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SIGMA
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LA OLIMPIADA CANGURO
Santiago Fernández (*)
INTRODUCCIÓN
La Olimpiada Canguro Matemático (Le Kangourou des mathèmatiques) se inició en Francia
hace unos 15 años bajo el auspicio del Consejo Europeo, constituyéndose en la competencia
matemática estudiantil con mayor número de participación a nivel mundial; anualmente intervienen aproximadamente cuatro millones de estudiantes de cerca de 45 países.
Cada país miembro de la Asociación aplica la prueba Canguro Matemático de manera más o
menos independiente, pero casi simultáneamente a partir del tercer jueves de marzo, con las
condiciones y niveles que le parezcan apropiados.
En principio la Olimpiada Canguro consta de cinco niveles (Escolar, Benjamín, Cadete, Junior
y Estudiante), que abarca desde el sexto año básico hasta el nivel preuniversitario.
Los objetivos del concurso, eran (y siguen siéndolo ahora) muy distintos de los de las
Olimpiadas: se trataba de popularizar las matemáticas y que éstas lleguen a todos los estudiantes; por tanto, no debería buscar la excelencia, como en el caso de las Olimpiadas, sino
más bien al contrario, se trata de lograr que incluso los alumnos y alumnas menos dotados se
divirtieran resolviendo problemas de matemáticas.
¿POR QUÉ CANGURO MATEMÁTICO?
El año 1988 la Olimpiada Internacional de Matemáticas se celebró en Australia. El organizador del acontecimiento, Peter J. O’Halloran, mostró a los asistentes el desarrollo del Concurso
Nacional Australiano, en el que los alumnos debían contestar a una larga serie de preguntas
de elección múltiple, sin moverse de su casa.
Peter J. O’Halloran
(*) Asesor de Matemáticas del Berritzegune de Abando (Bilbao).
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Santiago Fernández
Entre los asistentes a dicha Olimpiada se encontraban los profesores franceses, André Deledicq
y Jean Pierre Boudine, que quedaron gratamente impresionados por la organización y participación de los escolares australianos.
André y Jean Pierre se pusieron manos a la obra de cara a impulsar un concurso similar al del
insigne profesor australiano, pero en Francia; de hecho adoptaron el nombre Le Kangourou des
mathèmatiques como homenaje a Peter O'Halloran.
Profesor André Deledicq
El nombre se hizo muy popular y desde entonces el Canguro se ha convertido, sin duda alguna,
en el Concurso de matemáticas más numeroso del mundo.
El logotipo de la Olimpiada es el siguiente:
En Francia el concurso Canguro es muy seguido, como puede apreciarse en la siguiente dirección: http://www.mathkang.org/default.html
¿ CÓMO SE ORGANIZA EL CANGURO MATEMÁTICO?
El Canguro Matemático se estructura de la siguiente manera: hay cinco niveles que corresponden a la edad de los participantes (Ecolier, 9-10 años de edad; Benjamín, 11-12; Cadete, 13-14;
Junior ,15-16 ; Student, 17-18).
Los estudiantes inscritos deben responder a 30 preguntas en 1h15 min (los más pequeños, sólo
a 24). Las diez primeras preguntas son las más fáciles y valen tres puntos cada una; las diez
siguientes, con alguna dificultad mayor, valen cuatro puntos cada una; las diez últimas son las
más difíciles y valen cinco puntos cada una. Cada pregunta tiene cinco posibles respuestas, de
las que solamente una es la correcta. Los participantes marcan la respuesta que creen correcta
en la hoja de respuestas que se les proporciona.
No se permite el uso de calculadoras y los participantes deben trabajar individualmente. Una
pregunta no contestada no se puntúa; mientras que cada pregunta contestada erróneamente
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se penaliza con 1/4 de los puntos que le corresponderían si fuera correctamente contestada.
Inicialmente, cada participante parte con 30 puntos.
Todos los alumnos y alumnas reciben un pequeño regalo simbólico y además los mejores en
cada categoría reciben otros premios, dependiendo de las posibilidades de cada comité organizador.
Las 30 preguntas se seleccionan en una reunión internacional, que se celebra cada año en un
país diferente, normalmente a finales de octubre, y son las mismas para todos los estudiantes
de cada grupo de edad. No obstante, cada país puede modificar un pequeño porcentaje de las
preguntas para adecuar el concurso a los contenidos de sus programas escolares.
En nuestro país el Canguro matemático es un concurso de resolución de problemas por niveles,
se consideran seis niveles en vez de los cinco originales. Los niveles son los siguientes:
•
•
•
•
•
•
Nivel
Nivel
Nivel
Nivel
Nivel
Nivel
1: Alumnos
2: Alumnos
3: Alumnos
4: Alumnos
5: Alumnos
6: Alumnos
de
de
de
de
de
de
1º
2º
3º
4º
1º
2º
de
de
de
de
de
de
E.S.O.
E.S.O.
E.S.O.
E.S.O.
Bachillerato.
Bachillerato.
Entre sus objetivos se pueden destacar:
• Es un concurso para todos los alumnos y alumnas.
• Conseguir que cada alumno, a través de las Matemáticas, se plantee un reto consigo
mismo y con los demás.
• Incentivar el gusto por el estudio de las Matemáticas.
Presentamos, ahora, los exámenes que se han puesto a lo largo de los últimos años, por Niveles.
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IX CONCURSO CANGURO MATEMÁTICO 2002
Nivel 1 (1º de E.S.0.)
Día 21 de marzo de 2002. Tiempo: 1 hora y 15 minutos
No se permite el uso de calculadoras. Hay una única respuesta correcta para cada pregunta. Cada
pregunta mal contestada se penaliza con 1/4 de los puntos que le corresponderían si fuera correcta.
Las preguntas no contestadas no se puntúan ni se penalizan. Inicialmente tienes 30 puntos.
Las preguntas 1 a 10 valen tres puntos cada una
1.
El número 2.002 es capicúa, es decir, se lee lo mismo de izquierda a derecha que de
derecha a izquierda. ¿Cuál de los siguientes números NO tiene esta propiedad?
A) 1.991
2.
B) 2.323
C) 2.112
D) 2.222
E) 1.001
A lo lejos se ve la línea del horizonte:
¿Cuál de los siguientes trozos no pertenece a esta línea del horizonte?
A)
3.
E)
B) 9
C) 8
D) 7
E) 5
B) 2 y 30
C) 3 y 221
D) 4 y 14
E) 4 y 30
El día después de mi cumpleaños, este año, sería correcto decir : “Pasado mañana es
Jueves”. ¿Qué día de la semana fue mi cumpleaños ?
A) Lunes
60
D)
¿Por qué números se deben sustituir los signos de interrogación?
A) 2 y 14
5.
C)
Papá Canguro y mamá Canguro tienen tres hijas, cada una de las cuales tiene dos her
hermanos machos. ¿Cuántos miembros tiene la familia canguro?
A) 11
4.
B)
B) Martes
C) Miércoles
D) Jueves
E) Domingo
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6.
¿En cuál de los siguientes collares los dos tercios de las cuentas son negras?
7.
¿Cuál de las siguientes expresiones tiene mayor valor:
A) 10 x 0,001 x 100
D) 10000 x 100 : 10
8.
C) 100 : 0,01
¿Cuántos ángulos de medidas diferentes se pueden ver en la figura?
A) 4
9.
B) 0,01 : 100
E) 0,1 x 0,01 x 10000
B) 6
C) 8
D) 10
E) 11
El área de un rectángulo vale uno. ¿Cuál es el área del triángulo obtenido cortando el
rectángulo por la recta que une los puntos medios de dos lados adyacentes?
