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Matemáticas Múltiplo 1.º ESO / Resumen Unidad 1
Unidad 1. Números naturales
NÚMEROS NATURALES
USOS QUE TIENEN
Contar
Ordenar
Medir
CÓMO SE EXPRESAN
OPERACIONES
Sistema de
numeración decimal
Suma
Operaciones
Resta
combinadas
Multiplicación
División
Codificar...
Potencias
Raíz cuadrada
Reglas
Reglas
1 Los usos de los números naturales
Los números naturales
Llamamos números naturales a los números que utilizamos para contar. El primer número es el 0.
Los otros se forman sumando 1 al número anterior.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Contamos con números
Contar es el proceso que seguimos para identificar el número de elementos de un conjunto.
Medimos con números
Medir es comparar una cantidad con su respectiva unidad y determinar el número de veces que la
contiene.
Ordenamos con números
Ordenar es asignar números correlativos a un conjunto de elementos.
Codificamos con números
Codificar es asignar un número a un objeto de acuerdo con unas reglas para facilitar su localización
o identificación.
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2 El sistema de numeración decimal
El sistema de numeración decimal
Para expresar los números utilizamos un conjunto de símbolos numéricos o cifras y unas reglas
para combinar estos símbolos. El conjunto de símbolos y reglas de combinación se llama sistema de
numeración.
Habitualmente utilizamos el sistema de numeración decimal, de origen indio. Este sistema utiliza
10 cifras:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
El valor intrínseco y el valor posicional de las cifras
– El valor intrínseco de una cifra es la cantidad que expresa aisladamente. Una excepción es la cifra
0, que expresa ausencia de cantidad.
– El valor posicional de una cifra es el valor que toma la cifra en función de la posición que ocupa
en el número.
Los órdenes de unidades en un número
La posición que ocupa una cifra en un número se llama orden.
– El valor posicional de la cifra del orden de las unidades (la posición más a la derecha) corresponde
a su valor intrínseco.
– El valor posicional de las cifras de los órdenes sucesivos se obtiene multiplicando por 10, 100, 1.000,
etc., el valor intrínseco de la cifra.
– El 0 expresa ausencia de unidades del orden que ocupa.
El valor numérico de un número
El valor numérico se obtiene sumando el valor posicional de cada cifra.
2.073 ⫽ 2 ⭈ 1.000 ⫹ 0 ⭈ 100 ⫹ 7 ⭈ 10 ⫹ 3 ⫽ 2.000 ⫹ 0 ⫹ 70 ⫹ 3
Sistemas de numeración posicionales y aditivos
El sistema de numeración decimal es un sistema posicional: el valor de las cifras depende de su
valor intrínseco y de la posición que ocupan.
El sistema de numeración romana, en cambio, es un sistema aditivo: el valor de las cifras depende
solo de su valor intrínseco.
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3 La suma y la resta
La suma
Sumar dos cantidades es agruparlas o unirlas.
Propiedades de la suma
Propiedad conmutativa: Si cambiamos el orden de los sumandos de una suma, el resultado no
varía.
–aⴙbⴝbⴙa
Propiedad asociativa: En una suma de tres o más sumandos, el orden en que hacemos las sumas
no modifica el resultado.
– (a ⴙ b) ⴙ c ⴝ a ⴙ (b ⴙ c)
La resta
Restar es sacar una parte de una cantidad.
4 La multiplicación y la división
La multiplicación
La multiplicación expresa de manera abreviada la suma de varios sumandos iguales.
Los términos de una multiplicación se llaman factores, y el resultado, producto.
Propiedades de la multiplicación
Propiedad conmutativa: Si cambiamos el orden de los factores, el resultado no varía.
aⴢbⴝbⴢa
Propiedad asociativa: Si la multiplicación tiene tres factores o más, el orden en que hacemos las multiplicaciones no modifica el resultado.
(a ⴢ b) ⴢ c ⴝ a ⴢ (b ⴢ c)
La división
Dividir es repartir una cantidad en partes iguales.
La división es exacta cuando su resto es igual a cero, e inexacta o entera cuando su resto es distinto de cero.
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5 Operaciones combinadas
Operaciones combinadas
1.º Resolvemos las operaciones que haya dentro de los paréntesis.
2.º Hacemos todas las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
3.º Hacemos todas las sumas y restas.
1.º Resolvemos los paréntesis.
35 ⫺ 7 ⭈ (3 ⫹ 1) ⫹ 6 ⬊ (4 ⫺ 2) ⫽ 35 ⫺ 7 ⭈ 4 ⫹ 6 ⬊ 2 ⫽ 35 ⫺ 28 ⫹ 3 ⫽
2.º Hacemos multiplicaciones y divisiones.
3.º Sumamos y restamos.
⫽ 7 ⫹ 3 ⫽ 10
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma
El producto de un número por la suma de dos o más números es igual a la suma de los productos
del número por cada sumando.
k ⴢ (a ⴙ b) ⴝ k ⴢ a ⴙ k ⴢ b
6 Las potencias
Significado de las potencias
Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación de factores iguales.
En una potencia distinguimos la base y el exponente.
Exponente
Base
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La base es el factor que se repite, y el exponente expresa el número
de veces que se repite la base.
Los cuadrados
Los cuadrados son las potencias de exponente 2.
Los cubos
Los cubos son las potencias de exponente 3.
Potencias de base 10
Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros
como unidades indica el exponente.
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CUADRADOS PERFECTOS
Son los números naturales que
expresan el cuadrado de otro número. Los 12 primeros cuadrados perfectos son:
Número
Cuadrado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
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7 Propiedades de las potencias
Potencia de un producto y de un cociente
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.
(a · b)n = an · bn
La potencia de un cociente es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del
divisor.
(a : b)n = an : bn
Producto y cociente de potencias de la misma base
El producto de potencias de la misma base es otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
am ⴢ an ⴝ am ⴙ n
El cociente de potencias de la misma base es otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente
es la diferencia de los exponentes.
am : an ⴝ am − n
Potencias de exponente 1
Cualquier número se puede escribir en forma de potencia de exponente 1.
a1 ⴝ a
Potencias de exponente 0
Una potencia de cualquier base y exponente 0 es igual a 1.
a0 ⴝ 1
Potencia de una potencia
La potencia de otra potencia es una potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
(am)n ⴝ am · n
8 La raíz cuadrada
Significado de la raíz cuadrada
Calcular la raíz cuadrada de un número es calcular aquel número que, multiplicado por él mismo,
da el número inicial.
Para expresar una raíz, se utiliza el símbolo
radicando.
Radicando
兹苶0. El número afectado por el símbolo 兹苶0 lo llamamos
16 ⫽ 4
兹苶
Raíz
La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado.
Raíz cuadrada exacta
La raíz cuadrada de un número natural es exacta cuando encontramos un número natural que,
multiplicado por él mismo, da el número inicial.
Raíz cuadrada entera
La raíz cuadrada de un número natural es entera cuando no existe un número natural que, multiplicado
por él mismo, dé el número inicial.
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