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República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Tel.: 958-5804
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno(a): ________________________________________ Grupo: 12º ______
Sección:  Bachiller Industrial
Especialidad: __________________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 2
Las Desigualdades Lineales
2.0 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Resuelva inecuaciones lineales o desigualdades de primer grado con una incógnita,
presentando su solución en notación de intervalo, de conjunto y representar su
gráfica.
 Resuelva inecuaciones compuestas, empleando procedimientos algebraicos.
2.1 LAS INECUACIONES LINEALES
Son desigualdades de primer grado, que poseen incógnitas lineales.
En estas
desigualdades1 aparecen letras (variables o incógnitas) y números que están ligados mediante
las operaciones algebraicas y los signos de desigualdad (“<”, “”, “>”, y “”) con las operaciones
usuales.
2.2 INECUACIÓN EN UNA VARIABLE
Es una desigualdad en la que aparece una única variable (o incógnita) en uno de sus miembros
o en ambos miembros de la desigualdad, simultáneamente. Por ejemplo: 2 x  3  x  5 es una
inecuación lineal en una variable porque tiene la incógnita x y sólo se verifica para cualquier
valor de x  8 . Para x  8 se convertirá en una igualdad y para x  8 es una desigualdad de
signo contrario.
2.3 INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Son inecuaciones en las cuales, después de realizar las operaciones necesarias para quitar
paréntesis y denominadores, para reducir términos semejantes, etc., el grado más alto que tiene
1
Si son desigualdades estrictas (“<” ó “>”), entonces su solución siempre será un intervalo infinito.
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la variable es uno; son aquellas que pueden reducirse a las formas:
ax  b  0 ;
ax  b  0 ;
ax  b  0 ;
ax  b  0
2.3.1 SOLUCIÓN A UNA INECUACIÓN
Es todo valor de la incógnita, o conjunto de valores de las incógnitas, que verifican la
desigualdad.
2.4 RESOLVER UNA INECUACIÓN
Resolver una inecuación lineal2, es hallar el conjunto de los valores reales de las incógnitas
que la verifican, o satisfagan, es decir, los valores que hacen que se cumpla la desigualdad.
En las inecuaciones suele hablarse de conjunto de soluciones o conjunto de validez, pues las
soluciones se dan mediante intervalos. La solución de una inecuación es, por lo general, un
intervalo o una unión de intervalos de números reales.
El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero
teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Además, es conveniente ilustrar la
solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo,
en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; (un círculo lleno) en cambio,
si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente o
vacío).
2.5 ALGUNAS RECOMENDACIONES PARA RESOLVER UNA DESIGUALDAD LINEAL
Para resolver una inecuación hay que despejar la incógnita. Para ello hay que tener en cuenta
las siguientes recomendaciones:
1. Se trasladan3, al miembro de la izquierda los términos que contienen la variable, y al
miembro de la derecha los términos constantes (términos libres o independientes).
2. Se efectúa la suma algebraica de los términos en cada miembro, es decir, se aplica la
reducción de términos semejantes.
3. Si el coeficiente de la variable resulta en un número negativo, se debe multiplicar por -1 toda
la desigualdad, y se invierte el sentido de la desigualdad.
4. Para despejar la incógnita o variable, se divide los dos miembros de la desigualdad entre el
coeficiente de la variable.
En caso de que hubiese denominadores:
2
3
Requiere de la aplicación de reglas equivalentes a las ecuaciones lineales.
En una desigualdad un término cualquiera puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.
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5. Se quitan denominadores si los hubiera, de tal manera que queden coeficientes enteros. Es
decir, es posible suprimir denominadores en una desigualdad sin que varíe el signo de la
desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualad, o sea cada
término de los dos miembros, por el m. c. m. de los denominadores.
En la transposición de términos, se debe considerar lo siguiente:

Se aísla la incógnita en el miembro en quede positiva.

Lo que está sumando pasa al otro miembro restando y lo que esta restando pasa al otro lado
sumando.

