por un punto exterior a una recta,
existe una y sólo una recta que pasa por el punto y es paralela a dicha recta”; esto se ilustra
gráficamente sobre un plano de trabajo.
PUNTO EXTERIOR “P”
RECTA PARALELA
A LA RECTA “L”
RECTA “L”
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
91
MATEMÁTICAS III
- La geometría de Lobachevski o geometría hiperbólica niega el quinto postulado de Euclides, pues
establece que “por un punto exterior a una recta dada, pasa más de una recta paralela a dicha
recta”; esto se ilustra sobre una circunferencia, en donde las rectas son todas aquellas que están
contenidas en el círculo.
P
A
B
PUNTO EXTERIOR
C
RECTAS
PARALEAS A “L”
RECTA “L”
- La geometría de Riemann o geometría elíptica niega el quinto postulado de Euclides, pues
establece que “por un punto exterior a una recta dada, no pasa ninguna paralela a dicha recta”;
esto se ilustra sobre una circunferencia, en donde las rectas únicamente son aquellas que son
diámetros del círculo.
PUNTO EXTERIOR “P”
RECTA “L”
GEOMETRÍA FRACTAL.
La geometría fractal estudia la generación, dimensionalidad y aplicación práctica de los fractales y
tiene como característica principal la de modelar la naturaleza de una mejor manera.
Los fractales son figuras geométricas que se caracterizan por su similitud, pues cada una de sus
partes es semejante al todo; son estructuras infinitas contenidas en una superficie finita y se
generan a través de un patrón geométrico establecido como fijo.
Existe la generación de fractales en forma compleja y en forma básica, entre las formas básicas, se
encuentran los Polvos de Cantor, el Triángulo de Sierpinski, la Curva de Koch, el Triángulo de
Pascal, los Autómatas Celulares y el Cuadrado de Besicovich, entre otros.
Polvos de Cantor.
Se aplica para todo tipo de segmentos de líneas de distintas longitudes y la variante de esta
aplicación se hace en una banda de cualquier grosor.
La forma de generar los fractales por medio de los polvos de Cantor consiste en dividir el segmento
en tres partes iguales y se toman las dos divisiones extremas para repetir el proceso
sucesivamente hasta infinita veces, cada repetición del proceso es una etapa distinta.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
92
MATEMÁTICAS III
EJEMPLO
* Generar el fractal por medio de los polvos de Cantor, a partir del siguiente segmento de línea y
establecer las etapas de la generación.
- La generación del fractal comienza
con la etapa 0 que corresponde a la
figura inicial.
- La etapa 1 se obtiene al dividir el
segmento en tres partes iguales y
eliminando la parte central.
- La etapa 2 se obtiene dividiendo los
dos segmentos de la etapa 1 en tres
partes iguales y eliminando la parte
central de ambos segmentos.
ETAPA 0
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
ETAPA 4
- Las etapas siguientes se obtienen
repitiendo el proceso recursivamente.
* Generar el fractal hasta la etapa tres por medio de los polvos de Cantor, a partir de la siguiente
banda
- La generación del fractal comienza con la figura inicial (etapa 0), posteriormente la siguiente
etapa se obtiene dividiendo la banda en tres partes iguales tomando las dos partes extremas y las
etapas posteriores se obtienen repitiendo el proceso en forma reiterante hasta llegar a la etapa 3.
ETAPA 0
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
93
MATEMÁTICAS III
Triángulo de Sierpinski.
Se aplica para todo tipo de triángulos y en los cuadrados como una variante.
La forma de generar los fractales por medio del triángulo de Sierpinski consiste en unir los puntos
medios de los lados de cualquier triángulo e ir eliminando el triángulo que va apareciendo en la
parte central. Este proceso se repite en forma recursiva dividiéndolo por etapas.
EJEMPLO
* Generar el fractal por medio del triángulo de Sierpinski, a partir del siguiente triángulo y
establecer las etapas de la generación.
ETAPA 0
- La generación del fractal comienza
con la etapa 0 que corresponde a la
figura inicial.
- La etapa 1 se obtiene uniendo los
puntos medios de los lados de la
figura inicial , sombreando los
triángulos extremos que se forman
y eliminando el triángulo central.
ETAPA 1
- La etapa 2 se obtiene repitiendo el
proceso de la etapa 1, aplicado a
cada uno de los triángulos que
están sombreados.
- Las etapas siguientes se obtienen
repitiendo el proceso recursivamente.
ETAPA 2
ETAPA 3
A medida que se repite el proceso en el triángulo de Sierpinski, los triángulos blancos van
aumentando y los triángulos negros van disminuyendo.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
94
MATEMÁTICAS III
* Generar el fractal hasta la etapa tres por medio del triángulo de Sierpinski, a partir del siguiente
cuadrado como una variante del proceso.
- La generación del fractal comienza con la figura inicial (etapa 0), posteriormente la siguiente
etapa se obtiene dividiendo el cuadrado en nueve cuadrados congruentes eliminando aquel que está en
el centro y las etapas posteriores se obtienen repitiendo el proceso en forma reiterante hasta
llegar a la etapa 3.
ETAPA 0
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
Curva de Koch.
Se aplica para triángulos equiláteros y en los cuadrados como una variante.
La forma de generar los fractales por medio de la curva de Koch o copo de nieve, consiste en
dividir los lados de la figura en tres partes iguales, colocando en los tercios medios otra figura
semejante a la inicial, el proceso se repite en forma recursiva dividiéndolo por etapas.
EJEMPLO
* Generar el fractal por medio de la curva de Koch, a partir del siguiente triángulo equilátero y
establecer las etapas de la generación.
- La generación del fractal comienza con la etapa 0 que corresponde a la figura inicial.
- La etapa 1 se obtiene dividiendo los lados del triángulo en tres partes iguales y generando en los
tercios medios de cada lado, otro triángulo semejante.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
95
MATEMÁTICAS III
- La etapa 2 se obtiene dividiendo los lados de cada triángulo semejante y de la figura inicial en
tres partes iguales y generando en sus tercios medios otros triángulos semejantes.
- Las etapas siguientes se obtienen repitiendo el proceso recursivamente.
ETAPA 0
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
Al continuar con el proceso infinitamente, el fractal se asemejará a una circunferencia, puesto que
el número de triángulos va en aumento.
* Generar el fractal hasta la etapa tres por medio de la curva de Koch, a partir del siguiente
cuadrado como una variante del proceso.
- La generación del fractal comienza con la figura inicial (etapa 0), posteriormente la siguiente
etapa se obtiene dividiendo cada lado del cuadrado en tres partes iguales generando en cada tercio
medio otro cuadrado semejante y las etapas posteriores se obtienen repitiendo el procesos en forma
retierante hasta llegar a la etapa 3.
ETAPA 1
ETAPA 0
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
96
MATEMÁTICAS III
ETAPA 2
ETAPA 3
Triángulo de Pascal.
La forma de generar los fractales por medio del triángulo de Pascal, consiste en construir el
triángulo obteniendo los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio (a + b)n,
Después de construir el triángulo aritméticamente, éste se pasa al sistema binario sustituyendo
cualquier número impar por el número 1 y cualquier número par por el 0.
EJEMPLO
* Generar el fractal por medio del triángulo de Pascal para la potencia de un binomio n = 15.
- Como cada valor de “n” representa una fila en especifico (n = 0,1,2,3......,15), entonces el
triángulo que se va a construir, debe estar constituido por 16 filas, donde cada una de ellas tiene
como coeficientes extremos el número 1 y los coeficientes medios de una fila se obtienen
sumando los coeficientes extremos de la fila anterior.
