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Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Algebra Lineal:
Espacios Generados
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
Departamento de Matemáticas
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Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
Introducción
Después de combinación lineal, el segundo concepto clave en
Algebra Lineal es el concepto de espacio generado. Existen dos
formas de llegar a este concepto. Si en lugar de responder si el
sistema [A|b] tiene solución para un vector b particular, nos
preguntamos para qué vectores b el sistema será consistente.
Esto lleva a todas las combinaciones lineales que se pueden
formar con las columnas de la matriz A. Una segunda manera
de llegar al concepto es resolviendo un sistema de ecuaciones
que tiene infinitas soluciones.
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Suponga que desea resolver el sistema homogéneo:
x
3x
−2x
x
2x
Intro
Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplo 3
Nota
+
+
+
−
−
3z
2z
8z
4z
z
+ 2w
+ 4w
+ t = 0
+ 3t = 0
− 2t = 0
+ t = 0
+ 2t = 0
+ 2w
Al reducir la matriz aumentada del sistema obtenemos:
x

1

3


 −2

1
2

Ejemplos
− 2y
− y
− 6y
+ 3y
+ y
y
−2
−1
−6
3
1
z
3
2
8
−4
−1
w
2
4
0
0
2
t
1
3
−2
1
2
ctes
0
0
0
0
0







 rref 
 −−→ 





x
y
z
w
t
ctes

0
1/5
6/5
1
0
0
0
0
−7/5
0
0
0
−2/5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0








1
0
0
0
0
1
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Homogéneo
No-homogéneo
Además de que nuestro sistema es consistente, observamos que
tiene columnas de variables sin pivote, y por consiguiente, tiene
variables libres: lo que nos lleva a concluir que el sistema de
ecuaciones tiene infinitas soluciones. Determinemos la fórmula
general para todas las soluciones. Para ello debemos convertir
cada reglón no cero en una ecuación:
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
6
1
z + w +t =0
5
5
7
2
y− z− w =0
5
5
x+
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Despejando las variables fijas:
Ejemplo 3
Nota
x
y
1
6
= − z − w −t
5
5
7
2
=
z+ w
5
5
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Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
Escribiendo el resultado en forma vectorial:

1
6
 −5 z − 5 w − t
 


x
7
2

z+ w
 y  
5
5
 

 z =
 

z
 w  


t
w


t














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Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
es decir, que la fórmula para la solución general es:






6
1
−1
 −5 
 −5 









 2 

 7 
x

 0 




 5 

 5 
 y 













 z =z ·
 1 +w · 0 +t · 0 








 w 






0






t
 1 
 0 






1
0
0
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
para z, w y t escalares libres. Es decir, que en el caso de
tener infinitas soluciones a un SEL homogéneo, la forma que
tiene el conjunto solución es
c1 · v1 + · · · + ck · vk
donde los coeficientes ci son libres.
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Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
Suponga que se desea resolver el sistema:
x − 3y + z − w = 2
x − 3y − 5z − 2w = 1
2x − 6y − 4z − 3w = 3
−x + 3 y − 7 z = −3
Al formar la matriz aumentada del sistema y reducir obtenemos:


7 11


 1 −3 0 − 6 6 
1 −3
1 −1
2


 1 −3 −5 −2
 rref 
1
1 
1



 −−→  0
0 1
 2 −6 −4 −3
6
6 
3 




−1
3 −7
0 −3
 0
0 0 0
0 
0
0 0 0
0
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Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Aplicando el proceso visto en el ejemplo previo para obtener la
solución general obtenemos: que todas las soluciones al SEL
planteado se obtienen de la fórmula:
 7 
 
  11 

3
x
 6 
 
6 
 


 


 


 


 y  





1
0 
  0 





 

+y · +w ·
,
=






  1 

 1 
 0 
 z  





 

