Download Espacios Generados en R n

Espacios Generados en Rn
Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM
12 de enero de 2011
Índice
7.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Ejemplo 1, caso homogéneo . . . . . . . . .
7.4. Motivación: Ejemplo 2, caso no homogéneo
7.5. Espacio generado . . . . . . . . . . . . . . .
7.6. Condición de pertencia a un generado . . .
7.7. Vectores especiales . . . . . . . . . . . . . .
7.8. Espacios generados en R2 . . . . . . . . . .
7.9. Espacios generados en R3 . . . . . . . . . .
7.10. Reducción del conjunto generador . . . . . .
7.11. Cerradura del espacio generado . . . . . . .
7.12. Contención entre espacios generados . . . .
7.13. Generación de Rn . . . . . . . . . . . . . .
7.1.
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1
1
2
3
4
5
6
6
7
8
11
11
13
Objetivos
Uno de los conceptos más importantes del Álgebra Lineal es el concepto de espacio generado por un conjunto
de vectores. Este concepto será introducido en esta lectura. Los principales apartados son:
El concepto de espacio generado por un conjunto de vectores.
El proceso para verificar cuando un vector pertenece a un espacio generado.
Cómo son los espacios generados en R2 y en R3 .
Cómo reducir un conjunto generador.
Cómo se comparan dos espacios generados.
Cómo saber si un espacio generado es todo Rn .
7.2.
Introducción
En el curso de álgebra lineal casi todo gira en torno a la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Después de sistema de ecuaciones lineales y combinación lineal, el tercer concepto en importancia en el curso
es el de espacio generado. Este concepto tiene mucho de abstracto y conviene ilustrar cómo se relaciona con el
análisis de un sistema de ecuaciones lineales. En los siguientes dos ejemplos se motivará el concepto de espacio
generado por un conjunto de vectores. En ellos lo que debe es observar la forma que tiene la solución general
obtenida.
7.3.
Ejemplo 1, caso homogéneo
Ejemplo 7.1
Suponga que desea resolver el sistema:
x
3x
−2x
x
2x
− 2y + 3z + 2w + t = 0
− y + 2z + 4w + 3t = 0
− 6y + 8z
− 2t = 0
+ 3y − 4z
+ t = 0
+ y − z + 2w + 2t = 0
La matriz aumentada del sistema es:






1 −2
3 2
1
2
1 −1 2
2
1
3 −4 0
1
3 −1
2 4
3
−2 −6
8 0 −2
0
0
0
0
0






Al aplicarle eliminación gaussiana tenemos:






1
0
0
0
0
0
1/5
6/5 1 0
1 −7/5 −2/5 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0






Observamos que el sistema es consistente al no tener pivotes en la columna de las constantes. En general,
y debido a que las operaciones elementales no pueden aparecer números diferentes de cero en una columna
que sólo contenı́a ceros, si el sistema es homogéneo, la columna de las constantes seguirá conteniendo ceros
después del algoritmo de eliminación gaussiana. Y por consiguiente, no podrá haber pivote en la columna
de las constantes. Es decir, los sistemas homogéneos siempre serán consistentes. Esta conclusión era
obvia pues hacer cero todas las variables en toda ecuación lineal homogénea la debe convertir en una identidad.
Regresemos a nuestro ejemplo. Además de que nuestro sistema es consistente, observamos que tiene columnas
de variables sin pivote, y por consiguiente, tiene variables libres: lo que nos lleva a concluir que el sistema de
ecuaciones tiene infinitas soluciones.
Determinemos la fórmula general para todas las soluciones. Para ello debemos convertir cada reglón no cero
en una ecuación:
1
6
x+ z+ w+t=0
5
5
7
2
y− z− w=0
5
5
Despejando las variables fijas:
1
6
x = − z− w−t
5
5
7
2
y =
z+ w
5
5
2
Escribiendo el resultado en forma vectorial:







x
y
z
w
t



 
 
=
 
 





1
6
− z− w−t
5
5
7
2
z+ w
5
5
z
w













t
es decir, que la fórmula para la solución general es:
 1 
 6 


−1
−
−
 5 
 5 








 7 
 2 








0
x








 y 
 5 
 5 









+ w 
+ t  0 
 z = z 
,


 1 
 0 






 w 












 0 
t
 0 
 1 












1
0
0
para z, w y t escalares libres 7.4.
Motivación: Ejemplo 2, caso no homogéneo
Habiendo visto la forma de la solución a un sistema homogéneo con soluciones infinitas, veamos ahora
qué pasa en el caso semejante no homogéneo.
Ejemplo 7.2
Suponga que se desea resolver el sistema:
x − 3y + z − w = 2
x − 3y − 5z − 2w = 1
2x − 6y − 4z − 3w = 3
−x + 3 y − 7 z = −3
La matriz aumentada del sistema es:


1 −3
1 −1
2
 1 −3 −5 −2
1 


 2 −6 −4 −3
3 
−1
3 −7
0 −3
Al aplicarle eliminación gaussiana tenemos:

7
6
1
6
0
0
1 −3 0 −



 0


 0
0
0 1
0 0
0 0
3
11
6
1
6
0
0








Y regresando los renglones no cero a una ecuación:
7
11
x − 3y − w =
6
6
1
1
z+ w=
6
6
Despejando las variables fijas:
7
11
x = 3y + w +
6
6
1
1
z=− w+
6
6
Escribiendo el resultado en forma vectorial:


11


x



  6 


 
 y   0 


 
+y

=


 
 z   1 


 

  6 


w
0



 
 
 
 1 
 
 +w
 
 0 
 
 
 
0











3

7
6 


0 

,

1 
− 
6 

1
donde y y w escalares libres Nuestro propósito al mostrar los ejemplos anteriores es ilustrar cómo son los conjuntos solución cuando existen
soluciones infinitas en los sistemas de ecuaciones lineales. Lo que hemos visto es que aparece la estructura:
escalar1 · vector1 + escalar2 · vector2 + · · ·
donde los vectores son fijos y donde los escalares son libres, es decir, que pueden tomar cualquier valor de
número real. Este tipo de estructura es de suma importancia para nuestro curso y recibirá un nombre y un
tratamiento especial.
7.5.
Espacio generado
Pasemos ahora a la definición del espacio generado por un conjunto de vectores.
Definición 7.1
El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores v1 , v2 ,. . . , vk en Rn se llama espacio
generado por los vectores v1 , v2 ,. . . , vk . Este conjunto se representa por
Gen {v1 , v2 , . . . , vk } .
(1)
Es decir, es el conjunto formado por todas las combinaciones lineales
c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk
donde c1 ,c2 ,. . . ,ck son escalares libres. Si V = Gen {v1 , v2 , · · · , vk } se dice que los vectores v1 , v2 ,. . . , vk
generan a V y que {v1 , v2 , . . . , vk } es un conjunto generador de V .
Veamos ahora un ejemplo que ilustra que no sólo el espacio generado es relevante para describir los conjuntos
solución a un sistema de ecuaciones, sino que la pertenencia a un espacio generado está ı́ntimamente relacionada
a un sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo 7.3
Indique si el vector x =< 2, 3, 1 > pertenece al espacio V = Gen {y1 =< 1, 2, 1 >, y2 =< 3, 5, 0 >}.
4
Solución
El vector x pertence a V si y sólo si x es una combinación lineal de los vectores y1 y y2 , es decir, si y sólo si
existen escalares c1 y c2 para los cuales:
x = c1 y1 + c2 y2
Esto se convierte en un sistema con matriz aumentada y que



1 3 2
1
 2 5 3 → 0
1 0 1
0
reduciéndola:

0 0
1 0 
0 1
Como el sistema es inconsistente, no pueden existir c1 y c2 que cumplan la relación, y por tanto, x no es
combinación lineal de y1 y y2 , y por tanto, x1 no pertence al espacio generado Ejemplo 7.4
Indique para qué valor del parámetro a el vector x1 =< 2, 3, a > pertenece al espacio
V = Gen {y1 =< 1, 2, 1 >, y2 =< 3, 5, 0 >}
Solución
El vector x pertence a V si y sólo si x es una combinación lineal de los vectores y1 y y2 , es decir, si y sólo si
existen escalares c1 y c2 para los cuales:
x = c1 y1 + c2 y2
Al formar la matriz aumentada del sistema y escalonarla queda