A) 1/3
B) 1/4
C) 2/5
D) 3/8
E) 1/8
10. Calcular la diferencia entre el mayor y el menor número formado por tres cifras, todas
diferentes.
A) 899
B) 885
C) 800
D) 100
E) otra respuesta
Las preguntas 11 a 20 valen cuatro puntos cada una
11.
Los polígonos I, II, III y IV de la figura son cuadrados.
El perímetro del cuadrado I es 16m y el del cuadrado II es 24 m.
El perímetro del cuadrado IV vale:
A) 56 m
B) 60 m
C) 64 m
D) 72 m
E) 80 m
12. Una abeja se mueve de una celda a otra, siguiendo la línea marcada en la figura. ¿A
qué celda irá la abeja en su próximo movimiento?
A) A
B) B
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C) C
D) D
E) E
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13. Una sala mide 4 m x 5 m y tiene 3 m de altura. Se quiere aumentar su volumen en 60 m3.
¿Cuánto hay que elevar el techo?
A) 3 m
B) 4 m
C) 5 m
D) 12 m
E) 20 m
14. En la figura hay cuatro cuadrados iguales, en los que están marcados los puntos medios
de sus lados. Las áreas señaladas son, respectivamente, S1 , S2 , S3 y S4 . ¿Cuál de las
siguientes relaciones es cierta?
A) S3 < S4 < S1 = S2
D) S3 < S4 < S1 < S2
B) S3 < S1 = S2 = S4
E) S4 < S3 < S1 < S2
C) S3 < S1 = S4 < S2
15. Julián, María, Nicolás y Luisa tienen cada uno un animal, de entre los siguientes: un gato,
un perro, un pez rojo y un canario. María tiene un animal de pelo ; Luisa, uno de cuatro
patas; Nicolás un pájaro y se sabe que a Julián y a María no les gustan los gatos.
¿Cuál de las siguientes frases NO es cierta?
A) Luisa tiene un perro
D) Luisa tiene un gato
B) Nicolás tiene un canario
E) María tiene un perro
C) Julián tiene un pez
16. Cristina añade 3g de sal a 17 g de agua. ¿Cuál es el porcentaje de sal en la solución
obtenida?
A) 20%
B) 17%
C ) 16%
D) 15%
E) 6%
17. Las tres bandejas A, B y C están en orden creciente de peso.
Para mantener este orden, la bandeja D debe colocarse :
A) entre A y B
D) después de C
B) entre B y C
E) D y C pesan lo mismo.
C) delante de A
18. Un virus informático está borrando el disco duro. Durante el primer día borra 1/2 de la
memoria del disco duro. Durante el segundo día borra 1/3 de la memoria restante. El
tercer día, 1/4 de la memoria restante, y el cuarto, 1/5 de la memoria restante.
¿Qué fracción de la memoria inicial queda sin borrar al final del cuarto día?
A) 1/5
B) 1/6
C) 1/10
D) 1/12
E) 1/24
19. ¿Cuál es el máximo valor de la suma de las cifras del número suma de las cifras de un
número de tres cifras?
A) 9
62
B) 10
C) 11
D) 12
E) 18
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20. Cinco chicos se pesan conjuntamente de dos en dos, de todas las maneras posibles. Los
pesos de las parejas son:
90 kg, 92k g , 93 kg, 94 kg, 95 kg, 96 kg, 97 kg, 98 kg, 100 kg y 101 kg.
El peso conjunto de los cinco chicos es:
A) 225 kg
B) 230 kg
C) 239 kg
D) 240 kg
E) 250 kg
Las preguntas 21 a 30 valen cinco puntos cada una
21. En un juego infantil se va contando de 1 a 100 y se aplaude cada vez que se dice un
múltiplo de tres o un número que termina en tres. ¿Cuántas veces se ha aplaudido al
terminar el juego?
A) 30
B) 33
C) 36
D) 39
E) 43
22. Las longitudes de los lados de un rectángulo son a y b. Hallar la suma de las longitudes
de los segmentos dibujados dentro del rectángulo, que son paralelos a los lados del
rectángulo.
A) 3(a+b)
B) a+a+a+b
C) a+a+a+b+b
D)a+a+b+b+b
E) Imposible calcularlo
23. Un ciclista sube un puerto la la velocidad de 12 km/h y lo baja a 20 km/h. La diferencia entre los tiempos de subida y bajada es de 16 minutos. ¿Cuál es la longitud del
trayecto?
A) 8 km
B) 10 km
C) 12 km
D) 14 km
E) Falta un dato
24. El Mago Antonio tiene en su chistera 14 ratones grises, 8 blancos y 6 negros. ¿Cuál es el
número mínimo de ratones que ha de sacar, sin mirar, para estar absolutamente seguro
de que saca al menos un ratón de cada color?
A) 23
B) 22
C) 21
D) 15
E) 9
25. Se trata de colocar los enteros del 1 al 7 en los círculos de la figura de tal manera que
se obtenga la misma suma en cada hilera de tres redondeles.
A) es imposible
B) la solución es única
C) hay 2 números distintos que pueden ocupar el redondel central
D) Hay 3 números diferentes que pueden ocupar el redondel central
E) hay 7 números distintos que pueden ocupar el redondel central
26. Cada cara de un cubo se pinta de un color distinto. Pablo, Sara e Isabel cogen el cubo,
y sin girarlo, dicen los colores de las caras que ven:
Pablo : “Azul, blanco, amarillo” ; Sara : “Negro, azul, rojo” ; Isabel: “Verde, blanco, negro”.
¿Cuál es el color de la cara opuesta a la que está pintada de blanco?
A) rojo
B) azul
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C) negro
D) verde
E) amarillo
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27. Un círculo, un cuadrado y un triángulo se dibujan en el plano superponiéndose entre sí.
¿Cuál es el número máximo de puntos de intersección determinados por las tres figuras?
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
28. Con barras de 200 g se construye una malla de 32 hexágonos dispuestos en tres filas,
como se muestra en la figura.
¿Cuál es la masa de toda la malla?
A) 24,6 kg
B) 24,4 kg
C) 26,4 kg
D) 30,4 kg
E) 28,6 kg
29. En un torneo de baloncesto compiten 32 equipos. En cada ronda, los equipos se
dividen en grupos de cuatro. En cada grupo, cada equipo juega exactamente una vez
contra los demás.
Los dos mejores equipos de cada grupo pasan a la ronda siguiente y los demás son eliminados. Después de la última ronda, los dos equipos que quedan juegan la final para
determinar el ganador. ¿Cuántos partidos se han jugado en todo el torneo?
A) 49
B) 89
C) 91
D) 97
E) 181
30. Un gato y medio se comen un ratón y medio en hora y media. ¿Cuántos ratones se
comen 15 gatos en 10 horas?
A) 15
64
B) 45
C) 60
D) 100
E) 150
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X CONCURSO CANGURO MATEMÁTICO 2003
NIVEL 2 (2º DE E.S.0.)
Día 20 de marzo de 2003. Tiempo: 1 hora y 15 minutos
No se permite el uso de calculadoras. Hay una única respuesta correcta para cada pregunta.
Cada pregunta mal contestada se penaliza con 1/4 de los puntos que le corresponderían si
fuera correcta. Las preguntas no contestadas no se puntúan ni se penalizan. Inicialmente tienes
30 puntos.
Las preguntas 1 a 10 valen tres puntos cada una
1.
Eliges un número entero, le restas 203, sumas 2.003 al resultado y finalmente obtienes
20.003. El número inicial era:
A) 23
2.
