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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL 11
TALLER Nº 14 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
BIOGRAFÍA: DIOFANTO DE ALEJANDRIA
Diofanto fue un matemático griego que vivió entre el 200 y el 290 dc.
Su vida se desconoce por completo. Su principal obra es la "Arithmetica", dedicada casi
exclusivamente a la resolución exacta de ecuaciones determinadas e indeterminadas, en dicha
obra se plantean y resuelven 189 problemas de álgebra que hoy resolveríamos utilizando
ecuaciones de primero y segundo grado y sistemas de ecuaciones. Por este hecho se le
conoce como el padre del Álgebra. A las ecuaciones de primer grado se les llama, también,
"ecuaciones diofantinas" y a la rama del análisis que se dedica a esta tarea, se conoce hoy en
día como análisis diofántico.
En su obra una colección de 130 problemas, estan distribuidos en 13 libros, de los que sólo se
conservan 6. La mayoría de los problemas son de ecuaciones lineales y cuadráticas, pero
siempre con solución positiva y racional, pues en aquella época no tenían sentido el cero, los
números negativos y mucho menos los irracionales, es por esto que consideró tres tipos de
ecuaciones de segundo grado:
ax2 = bx + c
ax2 + c = bx
ax2 + bx = c
Diofanto introdujo símbolos para representar las cantidades desconocidas y una abreviatura
para la palabra igual. Esto fue un paso muy importante hacia el álgebra simbólica actual.
Diofanto escribió otros libros, como Porismas, que se ha perdido y otro Sobre números
poligonales que ha llegado hasta nuestros días. Otro trabajo titulado Preliminares a los
elementos de geometría, que se atribuía a Heron, se cree que pertenece a Diofanto.
Sobre su tumba, a manera de epitafio uno de sus alumnos escribió el siguiente problema:
"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta
sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su
niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava
parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima
parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un
precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su
padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que
sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce
su edad."
¿Podrías resolver el problema y encontrar cuántos años vivió Diofanto?
En este taller se aplican los conceptos de ecuación e identidad, centrándose en la resolución
de las ecuaciónes de primer grado a multitud de problemas prácticos.
OBJETIVOS
Reconocer ecuaciones e identidades y saber distinguir unas de otras.
Resolver ecuaciones de primer y segundo grado con una o varias incógnitas en forma
numérica.
Aplicar los métodos de resolución de ecuaciones a problemas prácticos.
TEORÍA:
Descripción y ejemplos.
Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen números y letras (incógnitas)
relacionados mediante operaciones matemáticas.
Por ejemplo: 33x - 21y = x2 + 101
Las ecuaciones son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita,
normalmente la x).
Por ejemplo: x2 + 11 = x + 40
Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por
tanto a 1).
Ejemplos :
a). 3x + 1 = x - 2
b). 1 - 3x = 2x - 9.
c). x - 3 = 2 + x.
d). x/2 = 1 - x + 3x/2.
Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y
realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.
Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para
conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro.
- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. Produce el mismo efecto que llamamos
"pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma".
- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. Produce el mismo efecto que
llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está
dividiendo multiplicando".
Ecuaciones sin solución.
Resuelve la siguiente ecuación: x - 3 = 2 + x.
Aplicando las reglas para resolver la ecuación obtendrás la expresión 0 = 5 ¿qué significa?
Desde luego esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x. Decimos
que en este caso que la ecuación no tiene solución.
Ecuaciones con infinitas soluciones.
Resolver la ecuación: 2x-1 = 3x + 3 - x – 4.
Aplicando las reglas para resolver la ecuación obtendrás la expresión 0 = 0. La igualdad que
has obtenido es cierta pero se te han eliminado la x. De esta solución podemos decir que si la
igualdad es cierta, ¡lo será para cualquier valor de x! En este caso decimos que la ecuación
tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución). Este tipo de ecuaciones se
denominan IDENTIDADES.
Ejemplo de aplicación. Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de
resolver problemas de la vida cotidiana.
Por ejemplo: El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el
segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años
¿qué edad tiene cada hermano ?
Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x".
En este caso llamemos : x = edad del hermano menor.
A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos:
Será: x + 3 : edad del hermano mediano
x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor
Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40,
Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:
Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.