1 3 2
1
3
2
 2 5 3  →  0 −1
−1 
1 0 a
0
0 a+1
De aquı́ vemos que la única posibilidad para que el sistema sea consistente es que en el último renglón no
exista pivote; por tanto,
a + 1 = 0 =⇒ a = −1 7.6.
Condición de pertencia a un generado
El siguiente es el principal resultado sobre espacios generados y marca la relación entre éstos y los sistemas
de ecuaciones lineales. Este resultado no es sino una reformulación de la interpretación de la solución de un
sistema de ecuaciones lineales. Aquél que dice que cuando se resuelve un sistema de ecuaciones lineales lo que
se busca es la forma de combinar las columnas de la matriz de coeficientes para obtener el vector de constantes.
Teorema
Sean b, v1 , v2 ,. . . , vm vectores en Rn . Entonces
b ∈ Gen{v1 , v2 , . . . , vm } ↔ [v1 , v2 , . . . , vm |b] es consistente
Dicho de otra manera, Gen {v1 , v2 , . . . , vk } consiste justo por aquellos vectores b para los cuales [v1 , v2 , . . . , vm |b]
es consistente.
5
7.7.
Vectores especiales
Los siguientes vectores son importantes porque conforman el conjunto más simple que genera a Rn . En el
espacio n-dimensional Rn , el vector ei representa el vector que es el vector con solo ceros, excepto que en la
coordenada i tiene un 1.
Ejemplo 7.5
En R4



1
0
 0 
 1


e1 = 
 0  , e2 =  0
0
0




0
0

 0 
 0
 , e3 =   , y e4 = 

 1 
 0
0
1




En general:
Rn = Gen{ei , i = 1, . . . , n}
7.8.
Espacios generados en R2
Los espacios generados son conjuntos de vectores o abusando de la notación, son conjuntos de puntos. Una
pregunta que se puede hacer es: geométricamente, ¿qué son los espacios generados?
Como veremos posteriormente, los únicos tres tipos de espacios generados en R2 independientemente del
número de vectores son

El conjunto que consta del punto o vector cero.





Una lı́nea que pasa por el origen.





Todo R2 .
Veamos algunos ejemplos que nos ilustran la naturaleza de los espacios generados en R2 .
Ejemplo 7.6
Indique qué vectores x =< x, y > pertenece al espacio
V = Gen {y =< 1, 2 >}
Solución
El vector x pertence a V si y sólo si x es una combinación lineal del vector y, es decir, si y sólo si existe un
escalar c tal que:
x = cy
Esto se convierte en un sistema con matriz aumentada que escalonadose queda:
1 x
1
x
→
2 y
0 y − 2x
De aquı́ vemos que la única posibilidad para que el sistema sea consistente es que en el último renglón no
exista pivote en la columna de las constantes; por tanto
y − 2x = 0
Es decir, para que un vector x =< x, y > pertenezca al espacio generado por y =< 1, 2 >, el vector debe
cumplir
y = 2x
Es decir, que el espacio generado por el vector y es la recta anterior. La cual observamos que efectivamente
pasa por el origen 6
Ejemplo 7.7
Indique qué vectores x =< x, y > pertenecen al espacio
V = Gen {y1 =< 1, 2 >, y2 =< 1, 1 >}
Solución
El vector x pertence a V si y sólo si x es una combinación lineal de los vectores y1 y y2 , es decir, si y sólo si
existen escalares c1 y c2 tales que:
x = c1 y1 + c2 y2
Esto se convierte en un sistema con matriz aumentada que escalonádose queda:
1 1 x
1 0 −x + y
→
2 1 y
0 1 2x − y
Como no hay pivotes en la columna de las constantes, el sistema es siempre consistente. Por consiguiente,
todo vector x =< x, y > es combinación lineal de los vectores y1 y y2 . Por tanto, los vectores y1 y y2 generan
todo R2 :
Gen {y1 , y2 } = R2 7.9.
Espacios generados en R3
Los únicos cuatro tipos de espacios generados en R3 independientemente del número de vectores son

El conjunto que consta del punto o vector cero.








 Una lı́nea que pasa por el origen.



Un plano que pasa por el origen.