1
1
1
2
1
4
1
1
1
1
1
1
13
14
11
66
78
91 364
45
55
84
120
165
15
70
210
252
462
792
462
924
715 1287 1716
1
21
56
126
1
6
35
126
330
220 495
286
35
56
36
10
12
28
1
5
10
20
21
8
9
1
15
7
1
4
10
6
1
3
6
5
1
1
3
1
1
1
84
1
7
28
8
36
792
45
165
495
10
55
220
1716 1287 715
1001 2002 3003 3432
1
9
210 120
330
1
1
11
66
286
1
12
78
3003 2002 1001 364
1
13
91
1
14
1
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
97
MATEMÁTICAS III
- Una vez que se tiene el triángulo construido con los coeficientes aritméticos, el siguiente paso es
generar el fractal pasando dicho triángulo al sistema binario, donde N° impar = 1 y N° par = 0.
1
1
1
1
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1
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1
1
1
1
De la figura se establece que el fractal generado por medio del triángulo de Pascal, se asemeja al
fractal generado por el triángulo de Sierpinski.
Autómatas Celulares.
La forma de generar los fractales por medio de los autómatas celulares, consiste en aplicar
sistemas dinámicos discretos en los que el estado de las celdas de un triángulo de Pascal cambia
paso a paso durante el proceso.
El triángulo del sistema binario se pasa a un triángulo constituido por círculos, donde todos los
números uno se representan con círculos sombreados y todos los números cero se representan
por círculos blancos.
EJEMPLO
* Generar el fractal por medio de los autómatas celulares, a partir de un triángulo de Pascal
constituido por 20 filas o renglones (n = 0,1,2,3,......,19).
- Se construye el Triángulo de Pascal para n = 19, ya que con este valor se completan las 20 filas.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
98
MATEMÁTICAS III
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330
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1287 1716 1716
1001 2002 3003
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1287 715
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3432 3003 2002 1001
1365 3003 5005 6435 6435
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364
5005 3003 1365
13
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1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820
680 2380
153 816
45
66
91
120
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36
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35
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7
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3
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560
6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380
15
120
680
3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060
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16
136
1
17
816 153
1
18
171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171
1
19
1
- Se pasa el triángulo de Pascal al sistema binario, representando los números impares por unos y
los pares por ceros.
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1
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
99
1
1
1
MATEMÁTICAS III
- El triángulo del sistema binario se pasa a la generación de los autómatas celulares, sustituyendo
los números uno por círculos sombreados y los números ceros por círculos blancos.
Conjunto de Besicovich.
Se aplica para cuadrados de cualquier medida.
La forma de generar los fractales por medio del conjunto de Besicovich, consiste en dividir en
cuatro partes a un cuadrado, de las cuales se eliminan dos dispuestas en diagonal, con lo que
resultan dos cuadrados semejantes en los cuales se vuelve a repetir el proceso en forma recursiva.
EJEMPLO
* Generar el fractal por medio del conjunto de Besicovich a partir del siguiente cuadrado y
establecer las etapas de la generación.
ETAPA 0
ETAPA 1
- La generación del fractal comienza con la etapa 0
que corresponde a la figura inicial.
- La etapa 1 se obtiene dividiendo la figura inicial
en cuatro partes iguales, sombreando dos partes
dispuestas en diagonal hacia la derecha.
- La etapa 2 se obtiene repitiendo el proceso de la
etapa 1en los cuadrados blancos y se sombrean
las dos partes dispuestas en diagonal pero ahora
hacia la izquierda.
ETAPA 2
ETAPA 3
- Las etapas siguientes se obtienen repitiendo el
proceso recursivamente.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
100
MATEMÁTICAS III
DIMENSIÓN FRACTAL.
La dimensión fractal es una de las características que poseen los fractales, la cual se obtiene con
LogN
la fórmula D =
que se desprende de la igualdad de Besicovich Nr D = 1 , donde:
1
 
Log  
r 
“N” es el número de entes semejantes a la figura original o inicial.
“r” es la razón de semejanza de uno de los entes con respecto a la figura original.
“D” Es la dimensión fractal de la figura; para un conjunto vacío D = −1, para un punto D = 0, para
un segmento D = 1, para un cuadrado D = 2 y para un cubo D = 3.
EJEMPLO
* Demostrar la dimensión fractal con la fórmula de Besicovich para un segmento que está
dividido en dos partes iguales como lo muestra la figura.
- Como se trata de un cubo, entonces D = 1.
- De la figura se establece que el segmento está dividido en dos partes iguales, por lo tanto, se
obtienen dos entes semejantes al segmento original, esto quiere decir que N = 2; y como el
tamaño de los entes está a razón de 1/2 con respecto al tamaño del segmento original, entonces
r = 1/2.
- Se sustituyen los valores de N, r y D en la fórmula de Besicovich y se establece la demostración
de la igualdad, mediante la realización de las operaciones correspondientes.
1
Nr D = 1
 1
(2)  = 1
2
 1
2  = 1
2
2
=1
2
∴ 1=1
* Demostrar la dimensión fractal con la fórmula de Besicovich para un cubo que está dividido en
nueve cubos iguales como lo muestra la figura.
- Como se trata de un segmento, entonces D = 3.
- De la figura se establece que el cubo está dividido en 27 cubos iguales, por lo tanto, se obtienen
27 entes semejantes al cubo original, esto quiere decir que N = 27; y como el tamaño de los
entes está a razón de 1/3 con respecto al tamaño del cubo original, entonces r = 1/3.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
101
MATEMÁTICAS III
- Se sustituyen los valores de N, r y D en la fórmula de Besicovich y se establece la demostración
de la igualdad, mediante la realización de las operaciones correspondientes.
3
Nr D = 1
 1 
27  = 1
 27 
 1
(27)  = 1
3
27
=1
27
∴ 1=1
* Demostrar la dimensión fractal con la fórmula de Besicovich para un cuadrado que está dividido
en 12.25 cuadrados iguales como lo muestra la figura.
- Como se trata de un cuadrado, entonces D = 2.
- De la figura se establece que el cuadrado está dividido en 12.25 cuadrados iguales, por lo tanto,
se obtienen 12.25 entes semejantes al cuadrado original, esto quiere decir que N = 27; y como
el tamaño de los entes está a razón de 1/3.5 con respecto al tamaño del cuadrado original,
entonces r = 1/3.
- Se sustituyen los valores de N, r y D en la fórmula de Besicovich y se establece la demostración
de la igualdad, mediante la realización de las operaciones correspondientes.
2
Nr
D
=1
 1 
(12.25)
 =1
 3.5 
 1 
12.25
 =1
 12.25 
12.25
=1
12.25
∴ 1=1
* Obtener la dimensión fractal de los polvos de Cantor, aplicados al siguiente segmento de recta.
- Como la figura inicial se divide en tres partes iguales y de ella únicamente se toman dos
segmentos semejantes para generar el fractal, entonces N = 2.
- Cada uno de los segmentos divididos tienen una razón de semejanza de 1/3 con respecto al
tamaño de la figura inicial, por lo tanto r = 1/3.
- Se sustituyen los valores de N y r en la expresión que permite obtener la dimensión fractal de las
figuras y se realizan las operaciones correspondientes para obtener el valor de “D”.