Ejercicios:
-En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de
naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada
sabor ?. (Sol: 12, 24, 108).
-El perímetro de un jardín rectángular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. Más que el lado
menor. Cuánto miden los lados del jardín ? (Sol: 9 y 20 m).
-Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. (Sol:
4).
-Calcula los ángulos de un triángulo sabiendo que es la mitad del otro y que el tercero es la
cuarta parte de la
suma de los dos primeros.(Sol: 48º, 96º, 36º).
-Un numero se multiplica por 3. El resultado se divide por 4 y luego se le resta 5. Este nuevo
resultado se
multiplica por 10, obteniéndose así la cuarta parte del numero aumentada en 37. ¿Cuál es el
numero? (Sol:12).
-Un tren que marcha a 90 Km./h pasa por la estación A en el mismo instante en que otro tren,
que va a 70km./h, pasa por la estación B. Ambos van en el mismo sentido. ¿Cuánto tiempo
tardaran en encontrarse si B dista de A 80 km.? ¿A que distancia de B lo harán? (Sol: El tiempo
de ambos es 4 h y se encontraran a 280 Km. de B).
PROBLEMAS CON ECUACIONES
1. Un hombre compro un bastón, un
sombrero y un traje. Por el bastón pagó
$15. El sombrero y el bastón le
costaron los ¾ del precio del traje y el
traje y el bastón $5 más que el doble
del sombrero. ¿Cuánto costo cada
artículo?
a). $15,$20,$90
b). $15,$45,$80
c). $15,$30,$80
d). $10,$45,$80
6. La relación entre dos números es 5 a
8. Si al menor se le suma 4 y al mayor
se le resta 2, la relación es de 4 a 5.
Los números son.
a). 80 y 144
b). 20 y 32
c). 10 y 16
d). 15 y 24
7. La suma de los dos inversos
multiplicativos de dos números es 20 y
la diferencia es 6. Los números son.
2. La suma de las dos cifras de un
número es 11, pero si invertimos el
orden de las cifras el número resultante
es igual al triple del primer número más
5. ¿cuál es este número?
a). 1/7 y 1/3
b). 1/5 y 1/15
c). 1/15 y 1/9
d). 1/10 y 1/10
a). 65
b). 74
c). 29
d). 83
8. ¿Cuál es la diagonal de un
rectángulo, si su perímetro es de 36
metros y el área es 80 metros
cuadrados?
3. La diferencia entre dos números es 8
y el producto es 65 ¿cuales son los
números
a). 4(41)1/2
b). (82) 1/2
c). 2(41) 1/2
d). 3(42) 1/2
a). 5 y 13
b). 4 y 12
c). 5 y 12
d). 6 y 14
4. Sabiendo que los tres ángulos
interiores del triángulo se cumple que la
suma del mayor y el mediano es 135º y
la suma del menor y el mediano es
110º. Hallar los tres ángulos.
a). 80º, 100º, 10º
b). 20º, 60º, 100º
c). 30º, 50º, 90º
d). 70º, 65º, 45º
5. La suma del triple de un número real
con dos veces un segundo número es
100 y su diferencia es 24. ¿Cuáles son
los números?
a). 148/3 y 28/5
b). 148/5 y 28/5
c). 148 y 28
d). 148/3 y 28
9. En una peluquería el corte de cabello
cuesta 6000 para hombre y 8000 para
mujer. Si se hacen el corte 50 personas
en un día y pagan en total 360000.
¿Cuántos hombres y cuantas mujeres
se cortaron el cabello durante el día?
a). 20 hombres y 30 mujeres
b). 10 hombres y 40 mujeres
c). 35 hombres y 15 mujeres
d). 40 hombres y 10 mujeres
10. Una persona tiene pollos y patos.
En total tiene 70 animales. Si comprara
20 pollos tendrá que el número de
pollos seria el doble del número de
patos. ¿Cuántos pollos y cuantos patos
tiene?
a). 50 pollos y 20 patos
b). 60 pollos y 10 patos
c). 40 pollos y 30 patos
d). 10 pollos y 60 patos
11. Una persona cambia $1000 en
monedas de 50 y 20 pesos. Si le dan
32 monedas en total. ¿Cuántas
monedas de 50 y cuantas monedas de
20 tiene?