Todo R3 .
Ejemplo 7.8
Indique qué vectores x =< x, y, z > pertenecen al espacio
V = Gen {y1 =< 1, 2, 1 >, y2 =< 1, 0, 1 >}
Solución
El vector x pertence a V si y sólo si x es una combinación lineal de los vector y1 y y2 , es decir, si y sólo si
existen escalares c1 y c2 tales que:
x = c1 y1 + c2 y2
Esto se convierte en un sistema con matriz

1 1
 2 0
1 1
aumentada que escalonadose queda:



x
1
1
x
y  →  0 −2 y − 2 x 
z
0
0 z−x
El sistema será consistente si y sólo si z − x = 0. Es decir, que los vectores < x, y, z > que sı́ son combinación
lineal de y1 y y2 son aquellos que complen z − x = 0. Por tanto,
 

 x

Gen {y1 , y2 } =  y  : z − x = 0


z
7
Posteriormente veremos que esta ecuación representa un plano en R3 que pasa por el origen Ejemplo 7.9
Indique qué vectores x =< x, y, z > pertenecen al espacio
V = Gen {y1 =< 1, 2, 1 >}
Solución
El vector x pertence a V si y sólo si x es una combinación lineal del vector y1 , es decir, si y sólo si existen
escalares c1 tales que:
x = c1 y1
Esto se convierte en un sistema con matriz aumentada



1 x
 2 y →
1 z
que escalonadose queda:

1
x
0 y − 2x 
0 z−x
El sistema será consistente si y sólo si y − 2 x = 0 y z − x. Es decir, que los vectores < x, y, z > que sı́ son
combinación lineal de y1 y y2 son aquellos que complen y = 2 x y z = x. Por tanto,
 

 x

Gen {y1 , y2 } =  y  : y = 2 x y z = x


z
Posteriormente veremos que esta ecuación representa una recta en R3 que pasa por el origen 7.10.
Reducción del conjunto generador
Un problema que frecuentemente ocurre es que el generador del espacio es redundante. Es decir, que tiene
mucha información que podrı́a ser deducida de otra. En términos de vectores, dirı́amos hay vectores que no
aportan una componente nueva al espacio que generan los vectores restantes. El siguiente resultado dice en
qué condición el conjunto generado se puede reducir y seguir generando el mismo espacio generado.
Teorema
Si uno de los vectores en la lista v1 , v2 ,. . . , vk es una combinación del resto, el espacio generado
permance igual si dicho vector se elimina de la lista.
Demostración
Sin perder generalidad, supongamos que vk es combinación lineal de los vectores v1 , v2 ,. . . ,vk−1 . Por tanto,
deben existir escalares a1 ,a2 ,. . . ,ak−1 tales que
vk = a1 v1 + · · · + ak−1 vk−1
(2)
Sea ahora un vector v cualquiera del espacio generado V = Gen {v1 , v2 , . . . , vk }. Por consiguiente, deben
existir escalares ci para i = 1, . . . , k tales que
v = c1 v1 + · · · + ck−1 vk−1 + ck vk
Sustituyendo (2) en (3) obtenemos
v = c1 v1 + · · · + ck−1 vk−1 + ck (a1 v1 + · · · + ak−1 vk−1 )
8
(3)
desarrollando lo anterior y agrupando respecto a los vectores vi obtenemos
v = (c1 + ck , a1 ) v1 + · · · + (ck−1 + ck ak−1 ) vk−1
lo cual nos dice que cualquiera que sea el vector v de V , éste deberá ser una combinación lineal de los vectores
v1 , v2 ,. . . ,vk−1 . Es decir, hemos probado que
Gen {v1 , v2 , . . . , vk } ⊆ Gen {v1 , v2 , . . . , vk−1 }
como la contención recı́proca se cumple, debido a que toda combinación lineal de los vectores v1 ,v2 ,. . . ,vk−1
es a su vez una combinación lineal entre los vectores v1 ,v2 ,. . . ,vk−1 , vk tomando los mismos coeficientes y
haciendo cero el coeficiente de vk , entonces
Gen {v1 , v2 , . . . , vk } = Gen {v1 , v2 , . . . , vk−1 } Ejemplo 7.10
Determine cuáles vectores pueden eliminarse y seguir generando el mismo espacio si


 
 
 
2 
1
−2
1

V = Gen  2  ,  −4  ,  −1  ,  1 


−1
0
2
−1
Solución
Determinemos cuáles vectores son combinaciones lineales de los restantes; Por conveniencia, designemos por
v, u, x, y y los vectores del conjunto en el orden izquierda a derecha. Veamos si el vector y es combinación
lineal de los anteriores:
Armamos la matriz aumentada como se convino previamente (final de lectura 22):




1 −2
1
1 −2 0 1
2
 2 −4 −1
1 → 0
0 1 1 
−1
2
0 −1
0
0 0 0
Siendo el sistema consistente, el vector y es combinación lineal de los vectores u, v y x por el resultado
anterior:
Gen {u, v, x, y} = Gen {u, v, x}
Nuevamente nos preguntamos si es posible eliminar otro vector, digamos x:




1 −2
1
1 −2 0
 2 −4 −1  →  0
0 1 
−1
2
0
0 0
0
Armamos la matriz aumentada:
Como el sistema es inconsistente, no es posible eliminar el vector x y seguir generando el mismo espacio.
Ahora nos preguntamos si el vector v es combinación lineal de v y x:




1 0 −2
1
1 −2
 2 −1 −4  →  0 1
0 
−1
0
2
0 0
0
Siendo el sistema consistente, concluimos que el vector u es combinación lineal de los vectores v y x, y por
tanto:
Gen {u, v, x, y} = Gen {u, v, x} = Gen {v, x}
9
Nos seguimos preguntanto si es posible continuar determinando si hay un vector que se combinación lineal de
los restantes en el conjunto {v, x}: Veamos si el vector x es combinación lineal de v:




1
1
1 0
 2 −1  →  0 1 
−1
0
0 0
Por tanto, x no es combinación lineal de v y por consiguiente
v es combinación lineal de x:



1
1
1
 −1
2 → 0
0 −1
0
no puede ser eliminado.

0
1 
0
Veamos si el vector
Por consiguiente, no es posible eliminar el vector v y nuestra conclusión final es que:
Gen {u, v, x, y} = Gen {v, x} Nota
Todos los cálculos anteriores pueden hacerse en sólo uno:
Con los vectores iniciales tomados como columnas se forma una matriz.
A esta matriz se lleva a la forma reducida.
Los vectores cuya posición tiene elemento pivote son los vectores que deben conservarse para el generador.
Aquellos vectores en cuya columna no queda pivote son combinación lineal de los restantes pueden
eliminarse.
Ejemplo 7.11
Determine cuáles vectores pueden eliminarse y seguir generando el mismo espacio si
!
!
(
!
!)
V = Gen
1
2
−1
,
−2
−4
2
,
1
−1
0
,
−1
10
−3
Solución
Por conveniencia, designemos por v, u, x, y y los vectores del conjunto en el orden izquierda a derecha.
Formemos la matriz con los vectores como columnas:




1 −2
1 −1
1 −2 0
3
 2 −4 −1 10  →  0
0 1 −4 
−1
2
0 −3
0
0 0
0
Por tanto, los vectores que deben permanecer son los vectores que entraron en las columnas 1 y 3; los
demás pueden eliminarse del generador:


 
 
 

 