Lo que esta multiplicando (que será positivo) pasará al otro miembro dividiendo y lo que está
dividiendo (que será positivo) pasa multiplicando.
Observación: Se debe tomar en cuenta que al multiplicar o al dividir ambos miembros
de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad se invierte, se cambia.
2.6 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES LINEALES APLICANDO LAS PROPIEDADES
Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita, es encontrar su conjunto de soluciones
o conjunto de validez; a través de la aplicación de las propiedades de la suma, resta,
multiplicación y división de desigualdades. Por ejemplos:
Ejemplo 1: Resolver la desigualdad lineal: 3x  7  4 x  5
3x  7  4 x  5
Solución:
3x  7  7  4 x  5  7
Propiedad de la resta
3x  4 x  2
Reduciendo términos semejantes
3 x  4 x  4 x  2  4 x Propiedad de la resta
x2
Reduciendo términos semejantes
( 1)  x   2
Multiplica ndo por un número negativo
x2
Se invierte el signo de la desigualda d
Respuesta: Notación de intervalo: 2,  
Notación de conjunto: S  x  R / x  2 ó S  x  R / x  2,  
Graficando la solución:
Resolviendo el mismo problema, pero ahora abreviando las propiedades de las desigualdades,
de manera que sea menos complicada y más fácil de comprender.
Resolver la desigualdad lineal: 3x  7  4 x  5
Solución:
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3
3x  7  4 x  5
3x  4 x  5  7
( 1)
Trasposici ón de términos
x2
Reduciendo términos semejantes
x 2
Multiplica ndo por un número negativo
x2
Se invierte el signo de la desigualda d
Respuesta: Notación de intervalo: 2,  
Notación de conjunto: S  x  R / x  2 ó S  x  R / x  2,  
Graficando la solución:
Ejemplo 2: Resolver la desigualdad lineal: 3 x  5  x  7
Solución: 3 x  5  x  7
3x  x  7  5 Trasposici ón de términos
2 x  12
Reduciendo términos semejantes
2 x 12

Dividiendo por el coeficient e de la variable
2
2
x6
Simplificando
Respuesta: Notación de intervalo: 6 ,  
Notación de conjunto: S  x  R / x  6 ó S  x  R / x  6 ,  
Graficando la solución:
Ejemplo 3: Resolver la desigualdad lineal: 22x  3  10  6x  2
Solución: 22x  3  10  6x  2
4 x  6  10  6 x  12
Operando los paréntesis
4 x  4  6 x  12
4 x  4  4  6 x  12  4
Propiedad de la suma
4x  6x  8
4 x  6 x  6 x  8  6 x Propiedad de la resta
 2x   8
( 1)
2x  8
Multiplica ndo por menos uno, cambia el sentido de la inecuación
2x 8
  x  4 Propiedad de la división, y simpliificando
2 2
Respuesta: Notación de intervalo: 4,  
Notación de conjunto: S  x  R / x  4 ó S  x  R / x  4 ,  
Graficando la solución:
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4
Ejemplo 4: Resolver la desigualdad lineal: 7 x  3  8 x  2
Solución: 7 x  3  8 x  2
7 x  8x   2  3
 x  5
 1 x  5
Respuesta: Notación de intervalo:   , 5
Notación de conjunto: S  x  R / x  5 ó S  x  R / x    , 5
Graficando la solución:
3x
7
x
1
7x




5
10 20 5
20
Solución: Multiplicamos por el M. C. M. (Mínimo común múltiplo), que en este caso es: 20
 3x 
7
x 
1
 7x 
20    20    20    20    20  
 5
 10 
 20 
5
 20 
4 3x   2 7   1x   4 1  17 x 
12 x  14  x  4  7 x
12 x  x  7 x  4  14
4 x  18
18
x 

x  92
4
Ejemplo 5: Resolver la desigualdad lineal:
Respuesta: Notación de intervalo:
 92 ,  
Notación de conjunto: S  x  R / x  92  ó S  x  R / x   92 ,  
Graficando la solución:
Ejemplo 6: Resolver la desigualdad lineal: 3x  1 
x2
2
 x 1 1
Solución: Resolviendo, multiplicando toda la inecuación por 2 : 2 3 x  1  2 
5
 2 
6x  2  x  1
6x  x  1  2
5x  1
Respuesta: Notación de intervalo:

x 
1
5
15 ,   
Notación de conjunto: S  x  R / x  15  ó S  x  R / x  15 ,  
Graficando la solución:
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5
2.7 PROBLEMAS RESUELTOS DE DESIGUALDADES LINEALES
1) Resolver: 5 x  2  x  6
Solución: 5 x  2  x  6
5x  x   6  2
2) Resolver: 3  2 x  9  4 x
Solución: 3  2 x  9  4 x
 2x  4x  9  3
4x   8
4x
8

4
4
x  2
Rta.: Intervalo:  2,  
Conjunto: S  x  R / x   2
ó S  x  R / x   2 ,  
Gráfica:
 1
 6x  6
 6x  6
6x   6
6x  6

6
6
x  1
Rta.: Intervalo:  ,  1
Conjunto: S  x  R / x   1
ó S  x  R / x   ,  1
Gráfica:
3) Resolver: x  3x  1  x  1  3x
2
Solución: x  3x  1  x  1  3x
2
x 2  x  3x  3  x 2  2 x  1  3x
2x  3  x  1
2x  x  1  3
x4
Rta.: Intervalo:  , 4
Conjunto: S  x  R / x  4
ó S  x  R / x    , 4
4) Resolver: 32x  1  4  5x  1
Solución: 32x  1  4  5x  1
6x  3  4  5x  5
6x  5x  4  5  3
x2
Rta.: Intervalo: 2,  
Conjunto: S  x  R / x  2
ó S  x  R / x  2 ,  
Gráfica:
Gráfica:
5) Resolver: 3x  5  x  7
Solución: 3x  5  x  7
3x  x  7  5
2 x  12
2 x 12

