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Números fraccionarios.
Mínimo común múltiplo.
Cuando un numero natura sea múltiplo de dos o mas números naturales, se llama múltiplo
común.
Múltiplo de:
4 → 4, 8, 12, 20, 24 …
6 → 6, 12, 18, 24 …
Ej. Halla el m.c.m, de 12, 18, 42.
12 = 2 ∗ 6 = 2 ∗ 2 ∗ 3 = 22 ∗ 3
18 = 2 ∗ 9 = 2 ∗ 3 ∗ 3 = 2 ∗ 32
42 = 2 ∗ 21 = 2 ∗ 3 ∗ 7 = 2 ∗ 3 ∗ 7
M.c.m (12, 18, 42)= 22 * 32 * 7 = 4 * 9 * 7 = 252
M.c.m = 252.
Ej. M.c.m es el producto común y no común formado con su mayor exponente:
M.c.m (30, 48, 80)
30 = 2 ∗ 15 = 2 ∗ 3 ∗ 5
48 = 2 ∗ 24 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 6 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 = 24 ∗ 3
80 = 2 ∗ 40 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 10 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 5 = 24 ∗ 5
M.c.m (30, 48, 80) = 2 * 3 * 5 = 16 * 15 = 240.
Adicción y sustracción de fracciones.
Para adicionar fracciones de igual denominador
𝑎
𝑏
𝑦
𝑐
𝑏
(𝑏 ≠ 0)se adiciona los numeradores
y se mantiene el denominador.
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎+𝑐
+𝑏 =
2
3
5
Ejemplo: 7 + 7 = 7
𝑏
𝑎
Las fracciones de igual denominador𝑏 𝑦
5
3
2
5
5
7
7
7
7
7
Ej. − = ó −
Ahora
5
3
disponemos
de
una
𝑐
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
𝑐
(𝑏 ≠ 0)se puede sustraer si: > o =
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
adición
con
numeradores
diferentes:
3
+ 8 + 4buscamos el m.c.m de 4, 6, 8.
6
4 = 2 ∗ 2 ∗ 22
6= 2∗3
8 = 2 ∗ 4 = 2 ∗ 2 = 23
Luego, m.c.m = 23 * 3=24, el cual es el denominador común.
Convertimos los mixtos en común en fracciones y buscamos el m.c.m:
2
3
63 + 34 =
20
3
15
+ 14 =
80+48
12
=
125
12
= 10
125
12
125/12 =10
Multiplicación y división de números fraccionarios. Multiplicación.
Para resolver la multiplicación de números fraccionarios se multiplican numerador con
numerador y denominador con numerador.
5
8
24
5∗24
3
∗ 25 = 8∗25 = 5 ó
División.
5
8
24
120
3
∗ 25 = 200 = 5
∗ = 𝑏∗𝑑 b, d   0 Ej.
𝑏 𝑑
𝑎
𝑐
𝑎∗𝑐
Partimos de
𝑎 𝑐
:
𝑏 𝑑
y observemos que debemos de buscar el reciproco del denominador
convirtiéndolo en producto mínimo común múltiplo.
Ej.
5 10 5 24  120 30 * 4  4
:
 *


 2
6 24 6 10  60 30 * 2  2
Operaciones con conjuntos.
1. Intercepción de conjuntos: Son elementos que pertenecen a A y pertenecen a
B A  B.
2. Unión de conjuntos: Es formado por elementos que pertenecen a A o al
conjunto B o pertenece a ambos  A  B .
3. Diferencia de conjuntos: Es formados por elementos que pertenecen ha A y
que no pertenecen a B , o sea A \ B .
4. Complementos de conjuntos: Sea U un conjunto universo y A un subconjunto
de U, el complemento de A al que lamamos Ac es el conjunto de elementos de
U que no son elementos de A se escribe: A C  U / A
Productos notables.
a  b 2


 a 2  2ab  b 2


 a 2  b 2  a  b a  b 
2
2
 2
  a  b  a  b a  b 
2
 a  b  a  b a  b 


a  b a  b   k 2  a  b   ab 2
a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3 
3
3
3
2

  a  b   a  3a b  3ab  b  3
3
3
2
2
3
a  b   a  3a b  3ab  b 
x  a x  b   x 2  a  b x  ab 2
ax  b cx  d   acx 2  ad  bc x  bd  mx 2  px  q
m  ac; p  ad  bc; q  bd

Suma de cubos: a 3  b 3  a  b a 2  ab  b 2




Diferencia de cuadrados: a 3 b 3  a 2 ab  b 2  x 3  8  x  2 x 2  2 x  4

impar, todo número real a tiene raíz n –
Potencias.
ésima del mismo signo que a .
aº  1
a n 1  (a 2 )
1
m
1
a n  n am
1
a n * b n  ( a * b) n
1
1
1
a n : b n  ( a : b) n

a


1
n

a


1
n
m

 a






1
m
kn
a
1
n* m
a r : b r  a : b 
r
r
 a r *s
1
a
a
n
an
a
m
a
a km  n a m
3 n * m  3n m
a r  a r
m
a :n b  n a :b
m n
a r * b r  a * b 
n
n
n
a r : a s  a r s
a 
a *n b  n a *b
 a
1
m
n
m
 km

 a kn   a n




r
a * a s  a rs
r s
n
n
m
Radicales.
Radicales se llama raíz n – ésima de a ,
a todo numero real x que satisface a la
n
a
n
b
n
am a p 
n
a
b
q
nq
a mq  np
Calculo Porcentual.
B *1
100
P * 100
%
B
B
P
*%
P * 100
100
B
%
%
P
*B
100
P
Descomposición factorial:
Factor común: es el que se repite ej.
2 x  2 y  2x  y 
ecuación x n  a o ( a  R y n N n  1 )
Diferencia de cuadrado:
si la ecuación no tiene solución a no
a 2  b  a  b a  b 
tiene raíz n – ésima n a  x donde n
x 2  1  x  1 x  1
(índice), a (radicando), x (raíz). Los
números reales negativos no tienen
raíz n – ésima cuando n es par. Si n es
x 2  y   x  2 x  2 
x 2  9   x  3x  3
Trinomio cuadrado perfecto:
x 2  ab  b 2  a  b 
2
x 2  2ab  b 2  a  b 
x 2  10 x  25  x  5
2
2
x 2  pq  q
x 2  7 x  6   x  6x  1
Trinomio: x 2  5 x  6   x  3 x  2
x 2  4 x  5   x  5 x  1
x 2  2 x  8  x  4 x  2
Trinomio:
mx 2  px  q; m  1
2 x 2  5 x  3  2 x  3x  1
Ruffini:


x 2  2 x 2  5 x  6  x  1 x 2  x  6  x  12 x  3


x 3  3x  4  x  1 x 2  4 x  2  x  1x  2x  2
1 2
-1 1 -1
-6
6
1 -16 0
1 -3 0 4
-1 1 -1 4 -4
1 -4 4 0
Identidades trigonométricas: (ver pagina 48).
Sen 2   Cos 2   1
Tang * Cot  1
Sen 2  Sen 2  * Cos 2
Cos 2  Cos 2  * Sen 2 
Sen
Cos
Cos
Cot 
Sen
1
1  Tang 
Cos
1
1  Cot 
Sen
Cos  1  Sen 2 
Tang 
Sen     Sen * Cos  Cos * Sen 

