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Universidad del CEMA
Métodos Cuantitativos
Prof. José P Dapena
II - PROBABILIDAD
2.1 Introducción
La herramienta básica sobre la que se basan los métodos cuantitativos es la
PROBABILIDAD, por lo que es necesario dedicar cierto tiempo a entender este
importante concepto y sus propiedades. El tema de probabilidad es amplio y sobre el
mismo se han escrito innumerables libros. Puede ser tratado de distintas maneras – como un
tópico matemático abstracto desarrollado desde un enfoque axiomático, o como ideas
representativas intuitivas sobre la realidad. Aquí nos concentraremos sobre el segundo
enfoque, desarrollando las propiedades básicas de la probabilidad y sus aplicaciones.
2.2 El significado de probabilidad
Estamos acostumbrados a realizar todos los días evaluaciones en relación probabilidades:
de lluvia, que un equipo de fútbol gane un partido, étc.; en estos casos utilizamos las
probabilidades en un sentido cualitativo, para expresar nuestras creencias de ocurrencia de
un evento determinado. Para utilizar esto con un sentido mas científico, necesitamos un
concepto mas formal y exacto de probabilidad, necesitamos cuantificar nuestras creencias.
Convencionalmente la probabilidad se mueve en un rango de 0 a 1, no obstante esto puede
ser interpretado en una escala de 0% a 100%. Se dirá entonces que la probabilidad es un
número asociado con un evento (digamos A) y que se mueve entre 0 y 1, de ello:-
P(A) = 0 significa que la ocurrencia del evento es imposible
P(A)= 1 significa ocurrencia cierta
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P(A) > P(B) significa que el evento A tiene mayor grado de certeza en la ocurrencia
que el evento B.
No obstante estamos capacitados para rankear eventos de esta manera, no es tan obvio
como cuantificar en la realidad la probabilidad de un evento. Para algunos casos es simple;
cuando un experimento puede resultar en un número de eventos con igual probabilidad de
ocurrencia, entonces la probabilidad de un evento de interés puede ser cuantificada como:
N es el total de eventos simples con igual probabilidad de ocurrencia
N es el número de eventos simples que son favorables a nuestro evento de interés
Entonces la probabilidad de ocurrencia del evento es n/N.
Teoria Combinatoria
Es claro de lo expuesto anteriormente que contar el numero total de eventos y los
favorables a nuestro evento de interes es de vital importancia para la determinación de
probabilidad. Una herramienta útil que ayuda en dicha tarea es el análisis combinatorio, de
lo que resumiremos algunas fórmulas básicas aquí.
Factoriales
El número de arreglos diferentes en los que n objetos pueden ser acomodados es n!. Este
simbolo n! Es conocido como factorial n y es igual a:
n! = n*(n-1)*(n-2)*.....*3*2*1
Definimos 0!=1 para tener compatibilidad con las formulas desarrolladas mas abajo.
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Ejemplo: un consumidor es solicitado que rankee cuatro marcas de bebidas colas, Cual es la
probabilidad que un ranking especifico sea el elegido por el consumidor?
Permutaciones
El número de grupos de r elementos que pueden ser elegidos en orden, de un conjunto de n
diferentes objetos es llamado permutaciones de r en n.
Es igual a
Prn = n! /(n − r )!
Ejemplo: tomando el caso del ranking de las bebidas colas, cual es la probabilidad que un
arreglo en especial sea el elegido por el consumidor para las tres primeras posiciones?
Combinaciones
El numero de grupos diferentes de r objetos que pueden ser elegidos de n diferentes objetos
(con independencia del orden) es llamado combinacion de r en n.
Es igual a
C rn = n!/ r!(n − r )!
El uso de combinatorias para conteos de gran tamaño es relevante para las distribuciones
binomial y poisson que veremos mas adelante.
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Ejemplo: cual es la probabilidad que un participante gane en el Loto jugando una boleta en
particular?
2.3 Frecuencia Relativa
Las técnicas mencionadas precedentemente para la determinación de probabilidades son
relevantes solamente para situaciones en las que los eventos simples tienen una
probabilidad similar de ocurrencia. Para aplicar el concepto de probabilidad en un contexto
mas amplio necesitamos una interpretación mas general, dada por la interpretacion de
probabilidad a traves de frecuencias relativas.
Imaginemos un experimento en el que el evento A puede o no ocurrir, e imaginemos F
experimentos como el mencionado que son llevados a cabo en forma independiente uno de
otros. Supongamos que A ocurre f veces. Entonces podriamos considerar este como el valor
estable o limite de la frecuencia relativa f/F, a medida que F se hace mas grande
F →∞
Es una interpretación intuitivamente atractiva y es extremadamente útil para realizar
inferencias estadísticas, como veremos mas adelante.
Existe otra visión bastante compatible – la probabilidad es el grado de creencia (“belief”)
acerca de la ocurrencia de un evento basado en el conocimiento de la situación que posee el
observador. En otras palabras, 2 personas con diferentes estados de conocimiento pueden
tener distintas evaluaciones acerca del grado de ocurrencia de un evento, y estar en lo
correcto los dos, es decir, no existe la probabilidad absoluta, sino una relación entre el
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observador y su situación. Despues de todo, si asi no fuese no existiría una industria del
juego.
Sin embargo, dos personas, con el mismo estado de conocimiento acerca de un evento, y
observando los mismos resultados experimentales deberían tener las mismas evaluaciones
de probabilidades, y esta es la base del uso de la teoría de probabilidades como herramienta
científica y objetiva. Este será nuestro enfoque del curso.