1
−2
1
−1 
1
1 


Gen  2  ,  −4  ,  −1  ,  10  = Gen  2  ,  −1 




−1
2
0
−3
−1
0
Puede verificarse fácilmente que:
u = −2 · v
y = 3 · v + (−4) · x
Note lo completo de la información contenida en la matriz reducida!
10
7.11.
Cerradura del espacio generado
Uno de los conceptos clave en álgebra lineal es el concepto de espacio lineal. Un espacio lineal es un conjunto
cerrado bajo las operaciones suma entre elementos del conjunto y multiplicación de un elemento del conjunto
por un escalar. Este concepto será definido con precisión y revisado más adelante en el curso. El siguiente
resultado indica que todo espacio generado es a su vez un espacio lineal.
Teorema
Si V = Gen {v1 , v2 , · · · , vk }, entonces para cualesquiera vectores u y w elementos de V , y cualquiera escalar c:
1. u + w también es un elemento de V ,
2. c u también es un elemento de V .
Demostración
Sean u y w dos elementos de V . Por consiguiente, u y w son combinaciones lineales de v1 , v2 ,· · · , y vk . Por
tanto, deben existir escalares a1 , a2 , . . . , ak , b1 , b2 , . . . , bk tales que
u = a 1 v1 + · · · + a k vk
w = b1 v1 + · · · + bk vk .
Para ver la condición 1, hagamos la suma de u con w:
u + w = (a1 v1 + · · · + ak vk ) + (b1 v1 + · · · + bk vk )
= (a1 v1 + b1 v1 ) + · · · + (ak vk + bk vk )
= (a1 + b1 )v1 + · · · + (ak + bk ) vk
de donde, observamos que u + w también es una combinación lineal de v1 , v2 ,. . . , y vk . Demostrando que
u+w ∈V.
Para ver la condición 2, hagamos el producto de u con un escalar c cualquiera
c u = c (a1 v1 + · · · + ak vk )
= (c a1 ) v1 + · · · + (c ak ) vk
Por tanto, el vector c u es también una combinación lineal de v1 , v2 ,. . . , y vk . Demostrando que c u ∈ V 7.12.
Contención entre espacios generados
En general, los espacios generados son infinitos y para ver que un espacio generado está contenido como
conjunto dentro de otro deberı́a hacerse elemento por elemento. Sin embargo, el siguiente resultado nos dice
cómo se pueden comparar espacios generados a partir de conjuntos de generadores. Es decir, reduce el problema
de ver si un espacio generado está contenido dentro de otro a un caso finito.
Teorema
Si V = Gen {x1 , · · · , xm }, y W = Gen {y1 , · · · , yk } son conjuntos de vectores en Rn .
Todo vector xi (i = 1, 2, . . . , m) pertence a W si y solo si V ⊆ W .
Demostración
Supongamos que todo vector xi (i = 1, 2, . . . , m) pertence a W . Veamos que V ⊆ W . Como W = Gen {x1 , · · · , xm },
deben existir escalares cij para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , k tales que
xi = ci1 y1 + · · · + cik yk
11
Sea w un vector de V cualquiera. Como V = Gen {x1 , · · · , xm }, entonces deben existir escalares a1 , a2 ,. . . ,am
tales que
v = a1 x1 + · · · + am xm
Sustituyendo cada xi obtenemos:
v = a1 (c11 y1 + · · · + c1k yk ) + · · · + am (cm1 y1 + · · · + cmk yk )
Si desarrollamos los productos anteriores y agrupamos respecto a los vectores yj obtenemos
v = (a1 c11 + · · · + am cm1 )y1 + · · · + (a1 c1k + · · · + am cmk )yk
Por consiguiente, cualquier vector v de V es combinación de los vectores yj y por tanto, pertenece a W .
Probando que V ⊆ W .
Supongamos ahora que V ⊆ W . Por tanto, cualquier vector de V pertenece a W . En perticular, pertenecen a
W los vectores
xi = 0 x1 + 0 x2 + · · · + 1 xi + · · · + 0 x m
de donde se concluye que cada vector xi ∈ W Ejemplo 7.12
Diga si U ⊆ V , V ⊆ U , U = V , o no son comparables, si







−2 
3
1

U = Gen u1 =  2  , u2 =  6  , u3 =  −4 


2
−3
−1



 
4
1 

V = Gen v1 =  8  , v2 =  0 


−4
1
Solución Veamos si U ⊆ V : De acuerdo al resultado previo debemos ver si todo ui ∈ V . Para ello construimos




4 1
1 0 1/4
1
2 → 0 1
0 
[v1 , v2 |u1 ] =  8 0
−4 1 −1
0 0
0




4 1
3
1 0 3/4
6 → 0 1
0 
[v1 , v2 |u2 ] =  8 0
−4 1 −3
0 0
0




4 1 −2
1 0 −1/2
0 
[v1 , v2 |u3 ] =  8 0 −4  →  0 1
−4 1
2
0 0
0
Como cada sistema es consistente ui ∈ V y ası́ U = Gen {u1 , u2 , u3 } ⊆ V.
Veamos si V ⊆ U : De acuerdo al resultado previo debemos ver si todo vi ∈ U . Para ello construimos