  Sen     Sen * Cos  Cos * Sen
Seb     Sen * Cos  Cos * Sen 
Cos     Cos * Cos  Sen * Sen 

  Cos     Cos * Cos  Sen * Sen
Cos     Cos * Cos  Sen * Sen 
Tang  Tang 

Tang      1  Tang  Tang 
Tang  Tang



  Tang     
1  Tang  Tang
Tang      Tang  Tang 

1  Tang  Tang 


Cot  Cot 

Cot      1  Cot  Cot 
Cot  Cot



  Cot     
1  Cot  Cot
Cot      Cot  Cot 

1  Cot  Cot 


Logaritmos.
Logaritmación: dado una base a  0 , a  1 y un número b  0 , se llama logaritmo de base
b en base a y se denota log a b al número c al cual hay que elevar la base para obtener el
número a c  b ; simbólicamente se escribe log a b  c y solo si a c  b donde a (base), b
(argumento) y c (Logaritmo)
Propiedades de los logaritmos.
a loga b  b  2 log2 3  3
log a 1  0
log a b r  r log a b  3 log 2 8  3 * 3  9
log a a b 
log 1 a  no _ esta _ definido
log a a  1
log a b1 : b2   log a b1  log a b2
1
1
log a b  log 3 3 27  log 3 27
n
3
log a b 
1
log b a
log 4 c 
log a c
log 2 8 3
 log 4 8 

log a b
log 2 4 2
Ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales.
Ecuación lineal en una variable es una ecuación que se puede reducir a la forma ax  b  0
donde a  R _ b  R _ a  0 .
Función lineal.
Dado dos conjuntos X y Y cualesquiera, una función F de X en Y (en símbolos: F : X  Y )
es una correspondencia que a cada elemento xx  x  le hace corresponder un único
elemento y  y  y  que se denota como y  F x
Concepto de función.
Sea X y Y dos conjuntos cualesquiera. Una función f de X en Y (en símbolos f : X  Y ) es
un conjunto de pares ordenados x : y  tal que x  X , y  Y y cada X aparece como la
primera coordenada de un solo par ordenado.
Propiedades de las funciones lineales.
Sea f una función lineal de la forma f ( x)  mx  n , donde m, n son números reales dados
y _ x  R Entonces Dom. _ f : R , Im g _ f : R , xm  
n
es el único cero de la función para
m
calcularlo se resuelve la ecuación lineal mx  n  0 respecto a x.
Es monótona creciente cuando m>0 siendo positiva para x  
cuando m<0 siendo negativa para x  
n
y monótona decreciente
m
n
m
Una inecuación lineal en una variable es una inecuación que se puede reducir a la forma
siguiente ax  b  0; _ ax  b  0; _ ax  b  0; _ ax  b  0; _a  R _ b  R; _ x  _ a  0
Propiedades de la relación menor que monotonía.
1. Si a  b y b  c , entonces a  c
2. Si a  b entonces a  c  b  c y a  c  b  c
3. Si a  b y c  0 entonces ac  bc y
a b

c c
4. Si a  b y c  0 , entonces ac  bc y
a v

c c
Ecuaciones cuadráticas.
Las ecuaciones cuadráticas en una variable son aquellas ecuaciones en las cuales el mayor
grado al cual aparece la variable es 2. Ellas se reducen a la forma x 2  bc  c  0 ;
a  R; _ b  R; _ c  R; _ a  o
Para resolver una ecuación cuadrática se transponen todos los términos para un solo
miembro y se iguala a cero, se realiza operaciones indicadas y se reducen a términos


semejantes al llegar a la expresión de segundo grado igualada a cero ax 2  bc  c  0 , se
factoriza y se iguala a cero cada factor, resolviendo así dos ecuaciones;, en caso de que no

se pueda factorizar, se calcula el discriminante D  b 2  4ac

b D
2a
-
Si D  0 , la ecuación tiene dos soluciones reales x1.2 
-
Si D  0 , la ecuación tiene una solución real que en este caso es una raíz de
multiplicidad 2 : x1.2 
-
b
2a
Si D  0 , la ecuación no tiene soluciones reales.
¿Qué es una función cuadrática?
La correspondencia
f
que cada
x  R le hace corresponder el número real
f x   ax 2  bx  c a  0 donde a, b y c son números reales dados, se denomina función
cuadrática o función de segundo grado. La representación grafica de esta función es una
parábola.
En general, el grafico de la función g es definida por g x   ax 2 a  0 se puede obtener el
grafico de la fusión f dada por f x   x 2 en una dilatación si a  1 y por reflexión, si a  1
(respecto al eje x en los tres casos). Para los restantes valores de aa  0 se puede obtener
el grafico a partir de la composición de los movimientos anteriores.
Resumen de las propiedad de las funciones y  ax 2 a  0
Propiedades.
a>0
a<0
Dominio.
R
R
Vértice.
v0;0
v0;0
Imagen.
y  R; _ y  0
y  R; _ y  0
Ceros.
x0
x0
Monotonía.
Monotonía creciente
Monotonía decreciente
x0 y 0
x0 y 0
Máximo o mínimo.
y 0  0 Mínimo.
y 0  0 Máximo.
Grafica.
Parábola que habré hacia Parábola que habré hacia
Simetría.
arriba.
abajo.
Respecto al eje y x  0
Respecto al eje y  y  0
¿Qué es una inecuación cuadrática?
Una inecuación cuadrática es una variable que se puede reducir en dos formas
ax  bc  c  0 ; ax 2  bx  x  0 ; ax 2  bc  c  0 ; ax 2  bc  c  0 cuando a, b y c son
números reales dados.
Nota: Para resolver una inecuación cuadrática se puede seguir los pasos siguientes:
1. Se transforma todos sus términos para n solo número miembro y se
compara con 0.
2. Se reduce términos semejantes.
3. Se hallan los ceros del trinomio de segundo grado asociado a la ecuación.
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variable es hallar los pares
ordenados x; y  que satisfaga simultáneamente las dos ecuaciones:
a1 x  b, y  c1
a 2 x  b2 y  c 2
Dichos pares ordenados forman el conjunto de solución del sistema, si dos sistemas
tienen el mismo domino de definición y el mismo conjunto de solución, se llaman
equivalentes.
Las transformaciones equivalentes consisten en intercambiar dos ecuaciones, multiplicar
una ecuación por un factor diferentes de cero o en adiciona un múltiplo constante de una
ecuación a otra con el propósito de eliminar una de las incógnitas.
Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables es hallar los temas
ordenados a; y; z  que satisfacen simultáneamente las tres ecuaciones:
a1 x  b1 y  c1 z  d 1
a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2
a 3 x  b3 y  c 3 z  d 3
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables son:
1. Se tomados parejas de ecuaciones en las que se eliminan las mismas
variables para obtener nuevas ecuaciones con solo dos ecuaciones.
2. Se resuelve el sistema formado por estas dos ecuaciones.
3. Se sustituye los valores encontrados en las ecuaciones originales y se halla
el valor de las otras variables.
Relaciones entre ángulos.
a
β
γ
α
δ
b
Fig. 1.
En la figura 1 tenemos que estos ángulos reciben el nombre de
opuestos por el vértice común y estos ángulos son iguales o congruentes.
c
1
2
a
3
5
7
4
6
b
En la figura 2 tenemos
-
Ángulos alternos: 1 y 8; 2y 7; 3 y 6; 4 y 5
-
Ángulos correspondientes: 1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4
y 6.
8
Fig. 2.
-
Ángulos conjugados: 1 y 7; 3 y 5; 2 y 8; 4 y 6.
-
Los ángulos adyacentes y conjugados suman
180º.
Si dos rectas son paralelas a y b son cortadas por una secante c, los ángulos
(correspondientes) que se forman son iguales a los ángulos conjugados suplementarios.
El reciproco de este teorema es: Si al cortarse dos rectas ay b por una secante c
los ángulos alternos (Correspondientes) se forman son iguales a los ángulos
conjugados siendo complementarios, entonces a las rectas a y b son paralelas.
Si dos ángulos, ambos agudos (o ambos obtusos) tiene sus lados respectivamente paralelos,
entonces sus amplitudes son iguales.
Si dos ángulos agudo u obtuso tienen sus lados respectivamente paralelos, entonces sus
amplitudes suman 180º.
Si dos ángulos, ambos agudos (o ambos obtusos) tienen sus lados respectivamente
perpendiculares, entonces sus amplitudes son iguales.
El ángulo obtuso y el suman 180.
Triángulos.
En la figura 3 se cumple las siguientes
C
condiciones:
δ
-
La suma de las amplitudes de los
ángulos interiores de un triángulo es de 180º
α
A
δ
β
B
Fig. 3.
(α+β=180º).
D
-
La amplitud de todos los ángulos
exteriores de un triangulo es igual a la suma de
las amplitudes de los ángulos interiores no adyacentes a él (δ=α+γ).
Círculo y circunferencia.
La circunferencia es un conjunto de puntos del plano que
P
r
O
están equidistantes de un punto fijo llamado centro. La
distancia
del
centro
hacia
cualquier
punto
de
la
circunferencia se llama radio.
Llamamos circulo al conjunto de puntos formados por los
Fig. 4.
puntos de la circunferencia y los puntos internos a ella, es
decir, son aquello puntos cuya distancia al centro es menos
igual al radio.
Igualdad de triángulos.
Dos triángulos son iguales si existe un movimiento del plano que transforme uno en otro
(Traslación, rotación, reflexión o cual cualquier composición de ellos). Para esto sus tres
lados y sus tres ángulos deben ser iguales respectivamente.
Criterios de igualdad del triangulo.
Dos triangulo son iguales si tienen respectivamente iguales:
 Los tres lados iguales (fig. 5) {l.l.l}
 Dos lados y el ángulo comprendido (fig. 6) {l.a.l}
 Un lado y los ángulos adyacentes a ese lado (fig. 7) {a.l.a}
C´
C
Fig. 5
P
B´
A´
A
P´
M´
B
M
T´
T
N
Fig. 7
R´
R
Fig. 6
S´
S
En la figura 5 es:
En la figura 6 es:
En la figura 7 es:
RS  R´S´
AB  A´B´
MN  M ´N´
TRS  T ´R´S
BC  B´C
MP  M ´P
TSR  T ´S´R´
AC  A´C´
´PMN  P´M ´N´
N´
Teorema de las transversales.
O
A.C.//BD
Figura 8.
Si dos semirrectas de origen común so
cortadas por varias rectas paralelas,
A
C
entonces la razón entre dos segmentos de
una de ellas es igual a la razón entre los
B
segmentos correspondientes en la otra, es
D
decir,
se
forman
segmentos
proporcionales.
En la fig. 8 es
OA CD OA DC OA OC
;
;