D=
LogN
 1
Log  
r 
D=
Log 2
 1 
Log 

 1/ 3 
D=
Log 2
Log 3
∴
D = 0.6309
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
102
MATEMÁTICAS III
EVALUACIÓN
Contesta en tu cuaderno de notas lo que se te pide en cada ejercicio.
68.
Especifica el tipo de geometría en donde existen triángulos cuya suma de sus ángulos
interiores, es menor que 180°.
69.
Dentro de la geometría elíptica; ¿A cuánto equivale la suma de los ángulos interiores de
cualquier triángulo?.
70.
Explica las características que debe tener la suma de los ángulos interiores de cualquier
cuadrilátero en las geometrías euclidiana, elíptica e hiperbólica.
71.
Genera los polvos de Cantor para los siguientes segmentos de rectas hasta la etapa que
se te indica en cada caso.
A)
B)
72.
Etapa 2.
Etapa 3.
Genera el triángulo de Sierpinski para las siguientes figuras hasta la etapa que se te indica
en cada caso.
A)
Genera el fractal del triángulo isósceles hasta la etapa 1.
B)
Genera el fractal del cuadrado hasta la etapa 1.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
103
MATEMÁTICAS III
73.
Genera la curva de Koch hasta la etapa 1 para el cuadrado que se muestra a continuación,
teniendo como referencia el siguiente generador.
Generador
74.
Genera el triángulo de Pascal en el sistema binario para una potencia n = 7, es decir, un
triángulo constituido por 8 filas.
75.
Genera los autómatas celulares en un triángulo conformado por 16 filas, es decir, una
potencia de n = 15.
76.
Genera el conjunto de Besicovich hasta la etapa 2, para el cuadrado que se muestra a
continuación.
77.
Demuestra la dimensión fractal con la fórmula de Besicovich para un segmento que está
dividido en 5 partes iguales.
78.
Demuestra la dimensión fractal con la fórmula de Besicovich para un cubo que está
dividido en 8 cubos iguales.
79.
Determina la dimensión fractal del siguiente cuadrado.
80.
Determina la dimensión fractal del siguiente segmento.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
104
MATEMÁTICAS III
I. HOJA DE COTEJO DE LA EVALUACIÓN DE
Ó
A continuación se presentan únicamente los resultados de cada ejercicio de las evaluaciones; es
importante que desarrolles tus procedimientos y verifiques los resultados a los que llegaste con los
que aquí te presentamos.
COMPENDIO FASCÍCULO 1
1.
Las dos figuras son semejantes, teniendo una proporción de 1 a 3 la primera con respecto
de la segunda tanto en su ancho como en su largo.
Para establecer la solución del ejercicio, debes tener presente tanto el concepto de congruencia
como el de semejanza entre dos figuras.
2.
A)
B)
3.
A)
B)
8
π rad = 2.79 rad
9
52°49’52” = 0.922 rad
160° =
3 rad = 171.88° = 171°53’14”
1
π rad = 90°
2
Para convertir grados a radianes o viceversa debes tener en cuenta que π rad = 180°. Otro método
es aplicando la fórmula de conversión donde “S” son los grados y “R” los radianes.
4.
A)
B)
C)
D)
E)
Agudo
Obtuso
Entrante o cóncavo
Agudo
Obtuso
Las figuras congruentes,
son: A con D y B con E
Recuerda que cada ángulo recibe un nombre específico de acuerdo a su abertura que tienen.
5.
x=9 ,
ABC = 39°
,
CBD = 51°
Debes tener presente el concepto de ángulos complementarios y establecer la igualdad
correspondiente para obtener el valor de “x”.
6.
x = 22
Debes tener presente el nombre de los ángulos que se forman en dos paralelas cortadas por una
secante y a partir de esto establecer la igualdad correspondiente para obtener el valor de “x”.
7.
I.
Escaleno
II.
Isósceles
III.
Equilátero
Recuerda que los triángulos se clasifican de acuerdo a las características de sus lados y sus
ángulos.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
105
MATEMÁTICAS III
8.
x = 35° ,
y = 32° ,
z = 70°
Para contestar el ejercicio 8, debes tener presente el concepto de ángulos suplementarios y aplicar
el teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
9.
x = 16 ,
y=8
,
Postulado lado-lado-lado (LLL)
Para obtener el valor de “x” y “y”, debes establecer las igualdades correspondientes de los
triángulos congruentes; dichas igualdades conforman un sistema de ecuaciones lineales que lo
puedes resolver por el método de sustitución.
10.
x=7 ,
y=5
Es importante que tengas claro el concepto de semejanza, ya que así podrás establecer
correctamente la proporción para resolverla mediante una ecuación de primer grado con una
incógnita.
Cateto AC = 8
,
Cateto CB = 6
11.
x=6 ,
12.
x = 8.9 ,
13.
Diagonal del terreno D = 500 m.
Cateto AC = 3.9
,
Hipotenusa AB = 8.9
Para obtener el resultado de los ejercicios 11, 12 y 13, debes establecer correctamente las
igualdades a partir del concepto del teorema de Pitágoras, ya que se trata de la solución de
triángulos rectángulos.
14.
Triángulo Isósceles
15.
I. Mediana
II. Bisectrices e Incentro
III. Mediatrices y Circuncentro
Es importante que tengas claro cada uno de los conceptos de las rectas y puntos notables que se
pueden trazar en un triángulo. Recuerda que en todo triángulo isósceles la altura de sus base
corresponde también a su bisectriz, mediatriz y mediana.
16.
I.
II.
III.
IV.
Regular y convexo
Irregular y convexo
Irregular y cóncavo
Regular y convexo
17.
A)
B)
C)
D)
El polígono está constituido por 11 lados (undecágono)
Se pueden trazar 6 diagonales
El polígono está constituido por 8 lados (octágono)
Cada ángulo interior de un octágono regular mide 135°1
Para contestar los ejercicios 16 y 17, debes tener presente las características y propiedades de los
polígonos, ya que con esto identificaras la fórmula en especifico que se debe aplicar para cada
característica.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
106
MATEMÁTICAS III
18.
Área A = 158.745 m2
19.
Apotema a = 13.11 m
Recuerda que la apotema es la perpendicular al punto medio de uno de los lados del polígono, el
perímetro es la suma de las longitudes de los lados y el área es la región interior de dicho polígono;
existe una fórmula especifica que debes aplicar para obtener el valor de la apotema, el perímetro y
el área de cualquier polígono regular.
20.
El ángulo que se forma entre la cuerda y la flecha es igual a 90°
21.
I.
Cuerda
II.
Radio
III.
Tangente
Es importante que tengas claro cada uno de los conceptos de las rectas y arcos notables que se
pueden trazar en una circunferencia, ya que así podrás identificar y diferenciar entre una y otra
recta.
22.
A)
y = 60°
B)
y = 30°
Debes tener presente el concepto de cada uno de los ángulos que se forman en una circunferencia
y así establecer la fórmula para el tipo de ángulo que desees obtener.
23.
Área de la parte sombreada A = 2169.91 cm2
24.
Radio del centro del jardín al extremo exterior del camino r = 5.99 m ≈ 6m
Es importante que analices correctamente la forma de las figuras geométricas sombreadas donde
intervienen mas de dos figuras simples, ya que con esto, establecerás el procedimiento que debes
seguir para obtener el área de las partes sombreadas que se especifican en cada uno de los
ejercicios.
COMPENDIO FASCÍCULO 2
25.
Lado desconocido = 11.18
11.18
11.18
15
15
10
Sen A =
, Sec A =
, Csc A =
, Cot A =
, Tan A =
15
10
10
11.18
11.18
26.