2.4 El Significado de la Aleatoriedad
Inferencia estadística o métodos cuantitativos concierne a la elaboración de conclusiones a
partir de datos que estan sujetos a aleatoriedad (no se conocen en forma cierta sus
verdaderos o todos sus valores), debido quizá a procedimientos muestrales o quizá a
errores de observación. Paremos y pensemos, porque cuando repetimos un experimento
bajo condiciones aparentemente identicas, obtenemos diferentes resultados?. La respuesta
es que no obstante las condiciones pueden ser tan idénticas como esté a nuestro alcance,
habrá inevitablemente un numero grande de dos clase de variables: no controladas y
desconocidas, que no medimos y que poseen un efecto acumulativo en el resultado de
nuestro experimento o muestra. Este efecto acumulativo es el que causa variación en
nuestros resultados. Es esta variación la que denominamos aleatoriedad y, no obstante no
sabemos o conocemos el verdadero mecanismo de generación de nuestra información,
podemos incorporar el componente aleatorio a través del concepto de probabilidad, es por
esto que la probabilidad juega un papel tan importante en nuestro analisis.
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2.5 Propiedades de la Probabilidad
Axiomas
El total de la teoría probabilística puede ser derivado de unos pocos axiomas básicos. Estos
son:
- La Probabilidad es un numero que yace entre 0 y 1
- Si dos eventos no pueden suceder (son excluyentes) como resultado de un experimento,
entonces la probabilidad de ocurrencia de cualquiera de los dos es igual a la suma de las
probabilidades de cada uno.
- La probabilidad total para todos estos posibles eventos excluyentes es 1.
En orden para derivar la probabilidad de eventos mas complicados a partir del
conocimiento de las probabilidades de eventos simples, es necesario saber algunas leyes
fundamentales que surgen directamente a partir de los axiomas. Hemos resumido dos de las
mas importantes :
Sean A y B dos eventos cualesquiera. Entonces
P (A y/o B) = p (A) + p (B) – p (A y B)
En notacion de teoria de conjuntos
p( AUB) = p( A) + p ( B) − p ( A ∩ B)
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Esta es frecuentemente referida como la Ley Aditiva de las probabilidades. Entonces
P(AUB) es la probabilidad que al menos uno de los dos eventos ocurra, mientras que P(A
∩ B) es la probabilidad que los dos eventos ocurran. El término de corrección no es muchas
veces apreciado, lo cual da lugar a sobreestimaciones de probabilidades.
Dos casos importantes dentro de la ley aditiva son dignos de mención:
1. Si A y B no pueden suceder al mismo tiempo, son denominados eventos excluyentes y
la probabilidad de ocurrencia de uno de los dos es la suma de sus respectivas
probabilidades.
2. La probabilidad que un evento NO suceda es igual a 1 menos la probabilidad que
suceda
P(Ac) = 1 – P(A)
La Ley Multiplicativa
Esta regla concierne a la probabilidad de dos eventos sucediendo al mismo tiempo. Si los
eventos son INDEPENDIENTES –i.e. no ejercen influencias entre si- entonces la
probabilidad de que sucedan los dos es igual al producto de sus respectivas probabilidades.
p(A ∩ B) = p(A)*p(B)
Esta es una ley simple que puede ser aceptada en forma intuitiva. Esta ley no es válida para
eventos que son dependientes entre si, lo que es sujeto de Probabilidad condicional y
Teorema de Bayes, que se discute en la proxima sección.
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Al introducirse en el tema por primera vez, se pueden generar confusiones entre los
terminos “excluyentes” e “independientes”. Su significado es completamente distinto y son
bastante incompatibles en el sentido que dos eventos no pueden ser excluyentes e
independientes al mismo tiempo. Si dos eventos son excluyentes, entonces la ocurrencia de
uno determina la ocurrencia del otro, teniendo un muy fuerte efecto, siendo ciertamente
dependientes.
2.6 Probabilidad Condicional
Introduccion
En mucha situaciones los eventos tienen efectos uno sobre otro en el sentido que si se
conoce que un evento ha sucedido, entonces las chances de ocuurencia de otro se ven
afectadas
Formulas de probabilidad condicional
Para dos eventos A y B:P(A/B) = P (A ∩ B) */ P(B)
En palabras nos dice
La probabilidad de un evento, dado un segundo evento, es igual a la probabilidad de la
ocurrencia de los dos dividido la probabilidad del segundo evento.
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Esta es la forma mas simple del teorema de Bayes, y puede ser expresada de varias
maneras, como ser
P (A ∩ B) = P(A/B) * P(B)
P (A ∩ B) = P(B/A) * P(A)
Igualando esta dos fórmulas se obtiene
P(A/B) = P(B/A) * P(B) / P(A)
La formula de probabilidad total puede ser escrita como:
P(A) = P(A/B) * P(B) +P(A/Bc)/ P(Bc)
en palabras, nos esta diciendo “La probabilidad de ocurrencia de un evento es igual a la
probabilidad de ocurrencia de dicho evento dado que un segundo evento ocurre,
multiplicado por la probabilidad de este segundo evento, mas la probabilidad de ocurrencia
del primer evento dado que el segundo evento no ocurre, multiplicado por la probabilidad
que el segundo evento no suceda”.
Una formula mas general para cualquier evento A, suponiendo que los eventos Bi son
exluyentes y mutuamente complementarios, es
p( A) = ∑ { p ( A / Bi ) * p(Bi )}
Sustituyendo esto en la formula de Bayes, llegamos a una formula del tipo
P(A / B)= {P(B/A)*P(A)}/P(B/A)*P(A)+ P(B/Ac)*P(Ac)
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o, mas generalmente
p( A j / B) = { p ( B / A j } / ∑ { p( B / Ai ) * p (Ai )}
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