OB OD AB CD OB OD
Dos triángulos son semejantes sus ángulos respectivamente iguales y sus lados homólogos,
C
N
M
M
N
C
A
B
Fig. 9.1
B
A
Fig. 9.2
o sea, los que se oponen a ángulos iguales son respectivamente proporcionales (fig. 9.1 y
9.2).
En la figura 9.1 que un ángulo es común y en la otra figura (9.2) que es un ángulo opuesto
por el vértice se puede demostrar que los restantes ángulos dos a dos y los ángulos de
estos triángulos son proporcionales por el teorema de los transversales, por lo que dichos
triángulos so n semejantes.
Teorema fundamental de la semejanzade triangulo.
-
Si se traza una recta paralela a un lado de un triangulo de forma tal que corte
a los otro dos lados o sus prolongaciones, entonces los triángulos que así se
forman son semejantes.
-
Dos ángulos.
-
Proporcionales dos lados e = el ángulos comprendido.
-
Proporcionales los 3 lados.
Criterios de semejanzas de triangulo.
Dos triángulos son semejantes si tienen respectivamente:
-
Iguales dos ángulos
-
Dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido.
-
Proporcionales sus 3 lados.
Semejanza de triángulos.
-
a.a dos ángulos respectivamente iguales.
-
p.a.p 2 lados proporcionales y el ángulo correspondiente.
-
p.p.p 3 lados proporcionales.
Teorema de Pitágoras.
En todo triangulo el cuadrado de la longitud de a hipotenusa es igual a la suma del
cuadrado de las longitudes de los catetos
c 2  a 2  b 2 (Fig. 10)
Teorema reciproco de Pitágoras. (fig. 10)
En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la longitud de a altura relativa a la hipotenusa
es igual al producto de las longitudes de los segmentos que esta determinada sobre la
hipotenusa.
Teorema de los catetos. (Fig. 10)
En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la longitud de cada uno de los catetos es igual
al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud del segmento de a hipotenusa
correspondiente al cateto.
a
c
b
cos  
c
C
sen 
Fig. 10
90º
b
A
a
h
β
α
p
tan g 
B
cot  
q
c
Los
a
b
b
a
ángulos
agudos
complementarios,
es
    90º o   90º   o   90º  Esto nos permite concluir lo siguiente:
-
El seno de α es igual al coseno de su complemento, 90º - α y viceversa.
Simbólicamente:
-
sen  cos90º  
cos   sen90º  
La tangente de α es igual al coseno de su complemento, 90º - α y viceversa.
Simbólicamente:
Tang  Cot 90º  
Cot  Tang 90º  
son
decir,
Ángulos notables.
30º
Senα
45º
60º
2
2
3
2
1
2
2
2
1
2
Cosα
3
2
Tangα
3
3
1
3
Cotα
3
1
3
3
Y
Y
r
r
Y
m (-x; y)
M (x; y)
r
o
m
r
X
-r
-r
Fig. 11.1
r
m(x; y)
θ
α
X
x
o
r
m3(x; - y)
-y
Fig. 11.3
-r
En resumen, si 0º    90º entonces:
Tan  0  Sen  1   90º 
Cot  0  Cos  1   90º 
-y
-r
Y
-r
α
-x
m
m2(x; y)
x
m(x; y)
θ
α
x
y
Fig. 11.2
Segundo cuadrante.
90º    180º M 1  x; y 
x
r
x
x
Cos 