D) 9.009
E) 9.909
B) 32
C) 20
D) 24
E) 18
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
B) 1/2
C) 1/4
D) 1/8
E) 1/5
Se consideran todos los enteros positivos de dos cifras tales que la suma de sus cifras
es igual a 11. Le sumamos 2 a cada número. ¿Cuántos números divisibles por 4 hemos
obtenido?
A) 1
8.
C) 999
¿Qué fracción del octógono regular representa la parte oscura?
A) 1/3
7.
B) 991
Una habitación rectangular mide 5 m x 7 m. Un bote de pintura permite pintar 13
metros cuadrados del piso de la habitación. ¿Cuál es el menor número de botes que
has de comprar para dar tres manos de pintura al piso de la habitación?
A) 5
6.
E) 22.209
¿Cuál es el resto si dividimos por 5 el cociente de dividir 55 entre 8?
A) 0
5.
D) 21.803
La suma del menor entero positivo divisible por 2 y por 3, con el menor entero positivo
divisible por 2, 3 y 4 es igual a:
A) 9
4.
C) 18.203
El cociente de 999.999 por 111 es igual a:
A) 990
3.
B) 17.797
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
¿Cuántas páginas tiene un libro si para numerarlas todas hacen falta 55 cifras en total?
A) 16
B) 20
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C) 32
D) 48
E) 55
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9.
El número 2.003 es un número primo. Hoy es el 20-03-2003. El número 20.032.003:
A) es también un número primo
B) es divisible por 11
C) es divisible por 101
D) es divisible por 1.001
E) es divisible por 10.001
10. El número de vueltas (N) que da una rueda de bicicleta al accionar los pedales es
función del número de dientes del plato (P) y del número de dientes del piñón (p). La
fórmula es P/p, y a este número le llamaremos velocidad. Una bicicleta tiene platos
de 68, 60, 54, 51 , 48 y 45 dientes y piñones de 20, 17, 15 y 12 dientes. ¿Cuál es el
cociente entre la velocidad máxima y la mínima que puede desarrollar la bicicleta?
A) 68/27
B) 68/3
C) 51/4
D) 17/12
E) 17/9
Las preguntas 11 a 20 valen cuatro puntos cada una
11.
Ana y Bea hablan sobre el dinero que tienen. Ana dice : Si compro un pastel de 1,20
euros, me quedará la tercera parte del dinero que tengo ahora. Bea dice: Pues yo tengo
tanto dinero como tú y un tercio más. ¿Cuánto dinero tienen entre las dos?
A) 4,02 euros
B) 4,20 euros
C) 2,04 euros
D) 2,40 euros
E) 1,80 euros
12. María y sus amigos coleccionan monedas; entre todos tienen 126 monedas. La mitad
de ellas son de un quinto de euro; la tercera parte de las monedas son de cinco cénticénti
mos de euro; el resto son de 1 euro. ¿Cuánto dinero tienen?
A) entre 29 y 30 euros
D) entre 73 y 74 euros
B) entre 35 y 36 euros
E) entre 85 y 86 euros
C) entre 54 y 55 euros
13. Empezando con los números enteros positivos p y q, formamos los números:
pq+2 , p2 + q3 , (p+1)(q+1) , (p+q)2 , p(q+1).
De estos cinco resultados, el número máximo de números pares es:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
14. En un grupo de cinco personas hay embusteros, que siempre mienten, y veraces, que
siempre dicen la verdad. A cada uno de ellos se le pregunta: ¿Cuántos embusteros hay
en el grupo? Se obtienen las respuestas : Uno, dos, tres, cuatro, cinco. ¿Cuántos embusteros hay en el grupo?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
15. En un número natural de por lo menos dos cifras, se suprime la última cifra, con lo que
el número disminuye n-veces. ¿Cuál es el máximo valor de n?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 19
E) 20
16. Si del calendario de Marzo tacho todas las fechas en las que aparezcan cifras pares,
¿cuántas fechas quedan?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 15
17. La arista de un cubo mide 1. Una hormiga camina sobre algunas aristas del cubo, no
pasando por ninguna arista más de una vez, pero pasando posiblemente por algunos
vértices más de una vez. ¿Cuál es el camino más largo que puede recorrer?
A) 6
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B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
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18. Hay 11 jugadores en un equipo de fútbol. La edad media es 23 años. Dos jugadores,
ambos de 26 años, son sustituidos por uno de 20 años y otro de 21. Ahora la edad
promedio del equipo es:
A) 21,5
B) 21
C) 20
D) 22,5
E) 22
19. Se numeran los coches con dos cifras y una de las 26 letras del abecedario, en el orden
siguiente:
00A, 00B, ..., 00Y, 00Z, 01A, 01B, 01C,.... ¿Qué le corresponderá al coche 2003?
A) 77Z
B) 77A
C) 77Y
D) 78A
E) 77J
20. Se corta en dos partes desiguales un pastel rectangular. El corte (recto) pasa por los
puntos medios de dos lados. El trozo pequeño pesa 100 g. ¿Cuánto pesa el grande?
A) 400 g
B) 500 g
C) 550 g
D) 600 g
E) 700 g
Las preguntas 21 a 30 valen cinco puntos cada una
21. En un dado, la suma de los puntos situados en caras opuestas es siempre siete. Cada
vértice es compartido por tres caras. Se calcula, para cada vértice del dado, la suma de
los puntos situados en esas tres caras. ¿Qué resultado es imposible de obtener?
A) 6
B) 9
C) 10
D) 13
E) 14
22. ¿De cuántas maneras se puede obtener 30 como suma de dos números primos?
(El número 1 no es primo.)
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
23. Un comerciante rebaja sus precios un 25% el 2 de enero. Después de las rebajas, el
1 de febrero, sube los precios un 20%. ¿Qué variación han experimentado los precios
respecto de los que había el 1 de enero?
A) disminuyen un 5%
D) aumentan un 10%
B) disminuyen un 10%
E) ni aumentan ni disminuyen
C) aumentan un 5%
24. El entero x= 20030...0 termina en un cierto número de ceros. Se sabe que el
0,0002004% de x es mayor que 2005. ¿Cuál es el mínimo número de cifras de x?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
25. Tres granjas toman el agua de riego del mismo canal. La granja A tiene una superficie
de 13 Hm2; la granja B, 10 Hm2 , y la C, 17 Hm2 . Se distribuyen 50 horas de agua al
mes, proporcionalmente a la superficie de cada granja. De acuerdo con eso, el número
de horas de agua que le corresponden a la granja A es :
A) 65/4
B) 50/3
C) 13
D) 50/13
E) 13/40
26. La figura muestra una cerámica diseñada por Gaudí, dividiendo cada lado de un octógono regular en tres partes iguales.
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¿Qué proporción existe entre el área de la parte sombreada y el área de la blanca?
A) 1
B) 2/3
C) 1/2
D) 1/3
E) 1/4
27. Nicolás utiliza la siguiente regla para modificar el número escrito en el encerado : si el
número es divisible por 3, le resta 1 ; si da resto 2 al ser dividido por 3, le resta 2 ; si
da resto 1 al ser dividido por 3, le suma 2. Empieza con el número 10000. Después de
2.003 etapas, obtiene el número:
A) 10.000
B) 7.004
C) 7.002
D) 6.999
E) otra respuesta
28. En esta suma, cada una de las letras X, Y y Z representa una cifra distinta no
nula Entonces, el valor de X+Y es:
A) 6
B) 7
C) 8
D) hay varias soluciones
E) no se puede saber la suma
29. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener sumando varios (dos o más) números
distintos de entre 1,2,3,4,5?