Lado desconocido =
8
Csc A =
63
63
Con base a la definición de las funciones trigonométricas e identificando los datos proporcionados
en el ejercicio, debes obtener la razón de cada función. Para obtener el lado desconocido de cada
triángulo, debes aplicar el teorema de Pitágoras.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
107
MATEMÁTICAS III
27.
θ = 90°
,
α = 40°
,
a = 45.96 m
,
b = 38.56 m
28.
θ = 90°
,
β = 50°
,
a = 31.04 m
,
c = 48.3 m
29.
θ = 90°
,
α = 54.93° = 54°55’48” ,
β = 35.07° = 35°4’12" ,
c = 57.4 m
Para obtener las partes de un triángulo rectángulo, debes aplicar las funciones trigonométricas y el
teorema de Pitágoras, según las condiciones del ejercicio.
30.
Asta bandera = 13.277 m
31.
Altura del faro = 49.865 m
,
Distancia del faro al segundo barco = 314. 839 m
Recuerda que para resolver los problemas de los ejercicios 30 y 31, tienes que realizar un
esquema para formar los ángulos de elevación y de depresión según sea el caso y así establecer
las funciones trigonométricas que permitan obtener el resultado correspondiente.
32.
Cateto “x” = 10
,
Cateto “y” = 17.32
Recuerda que para obtener los catetos de un triángulo rectángulo formado en el plano cartesiano,
se aplica la función coseno para el cateto “x” y la función seno para el cateto “y”.
33.
α = 78°
34.
α = 70.27° = 70°16’12”
,
β = 70.73 = 70°43’48”
35.
α = 33.56° = 33°33’36”
,
β = 50.7 = 50°42’
36.
Altura del avión = 1695.77 m
37.
Los ángulos formados por la calles al cortarse, son: 36.87°, 53.13° y 90°
38.
La distancia del punto A al punto B es 344.9 m
,
b = 12.4 m
,
c = 11.39 m
,
,
a = 14.97 m
θ = 95.74° = 95°44’24”
En la solución de triángulos oblicuángulos tienes que aplicar la ley de los senos o la ley de los
cosenos según las características que tengan dichos triángulos y lo que se te pida obtener en el
ejercicio o problema.
39.
El ángulo del vector −V1 es 330°
θ = 150°
θ = 330°
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
108
MATEMÁTICAS III
40.
V2
V1 + V2
V1
41.
VR = 12.8
42.
VR = 16.92 , θ = 22.31° = 22°18’36”
43.
R = 5.75 N , θ = 23.06° = 23°3’36”
44.
Peso del cuerpo = 87.48 N
En la solución de vectores, debes tener claro el concepto y los distintos métodos que se aplican
para resolverlos. Recuerda que según las características de los vectores y sus ángulos formados,
es el método que debes aplicar, ya sea por el método del triángulo, el paralelogramo o por
sistemas de fuerzas.
45.
A)
B)
A´
B
A
B´
A
B´
C
C´
4 cm
B
A´
C´
C
2 cm
C)
D
A
C
D´
5 cm
B
A´
C´
B´
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
109
MATEMÁTICAS III
46.
A)
B)
h = −5 , k = −8
h = 8 , k = −6
Para los ejercicios 45 y 46, debes aplicarle movimiento de traslación a cada una de las figuras en
la dirección y amplitud que indica cada uno de los ejes.
47.
A)
B)
A´
B
A
C´
A
40°
40°
B´
D´
40°
110° 110°
110°
40°
C
D
C
C´
C)
A´
B
B´
D)
B
C´
A´
B´
A
C
A
C´
C
B
A´
48.
E
x
C
x
C
x
∴
CoC=C
x
D
y
R
x
∴
DoR=C
w
M
y
M
w
∴
MoM=C
x
D
y
M
w
∴
DoM=R
z
R
y
R
x
∴
RoR=M
49.
PUNTOS
P(x,y)
A(3,3)
B(−2,2)
C(7,−7)
MOVIMIENTO DE ROTACIÓN
90°
180°
270°
A’(−3,3)
A’(−3,−3)
A’(3,−3)
B’(2,2)
B’(−2,−2)
B’(2,−2)
C’(−7,−7)
C’(7,7)
C(−7,7)
Para los ejercicios 47, 48 y 49, debes aplicarle movimiento de rotación a cada una de las figuras en
el giro y dirección que indica cada uno de los casos.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
110
MATEMÁTICAS III
50.
A)
B)
B´
C
A´
A
B
B
C´
C
B´
A
C´
D
A´
51.
A’(2,−2) , B’(5,−5) , C’(5,−8) ,
D´(−1,−2)
Para los ejercicios 50 y 51, debes aplicarle movimiento de reflexión a cada una de las figuras
conforme al eje de simetría especificado en cada una de ellas.
52.
Traslación, Reflexión y Rotación
Recuerda que a una figura geométrica se le puede aplicar un movimiento o una combinación de
ellos para su transformación dinámica.
53.
Todas las figuras tienen simetría rotacional.
El rectángulo tiene simetría axial y 2 ejes de simetría.
El rombo tiene simetría axial y 2 ejes de simetría.
La zeta no tiene simetría axial, por lo tanto no tiene ejes de simetría.
El pentágono tiene simetría axial y 5 ejes de simetría.
54.
A)
Fi
y
Fn
x
Fm
B)
Fm y
Fn
x
Fi
Es importante que tengas claro el concepto de simetría y el tipo de simetrías que puede tener
cualquier figura geométrica. Recuerda que si la figura tiene simetría axial, entonces tiene uno o
más ejes de simetría, según la forma de dicha figura.
COMPENDIO FASCÍCULO 3
55.
Dijo la verdad Javier y el automóvil lo robó Manuel
56.
A)
B)
Hipótesis: Ahorro
Conclusión: Puedo ir al cine
Hipótesis: Cicatriza el tobillo de Juan
Conclusión: Jugará en el partido del sábado
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
111
D´
MATEMÁTICAS III
57.
A)
B)
Recíproca: Si mañana es martes, entonces hoy es domingo
Recíproca: Si un árbol no tiene hojas, entonces está muerto
58.
A)
B)
Inversa: Si todos los ángulos de un triángulo no son iguales , entonces el
triángulo no es equilátero
Inversa: Si dos triángulos no son congruentes, entonces no son semejantes
59.
A)
B)
El líquido es maligno para las hormigas
Los huevos son de lagartija
60.
A)
B)
María Sánchez debe tomar una clase de orientación
Guillermo Martínez no pasará geometría
61.
A)
B)
En un punto interno del triángulo llamado incentro
Es un paralelogramo
Debes tener presente los tipos de razonamientos matemáticos para que a partir de éstos puedas
analizar las diversas proposiciones y así llegar a conclusiones verdaderas.
62.
Método directo con procedimiento analítico
Razones: 2. CD CD es bisecado (dato)
3. Si dos rectas se intersecan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales
4. Por el postulado de congruencia L-A-L
63.
Hipótesis: Dos lados de un triángulo son iguales
Tesis: Los lados opuestos a esos lados son también iguales
Método directo con procedimiento analítico
Razones: 3. Por definición de la bisectriz de un ángulo
4. Por hipótesis
6. Por el postulado de congruencia L-A-L
7. Elementos homólogos de triángulos congruentes, son iguales
64.
Hipótesis: En todo triángulo, cualquier ángulo exterior de éste
Tesis: Es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él
Método directo con procedimiento sintético
Razones: 2. Por ser ángulos suplementarios
3. Por teorema de los ángulos interiores de un triángulo
65.