r
r
y
y
Tang 

x
x
x
x
Cot 

y
y
Tercer cuadrante.
1801  z  270º M 2  x; y 
Sen 
Cuarto cuadrante.
270º    360º M 3 x; y 
Sen  
y
 Sen
r
Sen  
y
  Sen
r
y
Cos    Cos
f
y y
Tang 
  Tang
x x
x x
Cot 
  Cot
y y
x
 Cos
r
y
Tan    Tan
x
y
Cot   Cot
x
Formula de reducción.
Formula de reducción.
Formula de reducción.
  180º 
Sen180º    Sen
Cos180º    Cos
Tan180º    Tang
Cot 180º    Cot
  180º 
Sen180º     Sen
Cos180º    Cos
Tan180º    Tang
Cot 180º    Cot
  360º 
Sen360º     Sen
Cos360º    Cos
Tan360º    Tang
Cot 360º    Cot
Si  180º M 1  r ;0 
Si  270º M 2 0; r 
Si  360º M 1 r ;0 
y 0
 0
r r
x r
Cos180º  
 1
r
r
y r
Tan180º  
0
x
0
x r
Cot 0º  
 No _ se _
y
0
puede _ definir .
r
 1
r
0
Co  270º   0
r
r
Tan1270º 
 no _ se _
0
puede _ definir .
0
0
r
r
Cos1360º   1
r
0
Tan1360º   0
r
r
Cot 360º   no _ se _
0
puede _ definir .
Sen180º 
Sen 270º 
Cot 270º 
0
0
r
Cos 
Sen360º 
Si xe 0;360º  entonces:
 1  Sen  1
 1  Cos  1
Tan  a , con _ a  R;   90º ;   270º
Cot 
1
con _ a  R;   0º ;   180º
a
Las ecuaciones trigonométricas en el intervalo 0;360º pueden ser negativas o positivas
según el cuadrante al que pertenece el ángulo.
Razón trigonométrica. Signo.
Trigonométrica.
IC IIC IIIC IVC
Seno.
+
+
-
-
Coseno.
+
-
-
+
Tangente.
+
-
+
-
Cotangente.
+
-
+
-
Los valores de los ángulos axiales pueden ser 0 : 1;1 o no estar definidos:
Razón trigonométrica. 0º 90º 180º 270º
Seno.
0
1
0
-1
Coseno.
1
0
-1
0
Tangente.
0
-
0
-
Cotangente.
-
0
-
0
COMPENDIO PI 12º GRADO.
Geometría plana
1. Propiedades de las figuras planas.
1.1 Ángulos.
 Los ángulos alrededor de un punto suman 360º. (figura 1.1)
 Los ángulos alrededor de un punto y a un mismo lado de una recta suman 180º. (figura
1.2).
 Los ángulos adyacentes son aquellos que tiene un lado común y el otro lado son
semirrectas opuestas y suman 180º. (figura 1.3)

La
bisectriz
de
un
ángulo divide a este en dos ángulos iguales y cumple la propiedad de que todo punto P de
la bisectriz equidista de los lados del ángulo (figura 1.4).
 Las bisectrices de los ángulos adyacentes son perpendiculares.
 Al cortarse dos rectas se forman ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. Los
ángulos opuestos por el vértice son iguales. (figura 1.5)
 Si dos ángulos agudos u obtusos tienen sus lados respectivamente paralelos entonces son
iguales. Si uno es agudo y el otro es obtuso suman 180º.
 Si dos ángulos agudos u obtusos tienen sus lados respectivamente perpendiculares
entonces son iguales. Si uno es agudo y el otro es obtuso suman 180º.
 Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante se forman ángulos alternos iguales,
correspondientes iguales y conjugados que suman 180º. (figura 1.6)
Alternos: 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6.
Correspondientes: 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8.
Conjugados: 1 y 8, 2 y 7, 3 y 6, 4 y 5.
 Si dos rectas a y b son cortadas por una secante c y se forman ángulos
alterno iguales o correspondientes iguales o conjugados que suman 180º
las rectas a y b son paralelas. (Teorema recíproco del teorema de ángulos entre paralelas).
1.2 Triángulos.
 Para que exista un triángulo se he de cumplir la desigualdad triangular que plantea: En
todo triángulo un lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que su
diferencia.
 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º. (
+  + = 180º). (figura 1.7)
 Un ángulo exterior de un triángulo () (figura 1.7) está formado
por un lado del triángulo y la prolongación del otro lado y es
igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él ( =
+ ).En todo triángulo existen 6 ángulos exteriores iguales dos a dos y suman 360º.
 Los triángulos se clasifican:
- según sus lados en: escaleno (todos los lados desiguales),
isósceles (dos lados iguales) o equilátero
(sus tres lados
iguales). Según sus ángulos en: acutángulo (todos sus ángulos
son agudos), rectángulo (tiene un ángulo recto) u obtusángulo (tiene un ángulo obtuso).
 Las rectas notables del triángulo son la altura, mediana, mediatriz y la bisectriz.
Altura de un triángulo: es el segmento de perpendicular trazado desde un vértice hasta el
lado opuesto. Se denota por una h minúscula con un subíndice que indica el lado al cual es
trazada. En todo triángulo existen tres alturas que se intersecan en un punto llamado
Ortocentro. (figura 1.8).
Mediana de un triángulo: es el segmento trazado desde
un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Se
denota por una m minúscula con un subíndice que
indica el lado al cual es trazada. En todo triángulo
existen tres medianas que se intersecan en un punto
llamado Baricentro (figura 1.9) y cumple las propiedades de ser el centro de gravedad del
triángulo y su distancia los vértices es dos tercios de la longitud de la mediana
correspondiente.
Mediatriz en el triángulo: es la recta perpendicular en el punto medio de cada lado del
triángulo. Se denota por una M mayúscula con un subíndice que
indica el lado al cual es trazada. En todo triángulo existen tres
mediatrices que se intersecan en un punto llamado Circuncentro
(figura 1.10) y cumple la propiedad de ser el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.
Bisectriz en el triángulo: se llama bisectriz de un ángulo interior
de un triángulo al segmento de bisectriz
de dicho ángulo trazado desde el vértice hasta el punto en que
corta al lado opuesto. En todo triángulo existen tres bisectrices
que se intersecan en un punto llamado Incentro (figura 1.11) y
cumple la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscrita
en el triángulo.
(circunferencia tangente a los lados del triángulo).
 En todo triángulo isósceles los ángulos adyacentes a la base (lado desigual) son iguales y
la altura respecto a la base coincide con la mediana y mediatriz relativas a ese lado y la
bisectriz del ángulo que se le opone (ángulo principal). Los puntos notables quedan
alineados sobre la altura.
 En todo triángulo equilátero sus ángulos interiores miden 60º y las alturas, medianas,
mediatrices relativas a cada lado y las bisectrices de sus ángulos coinciden al igual que los
puntos notables ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro.
 Se llama paralela media de un triángulo al segmento de paralela trazado a un lado del
triángulo por los puntos medios de los otros dos
lados
su longitud es igual a la mitad del lado al que
está
y
trazado (figura 1.12).
 Igualdad de triángulos.
Dos
triángulos
son
iguales
si
tiene
respectivamente iguales sus tres lados y sus tres ángulos.
Criterios de igualdad de triángulos
- En todo triángulo se cumple:
Dos triángulos cualesquiera son iguales si tienen respectivamente iguales:
Sus tres lados, o dos lados y el ángulo comprendido, o un lado y los ángulos adyacentes a
ese lado.
- En todo triángulo rectángulo se cumple:
Dos
triángulos
rectángulos
son
iguales
si
tienen
respectivamente iguales:
Los dos catetos, o un cateto y la hipotenusa, o un cateto y un
ángulo agudo, o la hipotenusa y un ángulo agudo.
 Segmentos proporcionales. Los segmentos AB , CD , EF y GH
son proporcionales si la razón (cociente) entre sus longitudes son iguales. Simbólicamente:
Si
AB
CD

