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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS GRADO: 11 Y NATURALES TALLER Nº: 7 SEMILLERO DE MATEMÁTICAS SEMESTRE 1 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES RESEÑA HISTÓRICA Leonhard Euler (1707-1783). Nació en Basilea, Suiza y Murió en San Petersburgo, Rusia. Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Fue uno de los más grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes. Fue discípulo de Jean Bernoulli, pero superó rápidamente el notable talento matemático de su maestro. Su carrera profesional se circunscribió a las Academias de Ciencias de Berlín y San Petersburgo, y la mayor parte de su trabajo se publicó en los anales de ciencias de estas instituciones. Fue protegido de Federico el Grande, en cuya corte protagonizó discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la Retórica y la Metafísica. Entre sus muchos aportes a la matemáticas se cuenta con el haber introducido la forma de la notación de una función matemática f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x como , también introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, el número e es conocido también como el número de Euler, la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra i para hacer referencia a la unidad imaginaria, la letra griega π para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud del diámetro. En el año 1772, Euler demostró que 231 - 1 = 2.147.483.647 es un número primo de Mersenne. Esta cifra permaneció como el número primo más grande conocido hasta el año 1867. OBJETIVO GENERAL Aprender a utilizar el desarrollo teórico en situaciones concretas. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Desarrollar técnicas de conteo para solucionar problemas que despiertan curiosidad. 2. Aprender a utilizar el concepto de permutaciones y combinaciones en la solución de problemas prácticos. PALABRAS CLAVES Conteo, regla multiplicativa, permutación, combinación. DESARROLLO TEÓRICO Es esencial al momento de abordar el tema el que se establezca la diferencia entre permutaciones y combinaciones, por tal motivo se hará la introducción con una breve definición de ambas para luego profundizar en el tema. PERMUTACIONES El número de permutaciones de n objetos o elementos, es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden. COMBINACIONES En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden. MUESTRAS De n elemento en r cuando se permiten repeticiones de los elementos y además el orden es importante. SELECCIONES De n elemento en r cuando se permiten repeticiones de los elementos y además el orden NO es importante. Para efectos de cálculo será necesario hacer uso del operador factorial, razón por la cual se definirá. FACTORIAL n!: El factorial de un número natural n, se escribe n! y se define n!= n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x . . .4 x 3 x 2 x 1 Ejemplo: 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 5040 Por definición: 0! = 1 PERMUTACIONES Pn = n! Una permutación de n objetos distintos es una ordenación de los n objetos. Teniendo esto en cuenta se consideran los dígitos 1, 2, 3 encontrar los números de 3 cifras, distintas, que se pueden formar; si los dígitos no se repiten. Estos números serian 123, 132, 213, 231, 312, 321 se observa, entonces la permutación de tres objetos en la cual el orden importa. Se demuestra que la permutación de n objetos distintos es igual a n!, es decir Pn = n! En ocasiones no hay que ordenar todos los n elementos, sino una parte de ellos, supongamos r de los n, entonces se tiene una permutación de orden r y se escribe Pn,r que se lee: “ordenación o permutación de r de los n objetos”. 2 Por ejemplo: Encontrar el número de los números de dos cifras que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, si los dígitos no se pueden repetir. A saber: 12, 21, 13, 31, 23, 32. Otro ejemplo: De las letras Z, X, C, V, B, N, M (fila inferior del teclado de computador)se toman 4 letras, y escribirse de diferente manara. BCMN – NBMC – CBNM – ZVXN – BVCZ, … es posible obtener permutaciones Permutaciones con objetos iguales: Si tenemos n objetos de los cuales r1 son iguales entre si, r2 son iguales entre si, etc. Entonces se comprueba que: n! Pn r1 ,r2 ,r3 .......rk r1 ! r2 ! rk Permutación circular: El número de permutaciones de n objetos, dispuestos en circunferencia es: (n – 1)! COMBINACIONES: Si se tienen n objetos distintos y se quieren formar grupos de r objetos, en los que no interesa el orden, cada grupo se llama combinación de r de los n objetos. La combinación es encontrar grupos en los cuales no interesa el orden. n! Cn,r r !