Sn = (n – 2) (dos veces la medida de un ángulo recto) ó Sn = (n – 2) (180°)
66.
Nn = n – 3
67.
Np = 2n
Es importante que tengas claro la mayoría de los teoremas geométricos, ya que son la herramienta
fundamental para poder realizar las demostraciones matemáticas por distintos métodos y
procedimientos.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
112
MATEMÁTICAS III
COMPENDIO FASCÍCULO 4
68.
Geometría hiperbólica o de Lobachevski
69.
Equivale a 270°
70.
En la geometría euclidiana, la suma de los ángulos interiores de cualquier
cuadrilátero es igual a 360°, en la geometría hiperbólica es menor de 360° y en la
geometría elíptica es mayor de 360°
Para contestar los ejercicios 68, 69 y 70 debes analizar los conceptos y características de cada
una de las geometrías que se establecen en el compendio fascicular. Es importante que tengas
claros los conceptos y así poder diferenciar las geometrías, una con respecto de las otras.
71.
A)
ETAPA 0
ETAPA 1
ETAPA 2
B)
ETAPA 0
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
72.
73.
A)
ETAPA 0
ETAPA 0
B)
ETAPA 1
ETAPA 0
ETAPA 1
ETAPA 1
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
113
MATEMÁTICAS III
74.
1
1
1
1
1
1
1
1
76.
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
75.
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
ETAPA 0
1
0
1
1
1
1
ETAPA 1
ETAPA 2
Para resolver los ejercicios sobre la generación de fractales, tienes que diferenciar los distinto tipos
de fractales que existen para poderlos generar en cada una de las figuras geométricas que se
especifican en dichos ejercicios. Recuerda que siempre se parte de la figura inicial correspondiente
a la etapa cero.
77.
n=5
r = 1/5
1
NrD = 1
 1
5  = 1
5
NrD = 1
 1
8  = 1
2
1=1
D=1
78.
n=8
r = 1/2
3
1=1
D=3
Recuerda que toda demostración de dimensión fractal es igual a 1, es decir, se debe cumplir la
igualdad entre unidades.
79.
N = 16
r = 1/4
D=
79.
N=6
r = 1/4
D=
Log 16
Log N
=
1
 
 1 
Log   Log 

r 
 1/4 
Log N
Log 6
=
 1
 1 
Log   Log 

r
 
 1/4 
∴
D=2
∴
D = 1.29
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
114
MATEMÁTICAS III
Cada tipo de figura geométrica tiene una dimensión fractal específica y la puedes obtener
aplicando la fórmula correspondiente.
V. EVALUACIÓN
MUESTRA
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
115
MATEMÁTICAS III
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
116
MATEMÁTICAS III
COLEGIO DE BACHILLERES
COORDINACIÓN DE ADMINISTRACIÓN ESCOLAR
Y DEL SISTEMA ABIERTO
EVALUACIÓN FINAL
GLOBAL
MODELO: A
ASIGNATURA:
MATEMÁTICAS III
SEMESTRE:
TERCERO
CLAVE:
EVALUACIÓN MUESTRA
DEPARTAMENTO DE EVALUACIÓN
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
117
MATEMÁTICAS III
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
118
MATEMÁTICAS III
INSTRUCCIONES GENERALES
Este cuadernillo contiene reactivos que al resolverlos conforman tu evaluación final de acreditación,
de la asignatura:
Esta evaluación nos permitirá (a tí y a nosotros) saber el grado en que has alcanzado el propósito de
la asignatura (nota valorativa I, A, B, C), de tal manera que si tu nota es positiva (A, B, C) ésta será
considerada para tu calificación final, pero si llegase a ser insuficiente (I), sólo te informaremos de los
objetivos que aún no dominas, sin considerar la nota obtenida para tu calificación de la asignatura.
Antes que inicies la resolución de esta evaluación, es conveniente que sigas estas recomendaciones:
I.
Este cuadernillo debe servirte ÚNICAMENTE para leer los reactivos, por ello no hagas
NINGUNA anotación en él. EVITA QUE SE TE SUSPENDA LA EVALUACIÓN.
II.
Realiza una lectura general de todas las instrucciones para que puedas organizar tu trabajo.
III.
Además del cuadernillo, debes tener una HOJA DE RESPUESTAS en la que debes anotar,
primero tus datos personales (nombre, matrícula, centro) y de la asignatura (clave, número de
fascículo o global), así como las respuestas.
IV.
La HOJA DE RESPUESTAS presenta en cada una de las preguntas siete opciones posibles:
1
A
B
C
D
E
V
F
2
A
B
C
D
E
V
F
La forma de contestarla deberá ser la siguiente:
*
En los casos en que se te presenten preguntas de OPCIÓN MÚLTIPLE o de RELACIÓN DE
COLUMNAS sólo rellenarás con lápiz del No. 2 ó 2 ½ una de las opciones, por ejemplo:
2.
Es elevarse de los casos o fenómenos específicos a conceptos o enunciados más
amplios que los abarquen o los expliquen.
a)
b)
c)
d)
e)
Introducción.
Generalización.
Ejemplificación.
Desarrollo de la teoría.
Planteamiento del problema.
1
A
B
C
D
E
V
F
2
A
B
C
D
E
V
F
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
119
MATEMÁTICAS III
Relaciona las dos columnas e indica en tu hoja de respuestas la letra que señala el nombre de cada
una de las expresiones algebraicas que aparecen del lado izquierdo.
3x4 - 3x2
16x4 - 12x3 + 17x
32xy - 5x2 + 6x - 13
3.
4.
5.
3
A
B
C
D
E
V
F
4
A
B
C
D
E
V
F
5
A
B
C
D
E
V
F
a)
b)
c)
d)
Monomio.
Binomio.
Trinomio.
Polinomio.
*
En el caso que se te presenten reactivos de VERDAD “V” y FALSO “F”, sólo rellenarás con
lápiz del No. 2 ó 2 ½ una de las opciones de “V” o “F”, por ejemplo:
El compendio fascículo 1 de Química III aborda los conceptos de fermentación y sus
aplicaciones, con respecto a la caracterización de las fermentaciones; marca la letra “V” si es
VERDADERA o la letra “F” si es FALSA, cada una de las siguientes aseveraciones.
6.
La fermentación láctica es un proceso que se realiza en ausencia de oxígeno.
7.
En un proceso fermentativo se libera energía que en su mayoría se desprende como calor.
6
A
B
C
D
E
V
F
7
A
B
C
D
E
V
F
V.
Asegúrate de que el número del reactivo que contestas corresponda al mismo número en la
hoja de respuestas.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
120
MATEMÁTICAS III
MATEMÁTICAS III
EVALUACIÓN GLOBAL
COMPENDIO FASCÍCULO 1
En el compendio fascículo 1, analizaste la construcción y experimentación de las propiedades de
las figuras geométricas desde un punto de vista estático, a través de diversos conceptos
geométricos. Con base en esto; contesta los siguientes reactivos marcando en tu cuaderno de
notas la opción que satisface con la respuesta correcta en cada caso.
1.
2.
Resuelve el siguiente problema, teniendo presente el concepto de congruencia.
Si el segmento XY mide 15 cm; entonces, ¿Cuánto debe medir el segmento WZ para que
ambos sean congruentes?
X
Y
W
Z
π rad.
2π rad.
3π rad.
2.5π rad.
Es el valor de “x” y la medida de los ángulos que aparecen en la siguiente figura.
