Download Tabloides de Matemática

Autores:
Lic: María Elena González Regalado.
Lic: Sergio Antonio Fernández Morín.
Lic: Margarita Brito González.
Lic: Elsa María Canales Padrón.
Lic: José R. Arado Castro.
Colaboradora
Lic: Yeimí Robaina Brito
A los profesores de Matemática de la Educación de Adultos.
Este material es el primero de una serie de dos trabajos dedicados a la docencia y que se
corresponden con los programas vigentes en la enseñanza secundaria básica.
Constituyen entonces una adecuación de los programas de esta enseñanza, teniendo en
cuenta las características del estudiante de la secundaria obrero campesina.
Los autores de este tabloide creemos justo aclarar que no se trata de un libro de texto
Por lo que los contenidos no aparecen desarrollados muy ampliamente, dadas las
exigencias de la editorial, sin embargo consideramos que ejemplos, los ejercicios
propuestos y los ejercicios resueltos están al nivel de la generalidad de los estudiantes y
que deben ser enriquecidas y ampliados por los profesores mediante una buena
organización escolar, un eficiente trabajo en las clases frontales y televisivas, así con un
adecuado trabajo independiente por parte de los estudiantes.
Unidad 1 “Números naturales, fraccionarios y representación decimal”.
Unidad 2 “El lenguaje de las variables”.
Unidad 3 “Figuras planas”.
Unidad 4 “Números racionales”.
Unidad 5 “Ecuaciones lineales”.
Unidad 1: “Números naturales, fraccionarios y representación decimal”.
1.1- Operaciones con números naturales. Repaso.
1.2- Concepto de fracción. Ampliación y simplificación de fracciones.
1.3- Mínimo común denominador.
1.4- Adición y sustracción de fracciones.
1.5- Multiplicación y división de números fraccionarios.
1.6- Tanto por ciento.
Unidad 2: “El lenguaje de las variables”.
Introducción
2.1- Conceptos de, término, variables, expresiones algebraicas, ecuaciones y valor
numérico.
2.2- Traducción de situaciones de la vida al lenguaje algebraico.
2.3- Ecuaciones de la forma ax=b, ax+b=c con a,byc números fraccionarios (a≠o, c≥b).
2.4- Resolución de problemas que conducen a ecuaciones lineales de la forma ax=b;
ax+b=c, con a, byc € Q+ y a,b,c≠o.
Unidad 3: “Figuras planas”
3.1: Figuras planas
3.2: Ángulos
3.3: Triángulos
3.4: Cuadriláteros
3.5: Cálculo de Áreas y perímetros de figuras planas.
Unidad 4:“Números racionales”
4.1- Los números naturales, los fraccionarios y sus opuestos. Números enteros y
números racionales.
4.2- Valor absoluto o módulo de un número racional.
4.3- Orden de los números racionales.
4.4- Adición de números racionales.
4.5- Propiedades de la adición de números racionales.
4.6- Sustracción de números racionales.
4.7- Multiplicación de números racionales.
4.8- Propiedades de la multiplicación de números racionales.
4.9- División de números racionales.
4.10- La división de números racionales como operación inversa de la multiplicación.
Unidad 5 “Ecuaciones Lineales”
-Introducción
5.1-Resolución de problemas que conducen a ecuaciones lineales.
5.2-Ecuaciones lineales con variables. Sistemas de ecuaciones.
5.3-Problemas que conducen a sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.
Unidad 1:“Números Naturales, fraccionarios y representación decimal”.
1.1-Operaciones con Números Naturales. Repaso
Desde el primer grado estas estudiando los números Naturales 0, 1, 2, 3, 4,
5,6…Infinitos.
Deceno: Multiplicando cada uno de estos números por 10.
10, 20, 30,40……
Ejemplo: 51----1unidad
----5deceno
Centena: Multiplicando cada uno de estos números por 100.
100, 200, 300,400…..
Ejemplo 932----2unidades
-----3decenas
-----9centenas
Así conocerás muchos números hasta llegar por ejemplo a un número de 6 cifras.
835968------unidad
------decena
------centena
------Unidad de millas
------Decenas de millas
------Centenas de millas.
Lee el número
65848 Sesenta y cinco mil ochocientos cuarenta y ocho.
Pero, además continuarás conociendo números hasta de 15 cifras, aunque recuerda que
el dominio de los números naturales es infinito.
Ej.: 625 342 381 943 385 .Y se lee como:
Seiscientos veinticuatro billones trescientos cuarenta y dos mil trescientos ochenta y un
millones, novecientos cuarenta y tres mil trescientos ochenta y cinco.
Debes conocer que cada número natural tiene un antecesor y un sucesor.
Ej: 342 antecesor 341
Sucesor 343
En este dominio se efectúa las 4 operaciones básicas.
Adición
Se colocan las cifras una debajo de otras de izquierda a derecha.
No olvidar el sobre paso.
Ejemplo:
5948
1382563
952
+
85
1389548
NOTA: En la adición se cumplen las leyes
conmutativa y asniativa.
Sustracción:
9 648 342
- 516 021
9 132 323
Pero además verás la sustracción con sobre paso.
Ejemplo: 9 648 34
- 659 628
8 988 714
Completa la tabla.
a
943
b
238
a+b
1992
a-b
1892
6897
285969
2584
425
398
529
Multiplicación:
Para realizar esta operación utilizarás la ley distributiva.
548*36
538 * 36
1644
3288
19728
División: Debes tener en cuenta para realizar esta operación el dividendo,
divisor y cociente.
48
6
8
divisor
Cociente
Dividendo
Nota: Debes tener presente que todo número multiplicado por cero, es cero
y en la división cuando dividimos por cero, la operación no esta definida.
O sea:
8.0=0
8
0
0 8
8
No se puede resolver, no esta definido.
Para ejercitar las 4 operaciones básicas, te proponemos una serie de
ejercicios que debes analizar y resolver.
Ejercicios.
1.- Si A+ 25382 = 74825 Y 168325 – B = 93485
Halla: C = A+B
2.- Resuelve.
a)- x – 3982 = 5348
b)- x + 2568 = 9438
3.-En el año 2004, nuestro país contaba con 628 421 médicos. Este año
2005 se graduaron 8429.
a)- ¿Cuántos médicos hay en total?
Si se encuentran cumpliendo misión internacionalista en Venezuela,
Honduras, Pakistán 9538 de ellos.
¿Cuántos médicos quedan en Cuba?
4.- Completa la tabla.
a
b
943
1992
238
a+b
a-b
1892
6897
285969
425
2584
398
529
5.-Sustrae 95 del producto de 382 por 36.
6.-Determina el valor de x en:
5x – 84 = 156
7.- Llena los cuadritos en blanco, de forma tal que se cumpla.
a)- (
b)-
c)-
+
-
-
):
=1
:
(
=3
.
)=9
8.- Marcos tiene 12 años. Su padre tiene 48.
a)- ¿Qué edad tenía el padre cuando Marcos nació?
b)- ¿Qué edad tendrá Marcos cuando su padre cumpla 78 años?
9)- Los dígitos 0, 3, 5, y7 pueden cambiarse de varias maneras para obtener
números de 4 cifras.
• Escribe el mayor número de 4 cifras divisibles por 2, 3, 5,10.
10)- Resuelve las operaciones determinado valor de a y b.
a)-
326
+ aob
-------1031
b)8ab9 c)7a3
d)- 415 . 2a
189
+ b21
------------------------------8a0
8770
126a
12b5
-------------9545
11.- Completa la tabla.
m
306
3382
38994
0
41720
n
51
0
201
423
745
p
0
12
3024
12150
110314
12.- Escribe todos los números.
20≤ A≤40 que sean divisibles por:
2, 3, 5,10
13.- Sea A= 15 b.c.a
B= 3 a.b.c
Determina C= A+B si a=2, b=5 y c=7
m:n
m.n+p
1.2- Concepto de fracción. Ampliación y simplificación de funciones.
Fracción: Sean a, b € IN y se escribe.
a b≠0
b
Ahora te pondremos ejemplos el porqué de ampliar dominio numérico de naturales y
fraccionarios.
1. María compró 1 de libras de mantequilla.
4
2. Juan compró 1 litro de leche.
2
3. Un plomero utiliza tubos de1 y 5 pulgadas.
4 8
4. Luisa compró un cake para repartirlo entre sus tres hijos:
Ya tendrás idea del concepto fracción.
a
numerador
b
denominador
Las fracciones cuyo numerador es menor que el denominador se llaman fracciones
propias.
Ej: 3, 2, 3, 5
5 3 8 9
Las fracciones cuyo numerador es mayor que el denominador se llaman fracciones
impropias.
Ej: 7, 8, 9, 3
5 3 5 2
Fracción equivalente. Es cuando dos fracciones
a y c cumplen que a.d = b.c
b d
Ejemplo 2 = 8 → 2. 12 = 3.8
3 12
Ahora verás la ampliación y simplificación de fracciones.
Ampliación de fracciones
Se amplió una fracción a (b≠0) mediante un número natural n, n>1 multiplicando el
b
a = a.n
n>1
b b.n
Ejemplo: Ampliar 3 a una fracción de denominador 30.
5
Como observarás tendrás que multiplicar la fracción por n=6.
3 = 3.6 = 18
5 5.6 30
De esta misma manera también podemos realizar una operación y reducir una fracción a
términos menores.
Simplificación de fracciones
Si se simplifica una fracción a (b≠0) mediante un número natural n (n >1).
b
Dividiendo el numerador y el denominador de la fracción a entre el número natural n,
o sea:
b
a=a:n
b
b≠o), n>1)
b: n
Simplifica: 25 = 5.5
30
n=5
6.5
Nota: Cuando multiplicamos o dividimos una fracción por un mismo número en el
numerador y denominador no se altera el orden de la igualdad.
Ej: 5. 8 = 40
6 8
48
Pero 40 = 40:8
48
48:8
Ejercicios
1.- Diga si las fracciones son o no equivalentes, sustituyendo los cuadritos por el signo
= o ≠, y diga el valor de n el caso de los iguales.
6
a)- 3
5
10
c)- 2
4
5
10
b)- 15
40
20
60
d)- 4
12
7
15
2.- Determina 5 fracciones equivalentes a 3.
.- Simplifica
53
a)- 30
b)- 15
c)- 100
75
25
200
d)- 35
e)- 120
f)- 425
70
180
585
4.- Una maestra tomó una libreta y la dividió en 4 partes. Dedicó una parte para las
evaluaciones de español. Otra maestra tomó otra libreta y la dividió en 8 partes,
tomando 2 de ellas para evaluaciones de matemática.
¿Recibieron ambas asignaturas la misma cantidad de hojas para las evaluaciones?
5.- Multiplique las funciones siguientes por los números dados y simplifique el
resultado.
a)- 9 . 8
6
b)- 125. 6
120
c)- 18. 20
15
1.3 Mínimo común dominador
Debes conocer algunos conceptos básicos sobre este contenido para comprender
y resolver los ejercicios propuestos .
Ej. ¿Cuáles son los divisores del número 24?
R- 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Si lo descompones en 2 factores primos tenemos
24 = 8. 3 , 6. 4 , 2. 12 , 1. 24
Sin embargo si tomamos
24 = 8. 3
= 2. 4. 3
.
= 2. 2. 2. 3
=2 . 3
3
Trataremos este aspecto con la elaboración de división común.
Nota: Un número natural , que sea divisor de dos o más de dos números se
llama divisor común de esos números .
Ej: 7 es divisor de. .
21, 35, 63, 147
¿Cuáles son los divisores de 12?
R- 1, 2, 3, 4, 12
Ahora veremos el ejercicio. .
Divisores de 12
1, 2, 3, 4, 6, 12,
Divisores de 32
1, 2, 4, 8, 16, 32
Divisores de 40
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Luego el divisor común de {12, 32, 40}
Ahora veremos que paso determinar el máximo común divisor -M. C. D- utilizamos el
siguiente método. Determinemos el M. C. D de 56 y 84
56 = 2.28
84 = 2.42
= 2. 2. 14
= 2.2.21
= 2.2.2.7
= 2.2.3.7
= 2. 7
= 2.3.7
3
2
Nota: Seleccionamos los números que se repitan y luego seleccionamos la menor
potencia de estos.
(M. C. D) = 2. 7 = 28
2
Luego el M. C. D (56, 84) = 28
Hallemos el M. C. D DE 60, 120, 180.
60 = 2.30
120 = 2.60
= 2.2.15
= 2.2.30
= 2.2.3.5.
= 2.2.2.15
= 2.3.5
= 2.2.2.3.5
2
= 2.3.5
3
Luego el M. C. D (60, 120, 180) = 2. 3. 5 = 60
2
180 = 2.90
= 2.2.45
= 2.2.3.15
= 2.2.3.3.5
= 2.3.5
22
Nota: El máximo común divisor (M, C, D,) de números naturales dados es el mayor
número que divide a todos los números dados.
Para confirmar si has entendido lo anterior te proponemos este ejercicio.
Halla el M, C, D, de
a) m, c, d (12, 24, 30)
b) m, c, d, (80, 85, 90)
Ahora bien, ahora veremos que cuando un número natural que sea múltiplo de dos o
mas de dos números naturales, se llama múltiplo común.
Múltiplos de 4:
Múltiplos de 6:
4, 8, 12, 20, 24
6, 12, 18, 24
De los múltiplos comunes de 4 y 6 veras que 12 es el menor y por tanto el
mínimo común múltiplo que lo abreviamos como m.c.m
Luego: El m.c.m de números naturales dados es el menor número, diferente de cero
que es divisible por todos los números dados.
Ej.: Halla el m.c.m de 12, 18, 42
12 = 2.6
= 2.2.3
= 2². 3
18 = 2.9
= 2.3.3
= 2.3 ²
42 = 2.21
= 2.3.7
= 2.3.7
m.c.m (12, 18, 42) = 2².3².7 = 4.9.7 = 252
m.c.m (12, 18, 42) = 252
Nota: El m.c.m es el producto de los factores comunes y no comunes formados con su
mayor exponente.
Veremos otro ejemplo:
m.c.m (30. 48. 80)
30 = 2.15
= 2.3.5
48 = 2.24
= 2.2.12
= 2.2.2.6
= 2.2.2.2.3
4
= 2.3
m.c.m (30, 48, 80,) = 2 .3.5 = 16.15 = 240
m.c.m (30, 48, 80,)= 240
80 = 2.40
= 2.2.2.0
= 2.2.2.10
= 2.2.2.2.5
4
=2.5
Ejercicios:
1- Halla el m, c, m, por descomposición de factores primos de 80, 120, 200.
2- Dos pedasos de telas de 360 cm. de largo se divide en pedasos iguales y con la
mayor longitud que fue posible ¿Qué largo tiene cada pedazo?
3- Halla las divisiones comunes de 12, 24 y 30 ¿Cual es el mayor y cual es el menor?
4- Escribe los 8 primeros múltiplos de 3 y los 6 primeros múltiplos de 8.
a) ¿Cuántos múltiplos hay comunes?
b) ¿Determine el m, c, m?
5- Determine los 5 primeros múltiplos de 6.
6- Halla el m, c, m de los números siguientes mediante la descomposición de factores
primos.
a) 50, 60, 80
b) 320, 400, 640
c) 30, 42, 80, 120.
1.4
Adición y Sustracción de Fracciones
Para adicionar fracciones de igual denominador
a y c (b≠0) se adicionan los numeradores y se mantiene el denominador
b
b
a + c = a+c
b b
b
Ej 2 + 3 = 5
7 7 7
Las fracciones de igual denominador a y c (b≠0) se pueden sustraer si a > c o
b b
b b
a =c
b b
Ej 5 - 3 = 2
o´
5–5
7 7 7
7 7
Ahora veras una adición con denominadores diferentes 5 + 3 + 3
6
8 4
Luego buscamos el M.C. M de 4 ,6 ,8 .
4 =2·2 =2²
6=2·3
8=2·4=2·2·2=2³
Luego M. C. M =2³·3=24 Y 24 es el denominador
Resolvemos
5 + 3 + 3 = 20 + 9 +18 = 47
6 8 4
24
20
También se pueden realizar la adición de números fraccionarios representados
como números mixtos
Nota : Convertimos los mixtos en fracciones y buscamos el M.C. M .
