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Unidad 2: Teoría de
Números
Cátedra Matemática Discreta
Prof. Adjunta: Lic. Claudia Isaia
Ayudante 1º Lic. Elizabeth Castro
Carreras:
Licenciatura en Sistemas
Ingeniería en Sistemas
Tecnicatura Desarrollo Aplicaciones WEB
Año 2013
Apunte Unidad 2: Teoría de Números
Carreras: Lic. / Ing Sistemas – TUDAW
Cátedra: Matemática Discreta
Univ. Nacional de Chilecito
COCIENTE EXACTO
Al dividir un número entero por otro también entero y distinto de cero, puede ocurrir que el
cociente obtenido sea o no entero. Así, por ejemplo, es un entero 16/2= 8, pero no lo es
11/2= 5,5.
Definición: “los productos de un número entero a por 1, 2, 3, … reciben el nombre de
múltiplos de a. Por extensión, también se considera como múltiplo de a, su producto por 0.
Entonces, indicando por r cualquier valor entero de los 0, 1, 2, 3, …, la extensión general
de los múltiplos de a, será: b = ar. Se expresa que b es un múltiplo de a, escribiendo b  a .
También se dice que a es un divisor de b, o que divide a b, o que es un submúltiplo de b
o que b es divisible por a, todo lo cual se indica por a|b. Se escribirá ałb cuando a no
divida a b.
Los múltiplos de 2 reciben el nombre de números pares; los restantes son los números
impares.
 Tendremos que 2|6, por lo cual 2 es un divisor o submúltiplo de 6 y éste último será un
.
múltiplo de 2 ya que 6 = 2 * 3 = 2.
Sin embargo, 3ł7, es decir, 3 no es divisor de 7 o, lo que es equivalente, 7 no es múltiplo
de 3.
 Se verifica que 18 = 2 * 9 y también 18 = 3 * 6, por lo que 2|18, 9|18, 3|18 y 6|18.
entonces, cuatro divisores de 18 serán 2, 3, 6 y 9.
 Ningún entero distinto de cero tiene como divisor el número 0: si fuera b ≠ 0, no existe
ningún entero r tal que b = 0 * r.
De la definición anterior de deducen las propiedades que siguen.
I. Si a es divisor de b, también será divisor de cualquier múltiplo de b, pues si
b = ar y d = bs, será d = ars = a(rs) = a
II. Si a es divisor de b y de c, también lo será de b + c de b – c, suponiendo b ≥ c.
Pues si
b = ar
c = as
sumando o restando miembro a miembro, se tendrá respectivamente:
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b + c = ar + as = a (r + s) = a
b – c = ar – as = a (r – s) = a
III. Si a es divisor de b y b lo es de c, entonces a será divisor de c,
pues si b = ar y c = bs, será c = ars = a (rs) = a .
IV. Si a divide a la suma b + c de dos enteros y a uno de los sumandos, por ejemplo, al b,
entonces también dividirá al otro c. En efecto, será:
b + c = ar
b = as
b – (b – c) = c = a (s – r) = a
,
r≥s
V. Si a divide a la diferencia b – c y a uno de ellos, por ejemplo, al b, también dividirá al
otro c. Será:
b – c = ar
b = as
b – (b – c) = c = a (s – r) = a
, s≥r
VI. Si a, b, …, c son divisores, respectivamente, de x, y, …, z, entonces a * b * … * c será
divisor de x * y * … * z, ya que verificándose que
x = ar
y = bs
……
z = ct
también se verificará que
.
x * y * … * z = ar * bs …ct = (a * b * … * c)(r * s * … * t) = a * b * … * c
 Es 2|12 y 2|8 y también es 2|(12 + 8) y 2|(12 – 8). También es 2|8 y 8|24, por lo que 2| 24.
 Se verifica que 3|15 o, lo que es igual, 3|(11 + 4). Pero como 3ł11, tampoco 3ł4.
 Observamos que 3|9, 5|10 y 2|24. Entonces, (3 * 5 * 2) | (9 * 10 * 4), es decir 30|360.
El problema inverso a la multiplicación es aquel en el que se da el producto p de dos
números, uno de ellos m ≠ 0, y se trata de encontrar el otro. Tal problema sólo tiene
solución cuando el número dado p es múltiplo del otro m, es decir, p = m * r.
Definición: “Recibe el nombre de cociente exacto de dos números naturales p, dividiendo,
y m ≠ 0 divisor, el número natural r cuyo producto por el divisor reproduce el dividendo.