EF
GH
entonces los segmentos AB , CD , EF y GH son proporcionales.
 Teorema de las transversales.
Si un haz de semirrectas de origen común son cortadas por varias rectas paralelas se
cumple que la razón entre dos segmentos de una de ellas es igual a la razón entre los dos
correspondientes en la otra. (figura 1.13).
Nota: Este teorema también se cumple entre un segmento de la transversal y su
correspondiente segmento de paralela, o sea,
OA
AD

OB
BE
.
 Recíproco del Teorema de las transversales.
Si un haz de semirrectas de origen común son cortadas por varias rectas de forma tal que la
razón entre los segmentos de una de ellas es igual a la razón entre los segmentos
correspondiente en la otra, entonces las rectas son paralelas.
En todo triángulo la bisectriz de un ángulo interior divide al lado opuesto en segmentos
proporcionales a los otros dos lados del triángulo. En la figura 1.11 respecto a la bisectriz
CE esta propiedad se expresaría simbólicamente:
AE
EB

AC
BC
.
 Semejanza de triángulos.
Dos triángulos son semejantes si tienen respectivamente proporcionales sus tres lados y
sus tres ángulos iguales.
Teorema fundamental de la semejanza de triángulos. Toda recta paralela a un lado de un
triángulo, forma con los otros dos lados (o sus prolongaciones) otro triángulo que es
semejante al triángulo dado.
En la figura 1.13 para el OBE, AD || BE luego OBE OAD.
Criterios de semejanza de triángulos
 En todo triángulo se cumple:
- Dos triángulos cualesquiera son semejantes si tienen respectivamente: iguales dos
ángulos, o proporcionales dos lados e igual el ángulo comprendido entre esos lados, o
proporcionales sus tres lados.
- En todo triángulo rectángulo se cumple:
Dos triángulos rectángulos son semejantes si tiene respectivamente: iguales un ángulo
agudo, o proporcionales sus catetos, o proporcionales la hipotenusa y un cateto.
 Relaciones métricas en los triángulos.
En todo triángulo rectángulo se cumple:
Teorema de Pitágoras: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos (c2= a2 + b2)
(figura1.14).
Teorema de la altura: El cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto
de los segmentos que esta determina sobre la hipotenusa (h2=
p·q) (figura 1.14)
Teorema de los catetos: El cuadrado de cada cateto es igual al
producto de la hipotenusa por su proyección sobre la
hipotenusa (a2= c·p ; b2= c·q) (figura 1.14).
Las razones trigonométricas (figura 1.15):
sen =
a
;
c
 cateto opuesto 

 ;
 hipotenusa 
cos =
b
;
c
 cateto adyacente 


 hipotenusa

tan  =
a  cateto opuesto
;
b  cateto adyacente



cot =
b
;
a
 cateto adyacente 


 cateto opuesto 
Si en un triángulo rectángulo existe un ángulo de 30º se cumple que la longitud de la
hipotenusa es el doble del cateto opuesto a ese ángulo y el cateto adyacente al ángulo de
30º es
3 por el cateto opuesto (figura 1.16).
- En todo triángulo se cumple:
La Ley de los senos: En todo triángulo la razón
entre la longitud de
un lado y el seno del ángulo opuesto a ese lado es constante e
igual al diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
 a

b
c



 2r  (figura 1.17).
 sen sen sen

La ley de los cosenos: En todo triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados menos el duplo del producto de esos lados por el
coseno del ángulo comprendido. (a2 = b2 + c2 – 2bc·cos ; b2 = a2 + c2 – 2ac·cos ;
c2 = a2 + b2 – 2ab·cos)(figura 1.17)
- Área de un triángulo cualquiera: A =
1
1
b·h ; A = ab sen.
2
2
- Área del triángulo equilátero: A =
3 2
l (l: lado del triángulo).
4
- Área del triángulo rectángulo: A =
1
a·b (a y b catetos)
2
- Perímetro del triángulo: P = a + b + c
1.3 Cuadriláteros
 La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es de 360º.
 Los cuadriláteros se clasifican en cuadriláteros convexos o cóncavos (no convexo).
 Los cuadriláteros convexo se clasifican según el paralelismo de sus lados en:
paralelogramo (los dos pares de lados opuestos paralelos), trapecio (un par de lados
opuestos paralelos) y trapezoide (ningún par de lados opuestos paralelos).
 Los paralelogramos se clasifican en:
Paralelogramo oblicuángulo (o simplemente paralelogramo), rectángulo, rombo o
cuadrado.(figura 1.18).
 Propiedades de los paralelogramos Los lados opuestos
son
paralelos
e
iguales.
( AB = CD , AD = BC ).
Las
diagonales se cortan en su punto medio. (O: punto medio
de AC y BD ).
Los ángulos opuestos son iguales. (A = C; B = D)
Rectángulo: paralelogramo con sus 4 ángulos rectos
(A=C=B=D= 90º).
Cumple además, que sus diagonales son iguales. ( AC =
BD ).
Rombo: paralelogramo con sus 4 lados iguales. ( AB = CD = AD = BC ). Cumple además, que
sus diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ángulos opuestos que tienen su
vértices
en sus extremos. ( AC  BD ; AC bisectriz de los ángulos A y C;
BD bisectriz de los ángulos B y D).
Cuadrado: paralelogramo que es rectángulo y rombo a la vez.
 Un cuadrilátero convexo es un paralelogramo si: sus lados
opuestos son paralelos, o sus lados opuestos son iguales, o un para
de lados opuestos son paralelos e iguales, o las diagonales se cortan
en su punto medio, o los ángulos opuestos son iguales.
 En todo paralelogramo las
bisectrices
de
los
ángulos
opuestos son paralelas y la de
los
consecutivos
son
perpendiculares (figura 1.19).
 Todo segmento que tiene sus extremos en los lados opuestos de un paralelogramo y pasa
por el centro, este lo biseca.
 Los trapecios se clasifican en: trapecio general (simplemente trapecio), trapecio isósceles
y trapecio rectángulo. (figura 1.20)
 En todo trapecio isósceles son iguales (figura 1.20): los lados no paralelos
( AD  BC ), las diagonales ( AC  BD ) y los ángulos adyacentes a cada base
(A = B y C = D).
 En todo trapecio rectángulo un lado no paralelo es perpendicular a las base.
 Diagonal del cuadrado: d =
2 l (l: lado del cuadrado).
 Área de los cuadriláteros:
- paralelogramo: A = bh ; A = ab sen (0º<<180º; a, b: lados consecutivos).
- rectángulo: A = ab
- rombo: A =
d1  d 2
(d: diagonales del rombo) ; A = a2sen (0º<<180º).
2
- cuadrado: A = a2
- trapecio: A =
Bb
 h (B, b: bases del trapecio, h: altura).
2
- cuadrilátero no convexo: A = A1 + …+ An (A1;…; An: áreas de los triángulos en que
descompone el cuadrilátero)
 Perímetros:
- paralelogramo y rectángulo: P = 2(a + b)
- rombo y cuadrado: P = 4a.
- trapecio y cuadrilátero no convexo: P = a + b + c + d.
1.4. Circunferencia
 Circunferencia: Conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo del plano
llamado centro. La distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se llama
radio (r).
 Elementos de la circunferencia.
Cuerda: segmento que tiene sus extremos en puntos de la circunferencia. En la figura 1.21 a
AB y CD son cuerdas. Longitud: l = d sen