A) 10
B) 13
C) 15
D) 18
E) 20
30. Se tienen cartas con los números 1,2,3,...,11 (un número distinto en cada carta). Se
hacen dos montones con las cartas y se suman los números escritos en las cartas de
cada uno de los montones. La diferencia entre ambas sumas no puede ser:
A) 0
68
B) 2
C) 5
D) 8
E) 10
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XI CONCURSO CANGURO MATEMÁTICO 2004
NIVEL 3 (3º DE E.S.0.)
Día 24 de marzo de 2004. Tiempo: 1 hora y 15 minutos
No se permite el uso de calculadoras. Hay una única respuesta correcta para cada pregunta.
Cada pregunta mal contestada se penaliza con 1/4 de los puntos que le corresponderían si
fuera correcta. Las preguntas no contestadas no se puntúan ni se penalizan. Inicialmente tienes
30 puntos.
Las preguntas 1 a 10 valen tres puntos cada una
1.
¿Cuánto vale 2.004 – 4 × 200?
A) 400.800
2.
D) 1.200
E) 2.804
B) 120º
C) 180º
D) 240º
E) 300º
D) 40
E) 42
¿Cuál es el número inicial ( ? ) ?
A) 18
4.
C) 1.204
Un triángulo equilátero ACD gira en sentido antihorario alrededor del punto A. ¿Qué
ángulo ha girado después de que se superponga al triángulo ABC por primera vez?
A) 60º
3.
B) 400.000
B) 24
C) 30
Nuria tiene 16 cartas, 4 picas (♠), 4 tréboles (♣), 4 diamantes (♦)
y 4 corazones (❤). Quiere ponerlas en el cuadrado de la figura, de
modo que en cada fila y en cada columna haya una carta de cada
palo. ¿De cuántos palos puede colocar la carta en la casilla de la
interrogación?
A) de ninguno
5.
B) de 1
C) de 2
D) de 3
E) de 4
El valor de la expresión (1 – 2) – (3 – 4) – (5 – 6) – … – (99 – 100) es igual a
A) 0;
B) 49;
Diciembre 2008 • 2008ko Abendua
C) -48;
D) 48
E) 50.
69
Santiago Fernández
6.
La sección de un cubo por un plano es una cierta figura plana, señalada por líneas de
puntos en el desarrollo del cubo que se muestra a continuación. ¿Qué figura es?
A) un triángulo equilátero
C) un triángulo rectángulo
7.
Un hombre tiene un jardín rectangular. Decide ampliarlo incrementando la longitud y
la anchura en un 10% cada una. El porcentaje de incremento del área es:
A) 10%
8.
B) 20%
C) 21%
D) 40 %
E) 121%
¿Cuál es el diámetro del círculo?
A) 18 cm
9.
B) un rectángulo no cuadrado
D) un cuadrado
E) un hexágono
B) 12 cm
C) 10 cm
D) 12,5 cm
E) 14 cm
Una heladería tiene helados de nueve sabores distintos. Cada uno de los niños de un
grupo que llega a la heladería compra un cono doble, con dos sabores distintos. Todos
eligen combinaciones de sabores distintas, y todas las combinaciones posibles han sido
elegidas. ¿Cuántos niños hay en el grupo?
A) 9
B) 36
C) 72
D) 81
E) 90
10. Enlazamos anillos (con radio de la circunferencia exte-rior 3 cm y de la interior 2 cm)
como se muestra en la figura. La longitud de la cadena es 1,7m.
¿Cuántos anillos necesitamos?
A) 30
70
B) 21
C) 42
D) 85
E) 17
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
La Olimpiada Canguro
Las preguntas 11 a 20 valen cuatro puntos cada uno
11.
En la figura ABCD es un cuadrado y se trazan los semicírculos de diámetros AB y AD.
Si AB =2 cm, ¿cuál es el área de la parte oscura?
A) 1 cm2
B) 2 cm2
C) 2π cm2
D) π/2 cm2
E) 3/4 cm2
12. En la tira de la figura hay 11 cuadrados. En el primero de la izquierda se escribe el
número 7 y en el noveno el 6. ¿Qué número hay que escribir en el segundo cuadrado
si debe cumplirse la siguiente propiedad: las sumas de los números de tres cuadrados
consecutivos cualesquiera son iguales a 21?
A) 7
B) 8
C) 6
D) 10
E) 21
13. Durante el primero de dos años consecutivos hubo más Jueves que Martes. ¿Qué día de
la semana fué más abundante en el segundo año, si ninguno de los dos era bisiesto?
A: Martes
B: Miércoles
C: Viernes
D: Sábado
E: Domingo
14. ABC es un triángulo isósceles con AB = AC = 5 cm, y B Â
Aˆ C > 60 ∞. La longitud de su
perímetro es un número entero de centímetros. ¿Cuántos de esos triángulos son posibles?
A)1
B)2
C) 3
D)4
E)5
15. Alfonso el avestruz está entrenándose para la Competición de la Cabeza en la Arena
en la Olimpiada de los animales. Sacó la cabeza de la arena a las 8 h15 de la mañana
del Lunes y consiguió un nuevo récord personal, habiendo estado metido en la arena
durante 98 horas y 56 minutos. ¿Cuándo empezó el entrenamiento?
A) El jueves a las 5.19 am
D) El viernes a las 5.19 am
B) El jueves a las 5.41 am C) El jueves a las 11.11 am
E) El viernes a las 11.11 am
16. Tienes una gran cantidad de ladrillos iguales, de longitud 1, anchura 2 y
altura 3 cm. ¿Cuál es el menor número de ladrillos necesario para construir
un cubo?
A) 12
B) 18
C) 24
D) 36
E) 60
17. Cinco niños piensan un número cada uno. Ese número puede ser uno, dos o cuatro.
Los números pensados se multiplican. ¿Cuál de los siguientes puede ser el resultado?
A) 100
B) 120
Diciembre 2008 • 2008ko Abendua
C) 256
D) 768
E) 2048
71
Santiago Fernández
18. La edad promedio de la abuela, el abuelo y los siete nietos es 28 años. La edad promedio de los siete nietos es 15 años. Si se sabe que el abuelo es tres años mayor que la
abuela, la edad del abuelo es:
A) 71
B) 72
C) 73
D) 74
E) 75
19. Un trapecio rectángulo ABCD tiene su base mayor AB de longitud b, su base menor CD
de longitud a, y su altura AD de longitud a + b. El punto E de la altura es tal que AE = a.
El ángulo CEB mide:
A) 45º
B) 60º
C) 75º
D) 30º
E) 9º
20. En un cuadrado de lado 6 cm los puntos A y B están situados en la paralela media (ver
la figura). Se unen A y B con los vértices, tal como se indica en la figura, y el cuadrado
queda dividido en tres partes de la misma área. ¿Cuál es la longitud del segmento AB?
A) 3,6 cm
B) 3,8 cm
C) 4,0 cm
D) 4,2 cm
E) 4,4 cm
Las preguntas 21 a 30 valen cinco puntos cada una
21. Una persona va de la ciudad a la playa, a 30 km/h. A la vuelta viaja a 10 km/h. ¿Cuál
es la velocidad media a lo largo de todo el viaje?
A) 12 km/h
B) 15 km/h
C) 20 km/h
D) 22 km/h
E) 25km/h
22. Juan pone algunas de sus revistas en su librería. Las revistas tienen 48 o 52 páginas.
¿Cuál de los siguientes número no puede ser el número total de las páginas de las revisrevis
tas que ha puesto en la librería?
A) 500
B) 524
C) 568
D) 588
E) 620
23. En la granja había más de un canguro. El primero dice: “Somos 6”, y salta la verja de
la granja. A continuación, cada minuto salta la verja un canguro y dice: “Todos los que
saltaron delante de mí han mentido”. Así, hasta que no quedan canguros en la granja.