 −6 
 
  6 


 


w
0
0
1
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
donde y y w son variables libres. Es decir, que el caso de que
se tenga un SEL no homogéneo con infinitas soluciones la
fórmula que tiene el conjunto solución es:
vo + c1 · v1 + · · · + ck · vk
donde las constantes ci pueden tomar cualquier valor.
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Espacio Generado
El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de
los vectores v1 , v2 ,. . . , vk en Rn se llama espacio generado por
los vectores v1 , v2 ,. . . , vk . Este conjunto se representa por
Intro
Homogéneo
No-homogéneo
Gen {v1 , v2 , . . . , vk } .
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Es decir, es el conjunto formado por todas las combinaciones
lineales
c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
donde c1 ,c2 ,. . . ,ck son escalares libres. Si
V = Gen {v1 , v2 , · · · , vk } se dice que los vectores v1 , v2 ,. . . ,
vk generan a V y que {v1 , v2 , . . . , vk } es un conjunto
generador de V .
Observe que x es elemento de Gen {v1 , v2 , . . . , vk } si y sólo si x
es una combinación lineal de entre los vectores v1 , v2 ,. . . , vk .
Buscar en el generado, es buscar en las combinaciones lineales.
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Intro
Homogéneo
No-homogéneo
Indique si el vector x =< 2, 3, 1 > pertenece al espacio
V = Gen {y1 =< 1, 2, 1 >, y2 =< 3, 5, 0 >}.
Solución
El vector x pertence a V si y sólo si x es una combinación
lineal de los vectores y1 y y2 ; es decir, si y sólo si existen
escalares c1 y c2 para los cuales:
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
x = c1 y1 + c2 y2
Esto se convierte en un sistema con matriz aumentada y que
reduciéndola:




1 3 2
1 0 0
 2 5 3 → 0 1 0 
1 0 1
0 0 1
Como el sistema es inconsistente, no pueden existir c1 y c2 que
cumplan la relación, y por tanto, x no es combinación lineal de
y1 y y2 ; y por tanto, x no pertence al espacio generado V .
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Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Indique para qué valor del parámetro a el vector
x1 =< 2, 3, a > pertenece al espacio
V = Gen {y1 =< 1, 2, 1 >, y2 =< 3, 5, 0 >}
Solución
El vector x pertence a V si y sólo si x es una combinación
lineal de los vectores y1 y y2 , es decir, si y sólo si existen
escalares c1 y c2 para los cuales:
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
x = c1 y1 + c2 y2
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
Al formar la matriz aumentada del sistema y escalonarla queda




1 3 2
2
1
3
 2 5 3  →  0 −1
−1 
1 0 a
0
0 a+1
Recuerde que cuando una matriz tiene variables, no conviene
usar rref porque se pueden hacer divisiones entre expresiones
que pueden ser cero: se debe escalonar paso a paso.
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Intro
Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
De aquı́ vemos que la única posibilidad para que el sistema sea
consistente es que en el último renglón no exista pivote; por
tanto,
a + 1 = 0 =⇒ a = −1
Nuestra conclusión es que
   
