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TEMA 2: NÚMEROS ENTEROS
1. NÚMEROS ENTEROS
Los números naturales se utilizan para expresar matemáticamente multitud de situaciones cotidianas.
Sin embargo, a veces no sirven para cuantificar las situaciones opuestas asociadas. En esos casos, es
necesaria la utilización de los números negativos.
Por ejemplo:
Estamos a 8 grados centígrados
+8
Nº Natural
Estamos a 8 grados bajo cero
– 8
Nº negativo
Julián gana 20 euros
+ 20
Nº Natural
Julián gasta 20 euros
– 20
Nº negativo
Aparcamos en el segundo sótano
–2
Nº negativo
Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un
nuevo conjunto numérico llamado números enteros, que se representa con la
letra
El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales y los que están por
debajo del cero, que llamamos negativos y se escriben precedidos del signo menos y el cero. Al escribir los
números enteros positivos no se suele escribir el sino + delante del número.
= {…, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Igual que los números naturales, los números enteros se pueden representar sobre una recta. Para
ello, se sitúa el 0 en un punto de la recta y se escoge la longitud de la unidad. Del 0 hacia la derecha se sitúan
los números enteros positivos, y del 0 hacia la izquierda los enteros negativos.
Valor absoluto de un número entero: El valor absoluto de un número entero es la longitud del segmento
que lo separa del cero en la recta numérica. Se expresa escribiendo el número entre barras:
El valor absoluto de – 7 es 7: |–7| = 7
El valor absoluto de + 4 es 4: |+4| = 4
Opuesto de un número entero: El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor
absoluto y distinto signo.
El opuesto del número 6 es – 6: op(6) = – 6
El opuesto del número – 15 es 15: op(– 15) = 15
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Comparación de números enteros:
 Si dos enteros son positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto. Por ejemplo: +20 > +8.
 Cualquier número positivo es mayor que el cero, y el cero es mayor que cualquier negativo. Por
ejemplo: + 8 > 0 > – 8.
 Entre dos enteros negativos, es mayor el de menor valor absoluto. Por ejemplo: – 8 > – 20.
2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
 Suma:
 Para sumar dos números enteros con el mismo signo, sumamos sus valores absolutos y se pone
el signo que tenían los sumandos:
(+ 5) + (+ 12) = + 17 = 17
(– 4) + (– 7) = – 11
 Para sumar dos números enteros con distinto signo, se restan los valores absolutos y se pone el
signo del que tiene mayor valor absoluto:
(– 6) + (+ 8) = + 2 = 2
(+ 12) + (– 20) = – 8
Para sumar más de dos números enteros podemos:

Sumarlos de dos en dos sucesivamente:
(– 5) + 3 + (– 6) + 7 = (– 2) + (– 6) + 7 = (– 8) + 7 = – 1