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La operación realizada para calcular el cociente exacto, se llama división exacta y se
indica por p/m o p:m”.
Este cociente tiene ciertas propiedades que vamos a analizar.
I. Si r ≠ 0:
Llamando n al primer cociente, será p = mn, con lo que resultará, multiplicando ambos
miembros por r,
pr = mnr = (mr) n
es decir, el segundo cociente también es n.
II. Si m|p y m1|p1, entonces se cumple que
En efecto; de acuerdo con la hipótesis de partida, será
p = mn
pp1= mnm1 n1 = (mm1) (nn1)
p1 = m1n1
lo que significa que (mm1)|(pp1)
III. Si m| p1, m|p2, ..., m| pl ,entonces
Probaremos únicamente el caso en el que todos los signos sean “+”, aunque también se
verificará con “-” y con la alternativa de “+” y “-”.
Considerando, entonces, los cocientes enteros respectivos, n1, n2, …, nl
Por tanto, m| (p1 + p2 + ... + pl) y su cociente será n1 + n2 + … + nl .
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COCIENTE ENTERO
Supongamos ahora dos números naturales D y d, distintos de cero. En general, D no será
múltiplo de d, es decir, no coincidirá con ninguno de los números
0 * d, 1 * d, 2 * d, …, qd, (q + 1) d, …
Pero en tal sucesión de múltiplos, existirán dos consecutivos, por ejemplo, qd y (q + 1) d
entre los que se encontrará D.
Definición: Sean D, d dos números naturales, no nulos. Sea q otro número natural tal que
cumpla la relación entonces:
qd ≤ D < (q + 1) d
Entonces, q y q + 1 reciben los nombres respectivos de cocientes enteros por defecto y
por exceso de la división de D, dividendo, por d, divisor.
 Sea D = 13 y d = 3, entonces se cumplirá que
4 * 3 < 13 < (4 + 1) * 3
Entonces, el cociente entero por defecto es q = 4 y el cociente entero por exceso será q +
1 = 4 + 1 = 5.
Definición: Reciben los nombres respectivos de restos enteros por defecto y por
exceso, los números r y r´ definidos por las igualdades
r = D – qd
,
r´ = (q + 1) d – D = qd +d – D = d – r
 Tomando como datos los mismos del ejemplo anterior, D = 13, d = 13, el resto entero por
defecto es r =D – qd= 13 – 4 * 3 = 1 y el resto entero por exceso r´= (q + 1) d – D = 5 *
3 – 13 = 2
Definición: Se denomina división entera de dos números naturales, D y d ≠ 0, aquella
operación aritmética cuyo objetivo es el cálculo de los cocientes y restos enteros.
 Sean los datos D = 19 y d = 7. La división entera de ambos produce los siguientes
resultados:
Como es 2 * 7 < 19 < 3 * 7 , q = 2 y q + 1 = 3
Como consecuencia, es r = 19 – 2 * 7 = 5 y r´ = 3 * 7 – 19 = 2
Si observamos, r + r´= 5 + 2 = 7 = d.
Usualmente, la operación de división entera se dispone así,
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Si en r=D-qd, fuera D = qd, entonces resultaría que
r = D – qd = qd – qd = 0
con lo que q sería el cociente exacto de D por d.
Si fuera D < d, entonces q = 0 y r = D.
Al hablar de cocientes y restos enteros, si no se advierte lo contrario, es usual referirse a
cocientes y restos por defecto, q y r.
A continuación vamos a enumerar las propiedades relativas a la división entera.
I. La suma de los restos enteros por defecto y por exceso es igual al divisor.
En efecto, es
II. En toda división entera por defecto, el dividendo es la suma del divisor por el
cociente más el resto. En efecto, ya que es
r = D – qd
se deduce que
D = qd + r , r < d
III. Si se multiplican dividendo y divisor por un mismo número, el cociente
permanece invariable y el resto quedará multiplicado por ese número.
En efecto, sea h ese número. Entonces, de D = qd + r, r < d, se deducirá
Dh = (qh) d + rh, rh < dh. Por lo que el cociente de dividir Dh por qh será d y el
resto rh.
La propiedad se cumple también si en lugar de multiplicar, se efectúa la división
por h.
IV. Si en división de D por d, q es el cociente y r el resto, entonces el cociente de la
división D + h, siendo h un número natural, por d, será q + q´ siendo q´ el cociente
obtenido al dividir r + h por d.