1
3 −2
4
1 3 −2 4
6 −4
8 → 0 0
0 0 
[u1 , u2 , u3 |v1 ] =  2
−1 −3
2 −4
0 0
0 0




1
3 −2 1
1 3 −2 0
6 −4 0  →  0 0
0 1 
[u1 , u2 , u3 |v2 ] =  2
−1 −3
2 1
0 0
0 0
12
Ası́ al ser consistente el primer sistema v1 ∈ U , pero al ser inconsistente el segundo sistema v2 ∈
/ U . Por lo
tanto, V = Gen {v1 , v2 } * U.
Por tanto, sólo se cumple U ⊆ V .
Observaciones
Note que para verificar que U ⊆ V , en lugar de hacer [v1 , v2 |u1 ] , [v1 , v2 |u2 ], [v1 , v2 |u3 ] basta hacer
[v1 , v2 |u1 , u2 , u3 ] reducir y buscar los pivotes: si todos los pivotes están a la izquierda, entonces la
contención se cumple: si hay al menos un pivote a la derecha, entonces la contención no se cumple.
Para que se cumpla la igualdad V = U debe verificarque se cumplen simultáneamente U ⊆ V y V ⊆ U .
7.13.
Generación de Rn
En el siguiente resultado se revisa las condiciones en las cuales un conjunto genera todo el espacio que lo
contiene:
Teorema
Sea {v1 , v2 , . . . , vm } un conjunto de vectores en Rn . Entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:
1. Para cualquier vector de constantes b, el sistema [v1 , v2 , . . . , vm |b] es consistente.
2. Rn = Gen{v1 , v2 , . . . , vm }.
3. La matriz reducida (o escalonada) obtenida de [v1 , v2 , . . . , vm ] tiene pivote en cada renglón.
Demostración
En lo siguiente digamos que V = Gen {v1 , . . . , vm }.
1 implica 2
Como vi ∈ Rn , entonces el teorema anterior afirma que V ⊆ Rn . Lo que falta probar es que Rm ⊆ V . Sea c
un vector cualquiera de Rn . Usamos la propiedad 1. aplicada para b = c, y se deduce que
[v1 , . . . , vm |c]
es un sistema consistente. Aplicando el primer teorema de esta sección se deduce que c ∈ V = Gen {v1 , . . . , vm }.
Esto prueba que Rn ⊆ V . Como las dos contenciones se cumplen se tiene que V = Rn .
2 implica 3
Demostremos su contrapositiva. Supongamos que al aplicar las operaciones elementales O1 ,O2 ,. . . ,Or la matriz
[v1 , . . . , vm ] tiene un renglón un renglón sin pivote. Sin pérdida de generalidad supongamos que en el renglón
n no quedan pivotes. Tomemos b como el vector que se obtiene de aplicar los inversos de las operaciones
elementales Oi a en en orden opuesto:
b = O1inv O2inv · · · Orinv en
(La idea es que al aplicarle a b las operaciones O1 , O2 ,. . . ,Or se obtenga el vector en ) De lo anterior se deduce
que al aplicarle al sistema [v1 · · · vm |b] las operaciones O1 , O2 , . . . , y Or se obtiene una matriz cuyo último
renglón es el renglón de ceros salvo que en su última posición tiene 1. Por tanto, el sistema es inconsistente.
Por el primer teorema de esta sección, se deduce que el b no pertenece a V . Ası́ hemos probado que si no se
cumple 3 entonces no se cumple 2. Esta es la contrapositiva de 2 implica 3.
3 implica 1
Sea b un vector de constantes cualquiera. Formemos el sistema [v1 · · · vm |b]. Al reducir el sistema, no existe
pivote en la columna de las constantes debido a que por 3 todos los renglones tienen pivote y estos están en la
parte izquierda de la matriz aumentada. Por lo tanto, el sistema es consistente.
La prueba de estas implicaciones muestra que las 3 afirmaciones son equivalentes 13
Veamos una aplicación del resultado anterior a un problema ya resuelto.
Ejemplo 7.13
Indique si el sistema [A|b] es consistente para todos

−4
 5
−2
los vectores b ∈ R3 si A es la matriz:

−3 −6
−5 25 
−3
0
Solución
Al aplicar eliminación gaussiana a la matriz A se obtiene




