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CAPÍTULO I I
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IDENTIDADES TRIGONOMÉ TRICAS ELEMENTALES
Teorema II- 1: sen2 x + cos2 x = 1
Dem.: se aplica al triángulo formado por el seno, el coseno y el radio
vector, tal como aparecen en el gráfico de la circunferencia
trigonométrica, el teorema de Pitágoras (fig. II- 1).
± tgx
Teorema II -2: senx =
1+ tg 2 x
cos x =
,
±1
1 + tg 2 x
Dem.: los triángulos OAC y OBD son semejantes (fig. II 1):
senx
1
=
tgx
1 + tg 2 x
cos x
;
1
=
1
1 + tg 2 x
de donde se obtiene el teorema.
Nota: los signos + ó - dependen del cuadrante donde se halle x; pero deben ser los
dos signos + o los 2 - , pues
senx
= tgx
cos x
Teorema II - 3: En dos ángulos complementarios, las líneas del uno son las
colíneas del otro.
Esto quiere decir que el seno de uno es el coseno del otro; que la
cosecante de uno es la secante del otro; etc. O sea:
s en (90º - x) = cosx ; cos (90º- x) = senx ; tg (90º- x) = cotx
0º
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Dem.: supondremos un ángulo
x
positivo y menor de 90º
Como se aprecia en la figura II- 2, AA'O y OB'B son congruen tes: AA' = OB ';
OA' = BB'; o sea
senx = cos (90º - x); cosx = sen (90º- x);
dividiéndolas tgx = cot (90º- x); etc.
Admitiremos que el teorema es válido para cualquier
x
, ya sea menor o
mayor que 90º, positivo o negativo. Puede demostrarse, aunque aquí no incluimos
la demostración.
Teorema II- 4: sen (90º + x) = - cosx; cos (90º+ x) = -senx; tg (90º + x) = - cotx.
Dem.: Sea la circunferencia trigonométrica, u n ángulo x menor que 90º y
positivo, y el ángulo 90º + x:
Los triángulos OA A' y OBB' son congruentes.
AA' = B'O'; OA' = BB'; o sea:
senx = - cos (90º+ x); cosx = sen (90º + x); tgx = - cot (90º + x) que con ligeras
modificaciones (a cargo del lector) se convierten en el enunciado del
teorema.
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Como en el teorema II- 3, admitiremos que el II -4 se cumple para
cualquier x real, si bien sólo lo hemos demostrado para una x positiva y
menor que 90º.
Teorema II- 5: (Funciones de ángulos suplementarios):
sen (180º - x) = senx; cos (180º - x) = - cosx; tg (180º - x) = -tgx
Dem.: Suponiendo x positivo y menor que 90º
De la simple inspección de la fig. II-4 se deduce el teorema.
También en este caso admitiremos que el teorema es válido para
cualquier x (incluyendo valores negativos y valores mayores que 90 0 ).
Teorema II - 6: (Funciones de ángulos opuestos)
sen (-x) = - senx;
Dem.:
cos (-x) = cosx;
tg (-x) = - tgx
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se deduce de la inspección de la fig. II- 5.
Admitiremos (sin demostración, que puede hacerse) que este teo rema es
válido para cualquier x.
Reducción de un Á ngulo al Primer Cuadrante
En muchos de los casos en que se desea obtener alguna función de un
ángulo que no está en el primer cuadrante, o que es mayor de 360º, o negativo,
interesa obtener otro ángulo, del 1er cuadrante, positivo y menor que 360º, cuyas
funciones trigonométric as guarden relaciones sencillas con las del primero.
A esta operación se la llama "reducción de un ángulo al p ri mer cuadrante".
E jemplos:
a) sea el ángulo de 130º
180º- 13 0º= 50º (en el 1 er cuadrante)
sen 130º = sen 50º; cos 130º = - cos 50º
tg 130º = - tg 50º; (relaciones sencillas).
b) x = 250º; 250º - 180º= 70º
De la inspección de la figura:
sen 250º = - sen 70 º; etc.
c) x = 370º
370º - 360º = 10º (una vuelta completa)
sen 370º = sen 10º
La reducción al primer cuadrante permite reducir las tablas de func iones
trigonométricas a l os ángulos positivos y menores que 90º .
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Ejercicios propuestos
Hallar todos los ángulos positivos x (en radianes) que cumplan las ecuaciones
siguientes:
1. sen x
0.5
(R : x =
π
6
2. sen x = - 0.5
3. c o s x = 0.5
4. tg x = 1
+ 2k ; x =
5π
6
+ 2 k ; k = 0,1, 2,3,...)