D
6x + 19
A
4.
15 m.
1.5 m.
150 m.
0.15 m.
Resuelve el siguiente problema por medio de la conversión del sistema sexagesimal al
sistema circular.
Se observó un reloj que marcaba las 16:00 hrs y posteriormente marcaba las 17:30 hrs;
durante este tiempo, ¿Cuántos radianes giró el minutero?
A)
B)
C)
D)
3.
A)
B)
C)
D)
4x – 9
C
Es el valor del ángulo
B
A)
x = 17 ,
ACD = 121° ,
BCD = 59°
B)
x = 17 ,
ACD = 59° ,
BCD = 121°
C)
x = 14 ,
ACD = 103° ,
BCD = 77°
D)
x = 14 ,
ACD = 133° ,
BCD = 47°
M que está representado en la siguiente figura.
1
x + 102
2
M
3x – 18
A)
152°
B)
126°
C)
54°
D)
48°
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
121
MATEMÁTICAS III
5.
Es el valor de “x” y “y” en el siguiente par de triángulos congruentes.
∆ACE ≅ ∆BCD
C
2y + 20
A
4y – 12
D
E
B
4x – 10
A)
x = 16 , y = 14
B)
x = 14 , y = 16
C)
x = 12 , y = 9
D)
x = 9 , y = 12
2x + 18
6.
Es el valor del lado “x” en el siguiente par de triángulos semejantes.
18
D
x
E
A
5
7.
B
7
C
B)
x = 7.5
C)
x = 10.5
D)
x = 25.2
C
A)
B)
C)
D)
x+2
x
2x – 2
AB = 6
AB = 5
AB = 4
AB = 3
A
El segmento de recta que divide al ángulo de un triángulo en dos ángulos congruentes, se
llama:
A)
B)
C)
D)
9.
x = 63
Es el valor de la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo.
B
8.
A)
Mediatriz.
Bisectriz.
Mediana.
Altura.
En una estancia se desea colocar una lámpara que tiene forma poligonal; si uno de sus
ángulos internos mide 135°, entonces, ¿De cuántos lados está formada la lámpara?
A)
B)
C)
D)
5 lados.
6 lados.
7 lados
8 lados.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
122
MATEMÁTICAS III
10.
Resuelve el siguiente problema, apoyándote en las características de los polígonos
regulares.
136
25 m 2 y cada uno de sus lados mide
Si el área del piso de un edificio octagonal es
2
4 m. Entonces; ¿Cuál es el valor de su apotema?
A)
B)
C)
D)
11.
a = 21.25 m.
a = 26.56 m.
a = 53.12 m.
a = 170 m.
Si DE = 20° y
CDB = 80° ; entonces el valor del ángulo
C
DAE de la siguiente figura, es:
D
A
E
B
12.
A)
70°
B)
60°
C)
50°
D)
30°
El área de la parte sombreada en la siguiente figura, es:
A)
A = 6416 cm2
B)
A = 9292 cm2
C)
A = 17146 cm2
D)
A = 21073 cm2
COMPENDIO FASCÍCULO 2
En el compendio fascículo 2, analizaste la construcción y experimentación de las propiedades de
las figuras geométricas desde un punto de vista dinámico, a través de diversos conceptos
geométricos y trigonométricos que aplicaste en la solución de problemas. Con base en esto;
contesta los siguientes reactivos marcando en tu cuaderno de notas la opción que satisface con la
respuesta correcta en cada caso.
13.
Es la variación que tiene la gráfica de la función Seno en el segundo cuadrante del plano
(de 90° a 180°).
A) Crece de 0 a 1
B) Crece de –1 a 0
C) Decrece de 1 a 0
D) Decrece de 0 a –1
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
123
MATEMÁTICAS III
14.
Resuelve el siguiente ejercicio, haciendo uso de las funciones trigonométricas.
El valor de la altura del siguiente triángulo, es:
15.4
h
A)
7.7
B)
13.3
C)
15.4
D)
26.6
60°
15.
Resuelve el siguiente problema, por medio de la aplicación de la ley de los senos.
Dos observadores situados a 3 Km de distancia el uno del otro sobre el mismo plano
horizontal, observan en el mismo instante un papalote con un ángulo de elevación de
38°42’ y 57°20’ respectivamente. De acuerdo con esto; ¿Cuál es la distancia que separa al
papalote de cada observador?
A)
B)
C)
D)
16.
Resuelve el siguiente problema, por medio de la aplicación de la ley de los cosenos.
Se tiene un círculo de 10 cm de radio y una cuerda deque tiene 15 cm de longitud. De
acuerdo con esto; ¿Cuál es la medida del ángulo en el centro del círculo, subtendido por la
cuerda?
A)
17.
18.
2.54 Km y 1.88 Km.
2.54 Km y 6 Km.
1.88 Km y 3 Km.
6 Km y 3 Km.
41.41°
B)
82.82°
C)
97.18°
D)
172.81°
La operación de vectores, n ( x + y ) + z , es equivalente a:
A)
(nx) + ( y + z )
B)
nx + ny + nz
C)
nx + y + nz
D)
nx + ny + z
Resuelve el siguiente problema, apoyándote en el método del paralelogramo.
Dos fuerzas de 70 Kg y 30 Kg actúan sobre un punto en el plano. Si el ángulo entre las dos
fuerzas es de 40°; entonces la magnitud de la fuerza resultante, es:
30 Kg
40°
A)
B)
C)
D)
R
70 Kg
40 Kg
50.8 Kg
76.1 Kg
94.9 Kg
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
124
MATEMÁTICAS III
19.
Resuelve el siguiente problema por medio de la aplicación de los vectores.
Dos personas jalan mediante una cuerda cada uno, un baúl de madera como se ve en la
figura. Si una de las personas aplica una fuerza de F1 = 300 N con un ángulo de 18°
respecto al Este. Entonces; ¿Cuál es la fuerza F2 que debe aplicar la otra persona para
lograr desplazar el baúl hacia el Este con una fuerza resultante de 450 N ?
F1=300 N
α = 18°
FR = 450 N
F2
20.
F2 = 750 N
B)
F2 = 189 N
C)
F2 = 150 N
D)
F2 = 68 N
Los vértices de un polígono irregular son los puntos, A(2,4), B(6,7), C(8,5), D(7,3) y E(5,3).
Si a dicho polígono se le aplica un movimiento de traslación, entonces la imagen del punto
A es A’(−6,−3) y las imágenes de los otros puntos, son:
A)
B)
C)
D)
21.
A)
B’(−2,0) C’(0,−2) D’(−1,−4) E’(−3,−4)
B’(−2,0) C’(−1,2) D’(−2,4) E’(−3,4)
B’(2,0) C’(1,−2) D’(2,−4) E’(3,−4)
B’(2,0) C(1,2) D’(2,4) E’(3,4)
Resuelve el siguiente problema, aplicando el movimiento de rotación.
Analiza la siguiente figura y la clave de cada giro.
A
B
Clave:
C → Giro de vuelta completa
M → Giro de media vuelta
D → Cuarto de vuelta en sentido directo
R → Cuarto de vuelta en sentido retrógrado
F
E
Posteriormente realiza los siguientes movimientos y sus equivalencias correspondientes.
A
D
B
R
A
Por lo tanto D o R =
B
M
F
C
F
Por lo tanto M o C =
E
R
B
R
A
Por lo tanto R o R =
F
R
E
C
E
Por lo tanto R o C =
Una vez que realizaste los movimientos, las claves que obtuviste en las igualdades
anteriores, son:
A)
M
C
R
C
B)
M
R
C
R
C)
C
M
R
M
D)
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
125
C
M
M
R
MATEMÁTICAS III
22.