6 2 + 3 3 = 20 + 15 = 80 + 45 = 125 = 10 5
125: 12
3
4 3 4
12
12
12
12 10
5
Ejercicio: Hallar el valor de x .
a) x + 4 = 7 Luego x = 3
8 8 8
b) 11 + X = 1 1
12 12
12
Luego x = 2
Ahora bien , veremos el ejemplo con números naturales
La suma de dos números es 48 y uno de los sumandos es 25 ¿Cuál es el otro?
X+25 = 48 Para determinar el otro sumando utilizamos el procedimiento de la
Sustracción
X =48 – 25
X =23
Entonces en números fraccionarios también existe la sustracción como
operación para resolver ejercicios en ese dominio
Ej
4 – 3 = 1 con iguales denominadores y con denominadores diferentes empleamos
6 6 6 el mismo procedimiento que es la adición.
11 – 3 = 11 – 9 = 2¹ =1
12 4
12
12 6
1- Halla la suma y la diferencia de 19 y 8
13
26
19 + 8 = 38 + 8 = 46 = 24
13 26
26
26 13
19 – 8 = 38 – 8 = 30 = 15
13 26
26
26 13
Resuelve
5 – 3 = 20 – 9 = 11
6 8
24
24
Nota: En ambos casos (1 y 2) determinar el M.C. M para resolver cada ejercicio
Ejercicios Propuestos
1- Simplifica tanto como sea posible
a) 1 + 1+ 3
b) 3 + 1+ 4
2 3 4
5 10 15
c) 3 + 5 + 7
8 4 2
d) 18 – 7 – 4
25 30 15
2- Marcos corrió 3 Km. y luego camino 5 . ¿Cuál fue el recorrido total?
8
6
3- Determina el valor de x .
5+X = 8
6 2
6
4 – En a - 3 = 7 . Calcule a y b
b 5 30
5 – Si A = 3
B=1
C=3
8
4
5
a) Calcula A +B
b) Calcula C - A
c) Calcula A +B – C
6- La suma de dos fracciones es 3. Uno de los sumados es 5 ¿Cual es el otro?
4
12
7 – A + B = 19
15
B- 1 =1
2
6
1 + A = 23
6
30
Calcule A y B
8 – El segmento AB tiene 4 cm. De longitud. El segmento CD tiene 1 cm. menos de
longitud. El segmento EF tiene la misma longitud que los dos anteriores juntos.
a) ¿Qué longitud tiene EF?
b) ¿Qué longitud tienen los 3 segmentos juntos?
9 – Resuelve
a) 2 1 + 2 1
6
5
b) 8 5 - 3 3
2
4
Anexo: Existen expresiones decimales que se pueden adicionar y sustraer como
decimales o se pueden transformar en fracciones, sin existir números fraccionarios
Que se pueden expresar en decimal o viceversa.
Ej 1,18 + 0,2 = 1,1
+ 0,2
1,38
o 118 + 2 = 118 + 20 = 138 = 1,38
100 10
100
100
1- Calcula
a) $ 58,00 + $ 56,45 - $ 48,50
2- [A] + 2,9 = 8,5
39,8 –[B ]= 14,4
[A] + [B] = [ ]
3- Compara con el signo <, > ,= .
a) 3 [ ] 0,6
d) 6 [
5
5
b) 18,6 [ ] 186
c) 5 [
] 1 100
e) 4 [
8
]
] 7
5
3
7
8
1.5 –Multiplicación y División de números fraccionarios.
Multiplicación: Para resolver la multiplicación de números fraccionarios
se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador.
A. c = a.c
(b, d) ≠ 0
B d bd
Ej: a) 3. 2 = 6
5 7 35
b) 15 .6 = 15.6 = 5
32 9
32 9 16
Si el producto de dos números fraccionarios presenta simplificación se puede
simplificado antes o despajes de realizado la operación.
Ej: 5 .24 = 5.24 = 3
ó 5. 24 = 120 = 3
8 25 8 25 5
8 25 200
5
Nota: Es más conveniente simplificar antes de realizar el producto.
División: Partimos de a: c y observemos que debemos buscar el reciproco del
Bd
Denominador, convirtiéndolo en producto y se resuelve como una
multiplicación.
Ej: 5: 10 = 5. 24 = 4 = 2
6 24 6 10 2
Otro Ej:
145. 13 = 145.13 = 29
130 25
130 25 50
Para resolver esta operación con números mixtos tenemos.
6 3: 96 = 51: 51
8 5 8 5
= 51. 5
8 51
=5
8
Ahora te proponemos unos ejercicios para que resuelvas y desarrolles
habilidades en este contenido.
5- Determina los valores de a, b y c.
[A]. 4 = 2
7 3
8: B = 1
3
2
[A] + [B] = [C]
6- Calcula [3 (1) + 2 (3)]: 7
5
5 10
7-Sustituye y calcula.
X + y: c
si x = 2 1
y=5
7
y
c = 10
9
27
Nota: Los números fraccionarios también se pueden expresar en decimales o
viceversa para realizar la multiplicación
Ej: 5,4. 6,3
5,4 . 6,3
54 . 63 = 3402 = 43,02
10 10
324
100
162
34,02
Ejercicios propuestos.
1- Resuelve a) 5. 8
b) 9. 24
3 5
8 15
2-Calcula
3- Efectúa
a)8. 16
b)2 :4
9 18
5 15
a)(2+1) . 9
3 6
10
b)(9-2): 21
8 5 40
c) 31. 1 7
4
13
c)1. 16. 5
4
8
c)(1. 10). (9- 3)
5
3
5 2
4- Resuelve la ecuación.
5x =2
8
Resuelve
5
a) 2,3. 3,5
b) 4,8.16, 3
c) 5,1.6, 25
Pero si fuéramos a resolver una división lo resolveríamos así
5,42: 2,71
542: 271 =542. 100 = 542 = 2
d)3. 18. 12
2
27
100 100
Resuelve
100 271
a) 48,35 : 4,32
b) 9,68 : 2,5
c)985,42 : 16,3
271
1.6.- Tanto por ciento:
El estudio del tanto por ciento juega un papel fundamental en cualquier
enseñanza para comparar producciones en una fábrica, industria, la economía y
resuelven cualquier tipo de problema donde aparezcan datos expresados en tanto por
ciento.
Analicemos la fracción 15 que es una fracción decimal.
100
Se puede expresar como 15% y se lee quince por ciento.
O sea:
15 = 0,15 0 15%
100
Tanto por ciento significa un determinado número de centésimas.
1- Expreso en fracción decimal.
a)- 8% = 8 = 0,08
100
b)- 45% = 45 = 0,45
100
2-Expreso en %
a)- 25 = 25%
100
b)-0,01 = 1 = 1%
100
Para determinar tanto por ciento hallamos a que número es igual cierto número
decentísima de dicho número.
Ej: a)- 9 de 800
100
9. 800 = 72
100
b)- 12 de 64
100
12 . 64 = 768 = 7,68
100
100
Nota: Cualquier fracción de denominador 100 se puede sustituir por un dato en
porciento o cualquier dato expresado en tanto por ciento se puede expresar en notación
decimal.
El 25% de la población de Brasil es pobre. Esto significa que cada 100 habitantes 25
son pobres.
Para hallar que tanto por ciento es un número de otro. Se forma una fracción.
Ej: 5 = 0,62 = 62%
8
1- Hallamos qué parte es un número de otra.
2-Expresamos la fracción en centésimas.
3- Expresamos la centésima en forma de tanto por ciento.
Para facilitar el cálculo de tanto por ciento pudiéramos emplear fórmulas.
P=X
T= 800
T
P= ?
100
X= 9
Luego: P = 9
800 100
P = 800. 9 = 72
100
Observarás que hemos llegado a un mismo resultado 72.
Ejercicios:
1.- Una fábrica de zapatos produce 2400 pares mensuales es el mes de Agosto
sobrecumple en un 15 % . ¿Cuántos pares de zapatos produce este mes?
P = X
P = 2400
T
T=?
100
X = 15
P = 15
2400
100
P = 15.2400
100
Como es el mes de Agosto sobre cumplió en un 15 % tenemos que
analizar que debemos sumarle a 2400 las 360 para determinar el sobre
cumplimiento, que no es más que 2760 pares de zapatos en el mes de
Agosto.
2- En la secundaria Frank País de Melena del Sur asistieron el lunes a clases 580
alumnos de los 620 de matrícula que debían asistir.
a)- ¿Qué por ciento de alumnos asistió el lunes?
b)- ¿Qué por ciento no asistió?
a)- P = X
T = 620
T
P =580
100
580 = X
620
100
X= 580 . 100
620
X = 5800
62
X = 93,5 % Asistencia
b)-No asistió el lunes un 65 % de la matrícula.
Para hallar un número, dados el porcentaje y el tanto por ciento que representa dicho
porcentaje tomemos el ejemplo.
El 20 % del perímetro de un rectángulo es 8 cm.
¿Cuál es el perímetro?
20 8 cm representa el 20 %.
100
8 : 20 el recíproco de 20 es 100
100
100
20
Luego 8 . 100 = 800 = 40 cm
20
20
Empleemos la fórmula y veremos que:
P = X
P=8
T
T =?
100
X = 20
8 = 20
T
100
T = 8 . 100
20
T = 40cm
Otro ejemplo: Han nacido 600 pollitos. Faltan por nacer el 25 %. ¿Cuántos pollitos
habrá cuando todos nazcan?
P=X
T 100
P = 600
T=?
Nota: Faltan por nacer el 25 %, luego han
nacido el 75 %.
600 = 75
T
100
T = 600 . 100
= 2400 = 800
75
3
T = 800 pollitos.
R/ Faltan por nacer 200 pollitos que representan el 15 %
Conclusión: Como observarás, la fórmula
P=X
T
Se puede emplear en 3 casos, teniendo en cuenta que:
100
P=T.X
100
T = P . 100
X
X = P . 100
T
7- El 60 % de la capacidad de un tanque de petróleo es de 2400 l . ¿Cuál es la capacidad
de dicho tanque?
8-El 40 % de la producción del taller A es de 200 unidades y el 25 % de la producción
del taller B es de 2500 unidades. ¿Cuál de los dos talleres tiene mayor producción?
9- La meta de un machetero es de 8000 arrobas de caña. Si el lunes cortó el 20 % de la
meta y el martes el 12 % ¿Cuántas arrobas le faltan?
10- Tres ciclistas tienen que recorrer una distancia de 80 km, salen juntos, y al cabo de 5
horas, aproximadamente, el primero ha recorrido 60 km y el segundo 48 km y el tercero
32 km. ¿Qué tanto por ciento de la distancia total ha recorrido cada uno de los ciclistas?
Ejercicios propuestos
1- Exprese como fracción
a)- 34 %
b)- 62 %
2- Halle
a)-12 % de 825
b)- 60 % de 9800
3- Halle qué tanto por ciento es:
a)- 20 de 80
b)- 120 de 300
c)- 300 de 800
4- Halle de que número es:
a)- 48 el 16 %
b)- 24,8 el 80 %
5- Determine
a)-60 % de 480
b)-¿Qué tanto por ciento es 256 de 320?
c)- ¿De qué número es 392 el 140 %?
6- Gaste el 12% de lo que tenía en un pantalón. Si tenía 260.00 ¿Cuánto me costó el
pantalón?
Unidad II. El Lenguaje de las variables.
Desde el primer grado has trabajado con ciertas letras que pueden representar la
solución de una ecuación tan sencilla como x+3=8, pues para que te fuera posible
hacerlo, muchos hombres pesaron en esto hace muchos siglos.
Todo comenzó, posiblemente tanto tiempo ha pasado que nadie lo asegura totalmente,
en un pueblo que existió en el Asia menor, cuyos habitantes son conocidos en la historia
como los sumerios .No se pudo conocer de su trabajo sino años antes de nuestro siglo,
pues permanecieron ocultos unas tablillas de barro con toda una colección de ejercicios
resueltos mediante el empleo de variables. Las tablillas se encontraban en las ruinas de
la biblioteca de una antigua ciudad llamada Nénive, cercana de la región que hoy ocupa
Bagdad, la capital de Irak.
Pasaron mil años desde aquellos trabajos de los sumarios. En el siglo III a.n.e surgió un
matemático griego, Diofante de Alejandría, que uso métodos del trabajo con variables
para resolver, maravillosamente, problemas y ejercicios diversos. Desde luego, la
eficiencia de sus ideas respondía a su época. Fueron así dando su aporte matemático de
renombre hasta que finalmente René Descartes, quien en 1619 representa la educación
casi como nosotras en el presente.
En esta unidad nos dedicaremos al trabajo con las ecuaciones.
Epígrafe 2.1. Concepto de Térmico, variable, expresiones algebraicas; ecuaciones y
valor numérico.
Desde grados anteriores utilizan las variables para representar números cualquiera,
además, que una igualdad es una expresión matemática donde dos cantidades
Relacionadas mediante un signo de igualdad tienen el mismo valor
Ejemplo: 2+ 3 = 5.
- Si en la igualdad anterior sustituimos un número de la misma con una variable,
obtendríamos X + 3=5 donde sabemos que
x = 2, por todo lo analizado decimos
que:
Una variable es una letra del alfabeto la cual representa un número cualquiera.
- En la igualdad formada de sustituir X por el numero 2, o sea.
X+3= 5
Aseguramos entonces que obtuvimos una igualdad en la cual aparece una variable y
sabemos que nos encontramos frente a una ecuación.
Por lo que podemos decir que:
Una ecuación es una igualdad donde aparece al menos una variable continuando con
la ecuación X+ 3=5 vamos a fijarnos en las cantidades que la forman:
Ej.: A la izquierda del signo de la igualdad tenemos: X+ 3, en este caso hay dos una
variable y un numero relacionados por la operación de adición, a cada uno de ellos le
vamos a llamar términos.
-Otros términos son también:
3x, 2/5, 4,1, 2b/7, 10,2y, a
Si observamos los mismos podemos llegar a la conclusión de que:
Un término es un número, una variable o cualquiera combinación de estos relacionados
en las operaciones de multiplicar y dividir.
Por ejemplo:
En las siguientes expresiones digan cuales son términos y cuales no.
a) 5,1 a, b) x+4, c) 4d y/2,1, d)6x +3
Respuesta:
a) es un término porque 5,1 esta multiplicando a A
b) x+4 no es un término porque la relación entre ellos es de adición
c)4 es un número por lo que es término a los números que no acompañan una variable le
llamamos términos indiferentes.
d) y/2,1 es un termino es una operación de división
e) 6x-/5 -3 no es un termino ya aparece la sustracción
Elementos de un término:
Los elementos de un término son: el signo, el coeficiente, la parte literal y el exponente
o grado. El signo es el símbolo + (positivo) o -(negativo) que precede al termino. El
coeficiente es el factor numérico que aparece en el término y por lo general se coloca al
principio cuando el coeficiente es 1 no se acostumbra a escribir. La parte literal está
formada por las variables que están en el término.
El grado de un término, puede ser de dos tipos; absolutos y con relación a una variable.
El grado absoluto es la suma de los exponentes de sus variables y con relación a una
variable es el exponente de dicha variable.
Ejemplos:
a) +5 ab² (Es un término positivo; su coeficiente es 5, sus variables son a y b, el grado
absoluto es 1+2=3 y con respecto a la variable a es 1 y a la variable b es 2)
b) – 2 x²y³ (Es un término negativo, su coeficiente es -2,
3
3
Sus variables x, y, y el grado absoluto es 2+3=5 y con respecto a la variable x es 2 y la
variable y es3. )
c) 4 (Es un término positivo de grado “0”, que se le suele llamar en una expresión
algebraica término independiente.)
Se consideran expresiones algebraicas a aquellas representaciones donde los números y
las variables aparecen relacionadas por las operaciones de cálculo que se han de
efectuar.
Ejemplos:
x; 3a ; x+2; 5a(x+4); 8x
y
Las expresiones algebraicas se clasifican en monomios y polinomios, según sean la
cantidad de términos que posea.
Ejemplo:
a)5x;- 3x ²; 7 son monomios
b) a+b; x²-y
son binomios
c) a+b+c; x² +5 x +6 son trinomios
d) x³ +x² + x – 6 es un polinomio
El grado de un polinomio también puede ser absoluto con relación a una variable.
Nota: En cursos superiores profundizaras en el estudio de expresiones algebraicas.
Términos semejantes.
Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal:
Ejemplo:
Son semejantes: 3x y 2 x; 1 b² y 5b²; 8mn² y 6mn².
3
2
No son semejantes: 6a² y 2ª; 1 c²d y 5xy.