(n r )! Ejemplo De las letras Z, X, C, V, B, N, M (fila inferior del teclado de computador) se toman 4 letras, y escribirse de diferente manara. MNBC – MNBZ – XBNZ – CBNZ – NVZX …, se obtienen combinaciones Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, se planteara la siguiente situación: Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a. El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario. 3 b. El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero). SOLUCIÓN: a. Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y Rafael para limpiar el aula o entregar material (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente). ¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas? Reflexionando al respecto se llega a la conclusión de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que interesa es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, quiénes están en el grupo. Por tanto, este ejemplo es una combinación. Esto quiere decir que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que interesa es el contenido de los mismos. b. Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como Presidente, Arturo como secretario y Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, como los que se muestran a continuación: PRESIDENTE SECRETARIO TESORERO Daniel Arturo Rafael Rafael Daniel Arturo Rafael Daniel Daniel Rafael Rafael Arturo Rafael Arturo Arturo Daniel Arturo Daniel Ahora tenemos seis arreglos, ¿se tratará de la misma representación? La respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente. ¿Importa el orden de los elementos en los arreglos? La respuesta definitivamente sería sí, luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto este caso es una permutación. En general es posible que ayude un cuadro resumen o esquema dado al final del marco teórico, en el se resumen las cuatro situaciones a diferenciar, en el cual se podrá observar las características propias de la permutación, la combinación la muestra y la selección. ACTIVIDAD. ¿Es correcto afirmar que una muestra es una permutación que permite repetición de los elementos? ¿Es correcto afirmar que una selección es una combinación que permite la repetición de elementos? ¿Es correcto afirmar que una muestra es un combinación ordenada que permite repetición de los elementos? 4 r de m elementos Sin repetición Si orden PERMU TACIÓN p(m, r ) m! (m r )! Con repetición No orden COMBI NACIÓN C (m, r ) m! r!(m r )! Si orden MUESTRA No orden SELECCIÓN Mmr= mr EJERCICIOS PROPUESTOS En los cuatro ejercicios siguientes determine si se trata de una permutación, combinación, muestra o selección. 1. Hacer una “palabra” de cinco letras utilizando letras cualquiera del alfabeto español. 2. Hacer una “palabra” de cuatro letras utilizando letras diferentes del alfabeto español. 3. Alejandro y Luisa escogen cada uno por su lado uno de cinco helados disponibles. 4. Las matriculas de carro que se pueden hacer si cada una tiene tres letras y tres digitos.los enteros que se pueden formar entre 1000 y 9000 con los dígitos 2, 4, 5, , 6, 8. PERMUTACIONES 1. ¿Cuántas señales distintas puedes hacer con siete banderas izando tres a cada vez? A. 21 B. 210 C. 64 D. 343 2. Con 10 jugadores de microfútbol. ¿De cuántos modos puedes disponer un equipo de 5 jugadores si el centrodelantero y el portero han de ser siempre los mismos? A. 340 B. 150 C. 184 D. 336 3. ¿Cuántos números de 4 cifras distintas puedes formar con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? A. 6561 B. 3024 C. 3600 D. 1256 4. ¿De cuántos modos puedes colocar en un estante 5 libros? A. 120 B. 5040 C. 140 D. 24 5 5. Un comité de 5 personas ha de repartir los 5 puestos directivos de presidente, vicepresidente, secretario, tesorero y vocal. ¿De cuántas maneras posibles puedes hacerlo? A. 130 B. 105 C. 120 D. 240 6. ¿Cuántos números de 3 cifras puedes formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9? A. 120 B. 210 C. 343 D. 720 7. ¿Cuántas palabras puedes formar con todas las letras de la palabra MISSISSIPPI? A. 56720 B. 14120 C. 34650 D. 98570 8. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿De cuántas formas posibles puedes ordenarlos? A. 10! B. 10! / 3! C. 7! / 5!.2! D. 10! / 5!.2!.3! Responder las preguntas 10 y 11 de acuerdo con la siguiente información. 9. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuántas formas distintas es posible ordenarlos?, si… 10. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos. A. 120.540 B. 207.360 C. 264.320 11. Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos. a) 4!.6!.2!.3!. b) 9! c) 9!.4! d) 6!.3! 12. ¿Cuántos números mayores que 2.000 y menores que 3.000 puedes formar con los números 2,3,5 y 6? A. 6 B. 120 C. 720 D. 64 13. ¿De cuántos modos pueden componerse 11 muchachos para formar una rueda? A. 11! B. 11!.10! C. 10! D. 11! / 9!.2! Responda las preguntas 15 a 17 de acuerdo a la siguiente información. Cuatro parejas de casados compran ocho asientos en una fila para un concierto. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar? 14. Sin restricciones A. 3.620 B. 384 C. 40.320 D. 578 15. Si cada pareja se sienta junta. A. 240 B. 384 C. 720 D. 3.620 16. Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las mujeres. A. 720 B. 576 C. 270 D. 362.146 6 D. 3.620 D. 21 Responder las preguntas 17 a 19 de acuerdo con la siguiente información. 3. De entre 8 candidatos, ¿Cuántas ternas puedes escoger? A. 336 B. 56 C. 120 D. 320 ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 0, 1, 4, 5, 6, 7 y 8? 17. Si cada dígito se puede utilizar una sola vez. A. 105 B. 240 C. 180 D. 320 18. ¿Cuántos de esos números serán impares? A. 24 B. 75 C. 720 D. 126 19. ¿Cuántos serán mayores que 330? A. 180 B. 120 C. 245 D. 105 20. ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con los dígitos 4,5,6,7,8 y 9 si no se pueden repetir? A. 720 B. 620 C. 180 D. 120 COMBINACIONES 1. De 12 libros. Cuántas selecciones de 5 libros puedes hacer? A. 792 B. 60 C. 720 D. 24 2. ¿Cuántas selecciones de cuatro letras puedes hacer con las letras de la palabra ALFREDO? A. 42 B. 35 C. 70 4. Encontrar el número de comités, de 2 químicos y 1 físico, que puedes formar con 4 químicos y 3 físicos. A. 144 B. 4 C. 18 D. 36 5. Un colegio participa en 12 partidos de fútbol en una temporada, ¿de cuántas maneras puede el equipo terminar una temporada con 7 victorias? A. 792 B. 124 C. 5040 D. 64 6. Un colegio participa en 12 partidos de fútbol en una temporada, ¿de cuántas maneras puede el equipo terminar la temporada con 2 empates? A. 124 B. 66 C. 720 D. 5040 7. Un colegio participa en 12 partidos de fútbol en una temporada, ¿de cuántas maneras puede el equipo terminar la temporada con 3 derrotas? A. 220 B. 64 C. 720 D. 3604 8. Un colegio participa en 12 partidos de fútbol en una temporada, ¿de cuántas maneras puede el equipo terminar la temporada con 7 victorias, 3 derrotas, y 2 empates? 7 A. B. C. D. 7920 720 792 330 9. Siete viejos amigos se reúnen para celebrar el cumpleaños de uno de ellos. Al encontrarse los siete, cada uno le da la mano a otro, ¿cuántos apretones de mano se dan en total? A. 42 B. 21 C. 7 D. 14 10. Una bolsa contiene 6 balotas blancas y 4 negras. ¿De cuántas formas diferentes puedes extraer 3 balotas y que éstas sean de un mismo color? A. 10 B. 120 C. 210 D. 24 11. ¿Cuántas formas hay de seleccionar a 5 candidatos de un total de 10 recién graduados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma contable? A. 120 B. 240 C. 252 D. 184 12. En un examen se ponen 8 temas para que el alumno escoja 5. ¿Cuántas selecciones puede hacer el alumno? A. 56 B. 81 C. 124 D. 520 13. ¿De cuántas formas puedes sacar 2 balotas de una bolsa que contiene 4 amarillas y 3 rojas? A. 36 B. 12 C. 21 D. 7 14. ¿De cuántas formas puedes sacar 3 balotas amarillas de una bolsa que contiene 8 amarillas y 5 rojas? A. 36 B. 56 C. 72 D. 12 15. Al reunirse cierto número de personas se dan la mano para saludarse. Si en total se dieron 105 apretones de mano, ¿cuántas personas se saludaron? A. 52 B. 35 C. 51 D. 15 Responder las preguntas 16 a 18 de acuerdo con la siguiente información: En una urna hay 5 tarjetas rojas y 3 verdes. Se extraen, de una vez, tres tarjetas: 16. El número de extracciones posibles es: A. 336 B. 6720 C. 126 D. 56 17. El número posible de extracciones, de modo que las tres tarjetas sean rojas, es: A. 10 B. 20 C. 60 D. 336 18. El número de extracciones, de modo que las tres tarjetas sean de igual color, es: A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8