¿Cuántos dijeron la verdad?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
24. Si a y b son enteros positivos, ninguno de ellos divisible por 10, y el producto
ab = 10.000, entonces la suma a + b es:
A) 1.024
B) 641
C) 1.258
D) 2.401
E) 1.000
25. Siguiendo las instrucciones indicadas, ¿cuánto vale la diferencia x – y?
A) -2
72
B) 2
C) 1.998
D) 998
E) (–2)1.999
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
La Olimpiada Canguro
26. ABCD es un paralelogramo. Si AA1 = 4 cm, DD1 = 5 cm, CC1 = 7 cm, ¿cuánto vale BB1 ?
A) 9 cm
B) 11 cm
C) 12 cm
D) 16 cm
E) 21 cm.
27. Se escriben algunos números naturales en las caras de un cubo, y en cada vértice ponepone
mos el producto de los números de las tres caras adyacentes en ese vértice. La suma de
los números de los vértices es 70. Entonces la suma de los números de las caras es:
A) 12
B) 35
C) 14
D) 10
D) imposible saberlo
28. El número 2.004 es divisible por 12 y la suma de sus cifras es igual a 6. ¿Cuántos números de cuatro cifras tienen esas dos propiedades?
A) 10
B) 12
C) 13
D) 15
E) 18.
29. En la figura, el triángulo es equilátero. Para obtener el área del círculo grande, hay que
multiplicar la del pequeño por:
A) 12
B) 16
C) 9
D) π2
E) 10
30. ¿Cuál es la última cifra no nula del producto de los primeros 100 enteros positivos?
A) 4
B) 6
Diciembre 2008 • 2008ko Abendua
C) 2
D) 8
E) 9
73
Santiago Fernández
XII CONCURSO CANGURO MATEMÁTICO 2005
NIVEL 4 (4º DE E.S.0.)
Día 17 de marzo de 2005. Tiempo: 1 hora y 15 minutos
No se permite el uso de calculadoras. Hay una única respuesta correcta para cada pregunta.
Cada pregunta mal contestada se penaliza con 1/4 de los puntos que le corresponderían si
fuera correcta. Las preguntas no contestadas no se puntúan ni se penalizan. Inicialmente tienes
30 puntos.
Las preguntas 1 a 10 valen tres puntos cada uno
1.
El inverso de 2 + √5 es:
A) 2 – √5
2.
1
1
–
2
3
B) 38º
B)
2 √5
D) 34º
E) 32º
1
1
+
2
3
C)
1 1
·
2 3
D)
1 1
:
2 3
E)
1 1
:
3 2
C) 42
D) 77
E) 84
B) m = 0,3k
C) m = k – 0,7
D) m = k – 0,3
E) m = k – 30
Un hotel tiene p pisos y hay h habitaciones en cada piso. Un tercio de las habitaciones
son individuales, y el resto dobles. ¿Cuántas camas hay en el hotel?
(
h
2h
+
3
3
)
B) ph +
h
2h
+
3
3
C) p
(
h
2h
+2
3
3
)
D) ph +
p
2p
+
3
3
E) ph
Ordenar en orden decreciente los números a = 245 , b = 336 , c = 427 , d = 518:
A) c, d, a, b
74
1
¿Cuál de las siguientes igualdades expresa el hecho de que el número m es el 30%
menos que el número k?
A) p
7.
C) 36º
B) 35
A) m = 0,7k
6.
E)
Tom y Jerry tienen una bolsa de patatas fritas cada uno. Si Jerry le diera a Tom siete patapata
tas, Tom tendría el doble de las patatas que Jerry. Si Tom le diera a Jerry siete patatas,
ambos tendrían el mismo número. ¿Cuántas patatas tienen entre los dos?
A) 21
5.
D) √5 – 2
¿Cuál de los siguientes números es el mayor?
A)
4.
C) √5 + 2
En la figura, los tres pentágonos son regulares e iguales. la medida del ángulo a marcado es:
A) 40º
3.
B) -2 – √5
B) c, a, b, d
C ) b, c, a, d
D) b, c, d, a
E) b, d, c, a
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
La Olimpiada Canguro
8.
Un comerciante compra 15 juguetes por n € y vende cada juguete por n/10 €. ¿Cuánto
gana el comerciante al vender cada juguete?
A)
9.
n
B)
48
n
30
C)
n
24
D)
n
12
E)
n
4
El hijo de Guillermo Tell practica disparando flechas. Una de sus flechas atraviesa las
pastas y todas las páginas de un libro. En total hay 148 agujeros. ¿Cuántas páginas tiene
el libro?
A) 74
B) 146
C) 148
D) 292
E) 296
10. El ángulo interior de un polígono regular es de 150º. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 15
E) 18
Las preguntas 11 a 20 valen cuatro puntos cada una
11.
Durante una tormenta, cae un rayo a 20 km de nosotros. ¿Aproximadamente, cuánto
tiempo después de ver el rayo oiremos el trueno?
A) 2 segundos
B) 5 segundos
C). 20 segundos
D) 30 segundos
E) 1 minuto
12. Una persona poco educada le pregunta a una dama cuántos años tiene. La dama le
contesta: “Si viviera 100 años, mi edad ahora sería los cuatro tercios de la mitad de los
años que me quedarían por vivir”. La edad de la dama es:
A) 20
B) 40
C) 50
D) 60
E) 80
13. ¿Cuántos pares ordenados, (a,b), de enteros positivos cumplen la condición de que su
m.c.d. es 24 y su mínimo común múltiplo es 2496?
A) 4
B) 6
C) 2
D) 0
E) infinitos
14. ¿Cuál es la medida en grados del ángulo formado por las dos diagonales de dos caras
de un cubo, como se muestra en la figura?
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 90º
E) 120º
15. Una jarra grande contiene agua suficiente para llenar 7 vasos, mientras que una jarra
pequeña contiene agua para llenar 4 vasos del mismo tipo. En el café del Canguro
Matemático hay 2 jarras grandes más que pequeñas. Entre todas pueden llenar 124
vasos. ¿Cuántas jarras hay en total, entre grandes y pequeñas?
A) 10
B) 12
C) 19
D) 22
E) 31
16. El menor número natural n tal que n2 – 1 sea el producto de tres números primos distintos, es:
A) 22
B) 10
Diciembre 2008 • 2008ko Abendua
C) 14
D) 11
E) 15
75
Santiago Fernández
17. Las caras de una caja ortoédrica tienen áreas de 3 m2; 4,5 m2 y 6 m2.
El volumen de la caja es:
A) 9 m3
B) 18 m3
C) 27 m3
D) 54 m3
E) 81 m3
18. En la figura, ABCD es un trapecio inscrito en un círculo. El ángulo interior del trapecio
de vértice A mide:
A) 70º
B) 75º
C) 80º
D) 105º
E) No se puede determinar
19. KLMN es un cuadrado de 6 cm de lado. Dentro de él hay un cuadrado de 2 cm de lado.
Ambos cuadrados tienen el mismo centro y sus lados son paralelos. ¿Qué porción del
área del cuadrado KLMN es el área de la parte oscura?
A)
1
7
B)
2
11
C)
1
5
D)
2
9
E)
3
11
20. Cada dos vértices de un cubo se unen por un segmento en el que se marca su punto
medio. ¿Cuántos puntos medios distintos, de esos segmentos, se han marcado?