Para reducir términos semejantes, se halla la suma algebraica de sus coeficientes y se
plantea la misma parte literal.
Ejemplo:
Reduce términos semejantes:
a)4 a + 5 a = 9 a
b) 3x² + 5 a + 2 x² = 11 x² + 5 a
3
3
c) 25m²+ 9xy – 10m² + xy – 7 = 15m² + 10 xy – 7
Observa que se han sumado algebraicamente los términos semejantes y los que no lo
son se han mantenido en la expresión.
Valor numérico:
Es una expresión algebraica, las variables pueden ser sustituidas por números y efectuar
las operaciones indicadas en dicha expresión, el resultado obtenido es el valor numérico
de la expresión.
Ejercicios resueltos
1.- Calcule el valor numérico de las expresiones siguientes para los valores que se
indican a las variables.
a) 2,5 x
para x = 3
d) 3
para c = 0
e) x + 3y
b) 1 a
2
c) 4,2y
para x = 2
y=5
para x = 10
para y = 1
4
Resolución
a) 2,5 x = 2,5. (3)
= 7,5
sustituyendo x por 3
multiplicando
b) 1a = 1 . (10)
2
2
=5
c) 4,2 y = 4,2. 1
4
= 4,2. 2,5
= 1,05
sustituyendo por 10
simplificando las fracciones comunes y
Multiplicando
En este caso es necesario convertir la
Fracción decimal en común o viceversa
sustituyendo
2- Reduce términos semejantes en:
a) 4 x + x =
b) 3,5b² - 2,3b² =
c) 2 x² + 4 x² + 1 x²
3
d) 5 ab + 4 a – 3 ab =
e) 17p²q + 12q – 8p²q + q – 10 =
c) 2x² + 4x² + 1x² = 6x² + 1x²
3
3
Es conveniente adicionar los coeficientes
y adicionar posteriormente los fraccionarios.
= 19x²
d) 5ab + 4 a -3ab
3
= 5ab – 3ab + 4 a: Podemos
Ordenar colocando primeramente los términos
Semejantes y mantener en la expresión también
los que no lo son: y por último reducir.
= 2ab + 4 a
e) 17p²q + 12q – 8p²q + q - 10
= 9p²q + 13q - 10
Respuesta:
a) 4x + x = 5x En este caso los dos
Términos son semejantes, adicionamos
los coeficientes 4+ 1 = 5 y mantenemos
la variable x.
b) 3,5b² - 2,3b² = 1,2b². Aquí procedemos
Restando los coeficientes y manteniendo la
parte literal.
Queremos convertir la expresión decimal en fracción común, tendríamos
42 . 1 = 21
10 4 20
Si comprobamos dividiendo obtendríamos el mismo valor.
d) 3 = 3 sustituyendo por 0 C
C
0
No existe el valor numérico del término para C = O, pues no se puede dividir por cero.
e) x+3y = 2+3 (5) sustituyendo
= 2 +15 efectuando la multiplicación
= 17.
Adicionando
Ejercicios propuestos 2.1
1) Calcula el valor numérico de los términos siguientes según el valor de la variable.
a) 2a
para a =4
b) 0,3x para x=12
c) 1 b para b= 5
5
3
d) 4 m para m. 1,5
7
e) 2,6 para n= 4
n
f) 5,65 para s= 1
8
Completa la siguiente tabla:
Término
2a
3,6 b
?c
½ d
X
Coeficiente
2
3,6
?
½
Variable
9
?
⅔
2 ½
X
Valor numérico
?
0,144
5/9
?
En la figura ABCD es un rectángulo donde la base del mismo es de 6,4 cm. Sabiendo
que el área del mismo es de 16cm² calcula el lado x.
Respuesta
1)
2)
a) 8
b) 3,6
c) ⅓
d) 6/7
e) 0,65
f) 7/10
18
0,04
5/6 c
5/6
½
3) El lado x es de 2,5 cm.
4) Simplifica tanto como sea posible:
a) x + x +1 x 2 =
b) 4x + x + x –x =
2 3 6
c) x²y + y² + 3x²y + 5y² =
d) 2a² + 1b – 1a² + 3b + a =
3
2
3
4
e) 3,5x² + 2,3y³ - 2x² + 5 – 0,5y³ =
f) m² + 10n - m² + 5n – 3 =
Respuesta
a) 3x + 3
b) 14x
3
c) 4x² + 6y²
d) 1a² + a + 5 b
3
4
e) 1,5x² + 1,8y³ + 5
f) 5n - 3
2.2 Traducción de situaciones de la vida al lenguaje algebraico.
Hay situaciones en que es necesario tener como cimientos de la aplicación de la
matemática para dar solución a situaciones que se nos presentan en la vida. Existen
alternativas en las cuales nos podemos apoyar, una de ellas es utilizando el lenguaje
algebraico.
A continuación les presentamos un ejemplo sesillo al cual usted les dará solución al
concluir esta unidad.
Ejemplo:
En un CSIJ se realizó una comprobación de matemática aun grupo de estudiantes de los
cuales la tercera parte no aprobó, la mitad obtuvo notas 60 y 90 puntos y 2 de ellos de
100 puntos. ¿Cuántos estudiantes tiene el grupo?
Unas de las vías para darle solución a este problema es la utilización de una variable
para representar la cantidad desconocida y las transformaciones que debemos hacer en
ella, esto no es mas que la traducción del lenguaje común al algebraico.
Ejemplo:
Representa en el lenguaje algebraico las siguientes situaciones:
a) Un número desconocido.
b) La mitad de un número.
c) El triplo de un número.
d) Un número aumentado en 5.
e) El duplo de un número disminuido en su tercera parte.
f) El cuadrado de un número.
g) La cantidad de personas graduadas de Bachiller en la educación de adultos el
enero anterior aumentado en la mitad.
Solución:
a) x
b) x.
2
c)3x
d) a+5
e) 2a-a
3
2
f) x
g) x +x
2
Ejercicios resueltos 2.2.
Traduce el lenguaje algebraico las siguientes situaciones.
a) La mitad de los alumnos que pertenecen a la UJC en una escuela.
Primero como no sabemos que cantidad de alumnos de una escuela pertenecen a la UJC
designamos una variable para Expresar en el lenguaje algebraico se su número.
Seria entonces: x
Y la mitad: x
2
Rta: x
2
El triplo de un grupo de estudiantes que presenta trabaja en evento un de Sociedad
Científica a nivel municipal diminuido en 5.
El grupo de los alumnos es: 3a
Y si se disminuye en 5 tendremos: 3 a-5
d) La suma de la Cantidad de horas voluntarias realizadas, en la limpieza del entorno de
la escuela, por el grupo de Bachiller I y las de Bachiller III, que realizo dos horas
menos.
- Designaremos una variable para expresar la cantidad de horas de trabajo voluntario
realizado por el grupo de Bachiller I. x
Y el grupo de Bachiller III trabajo dos horas más que el Bachiller I.
X +2
La suma del trabajo voluntario realizado por ambas. Se representa. X + X +2
Ejercicios propuestas.
1- Designa mediante variables.
a) El antecesor de n, siendo n un número natural.
b) El sucesor de n Siendo n un número natural.
c) La mitad de los alumnos de un aula.
d) La suma de las longitudes de los lados de un cuadrado.
e) La suma de las longitudes de los lados de un triangulo equilátero.
f) Un número por.
g) UN número impar.
h) La suma de la cantidad de estudiantes que se incorporaron al Pedagógico con
tres que estudian en Ciencias Médicas egresados del censo anterior del CSIJ
(2). Expresa en Lenguaje común.
a)
b)
c)
d)
e)
x-1
2n
(a + b)2
3x-11
1a
3
f) 37
2
g) X + 5
10
h) 24-x
i) x + 2x
Respuestas.
Ejercicios 1
a) n-1
b) n +1
c) x
2
d) 4l
e) L+L+L=3L
f) 2x
g) 2x +1
h) x + 3
Ejercicio 2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Un número disminuido en uno.
El duplo de un número.
El producto de la suma de dos número por dos.
El triplo de un número disminuido en once.
La tercera parte de un número.
La mitad del triplo de un número.
La décima parte de un número aumentada en cinco.
La diferencia de restarle a 24 un número.
Un número aumentado en su duplo.
2.3 – Ecuaciones de la forma ax =b, ax +b=c con a, b, c números fraccionarios
(a≠0, c > b)
En esta unidad estudiamos que una ecuación es
↓
Una igualdad en la que aparece al menos una variable y que se
cumple para algunos valores de dichas variables. .
Estudiamos las ecuaciones que tienen una sola variable representadas de la forma ax=b
y ax +b =c donde a, b, c son números fraccionarios con a ≠ 0 y c> b. Estas son
ecuaciones de primer grado o lineales, sencillas.
Ejemplos: 3x = 4, y + 1 = 4
3 15
Si tomamos una ecuación y separamos las expresiones que se relacionan mediante el
signo de igualdad, quedaría una expresión a la izquierda y otra a la derecha, a estas
partes la llamaremos miembro izquierdo y miembro derecho de la ecuación,
respectivamente.
Ej: 3a = 1,5
3a y 1,5 miembros
3a: su posición es a la izquierda según el signo “=”
15: a la derecha
Llamaremos a 3a miembro izquierdo y a 1,5 miembro derecho.
Representado de otra forma
3a = 1,5
↓ ↓
MI MD
Si al sustituir la variable por números encontramos uno que haga que la proposición sea
verdadera entonces decimos que ese número satisface la ecuación y es además la
solución de dicha ecuación.
En: 3a = 1,5
3.1 = 1,5
2
3 = 1,5
2
1,5 = 1,5
Ejemplo:
¿Qué números fraccionarios satisfacen las ecuaciones?
a) 2x = 7
b) 1 x = 5
c) 2x + 1 = 5
d) 9x = 6
2
Solución:
a) x = 7
b) x = 10
c) x = 4
d) x = 2
2
3
Los resultados obtenidos son números fraccionarios Q+.
Ej: ¿Qué números fraccionarios son solución de las ecuaciones siguientes?
a) 0.x = 5 No existe ningún número tal que 0.x = 5
Luego esta ecuación no tiene solución.
b) 5x = 0 Esta ecuación solo se satisface para x = 0
Luego tiene una única solución.
c) 0,5 x = 4
x = 4: 0,5
x=8
Tiene una única solución
d) 0x 0
Tiene infinitas soluciones
Ej: 1 x = 0,5x
2
-Para hallar los números que satisfacen una ecuación es necesario, por lo general,
resolver la ecuación, es decir encontrar sus soluciones.
- El conjunto de todas las soluciones de una ecuación se denomina conjunto solución.
-En el ejemplo anterior al conjunto solución de la ecuación 0,5x = 4 se escribe: S = {8}
y se lee : el conjunto solución es 8 .
En este semestre estudiamos como conjunto solución de las ecuaciones números
fraccionarios (Q+) y recuerda que como los números naturales (IN) son un subconjunto
de los números fraccionarios, también pueden ser solución de las ecuaciones: IN С Q +
.
Ej: Que numero natural es solución de las ecuaciones
a) 1,5 x = 3
x=2
b) 3x = 4-No existe ningún numero natural que multiplicado por 3 de cómo resultado
4.
- La ecuación no tiene solución en el conjunto de los números naturales (IN)
Sin embargo en el conjuntote los números fraccionarios (Q+) tienen una solución que
es
X = 4 como ves el numero de soluciones de una ecuación puede ser diferente si se
3
Consideran dominios distintos. Aquí 4 Є IN.
3
- Procedimiento para la solución de ecuaciones
Resolver una ecuación es determinar el valor de la variable que la satisface .El trabajo
Consiste pues, en despejar la variable, veamos: En el ejemplo
3x = 4
3x = 4
- Como el coeficiente de la variable es 3dividimos por el ambos
3 3
miembros de la ecuación.
- Simplificación.
x=4
3
- La solución es: x = 4 Nota: En la practica la operación del MI no se escribe.
3
Ejemplo
a) 3x +5 = 6
3x = 6 – 5
→ ● Sustraemos 5 en MD.
3x = 1
● Se resuelve la diferencia.
x=1
● El 3 que estaba multiplicando pasa al miembro derecho
x=1
dividiendo.
3
S = {1}
3
- Para comprobar si la solución obtenida esta correcta es necesario realizar la
comprobación en la ecuación original.
Ej: 3x + 5 = 6
MI: 3x + 5
= 3( 1 ) + 5
Sustituyendo el valor de la variable y ejecutando .
3
=1+5
MI = MD
=6
6=6
- Siempre que te sea posible realiza la comprobación y así estarás seguro que las
operaciones realizadas están correctas.
-b) 72 – x = 8
- Es conveniente cuando la variable esta restando en un
72 = 8 + x
miembro pasarla al otro miembro mediante la operación
72 -8 = x
inversa.
64 = x
x = 64
c) 36: x = 6
- Aquí la variable que esta dividiendo pasa al otro miembro
36 = 6 · x
multiplicando.
36 = x
6
6=x
x=6
Ejercicios Resueltos
Resuelve y comprueba.
a) x – 6 = 10
b) z + 1 = 4
c) 8 – a = 6,8 d) 7b = 49
5 5
3
Solución
Comprobación
X – 6 = 10
x – 6 = 10
X = 10 +6
16 – 6 = 10
X = 16
10 = 10
MI = MD
S = {16}
b) z + 1 = 4
Comprobación
5 5
MI: 3 + 1 = 3 + 1 = 4
Solución
5 5
5
5
Z+1=4
5 5
MI = MD
z=4–1
5 5
S = {3}
z=4–1
5
5
z=3
5
c) 8 – a = 6,8
Comprobación
8 = 6,8 + a
MI: 8 – a = 8 – 1,2
8 – 6,8 = a
= 6,8
1,2 = a
MI = MD
8,0
a = 1,2
S = {1,2}
- 6,8
1,2
e) 3x + 2x = 42,5
d) 7b = 49
3
b = 49 : 7
3
b = 49 · 1
3 7
b=7
3
e) 3x + 2x = 42,5
5x = 42,5
x = 42,5 : 5
x = 8,5
Ejercicios Propuestos
Calcula el conjunto solución
1- a) 3x =12
b) 5,1+ x = 6,3
c) 3 x = 0,6
2
d) 1 x = 1
4
e) 2 x = 3
3
5
f) a – 4 = 3
9
g) 3 1 + x = 6
4
h) 3b – b = 8
i) 3x – 4 = 8 – x
Comprobación
MI: 7 · 7 = 49
3 3
MI = MD
S = {7}
3
Comprobación
MI: 3 (8,5 ) + 2 ( 8,5)
= 25,5 + 17,0
= 42,5
MI = MD
S = {8,5}
Respuestas
a) x = 4
b) x = 1,2
c) x = 2
5
d) x = 4
e) x = 3
5
f) x = 31
9
g) x = 11
4
h) x = 4
i) x = 6
2- Escriba el conjunto solución de las ecuaciones teniendo en cuenta el dominio
indicado.
Respuestas
a) 9b = 63 (bЄ Q+)
2
a) S = {7}
b) 4 = 2 ( x Є Q+)
2
x
b) S = {2}
c) 6 = 3 ( x Є IN )
c) S = {2}
x
d) S = {Ø}
d) 0,5 = 1,5 ( x Є IN )
e) S = {8}
x
9
e) 4 : x = 3 ( x Є Q+ )
f) S = {9}
3
2
g) S = {9}
f) 0,26x – 1,3 = 1,04 (x Є IN )
3
g) x + 6 2 = 7 ( x Є Q+)
h) S = {1,45}
3
i) S = {Ø}
j) S = {7}
h) 4b + 2b = 8,7 ( x Є Q+)
i) 2 : x = 3 ( x Є IN )
3
4
j) 0,72 + 0,28 : x ( x Є Q+)
k) 0,54= 0,21: x ( x Є Q+)
l) x = 3 ( x Є Q+)
35 21
m) 3 = 1 ( x Є Q+)
x
2
n) 3 = 5,2 ( x Є Q+ )
x
2,6
18
k) S = {7}
18
l) S = {5}
m) S = {6}
n) S = {1,5}
2.4 Resolución de problemas que conducen a ecuaciones lineales de la forma ax =
b,
ax + b = c con a, b, y c números Q+ y a, b, c ≠ 0 por reflexiones lógicas y
transformaciones equivalentes.
En este epígrafe resolveremos problemas donde aplicaremos contenidos
ya estudiados en la unidad.