17. El numerador de una fracción
excede al denominador en 2. Si el
denominador se aumenta en 7 el valor
de la fracción es ½ ¿Cuál es la
fracción?
a). 13 de 50 y 19 de 20
b). 12 de 50 y 20 de 20
c). 10 de 50 y 22 de 20
d). 30 de 50 y 2 de 20
a). 7/5
b). 13/11
c). 9/7
d). 5/3
12. La suma de dos números es 9 y la
suma de sus cuadrados es 53. Los
números son.
18. La suma de tres números es 37. El
menor disminuido en 1 equivale a 1/3
de la suma del mayor y el mediano. La
diferencia entre el mediano y el menor
equivale al mayor disminuido en 13.
Hallar los números.
a). 6 y 3
b). 7 y 2
c). 4 y 5
d). 8 y 1
13. El producto de dos números es 180
y el cociente es 5/4. ¿Cuáles son los
números?
a). 1, 3, 5
b). 7, 8, 13
c). 10, 12, 15
d). 13, 14, 20
a). 20 y 9
b). 11 y 13
c). 15 y 12
d). 10 y 18
19. Tenía cierta suma. Gaste los ¾ en
trajes y los 2/3 de lo que me quedo en
libros. Si lo que tengo ahora es $38
menos que los 2/5 de lo que tenía al
principio. ¿Cuánto tenia al principio?
14. Hace ocho años la edad de A era el
triple de la de B, y dentro de cuatro
años la edad de B será los 5/9 de la de
A. ¿Cuáles son las edades de A y B?
a). 90
b). 120
c). 240
d). 320
a). 32 y 14
b). 12 y 33
c). 32 y 16
d). 16 y 31
20. Compre cierto número de libros a 5
libros por $60.000, me quede con 1/3
de los libros y vendiendo el resto, 4
libros por $90.000 gane $90.000.
¿Cuántos libros compré?
15. Dos números están en relación 5 a
6. Si el menor se aumenta dos y el
mayor se disminuye en 6. La relación
es de 9 a 8. ¿Cuáles son los números?
a). 25 y 30
b). 27 y 30
c). 24 y 32
d). 24 y 31
16. el doble de la edad de A excede en
50 años a la edad de B y ¼ de la de B
es 35 años menos que la edad de A.
¿Cuáles son las edades de A y B?
a). 45 y 40
b). 45 y 60
c). 40 y 60
d). 60 y 30
a). 30
b). 45
c). 28
d). 35
MISCELANEA.
1. Con 60 dólares puedo comprar 15
litros de cerveza. ¿Qué parte de un
litro puedo comprar con un dolar?.
a).
b).
c).
d).
1/2
1/4
2/3
1/3
2. Si se mueren 2/7 de mis vacas y
compro 37 vacas mas, el número
de las que tenia al principio queda
aumentado en sus 3/8. ¿Cuántas
vacas tenia al principio?.
a).
b).
c).
d).
56
37
95
49
3. Un terreno de 30 metros de ancho
por 150 de largo se siembran los
4/9 de café. Que fracción
representa lo sembrado con
respecto a lo que quedó.
a).
b).
c).
d).
2/45
4/5
25/207
5/4
4. Hallar dos números consecutivos
tales que el menor excede en 81 a
la diferencia entre los 3/4 del
menor y los 2/5 del mayor.
a).
b).
c).
d).
12 y 14
27 y 28
98 y 99
121 y 125
5. Hoy gané un dólar mas que ayer, y
lo que he ganado en los dos días
es 25 dólares mas que los 2/5 de lo
que gane ayer ¿Cuánto gane hoy y
cuanto gane ayer?.
a).
b).
c).
d).
$50 y $52
$20 y $21
$16 y $15
$28 y $29
6. La diferencia de dos números es
44, y si el mayor se divide por el
menor, el cociente es 3 y el residuo
2. hallar los números.
a). 10 y 54
b). 21 y 65
c). 32 y 76
d). 53 y 97
7. Un estanque se puede llenar por 3
llaves. La primera lo puede llenar
en 5 horas, la segunda en 10 horas
y la tercera en 8 horas. ¿En cuánto
tiempo se llenara el estanque si se
abren al mismo tiempo las 3
llaves?
a). 2 6 horas
17
b).
1
3 horas
2
c).
4
d).
