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EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES
UNIDAD 07
Expresión algebraica
Es un conjunto de números y letras, relacionados mediante operaciones matemáticas.
2
Ejemplo: 4a x + 3b – 5x
Los sumandos de una expresión algebraica reciben el nombre de términos.
Las letras representan números y se operan con las mismas reglas que los números.
Valor numérico de una expresión algebraica
Es el valor que se obtiene al sustituir las letras por números y realizar las operaciones indicadas.
2
2
Ejemplo: El valor numérico de 5ab + 1 si a = 3 y b = 2 sería 5·3·2 + 1 = 61
Monomio
Es una expresión algebraica que únicamente tiene la operación de multiplicar, entre sus letras y sus números.
4
Ejemplo: 10ax b
Coeficiente de un monomio es su parte numérica. En el ejemplo anterior 4
4
Parte literal de un monomio son sus letras. En el ejemplo anterior ax b
2 3
2 3
Monomios semejantes son los que tienen su parte literal igual. Ejemplo 3a b y –5 a b
Suma y resta de monomios:
Si son semejantes se suman o restan sus coeficientes y se deja la misma parte literal.
2 3
2 3
2 3
Ejemplo: 3a b – 5 a b = –2 a b
Si no son semejantes el resultado es un polinomio, formado por la suma o resta indicada de los monomios, llamados
términos del polinomio.
3
3
Ejemplo: (10x ) + (–4ab) = 10x – 4ab
Multiplicación y división de monomios:
Se multiplican o dividen sus coeficientes y se multiplican o dividen sus partes literales.
3
2
5
Ejemplo: (10x )·(–4ax ) = –40ax
Ecuación
Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en la que aparece al menos una letra y que se cumple para ciertos
valores de las letras.
Ejemplo: 3x = 2x + 1 (se cumple para x = 1)
Cada una de las expresiones que se igualan se llaman miembros de la ecuación.
Las letras que aparecen se llaman incógnitas.
Se llaman soluciones de una ecuación a los valores de las letras que hacen que se cumpla la igualdad.
Resolver una ecuación es calcular todas sus soluciones.
Ecuaciones equivalentes son las que tienen las mismas soluciones.
Ejemplo: la ecuación 3x = 2x + 1 es equivalente a la ecuación 9x = 6x + 3, en ambas la solución es x = 1
Reglas para obtener ecuaciones equivalentes:
• Regla de la suma o diferencia: Si se suma o resta a los dos miembros de una ecuación un mismo número o
expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente.
• Regla del producto o división: Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo
número o expresión algebraica distintos de cero, se obtiene una ecuación equivalente.
Para resolver una ecuación hay que aplicar estas reglas hasta obtener una ecuación equivalente, de manera que la
incógnita esté sola en uno de los miembros de la ecuación, a este proceso se le llama despejar la incógnita.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita:
1º Se pasan todos los términos que tengan incógnita a un lado de la igualdad y todos los términos numéricos al
otro, aplicando la regla de equivalencia de la suma o diferencia.
2º Se suman o restan todos términos que tengan incógnita entre sí y todos los términos numéricos entre sí.
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES
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3º Se deja sola la incógnita, dividiendo los dos miembros de la igualdad entre su coeficiente, aplicando la regla del
producto o división.
Ejemplo: 3x – 4 + 2x = 9 – 3x ⇒ 3x – 4 + 2x + 3x = 9 – 3x + 3x ⇒ 3x – 4 + 2x + 3x = 9 ⇒ 3x – 4 + 2x + 3x + 4 = 9 + 4
⇒
3x + 2x + 3x = 9 + 4
⇒
8x = 13
⇒
x = 13/8
Forma práctica de aplicar las reglas de equivalencia entre ecuaciones:
• Un término que aparezca en un miembro sumando, se pasa al otro miembro restando.
• Un término que aparezca en un miembro restando, se pasa el otro miembro sumando.
• Un número que multiplica en un miembro a todo, pasa al otro miembro dividiendo.
• Un número que divide en un miembro a todo, pasa al otro miembro multiplicando.
Ejemplo: 3x – 4 + 2x = 9 – 3x
⇒
3x + 2x + 3x = 9 + 4
⇒
8x = 13
⇒
x = 13/8
Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es hallar los valores de las dos incógnitas que verifican las
dos ecuaciones a la vez.
Métodos de resolución:
Método de sustitución
1º Se despeja en una de las ecuaciones una incógnita y se sustituye la expresión obtenida en la otra.
2º Se resuelve la ecuación con una sola incógnita resultante.
3º Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo el resultado en la ecuación donde se encuentra despejada.
Ejemplo:
2x  3y  8
2x  3y  8
22y  3  3y  8
4y  6  3y  8
7y  14
y  2
y  2







x  2y  3
x  2y  3
x  2y  3
x  2y  3
x  2y  3
x  2y  3
x  2  2  3
y  2

x  1
Método de igualación:
1º Se despeja en cada una de las ecuaciones la misma incógnita y se igualan las expresiones obtenidas.
2º Se resuelve la ecuación con una sola incógnita resultante.
3º Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo el resultado en cualquiera de las ecuaciones donde se
encuentra despejada.
Ejemplo:
8  3y

8  3y
2x  3y  8
 2y  3
x 


 2


2
x

2
y


3



x  2y  3
x  2y  3
y  2

x  1
8  3y  4y  6


x  2y  3
14  7y


x  2y  3
y  2


x  2y  3
y  2

x  2  2  3
Método de reducción:
1º Se multiplican las ecuaciones por los números que convenga para que los coeficientes de una de las incógnitas
sean números opuestos y se suman ambas ecuaciones eliminando la incógnita con coeficientes opuestos.
2º Se resuelve la ecuación con una sola incógnita resultante.
3º Se repite el proceso para eliminar la otra incógnita.
2x  3y  8
Ejemplo: 

x  2y  3
2x  3y  8
 2x  4y  6  sumando7y  14  y  2
y  2



4
x

6
y

16

x  1

 sumando7x  7  x  1

3
x

6
y


9

Resolución algebraica de problemas:
•
•
•
Se lee el problema y se indica que dato desconocido va a representar cada incógnita.
Se vuelve a leer el problema expresando matemáticamente mediante ecuaciones las condiciones del enunciado.
Se resuelven las ecuaciones planteadas.
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