A) 8
B) 12
C) 18
D) 19
E) 27
Las preguntas 21 a 30 valen cinco puntos cada una
21. La última cifra del producto (1 + 3 + 32 + … + 320) (1 + 2 + 22 + … + 220) es:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 9
22. Si a, b, c son tres números reales tales que a < b < c y a2 > c2 > b2 .¿Cuántas de las
cinco desigualdades siguientes:
1
1
1
1
< 2 ;
a < 0;
<
;
a
c
a2
c
son siempre ciertas para dichos números?
A) 1
B) 2
C) 3
b < 0;
D) 4
c<0
E) 5
23. En el triángulo ABC la bisectriz del ángulo B corta al lado AC en el punto D. Siendo
BDC = 68º, ¿cuánto vale la diferencia ACB – BAC?
76
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
La Olimpiada Canguro
A) 44º
B) 120º
C) 24º
D) 30º
E) imposible determinarlo
24. El punto O es el centro del círculo de radio 5. Entonces AB vale:
A) 5
B) 5
C) 10
D) 8
E) 10
25. En la figura, AM es una mediana del triángulo ABC y CH una altura. Las longitudes de
dos lados del triángulo son 3 cm y 4 cm. Si CP = 2.PH, ¿cuál es de los siguientes valores
puede ser la longitud del tercer lado?
A) 3 cm
B) 4 cm
C) 5 cm
E) cualquier número entre 4 cm y 5 cm
D) o bien 3 cm, o bien 4 cm
26. El 1-3-2003 una persona muy obesa pesaba el 20% más que lo que pesaba el 1-3-2002.
Tras una severa dieta, el 1-3-2004 pesaba el 30% menos que lo que pesaba el 1-32003. Pero como le gusta comer bien, el 1-3-2005 pesaba el 25% más que el 1-3-2004.
Entonces, el 1-3-2005, el peso de esta persona, respecto al que tenía el 1-3-2002:
A) es el mismo
D) disminuyó un 5%
B) aumentó en un 15%
E) disminuyó un 15%
C) aumentó un 5%
27. En una caja hay nueve tarjetas numeradas del 1 al 9. Ana y Bárbara sacan al mismo
tiempo una tarjeta de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la tarjeta
de Ana sea el doble o más que el número de la tarjeta de Bárbara?
A)
7
18
B)
4
9
Diciembre 2008 • 2008ko Abendua
C)
28
81
D)
5
18
E)
1
3
77
Santiago Fernández
28. En la figura, los puntos J y L están en la diagonal AC del cuadrado ABCD de modo
que AJ = JL = LC .Los puntos H y F están en la diagonal BD de modo que BD = 6.HD.
Entonces, la razón entre el área del cuadrado ABCD y el área del rombo HJFL es:
A) 3
B) 3,5
C) 4
D) 4,5
E) 5
29. El círculo pequeño de radio 3 cm gira, sin deslizarse, por la circunferencia del círculo
más grande, que tiene de radio 4 cm. Al empezar coinciden el punto A2 de la circunferencia pequeña con el punto A1 de la grande. La longitud recorri-da por el centro C2
de la circunferencia pequeña hasta que A2 vuelva a coincidir por primera vez con el
punto A1 es:
A) 18 π
B) 21 π
C) 24 π
30. Si se cumplen las condiciones siguientes:
D) 36 π
E) 42 π
a +b + c + d = 2p
a2 + b2 = c2 + d2
x = (p – a)(p – b)(p – c)(p – d)
entonces el valor de x es igual a:
A) abcd
78
B)
a +b + c + d
a2 +b2 = c2 + d2
D) ab + bc + cd + da
C)
4
4
E)
(a b + cd)2
4
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
La Olimpiada Canguro
XII CONCURSO CANGURO MATEMÁTICO 2005
NIVEL 5 (1º DE BACHILLERATO)
Día 17 de marzo de 2005. Tiempo: 1 hora y 15 minutos
No se permite el uso de calculadoras. Hay una única respuesta correcta para cada pregunta.
Cada pregunta mal contestada se penaliza con 1/4 de los puntos que le corresponderían si
fuera correcta. Las preguntas no contestadas no se puntúan ni se penalizan. Inicialmente tienes
30 puntos.
Las preguntas 1 a 10 valen tres puntos cada uno
1.
Hay ocho canguros en las casillas de la tabla, como se ve en la
figura de la derecha. Encuentra el mínimo número de canguros
que tienen que saltar a otra celda para que haya exactamente
dos canguros en cada fila y en cada columna de la tabla:
A) 0
2.
6.
B) 28
C) 24
D) 32
E) 13
B) 75
C) 100
D) 99
E) 101
B) 12
C) 14
D) 11
E) 18
Juan infla 8 globos cada tres minutos. ¿Cuántos globos estarán inflados al cabo de dos
horas, si cada décimo globo estalla inmediatamente después de inflado?
A) 160
B) 216
C) 240
D) 288
E) 320
En el gráfico, las cinco circunferencias tienen el mismo radio y son
tangentes como se indica. El cuadrado tiene sus vértices en los cencen
tros de las cuatro circunferencias exteriores. La razón entre la parte
sombreada y la parte no sombreada de los cinco círculos es:
A) 1:3
7.
E) 4
Dieciocho alumnos cruzan una calle por parejas. Las parejas están numeradas del 1 al
9. Las parejas numeradas con número par están formadas por chico y chica y las numenume
radas con número impar por dos chicos. ¿Cuántos chicos están cruzando la calle?
A) 10
5.
D) 3
En el concurso Canguro del año pasado, Sara ha obtenido el 50-ésimo mejor resultado
y al mismo tiempo el 50-ésimo peor resultado de su centro ¿Cuántos alumnos han parpar
ticipado en el centro de Sara?
A) 50
4.
C) 2
Irene vive con su padre, su madre, su hermano y también tiene un perro, dos gatos, dos
loros y cuatro pececitos de colores. ¿Cuántas piernas y patas tienen entre todos?
A) 22
3.
B) 1
B) 1:4
C) 2:5
D) 2:3
E) 5:4
Una empresa recibe el encargo de construir ladrillos de forma ortoédrica de dimensiones 10 cm x 12 cm x 14 cm., pero equivocadamente los construye de dimensiones
12 cm x 14 cm x 16 cm. ¿Cuál es el porcentaje de incremento del volumen de los
construidos con respecto a los encargados?
A) 20%
B) 30%
Diciembre 2008 • 2008ko Abendua
C) 40%
D) 50%
E) 60%
79
Santiago Fernández
8.
En la figura hay siete cuadrados.
¿Cuántos triángulos hay más que cuadrados?
A) 1
9.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 0
¿Cuál de los siguientes cubos se puede formar con el desarrollo de la figura de la derecha?
10. Mamá-canguro y su cría saltan alrededor del estadio, que tiene un perímetro de 330 m.
ambas dan un salto por segundo, pero mientras los saltos de Mamá-canguro son de
5 metros de largo, los de la cría son de 2 metros de largo. Empiezan en el mismo instante, en el mismo sitio, y se mueven en el mismo sentido. Después de 25 segundos la
cría se cansa y se para, mientras que Mamá-canguro sigue saltando. ¿Cuántos segundos
pasará la cría esperando a que la alcance su madre?
A) 15
B) 25
C) 51
D) 66
E) 76
Las preguntas 11 a 20 valen cuatro puntos cada una
11.
Se llenan los cuadrados vacios de la tabla de la figura de
manera que los números de cada fila, de cada columna y
de las dos diagonales forman progresiones aritméticas. ¿Cuál
debe ser el número x?