2horas
5
horas
14
8. Los caballos de Juan equivalen a la
mitad de los míos; los de Pablo a la
tercera parte de los míos. Si a los
caballos de Juan y pablo sumo los
50 caballos de Pedro, resultarían
los 7/8 de los caballos que tengo.
¿Cuántos caballos tengo y cuantos
tiene Juan y Pablo?
a).
b).
c).
d).
1200, 600, 400
500, 200, 300
400, 500, 1000
500, 700, 300
9. Un padre deja a su hijo mayor 3/11
de su fortuna, al segundo 3/33, al
tercero 1/4 de lo que le ha dado a
los otros dos, y al cuarto los 8.400
dólares restantes. ¿A cuánto
ascendía la fortuna?
a).
b).
c).
d).
$13000
$12200
$14400
$15400
10. El dueño de una finca compro 4
vacas y 7 caballos por $514 y más
tarde, a los mismos precios compro
8 vacas y 9 caballos por $818.
Hallar el costo de una vaca y un
caballo.
a).
b).
c).
d).
$15 y $12
$13 y $25
$55 y $42
$80 y $91
11. Hallar tres números consecutivos
tales que el menor se divide entre
20, el mediano entre 27 y el mayor
entre 41. La suma de los cocientes
es 9.
a).
b).
c).
d).
80, 81, 82
50, 51, 52
63, 64, 65
91, 92, 93
12. La
longitud
de
un
campo
rectangular excede a su ancho en
30 m. Si la longitud se disminuye
en 20 m. y el ancho se aumenta en
15 m. el área se disminuye en 150
m2 . Hallar las dimensiones del
rectángulo.
a).
b).
c).
d).
10 y 20
30 y 40
70 y 100
60 y 90
13. La edad actual de un hombre es
los 9/5 de la edad de su esposa y
dentro de 4 años la edad de su
esposa será los 3/5 de la suya.
Hallar las edades actuales.
a).
b).
c).
d).
50 y 42
41 y 35
36 y 20
40 y 20
14. Dos números están en relación 3 a
5. Si cada número se disminuye en
10, la relación es 1 a 2. Hallar los
números.
a).
b).
c).
d).
3y5
6 y 10
12 y 20
30 y 50
15. Si el doble de la edad de A se
suma a la edad de B, se obtiene la
edad de C aumentada en 32 años.
Si al tercio de la edad de B se
aumenta el doble de la edad de C,
se obtiene la edad de A aumentada
en 9 años, y el tercio de la suma de
las edades de A y B es un año
menos que la edad de C. Hallar las
edades respectivas
a).
b).
c).
d).
15, 12, 10
10, 9, 8
12, 13, 9
25, 21, 18
16. Si un lote tuviera un metro más de
largo y un metro más de ancho, el
área sería 26 m2
mas de lo que
es ahora, y si tuviera 3 metros
menos de largo y dos metros mas
de ancho, el área sería 19 m2
mayor que lo que es ahora. Hallar
las dimensiones del lote.
a).
b).
c).
d).
18 y 9
20 y 5
30 y 14
14 y 18
17. La edad actual de A guarda con la
edad de B la relación de 2 a 3. Si la
edad que tenia A hace cuatro años
se divide por la edad que tendrá B
dentro de cuatro años, el cociente
es 2/5. Hallar las edades actuales.
a).
b).
c).
d).
14 y 21
18 y 20
24 y 31
12 y 13
18. En 4 días un hombre recorrió 120
km si cada día 1/3 de lo que
recorrió el día anterior, ¿Cuántos
kilómetros recorrió cada día?
a).
b).
c).
d).
12, 4, 3, 2
21, 7, 3, 1
24, 81, 27, 9
81, 27, 9, 3
19. A y B empiezan a jugar teniendo B
los 2/3 de lo que tiene A. Cuando
B ha ganado $22 tiene los 7/5 de lo
que le queda a A. ¿Con cuánto
empezó a jugar cada uno?
a).
b).
c).
d).
72 y 48
20 y 5
18 y 90
14 y 2
20. A puede hacer una obra en 4 días,
B en 6 días y C en 12 días. ¿ En
cuanto tiempo puede hacer la obra
los tres juntos?
a). 12horas y 32 8 min
11
b). 48horas
c). 12horas
d). 11 1 horas
2