Ejemplo # 1
Escribe la ecuación que corresponde a los ejercicios con textos siguientes.
a)- El triplo de un número aumentado en 8 es 23.
¿Cuál es el número?
b)- La mitad de la edad de Jorge disminuida en 3 años es 6 años.
¿Qué edad tiene Jorge?
c)- El cuádruplo del área de un terreno aumentado en un triplo es 96m². Calcula el área
del terreno.
- Cada una de las palabras subrayadas tienen un sentido matemático a la hora de traducir
el lenguaje común al algebraico.
Respuesta
a)- 3x + 8 = 23
Observen que en este ejercicio traducimos el lenguaje común
b)- x – 3 = 6
al algebraico para formar ecuaciones y la variable significa lo
c)- 4x + 2x = 96
que se quiere conocer.
En el inciso a un número, en el b la edad de Jorge y en el c el
área de un terreno.
Ejemplo # 2
Isabel y su hermana Elena tienen juntos 96 sellos. Isabel tiene 5 veces el número de
sellos que tiene Elena. ¿Cuántos sellos tiene cada una?
Sea x el número de sellos que tiene Elena, entonces Isabel tiene 5x.
Podemos formar la ecuación siguiente:
5x + x = 96
Para la comprobación del problema pueden ver que los
6x = 96
números obtenidos satisfacen los requisitos del problema.
x = 96
Isabel tiene cinco veces el número de sellos que tiene Elena
6
5 . 16 = 80 y las dos tienen 96 en total: 80 + 16 = 96.
x = 16
Rta: Isabel tiene 80 sellos y Elena 16.
Para resolver problemas como estos pueden actuar de la forma siguiente:
•
Lee y analiza el problema.
•
Escribes que va a representar la variable y las relaciones que se
forman.
•
Plantea la ecuación.
•
Solucionar la ecuación.
•
Comprueba si la solución satisface los requisitos del problema.
(Puede ser mentalmente)
•
Plantea la respuesta atendiendo a la pregunta formulada.
Podemos decir ahora que estamos en condiciones de resolver el problema del
Epígrafe 2.2.
_ Leemos y analizamos el problema.
_ Según el texto del problema sabemos que tenemos que buscar la cantidad de alumnos
que tiene un grupo.
Luego planteamos.
Para plantear la ecuación analizamos de nuevo el
Texto y nos podemos dar cuenta que si sumamos
Todos esos alumnos nos darán el total que es x.
_ Número de estudiantes
del grupo.x
Luego: la ecuación será:
x+x+2=x
_ Cantidad de estudiantes
3
2
que no aprobaron: x
3
_ Obtuvieron notas entre 60 y 90
puntos: x
2
_ Obtuvieron 100 ptos: 2
Resolvamos la ecuación obtenida mediante reflexiones lógicas.
_ Transformamos la ecuación en:
x+x=x–2
3
2
_ Probando darle valor a la proposición verdadera vemos que tenemos que sustituir la x
por un número que sea divisible por dos y por tres y que además cumpla que la igualdad
sea una proposición verdadera al sustituirla en la ecuación equivalente.
Llegamos a la conclusión de que es el número doce.
_ Para comprobar procedemos de la siguiente forma:
_ Cantidad de estudiantes que no aprobaron:
12 : 3 = 4
_ Cantidad que obtuvieron notas entre 60 y 90.
12 : 2 = 6
_ Sumando: 4 + 6 + 2 = 12
_ Respuesta: El grupo tiene 12 estudiantes.
Ejemplo:
La suma de tres números naturales consecutivos es 36. ¿Cuáles son los números?
Respuesta:
Un primer número es: x
Formamos la ecuación
El segundo número: x + 1
El tercer número: x + 2
En esta ocasión aplicaremos transformaciones equivalentes.
X + x + 1 + x +2 = 36
3x + 3 = 36
- Reduciendo términos semejantes.
- Resolviendo la ecuación.
3x = 36 – 3
3x = 33
x = 33
3
x = 11
•
Para comprobar procedemos según las condiciones del problema:
•
El primer número: x = 11
•
El segundo número: 11 + 1 = 12
•
El tercer número: 11 + 2 = 13
•
La suma de los tres: 11 + 12 + 13 = 36
•
Respuesta: Los tres números naturales consecutivos cuya suma es de 36 son: 11,
12, y 13.
Ejercicios resueltos:
1.- Jorge es un joven que terminó el grado de bachiller en un CSIJ. Cuando tenía 16
años terminó de estudiar en la Secundaria Básica y ahora tiene 28 años. ¿Qué tiempo
estuvo Jorge desvinculado de los estudios si ahora tiene 28 años?
2.- Un rectángulo tiene, 2cm más de base que de altura y su perímetro es de 24 cm.
¿Qué dimensiones tienen la base y la altura del rectángulo?
Respuestas
1.- Luego de leer y analizar el problema vemos que lo que se quiere saber es el tiempo
de desvinculado que tiene Jorge.
Planteamos entonces:
Planteamos la ecuación
_ Tiempo de desvinculado: x
x + 3 + 16 = 28
_Tiempo que lleva estudiando en el CSIJ:
x + 19 = 28
3años y la edad que tenía cuando terminó la secundaria 16
x = 28 – 19
x=9
Para comprobar podemos decir que la edad de Jorge cuando terminó la secundaria es de
16 años más los 3 años que se mantuvo en el CSIJ = 19.
19 + 9 de desvinculado es 28.
Rta: Jorge estuvo desvinculado 9 años.
2- Es conveniente siempre que se resuelvan problemas con figuras geométricas hacer un
esbozo de la figura, la llamaremos figura de análisis.
Según la fórmula del perímetro de un
rectángulo 2b + 2h = P
x
altura (h)
Sustituimos los valores que nos dan el
texto del problema.
base (b)
x+ 2
2. (x + 2) + 2x = 24
2x + 4 + 2x = 24 . Resolvemos la
2x + 2x = 24 - 4
4x = 20
x = 20: 4
x=5
Analizamos si el valor obtenido satisface el texto del problema.
base: 5 + 2 = 7 . 2 = 14
altura: 5 . 2 = 10
14 + 10 = 24
Rta: La base del rectángulo mide 7 cm y la altura 5 cm.
ecuación
Ejercicios propuestos.
1- Alberto y su hermano Luis tienen ahorrado $ 351. Alberto a reunido 1 de la
2
cantidad de dinero ahorrado por Luis. ¿Cuanto dinero ha podido ahorrar cada uno?
2- Vania compró un par de zapatos y un búcaro, por ambas cosas pagó un total de
$ 27, 20. Si por los zapatos pago el triplo que por el búcaro. ¿Cuanto costaron los
zapatos y cuanto el búcaro?
3- La suma de las distancias recorridas por dos autos es de 324 Km. Uno de ellos
después de haber recorrido una determinada distancia no pudo continuar por
desperfectos técnicos y el otro pudo recorrer el duplo de la distancia alcanzada por
el primero. ¿Cuantos Km recorrió cada uno?
4- Un camión de acopio transporta lechugas y coles, en total 102 cajas. Hay 12 cajas
más de lechuga que de col. ¿Cuántas cajas de lechuga y cuántas de col transporta el
camión?
5- Felipe y Beatriz realizaron entre los dos un total de 219 h de trabajo voluntario.
Beatriz realizó la mitad de la cantidad de horas acumuladas por Felipe. ¿Cuántas
horas acumuló cada uno?
6- Calcula los ángulos que se indican en las figuras.
a)
b)
C
Q
M
R
42º 2x
108º
_____3x___2x___________
A
D
B
4x
P
7- Si dos ángulos
y β.
y β son adyacentes y
es el triplo de β.Calcula los valores de
8- Sean <1 y <2 dos ángulos adyacentes tales que <1 = 3x + 8º y <2 = 2x – 13º. Calcula
el valor de x y las amplitudes de <y y <2.
9- El duplo de las horas transcurridas en un día es igual al cuádruplo de las que quedan
por transcurrir. ¿Qué hora es en ese momento?
Respuestas:
1- Alberto $ 117, Luis $ 234
2- Búcaro $ 6,80, zapatos $ 20,40
3- 108 Km y 218 Km
4- lechuga 57, col 45
5- Beatriz 73, Felipe 146
6- a) < BOC = 72º, < AOB = 108º, b) < QOR = 70º, < MOP = 140º
= 135º, β = 45º
7-
8- <1 = 119º, <2 = 61º
9- Son las 4:00 pm
Ejercicios del epígrafe
1- Determina el valor de los términos siguientes para los valores dados.
Respuestas: Ejercicio 1.
a) 8a
para a = 2,5
b) 2,6b para b = 0,05
c) b
=
a) 20
b) 0,13
b = 10
c) 2,56
x = 1,6
d) 0,46
x=31
e) 2
3,9
d) 2 x
7
e) 1
3_
2
21
x
f) 6,5
a = 0,05
f) 130
a
2- Resuelve y determina el conjunto solución.
Respuesta: Ejercicio 2.
a) x – 1,3 = 2,7
a) x = 4
b) 2,7 + a = 18
b) a = 15,3
c) 1,5 – z = 1,2
c) z = 0,3
d) 4,2 = 1,2 – x
d) ―
e) 4,6 = c – 9,9
e) c = 14,5
f) 27 + b = 42
f) b = 28,5
2
g) 4x – 3 = 9
g) x = 3
h) 7x + 6 = 20
h) x = 2
i) 3x + 0,6 = 2,4
i) x = 0,6
j) 6a + 1,2 = 2,4
j) a = 0,6
k) 1 y + 3 = 1
k) ―
2
4
5
l) 3,4 – 6 = 0,8
l) x = 1
x
2
m) 5a + 7 = 22
m) a = 3
n) 4z – 2,1 = 5,1
n) z = 1,8
ñ) 15,2 = 6,8 + 3b
ñ) b = 2,8
o) 3,2y + 6,6 = 9,4
o) y = 7 = 0,875
p) 3 b – 1 = 2
8
10
5
q) 3 = 1 a
7
p) = 4
3
2
q) a = 6
r) 6x – 2,9 = 4,9
s) 0,12 = 0,3
x
7
r) x = 1,3
s) x = 0,4
t) 2 u + 4 = 3
3
8
15
5
t) u = 1,2
Calcula las longitudes de los lados de un terreno en forma de triángulo equilátero si su
perímetro es de 623 m. ¿Cuánto mide cada lado?
6) La primera vez que Naciones Unidas se votó en contra del bloque a Cuba en 1992
Cuba obtuvo una cantidad de votos a su favor.
Este año (2005) Cuba obtuvo 182 votos a favor de los 186 países que votaron. Si
comparamos la cantidad de votos contra el bloqueo en 1992 y los de este año vemos que
el triplo de los de 1992 aumentado en cinco significaron los votos del 2005.¿Cuántos
países en 1992 votaron en contra del bloqueo?¿Cuántos países se sumaron en estos años
a la lucha del pueblo cubano en contra del bloqueo?¿Qué por ciento significa el triunfo
del año 2005 en cuanto a la cantidad de países que votaron en contra del bloqueo?
4) El joven ajedrecista Yuminiesky Quesada es el más reciente Gran maestro cubano
que Cuba ha graduado en este deporte, sin contar a Capablanca que lo recibió
postmortem.
Hasta el año 1988 había graduado las 2 partes del total y posteriormente graduó a nueve
más.
3
¿Cuántos Gran maestros ha graduado Cuba?
5) Héctor Despaine Guillén es el cubano que en América Latina ha vivido con un
corazón trasplantado más tiempo. El triplo de la edad de Héctor cuando fue operado
aumentado en uno va a ser igual a 46 años que es la edad que tendrá el donante en este
momento. Si la edad que tiene Héctor ahora es 35 años.¿Qué edad tendrá el donante
cuando murió?
Respuestas:
3- 211m
4- 15 Gran Maestro
5- Edad que tenía cuando fue operado 15 años.
El donante tenía cuando murió 26 años.
6- Votaron en contra del bloqueo en 1992 59 países.
En estos años se sumaron 123 países a la lucha del pueblo cubano.
El 97,8 % votaron en contra del bloqueo.
Unidad III " Figuras Planas ″
La geometría emplea como conceptos primarios: el punto, la recta y el plano.
El punto geométrico:
Si tomamos un lápiz y hacemos una marca en el papel se puede observar que la huella
dejada es aproximadamente un punto geométrico.
El punto (Fig.3.1.1) se considera pues como un elemento de una recta o de un plano, no
tiene dimensiones, solo tiene posición. Los puntos se denotan por letras mayúsculas y se
representan por una marca muy pequeña o por una cruz.
A
C
x
.
Fig: 3.1.1
La recta (Fig: 3.1.2) es un conjunto infinito de puntos que se encuentran en línea recta o
que tienen una misma dirección. Si observamos uno de los cables del tendido eléctrico,
tenso y cada vez más largo, podríamos concebir la idea de una recta geométrica.
Las rectas se denotan con una letra minúscula o con dos letras mayúsculas que indican
dos puntos diferentes de ella.(Fig: 3.1.2)
r
recta r
recta AB
B .
A .
Fig: (3.1.2)
Por su dirección o posición las rectas pueden ser horizontales, verticales u oblicuas.
(Fig: 3.1.3)
m
a
b
Fig: (3.1.3)
Por dos puntas pasa una recta y solo una. (Fig:3.1.2)
Por un punto pasan infinitas rectas. (Fig: 3.1.4)
m
t
.
s
A
r
Relaciones entre puntos y rectas.
En la figura 3.1.5
a) Se observa una recta r y un punto P que pertenece a la recta, se dice entonces
que el punto P está situado en la recta r o que la recta r pasa por el punto P.
r
xQ
P .
m
(a)
(b)
En la figura 3.1.5b) tenemos una recta m y un punto Q que no pertenece a la
recta m, se dice entonces que el punto Q no está situado en la recta m o que la
recta m no pasa por Q.
Relaciones de posición entre rectas.
Cuando dos rectas diferentes tienen un punto en común como máximo, entonces
decimos que las rectas se cortan.(Fig: 3.1.6 a)
s
r
s
n
m
P
r
(a)
(b)
(c)
Fig: 3.1.6
Si dos rectas tienen dos o más puntos comunes, se dice que dichas rectas coinciden. Se
trata entonces de la misma recta denotada en forma diferente. (Fig: 3.1.6 b).
Cuando dos rectas en un plano no tienen puntos comunes, decimos que las rectas son
paralelas entre sí. O sea dos rectas son paralelas si tienen iguales direcciones.9Fig: 3.1.6
c).
Semirrecta o rayo:
Todo punto P situado en una recta r descompone a esta en dos conjuntos de puntos. Al
conjunto de todos los puntos de una recta que están situados a un mismo lado de un
punto P se llama rayo o semirrecta. En la figura 3.1.7 el punto P es el origen de las
semirrectas PA y PB.
r
.
B
.
P
.
A
Fig: 3.1.7
El plano
Con seguridad usted ha presenciado alguna vez un juego de baloncesto. Imagínese la
superficie del tabloncillo cada vez más larga, más ancha y sin espesar y tendrá así una
idea aproximada del plano geométrico.
Un plano se considera entonces como una superficie plana de dos dimensiones: largo y
ancho. Para representar el plano en el papel se traza un cuadrilátero en forma de
paralelogramo y se denota por una letra griega en el margen inferior. (Fig: 3.1.8)
Fig: 3.1.8
El estudio de los planos será tratado en cursos posteriores en otra rama de la geometría;
la geometría del espacio.
El segmento
Al conjunto de puntos de una recta que se encuentren entre dos puntos diferentes P y Q,
incluyendo a ambos puntos se le llama segmento. Los puntos P y Q son los extremos
del segmento.(Fig: 3.1.9).
r
.
Q
Segmento
.
P
Fig: 3.1.9
Si dos segmentos tienen igual longitud son iguales.
PQ
Entre los puntos de un segmento PQ siempre habrá un punto M tal que: PM = MQ. Se
dice entonces que M es el punto medio de PQ. (Fig: 3.1.10 a)
.
.
M
.
P
Q
¬
(a)
A
B
Fig: 3.1.10
M
M punto medio de
M
AB
A la recta que pasa perpendicularmente al punto medio de un segmento se llama
mediatriz del segmento. (Fig: 3.1.10 b).
Todo conjunto de puntos de un plano recibe el nombre de figura geométrica. Estos
conjuntos suelen aparecer en forma de líneas y superficies y en la mayoría de los casos
unidas por segmentos.(Fig: 3.1.11).