En efecto; por hipótesis se tendrá
resultando que
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D + h = (q + q´) d + r´
lo que significa que q + q´ es el cociente de la división de D + h por d, siendo r´ el
resto.
DIVISIÓN EUCLÍDEA
Sean D y d dos números enteros, con d ≠ 0. Utilizando la recta real es posible representar d
y todos sus múltiplos. Como d  Z0, tendremos dos posibilidades, según sea d > 0 ó d < 0.
En ambas, la distancia que separa dos valores o puntos consecutivos es | d |. Si sobre la misma recta
indicamos D, se podrán presentar dos casos según que D coincida o no con un múltiplo de d.
.
a) Es D = d. entonces será
D = qd +r , r = 0 , q  Z
es decir, D = qd , q  Z
.
b) Es D ≠ d. Entonces, sea qd el mayor múltiplo de d menor que D, es decir, el primer múltiplo
de d situado en la recta real y a la izquierda o a la derecha del valor D. Llamando r a la
distancia, siempre positiva, existente entre qd y D, tendremos
D = qd + r , 0 < r < | d | , q
Z
Los resultados elementales encontrados constituyen el principio de la división euclídea y se
resumen en el siguiente teorema, denominado teorema de la división.
Si D y d son números enteros, con d ≠ 0, entonces existen dos enteros únicos q y r tales que
D = qd +r y 0 ≤ r < | d |
Los enteros q y r reciben los nombres respectivos de cociente y resto de la división euclídea de D
por d.
 Supongamos que es D = 27 y d = 13. Puesto que
27 = 2 * 13 + 1
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será q = 2 el cociente y r = 1 el resto.
 Sea ahora D = -27 y d = 13. Entonces
-27 = (-3) * 13 + 12
con lo que q = -3 y r = 12 > 0.
Podríamos haber calculado también
-27 = (-2) * 13 + 1 (-1)
Pero en este caso q = -2 y r = -1 < 0, lo que no es posible ya que entonces no se satisface 0 ≤ -1
< |13|.
 Supongamos que D = 27 y d = -13. Tendremos que
27 = (-2) (-13) + 1
y q = -2, r = 1 > 0.
 Sea D = -27 y d = -13. Entonces
-27 = 3 (-13) + 12
y por tanto, q = 3, r = 12 > 0.
Si hubiéramos escrito
-27 = 2 (-13) + (-1)
resultaría r = -1 < 0, lo que no es posible.
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NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Dado un entero p  N, con p > 1 se dice que es un número primo, si los únicos divisores
que admite en N son 1 y p.
En caso contrario si admite otros divisores se denominan Números Compuestos.
Suele considerarse que el número 1 no es ni primo, ni compuesto.
Ej.:
2, 3, 5, 7, 11,… son primos
4, 6, 8, .., 21,… no son primos.
 Los números 2, 3, 5, 7 y 11 son primos. Los restantes comprendidos entre 2 y 11 son
compuestos.
4= 2 * 2
 2|4
6= 2 * 3
 2|6 y 3|6
8= 2 * 2 * 2
 2|8
9= 3 * 3
 3|9
10= 2 * 5
 2|10 y 5|10
 Para todo valor de m  N, la expresión m2 – m es un número compuesto. En efecto, es
m2 – m = m (m – 1), esa expresión es el producto de dos números consecutivos o es un
número par y 2 | (m2 – m).
En consecuencia, m2 – m es compuesto.
 El número 100 puede factorizarse utilizando números primos de la siguiente manera:
100 = 2 * 2 * 5 * 5 = 22 * 52
es decir, 100 es número compuesto de los primos 2 y 5.
 Una manera fácil de determinar si un número p > 1 es primo: consiste en dividir el
número p por los números desde 2 hasta p-1. Verificando que no admita ningún divisor.
 Si m es divisible por 2 ya no hace falta comprobar el resto de los divisores.
 Todo número compuesto m N admite, al menos, un divisor primo distinto de 1
 Todo número compuesto m  N puede expresarse mediante el producto de sus factores
primos. Por lo tanto:
e
e
e
e
m = p1 * p2 * p3… .pm o si pi se repite varias veces ei m  p11 * p22 * p33 ... pmm
 La descomposición factorial de un número compuesto m  N en factores primos es
única.