(d: diámetro, : amplitud ángulo central que
2
determina la cuerda
Diámetro: la mayor de todas las cuerdas, contiene al centro de la circunferencia y su
longitud es 2r. En la figura 1.21a, CD es un diámetro.
Ángulo central: ángulo que tiene su vértice
en el centro de la circunferencia. En la
figura 1.21b el AOB.
Arco: es la intersección de un ángulo
central con la circunferencia. Se denota por
un pequeño arco sobre las letras de sus
extremos (figura 1.21b) y su medida es igual a la
del ángulo central que lo determina.
 Angulo inscrito: ángulo cuyo vértice es un punto
de la circunferencia y sus lados son cuerdas. En la figura 1.21b el EFG es un ángulo
inscrito.
 Ángulo semiinscrito: ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia, un lado es una
cuerda y el otro lado es tangente a la circunferencia en el vértice. En la figura 1.21b el
MNP es un ángulo semiinscrito.
 Círculo: Conjunto de puntos del plano limitado
por una circunferencia. El radio del círculo es el
radio de la circunferencia.
 Sector circular: porción del círculo determinado
por un ángulo central
(figura 1.22a).
 Segmento circular: porción del plano comprendido entre una cuerda y el arco que esta
determina.(figura 1.22b).
 Corona o anillo: conjunto de puntos del plano limitada por dos circunferencias
concéntricas. (figura 1.23a).
 Trapecio circular: Es la parte de corona o anillo limitada por dos radios.
(figura 1.23b)

En
una
circunferencia
o
en
circunferencias iguales a ángulos
centrales iguales corresponden arcos
iguales y cuerdas iguales y viceversa
(figura 1. 24a).

En
una
circunferencia
o
en
circunferencias iguales a cuerdas iguales corresponden arcos iguales y viceversa. (figura
1.24b).
 En una circunferencia, o en circunferencias iguales, las cuerdas iguales equidistan del
centro y viceversa. En la figura 1.25 las cuerdas AB y A B  son
iguales entonces sus distancias al centro de la circunferencia OC y
OC también lo son.
 El diámetro o radio perpendicular a una
cuerda biseca a la cuerda y al arco que esta
determina. En la figura 1.26 el diámetro DF
 AB por tanto C es el punto medio de la
cuerda AB y el punto
D es el punto medio del arco AB.
 El diámetro o radio en el punto medio de una cuerda o del arco que esta determina es
perpendicular a la cuerda.
 El diámetro o radio en el punto de tangencia es perpendicular a la
tangente (figura 1.27).
 La amplitud de todo ángulo inscrito o semiinscrito es igual a la mitad
del arco que determina (figura 1.28).
 Todos los ángulos inscritos cuyos lados abarcan el mismo arco son
iguales (figura 1.28).
 Teorema de Tales: Todo ángulo inscrito sobre un diámetro es de
90º. En la figura 1.29 el  ABC = 90º por estar inscrito en el diámetro
AC .
 Todo triángulo equilátero de lado l inscrito en una circunferencia
de radio r cumple que: l =
3 r.
 Todo cuadrado de lado l inscrito en una circunferencia de radio r
cumple que: l =
2 r.
 Áreas en el círculo.
- Círculo: A =
r2
2
r 2  o r  rad
- Área del sector circular: A =
=
360 o
2
r 2  o
r2
o

- Área del segmento circular: A = 
=

sen

 2 rad  sen rad 
2  180o

longitud de la circunferencia: L = 2r
1.5 Polígonos regulares
 Polígono: porción del plano limitada por una línea poligonal cerrada de n lados (n  3).
Los polígonos reciben nombre según la cantidad de lados.
3 lados, triángulo
4 lados, cuadrilátero
5 lados, pentágono
6 lados, exágono
7 lados, heptágono
8 lados, octógono
9 lados, eneágono 10 lados, decágono , etc.
Los polígonos se clasifican en convexo o no convexo. Un polígono es convexo si sus
ángulos interiores son menores de 180º y no convexo si tienen al menos un ángulo interior
mayor de 180º (sobre obtuso) (figura 1.30)
 Polígono regular: Es todo polígono convexo que tiene todos sus lados iguales y todos sus
ángulos iguales.
 La suma de los ángulos interiores de un polígono es de:
Sn= 180º(n – 2)
n: número de lados
180 o n  2
 La amplitud de un ángulo interior de un polígono regular es  
n
(n número de lados).
 Diagonal de un polígono: Es el segmento cuyos extremos son vértices no consecutivos del
polígono. La cantidad de diagonales de un polígono se determina por la expresión: dn=
nn  3
2
(n: número de lados)
 Todo polígono regular tiene sus vértices en una circunferencia (circunferencia
circunscrita). El centro de la circunferencia circunscrita es el centro del polígono (figura
1.31).
 Apotema de un polígono regular: Es la perpendicular trazada desde el centro del
polígono a cualquiera de sus lados, se denota por una letra minúscula “a” y es el radio de
la circunferencia inscrita en el polígono.(figura 1.32)
 Todo polígono regular de n lados se puede descomponer en n triángulos isósceles
iguales, donde los lados iguales son los radios de la circunferencia circunscrita y la altura
es la apotema del polígono (figura 1.33). La amplitud del ángulo principal de estos
triángulos isósceles se obtiene a través de la relación
360 o
. En el caso del exágono este se
n
descompone en 6 triángulos equiláteros.
 En todo polígono regular de n lados se cumple que la longitud del lado en función del
radio de la circunferencia circunscrita se obtiene por la fórmula:

360 o
l = r · 21  cos
n




Geometría del Espacio
1. Propiedades de la Geometría del Espacio.
1.1 Espacio, rectas y planos.
● Espacio: Conjunto de puntos donde las rectas y planos son subconjuntos de él.
● Recta: Es un subconjunto propio del espacio que tiene las siguientes propiedades:
a) dos puntos determinan una recta y solo una,
b) por un punto pasan infinitas rectas,
c) si dos rectas tienen dos puntos comunes son coincidentes,
d) el conjunto de puntos de una recta se puede poner en correspondencia biunívoca con
el conjunto de los números reales, de manera que se conserva el orden.
● Plano: Es un subconjunto propio del espacio determinado unívocamente por:
a) tres puntos no alineados, o
c) dos rectas paralelas, o
b) dos rectas que se cortan, o
d) una recta y un punto exterior a ella.
● Relación de posición entre rectas en el espacio.
Paralelas: Dos rectas del espacio son paralelas si y solo si están contenidas en un plano y
son paralelas en ese plano (figura 2.1a).
Se cruzan: se dice que dos rectas en el espacio se cruzan si no tienen puntos comunes y no
están en el mismo plano (figura 2.1b), también se llaman rectas alabeadas.
● Una recta y un plano son paralelas si no se intersecan.
● Criterio de paralelismo de recta y plano: Una recta es paralela a un plano si es paralela a
una recta contenida en dicho plano.
● Si dos rectas se cruzan, por cada una de ellas se puede trazar un plano paralelo a la otra.
● Intersección de recta y plano.
a) Si una recta interseca a un plano y es perpendicular a todas las rectas que pasan por el
punto de intersección entonces es perpendicular al plano
(figura 2.2a). El punto de
intersección recibe el nombre de pie de la perpendicular.
b) Si una recta interseca a un plano y no es perpendicular al menos a una recta que pasa
por el punto de intersección entonces la recta es oblicua al plano (figura 2.2b). El punto de
intersección recibe el nombre de pie de la oblicua.
● Criterio de perpendicularidad
de recta y plano:
Si una recta es perpendicular a
dos rectas de un plano que se
cortan en su pie, entonces es
perpendicular al plano.
- Por perpendicular u oblicua a un plano se entiende también al segmento de recta
perpendicular o de recta oblicua entre un punto de dicha recta y un plano.
● Por cualquier punto de una recta se puede trazar un plano y solo un plano perpendicular
a dicha recta.
● Llamamos distancia de un punto a un plano a la longitud del
segmento de perpendicular comprendido entre el punto y el
plano (figura 2.3). La longitud del AA es la distancia del punto
A al plano .
● Si desde un punto se trazan una perpendicular y varias oblicuas a un plano, la
perpendicular es menor que las oblicuas (figura 2.4).
● Se llama proyección de una
oblicua sobre un plano  al
segmento determinado entre el
pie de una oblicua y el pie de la
perpendicular trazada desde
un punto de la oblicua al plano
. En la figura 2.5 el AB  es la proyección del AB sobre el plano , se denota por: AB  =
proy AB y el BAB' formado por la oblicua y su proyección se llama ángulo entre la
oblicua AB y el plano , o ángulo de inclinación de la oblicua respecto al plano .
● Si desde un punto que no pertenece a un plano  o desde varios puntos que estén a igual
distancia del plano  se trazan oblicuas de forma tal que sus proyecciones son iguales
sobre  entonces las oblicuas también lo son. (figura 2.6)
● Si desde un punto que no pertenece a un plano  o desde varios puntos que estén a igual
distancia del plano  se trazan oblicuas iguales
entonces sus proyecciones sobre 
también lo son.
● Dos rectas perpendiculares a un plano son paralelas entre si.
● Si una de dos rectas paralelas es perpendicular a un plano la otra también lo es.
● Teorema de las tres perpendiculares.
Si una recta de un plano que pasa por el pie de una
oblicua al plano es perpendicular a la proyección de la
oblicua, entonces es perpendicular a la oblicua (figura
2.7).
El recíproco de este teorema también se cumple y plantea:
Si una recta de un plano que pasa por el pie de una oblicua es perpendicular a la oblicua,
entonces es perpendicular a la proyección de la oblicua.

El área de la proyección de un polígono sobre un plano  es igual al área del
polígono por el coseno del ángulo formado por el plano del polígono y el plano .

Volúmenes.
- Prismas y cilindro: V = ABh
- Cubo: V = a3

- Pirámides y cono: V =
- Esfera: V =
1
A Bh
3
4 3
r
3
Áreas en los cuerpos.
- Área lateral (AL):
Prismas y pirámides: suma de las áreas de las caras del cuerpo.
Cilindro circular recto: AL= 2rh
Cono: AL= rg
En el caso de los prismas rectos el área lateral también se puede obtener por la
expresión AL = P.h con P: perímetro de la base y h: altura del prisma.
- Área total (AT): Es la suma del área lateral y el área de las bases.
- Área de una esfera: A = 4r2
LOS DOMINIOS NUMÉRICOS
LOS NÚMEROS NATURALES: El conjunto formado por
0,1,2,3,4,5,6,7,8,.......se
denomina conjunto de los números naturales y se denota por  .

El sucesor o consecutivo de todo número natural n es el número natural n  1 .

El antecesor de todo número natural n  1 , es el número natural n 1

Los números pares 0,2,4,6,8,10..,.......se expresan de las forma 2n

Siempre que sumamos dos números pares cualquieras el resultado es otro número
par.

Los números impares 1,3,5,7,9,11,13..se expresan de la forma 2n+1

Siempre que sumamos dos números impares cualquiera el resultado es un número
par.

Un número natural compuesto es aquel que tiene más de dos divisores. Por
ejemplo, el número 21 es compuesto, porque sus divisores son: 1, 3, 7 y 21 . El
número 5 no es un número compuesto, pues solamente tiene dos divisores. El
único número natural par que no es compuesto es el número 2 .

Los números primos 2,3,5,7,11,13,17,19,23,..son aquellos que sólo son divisibles por
1 y por el mismo.
LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS: Los números fraccionarios son aquellos que se
expresan de las forma
a
a, b  N : b  0 o como una expresión decimal periódica.
b
a
a, b  N : b  0 , a es el numerador y b el denominador.
b

En la fracción

En una fracción, el denominador indica en cuántas partes se dividirá un entero y
el numerador indica cuántas de esas partes vamos a tomar.

Una fracción es una representación de una división a través de la siguiente
a
r
notación: b
donde a es el dividendo, llamado numerador en la fracción, b es
el divisor, llamado denominador en la fracción y r es el cociente.

Se dice que dos fracciones son equivalentes si tienen exactamente el mismo
4 12
cociente. Por ejemplo, las fracciones: 5 y 15 son equivalentes.

Cuando el numerador de una fracción es mayor al denominador de la misma,
decimos que la fracción es impropia. En otras palabras, si el cociente r de la
fracción es mayor a 1, entonces la fracción es impropia.

Cuando el numerador de una fracción es menor al denominador de la misma,
decimos que la fracción es propia. En otras palabras, si el cociente r de la
fracción es menor a 1, entonces la fracción es propia.

Aquella
fracción
que
cumple
que
sus
elementos
denominador) tienen factores comunes es una fracción reductible.
(numerador
y

Aquella
fracción
que
cumple
que
sus
elementos
(numerador
y
denominador) no tienen factores comunes es una fracción irreductible. En otras
palabras, el numerador y el denominador de la fracción son primos relativos
cuando la fracción es irreducible.

Cuando un número se escribe con una parte entera y una fraccionaria, por ejemplo
1
3
5 es una fracción mixta.
LOS NÚMEROS ENTEROS: El conjunto de los números enteros es: “El conjunto formado
por los números naturales y sus opuestos” y se denota por Z .
LOS NÚMEROS RACIONALES: El conjunto de los números racionales es el conjunto
formado por los números enteros y los números fraccionarios y sus opuestos. Se denota
por Q .

a
a, b  Z : b  0
Un número es racional cuando se puede expresar de la forma b
o
como una expresión decimal periódica.

El conjunto numérico de los números irracionales es aquel que está formado por
a
a, bZ : b  0
números que no pueden expresar de la forma b
y se expresan por
expresiones decimales, infinitas no periódicas.
LOS NÚMEROS REALES: Los números reales es el conjunto formados por los números
racionales y el conjunto de los números irracionales.
 N Z Q
 QZ  N
FORMAS DE REPRESENTAR CONJUNTOS.
1. El conjunto de todas las letras del alfabeto A, B, C, D, E, F ,.... .
2. El conjunto A formado por A  x   :  1  x  1.
3. Los conjuntos formados por intervalos.
a, b  x   : a  x  b
a, b   x   : a  x  b
a, b   x   : a  x  b
a, b  x   : a  x  b

Como conclusión de este estudio preliminar debes tener seguridad de:

Existen números naturales, fraccionarios, enteros, racionales y reales;

Los números naturales se emplean para indicar cantidades de objetos concretos,
ordenamientos, medidas de conocidas magnitudes;

Los números fraccionarlos se escriben en forma de fracciones o en notación
decimal, un número fraccionario se puede identificar con cualquiera de las
fracciones que lo forman, se emplean para describir partes de un todo y procesos
de distribución, para indicar una medida de una magnitud, para representar
determinados puntos en el rayo numérico;

