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Primer taller de Geometría Analítica Vectorial 3D Posiciones relativas de rectas y planos 1. Intersección entre dos planos Indicador Intersecciones entre dos planos Intersecciones entre tres planos Intersección entre dos rectas determinadas por dos planos Intersección de rectas y planos Objetivos Encontrar el conjunto solución de la intersección de planos y rectas Abra un archivo ggb. Considere los planos Π1, Π2 : Π1 : A1 x +B1 y +C1 z + D1 = 0 Π2 : A2 x +B2 y +C2 z + D2 = 0 Sistema 2 x 3 Cree los deslizadores apropiados para los coeficientes de las ecuaciones de los planos. Ingrese en CAS las ecuaciones de dos planos Π1, Π2 Asigne a la variable sist las ecuaciones del sistema: Determinar la solución de un sistema lineal Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 2 La solución general del sistema depende de la variable z y se dice que ésta es una variable libre y que el sistema admite un grado de libertad La sintaxis del comando Interseca es: Asigne a la variable ing las incógnitas del sistema: Resuelva el sistema con el comando Resuelve: Encuentre la intersección de planos aplicando el comando Interseca en la variable r Abra la Vista 3D para visualizar geométricamente el sistema y su solución: En este caso el sistema tiene como solución general una recta Dando valores a la variable z usted puede encontrar puntos de la recta (soluciones particulares) Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 3 Otro método para resolver el sistema es una extensión del método de reducción de Gauss, que transforma la matriz aumentada en forma escalonada reducida equivalente Ingrese los coeficientes, incluido el término independiente П1 de en f1 Igualmente con los de П2 de en f2 Deposite en la lista Mau las listas f1 y f2: Aplique a la matriz aumentada Mau el comando EscalonadaReducida: La solución aparece de manera implícita. La primera fila corresponde a x – 4/7 z = – 6/7 y la segunda a y – 2/7 z = 3/7 En este caso el sistema es compatible indeterminado. Mueva los deslizadores, compare y analice los resultados de las soluciones sol1 y sol 2 La variable Mau almacena la matriz aumentada del sistema M* La sintaxis de EscalonadaReducida es El comando reduce la matriz M del sistema a la identidad I3, dejando en la última columna la solución del sistema. Este comando se basa en el método de reducción de Gauss Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 4 C Coom meennttaarriiooss aall ttuuttoorriiaall Es posible que en la reducción, al mover los deslizadores se haya generado soluciones diferentes, que pueden implicar uno y solamente uno de los siguientes resultados: Sistema reducido con d2 ≠ 0 Sistema inicial Dependiendo de los valores de la última ecuación tendrá los siguientes casos de intersección: Intersección de dos planos Caso Planos Tipo de sistema Gráfica Incompatible: solución vacía paralelos rang(M) = 1 rang(M*) = 2 Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 5 Planos coincidentes Compatible indeterminado con dos grados de libertad (infinitas soluciones) rang(M) = 1 rang(M*) = 1 Una recta Compatible indeterminado con un grado de libertad (infinitas soluciones) rang(M) = 2 rang(M*) = 2 2. Intersecciones entre tres planos Abra un archivo ggb. Considere los planos: Π1 : A1 x +B1 y +C1 z + D1 = 0 Π2 : A2 x +B2 y +C2 z + D2 = 0 Sistema 3 x 3 Π3 : A3 x +B3 y +C3 z + D3 = 0 Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 6 Recuerde que la solución del sistema es una lista y los valores de x, y, z no pueden asignarse directamente a cualquier fórmula Cree los deslizadores convenientes para los coeficientes Ingrese en CAS las ecuaciones del sistema y mueva deslizadores: Asigne a la variable sist las ecuaciones del sistema: Asigne a la variable ing las incógnitas del sistema: Resuelva el sistema: Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 7 La sintaxis del comando Interseca es: La barra de Entrada ingrese en P el valor de las coordenadas x, y, z: Encuentre las intersecciones dos a dos de los planos aplicando el comando Interseca en las variables r1, r2 y r3 Abra la Vista 3D para visualizar el sistema y su solución: En Vista algebraica tendrá: En la vista CAS, ingrese en f1, f2, y f3 los coeficientes de las variables x, y, z del sistema: El sistema también puede resolverlo matricialmente Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 8 Deposite en la lista M (matriz del sistema)las listas f1, f2 y f3: Verifique si det(M)≠ 0 aplicando Determinante en la variable Δ Asigne los términos independientes a la variable B En Minv, calcule la inversa de M: En sol2 calcule el producto matricial de Minv y B: Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 9 Ingrese en ec1 la lista de los coeficientes de la ecuación del plano Π1 , incluyendo el término independiente Ingrese las otras ecuaciones en ec2 y ec3 Forme la matriz aumentada Mau (orden 3 x 4) Aplique a la matriz aumentada Mau el comando EscalonadaReducida: Mueva los deslizadores para cambiar coeficientes. Compare resultados de sol1, sol2 y sol3 El sistema puede resolverlo por reducción La solución por reducción es x = 1, y=½, z=0 Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 10 C Coom meennttaarriiooss aall ttuuttoorriiaall Tal como ha comprobado, cuando la matriz M que corresponde al sistema lineal 3 x 3 tiene determinante diferente de 0, la intersección de los tres planos es un punto en el espacio, en consecuencia tiene solución única (compatible determinado). Intrínsecamente el problema general de la intersección de planos contiene también los casos cuando det(M) = 0, los que resultan de comparar los rangos de la matriz M y la matriz aumentada