T
r
R
A
(a)
B
(b)
(c)
S
(d)
Continuamos nuestro estudio de figuras geométricas planas formadas por puntos,
semirrectas, y segmentos.
Llamamos ángulo al conjunto de puntos que constituyen una región comprendida entre
dos semirrectas que tienen un origen común. En la figura 3.1.12 aparece el
ABC.
C
Fig: 3.1.12
B
A
A las semirrectas BA y BC se les llama lado inicial y lado terminal del < ABC,
respectivamente.
Los ángulos se pueden denotar por: tres letras mayúsculas, una sola letra mayúscula, un
número o por una letra griega minúscula.
De un ángulo no nos interesa la longitud de sus lados, sino su amplitud.
Los ángulos se pueden medir mediante diferentes sistemas de medidas; El circular y el
sexagesimal, entre otros. El sistema circular está relacionado con la longitud del arco
que le corresponde a cada ángulo ubicado en una circunferencia, tal como la describe un
ángulo completo, este sistema será tratado en cursos posteriores.
En el sistema sexagesimal se emplean los múltiplos y submúltiplos de 360°.
Los ángulos según su amplitud, se clasifican en: Nulos, Agudos, Rectos, obtuso, Llanos
y completo.
Se consideran como ángulos nulos al que tiene una amplitud de 0° (Fig: 3.1.13 a).
Se concibe que el ángulo nulo sea siempre el lado inicial de todo ángulo. Los ángulos
agudos miden menos de 90° (Fig: 3.1.13 b), las rectas 90° (Fig: 3.1.13 c), los obtusos
tienen una amplitud entre 90° y 180° (Fig: 3.1.13 d). Un ángulo llano mide 180° (Fig:
3.1.13 e).
Un ángulo completo mide 360° y describe una circunferencia (Fig: 3.1.14)
90°
90°
90°
0°
0°
0°
180°
0°
(a)
(b)
180°
0°
(c)
(d)
Fig:3.1.13
(e)
0°
360°
Fig: 3.1.14
Si dos ángulos tienen amplitudes iguales son iguales.
Todo ángulo puede ser dividido en dos ángulos iguales entre sí por una semirrecta. Esta
semirrecta se llama bisectriz. (Fig: 3.1.15 a)
Q
AP=AQ
Q
< AOP = < AOQ
A
A
O
0
P
Fig: 3.1.15
P
La bisectriz de un ángulo cumple las siguientes propiedades:
Tiene el mismo origen que el ángulo.
Es interior al ángulo.
Divide al ángulo en otros dos ángulos iguales.
Todo punto situado en la bisectriz está a la misma distancia de los lados del
Ángulo ( Fig: 3.1.15 b)
El triángulo
Llamamos triángulo a la figura que se forma al tomar tres puntos del plano, que no
estén colocados en línea recta, y se unan mediante segmentos.(Fig: 3.1.12)
También se le llama triángulo al polígono (cerrado) de tres lados.
C
A, B y C: vértices.
AB; BC y AC: lados, también: a,b y c.
<, β y ángulos interiores.
b
a
<
A
c
B Fig: (3.1.16)
β
En la figura 3.1.16 se ilustrarán los elementos fundamentales de los triángulos: Además
de estos los triángulos tienen otros elementos que son importantes en los ejercicios de
cálculo y demostraciones.
En todo triángulo la suma de las amplitudes de sus ángulos
interiores es 180°.
Ejemplo:
Sean
ángulo.
= 57° y β= 75°, ángulos interiores del triángulo ABC, Calcule el tercer
Respuesta:
Podemos dibujar una figura de análisis:
Fig: ( 3.1.17)
+ β + = 180º Por suma de ángulos interiores.
57º + 75º + = 180º Sustituyendo según datos.
132 + = 180º Adicionando
= 180º - 132º Despejando
= 48º
Al estudio de los triángulos dedicaremos más tiempo en este tabloide.
El cuadrilátero
Si seleccionamos cuatro puntos A, B, C y D de un plano, de los cuales no haya tres en
una misma recta, y los mismos mediante segmentos, se forma un cuadrilátero. ( Fig:
3.1.18).
C
D
D
A
B
B
A
C
Fig: 3.1.18
A los puntos: A, B, C y D le llamaremos vértices del cuadrilátero. Los segmentos que
unen dos vértices consecutivos de un cuadrilátero se llaman lados, en la figura 3.1.18,
AB, BC, CD y AD son lados. A los lados que tienen un vértice común se les llama
consecutivos, estos también forman ángulos interiores de un cuadrilátero. A los lados
que no tienen ningún vértice común, se denominan lados opuestos.
Los segmentos que unen dos vértices no consecutivos de un cuadrilátero se llaman:
diagonales (Fig: 3.1.19)
D
C
AC y BD diagonales
A
B
Fig: 3.1.19
Un cuadrilátero, en el que sus diagonales se corten en un punto interior a dicho
cuadrilátero se llama: cuadrilátero convexo Fig: 3.1.19. Otra forma de verificar si un
cuadrilátero es convexo es trazando una recta por uno cualquiera de sus lados y observar
si toda la figura quedó a un solo lado de dicha recta. (Fig: 3.1.20)
C
D
B
A
Fig: 3.1.20
Si un cuadrilátero no cumple con las condiciones anteriores entonces se dice que es
un cuadrilátero no convexo o cóncavo. ( Fig: 3.1.18 b)
Dedicaremos nuestro estudio a los cuadriláteros convexos.
AL igual que a los triángulos, dedicaremos también otros epígrafes para estudiar los
cuadriláteros y sus propiedades
Se llama circunferencia al conjunto de todos los puntos del plano situados a la misma
distancia de un punto fijo de dicho plano.( Fig.: 3.1.21).
Notación: C(O; r)
Se lee: circunferencia de centro O y radio r.
El punto fijo se le llama centro (O)
y la distancia en el centro y los
puntos de la circunferencia se
denomina: radio (r)
En la circunferencia encontramos otros elementos importantes como son: cuerda;
diámetro arco.
La cuerda es el segmento que tiene sus extremos situados en la circunferencia
(Fig.:3;1;22).El diámetro es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y un
arco es la línea curva que se forma entre dos puntos de la circunferencia.
: Cuerda.
: Diámetro.
: Arco.
Los puntos que se encuentran a una distancia del centro de una circunferencia menor
que el radio se llama puntos interiores y los puntos que se encuentran a una distancia del
centro que sea mayor que el radio son puntos exteriores a la circunferencia (fig:3(23).
= r; A es un punto situado en la circunferencia.
< r; M es un punto interior a la circunferencia.
> r; P es un punto interior a la circunferencia.
Se llama circulo al conjunto formado por todos los puntos que están situados en la
circunferencia y sus puntos interiores (fig: 3.1 , 24).
Existen varias relaciones entre una circunferencia y una recta :
El análisis de estas relaciones esta dado por los puntos comunes que pueden tener la
circunferencia y las rectas .
1-) Si la recta y la circunferencia no tienen puntos comunes se dice entonces que la recta
es exterior a la circunferencia . ( Fig : 3.1.25 ) . En este caso la distancia del centro
de la circunferencia a la recta es mayor que el radio .
d
D>R
E : recta exterior
A
OO
E
O
R
Fig : 3,1,25
2-) Si la recta i la circunferencia tienen un punto común se dice que la recta es
tangente a la circunferencia . Al punto común se le llama punto de tangencia . ( Fig
3,3,26 ) . En este caso la distancia del centro de la circunferencia a la recta es igual al
radio .
r
P
T
O
Fig. : 3.1.26
La recta tangente de una circunferencia es perpendicular al radio que tiene como
extremo el punto de tangencia.
3-) Si la circunferencia y la recta tienen dos puntos comunes entonces la recta es
secante a la circunferencia . Aquí la distancia entre el centro de la circunferencia y la
recta es menor que el radio. (Fig: 3.1.27).
d
C
D
o
S
r
Fig.: 3.1.27
Ejercicios propuestos:
1:) ¿Que amplitud tendrá cada ángulo que forma la bisectriz de uno cuya amplitud es
50°?
Respuesta:
Construimos una figura de análisis (Fig. 3.1.28).
AOB = 50°,
bisectriz del
AOB.
BOC =
AOB Por ser
bisectriz del
AOB. Que lo divide en
2
dos ángulos iguales.
AOB = 50 = 25°
sustituyendo y calculando.
2
2
Ahora:
AOC =
BOC = 25°.
AOC =
) (Fig. 3.1.29.). Di cuales de los segmentos que
2.) En la circunferencia C(O;
aparecen en ella son: radios, diámetro y cuerdas.
Respuesta:
Son radios:
Son diámetros:
Son cuerdas:
Ejercicios propuestos.
1.) En la figura 3. 1. 30, se tiene un triangulo ABC, en el cual D es punto medio del
segmento
con
y
es bisectriz del
ACB. Calcule la Amplitud
del ángulo
CAD si el
ACB = 84°. Clasifique dicho ángulo.
2.) ¿Cuál es la mayor longitud que puede tener una cuerda de una circunferencia de
3,2 cm de radio? Fundamenta tu respuesta.
3.) Si dos rectas cuales quiera se cortan en un punto, ¿Cuántos ángulos se pueden
formar?
Respuestas a los ejercicios propuestos.
ACB = 84° por datos.
1.)
ACD =
BOC =
ACB por ser
bisectriz del
ACB.
2
ACB = 84° = 42° Calculando.
2
5
ACD =
BCD = 42°
CDA = 90° por ser
.
Ahora:
En el ACD se tiene que:
CAD +
ACD +
CDA = 180° Por suma de ángulos interiores.
CAD + 42° + 90° = 180°
Sustituyendo.
CAD = 48°
Despejando y calculando.
CAD es agudo.
2.) La mayor cuerda de una circunferencia es su diámetro, que es el doble del radio,
luego D = 2R, se tiene entonces que D = 2(3,2) D = 6,4cm.
3.) Se forman 4 ángulos.
3.2 Ángulos
En el epígrafe anterior tratamos el concepto de ángulo, su clasificación según su
amplitud y las propiedades de su bisectriz.
En este epígrafe continuaremos profundizando en su estudio.
Ángulos entre rectas que se cortan.
Cuando dos rectas se cortan en un punto se forman pares de ángulos opuestos por el
vértice. (Fig: 3,2.1.a) y otros ángulos adyacentes. (Fig: 3.2.1 b)
a'
Los ángulos opuestos por el vértice:
. Tienen el vértice común
. Cada lado de uno forma una recta con
uno de los lados del otro.
b
β
o
a
b'
(a)
b
Los ángulos adyacentes:
. Tienen un lado común
. Y los otros dos lados forman una recta.
a'_______β_______________ a
(b)
Fig: 3.2.1
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
Ejemplo:
En la figura las rectas r y s se cortan en o. (Fig: 3.2.2)
< 1 = 62º, Calcule las amplitudes de los ángulos 2 y 3
s
2
3
1
o
r
Fig: 3.2.2
Respuesta:
<1 = <3
(Por ser ángulos opuestos por el vértice)
<3 = 62º
<1 + <2 = 180º (Por ser ángulos adyacentes)
62º+ <2 = 180º (Despejando y calculando)
<2 = 180º
Ángulos entre rectas paralelas cortadas por una tercera recta.
Si una recta s (secante) corta a dos rectas paralelas a y b entonces se forman pares de
ángulos, que pueden ser correspondientes, alternos y conjugados.
Ángulos correspondientes:
Dos ángulos formados entre dos rectas cortadas por una secante se denominan ángulos
correspondientes si poseen las siguientes propiedades:
1-) Tienen vértices diferentes
2-) Los lados situados en la recta
secante tienen igual orientación.
3-) Los lados situados en las rectas
están a un mismo lado con respecto
a la recta secante. (Fig: 3.2.2)
a║ b
____________1_______ b
s secante
<1 y <2 (correspondientes)
_________2__________ a
s
Fig: 3.2.2
Dos ángulos correspondientes entre paralelas son iguales
Ejemplo:
En la siguiente figura 3.2.4 r║t, s secante, <1 = 39º
s
Calcular las amplitudes de los ángulos 2, 3 y 4.
___________1_______ t
2 3
________4__________ r
Fig: 3.2.4
Respuesta:
<1 = <2 (Por ser opuestos por el vértice)
<2 = 39º
<1 + <3 = 180º (Por ser adyacentes)
39º+ <3 = 180º (Despejando y calculando)
<3 = 180º - 39º
<3 = 141º
<1 = <4 (Por ser correspondientes entre paralelas)
<4 = 39º
Ángulos alternos
Dos ángulos formados entre dos rectas cortadas por una secante se denomina ángulos
alternos, si poceen las propiedades siguientes:
s
1) Tienen vértices diferentes.
a║b
2) Los lados situados en la recta secante
___________
β____ a s, secante
tienen orientaciones opuestas.
(
y β;
3) Los lados situados en las rectas cortadas
y
estan en lados diferentes con respecto a la
__________________ b son alternos)
secante. Fig: 3.2.5
Fig: 3.2.5
Los ángulos alternos entre paralelas son iguales.
Ejemplo:
P
A
N
B
C
87º
M
D
Fig: 3.2.6
En la figura 3.2.6 AB║CD, MP secante, <CMN = 87º
Calcule las amplitudes de los ángulos <ANP y <MNB
Respuesta:
<ANP = <ANP = 87º (Por ser ángulos correspondientes
entre paralelas).
<CMN = <MNB = 87º (Por ser ángulos alternos entre
paralelas).
Ángulos conjugados
Dos ángulos formados entre dos rectas cortadas por una secante se denominan
conjugados si poseen las propiedades siguientes.
s
1-) Tienen vértices diferentes.
2-) Los lados situados en la recta
a║b
secante tienen orientaciones opuestas.
_____________β_______ a s, secante
3-) Los lados situados en las rectas
cortadas estan a un mismo lado con
respecto a la secante. (Fig: 3.2.7)
______________________ b
Fig: 3.2.7
Dos ángulos conjugados entre paralelas suman 180º.
Ejemplo:
En la figura 3.2.8, r║t, s secante, <1 = 128º
Calcule el <2.
r
t
128º
___1_________2_____ s
A
B
<1 + <2 = 180º por ser conjugados entre paralelas
128º + <2 = 180º sustituyendo
<2 = 180º - 128º despejando y calculando
<2 = 52º
Fig: 3.2.8
Ángulos en la circunferencia.
Ángulo central
Al ángulo que tiene su vértice en el centro de una circunferencia se le llama ángulo
central. (Fig: 3.2.9)
A
oO
B
Fig: 3.2.9
C( O;OA )
; ángulo central
AB arco correspondiente.
En una misma circunferencia, o en circunferencias iguales, a ángulos centrales iguales
corresponden arcos iguales y viceversa.
En una misma circunferencia, o en circunferencias iguales, a ángulos centrales o arcos
iguales corresponden cuerdas iguales y viceversa.
Fig: 3.2.10
A
O
C(O; AB)
; ángulo central
AB arco
AB cuerda
B
Fig: 3.2.10
Ángulo inscrito
Un ángulo cuyo vértice es un punto de una circunferencia y cuyos lados la cortan en
otros dos puntos se denomina ángulo inscrito en la circunferencia. (Fig: 3.2.11)
Ga
xO
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la
mitad de la amplitud de su arco o de su ángulo central
correspondiente. Fig :( 3.2. 12 a).
Los ángulos inscritos en una circunferencia a las cuales les corresponde
el mismo arco son iguales. Fig :( 3. 2. 12.)
AMB =
AOB
ADB =
ACB.
2
ACB = 90°
diámetro.
Un ángulo inscrito sobre un arca de semicircunferencia es
recto. Fig:( 3.2. 12) Teorema de tales.
Angulo seminscrito.
Un ángulo que su vértice en la cincurferencia, es una cuerda de la circunferencia y el
otro es tangente a la circunferencia es un ángulo seminscrito en la circunferencia.
Fig.: 3. 2. 13
C(o; r)
BAC seminscrita.
Un ángulo inscrito y otro seminscrito a las cuales les corresponde el mismo arco son
iguales.
Ej: En la circunferencia, figura 3. 2. 14, ángulo ACB inscrito y < AOB central, ambos
sobre el mismo arco AB, si < ACB = 46, calcule < AOB.
AOB =2ACB
(Por la relación entre el ángulo
central e inscritas sobre el mismo
arco).
AOB =2.46° Sustituyendo y calculando.