 
2
3 
 1
 3  ∈ Gen  2  ,  5  ←→ a = −1


a
1
0
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Una pregunta que puede ser fundamental es si es posible
reducir el número de vectores que aparecen en el conjunto
generador de un espacio generado. Dicho en términos sencillos:
¿qué se debe cumplir para que
Intro
Homogéneo
No-homogéneo
Gen {x1 , x2 , x3 } = Gen {x1 , x2 }?
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Esto es: ¿bajo qué condiciones es posible eliminar un vector de
un conjunto generador y seguir generando el mismo espacio sin
él?. El resultado sobre esto es:
Teorema
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Gen {x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 } = Gen {x1 , . . . , xk } si y
sólo si xk+1 ∈ Gen {x1 , x2 . . . , xk }
Nota
Es decir, para remover un vector de un conjunto generador y
seguir generando el mismo espacio es suficiente y necesario
que el vector a remover sea combinación lineal de los vectores
que quedarán en el conjunto generador
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Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Demostración
Pk
· xi . Si y es
un vector en Gen {x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 }. Entonces
• Suficiencia: Supongamos que xk+1 =
y = a1 · x1 + · · · + ak · xk + ak+1 · xk+1
si sustituimos la fórmula de xk+1 en la fórmula anterior
tenemos:
k
X
y = a1 · x1 + · · · + ak · xk + ak+1 ·
ci · xi
i=1
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
i=1 ci
al desarrollar y reagrupar nos queda:
y = (a1 +ak+1 c1 )·x1 +(a2 +ak+1 c2 )·x2 +· · ·+(ak +ak+1 ck )·xk
Por lo tanto, y ∈ Gen {x1 , . . . , xk }; y ası́
Gen {x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 } ⊆ Gen {x1 , . . . , xk }
Como Gen {x1 , . . . , xk } ⊆ Gen {x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 },
concluimos que
Gen {x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 } = Gen {x1 , . . . , xk }
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Demostración
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Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
• Suficiencia. Supongamos que
Gen {x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 } = Gen {x1 , . . . , xk }. Por tanto,
toda combinación lineal de los vectores x1 ,x2 ,. . . ,xk ,xk+1
lo es también de los vectores x1 ,x2 ,. . . ,xk . En particular,
lo es también
Ejemplo 3
Contención
xk+1 = 0 · x1 + · · · + 0 · xk + 1 · xk+1
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
por lo tanto
xk+1 ∈ Gen {x1 , . . . , xk }
Algebra
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Ejemplo
Determine cuáles vectores pueden eliminarse del conjunto
generador y seguir generando el mismo espacio si V es el
espacio
Intro
Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota









1
−2
1
2 
Gen v =  2  , u =  −4  , x =  −1  , y =  1 


−1
2
0
−1

Algebra
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Ejemplo
Determine cuáles vectores pueden eliminarse del conjunto
generador y seguir generando el mismo espacio si V es el
espacio
Intro
Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos









1
−2
1
2 
Gen v =  2  , u =  −4  , x =  −1  , y =  1 


−1
2
0
−1

De acuerdo al resultado previo, debemos ir identificando qué
vectores son combinación lineal de los que se van quedando
para poder eliminarlos. Primero pensemos en eliminar y;
veamos si es combinación lineal de los restantes resolviendo:
Ejemplo 3
Nota

1
[v u x|y] =  2
−1


2
1
−2
1
rref
−4 −1
1  −−→  0
2
0 −1
0

−2 0 1
0 1 1 
0 0 0
Como el sistema es consistente (que tengo solución única o
infinitas no es relevante), y es combinación lineal de los que se
quedan y por tanto, puede removerse.
Algebra
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Intro
Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
Concluimos que:
V = Gen {v, u, x, y} = Gen {v, u, x}
Algebra
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Intro
Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Concluimos que:
V = Gen {v, u, x, y} = Gen {v, u, x}
Y nuestra pregunta se repite: ¿podemos eliminar otro vector
del nuevo conjunto generador seguir generando V ? Intentemos
eliminar x. Para ello, armamos nuestra aumentada y
reducimos:




[v u|x] = 
1
2
−1
1
−2
1
rref
−4 −1  −−→  0
0
2
0
−2 0
0 1 
0 0
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
Siendo inconsistente el sistema, tenemos la garantı́a de que si
eliminamos x no generaremos V (por lo menos x no estará en
el espacio que generemos al quitarlo).
Algebra
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Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Concluimos que:
V = Gen {v, u, x, y} = Gen {v, u, x}
Y nuestra pregunta se repite: ¿podemos eliminar otro vector
del nuevo conjunto generador seguir generando V ? Intentemos
eliminar x. Para ello, armamos nuestra aumentada y
reducimos:




[v u|x] = 
1
2
−1
1
−2
1
rref
−4 −1  −−→  0
0
2
0
−2 0
0 1 
0 0
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
Siendo inconsistente el sistema, tenemos la garantı́a de que si
eliminamos x no generaremos V (por lo menos x no estará en
el espacio que generemos al quitarlo). Podemos también en
quitar u.