2
2
x6
Rta.: Intervalo:  , 6
Conjunto: S  x  R / x  6
ó S  x  R / x   , 6
Gráfica:
6) Resolver:  3x  4  2 x  6
Solución:  3x  4  2 x  6
 3x  2 x   6  4
 5 x   10
 5 x  10

5
5
x2
Rta.: Intervalo: 2,  
Conjunto: S  x  R / x  2
ó S  x  R / x  2 ,  
Gráfica:
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V.
6
7) Resolver: 2x  1  3  5x  2  10
Solución: 2x  1  3  5x  2  10
2 x  2  3  5 x  10  10
2 x  5  5x
2 x  5x   5
 3x   5
 1  3x   5
3x  5
3x
5

3
3
5
x  3
53 ,  
Conjunto: S  x  R / x  53 
ó S  x  R / x   53 ,  
Rta.: Intervalo:
x  2 2x  4

3
5
x  2 2x  4

Solución:
3
5
 x 2
 2x  4 
15
  15

 3 
 5 
5 x  2   32 x  4 
8) Resolver:
5 x  10  6 x  12
5 x  6 x  10  12
 1
 x  2
 x  2
x 2
Rta.: Intervalo: 2,  
Conjunto: S  x  R / x  2
ó S  x  R / x  2 ,  
Gráfica:
Gráfica:
9) Resolver: 0,3 y  1,4  0,7 y  0,2
Solución: 0,3 y  1,4  0,7 y  0,2
100,3 y   101,4   100,7 y   100,2 
3 y  14  7 y  2
3 y  7 y   2  14
 4 y  12
 4 y 12

4
4
y  3
Rta.: Intervalo:  3,  
Conjunto: S  y  R / y   3
ó S  x  R / x   3,  
Gráfica:
10) Resolver: 0,4 x  0,6  0,1x  0,4
Solución: 0,4 x  0,6  0,1x  0,4
100,4 x   100,6   100,1x   100,4 
4x  6  x  4
4x  x  4  6
3 x  10
3 x 10

3
3
10
x
3
10

Rta.: Intervalo:  ,   
3

10 

Conjunto: S   x  R / x  
3


10

ó S   x  R / x   ,   
3


Gráfica:
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V.
7
11) Resolver: 42x  3  23x  1  5  3x
Solución: 42x  3  23x  1  5  3x
8 x  12  6 x  2  5  3 x
8 x  6 x  3 x   2  5  12
x9
 1  x  9
x  9
Rta.: Intervalo:  9,  
Conjunto: S  x  R / x   9 
ó S  x  R / x   9,  
Gráfica:
12) Resolver: 5 y  3  4  6 y  1  5 y
Solución: 5 y  3  4  6 y  1  5 y
5 y  15  4  6 y  1  5 y
5 y  6 y  5 y   1  15  4
4 y   20
4 y  20

4
4
y  5
Rta.: Intervalo:  ,  5
Conjunto: S  y  R / y   5
ó S  x  R / x   ,  5
Gráfica:
13) Resolver: x  3x  1  x  2x  5
Solución: x  3x  1  x  2x  5
x 2  x  3x  3  x 2  5 x  2 x  10
14) Resolver: x  1x  2  x  3x  2
Solución: x  1x  2  x  3x  2
x 2  2 x  x  2  x 2  2 x  3x  6
x2x6
2 x  3   3x  10
2 x  3x   10  3
xx62
5x   7
 2x   4
5x
7

5
5
7
x
5
7

Rta.: Intervalo:   ,  
5

 2x  4

2
2
x2
Rta.: Intervalo:  , 2
7

Conjunto: S   x  R / x   
5

Conjunto: S  x  R / x  2
ó S  x  R / x   3,  
Gráfica:

7 

ó S   x  R / x    ,   
5 


Gráfica:
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V.
8
15) Resolver:
2
x4 6
3
2
x4 6
3
2 
3 x   34   36 
3 
2 x  12  18
Solución:
2 x  18  12
2
2 4
x 
3
5 5
2
2 4
Solución: x  
3
5 5
2 
2
4
15 x   15   15 
3 
5
5
52 x   32   34
16) Resolver:
10 x  6  12
10 x  12  6
2x  6
2x 6

