Download Funciones trigonométricas (en el triángulo) α

Curso de Matemáticas para Física
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
por: Rafael Cautivo Sánchez
Funciones trigonométricas (en el triángulo)
Trigonometría
Física I, vi@ Internet
B
c
A
α
b
a
C
Trigonometría
Física I, vi@ Internet
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Funciones trigonométricas (en el triángulo)
•
Algunas consideraciones sobre el triángulo rectángulo
•
•
•
Sea un triángulo rectángulo cualquiera ∆ ABC
Se distingue su hipotenusa y los catetos.
En relación a un ángulo, distinguiremos el cateto adyacente a
él y el cateto opuesto a el:
Por ejemplo:
•
B
Hipotenusa
A
c
a
α
Cateto
opuesta a α
C
b
Cateto adyacente a
α
Trigonometría
Física I, vi@ Internet
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Funciones trigonométricas (en el triángulo)
•
Sea un triángulo rectángulo cualquiera
•
Se definen, para el ángulo
∆ ABC
α, las funciones siguientes:
• Seno, Coseno, Tangente
a
=
c
b
cateto
adyacente
cos(α) =
=
hipotenusa
c
a
tg(α) = cateto opuesto =
b
cateto adyacente
cateto opuesto
sen(α) =
hipotenusa
B
c
A
a
α
b
C
Trigonometría
Física I, vi@ Internet
Funciones trigonométricas (en el triángulo)
Realicemos el ejercicio de determinar los valores de las funciones
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
trigonométricas para el ángulo
α del triángulo siguiente:
Midamos los lados del triángulo:
a ≈ 29 cm
b ≈ 56 cm
c ≈ 64 cm
c
α
b
α ≈ 28º
sen(α)
sen(α)== a/c
a/c
y calculemos:
cos(α)
cos(α)==b/c
b/c
sen(28º) ≈ 0,453125
tg(α)
tg(α)==a/b
a/b
cos(28º) ≈ 0,875
tg(28º) ≈ 0,51785
a
Evidentemente los resultados
que proporcionan las
calculadoras son mejores!
Trigonometría
Física I, vi@ Internet
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Funciones trigonométricas (en el triángulo)
¿Cómo serán el
verde?
sen(28°), cos(28°) y tg(28°) para el triángulo
Correcto.
Los mismos, pues los lados del triángulo verde son
proporcionales a los del otro triángulo!
c
α
sen(α)
sen(α)== a/c
a/c
a
cos(α)
cos(α)==b/c
b/c
α ≈ 28º
tg(α)
tg(α)==a/b
a/b
b
Trigonometría
Física I, vi@ Internet
Triangulaciones
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias
:: ¿Cuál es la altura del árbol?
h
tg (55°) =
30 m
h = 30 m ⋅ tg (55°)
h
h = 30 m ⋅ 1,428
h = 42,84 m
55º
30 m.
Trigonometría
Física I, vi@ Internet
Triangulaciones
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias
::¿Cómo medir el ancho del río?
Ejemplo,
A
si α = 72º y d = 20 m
h
tg (α ) =
d
h = d⋅ tg (α )
h = 20 m ⋅ tg (72°)
d
h
B
α
C
h = 20 m ⋅ 3,077
h = 61,55 m
Trigonometría
Física I, vi@ Internet
Triangulaciones
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias
12700 km
89,05º
α = 1,9º
d=?
Trigonometría
Física I, vi@ Internet
Triangulaciones
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias
α = 1,9º/2 = 0,95º
R
6370 km
d=?
R
tg (0,95°) =
d
6370 km
tg (0,95°) =
d
d = 384.148 km
Trigonometría
Física I, vi@ Internet
Triangulaciones
384.600 km
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias
61
,8
°
¿C uál
e
Sol?
l
a
a
i
c
tan
s la dis
Tarea
Trigonometría
Física I, vi@ Internet
Triangulaciones
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias
Técnica para medir distancias
a estrellas cercanas
300 millones de km de base
Trigonometría
Física I, vi@ Internet
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Los valores de las funciones trigonométricas
•
Es claro que la trigonometría es útil sólo si conocemos
los valores de ellas para cualquier ángulo.
•
Si no tenemos esta información, no nos sirve para nada.
•
Por esta razón, desde
el siglo II a.C. el astrónomo
Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para
resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 7,1° y
yendo hasta 180°
Trigonometría
Física I, vi@ Internet
Ejemplo de Tabla Trigonométrica
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Una página cualquiera
Ángulo(°)
3,00
3,01
3,02
3,03
3,04
3,05
3,06
3,07
3,08
3,09
3,10
seno
coseno tangente
0,0523 0,9986
0,0524
0,0525 0,9986
0,0526
0,0527 0,9986
0,0528
0,0529 0,9986
0,0529
0,0530 0,9986
0,0531
0,0532 0,9986
0,0533
0,0534 0,9986
0,0535
0,0536 0,9986
0,0536
0,0537 0,9986
0,0538
0,0539 0,9985
0,0540
0,0541 0,9985
0,0542
Trigonometría
Física I, vi@ Internet
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Algunas interrogantes
•
¿Cómo sabe la calculadora que
•
•
•
•
•
•
•
sen(120º) = 0,866 ?
tan (325º) = – 0,7002 ?
cos (1235º) = – 0,906 ?
tg(– 45º) = – 1 ?
Y no sabe...
tg(90º) = -E- ? Error!!
tg(270º) = -E- ?
Todo esto es un poco raro
pero....
...lo aclararemos de inmediato.
Trigonometría
Física I, vi@ Internet