−4 −3 −6
1 0
3
 5 −5 25  →  0 1 −2 
−2 −3
0
0 0
0
Como no quedan pivotes en todos los renglones de ceros se concluye, por el teorema previo, que no es cierto
que para cualquier vector b de R3 el sistema es consistente Ejemplo 7.14
Sean a1 , a2 , a3 , b, y c vectores de Rn . Será cierto que:
Si 4 b ∈ Gen {a1 , a2 }, entonces [a1 , a2 , a3 |b] es consistente.
Solución
Si 4 b ∈ Gen {a1 , a2 } entonces existen escalares c1 y c2 tales que:
4 b = c1 a1 + c2 a2
dividiendo entre 4 tendremos que:
b=
c2
c1
a1 + a2
4
4
por lo tanto:
c1
c2
a1 + a2 + 0 a3
4
4
Esto dice que el vector b se obtiene combinado los vectores a1 , a2 y a3 , por lo tanto:
b=
[a1 a2 a3 |b]
es consistente. Por tanto, la afirmación es cierta.
Ejemplo 7.15
Sean a1 , a2 , a3 , b, y c vectores de Rn . Será cierto que:
Si [a1 , a2 |b] es consistente y [a1 , 3 a2 |6 c] es inconsistente, entonces [a1 , b|b + c] es consistente.
Solución
Si [a1 , a2 |b] es consistente, entonces que sı́ existen escalares c1 y c2 tales que
b = c1 a1 + c2 a2
Si [a1 , 3 a2 |6 c] es inconsistente entonces no existen escalares e1 y e2 que cumplan
6 c = e1 a1 + e2 3 a2
14
Dividiendo esta igualdad entre 6 se convierte en:
c=
e1
3 e2
a1 +
a2
6
6
Por tanto, tampoco existirán escalares f1 y f2 que cumplan:
c = f1 a1 + f2 a2
Esto nos da pie a pensar que la afirmación a demostrar es falsa. Para comprobarlo, razonemos por contradicción:
pensemos que la afirmación fuera cierta. Es decir, que el sistema
[a1 b|b + c]
es consistente. Por tanto, deberı́a haber escalares d1 y d2 tales que
b + c = d1 a1 + d2 b
Por tanto, si pasamos a b al lado derecho
c = d1 a1 + (d2 − 1) b
si recordamos la conclusión de nuestro primer supuesto b = c1 a1 +c2 a2 y sustituimos en lo anterior obtenemos
que:
c = d1 a1 + (d2 − 1) (c1 a1 + c2 a2 )
= (d1 + (d2 − 1) c1 ) a1 + (d2 − 1) c2 a2
Es decir, esto dirı́a que se puede obtener c combinando a1 y a2 . Pero esto es imposible porque contradice el
supuesto 2. Ası́, no es posible que el sistema [a1 , b|b + c] sea consistente: debe ser inconsistente.
Ejemplo 7.16
Sean a1 , a2 , a3 , b, y c vectores de Rn . Será cierto que:
Si [a1 , a2 |b] es consistente y [a1 , b|c] también es consistente, entonces [a1 , a2 |c] es consistente.
Solución
El supuesto [a1 , a2 |b] consistente indica que existen c1 y c2 escalares tales que:
b = c1 a1 + c2 a2
El supuesto [a1 , b|c] consistente indica que existen d1 y d2 escalares tales que:
c = d1 a1 + d2 b
Si sustituimos la conclusión del primer supuesto en la fórmula anterior tenemos que:
c = d1 a1 + d2 (c1 a1 + c2 a2 )
= (d1 + d2 c1 ) a1 + d2 c2 a2
Concluimos que es posible obtener c combinando a1 y a2 . Por tanto, el sistema [a1 a2 |c] es consistente.
Ejemplo 7.17
Sean a1 , a2 , a3 , b, y c vectores de Rn . Será cierto que:
Si [a1 , a2 , a3 |b] es consistente, entonces [a1 , 2 a3 , a2 |3 b] es consistente.
15
Solución
[a1 , a2 , a3 |b] consistente indicarı́a que existen c1 , c2 , c3 tales que:
b = c1 a1 + c2 a2 + c3 a3
Si multiplicamos por 3 se tendrı́a
3 b = 3 c1 a1 + 3 c2 a2 + 3 c3 a3 = (3 c1 ) a1 + (3 c2 )a2 + 23 c3 2 a3
= (3 c1 ) a1 + 23 c3 2 a3 + (3 c2 ) a2
Lo cual dice que el vector 3 b es combinación lineal de a1 , 2 a3 y a2 . Por tanto, el sistema [a1 2 a3 a2 |3 b] es
consistente.
Ejemplo 7.18
Sean a1 , a2 , a3 , b, y c vectores de Rn . Será cierto que:
Si [a1 , a2 , a3 |b] es inconsistente, entonces b ∈ Gen {a1 , a2 }
Solución
Si la conclusión de la implicación b ∈ Gen {a1 , a2 } fuera cierta entonces existirı́an escalares c1 y c2 tales que
b = c1 a1 + c2 a2
por tanto
b = c1 a1 + c2 a2 + 0 a3
y por tanto, concluirı́amos que el vector b se obtiene combinado a1 , a2 y a3 . Es decir [a1 a2 a3 |b] es consistente.
Pero esto es la negación de la hipótesis [a1 , a2 , a3 |b] es inconsistente de la implicación. Por tanto, no es posible
que b ∈ Gen {a1 , a2 }. Por tanto, la afirmación debe ser falsa.
16