 Descomponer 3600 en sus factores primos. Hacemos
3600 = 36 * 100 = 9 * 4 * 10 * 10 = 32 * 22 * 2 * 5 * 2 * 5 = 24 * 32 * 52
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 Si el número compuesto fuera 168
168 = 2 * 84 = 2 * 2 * 42 = 2 * 2 * 2 * 21 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7 = 23 * 3 * 7
 Si queremos encontrar los factores primos de m se divide por los posibles primos
comenzando por los más pequeños hasta obtener la unidad.
168 2
7007 7
84 2
1001 7
42 2
143 11
21 3
13 13
7 7
1
1
168 = 23 * 3 * 7
7007 = 72 * 11 * 13
Algoritmo números primos
 La sucesión de números primos es infinita.
 Si m es un entero compuesto, m tendrá un divisor menor o igual a
m
Ejemplos:
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 Para demostrar si son o no primos los números 101, 97 y 200.
 Los números primos menores o iguales a 101 son 2, 3, 5, 7. Pero 101 no es divisible por
ninguno de ellos, siendo 101 primo.
 Del mismo modo comprobamos que 97 es primo ya que 97 = 9, los números primos
menores o iguales a ese valor son 2, 3, 5, 7 y ninguno de ellos es divisor de 97.
 El número 200, no es primo. Dado que 200 = 14 y los números primos con los que hay
que probar son 2, 3, 5, 7, 11, 13. Como 2 es divisor de 200 entonces 200 no es primo.
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MÁXIMO COMÚN DIVISOR
 Dados varios números, sus divisores comunes no podrán superar al menor de ellos.
 Pues bien, el mayor de dichos divisores será el máximo común divisor de los números
dados.
 Sean a y b números enteros, d un entero no nulo. Si d | a y d | b, se dice que d es un
divisor común de a y de b.
 Si a = 15 y b = 20, se verifica que 5 | 15 y 5 | 20. Por lo tanto 5 es un divisor común de 15
y 20.
 Con los datos se verifica que 2 no divide a 15 pero si a 20, por lo que 2 no es divisor
común de 15 y 20.
 Si d es el mayor divisor común de a y b entonces será del máximo común divisor y se
indica máximo común divisor (a, b) = d.
 Los números 12 y 36 tienen varios divisores comunes 2 | 12 y 2 | 36; 3 | 12 y 3 |
36. Sin embargo 12 | 12 y 12 | 36, siendo este el último y mayor de todos los
divisores comunes. Por lo tanto, mcd(12, 36) = 12.
 El único divisor de 10 y 13 es 1, es decir, mcd (10, 13) = 1.
 Dados dos enteros a y b, se dice que son primos relativos o primos entre sí, cuando su
máximo común divisor sea 1, es decir, mcd (a, b)=1.
 Dados los enteros a1, a2 , a3, …, am se dice que son primos dos a dos, si el máximo
común divisor de 2 cualesquiera de ellos es 1.
 Los números enteros 36, 75 y 251 son primos entre sí porque no poseen divisor
común excepto el 1, es decir, mcd(36, 75, 251) = 1
 Sin embargo, no son primos dos a dos ya que por ejemplo mcd(36, 75) = 3
 Una manera es empleando el teorema que dice: que el máximo común divisor de varios
números es el producto de los factores primos comunes a todos ellos, tomando cada uno
con el menor de los exponentes con los que figura.
 Por ejemplo: para encontrar el mcd (300, 420, 660) primero lo descomponemos a cada
uno en sus factores primos:
300 = 22 * 3 * 52
420 = 22 * 3 * 5 * 7
mcd (300, 420, 660)= 22 * 3 * 5 = 60
660 = 22 * 3 * 5 * 11
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 Otra manera de encontrar el mcd es mediante el algoritmo de Euclides que dice:
 Sean a y b dos números enteros no nulos, con a > b, los divisores comunes de ambos son
los comunes al menor de ellos y al resto r, por defecto o exceso de la división de ambos.
 Los enteros a y b se suponen positivos y se definen qi y ri entonces:
siendo rn el último resto no nulo. Ese valor será el mcd (a, b).
Como los restos sucesivos son tales que b > r1 > r2 > …, y son números naturales, se llegará a
un resto nulo. Si como se indica en la última igualdad anterior, es rn el divisor que produce
tal resto, los divisores de a, b son los mismos que los de b, r1, los mismos que los de r1, r2 y
asi sucesivamente hasta los de rn-1, rn. Pero como rn| rn-1, esos divisores son todos los de rn
y el mayor de todos es el propio rn, por lo que mcd (a, b) = rn,es decir el máximo común
divisor es el último resto distinto de cero.