AOB =92°
Ejercicios resueltos:
Fig. 3.2.15
Respuesta:
< 1+ < 2 = 180 (por ser conjugados entre paralelas AB CD, BC secante)
< 2= 180 - 38
< 2= 142
< ABC = < 2
(por ser opuestas por el vértice)
< ABC = 142
< ABD = <ABC (por ser BD bisectriz del < ABC).
2
< ABD = 71
(por ser correspondientes entre AB CD, BDsecante)
< 3 = < 71
< 3 + < 4 = 180
71+< 4 = 180
< 4 = 109
(por ser adyacentes).
(despejando y calentando)
2- En la figura 3. 2. 16. Se tiene la C(O, OA), A, B, C y D puntos de la circunferencia,
< ADB =32
Calcule las amplitudes de:
< AOB, < ACB y < EAB
Respuestas:
< ADB = 32
(dato)
< AOB = 2 < ADB (por relación del ángulo inscritas sobre el mismo arco)
< AOB = 2. 32
< AOB =64
< ACB = < ADB
(por ser ambos ángulos inscritos sobre el mismo arco)
< ACB = < ADB = 32
< EAB = < ADB = 32 (por ser ángulos inscritos y seminscritos sobre el mismo arco).
Ejercicios propuestos:
1.) En la figura 3.2.17 se tiene que a | | b, c secante.
Plantee parejas de ángulos: opuestos por el vértice, correspondiente, alternos y
conjugados.
2.) En la figura las rectas MN, PQ y RS, se cortan en O. (Fig. 3.2.18)
MOR = 55° y
PON = 70°
Halla la amplitud de:
NOS;
MOQ y
MOP.
3.) Se conoce que DE | | FG y AB y AC se cortan en A. (Fig.3.2.20)
ADE = 78°
FGC = 96°
Calcula
FDE,
DFG;
AED y
AEH.
4.) En la figura 3.2.21 las rectas AD y BE se cortan en M, MC bisectriz del
AMB,
AMC = 34°, Calcule las amplitudes de los ángulos 1,2 y 3.
5.) En la figura 3.2.22,
y
es diámetro,
EOC = 80°. Calcula:
cuerda,
EOD,
EDC es un ángulo central,
DOC,
Respuestas a los ejercicios propuestos.
1.) Opuesto por el vértice:
1y
3;
2y
4;
6y
8;
Correspondientes:
1y
5;
4y
8;
2y
6;
3y
Alternos:
1y
7;
2y
8;
3y
5;
4y
6.
Conjugados:
1y
8;
4y
5¸ 2 y
7;
3y
6.
.
5y
7.
7.
NOS =55°;
MOQ = 70°;
MOP = 110.
2.)
3.)
FDE = 102°;
DFG = 78°;
AED = 84°;
AEH = 96°.
4.)
1 = 34°;
2 = 68° y
3 = 112°.
5.) Sugerencia: Tenga en cuenta que el radio de una circunferencia corta a una
cuerda de esta perpendicularmente en su punto medio.
EOD = 40°;
DOC = 40°;
= 40° y
= 140°.
3.4 Cuadriláteros
En el epígrafe 3.1 tratamos el concepto de cuadrilátero y sus
elementos; lodos consecutivos, opuestos, diagonales, etc.
.
Los cuadriláteros convexos se clasifican según la
posición relativa de sus lados y ángulos.
El trapezoide es cuadrilátero que no tiene ningún
lado paralelo a otro. Fig.3, 4.2 a).
El trapecio es el cuadrilátero que tiene un par de
lados opuestos paralelos. Fig. 3,4.2 b).
El paralelogramo es el cuadrilátero que tiene sus
lados opuestos paralelos y de igual longitud. (Fig.
3,4.2c).
El rectángulo es el paralelogramo que tiene sus
cuatro ángulos iguales a 90º o rectos. (Fig. 3,4.2d).
El rombo es el paralelogramo con sus cuatro lados
iguales. (Fig. 3,4.2e).
El cuadrado es el paralelogramo que tiene sus cuatro
lados iguales y rectos sus cuatro ángulos interiores.
(Fig. 3,4.2f).
Los trapecios se subdividen en: trapecio isósceles
(Fig.:3,4.5 a) y trapecio rectángulo ((Fig.:3,4.5 b).
Fig. 3, 4.5
Los paralelogramos se clasifican en: rectángulo,
rombo y cuadrado (Fig. 3,4.6)
Las propiedades de los paralelogramos aparecen en la siguiente
tabla. El punto indica que la propiedad se cumple. (Fig. 3.4.7).
Propiedad
Figura Paralelogramo
Rectángulo
Rombos
Cuadrado
Los lados opuestos son
iguales.
Los ángulos opuestos son
iguales.
Las diagonales se cortan
en su punto medio.
Las diagonales son
iguales.
Las diagonales son
perpendiculares.
Las diagonales son
bisectrices de los ángulos
de donde parten.
Los ángulos consecutivos
suman 180º.
Fig. 3.4.7
Ejercicios resueltos.
1.) Sea un cuadrilátero ABCD del cual conocemos que,
ABC = 78º, BCD =96º y BAD =120º. Calcule la
amplitud del cuarto ángulo. (Fig. 3.4.8)
2.) Conociendo que MNPQ es un trapecio con bases MN y PQ
paralelas, Fig. 3.4.9; QMN = 85º
¿Cual será la amplitud del MQP?
Respuestas
1.) BAD +
ángulos
ABC +
BCD +
ADC = 360º (por suma de
interiores de un
cuadrilátero.
120º + 78º + 96º + ADC = 360º sustituyendo.
294º +
ADC = 360º
ADC = 360º-294º Despejado y
calculando.
2.)
MQP +
QMN = 180º (por ser ángulos conjugados entre
paralelos MN || PQ y MQ secante.
MQP + 85º = 180º
sustituyendo.
MQP = 180º - 85º despejando y calculando.
Ejercicios propuestos.
1.) Di si la siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
Justifica las falsas.
a) El paralelogramo que tiene todos sus ángulos de igual amplitud
es un rectángulo.
b) Es un cuadrado el paralelogramo que tiene todos sus lados de
igual longitud.
c) Un rectángulo cuyos lados son iguales es un cuadrado.
d) Todo paralelogramo es trapecio.
e) Un cuadrado es también rombo y rectángulo.
f) En cualquier cuadrilátero la suma de dos ángulos consecutivos es
de 180º.
2.) Observa y diga cuantos rectángulos usted ve en la figura 3.4.10.
3.) Las diagonales de un rectángulo ABCD se intersecan en el
punto o. Demuestra que los triángulos AOB y AOD son isósceles.
Respuestas a los ejercicios propuestos.
1.) a) v b) f c) v d) v e) v f) f
2.) 9
3.) Sugerencia: Aplicar la propiedad de que las diagonales de un
rectángulo son iguales y se cortan en un punto medio.
3.5- Cálculo de áreas y perímetros de figuras planas.
El área es la superficie del plano comprendido por los lados de un polígono o
por la línea que describe su perímetro.
Área y perímetro de un rectángulo.
De grados anteriores conoces que el área de un rectángulo se determina con el
producto de las longitudes de dos de sus lados consecutivos. Fig.:3. 5. 1.
B
A=a.b
A
Fig.3.5. 1.
El perímetro de un rectángulo se halla sumando las longitudes de sus cuatro
lados y conociendo que sus lados opuestos son iguales se obtiene que:
P=a+b+a+b
P=2a + 2b
P=2(A+B)
Área y perímetro del paralelogramo.
Todo paralelogramo es equivalente a un rectángulo, uno de sus lados es igual
a un lado del paralelogramo y el otro es igual a la altura del paralelogramo relativo al
lado considerado.
F
D E
C
Fig : 3. 5. 2
A
B
En la figura 3. 5. 2. el paralelogramo ABCD y el rectángulo ABEF son
equivalentes.
El área del paralelogramo es igual al producto de las longitudes de un lado y
la altura correspondientes. Fig: 3. 5. 3.
H
Fig: 3. 5. 3.
B
El perímetro del paralelogramo se halla sumando las longitudes de sus lados
o considerando que los lados opuestos son iguales. Fig. 3. 5. 4.
A
P=a+b+a+b
B
B
P=2(a+b)
A
Fig: 3. 5. 4.
Área y perímetro de un triangulo.
Todo triangulo es equivalente a un rectángulo en el que uno de sus lados tiene la
misma longitud que la base del triangulo y el otro, la mitad de la longitud de la altura
relativa a la base. Fig: 3. 5. 5.
C
D M
N
F
A
B
El área de un triángulo es igual al semiproducto de la longitud de un lado,
considerado como base, y la altura relativa a ese lado. Fig: 3. 5. 6.
H
A=b.h
2
B
Fig: 3. 5. 6.
El perímetro de un triangulo es la suma de las longitudes de sus tres lados.
Fig: 3. 5. 7.
C
B
A
P=a+b+c
A
C
B
Fig: 3. 5. 7.
Área y perímetro de un rombo.
El área de un rombo se puede hallar considerándolo primeramente como un
paralelogramo, (Fig: 3. 5. 8. a) y empleando la formula del paralelogramo o por el
semiproducto de sus diagonales.
A=a.h
D1
H
d2
A
A= D1.D2
2
(b)
(a)
Fig: 3. 5. 8.
El perímetro se halla multlipicando la longitud de un lado por cuatro.
En la Fig: 3. 5. 8. a se obtiene que:
P= 4a
Área y perímetro del cuadrado.
El área de un cuadrado se halla mediante el producto de dos de sus lados
consecutivos, pero estos lados tienen igual longitud, luego basta con hallar el cuadrado
de uno de sus lados. Fig: 3. 5. 9.
D
C
A
A=a2
A
a
(a)
B
D
C
D1
D1=d2
d2
Fig: 3.5.9
B
A
b)
Área y perímetro de un triángulo.
El área de un trapecio es igual al producto de la suma de las longitudes de
las bases por la longitud de la altura. Fig: 3. 5. 10.
D
B
C
C
H
D
A=a+b.h
Fig: 3. 5. 10.
2
A
a
B
El perímetro se halla sumando las longitudes de sus cuatro lados.
Figura 3. 5. 10. Resultaría:
P= a + b +c + d
Área y perímetro de la circunferencia y el círculo.
El perímetro o longitud de una circunferencia se puede hallar mediante la
fórmula: L= 2
.r
El valor de es el cociente entre la longitud y el diámetro de la
circunferencia. Fig: 3. 5. 11. que siempre será una constante equivalente.
R
L=
A. 3. 14. 16…., Este es en valor irracional que
rr
D
estudiarás posteriormente, para calcular con
L= . D
el emplearemos las tres primeras cifras: 3,14
R
R O R
El área de un círculo es el producto de la constante
por el radio al
cuadrado.
Fig: 3. 5. 12.
R
O
El
A=perímetro
. r2 es también la longitud de la circunfeRencia que rencia lo limita.
Ejercicios resueltos
1- Sea ABCD rectángulo y EFGH rombo con las vértices en los puntos medio de
los lados del rectángulo, los diagramas del rombo son Eg y FH.
Calcula el área del rombo si AB = 4,0 cm. y BC = 7,0 cm. Fig 3. 5. 13.
D
H
G
C
F
·
O
A
E
B
Respuesta
Se observa que la longitud de las diagonales de los lados del rectángulo coincide
con el de las diagonales del rombo, luego calculamos.
A=HF. GE
AB = HF = 4,0 cm. y BC = GE = 7, 0 cm.
A = 4.7
2
A = 14cm 2
2- Calcule el área y el perímetro de un círculo que tiene 2,5cm de radio.
Fig: 3. 5. 14.
2.5
O
Respuestas
L = 2. . r
L = 2.3,14.2,5
L = 15,7cm
A = . r2
A = 3,14 .(2,5)2
A = 19,625cm2
Fórmula
Sustituyendo
calculando
Fórmula
Sustituyendo
Ejercicios propuestos
1- Calcula el área de un cuadrado que tiene como perímetro 20cm
2- Halla el área de un rectángulo cuyo largo es 8,0cm y el perímetro es de
26cm
3- El perímetro de un paralelogramo ABCD es de 38cm y AB es 5,0cm mayor
Área BC, calcula las longitudes de los lados del paralelogramo
4- ¿Cuál debe ser la longitud mínima de un aula rectangular de 5,0m de ancho,
para que puedan ubicarse en ella 40 alumnos a razon de 0,75 m 2 por
alumno?
5- ¿Cuántos lados cuadrados de 2,5cm de lado se necesitan para cubrir el piso
de una habitación de 5,0m de largo y 4,0m de ancho
6- Un pedazo de tela de 3,5m de largo y 1,4m de ancho ha costado $22,05.
¿Cuánto cuesta el metro cuadrado de tela?
7- Obtenga la formula para hallar el área de un circulo utilizando su diámetro
y calcule el área de un circulo que tiene 4,2cm de diámetro.
1234567-
Respuestas
A =25cm2
A =40cm2
12cm y 7cm
6m
320
$4,50
A=1
.d2 ,
4
A = 13,8cm2
Unidad # 4. Números racionales.
Hasta ahora los estudiado los números naturales y los
números fraccionarios, y has utilizado estos números para
resolver diversas situaciones de la vida practica.
Veremos ahora una nueva situación.
La figura 4.1 representa dos móviles A y B que parten de
un mismo punto o y que se han desplazado en sentidos
contrarios (opuestos) por un camino recto.
Fig.: 4.1.1
Al cabo de cierto tiempo, el móvil A ha recorrido
5Km y el móvil B 3 Km. pero en sentidos opuestos
con respecto al punto de partida 0. Para diferenciar el
sentido de ambos desplazamientos, también hemos
empleado el signo “_” como habrás podido observar
en la siguiente figura 4, 1,1.
En general, sobre una línea horizontal y partir de un
punto de ella, se considera la cantidades tomadas
desde un punto como positiva y las tomadas en
sentido contrario como negativa. Por convenio, se
considera positivas las cantidades tomadas hacia la
derecha y negativas las tomadas hacia la izquierda, a
partir de un punto dado.
Nota. Consecuencias similares se tienen en cuenta
también sobre una línea vertical; en este caso son
positivas las tomadas hacia abajo, partir de un punto
dado.
Ya sabes que en el rayo numérico se representan los
números fraccionarios.
Ahora bien, para representar las cantidades negativas
(situados a la izquierda de 0) tenemos que aplicar el
rayo número a una recta. (Fig. 4, 1, 2).
-1,5
-3
-2
-1 0
1
Fig. 4, 1,2.
1,5
2
Los números fraccionarios aparecen representado a la
derecha del cero en la recta numérica. En la semiruta
opuesta (a la Izquierda de cero) se representen los
números negativos, que se denotan precedidos del
signo “_”.
Observa que para cada números fraccionarios existe
un números negativo, tal que ambos están situados en
la recta numérica simétricamente con respecto al
cero, Por ejemplo 1 y -1; 1,5 y -1,5; 2 y -2. A estos
pares de números se les da el nombre de números
opuestos.
El conjunto formado por los números fraccionarios
y sus opuestos, constituye el conjunto de los números
racionales, el cual se denota por Q.
Los números racionales que están situados en la
recta numérica a la derecha de cero, reciben el
nombre de números racionales positivos.
Los números racionales que están situados en la recta
numérica a la izquierda de cero, reciben el nombre de
números racionales negativos, los cuales se denotan
precedidos del signo “_”.
Los números racionales positivos y el cero reciben el
nombre de números racionales no negativos (se
identifican en los números fraccionarios.
Dos números racionales opuestos se diferencian solo
en el signo.
El opuesto de 5 es -5.
El opuesto de -3,4 es 3,4.
El opuesto de 0 es 0 (caso particular).
El opuesto de a es –a.
Le cumple que a cada número racional corresponde
un punto en la recta numérica.
Ejemplo.
Representa en una recta numérica los números
racionales.
-2,5; -1; 1,6; -7
2
4
Resolución
Para representar estos números racionales, primero
trazamos una recta y situamos un punto al cual se le
hace corresponder el cero; luego se determinan
segmentos iguales a la derecha y a la izquierda del
cero. El procedimiento para representar los
numerados es el mismo que ya conoces para los
números fraccionarios. (Fig. 4, 1, 3).
-7
-2,5 4
-3
-2
-1
2
1,6
-1
0 1
2
Fig. 4, 1, 3.
Es importante también considerar el conjunto
siguiente.
El conjunto formado por los números naturales y sus
opuestos se denomina el conjunto de los números
enteros, el cual se denota por Z.
Es decir Z = {…;-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;…}.