M* Intersección de tres planos Caso Tres planos coincidentes Tipo de sistema Sistema compatible indeterminado con dos grados de libertad Gráfica П1 = П2 = П3 rang(M) = 1 rang(M*) = 1 Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 11 Como mínimo dos paralelos Sistema incompatible (solución vacía) rang(M) = 1 rang(M*) = 2 Compatible indeterminado Tres planos de con un grado de libertad un haz rang(M) = 2 rang(M*) = 2 El haz de planos se forma cuando por una recta se cortan más de dos planos Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 12 Planos secantes dos a dos Sistema incompatible rang(M) = 2 rang(M*) = 3 Un punto Sistema compatible determinado rang(M) = 3 rang(M*) = 3 Observe que solamente cuando rang(M) = rang(M*) el sistema es compatible y cuando, det(M) ≠ 0 es compatible determinado Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 13 3. Intersección de dos rectas Abra un archivo ggb Considere las rectas r y s dadas como intersección de dos planos: Π1 : A1 x +B1 y +C1 z = – D1 Π2 : A2 x +B2 y +C2 z = – D2 Π3 : A3 x +B3 y +C3 z = – D3 Π4 : A4 x +B4 y +C4 z = – D4 En este ejercicio aplicará el método de reducción de Gauss para resolver el sistema 4 X 3 r s Sistema 4 X 3 Ingrese en CAS las ecuaciones ec1, ec2, ec3 y ec4 del sistema ampliado (4 x 4 ): Asigne a m1 la matriz ampliada: Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 14 Comience por reducir a 1 el primer coeficiente (pivote) de la ecuación ec1 Multiplique ec1 por el recíproco del primer coeficiente y asigne a ec11 Reduzca a 0 los coeficientes de la primera columna debajo del pivote Multiplique ec11 por el negativo del primer coeficiente de ec2, sume a ec2 y deposite en ec21 Observe la codificación de las nuevas variables empleada en las ecuaciones transformadas Repita el proceso para los siguientes coeficientes: Asigne a m2 nueva matriz equivalente a m1 Repita el procedimiento anterior con el segundo coeficiente de la Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 15 ec2 (nuevo pivote diagonal) Reduzca a la unidad el segundo pivote y a 0 los elementos de la segunda columna: Asigne a m3 la matriz equivalente transformada: Reduzca a la unidad el tercer pivote y a cero los elementos de la tercera columna: Continúe con el procedimiento de reducción con el tercer pivote Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 16 Analice el resultado de la última ecuación de la matriz ampliada Comando interseca Dos Superficies La matriz triangular inferior equivalente a m1 es m4: La última ecuación indica que 0 x + 0y + 0z = 41/3, por lo cual 0 = 41/2, esto significa que el sistema es incompatible (no tiene solución) y las rectas están diferentes planos(no coplanares) Encuentre la recta r como intersección de los planos П1 y П2 aplicando la herramienta Interseca Dos Superficies: De igual manera para la recta s como intersección de los planos П3 y П4 Visualice en vista 3D Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 17 C Coom meennttaarriiooss aall ttuuttoorriiaall Tal como ha observado, puede hacerse una interpretación geométrica de la posición relativa de dos rectas analizando de la solución del sistema lineal 4 x 3, presentándose los siguientes casos según se resuelva el sistema de cuatro ecuaciones (dos por cada recta): 1 b1 c1 0 1 c2 0 0 1 0 0 0 A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 C1 C2 C3 C4 D1 D2 D3 D4 d1 d2 d3 d4 d4 ≠ 0 1 b1 c1 0 1 c2 0 0 1 0 0 0 d1 d2 d3 0 1 b1 c1 0 1 c2 0 0 0 0 0 0 d1 d2 d3 0 1 b1 c1 0 1 c2 0 0 0 0 0 0 d1 d2 0 0 d3 ≠ 0 Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 18 O bien, analizando los rangos de M y M*: Intersección de dos rectas Caso Rectas coincidentes Tipo de sistema Gráfica Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad rang(M) = 2 rang(M*) = 2 Rectas secantes Sistema compatible determinado rang(M) = 3 rang(M*) = 3 Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 19 Sistema incompatible Rectas paralelas rang(M) = 2 rang(M*) = 3 Rectas no coplanares Sistema incompatible rang(M) = 3 rang(M*) = 4 4. Intersección de rectas y planos El sistema generado por la recta y el plano Π3 es de orden 3X3, y su tratamiento algebraico es similar al del tutorial anterior Abra un nuevo archivo ggb Considere la recta r como intersección de los planos Π1, Π2 Π1 : A1 x +B1 y +C1 z = – D1 Π2 : A2 x +B2 y +C2 z = – D2 r Π3 : A3 x +B3 y +C3 z = – D3 Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 20 Ingrese las ecuaciones de los planos П1 , П2 y П3 en las variables e1, e2 y e3 respectivamente Mueva los deslizadores Trace la recta r como intersección de П1 y П2 con la herramienta conveniente. Abra la Vista 3D para visualizar el sistema Asigne a la variable sist el sistema de las tres ecuaciones Resuelva el sistema en las variables x, y: Cambie valores a los deslizadores para observar diferentes soluciones del sistema Vista gráfica del sistema La solución del sistema es compatible determinada Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 21 C Coom meennttaarriiooss aall ttuuttoorriiaall Encontrar la intersección de la una recta y un plano es equivalente a resolver el sistema lineal 3 x 3, con la condición que las matrices M y M* son como mínimo de rango 2, ya que la recta es intersección de dos planos. Intersección de recta y plano Caso Recta contenida en el plano Tipo de sistema Gráfica Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad rang(M) = 2 rang(M*) = 2 Recta y plano son paralelos Sistema incompatible rang(M) = 2 rang(M*) = 3 Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4 22 Rectas y plano son secantes Sistema compatible, tienen un punto común rang(M) = 3 rang(M*) = 3 Primer Taller ISGEMA de Geometría Analítica Vectorial 3D Guía 4