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1. El problema del maestro de Álgebra Lineal Enunciado del problema Suponga que Ud. es maestro de Álgebra Lineal y que ha dejado como problema resolver un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Y Usted, que nunca se equivoca, encuentra que la solución general es: 0 −6 −4 −2 −5 c1 −4 + c2 6 3 −1 −6 donde c1 y c2 son parámetros libres. Varios de sus alumnos contestaron la pregunta de diferentes maneras. a) Juan dió como respuesta c1 −15 −4 4 3 9 + c2 −9 −16 −11 9 0 + c2 43 12 16 −26 17 + c3 −3 4 −7 9 −14 + c3 7 4 12 1 23 5 2 0 2 1 b) José dió como respuesta c1 Dentro de la lista siguiente, indique el comentario que deberı́a hacerle a cada uno de los alumnos anteriores. 1) Su respuesta es correcta: su fórmula genera todas las soluciones y no genera un vector que no sea solución. 2) Su respuesta genera sólo soluciones al sistema homogéneo, pero no genera todas. 3) Su respuesta genera todas las soluciones al sistema homogéneo, pero también genera otros vectores que no son solución. 4) Su respuesta genera sólo algunas soluciones al sistema. Pero hay soluciones que no se obtienen de su fórmula, y además genera otros vectores que no son solución. 5) Su respuesta es tan incorrecta que ninguna de las soluciones diferentes del vector cero se obtienen de su fórmula, y además ningún vector diferente de cero que sale de su fórmula es solución. Solución: Note que las respuestas de cada persona son espacios generados, y por consiguiente, una forma de compararlas la da el teorema de comparación de subespacios generados. Que en términos operativos se reduce a formar aumentadas; reducir y ubicar pivotes. Digamos que U1 es el conjunto de soluciones dado por el maestro, U2 es el conjunto de soluciones dado por Juan y U2 es el conjunto de soluciones dado por José: −6 0 −2 −4 U1 = Gen m1 = −4 , m2 = −5 3 6 −6 −1 7 43 −15 4 12 −4 16 4 , a3 = U2 = Gen a1 = , a2 = 12 1 −26 3 23 17 9 5 −3 −9 4 2 −16 , b2 = −7 , b3 = 0 −11 U3 = Gen b1 = 2 9 9 1 −14 0 Revisemos la respuesta de Juan: ¿La fórmula de Juan da soluciones? Esta pregunta matemáticamente se formula como ¿U2 ⊆ U1 ? Para responderla hacemos 1 0 0 0 − 32 5 0 1 0 0 0 1 [m1 m2 |a1 a2 a3 ] → 0 0 1 0 − 54 0 0 0 1 − 5 0 0 0 0 0 Habiendo pivotes a la izquierda en la reducida de la aumentada, concluimos que tal contención no se cumple: es decir, que hay vectores que produce la fórmula de Juan y que no son soluciones. ¿Toda solución se obtiene de la fórmula de Juan? Esta pregunta matemáticamente se formula como ¿U1 ⊆ U3 ? Para responderla hacemos 1 1 0 0 − 32 0 0 1 0 −1 0 8 5 [b1 b2 b3 |m1 m2 ] → 0 0 1 − 32 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Habiendo pivotes a la izquierda en la reducida de la aumentada, concluimos que tal contención no se cumple: es decir, que hay vectores que sı́ son solución pero que no se obtienen de la fórmula de Juan. Esto reduce la respuesta a las opciones 4 y 5. También observamos que el cálculo anterior indica que la reducida de [a1 a2 a3 |m1 ] tiene sus pivotes a la izquierda. Es decir, que las soluciones que son múltiplos del vector m1 sı́ se obtienen de la fórmula de Juan. Esto descarta como respuesta la opción 5. La respuesta a la solución de Juan es la opción 4. Revisemos la respuesta de José: ¿La fórmula de José da soluciones? Esta pregunta matemáticamente se formula como ¿U3 1 0 [m1 m2 |a1 a2 a3 ] → 0 0 0 ⊆ U1 ? Para responderla hacemos 0 0 2 − 13 1 0 2 1 0 1 −1 − 13 0 0 0 0 0 0 0 0 Habiendo pivotes a la izquierda en la reducida de la aumentada, concluimos que tal contención no se cumple: es decir, que hay vectores que produce la fórmula de José y que no son soluciones. 2 ¿Toda solución se obtiene de la fórmula de José? Esta pregunta matemáticamente se formula como ¿U1 ⊆ U3 ? Para responderla hacemos 3 1 0 0 18 8 1 0 1 0 3 8 8 3 3 [b1 b2 b3 |m1 m2 ] → 0 0 1 − 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Estando todos pivotes a la izquierda en la reducida de la aumentada, concluimos que tal contención sı́ se cumple: es decir, que todo vectores que solución se obtiene de la fórmula de José. Resumiendo: Toda solución se obtiene de la fórmula de José, pero la fórmula también produce otros vectores que no son solución. La respuesta a la solución de José es la opción 3. 3