Los números enteros se emplean para representar magnitudes en sentido contrario
en la recta numérica, para describir la posición de un punto de la recta respecto a
un punto de referencia (punto O);

Los números racionales se emplean para representar magnitudes en sentido
contrario, segmentos orientados (mediante flechas) en la recta numérica, para
describir la posición de un punto de la recta respecto a un punto de referencia
(punto O);

Con los números reales se puede hacer corresponder a cada punto de la recta un
número y viceversa;
Para tu estudio debes conocer que en cuanto a los dominios numéricos:
Dominio Numérico
Limitación que presentan las operaciones
Los números naturales  
La substracción a  b cuando a  b
Los números enteros 
La multiplicación a  x  b
a  0 cuando b no
es un múltiplo a
b  a 
Los números racionales Q
La radicalización x 2  a  b
Los números reales 
La radicalización x 2  a  0 (a  Q, a  0)
FUNCIONES.
CORRESPONDENCIA: “…una correspondencia que a cada elemento de un conjunto, A,
le hace corresponder un único elemento de un conjunto, B; es una función”.

El conjunto A es el dominio de la función ( Dom ( f ) ).

El elemento y del conjunto B ( y  B ) que corresponde a un elemento x del
dominio A ( x  Dom ( f ) ) se llama imagen de x y se denota f  x  , el conjunto de
todas las imágenes es la imagen de la función, y se denota Im f 
FUNCIÓN
A
B

Dom f   x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 

Im f   y1 , y 2 , y3 , y 4 , y5 
DEPENDENCIA
FUNCIONAL:
Se
dice
que
la
variable
y  Im f 
depende
funcionalmente de la variable x  Dom f  si es posible escribir la relación que existe entre
ellas en forma de ecuación. En este caso, se dice que y es la variable dependiente, porque
sus valores dependen del valor que le demos a la variable x . Se dice que x es la variable
independiente de la función. Decimos que y está en función de x , y se escribe:
fx  y

El argumento de una función o preimágenes es el valor que le damos a la variable
independiente para evaluarla. Por ejemplo, si la función logaritmo en base 3 tiene
como argumento 2 x 2  1, se escribe log 3 2 x 2  1
CERO DE UNA FUNCIÓN: El valor del dominio para el cual su imagen es cero se
denomina cero de la función y se calcula por la ecuación f  x   0 .

En una representación gráfica de una función el cero es el punto donde la gráfica
intercepta al eje de las x.
SIMETRÍA DE FUNCIONES:

función par: Toda función f  x  en la cual
para todos los valores de x,  x  Domf se
tiene que
f  x   f  x 
De manera gráfica se cumple que una función
es par cuando es simétrica respecto al eje
“OY”.

función impar:
Toda función
x,  x  Domf se tiene que
f  x  en la cual
para todos los valores de
f  x    f  x 
De manera gráfica se cumple que una
función impar es simétrica respecto al origen
de coordenadas
Para todas las funciones simétricas se cumple
que si:

f  x  es par entonces a  f  x  a   sigue siendo par.
y  a  x2

f  x  es impar entonces a  f  x  a   sigue siendo impar.

f  x  es par entonces f  x   a a   sigue siendo par.

f  x  es impar entonces f  x   a a   no es impar.

f  x  es par entonces f  x  a  a   no es par.
f  x  es impar entonces f  x  a  a   no es impar.

TRIGONOMETRÍA.
SISTEMA SEXAGESIMAL SISTEMA CIRCULAR
 
0
0
0 0
180 0   rad

30
0

6
 rad 
45
0

2
  0
1800
60
0

3
90
0

2
180 
0
270 0
II
SIGNOS DE LA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RAZÓN
IC
IIC
IIIC
IVC
sen
+
+
cos 
+
+
tan 
+
+
cot 
+
+
-
III
3 360 0 2
2
I
IV
FÓRMULAS DE REDUCCIÓN
CUADRANTE
FÓRMULA
IIC
180 0     
IIIC
270 0     
IV
360 0   2  
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES (ver pagina 6).
“Una identidad es una igualdad que contiene al menos una variable y que se satisface
para todos los valores del dominio de la variable”
2
2


sen x  1  cos x 
1. sen 2 x  cos 2 x  1   2
2 

cos x  1  sen x 

2. tan x 
cos x
senx
cot x 
cos x
senx
3. 1  tan 2 x 
1
1
1  cot 2 x 
cos x
senx
4. tan x  cot x  1
5. senx  y   senx cos y  seny cos x
6. cosx  y   cos x cos y  senysenx
7. tan  x  y  
tan x  tan y
1  tan x tan y
8. sen2x  2senx cos x
2

cos 2 x  1  2sen x 

9. cos 2 x  cos x  sen x  

2

cos 2 x  2 cos x  1

2
2
f  x   senx
Domf  x  .
1. Im g  y   : y   1 ; 1
Valor máximo 1
Valor mínimo  1
2. Ceros k : k   .
3. Paridad: impar.
4. Período principal 2
5. Monotonía: no es monótona.
f  x   cos x
1. Domf  x  .
2. Im g  y   : y   1 ; 1
Valor máximo 1
Valor mínimo  1
0
3. Ceros k : k   .
4. Paridad: par.
5. Período principal 2
6. Monotonía: no es monótona.
f  x   tan x



1. Domf   x   : x  2k  1  k    .
2


2. Im g  
3. Ceros 2k  1 

2
:k .
4. Paridad: impar.
5. Período principal 
6. Monotonía: no es monótona.
f  x   cot x
0 
2
 

2
 2 3

2

3
2
2
1. Domf  x   : x  k k  .
2. Im g  
3. Ceros 2k  1 

2
:k  .
4. Paridad: impar.
5. Período principal 
6. Monotonía: no es monótona.
LEY DE LOS SENOS
En todo triángulo, el cociente de la longitud de un lado y el seno del ángulo opuesto a ese
lado, es constante e igual al duplo del radio de la circunferencia circunscrita.
( R -Radio de la circunferencia circunscrita-)
a
b
c


 2R
sen sen sen
LEY DE LOS COSENOS
En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de las
longitudes de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
b 2  a 2  c 2  2ac cos 
c 2  a 2  b 2  2ac cos 
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA.
Las ecuaciones trigonométricas son aquellas donde la variable aparece como el ángulo de
al menos una razón trigonométrica.
GEOMETRÍA ANALÍTICA
PENDIENTE
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos Ax1 ; y 2  y Bx2 ; y 2  se define como el
cociente: m 
y 2  y1
x 2  x1
La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que ésta forma con el eje horizontal:
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Si Ax; y  y Bx1 ; y1  la distancia entre los puntos A y B se determina por la fórmula
d  A, B  
x  x1 2   y  y1 2
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Ax  By  C  0
ECUACIÓN DE LA RECTA DE FORMA EXPLÍCITA
y
A
C
x
B
B
y  mx  n
CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS
En dos rectas cualesquiera del plano
m1  m2 las rectas son paralelas
En dos rectas cualesquiera del plano
m1  m2 las rectas se cortan en un punto.
Si se cumple que m1  
1
las rectas son perpendiculares
m2
Dados los puntos Ax1 ; y 2  y Bx2 ; y 2  el punto medio del segmento que contiene a los
 x  x 2 y1  y 2 
;
puntos dados tiene por coordenadas M  1

2 
 2