Los puntos A(3,2) y B(−4,0) se encuentran ubicados en el plano cartesiano. Si dichos
puntos se reflejan con respecto a una recta “M” que forma un ángulo de 135° con el eje “x”;
entonces los puntos imagen A’ y B’, son:
y
M
135°
x’
x
0
A)
A’(3,−2)
B’(0,4)
B)
A’(−3,2)
B’(0,−4)
C)
A’(−2,−3)
B’(0,4)
D)
A’(−2,−3)
B’(0,−4)
y’
23.
Es el número de ejes de simetría que tiene un triángulo equilátero.
A)
1
B)
2
C)
3
D)
4
COMPENDIO FASCÍCULO 3
En el compendio fascículo 3, conociste los diferentes tipos de razonamientos matemáticos y
realizaste diversas demostraciones matemáticas a partir de los teoremas geométricos existentes.
Con base en ello; contesta los siguientes reactivos marcando en tu cuaderno de notas la opción
que satisface con la respuesta correcta de cada uno de ellos.
24.
Analiza el siguiente razonamiento.
En un centro comercial se robaron un teléfono celular y como de costumbre, las
autoridades detuvieron a cuatro sospechosos, quines declararon lo siguiente:
Ana: “Yo no robé el celular”
Lupe: “Ana miente”
Gisela: “Lupe miente”
Ivonne: “Lo robó Lupe”
De acuerdo con el análisis realizado; ¿Cuál persona es la que robó el teléfono celular?
A)
25.
Ana
B)
Lupe
C)
Gisela
D)
Ivonne
Es la conclusión que va relacionada con la siguiente hipótesis, para que la proposición
formada sea verdadera.
“Si una figura geométrica es un polígono, entonces está formado por ...............”
A)
B)
C)
D)
Mas de dos lados.
Menos de tres lados.
Un lado exactamente.
Dos lados exactamente.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
126
MATEMÁTICAS III
26.
Es la recíproca de la siguiente proposición.
“Si hoy es martes, entonces mañana es miércoles”
A)
B)
C)
D)
27.
Es la inversa de la siguiente proposición.
“Si una figura está formada por cuatro lados iguales, entonces es un cuadrado”
A)
B)
C)
D)
28.
El
El
El
El
A es mayor que el B.
A es menor que el B.
A y el B son iguales.
A y el B son desiguales.
Es la conclusión verdadera que se desprende de las premisas del siguiente razonamiento.
Todos los números enteros son reales, todos los números impares son enteros, por
lo tanto .............
A)
B)
C)
D)
30.
Si es un cuadrado, entonces la figura está formada por cuatro lados iguales.
Si no es un cuadrado, entonces la figura no está formada por cuatro lados iguales.
Si una figura esta formada por cuatro lados desiguales, entonces es un trapezoide.
Si una figura no está formada por cuatro lados iguales, entonces no es un cuadrado.
Es la conclusión verdadera que se desprende de las premisas del siguiente razonamiento.
Todos los ángulos alternos internos son iguales, el A y el B son alternos internos,
por lo tanto ...........
A)
B)
C)
D)
29.
Si hoy no es martes, entonces mañana no es miercoles.
Si mañana es miércoles, entonces hoy es martes.
Si hoy es miercoles, entonces mañana es jueves.
Si hoy es martes, entonces eyer fue lunes.
Todos los números reales son enteros.
Todos los números impares son reales.
Todos los números reales son impares.
Todos los números enteros son impares.
Analiza el siguiente teorema.
“En todo triángulo cualquier ángulo exterior de éste, es igual a la suma de los
ángulos interiores no adyacentes a él”.
Del teorema anterior, lo que se quiere demostrar, es:
A
2
1
B
3
4
C
D
A)
1+
2 = 180° −
4
B)
1+
2 = 180° +
4
C)
1+
2 =
3 +
D)
1+
2 =
4
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
127
4
MATEMÁTICAS III
32.
Analiza la siguiente demostración geométrica.
Los ángulos de la base de un trapecio isósceles son iguales.
Hipótesis. Los ángulos de la base de un trapecio isósceles.
Tesis. Son iguales.
Datos: Trapecio isósceles ABCD ( BC AD ; AB = CD )
B
Demostrar:
A =
C
D
1
A
Proposiciones.
2
E
1.
2. BC  AD ; AB = CD
2. Por ser trapecio isósceles.
3. BE = CF
3.
1 =
5.
ABE ≅
6.
A =
D
Fundamentos.
1. BE ⊥ AD y CF ⊥ AD
4.
F
2
4.
DCF
5.
s ≅. hip.,cat. = hip.,cat.
6. Los elementos homólogos de s ≅
son iguales.
D
De acuerdo con el análisis anterior, los fundamentos que faltan en la 1ª, 3ª y 4ª proposición
respectivamente, son:
A)
1. Desde un punto exterior se puede trazar una recta.
2. Las rectas paralelas son equidistantes.
3. Las perpendiculares forman s. Los s son iguales.
B)
1. Desde un punto exterior se puede trazar una recta.
2. Las rectas perpendiculares son equidistantes.
3. Las perpendiculares forman s llanos. Los s llanos son iguales.
C)
1. Desde un punto exterior se puede trazar una recta oblicua a otra.
2. Las rectas perpendiculares son equidistantes.
3. Las rectas paralelas no forman ángulos.
D)
1. Desde un punto exterior se puede trazar una parelala a una recta.
2. Las rectas paralelas son desiguales las distancias entre una y otra
3. Las perpendiculares forman s llanos. Los s llanos son iguales.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
128
MATEMÁTICAS III
COMPENDIO FASCÍCULO 4
En el compendio fascículo 4, estudiaste diferentes tipos de geometrías y aprendiste tanto a
generar fractales como a demostrar la dimensión fractal de las figuras geométricas. Con base en
ello; contesta los siguientes reactivos marcando en tu cuaderno de notas la opción que satisface
con la respuesta correcta de cada uno de ellos.
32.
Es el nombre que también recibe la geometría de Lobachevski.
A) Geometría hiperbólica.
B) Geometría parabólica.
C) Geometría elíptica.
D) Geometría plana.
33.
Es el nombre que también recibe la geometría de Riemann.
A) Geometría plana.
B) Geometría elíptica.
C) Geometría parabólica.
D) Geometría hiperbólica.
34.
Es la proposición que origina la geometría hiperbólica y que hace la negación del 5°
postulado de Euclides.
A)
B)
C)
D)
35.
Por un punto exterior a una recta dada, pasa sólo una línea paralela a ella.
Por un punto exterior a una recta dada, no pasa ninguna línea paralela a ella.
Por un punto exterior a una recta dada, pasa más de una línea paralela a ella.
Por un punto exterior a una recta dada, pasa sólo una línea perpendicular a ella.
Es el esquema que representa la forma de generar un fractal por medio de los Polvos de
Cantor en un segmento de recta.
A)
B)
C)
D)
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
129
MATEMÁTICAS III
36.
Es el triángulo de Pascal representado en el sistema binario, generado hasta la potencia
n = 5.
A)
1
1 1
1 0 1
1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 1
37.
38.
B)
0
0 0
0 1 0
0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 0 0 1 0
C)
1
1 1
1 0 1
1 0 0 1
1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1
D)
1
1 1
1 2 1
1 1 1 1
1 2 2 2 1
1 1 1 1 1 1
¿A qué tipo corresponde y en qué etapa está generado el fractal de la siguiente figura?