Sumar por separado los positivos y los negativos:
(– 5) + 3 + (– 6) + 7 = (– 5) + (– 6) + 3 + 7 = (– 11) + 10 = – 1
Ejemplo: Un ascensor que está parado en el portal lo llaman del segundo sótano y luego sube cinco
plantas. ¿En qué piso se para el ascensor?
(– 2) + (+ 5) = + 3
El ascensor se para en el tercer piso
 Resta:
Para restar dos números enteros, sumamos al primero el opuesto del segundo. Se pueden dar cuatro
casos:
 La resta de dos números enteros positivos pasa a ser la suma de un número positivo y otro negativo:
(+ 12) – (+ 9) = (+ 12) + (– 9) = 12 – 9 = 3
 La resta de un número positivo menos un número negativo se pasa a ser la suma de dos números
positivos:
(+ 6) – (– 5) = (+ 6) + (+ 5) = 6 + 5 = 11
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 La resta de un número negativo menos un número positivo pasa a ser la suma de dos números
negativos:
(– 4) – (+ 6) = (– 4) + (– 6) = – 4 – 6 = – 10
 La resta de dos números negativos se transforma en la suma de un número negativo más un número
positivo:
(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 8 + 5 = – 3
La operaciones con números enteros parecen complicadas por el uso de los
paréntesis, podemos simplificar la notación teniendo en cuenta que el signo menos delante
de un paréntesis cambia los signos de los términos que hay dentro, y el signo más deja el
mismo signo que tiene el número dentro del paréntesis; como se indica en el cuadro de la
derecha.
– (– a) = a
+ (– a) = – a
+ (+ a) = a
– (+ a) = – a
Ejemplo: A las 3 de la madrugada el termómetro de una localidad marcaba – 3º C y a las 10 de la mañana
marcaba 7º C, ¿cuántos grados ha subido la temperatura?
7 – (– 3) = 7 + 3 = 10
La temperatura ha subido 10º C
 Multiplicación:
Para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le añade
el signo “+” si los dos números tienen el mismo signo, y el signo “–“ si tienen distinto signo.
(– 7) · ( + 3) = – 21
(– 12) · (– 4) = + 48 = 48
(+ 12) · (– 2) = – 24
Para obtener el signo del producto de dos números enteros se utiliza la regla de los signos:
+·+=+
–·+=–
+·–=–
–·–=+
Ejemplo: El grifo de una bañera está estropeado y pierde 2 litros de agua cada día, ¿qué cantidad de agua
habrá perdido en una semana?
(– 2) · 7 = – 14
En una semana habrá perdido 14 litros
 División:
Para calcular la división de dos números enteros se halla el cociente de sus valores absolutos, y al
resultado se le añade el signo “+” si los dos números tienen el mismo signo, y el signo “–“ si tienen distinto
signo.
(– 42) : (+ 7) = – 6
(– 12) : (– 3) = + 4 = 4
(+ 15): (– 3) = – 5
Al igual que en el producto, se emplea la regla de los signos para calcular el signo del cociente:
+:+=+
–:+=–
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+:–=–
–:–=+
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 Potencias de base entera:
Recuerda que una potencia es una multiplicación de factores iguales, 4 3 = 4 · 4· 4 = 64
Si la base de la potencia es un número negativo se obtienen, alternativamente, resultados positivos y
negativos:
(– 3)2 = (– 3) · (– 3) = + 9
(– 3)3 = (– 3) · (– 3) · (– 3) = – 27
(– 3)4 = (– 3) · (– 3) · (– 3) · (– 3) = + 81
En general, al elevar un número negativo a una potencia:
¡Cuidado!
Cuando las potencias
tienen base negativa, el
uso del paréntesis
cambia el resultado:

Si el exponente es par, el resultado es positivo: (– a )par → positivo
– 52 = – 5·5 = – 25

Si el exponente es impar, el resultado es negativo: (– a )impar → negativo
(– 5)2 = (– 5) · (– 5) = 25
 Raíz cuadrada:
La raíz cuadrada de un número es otro número cuyo cuadrado es igual al primero. Calcular la raíz
cuadrada de un número es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado:
 b2  a
a
b



Se lee: la raíz cuadrada
de a es igual a b
Por la regla de los signos, un número positivo tiene dos raíces cuadradas opuestas entre sí, y un
número negativo no tiene raíz cuadrada, porque ningún número entero elevado al cuadrado es negativo.
Raíces cuadradas exactas: Los números cuya raíz cuadrada es exacta se llaman cuadrados
perfectos. Por ejemplo, son cuadrados perfectos 36, 100 ó 400.
36   6  62  36 y  62  36
100  10  102  100 y  102  100
400  20  202  400 y  202  400
Ejemplo: a) 121  11
b)
81  9
c)
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196  14
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Operaciones combinadas:
A menudo tenemos que resolver varias operaciones combinadas. En estos casos es muy importante
conocer la jerarquía de las operaciones, es decir, el orden que se debe seguir a la hora de resolverlas, ya que
no siempre hay que hacer las operaciones en el orden en que aparecen. La regla general para resolver
operaciones combinadas es la siguiente:
1.- Paréntesis. Si después de observar la operación en conjunto vemos que hay paréntesis, primero hay que
resolver las operaciones que contengan. Una vez hecho esto, se vuelve a escribir toda la operación pero
sustituyendo los paréntesis por los resultados correspondientes.
2.- Potencias. El segundo paso consiste en identificar las potencias y resolverlas de izquierda a derecha. A
continuación, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados
correspondientes
3.- Multiplicaciones y divisiones. El tercer paso consiste en identificar las multiplicaciones y divisiones y
resolverlas, de izquierda a derecha. A continuación, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo
estas operaciones por los resultados correspondientes.
4.- Sumas y restas. Finalmente hay que resolver las sumas y restas, que se pueden calcular en el orden en
que aparezcan en la operación combinada inicial.
Ejemplo:
Ejemplos: a) (12 – 2) : ( 1 – 6 ) = 10 : (-5) = -2
b) – 2 + (– 5 – 12 : 3 ) (– 3 + 4 : 2 ) = -2 + (-9) (-1) = 7
c) 18 + [ 13 + 4 – ( 5 – 7 ) + 6 ] = 18 + [13 + 4 – (–2) + 6] = 43
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