El conjunto de los números fraccionarios Q + S un
subconjunto de los números racionales Q. En
símbolos Q + CQ
También se cumple: ZCQ
Además NCZ, y por consiguiente, NCQ como ya
conoces NCQ +
Es bueno, además, que sepas que los números
racionales siempre pueden escribirse en la forma P
q
donde Q≠0, y PYQ son números enteros.
Por ejemplo: -5; 1; -8 son números racionales
10 3 11
escritos en esta forma.
También pueden escribirse en notación decimal. En
este caso puede suceder que tengas un número finito
de cifras decimales, o un número infinito. Cuando
esto último ocurre siempre es una expresión decimal
periódica.
Por ejemplo, puedes comprobar dividiendo que:
8 = 2, 666…; 49 = 1,0888…; 158 = 1,5959… (Sus
3
45
99
opuestos serán:
-2,666…;-1,0888…;-15959…respectivamente)
En estos casos, al igual que en los números
fraccionarios se acostumbra a escribir las cifras que
se repiten (periodo) con una rayita encima: -2, ; 1,0 ; -1,5 .
Se puede concluir que:
Los números racionales se escriben como expresiones
decimales, cuyo desarrollo es finito o infinito periódico.
Ejercicios (epígrafe 4.1)
1) Representa en una recta numérica los números
racionales siguientes:
4; 0; -1,5; 2,4; 1; 3,2; -0,4; -2 1
3
2
2
2) Determina, apoyándote en una recta numérica,
entre que números enteros están los números
racionales siguientes.
a) 3,7
b) -2,8
c) -3
5
d) 0,4
e) -1,2
3) Determina cuales de las siguientes proposiciones
son falsas. Fundamenta tu respuesta.
a) NCZ
b) -3EN
c) -1 EQ
2
d) OEN
e) 2 EN
3
4) Determina los opuestos de los números racionales
siguientes:
1; -4; 0; -1,6; 5; -5;
a) 4
Epígrafe 4.2
Valor absoluto o modulo de un número racional.
El valor absoluto o modulo de un número racional se
determina de la forma siguiente.
Si un número racional es positivo, su modulo el
propio número.
Si el número racional es negativo, su modulo es
el opuesto del propio número.
El modulo de Cero es Cero.
El valor absoluto se representa colocando al número
entre dos rayos verticales.
Por ejemplo:
|3| Se lee “Modulo de 3” o también “Valor absoluto
de 3”
Ejemplo 1
Calcula
a) |7|
b) |-5|
c) | 1 |
d) |-3,4|
2
Resolución:
a) |7|=7 b) |-5|=5 c) |1|=1 d) |-3,4|=3,4
2 2
El modulo de cualquier número racional nunca es
negativo.
En la figura 4.2.1 aparecen representados en una recta
numérica los números racionales 3 y -3.
Como puedes observar, la longitud de los segmentos
cuyos extremos son -3 y 0 así como 3 y 0,
respectivamente, es la misma.
El valor de esta longitud coincide con el modulo de los
números 3 y -3, pues: |3|=3 y también |-3|=3. En general,
podemos interpretar el valor absoluto o modulo de un
número racional cualquiera como la distancia desde el
punto correspondiente al número hasta el origen o en la
recta numérica.
De lo anterior resuelta
Dos número racionales opuestos tienen el mismo modulo
Ejemplo 2
¿Para que números racionales X se cumple que |X|=4?
Resolución:
Esto se cumple para X =4 y para X =-4, pues |4|=4 y
también |-4|=4
4) Epígrafe 4.2
1) Determina el valor absoluto de los números racionales
siguientes:
5;-5;7,8;-3;0;3,4;-1,75
4
2) Determina los números racionales que satisfacen las
ecuaciones siguientes:
a) | X | = 3
e) | Z | = -4
b) | A | = 0,6
c) | Y | = 0
d) | X |-1= 0
Epígrafe 4.3
Orden de los números racionales.
La relación de orden que ya conoces para los números
fraccionarios, la haremos extensiva para los número
racionales.
De dos números racionales diferente, es menor el que esta
situado más a la izquierda en la recta numérica.
Por ejemplo:
1
2
-2,5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Fig. 4.2.1
-3<-2,5 porque -3 esta situado a la izquierda de -2,5 en la
recta numérica.
Así también -2<-1;-1<0; etc.
En la práctica para comprobar dos números racionales
cualquiera debes tener en cuenta que:
Ejemplo 1
Copara los numéricos racionales siguientes:
a)-3 y 1,4
b)-5 y -2
Resolución
a)-3<1,4 porque los números negativos son menores que
los números no negativos.
b)-5<-2 porque |-5| >|-2| (5>2)
Entre dos números racionales cuales quiera, que sean
diferentes, siempre se encuentra otros números racionales.
Esto significa que el conjunto de los números racionales es
denso.
Ejemplo: Entre -1 y 0 se encuentra -0,6;-0,5;-0,3…
Ejercicios (epígrafe 4.3)
1). Ordena los siguientes números racionales comenzado:
1) Por el menor
2) por el mayor
a)-3; 2; -9; 0; -1; 17
b) 2,3; -1,8; -0,9; -1,9; 0
2) Coloca en el espacio en blanco el signo de relación
correspondiente (<; =; >)
a) 0____3
b) 0_____-5
c) 2_____-1
d)-3____-12
e)-18_____-19
f)-3______-2
4
3) Indica en cada caso cinco números racionales que se
encuentren entre:
a)-2 y 1
b)-2 y -1,5
4) Determina todos los números enteros que se encuentren
entre.
a)-3 y 3
b)-9 y -4
c)-4 y -2
d)-1 y 0
5) ¿Cuáles de las siguientes relaciones son falsos?
Fundamenta tu respuesta.
a) -3<-2,7
b)3<2,7
c)|-5|<5
6) ¿Es descenso el conjunto R? Fundamenta tu respuesta.
Epígrafe 4,4 Adición de números racionales.
Para adicionar dos números racionales considerar dos
casos, atendiendo vamos a los signos de los sumandos.
Primer caso: Los dos sumandos tienen signos iguales, ya
sean ambos positivos o negativos.
Por ejemplo:
El resultado de la adición de los números racionales 2 y 3
es 5 (2 + 3 = 5); el de los números racionales 1 y 3 y
4(1+3 = 4)
5 5 55 5
5
En ambos casos hemos aplicado el procedimiento que ya
conoces de grados anteriores.
Para adicionar dos números racionales negativos
consideramos los números racionales negativos -2 y -3. El
resultado de la adición de estos números es -5.
Obtenemos -2 + (-3) = -5.
Luego:
Ejemplo:
Calcula:
a)-2+ (-1)
b) 3,5+1
c)-3,2+ (-4,3)
d)-1 + (1)
2
4
Resolución:
a) -2+ (-1) 1. Se adicionan los módulos de los sumados.
2+1=3 (1-2|=2; |-1|=1)
2. Se pone al resultado el signo “__”
-2 + (-1) = -3
b) 3,5 + 2 = 4,5 Se procede como los números
fraccionarios.
c) -3,2 + (-4,3) = -7,5 porque 3,2 + 4,3 = 7,5 y se pone la
resultado el signo “__”
d) -1 + (-1) = -3
(1 + 1 = 3)
2
4
4
2 4 4
Segundo caso: Los números tienen signos diferentes, es
decir, un sumado es positivo y el otro es negativo.
Ejemplo: 2.
Calcula las adiciones siguientes.
a) 3 + (-5)
b) 1 + (-1)
c) -7,4 + 7,4
3
6
Resolución:
a) 3 + (-5)
b) 1 + (-1)
3
6
1. Se sustraen los módulos de los sumados.
5 - 3 = 2 (13| = 3; |-5| = 5) (5>3)
2. Se pone al resultado el signo del número
que tiene mayor módulo (“__” en este
caso).
3 + (-5) = -2
1-1=1
3 6 6
el resultado es positivo
(1 > 1)
3 6
c) -7,4 + 7,4 = 0 En este caso, como los dos sumandos
tienen igual módulo, la diferencia de estos es cero
(7,4- 7,4 = 0). Esto ocurre siempre cuando los dos
sumandos sean números opuestos.
De este último inciso podemos inferir:
Ejercicios (epígrafe 4.4)
1. Calcula:
a) -2 + (-4)
b) -5 + (-10)
d) -3 + (-12,5) e) -72 + (-18)
g) -0,71 + (-0,3)
c) -1 + (-1)
f) 7 + 3,5
2. Efectúa:
a) -4 + 7
b) 6 + (-7)
c) -10 + 3
d) -6 + 10,5
e) 12 + (-11,5)
f) 5 + (-1)
g) -1,75 + 1,5
6
4
3. Determina con ayuda del calculo, cuales de las
siguientes relaciones son verdaderos y cuales son falsas.
a) -89 + 73 < -15
b) -23 + (-76) < -100
c) -76,3 + 89,9 > 15
d) -1 + (-3) >-1
6
4
Epígrafe 4.5 propiedades de la adición de números
racionales.
Ya conoces que la adición de números fraccionarios
cumple las propiedades conmutativa y asociativa. La
adición de números racionales tiene también estas
propiedades.
A+B=B+A
Observa que: -7 + 2 = -5 y también 2 + (-7) > -5, es decir,
el orden en que se tomen los sumandos no altera la suma.
A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)
En la adición -4 + 3 + (-5) podemos asociar los sumandos
de forma diferente.
[-4 + 3] + (5) = -1 + (-5) = -6
-4 + [3 + (-5)] = -4 + (-2) = -6
Como puede ser, el resultado es mimo en ambos casos.
Estas propiedades se pueden aplicar para resolver
ejercicios de adición de la forma más ventajosa que
consideres.
Ejercicio (epígrafe 4.5)
1. Calcula
a) 3+ (-7) + 17
b) -5 + 10 + (-3)
c) -4,2 + 3,6 + (14)
d) -20 + (-14) + 21 + (-17)
e) -1 + (-1) + 1
6
3 5
Epígrafe. 4.6. Sustracción de números racionales.
La sustracción de números racionales puede reducirse a la
adición.
Ejemplo.1
a) 3-7
b) -5-2
c) -3-(-4)
Resolución:
a) 3-7
1. Trasformamos la sustracción en una adición
(El opuesto de 7 es -7)
3 + (-7)
3 + (-7)=-4
de
2. Efectuamos la adición aplicando el
procedimiento estudiado para la adición
números racionales con signos diferentes
(En este caso).
b)-5 - 2 = -5 + (-2)
tenemos que:
como -5 + (-2) = -7
-5 - 2 = -7
c) -3-(-4)=-3+4-1
(el opuesto de -4 es 4 y la
sustracción se transforma en una
adición).
Como abras podido observar.
En la práctica para sustraer un número racional de otro, se
procede distintamente, interpretando cada caso como una
adición.
Por ejemplo -10 -15 es la adición de los números
racionales -10 y -15; 7 -9 es la adición de los números
racionales 7 y -9.
En casos como estos, al calcular, se escribe directamente
el resultado.
Ejemplo. 2:
Calcula:
a) -10 -15
b) 7- 9
Resolución:
a) -10 -15 = -25 (pues se trata de la adición de dos
números racionales negativos).
b) 7 – 9 = -2
(pues se trata de la adición de dos
números racionales con signos diferentes).
A partir de este momento toda adición de números
racionales (independiente mente de los signos que tengan
los sumandos) la denominamos suma algebraica.
NOTA: La rotación en forma de suma algebraica significa
la escritura de los sumandos, pues no es necesario la
utilización de paréntesis.
Ejemplo. 3.
Calcula las sumas algebraicas siguientes.
a) -5 + 8 – 6
b) 4 – 9 + 1 – 3
Resolución:
En estos casos, puedes reordenar y agrupar los sumandos
en la forma que te sea más conveniente realizar los
cálculos.
Epígrafe 4.6
1. calcula
a) 5 – 9
b) 8 – 9
c) -4 – (-11)
d) 7,35 – 7,5
e) -4 – 1
3 6
2. Efectúa:
a) 5 – 3 + 10 b) 18 – 20 + 4
c) -8 + 3 + 1 – 11
d) 6,5 – 10,2 + 2,7
e) 1 – 2 – 1
8 5 10
3. Si A = -1,5 B = 3 y C = 4
Calcula a) A + B – C
b) A – B + C
4. ¿Cuál es la diferencia entre un punto que esta a 1500 m
sobre el nivel del mar y otro que esta a -300 m?
Epígrafe 4.7 Multiplicación de números racionales.
NOTA: Si uno de los factores es cero, el producto es cero.
Ejemplo. 1.
a) 3·5
b) -3· (-5)
c) -4·8 d) 4· (-8)
e) -0,5· (-4)
f) -1 · 2
2 3
Resolución:
a) 3·5 = 15
Observa en ambos casos que los dos
factores tienen signos iguales y por eso
el producto es positivo.
b) -3· (-5) = 15
C-4·8 = -32
En estos dos casos los dos factores
tienen signos diferentes, por tanto el producto es negativo.
d) 4· (-8) = -32
e) -0,5· (-4) = 2
f) -1·2 = -1
23 3
Ejercicios (epígrafe 4.7)
1. Calcula
a) 7· (-5) b) -6·8 c) -4· (-9)
d) -1· (-1) e) 15·8
f) -0,1· (-1)
g) 7,5· (-0,4)
h) -1·4
25
2. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son falsas?
Fundamenta tu respuesta.
a) 2,5· (-2) = -5 b) 0· (-7) = -7
c) -2· (-1) = -1
2
3. Determina en cada caso si a debe ser un numero
racional positivo o negativo para que las relaciones sean
verdaderas.
a) 5a>0
b) 8a<0
c) -3a<0
d) -9a>0
Epígrafe 4.8 Propiedades de la multiplicación de números
racionales.
La multiplicación de números racionales tienen las
mismas propiedades que la multiplicación de números
fraccionarios.
Propiedad conmutativa: a · b = b · a
Observa que de los factores no altera el producto.
Propiedad asociativa: a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
En la multiplicación 2 · (-3) · (-4) podemos asociar los
factores de formas diferentes.
[2 · (-3)] · (-4) = -6 · (-4) = 24
o
2 · [(-3) · (-4)] = 2 · 12 = 24
Como puedes ver el resultado es el mismo en ambos
casos.
Propiedad distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo, en 4 · (-0,5 +2) pues multiplica el 4 por cada
sumando y luego adiciona los productos, o sea:
4 · (-0,5 +2)= 4 · (-0,5) + 4 · 2 = -2 + 8 = 6
Estas propiedades te permiten resolver ejercicios de
multiplicación en la forma más ventajosa que consideres.
Para determinar el signo de un producto de varios números
racionales debes tener en cuenta la cantidad de factores
negativos que intervengan.
Ejemplo 1
Calcula:
a) -2 · (-5) · 3 · (-1)
Resolución:
a) -2 · (-5) · 3 · (-1) = -30
3
b) -4 · (-3) · (-1) · (-2)
Observa que como interviene
factores negativos, el
producto
es negativo.
b) -4 · (-3) · (-1) · (-2) = -24 Observa que como interviene
4
factores negativos, el
producto
es positivo.
Ejercicios epígrafe 4.8)
1. Calcula:
a) 5· (-1) · 4
b) -5 · (-3) ·2
c) -7 · (-9) · (-2)
d) -2 · 6 · (-5) · (-3) e) 2 · (-3,4) · 0,5 · 7 f)-1,2· (-8) ·
0·3
5
g) -2 · 6 · (-2) · (-1) · (-5) · (-3)
Epígrafe 4.9 División de números racionales.
A continuación presentaremos el procedimiento a seguir
para la división de números racionales.
Ejemplo.1
a) 20:5 b) -20:(-5)
c) -12: 4
d) 12 :(-4)
Resolución:
a) 20:5 =4
Como en ambos casos el dividendo y el
b) -20: (-5)=4
divisor tienen signos iguales, el
cociente
es positivo.
c) -12:4 = -3 Observa que en estos dos casos el
dividendo y
12: (-4) = -3 el divisor tienen signos diferentes y por eso
el
cociente es negativo.
Nota: En el conjunto de los números racionales, división
por cero tampoco pueden realizarse.
Ejercicios (Epígrafe 4.9)
1. Calcula:
a) 10: (-2) b) -32:4 c) -36: (-9) d) -5: (-5)
e) 60:12
f) -18,2:1,3 g) -156:2,4 h) -10:20
3
2. Determina cuales de las siguientes relaciones son falsas.
Fundamenta tu respuesta.
a) -54:2= -27 b)-60:(-5) <0 c) -7:(-1)=14
2 4
d) -12,8:(-12,8)=-1
Epig 4,10 La división de números racionales como operación inversa de la
multiplicación.
