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GEOMETRÍA
La geometría, del griego geo (tierra) y métria (medida), es una rama de la matemática que se
ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son:
puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, paralelas, perpendiculares, curvas, superficies,
etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la
justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el
pantógrafo. Tiene su aplicación práctica en física, mecánica, cartografía, astronomía, náutica,
topografía, balística, etc. También da fundamento teórico a inventos como el sistema de
posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis
matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de
diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la
fabricación de artesanías).
La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de
conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo
Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo.
Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que
estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los
Elementos».
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y
planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas
geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra
y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las
curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones.
La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos
que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría
diferencial.
Geometría euclidiana
Geometría no euclidiana
Geometría espacial
Geometría riemanniana
Geometría analítica
Geometría diferencial
Geometría proyectiva
Geometría descriptiva
Geometría de incidencia
Geometría de dimensiones bajas
Geometría sagrada
En el plano
Polígonos: Son figuras geométricas cerradas, formadas por segmentos de recta.
Si todos los lados y todos los ángulos del polígono son iguales el polígono se llama polígono
regular.
Los polígonos mas importantes son, el triángulo y los cuadriláteros.
Triángulo
Es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos.
El punto donde se unen dos lados se llama vértice.
La suma de dos lados de un triángulo siempre es mayor que el tercero.
La suma de los ángulos de un triángulo es 180º.
Es muy frecuente clasificar los triángulos por los lados (equilátero, si tiene los tres lados
iguales, isósceles, dos lados iguales y escaleno, ningún lado igual) y por los ángulos
(rectángulo si tiene un ángulo de 90º, acutángulo si todos los ángulos son menores de 90º y
obtusángulo si tiene un ángulo mayor de 90º)
Mediana
Es la recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto. Hay tres medianas y
las tres se cortan en un punto que se llama centro de gravedad (o baricentro) del triangulo.
Bisectriz
Es la recta que divide el ángulo en dos partes iguales. Hay tres bisectrices y se cortan en un
punto llamado incentro. Este punto tiene la particularidad de que haciendo centro en él,
podemos dibujar una circunferencia interior al triángulo y que es tangente a los tres lados del
triangulo.
Mediatriz
Es la recta perpendicular en el punto medio de un segmento. Las mediatrices de los lados de
un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro. Haciendo centro en este punto,
podemos trazar una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
Altura
Es la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto. Hay tres alturas y se
cortan en un punto llamado ortocentro.
El triángulo más famoso es triángulo rectángulo. El lado mayor de un triángulo rectángulo se
llama hipotenusa y los pequeños, catetos. Este triángulo tiene una propiedad muy importante:
Si construimos unos cuadrados en sus lados, la suma del área de los cuadrados construidos en
los catetos es igual al área del cuadrado construido en la hipotenusa (escrito de forma
matemática: a2 + b2 =c2).
Superficie de un triángulo:
La fórmula que todos sabemos de la superficie de un triángulo es S = (b.h)/2
Hay otra fórmula menos conocida, la fómula de Herón:
siendo p = (a + b + c)/2
Cuadriláteros: Son polígonos que tienen cuatro lados.
Paralelogramos: Son cuadriláteros que tienen sus lados paralelos dos a dos. Son
paralelogramos el rectángulo, el cuadrado y el rombo.
Trapecio: es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos.
Circunferencia: Es una línea cerrada que tiene la propiedad de que
todos los puntos de esa línea están a la misma distancia de un punto
fijo (centro).
El segmento de recta que va desde el centro hasta la circunferencia se
llama radio. El segmento de recta que va desde un punto de la
circunferencia a otro pasando por el centro se llama diámetro.
Las circunferencias tienen una propiedad muy notable: Si medimos la
longitud de una circunferencia y la dividimos por su diámetro siempre da
el mismo número. A ese número le han dado el nombre de  .
La longitud de la circunferencia es 2
 r.
La superficie limitada por la circunferencia se llama círculo. El área del círculo es

r2.
La ecuación de una circunferencia de centro el origen de coordenadas es:
x2 + y2 =R2.
Elipse: Es una línea cerrada que tiene la propiedad de que la suma de las
distancias a dos puntos dados (focos) es constante.
El segmento de recta que une los dos puntos mas alejados se llama eje
mayor (=2a).
El segmento de recta que une los dos puntos menos alejados se llama eje
menor (=2b).
Centro es el punto de corte de los ejes.
Vértices son los cuatro puntos donde los ejes cortan a la elipse.
Focos son dos puntos, situados en el eje mayor, a igual distancia del centro y que cumplen la
condición de que la suma de las distancias desde esos puntos a cualquier punto de la elipse,
es constante (=2a).
El área de la superficie encerrada por la elipse es

ab.
La ecuación de una elipse es: x2/a2 + y2/b2 = 1.
En el espacio:
Poliedros: Son cuerpos con todas sus caras planas:
Prisma: Es un poliedro cuyas bases son polígonos iguales y las caras
paralelogramos.
El segmento común a dos caras se llama arista.
Vértice es el punto de unión de dos aristas.
El prisma es recto si las aristas son perpendiculares a la base.
El prisma es regular si es recto y sus bases son polígonos regulares.
El volumen de un prisma es el área de la base por la altura (V = A.h)
Paralelepípedo: Es un prisma cuyas partes son paralelogramos.
Pirámide: Es un poliedro cuya base es un polígono y las caras son
triángulos.
Una pirámide es regular si la base es un polígono regular y la altura pasa
por el centro.
El volumen de una pirámide es 1/3 A.h.
Una pirámide cuya es un triangulo se llama tetraedro.
Cuerpos con alguna cara curva:
Cilindro: Es el cuerpo que se genera cuando un segmento de recta se
desplaza apoyándose en dos circunferencias iguales y paralelas.
El volumen de un cilindro es el área de la base por la altura (V = A.h)
Cono: Es el cuerpo que se genera cuando un segmento de recta se desplaza
apoyándose en una circunferencia y en un punto (situado en un plano distinto
a la circunferencia).
El volumen de cono es 1/3 A.h.
Esfera: Es la superficie que tiene la propiedad de que todos sus puntos
están a la misma distancia (radio) de un punto (centro).
El área de la esfera es 4  r2.
El volumen de la esfera es 4/3  r3.
La ecuación de una esfera es: x2 + y2 + z2 = r2
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