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Primer taller de Geometría Analítica Vectorial 3D
Posiciones
relativas de
rectas y planos
1. Intersección entre dos planos
Indicador
Intersecciones entre dos planos
Intersecciones entre tres planos
Intersección entre dos rectas
determinadas por dos planos
Intersección de rectas y planos
Objetivos
Encontrar el conjunto solución
de la intersección de planos y
rectas


Abra un archivo ggb.
Considere los planos Π1, Π2 :
Π1 : A1 x +B1 y +C1 z + D1 = 0
Π2 : A2 x +B2 y +C2 z + D2 = 0
Sistema 2 x 3


Cree los deslizadores apropiados para los coeficientes de las ecuaciones de los planos.
Ingrese en CAS las ecuaciones de dos planos Π1, Π2

Asigne a la variable sist las ecuaciones del sistema:
Determinar la solución de un
sistema lineal
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Guía 4
2
La solución general del sistema
depende de la variable z y se
dice que ésta es una variable
libre y que el sistema admite un
grado de libertad
La sintaxis del comando
Interseca es:

Asigne a la variable ing las incógnitas del sistema:

Resuelva el sistema con el comando Resuelve:

Encuentre la intersección de planos aplicando el comando Interseca en la variable r

Abra la Vista 3D para visualizar geométricamente el sistema y su solución:
En este caso el sistema tiene
como solución general una
recta
Dando valores a la variable z
usted puede encontrar puntos
de la recta (soluciones
particulares)
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Guía 4
3
Otro método para resolver el
sistema es una extensión del
método de reducción de
Gauss, que transforma la
matriz aumentada en forma
escalonada reducida
equivalente

Ingrese los coeficientes, incluido el término independiente П1 de en f1

Igualmente con los de П2 de en f2

Deposite en la lista Mau las listas f1 y f2:

Aplique a la matriz aumentada Mau el comando EscalonadaReducida:

La solución aparece de manera implícita. La primera fila corresponde a x – 4/7 z = – 6/7 y la
segunda a y – 2/7 z = 3/7
En este caso el sistema es compatible indeterminado.
Mueva los deslizadores, compare y analice los resultados de las soluciones sol1 y sol 2
La variable Mau almacena la
matriz aumentada del sistema
M*
La sintaxis de
EscalonadaReducida es
El comando reduce la matriz M
del sistema a la identidad I3,
dejando en la última columna la
solución del sistema. Este
comando se basa en el método
de reducción de Gauss


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Guía 4
4
C
Coom
meennttaarriiooss aall ttuuttoorriiaall
Es posible que en la reducción, al mover los deslizadores se haya generado soluciones diferentes, que pueden implicar uno y
solamente uno de los siguientes resultados:
Sistema reducido
con d2 ≠ 0
Sistema inicial
Dependiendo de los valores de la última ecuación tendrá los siguientes casos de intersección:
Intersección de dos planos
Caso
Planos
Tipo de sistema
Gráfica
Incompatible: solución vacía
paralelos
rang(M) = 1
rang(M*) = 2
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5
Planos
coincidentes
Compatible indeterminado
con dos grados de libertad
(infinitas soluciones)
rang(M) = 1
rang(M*) = 1
Una recta
Compatible indeterminado
con un grado de libertad
(infinitas soluciones)
rang(M) = 2
rang(M*) = 2
2. Intersecciones entre tres planos


Abra un archivo ggb.
Considere los planos:
Π1 : A1 x +B1 y +C1 z + D1 = 0
Π2 : A2 x +B2 y +C2 z + D2 = 0
Sistema 3 x 3
Π3 : A3 x +B3 y +C3 z + D3 = 0
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Recuerde que la solución del
sistema es una lista y los valores
de x, y, z no pueden asignarse
directamente a cualquier fórmula


Cree los deslizadores convenientes para los coeficientes
Ingrese en CAS las ecuaciones del sistema y mueva deslizadores:

Asigne a la variable sist las ecuaciones del sistema:

Asigne a la variable ing las incógnitas del sistema:

Resuelva el sistema:
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Guía 4
7
La sintaxis del comando Interseca
es:

La barra de Entrada ingrese en P el valor de las coordenadas x, y, z:

Encuentre las intersecciones dos a dos de los planos aplicando el comando Interseca en las
variables r1, r2 y r3
Abra la Vista 3D para visualizar el sistema y su solución:

En Vista algebraica tendrá:

En la vista CAS, ingrese en f1, f2, y f3 los coeficientes de las variables x, y, z del sistema:
El sistema también puede
resolverlo matricialmente
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
Deposite en la lista M (matriz del sistema)las listas f1, f2 y f3:

Verifique si det(M)≠ 0 aplicando Determinante en la variable Δ

Asigne los términos independientes a la variable B

En Minv, calcule la inversa de M:

En sol2 calcule el producto matricial de Minv y B:
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Guía 4
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
Ingrese en ec1 la lista de los coeficientes de la ecuación del plano Π1 , incluyendo el término
independiente


Ingrese las otras ecuaciones en ec2 y ec3
Forme la matriz aumentada Mau (orden 3 x 4)

Aplique a la matriz aumentada Mau el comando EscalonadaReducida:

Mueva los deslizadores para cambiar coeficientes.
Compare resultados de sol1, sol2 y sol3
El sistema puede resolverlo por
reducción
La solución por reducción es x = 1,
y=½, z=0

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Guía 4
10
C
Coom
meennttaarriiooss aall ttuuttoorriiaall
Tal como ha comprobado, cuando la matriz M que corresponde al sistema lineal 3 x 3 tiene determinante diferente de 0, la intersección
de los tres planos es un punto en el espacio, en consecuencia tiene solución única (compatible determinado).
Intrínsecamente el problema general de la intersección de planos contiene también los casos cuando det(M) = 0, los que resultan de
comparar los rangos de la matriz M y la matriz aumentada M*
Intersección de tres planos
Caso
Tres planos
coincidentes
Tipo de sistema
Sistema compatible
indeterminado
con dos grados de
libertad
Gráfica
П1 = П2 = П3
rang(M) = 1
rang(M*) = 1
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Como mínimo
dos paralelos
Sistema incompatible
(solución vacía)
rang(M) = 1
rang(M*) = 2
Compatible indeterminado
Tres planos de
con un grado de libertad
un haz
rang(M) = 2
rang(M*) = 2
El haz de planos se forma
cuando por una recta se
cortan más de dos planos
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Planos
secantes
dos a dos
Sistema incompatible
rang(M) = 2
rang(M*) = 3
Un punto
Sistema compatible
determinado
rang(M) = 3
rang(M*) = 3

Observe que solamente cuando rang(M) = rang(M*) el sistema es compatible y cuando, det(M) ≠ 0 es compatible determinado
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3. Intersección de dos rectas


Abra un archivo ggb
Considere las rectas r y s dadas como intersección de dos planos:
Π1 : A1 x +B1 y +C1 z = – D1
Π2 : A2 x +B2 y +C2 z = – D2
Π3 : A3 x +B3 y +C3 z = – D3
Π4 : A4 x +B4 y +C4 z = – D4
En este ejercicio aplicará el método
de reducción de Gauss para
resolver el sistema 4 X 3
r
s
Sistema 4 X 3

Ingrese en CAS las ecuaciones ec1, ec2, ec3 y ec4 del sistema ampliado (4 x 4 ):

Asigne a m1 la matriz ampliada:
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Comience por reducir a 1 el primer
coeficiente (pivote) de la ecuación
ec1

Multiplique ec1 por el recíproco del primer coeficiente y asigne a ec11
Reduzca a 0 los coeficientes de la
primera columna debajo del pivote

Multiplique ec11 por el negativo del primer coeficiente de ec2, sume a ec2 y deposite en ec21
Observe la codificación de las
nuevas variables empleada en las
ecuaciones transformadas

Repita el proceso para los siguientes coeficientes:

Asigne a m2 nueva matriz equivalente a m1
Repita el procedimiento anterior
con el segundo coeficiente de la
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ec2 (nuevo pivote diagonal)

Reduzca a la unidad el segundo pivote y a 0 los elementos de la segunda columna:

Asigne a m3 la matriz equivalente transformada:

Reduzca a la unidad el tercer pivote y a cero los elementos de la tercera columna:
Continúe con el procedimiento de
reducción con el tercer pivote
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Analice el resultado de la última
ecuación de la matriz ampliada
Comando interseca Dos
Superficies

La matriz triangular inferior equivalente a m1 es m4:

La última ecuación indica que 0 x + 0y + 0z = 41/3, por lo cual
0 = 41/2, esto significa que el
sistema es incompatible (no tiene solución) y las rectas están diferentes planos(no coplanares)
Encuentre la recta r como intersección de los planos П1 y П2 aplicando la herramienta Interseca
Dos Superficies:
De igual manera para la recta s como intersección de los planos П3 y П4
Visualice en vista 3D



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Guía 4
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C
Coom
meennttaarriiooss aall ttuuttoorriiaall
Tal como ha observado, puede hacerse una interpretación geométrica de la posición relativa de dos rectas analizando de la
solución del sistema lineal 4 x 3, presentándose los siguientes casos según se resuelva el sistema de cuatro ecuaciones (dos por cada
recta):
 1 b1 c1

 0 1 c2
0 0 1

0 0 0
 A1

 A2
 A3

 A4
B1
B2
B3
B4
C1
C2
C3
C4
D1 

D2 
D3 

D4 
d1 

d2 
d3 

d4 
d4 ≠ 0
 1 b1 c1

 0 1 c2
0 0 1

0 0 0
d1 

d2 
d3 

0
 1 b1 c1

 0 1 c2
0 0 0

0 0 0
d1 

d2 
d3 

0
 1 b1 c1

 0 1 c2
0 0 0

0 0 0
d1 

d2 
0

0
d3 ≠ 0
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O bien, analizando los rangos de M y M*:
Intersección de dos rectas
Caso
Rectas
coincidentes
Tipo de sistema
Gráfica
Sistema compatible
indeterminado con
un grado de
libertad
rang(M) = 2
rang(M*) = 2
Rectas
secantes
Sistema compatible
determinado
rang(M) = 3
rang(M*) = 3
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Sistema
incompatible
Rectas
paralelas
rang(M) = 2
rang(M*) = 3
Rectas no
coplanares
Sistema
incompatible
rang(M) = 3
rang(M*) = 4
4. Intersección de rectas y planos


El sistema generado por la recta
y el plano Π3 es de orden 3X3, y
su tratamiento algebraico es
similar al del tutorial anterior
Abra un nuevo archivo ggb
Considere la recta r como intersección de los planos Π1, Π2
Π1 : A1 x +B1 y +C1 z = – D1
Π2 : A2 x +B2 y +C2 z = – D2
r
Π3 : A3 x +B3 y +C3 z = – D3
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
Ingrese las ecuaciones de los planos П1 , П2 y П3 en las variables e1, e2 y e3 respectivamente





Mueva los deslizadores
Trace la recta r como intersección de П1 y П2 con la herramienta conveniente.
Abra la Vista 3D para visualizar el sistema
Asigne a la variable sist el sistema de las tres ecuaciones
Resuelva el sistema en las variables x, y:

Cambie valores a los deslizadores para observar diferentes soluciones del sistema
Vista gráfica del sistema
La solución del sistema es
compatible determinada
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C
Coom
meennttaarriiooss aall ttuuttoorriiaall
Encontrar la intersección de la una recta y un plano es equivalente a resolver el sistema lineal 3 x 3, con la condición que las matrices
M y M* son como mínimo de rango 2, ya que la recta es intersección de dos planos.
Intersección de recta y plano
Caso
Recta
contenida en
el plano
Tipo de sistema
Gráfica
Sistema compatible
indeterminado con
un grado de
libertad
rang(M) = 2
rang(M*) = 2
Recta y
plano son
paralelos
Sistema
incompatible
rang(M) = 2
rang(M*) = 3
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Guía 4
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Rectas y
plano son
secantes
Sistema
compatible, tienen
un punto común
rang(M) = 3
rang(M*) = 3
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