Al igual que ocurre con la adición y la sustracción, se cumple que:
La división de números racionales es la operación inversa de
La multiplicación
Por Ejemplo
Para calcular el cociente -12: 6 esto equivale a encontrar un numero racional x tal que
x· 6 = -12; este numero es -2; -12 = -2 ya que -2 · 6 = -12.
6
Ejercicios (epig 4,10)
1- Si el producto de dos números racionales es -12,8 y uno de los factores es:
a) -8
b) 0,4
Calcula el otro factor
2- El cociente de dos números racionales es -4.
a) Calcula el dividendo si el divisor es -15.
b) Calcula el divisor si el dividendo es 84.
Epig 4,11 Operaciones combinadas con números racionales.
En la solución de ejercicios donde aparezca combinadas las diferentes operaciones
Con números racionales, debes tener en cuenta el orden en que ellas se realizan, así
como se intervienen signos de agrupación.
Este ordenen es :
1- Se resuelven las operaciones enceradas en paréntesis
2- Se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que
Aparezcan
3- Se realizan las sumas algebraicas que resulten al final .
Ejemplo 1
Calcula :
-5 – 6 : 0,4 · ( -2 ) + 3
Resolución
- 5 – 6 : 0,4 ·( -2 ) + 3
= - 5 – 15 · (-2 ) + 3
= -5 + 30 + 3
= 28
Ejercicios ( epígrafe 4,11)
1- Efectúa las operaciones siguientes .
a) -8 + 3 · 2 =
b) 10 : ( - 5 ) + 6
d) – 3 : (12 – 6 )
e) 3· 4 + 6 · (-7 )
c) 5 + 3 : ( - 3 )
f) -1 + 5 : (-2 )
2
h) – 10 – 14 : (-2,8 ) + 5
g) – 2 : ( - 1 + 1 )
2
2- ¿ cual de las siguientes proposiciones son falsas ? Fundamenta tu respuesta :
a) 5 – 3 · ( -8 ) = -16
b) 4 · ( - 1 ) + 1 = 0
4
c) -36 : 4 · 3 + 27 = 0
Respuestas a los ejercicios
Epígrafe 4, 1
2) a) Entre 3 y 4
d) Entre 0 y 1
b) Entre -2 y -3
e) Entre -1 y -2
c) Entre 0 y – 1
3) b) Falsa ; pues -3 es un numero entero .
c) Falsa ; pues 2 es un numero fraccionario .
3
4 ) -1 ; 4 ; 0 ; 1,6 ; -5 ; 5 ; - 4,5 .
3
4
Epígrafe 4,2
1)
a) | 5 | = 5
b) | - 5 | = 5
c) | 7,8 | = 7,8
e) | 0 | = 0
f) | 3,4 | = 3,4
g ) | -1,75 | = 1,75
2) a) x = 3
x = -3
b) a = 0,6
a = -0,6
c) y = 0
d) | -3 | = 3
4
4
d) x = 1
x = -1
e) No existe
Epígrafe 4,3
1)
a) – q < -3 < -1 < 0 < 2 < 17
2)
a) <
3)
a) -1; -1,2 ; -1,3 ; -0,1 ; 0 .
b) -1,6 ; -1,7 ; -1,8 ; -19
b) >
4) a) -2; -1 ; 0 ; 1 ; 2
c) >
d) >
b) 2,3 > 0 > -0,9 > - 1,8 > - 1,9
e) >
b) -8; -7 ; -6 ; -5
f) >
c) -3
d) No existe
5) b) Falsa
- Entre dos números racionales positivos es mayor
.
el de mayor valor absoluto
c) Falsa pues | -5 | = 5
6) El conjunto Ζ no es denso pues entre un numero entero y otro no se encuentren
situados otros números enteros .
Epígrafe 4,4
1) a) -6
b) -15
c) -2
d) -15,5
e) – 90
f) 10,5
g) -1,01
2) a) 3
b)-1
c) -7
d) 4,5
e) 0,5
f) 7
12
g) -0,25
3) a) V
b) F
c) F
d) V
b) 2
c) -2
d) 30
e) -3
10
1) a) -4
b) -2
c) 7
d) -0,15
2) a) 12
b) 2
c) -7
d) -1
e) -3
2
e) -3
8
3) a) -0,5
b) – 0,5
c) 36
d) 1
Epígrafe 4,5
1) a) 13
Epígrafe 4,6
4) a) 1800 m
Epígrafe 4,7
1) a)-35
b) -48
2) a) F
b) F
3) a) Positivo
e) 120
f) 0,1
g) 3
h) -2
5
- Cuando se multiplica por cero el resultado es cero
- Cuando se multiplican números raciónales de igual signo el resultado
es positivo.
b) Negativo
c) Positivo
d) Negativo
Epígrafe 4,8
1) a) – 20
b) 30
c) – 126
d) -180
1) a) -5
b) -8
c) 4
d) 1
2) a) F
b) F
e) – 23,80
f) 0
g) -360
Epígrafe 4,9
e) 5
f) -14
g) -65 h)-3
2
Epígrafe 4,10
1) a) 1,6
b) 32
2) a) 60
b) – 21
Epígrafe 4,11
1) a) -2
b) 4
2) a) F
b) F
c) 4
d) -0,5
e) – 30
f) -3
g) -4
h) 0
Ejercicios Unidad : Números Racionales
1) El resultado de calcular - 1 : 4 – 0,25 es :
3 3
― 0,5
― 0,44
― 0
2) Los estudiantes de los cursos de Superación Integral para Jóvenes se presentaron
a un curso.
De los 280 alumnos de un centro participan 260 en Matemática y del otro centro de
186 estudiantes participaron 168 en Español .
Compara el porciento de participación y responde :
¿cual de los centros fue el mejor ?
a) El centro que participo en Matemática _______.
b) El centro que participo en Español _______ .
3) – En nuestro país se desarrollan una serie de medidas correspondientes a la
Revolución energética en que estamos inmersos .
En la siguiente tabla aparece la nueva tarifa para el cobro de la electricidad que se
consume diariamente y se cobra de forma mensual.
3.1) - ¿ Cuanto deberá pagar un núcleo familiar que consume :
a) 98 KW ⁄ h
b) 202 KW ⁄ h
c) 300 KW ⁄ h
KW ⁄ h
Costo en centavos
1 a 100
0,09
100 a 150
0,30
150 a 200
0,40
200 a 250
0,60
250 a 300
0,80
Mas de 300
1,30
Respuesta a los ejercicios
1) a) Participaron en Mat. un 92,8 % .
b) Participaron en Esp un 90,3 % .
El mejor / Mat.
2) 0,50
3) a) $ 8,82
b) $ 121,20
c) $ 240.00
Unidad 5 – Ecuaciones lineales.
Introducción
Se debe recordar que:
Se denomina terminas a las cifras, variables y determinadas composiciones de
estos
mediante los signos de cálculo.
Ej: 3, a, a + b , 3´(x-4)
2
Las divisiones en que aparecen dos términos relacionados por un signo de
igualdad, se denominan igualdades.
Si las igualdades tienen variables, reciben el nombre de ecuaciones.
Las ecuaciones del tipo a x + b = c (a≠0) se denominan lineales en una variable
y se
Resuelven despejando la x, 0 sea, x = c-b
A
Ej: # 1
Resuelve las ecuaciones:
a) 2x +4 = x+5
Resolución
a) 2x –x = 5 – 4
x=1
b) 2x +(x +5) = 2(x + 3)
b) 2x + x + 5 = 2x + 6
3x + 5 = 2x+ 6
3x –2x = 6 – 5
x=1
Epígrafe 5.1. Resolución de problemas que conducen a ecuaciones lineales.
Debemos tener en cuenta que:
Para resolver problemas relacionados con la vida práctica , se representa
Situaciones concretas de nuestro lenguaje común mediante expresiones
algebraicas, entonces decimos que estamos realizando una traducción del
Lenguaje común al lenguaje algebraico.
Ej: # 4
Representa mediante expresiones algebraicas:
A) El duplo de un número
b) Un número disminuido en otro.
c) Un número disminuido en su octava parte.
d) La mitad de un número aumentado a su triple
e) La suma de dos números enteros consecutivos.
f) La tercera parte de un número menor su duplo.
Resolución
a) x es el número, su duplo es 2x.
b) Si a y b son los números, entonces a – b
c) Al número es x, entonces x – x
8
d) El número es y, entonces y + 3y
2
e) Si x es un número entero, su consecutivo es x + 1 y la suma es x + (x + 1 )
f) Si m es el número entonces m – 2m
3
Para resolver un problema debemos tener en cuenta el modelo guía. Para
resolver problemas que aparecen en uno de los seminarios para educadores
que nos reflejan las siguientes interrogantes:
¿Qué dice?
Leo, Releo Reformulo
¿Puedo decirlo de otro modo?
¿Cómo lo puedo resolver?
Busco la vía de resolución
Resuelvo
¿Es correcto lo que hice?
Hago consideraciones
¿Para qué otra cosa
Me sirve?
¿Existen otras más?
Por tanto para resolver problemas que conducen a una ecuación debes tener
presente:
1 – Leer y analizar detenidamente el texto del problema.
2 – Designar mediante el lenguaje algebraico que representa la incógnita, así
como
las relaciones o combinaciones en que intervenga esta.
3 – Plantea la ecuación correspondiente.
4 – Resolver la ecuación obtenida.
5 – Comprobar si la solución obtenida satisface los requisitos del problema.
6 – Dar la respuesta atendiendo a lo que se pide en el enunciado del problema.
Ej # 1 (Ejercicio con texto sencillo)
El cuadrúplo de un número es igual al número aumentado en 6¿Cuál es el
número?
Resolución
Número x
4x = x + 6
4x = 4 · 2 = 8
Cuadrúplo del número x
4x - x = 6
x+6 = 2+6 = 8
Numero aumentado en 6 x + 6
3x = 6
x= 6
3
x= 2
R⁄ El número es 2.
Nota:
En las ecuaciones lineales aunque la comprobación es recomendable pues te da mayor
Seguridad de que el valor obtenido es la solución, desde el punto de vista matemático
No es necesario pues no se introducen raíces extrañas.
Ejercicios
1 – Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 4x + (x + 5) = 20
c) 10 – (y – 5) = 20 – 2y
b) 13 – (2x – 2) = 3
d) 4x – (2x + 3) + (3x – 5) = 2x
2 – Si se disminuye en 5 la tercera parte de un número se obtiene -3 ¿Cuál es el
número?
3 – Si el duplo de un número se disminuye en 13, se obtiene el mismo resultado que
disminuyendo el quíntuplo del número es el 5. ¿Cuál es el número?
4 – En la escuela secundaria Básica atendiendo a las nuevas transformaciones un aula
tiene 30 estudiantes con dos profesores atendiendo 15 estudiantes cada uno.Si hay 8
varones más que hembras. ¿Cuántos varones y cuántas hembras hay en dicha aula
5- La suma de las edades de un padre y un hijo es 80 y la edad del padre es el triplo de
la
de su hijo.¿Cuáles son las edades?
6- En una actividad del grupo de pioneros exploradores, un un grupo de pioneros
camina el primer día la meta del recorrido, el segundo día la quinta parte del recorrido y
el tercer día los 6 km restantes.¿Cuántos km recorrieron
¿Cuánto representa esta cantidad en m?
Respuesta a los ejercicios.
1.- a) x = 3
b) x = 6
c) y = 5
d) x = 6
2.- El número es 6.
3.- hay 11 hembras y 29 varones.
5.- Edad del padre 60 años.
Edad del hijo 20 años.
6.- Recorrieron 20 km.
Representa 20 000m.
5.2 Ecuaciones lineales con dos variables. Sistemas de ecuaciones.
En el Epígrafe anterior estudiaste las ecuaciones lineales con una variable que se
reducen a la forma ax + b = c (a≠0).
Las ecuaciones que pueden reducirse a la forma ax + by + c = 0 donde x y y son
variables, se llaman ecuaciones lineales con dos variables.
Llamamos sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables a dos ecuaciones de este
tipo.
Ejemplo:
X + 2y – 5 = 0
2X +3 y + 4 = 0
Las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales con dos variables son las
soluciones comunes a las dos ecuaciones que lo forman, y el conjunto de estas
soluciones recibe el nombre de conjunto Solución sistema.
Existen dos métodos analíticos para resolver los sistemas de dos ecuaciones lineales con
dos variables.
Método de sustitución:
Ejemplo:
Resolver: 12-
2x – 4y = -6
3x + y = 5
Resolución:
1) Se despeja una variable en una de las ecuaciones.
3- y = 5 – 3x (Despejando Y en la ecuación 2).
2) Sustituimos el valor de Y en la primera ecuación obteniendo una ecuación con una
sola variable.
2x -4 (5 – 3x) = -6
3) Resolvemos la ecuación anterior obteniendo el valor de la variable x.
2x – 20 + 12 = -6
14x = -6 + 20
14x = 14
x = 14
14
x=1
4) Sustituimos el valor x = 1 en la ecuación (3) calculando así el valor de Y
y = 5 – 3. 1
y=5–3
y=2
Comprobando
Ecuación #1
2 . 1 – 4(2) = -6
2 – 8 =-6
- 6 =-6
Ecuación # 2
3 (1) + 2 = 5
5=5
La solución es x = 1; y = 2
Método de Adición y sustracción:
Resolver:
1) x – y = 3
2) 2x + 2y = 10
Transformamos convenientemente las ecuaciones (1) y (2) de manera que obtengamos
dos ecuaciones donde los coeficientes de una de las dos variables sean iguales u
opuestas.
(1) x – y = 3
(2) 2x + 2 = 10
Multiplicamos la ecuación (1) por 2 y obtenemos:
(3) 2x – 2y = 6
2) Si calculamos algebraicamente miembro a miembro las ecuaciones (3) y (2)
obtenemos una ecuación con una sola incógnita a la cual le hallamos la solución.
(3) 2x – 2y = 6
(2) 2x +2y = 10
4x
= 16
x = 16
4
x=4
3) Hallamos el valor de Y sustituyendo el valor de X en la ecuación (1).
4–y=3
-y = 3-4
-y = -1
y=1
Comprobando:
Ecuación (1)
4–1=3
3=3
Ecuación (2)
2 . 4 + 2 . 1 = 10
8 + 2 = 10
10 = 10
La solución es x = 4; y = 1
Epígrafe 5.3 Problemas que conducen a sistemas de dos ecuaciones lineales con dos
variables.
En el epígrafe anterior estudiaste los métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos variables, en este estudiaremos como resolver problemas que conducen
a este tipo de sistema.
Ejercicio #1
En el CSIJ están matriculados 150 estudiantes de los cuales las hembras representan el
duplo de los varones. ¿Cuántas hembras y cuántos varones hay en el centro?
Resolución:
X: Hembras
(1) x + y = 150
Y: Varones
(2)
x = 2y
Resolviendo el sistema.
(1) x + y = 150
Sust y en (1)
(2) x – 2y = 0
x + 50 = 150
x + y =150 (-1)
x = 150- 50
-x + 2y= 0
x = 100
3y= 150
y= 150
Comprobando:
3
Hembras: x = 100
y= 50
Varones: y = 50
100 + 50 = 150
R/ En el centro hay 100
Hembras y 50 Varones.
Ejercicios:
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.
a) 2x -4y = -6
3x +y =5
b) 3x – y = 7
x + 2y = 7
c) 2 (x + y ) = 8
-2x + y = 5
d) 2x -5y = 5
4x = 20y
2. La suma de dos números es 42. La diferencia entre el triplo de uno y el cuádruplo del
otro es 105. ¿Cuáles son los números
3. La diferencia de dos números es 4. Si al primero se le suma el triplo del segundo el
resultado es 12. ¿cuáles son los números?
4. Los ganadores de un concurso de matemática en dos centros unificados son 10.Si el
duplo de los ganadores de un centro equivale a la mitad de los ganadores del otro.
¿Cuántos ganadores hay por centro
Respuestas:
1. a) x = 1
y=2
b) x = 1
y=3
c) x = 3
y=1
d) x = 5
y=1
2. Los números son 3 y 39.
3. Los números son 2 y 6.
4. En un centro hay 2 ganadores y en otro 8.