A)
Triángulo de Pascal y está generado en la etapa 2.
B)
Triángulo de Pascal y está generado en la etapa 3.
C)
Triángulo de Sierpinski y está generado en la etapa 3.
D)
Triángulo de Sierpinski y está generado en la etapa 3.
Es la expresión matemática donde se demuestra la fórmula de Besicovich para la siguiente
figura.
 1 2
A)
 (3) = 1
9
2
B)
 1
(9)  = 1
3
C)
 1 

(2.5) 2 = 1
 6.25 
D)
 1 
(6.25)
 =1
 2 .5 
2
39.
Es la expresión matemática que permite obtener la dimensión fractal de la siguiente figura.
A)
D=
Log 4
Log 8
B)
D=
Log 8
Log 4
C)
D=
Log 1 / 4
Log 8
D)
D=
Log 8
Log 1 / 4
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
130
MATEMÁTICAS III
5.1 HOJA DE RESPUESTA
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
131
MATEMÁTICAS III
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
132
MATEMÁTICAS III
5.2. HOJA DE COTEJO DEL EVALUACIÓN MUESTRA
COMPENDIO
FASCÍCULO 1
1
D
2
C
3
A
4
C
5
B
6
C
7
B
8
B
9
D
10
A
11
A
12
D
COMPENDIO
FASCÍCULO 2
13
C
14
B
15
A
16
C
17
D
18
D
19
B
20
A
21
D
22
C
23
C
COMPENDIO
FASCÍCULO 3
24
B
25
A
26
B
27
D
28
C
29
B
30
D
31
A
COMPENDIO
FASCÍCULO 4
32
A
33
B
34
C
35
D
36
A
37
C
38
D
39
B
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133
MATEMÁTICAS III
VI. SIMBOLOGÍA
≠
Diferente a
∞
Infinito
≅
Congruencia
∼
Semejanza
∈
Pertenece a
⊥
Rectas perpendiculares
//
Rectas paralelas
√
Radical
≈
Aproximado a
∴
Por lo tanto
±
Más menos
α, β, θ Letras griegas(alfa, beta, teta) para simbolizar ángulos
Ángulo recto
Ángulo cualquiera
Sen
Cos
Tan
Abreviatura de las funciones directas: seno, coseno y tangente
Sen−1
Cos−1 Abreviatura de las funciones inversas del seno, coseno y tangente
Tan−1
AB
Arco “AB” de una circunferencia
A
Vector “A”
f(x)
Valor de f en x
Cuadrilátero
Triángulo
A=BN
Potencia A de base B y exponente N
AB
Segmento de recta “AB”
P(h,k) Taslación de un punto P(x,y)
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134
MATEMÁTICAS III
VII. GLOSARIO
ÁNGULO
Abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo origen llamado
vértice.
ÁREA
Región o superficie interior de un figura geométrica plana. El área se expresa en
unidades cuadradas.
EJE DE SIMETRÍA
Recta que divide a una figura geométrica en dos partes iguales.
FRACTAL
Estructura geométrica invariante que se construye por dilatación de escala, puesto
que cada una de sus partes se parece al todo.
IGUALDAD
Expresión matemática conformada por dos miembros separados por el signo igual.
PARALELOGRAMO Cuadrilátero formado por dos pares de rectas paralelas y ángulos interiores
diferentes de 90°.
PERÍMETRO
Medida del contorno de una figura geométrica que se obtiene sumando la longitud
de todos los lados que la forman. El perímetro se expresa en unidades lineales.
PLANO
Extensión que se prolonga infinitamente en dos dimensiones, largo y ancho.
PLANO
Plano representado por dos rectas, una horizontal y otra vertical que se intersectan
CARTESIANO perpendicularmente en un punto llamado origen.
PROPORCIÓN Igualdad entre dos razones o cocientes.
RAZÓN
Relación entre dos cantidades de la misma magnitud en forma de cociente.
RECTAS
Dos o más rectas que se intersectan en un punto en común.
CONCURRENTES
RECTAS
Par de rectas que mantienen una misma dirección y la distancia entre ellas siempre
PARALELAS es la misma.
RECTAS
Par de rectas que se intersectan en un punto en común, formando ángulos de 90°.
PERPENDICULARES
ROMBO
Figura geométrica plana formada por cuatro lados congruentes y ángulos interiores
diferentes de 90°.
SEGMENTO DE RECTA
Línea recta que está limitada por dos puntos.
SEMIRRECTA Extensión de una recta en un solo sentido a partir de un origen establecido.
TEOREMA
Afirmación que es demostrable compuesta por una hipótesis y una conclusión.
VARIABLES
Letras utilizadas en una igualdad que son llamadas incógnitas.
VOLUMEN
Espacio que ocupa un cuerpo geométrico o capacidad que tiene el mismo. El
volumen se expresa en unidades cúbicas.
CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
135
MATEMÁTICAS III
BIBLIOGRAFÍA
ALANÍZ M. Jorge, García M. Bernardino, Santoveña D. Ma. Del Carmen y Velasco O. Rodolfo
Matemáticas III, Fascículo 1. Colegio de Bachilleres, México,1993.
BALDOR Aurelio J., Geometría plana y del espacio. Publicaciones cultural, México, 1995.
CARREION Miranda Vicente. Matemáticas. La inducción en matemáticas. Compañía editorial, S. A
México, 1978.
FLORIÁN M. Guadalupe, Rosas S. Alejandro, Villegas O. F. Javier y Zúñiga C. Juan. Matemáticas
III, Fascículo 2. Colegio de Bachilleres, México, 1993.
GUZMÁN Herrera, Abelardo. Geometría y trigonometría. Publicaciones cultural, México, 1995.
HEMMERLING M. Edwin. Geometría elemental, Editorial limusa, México, 1988.
JURGENSEN Ray C., DONNELLY Alfred J., Geometría moderna. Publicaciones cultural, S.A.,
México, 1982.
MERCADO Martínez Miguel, Matemáticas III Fascículo 4, Colegio de Bachilleres, México, 1993.
ORTIZ Campos F. José, Matemáticas III . Geometría y trigonometría, Publicaciones cultural,
México, 1997.
PIÑA Millán Ignacio, SÁNCHEZ Vargas José, Matemáticas III Fascículo 3, Colegio de Bachilleres,
México, 1993.
SWOKOWSKI Eart W., Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica . Grupo editorial
Iberoamericana, México,1996.
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DIRECTORIO
Jorge González Teyssier
Director General
Javier Guillén Anguiano
Secretario Académico
Francisco Lara Almazán
Coordinador Sectorial Norte
Alfredo Orozco Vargas
Coordinador Sectorial Centro
Rafael Velázquez Campos
Coordinador Sectorial Sur
Álvaro Álvarez Barragán
Coordinador de Administración Escolar
y del Sistema Abierto
José Noel Pablo Tenorio
María Elena Saucedo Delgado
Director de Asuntos Jurídicos
Directora de Servicios Académicos
Ma. Elena Solís Sánchez
Ricardo Espejel
Directora de Información
Y Relaciones Públicas
Director de Programación
Francisco René García Pérez
Director Administrativo
Lilia Himmelstine Cortés
Directora de Planeación Académica
Jaime Osuna García
Director de Recursos Financieros
Mario Enrique Martínez de Escobar y
Ficachi
Director de Extensión Cultural
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