A) 49
B) 42
C) 33
D) 28
E) 4
12. Juan espera a Elena durante 19 minutos. El autobús A pasa cada 3 minutos y el autobús
B cada 5 minutos. Para entretener la espera, cuenta la diferencia entre el número de
autobuses A y B que pasan. ¿Cuántos resultados diferentes hay?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
13. La figura muestra tres semicircunferencias con los puntos A y B situados exactamente
sobre los centros E y F de las dos semicircun-ferencias inferiores. Si el radio de cada
semicircunferencia es 2 cm , el área en cm2 de la región sombreada es:
80
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
La Olimpiada Canguro
A) 2p
B) 7
C) 2p + 1
D) 8
E) 2p + 2
14. Dos botellas de igual volumen están llenas , ambas, de agua y zumo. Las razones de
los volúmenes de agua y zumo son, respectivamente 2:1 y 4:1. Echamos las mezclas
de ambas botellas en una garrafa. La proporción de agua y zumo en la garrafa es:
A) 3:1
B) 6:1
C) 11:4
D) 5:1
E) 8:1
15. ¿Cuánto vale la suma de los 10 ángulos marcados en la figura?
A) 300º
B) 450º
C) 360º
D) 600º
E) 720º
16. La media de 16 enteros distintos y mayores que cero es 16. ¿Cuál es el mayor valor que
puede tomar uno de esos enteros?
A) 16
B) 24
C) 32
D) 136
E) 256
17. Cada una de estas piezas de alambre está hecha con ocho segmentos de longitud 1.
Una de estas piezas se coloca sobre la otra para que coincidan parcialmente. ¿Cuál es
la mayor longitud posible de la zona en la que las piezas coinciden?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
18. En una bolsa tenemos 17 bolas numeradas de 1 al 17. Si elegimos algunas de ellas al
azar, ¿cuál es el menor número de bolas que debemos elegir para garantizar que la
selección contiene al menos un par de bolas cuyos números sumen 18?
A) 7
B) 8
C ) 10
D) 11
E) 17
19. Un rectángulo de longitud 24 m y anchura 1 m se corta en pequeños rectángulos de
anchura 1 m. Hay cuatro trozos de longitud 4 m, dos de longitud 3 y uno de longitud
2. Esos rectángulos más pequeños se juntan para formar otro rectángulo. ¿Cuál es el
menor valor posible del perímetro del nuevo rectángulo?
A) 14m
B) 20 m
Diciembre 2008 • 2008ko Abendua
C) 22 m
D) 25 m
E) 28 m
81
Santiago Fernández
20. Un automóvil circula con una velocidad constante de 90 km/h. Cuando el reloj del
coche marca las 21:00, el cuentakilómetros marca 116.0 km, indicando que se han
recorrido en ese momento 116.0 km. Más tarde, el cuentakilómetros muestra la misma
secuencia de números que el reloj. ¿A qué hora ocurrió esto?
A) 21:30
B) 21:50
C ) 22:00
D) 22:10
E) 22:30
Las preguntas 21 a 30 valen cinco puntos cada una
21. Sean a y b los catetos de un triángulo rectángulo. Si d es el diámetro de la circunferencircunferen
cia inscrita y D el diámetro de la circunferencia circunscri-ta a este triángulo, entonces
d + D es igual a:
A) a+b
B) 2(a+b)
C) 0,5 · (a + b)
E) √ a2 + b2
D) √a · b
22. ¿Cuántos enteros positivos verifican la desigualdad 2.000 < √n (n + 1) < 2.005?
A) 1
B) 2
C)3
D) 4
E) 5
23. Catorce cubos de volumen 1 están colocados en una esquina y rodeados por una pirápirá
mide, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?
A)
64
3
B) 64
C)
64√2
3
D)
64√2
2
32
E) 3
24. Carlos dice la verdad tres días a la semana durante todo el día y los cuatro restantes
miente siempre. Hoy ha dicho exactamente cuatro de las siguientes frases. ¿Cuál de
ellas no ha dicho hoy?
A) Entre chicos y chicas tengo un número primo de amigos.
B) Tengo tantos amigos chicos como amigas chicas.
C) 288 es divisible por 4.
D) Siempre digo la verdad.
E) Tres de mis amigos son mayores que yo.
25. Las caras opuestas de un dado siempre suman siete. El dado rueda en un circuito como
se presenta en la figura. Inicialmente, la cara superior es un tres. ¿Cuál será la cara
superior al final del recorrido?
82
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
La Olimpiada Canguro
A)2
B) 3
C)4
D) 5
E) 6
26. Dos trozos de terreno están separados por la linde ABCD, como muestra la figura. Los
segmentos AB, BC y CD son paralelos a los lados del rectángulo y miden 30 m, 24 m,
y 10 m respectivamente. Se quiere convertir la linde en una recta AE, de tal manera que
las áreas de los dos trozos de terreno no varíen. ¿a qué distancia de D debe estar E?
A) 8 m
B) 10 m
C) 12 m
D) 14 m
E) 16 m
27. ¿Cuántos divisores de cuatro cifras tiene el número 1022?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
28. Diez cerillas iguales se usan para formar la figura. El área de la figura es 24. ¿Cuál es el
área del triángulo sombreado?
A) √2
B) √3
C) 2
D) √5
E) √6
29. ¿Cuántas maneras hay de elegir una casilla blanca y una negra en el tablero de ajedrez
8 x 8 de manera que no estén en la misma fila y ni en la misma columna?
A) 56
B) 5.040
C) 720
D) 672
E) 768
30. Se juntan tres cuadrados como se indica en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo x de la figura?
A) 30º
B) 45º
Diciembre 2008 • 2008ko Abendua
C) 60º
D) 50º
E) 40º
83
Santiago Fernández
XIII CONCURSO CANGURO MATEMÁTICO 2006
NIVEL 6 (2º DE BACHILLERATO)
Día 16 de marzo de 2006. Tiempo: 1 hora y 15 minutos
No se permite el uso de calculadoras. Hay una única respuesta correcta para cada pregunta.
Cada pregunta mal contestada se penaliza con 1/4 de los puntos que le corresponderían si
fuera correcta. Las preguntas no contestadas no se puntúan ni se penalizan. Inicialmente tienes
30 puntos.
Las preguntas 1 a 10 valen tres puntos cada uno
1.
¿Cuál de los siguientes números es el mayor?
A) 2.006 × 2.006
D) 2.003 × 2.009
2.
B) 2.005 × 2.007
E) 2.002 × 2.010
C) 2.004 × 2.008
¿En cuántos ceros termina el producto de los primeros 2006 números primos?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 9
E) 26
3.
Se considera el perímetro y el área de la región formada
por los cuadrados grises. ¿Cuántos cuadrados más debemos
colorear de gris para que el área gris aumente sin incrementar el perímetro?
A) 0
B) 7
C) 18
D) 12
E) 16
4.
Hay cuatro cartas en la mesa como muestra la figura. Cada carta tiene un
número en un lado y una letra en el otro. Pedro dice: “Cualquiera que sea la
carta, se verifica que si hay una vocal en un lado, entonces hay un número par
en el otro”. ¿Cuál es el menor número de cartas que Alicia debe levantar para
saber si Pedro dice la verdad?
A) ninguna B) 1
5.
E) 4
B) 6 seg
C) entre 6 y 7 seg
D) 7 seg
E) más de 7 seg
Susana tiene dos colgantes hechos del mismo material. Son
igual de altos y pesan lo mismo. Uno de ellos tiene la forma
de corona circular formada por dos círculos concéntricos de
radios 6 cm y 4 cm (ver la figura). El segundo tiene la forma de
un círculo sólido. ¿Cuál es el radio del segundo colgante?
A) 4 cm
84
D) 3
Dos trenes de la misma longitud viajan en direcciones opuestas por dos vías paralelas.