1
[v x|u] =  2
−1


1 −2
1 0
−1 −4  →  0 1
0
2
0 0

−2
0 
0
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Concluimos que:
V = Gen {v, u, x, y} = Gen {v, u, x} = Gen {v, x}
Intro
Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
Si buscamos eliminar x o v veremos que no es posible.
Nota
Todos los cálculos anteriores pueden hacerse en sólo uno:
• Con los vectores iniciales tomados como columnas se
forma una matriz.
• A esta matriz se lleva a la forma reducida.
• Los vectores cuya posición tiene elemento pivote son los
vectores que deben conservarse para el generador.
• Aquellos vectores en cuya columna no queda pivote son
combinación lineal de los restantes pueden eliminarse.
Algebra
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Espacios
Generados
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Intro
Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Si los espacios generados son en general infinitos, ¿cómo
compararlos?
Teorema
Si V = Gen {x1 , · · · , xm }, y W = Gen {y1 , · · · , yk }
son conjuntos de vectores en Rn .
Todo vector xi (i = 1, 2, . . . , m) pertence a W si y
sólo si V ⊆ W .
Los elementos de un conjunto generador de un espacio
generado son como sus anclas: para que otro espacio generado
W lo contenga, basta y sobra que contenga todas sus anclas.
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
Rn
W
x3
x1 V
x2
Algebra
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Generados
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Intro
Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
Diga si U ⊆ V , V ⊆ U, U = V , o no son comparables entre si,
donde







1
3
−2 

U = Gen u1 =  2  , u2 =  6  , u3 =  −4 


−1
−3
2



V = Gen v1 = 


 
4
1 
8  , v2 =  0 

−4
1
Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Homogéneo
No-homogéneo
Veamos si U ⊆ V : De acuerdo al resultado previo debemos ver
si todo ui ∈ V . Para ello construimos




4 1
1
1 0 1/4
2 → 0 1
0 
[v1 , v2 |u1 ] =  8 0
−4 1 −1
0 0
0
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota


1
4 1
3
6 → 0
[v1 , v2 |u2 ] =  8 0
−4 1 −3
0



4 1 −2
1
[v1 , v2 |u3 ] =  8 0 −4  →  0
−4 1
2
0


0 3/4
0 
1
0
0

0 −1/2
1
0 
0
0
Como cada sistema es consistente ui ∈ V y ası́
U = Gen {u1 , u2 , u3 } ⊆ V .
Algebra
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Espacios
Generados
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Intro
Homogéneo
No-homogéneo
Veamos si V ⊆ U: De acuerdo al resultado previo
si todo vi ∈ U. Para ello construimos



1
3 −2
4
1



2
6 −4
8 → 0
[u1 , u2 , u3 |v1 ] =
−1 −3
2 −4
0
debemos ver

3 −2 4
0
0 0 
0
0 0
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota




1
3 −2 1
1 3 −2 0
6 −4 0  →  0 0
0 1 
[u1 , u2 , u3 |v2 ] =  2
−1 −3
2 1
0 0
0 0
Ası́ al ser consistente el primer sistema se verifica que v1 ∈ U,
pero al ser inconsistente el segundo sistema v2 ∈
/ U. Por lo
tanto, V = Gen {v1 , v2 } * U.
Al haber probado las dos contenciones, concluimos que sólo se
cumple U ⊆ V .
Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Homogéneo
No-homogéneo
E. Generado
Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Reducción
Ejemplo 3
Contención
Ejemplos
Ejemplo 3
Nota
Nota
• Note que para verificar que U ⊆ V , en lugar de revisar la
consistencia de [v1 v2 |u1 ], [v1 v2 |u2 ], y de [v1 v2 |u3 ] basta
• formar la aumentada [v1 v2 |u1 u2 u3 ];
• reducir y
• ubicar los pivotes:
• si todos los pivotes están a la izquierda, entonces la
contención se cumple:
• si hay al menos un pivote a la derecha, entonces la
contención no se cumple.
• Para que se cumpla la igualdad V = U debe verifica rque
se cumplen simultáneamente U ⊆ V y V ⊆ U.