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Matemáticas 0. Álgebra elemental
RADICALES
Raíz cuadrada:
a = b , a > 0 ⇔ b2 = a .
Raíz cúbica: 3 a = b ⇔ b 3 = a .
Ejemplos:
a) 49 = 7 , pues 72 = 49; también 49 = −7 , pues igualmente (−7)2 = 49.
b) 3 8 = 2 , pues 23 = 8; 3 − 8 = −2 , pues (−2)3 = −8.
Raíz de índice n (raíz n-ésima)
Se dice que la raíz enésima de un número a, y se escribe n a , es b, si b n = a . Esto es:
n
a = b , n∈ N ⇔ b n = a .
Al número a se llama radicando, a n índice y al conjunto n a radical.
Ejemplos:
a) 5 32 = 2 , pues 25 = 32.
b) 4 16 = ±2 , pues (±2)4 = 16.
Potencia de exponente racional
1/ n
n
• Las raíz de índice n puede expresarse como una potencia de exponente racional: a = a
.
( )
Notación que resulta coherente, pues aplicando la definición se tiene que a 1 / n
•
= an/n = a .
En particular, a 1 / 2 = a y a 1 / 3 = 3 a . Ambos expresiones son consistentes, pues:
(a ) = ( a )
1/ 2 2
•
n
1
·2
2
2
( ) ( )
1/ 3 3
3
⇔ a = a = a = a; y a
= a ⇔a
n
En general, si
es una fracción, se define a n / m = m a n .
m
2/2
1
3
1
·3
3
= a 3 / 3 = a1 = a
Ejemplos:
a) 5 2 / 3 = 3 5 2 .
b)
5
34 = 34 / 5 .
c)
5
32 = 5 2 5 = 2 5 / 5 = 21 = 2
Radicales equivalentes: simplificación
Dos radicales son equivalentes cuando valen lo mismo.
Ejemplos:
a) 9 y 4 81 son radicales equivalentes, pues
b)
•
4
25 y
9 = ±3 y 4 81 = ±3 .
5 son radicales equivalentes o iguales, pues
4
25 = 4 5 2 = 5 2 / 4 = 51 / 2 = 5 .
En general, para obtener un radical equivalente a otro basta con multiplicar (o dividir) el índice y el
exponente del radicando por el mismo número. Así,
n
m
a es equivalente a
pn
a pm , ya que
p ·m
p ·n
m/n
= a pm .
a =a = a
Este proceso realizado de derecha a izquierda nos permite simplificar radicales.
n
m
pn
Ejemplo:
Los siguientes radicales son iguales:
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12
36 = 6 33 = 3 . El más simple es el último.
José María Martínez Mediano