El primer tren va a una velocidad de 100 km/h y el segundo a 120 km/h. Un pasajero
del segundo tren observa que el primer tren tarda 6 segundos en pasar completamente
por delante de él. ¿Cuánto tiempo tardará el segundo tren en pasar por delante de un
pasajero del primer tren?
A) 5 seg
6.
C) 2
B) 2√6 cm
C) 5 cm
D) 2√5 cm
E) √10 cm
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
La Olimpiada Canguro
7.
La diferencia entre dos números consecutivos cualesquiera de la lista a, b, c, d, e es la
misma. Si b = 5,5 y e = 10, ¿cuál es el valor de a?
A) 0.5
8.
B) 3
D) 4,5
E) 5
D) 10
E) 4
Si 4x = 9 y 9y = 256, entonces xy vale:
A) 2.006
9.
C) 4
B) 48
C) 36
Se consideran todos los números de 9 cifras distintas formados con las cifras 1,2,…,9.
Se escribe cada uno de esos números en una hoja de papel, y todas las hojas se meten
en una caja.¿Cuál es el menor número de hojas que hay que extraer de la caja si se
quiere estar seguro de que al menos se han elegido dos números que empiecen por la
misma cifra?
A) 9!
B) 8!
C) 72
D) 10
E) 9
10. En una rueda de ruleta (no trucada) hay 37 números: el 0 y los enteros positivos desde
el 1 al 36. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola caiga en un número primo?
A) 5/18
B) 11/37
C) 11/36
D) 12/37
E) 1/3
Las preguntas 11 a 20 valen cuatro puntos cada una
11.
En la figura, AB tiene longitud 1; los ángulos ∠CAB = ∠DAC = mientras que
∠ABC = ∠ACD = 90°;. ¿Cuál es la longitud de AD?
A) cos() + tan()
B)
1
cos2a
C) cos² ()
D) cos (2)
E)
1
cos2(a)
12. ¿Cuál de las siguientes es la fórmula de una función que tiene el eje OY como eje de
simetría?
A) y = x² + x
B) y = x² sen(x)
C) y = x cos(x)
D) y = x sin(x)
E) y = x³
13. El resto de la división del número 1.001 por un número de una sola cifra es 5. ¿Cuál es
el resto de la división de 2.006 por ese número de una cifra?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
14. El radio de la señal de tráfico de la figura es 20 cm. Cada una de las partes oscuras es
un cuadrante de círculo, al que llamamos k. El área de los cuatro cuadrantes es igual a
la de la parte clara de la señal. ¿Cuál es el radio del círculo k?
A) 10√2 cm
B) 4√5 cm
C) 20/3 cm
D) 12,5 cm
E) 10 cm
15. Se consideran tres números primos a, b, c tales que a < b < c < 0. Si a + b + c = 78 y
a – b – c = 40 entonces abc =
A) 438
B) 590
Diciembre 2008 • 2008ko Abendua
C) 1.062
D) 1.239
E) 2.006
85
Santiago Fernández
16. La razón del radio del sector al radio del círculo inscrito en él (ver la figura) es 3:1.
Entonces la razón de sus áreas es:
A) 3:2
B) 4:3
C) 5:3
D) 6:5
E) 5:4
17. 16 equipos juegan en una liga de volleyball. Cada equipo juega una vez contra todos
los demás. En cada partido, el ganador consigue un punto y el perdedor 0 puntos; no
hay empates. Una vez jugados todos los partidos, los puntos obtenidos por los equipos
forman una progresión aritmética. ¿Cuántos puntos tiene el último clasificado?
A) 3
B) 2
C) 1
E) La respuesta es otro número
D) La situación descrita es imposible
18. El año pasado había 30 chicos más que chicas en el coro de la escuela. Este año el
número de miembros del coro se ha incrementado en el 10%; el número de chicas se
ha incrementado en el 20% y el número de chicos en el 5%. ¿Cuántos miembros tiene
el coro este año?
A) 88
B) 99
C) 110
D) 121
E) 132
19. Las casillas del tablero 4×4 se colorean de blanco y negro como se muestra en la figura
de la izquierda. Un movimiento nos permite cambiar los colores de dos celdas situasitua
das en la misma fila o la misma columna. ¿Cuál es el menor número de movimientos
necesario para obtener la figura 2?
A) eso no es posible
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
20. En una iglesia hay un rosetón como el de la figura, donde las letras R, V y B representan cristales rojos, verdes y blancos, respectivamente. Si hay 400 cm2 de cristal verde,
¿cuánto cristal blanco hay en el rosetón?
A) 396 cm2
86
B) 400 cm2
C) 120π cm2
D) 90√2π cm2
E) 382 cm2
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
La Olimpiada Canguro
Las preguntas 21 a 30 valen cinco puntos cada una
21. Si a y b son números mayores que 1, ¿cuál de las siguientes fracciones tiene el mayor
valor?
a
a
2a
2a
3a
A)
B)
C)
D)
E)
b–1
b+1
2b + 1
2b – 1
3b + 1
22. Las longitudes de los lados del triángulo XYZ son 8 cm, 9 cm y √55 cm. Hallar la
longitud de la diagonal XA del paralelepípedo rectángulo de la figura.
A) √90 cm
B) 10 cm
C) √120 cm
D) 11 cm
E) √200 cm
23. ¿Para cuántos valores del número real b tiene la ecuación x – bx + 80 = 0 dos soluciones distintas que son números enteros positivos pares ?
2
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) infinitos
24. ¿Cuántos subconjuntos no vacíos de {1, 2, 3, …, 12} son tales que la suma del mayor
y el menor de sus elementos es 13?
A) 1.024
B) 1.175
C) 1.365
D) 1.785
E) 4.095
25. Los puntos M y N se eligen en los lados AB y BC del rectángulo ABCD de la figura.
Luego el rectángulo se divide en varias partes, tal como se indica. Se conocen las áreas
de tres de esas partes, marcadas en la figura igualmente. Hallar el área del cuadrilátero
marcado con “?”.
A) 20
B) 21
C) 25
D) 26
E) Faltan datos
26. Un test se compone de 10 preguntas, cada una de las cuales puede ser contestada
con las respuestas “a” ó “b”. Si contestas “a” a cinco preguntas y “b” a otras cinco,
puedes estar seguro de que el número de respuestas correctas es, por lo menos, cuatro.
¿Cuántas plantillas de corrección del test tienen esta propiedad?
A) 55
B) 252
C) 2
D) 10
E) 22
27. Pablo quita un número de diez números naturales consecutivos. La suma de los restantes es 2.006. El número quitado es:
A) 218
B) 219
Diciembre 2008 • 2008ko Abendua
C) 220
D) 225
E) 227
87
Santiago Fernández
28. ¿De cuántas maneras se pueden escribir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 en los cuadrados de
la figura (un número en cada cuadrado) de manera que no haya cuadrados adyacentes
en los que la diferencia de los números escritos en ellos sea 3? (Los cuadrados que solo
comparten un vértice no son adyacentes).
A) 3 x 25
B) 36
C) 63
D) 2 x 35
E) 3 x 52
29. Un dado está en la posición que se muestra en la figura. Rueda a lo largo de los 12
cuadrados indicados.¿Cuántas veces debe recorrer el camino hasta que vuelva a su
posición inicial con las caras en sus posiciones iniciales también?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) Es imposible.
30. Si cada lado del hexágono regular tiene longitud √3 cm y XABC y XPQR son cuadrados,
¿cuál es el área de la región sombreada?
A)
88
cm2
B)
cm2
C)
cm2
D)
cm2
E)
cm2
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.