 De este algoritmo también hay una disposición esquemática:
q1
q2
q3
……..
qn
qn+1
a
b
r1
r2
…….. rn-2
rn-1
rn
r1
r2
r3
r4
rn
0
 Ahora veamos con el mismo ejemplo anterior siendo a = 250 y b = 111
2
3
1
27
250
111
28
27
1
28
27
1
0
es decir, mcd(250, 111) = 1, lo que indica que los números dados son primos relativos. En
este caso tendríamos:
250 = 111 * 2 + 28
0 < 28 < 111
111 = 28 * 3 + 27
0 < 27 < 28
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28 = 27 * 1 + 1
27 =
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0 < 1 < 27
1 * 27 + 0
PROPIEDADES MCD
 Cualquier divisor común de a y b es un divisor de mcd(a, b)
Ej.: sea a = 18 y b = 12 entonces mcd(18, 12) = 2 * 3 = 6
Podemos decir que 2 es divisor de 6 y que 3 es divisor de 6
 Considerando los números enteros Z y dado que los divisores de a también son de –a, se
cumplirá que mcd(a, b) = mcd(-a, b)
 Se verifica que mcd(a, b) = mcd(a - b, b) = mcd(a + b, b)
 Si mcd(a, b) = d, entonces mcd(ah, bh) = dh
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 Si mcd(a, b) = d y a y b son múltiplos de k, entonces mcd(a/k, b/k) = d|k
 Si mcd(a, b) = d entonces mcd (a/d, b/d) = 1
 Si un número c es divisor del producto a * b y mcd(a, c) = 1 entonces c|b.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Sean a y b números enteros no nulos. Sea l un múltiplo común de ambos. Se dice que l es
el mínimo común múltiplo de a y de b cuando es el más pequeño de todos sus múltiplos
comunes y distinto comunes y distinto de cero. Se indica por mcm(a, b) = l.
 Si a = 3 y b = 8, múltiplos comunes a ambos son 24, 48, 72… El menor de ellos es 24,
luego l = mcm (3, 8) = 24.
Para obtener el mínimo común múltiplo de varios números es el producto de los factores
primos tanto comunes como no comunes a todos ellos y tomando cada uno con el mayor
exponente con el que figura en los números dados.
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Práctico 1 Ejercicios Teoría de Números
1. Calcular el mcd(1492,1066); (2406,654) mediante el algoritmo de Euclides de las dos
maneras (esquemática y no esquemática).
2. Razonar y resolver los ejercicios:
a. Si el dividendo es 86, el cociente por defecto 4 y el residuo por defecto 6, ¿cuál
es el divisor?
b. El cociente por defecto es 7, r = 2, r' = 2 ¿cuál es el dividendo?
c. Si el divisor es 31 y el residuo por exceso 29, ¿cuál es el residuo por defecto?
3. Encuentra los residuos por defecto y por exceso en:
a. 19 ÷ 5
b. 27 ÷ 8
c. 11 ÷ 4
d. 9 ÷ 2
4. Calcular el mínimo común múltiplo de 500 y 120 mediante la factorización de ambos en
números primos.
5. Hacer la criba de Eratóstenes desde el 2 hasta el m. Siendo m=150 obteniendo los
números primos.
a. Para ello hacer una matriz con los números
b. Conservar el primer primo (2), y suprimir todos los múltiplos.
c. Conservar el siguiente primo no suprimido y tachar todos sus múltiplos.
d. Continuar hasta alcanzar el mayor número sin suprimir cuyo cuadrado no exceda
a m.
e. Hacer un círculo en los números que resultaron ser primos.
6. Resolver las siguientes divisiones euclídeas:
a. D=108 y d=52
b. D=-108 y d=52
c. D=108 y d=-52
d. D=-108 y d=-52
7. Calcular el mcd(230,40) empleando el algoritmo de Euclides
8. Calcular el mcd(58,98) empleando el algoritmo de Euclides
9. Calcular el mcd(4864,3458) empleando el algoritmo de Euclides
10. Calcular el mcd(244,117) empleando el algoritmo de Euclides e indicar si son Primos
entre sí.
11. Calcular el mcd(260, 73) y mcd(12378, 3054) mediante el algoritmo de Euclides en forma
esquemática y no esquemática. Luego indicar si son primos relativos.
12. Estudiar e indicar si 811 es nro. primo e indicar como lo hizo.
Prof. Adjunta: Lic. Claudia Isaia - Ayudante 1º: Lic. Elizabeth Castro
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