2 2
x3
Rta.: Intervalo:  , 3
10 x  6
10 x 6
3

 x
10 10
5
3
Rta.: Intervalo:   , 5 
Conjunto: S  x  R / x  3
Conjunto: S  x  R / x 
ó S  x  R / x   , 3
ó S  x  R / x    , 53  
3
5

Gráfica:
Gráfica:
4  x 1  2x

 x 1
5
3
4  x 1  2x

 x 1
Solución:
5
3
4 x
 1  2x 
15 
  15
  15  x  1
 5 
 3 
3 4  x   51  2 x   15  x  1
17) Resolver:
12  3 x  5  10 x  15 x  15
 3 x  10 x  15 x  15  12  5
 8x  8
 8x
8

8
8
x  1
Rta.: Intervalo:  ,  1
Conjunto: S  x  R / x   1
ó S  x  R / x   ,  1
Gráfica:
2x  1
4x  1
4x 1


 x
3
2
6
2x  1
4x  1
4x 1


 x
Solución:
3
2
6
 2x  1 
 4x  1 
 4x  1 
6
  6
  6
  6 x 
 2 
 6 
 3 
2 2 x  1  3 4 x  1  14 x  1  6 x
4 x  2  12 x  3  x  1  6 x
4 x  12 x  4 x  6 x   1  2  3
 6x  4
 1
6x  4
4
2
x 
 x  
6
3
2
Rta.: Intervalo:  ,  3 
18) Resolver:
Conjunto: S  x  R / x   23 
ó S  x  R / x   ,  23  
Gráfica:
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V.
9
2.8 PROBLEMAS RESUELTOS DE DESIGUALDADES COMPUESTAS
1) Resolver: 4  3x  2  10
Solución: 4  3x  2  10
4  3 x  2  10
4  2  3 x  10  2
6  3 x  12
6 3 x 12


3 3
3
2 x4
Rta.: Intervalo: 2, 4
Conjunto: S  x  R / 2  x  4
ó S  x  R / x  2, 4
Gráfica:
2) Resolver:  2  6  4 x  8
Solución:  2  6  4 x  8
 2  6   4x  8  6
 8   4x  2
 1  8   4 x  2
8  4x   2
8 4x  2


4 4
4
1
1
2x
 x2
2
2
1
Rta.: Intervalo:  2 , 2
Conjunto: S  x  R /  12  x  2
ó S  x  R / x   12 , 2 
Gráfica:
1 3x
1
4
1 3x
1
Solución: 4 
4
1  3 x 
44   4
  41
 4 
16  1  3 x  4
3) Resolver: 4 
16  1   3 x  4  1
 1
15   3 x  3
4) Resolver:  4  2 1  y   8
Solución:  4  2 1  y   8
4 2 1  y  8
 

2
2
2
 2  1 y  4
 2 1   y  4 1
3   y  3
 1  3
3 y  3
15   3 x  3
 15  3 x   3
15 3 x  3


3
3
3
 5  x  1

Rta.: Intervalo:  5,  1
Conjunto: S  x  R /  5  x   1
ó S  x  R / x   5,  1
y3
3 y 3
Rta.: Intervalo:  3, 3
Conjunto: S  y  R /  3  y  3 ó
S  y  R / y   3, 3 
Gráfica:
Gráfica:
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V. 10
4 3x
1
2
4 3x
1
Solución:  5 
2
 4  3x 
2 5  2 
  2 1
 2 
 10  4  3 x  2
2x
 5  11
3
2x
 5  11
Solución:  1 
3
2x
3 1  3
  35  311
 3 
 3  2 x  15  33
5) Resolver:  1 
6) Resolver:  5 
 3  15  2 x  33  15
 10  4   3 x  2  4
 18  2 x  18
 14   3 x   2
18 2 x 18


2
2
2
9 x9
Rta.: Intervalo:  9, 9
14  3 x  2


3 3
3
2
14
x
3
3
 2 14 
Rta.: Intervalo:  ,

3 3 


Conjunto: S  x  R /  9  x  9 ó
S  x  R / x   9, 9
Conjunto: S  x  R / 23  x  143  ó
Gráfica:

 2 14  
S  x  R / x   ,  
3 3 

Gráfica:
PRÁCTICA
Resuelve
las
siguientes
desigualdades lineales:
con
coeficientes
enteros,
decimales,
fraccionarios, con expresiones de polinomios, y las desigualdades compuestas. Exprese los
resultados en notación de intervalo, en notación de conjunto y haga la gráfica:
1) 3x  5  8
x
2)   3
2
3)  3 x  2  7
4) 3x  1  5  5x  2
1
4x
3
5) 9  x 
2
5
6)  6  2 x  4  12
1
x  2  x 5
3
8) 2x  3  x  5
7)
9)
3x 7
x 1 7x
 
 
5 10 20 5 20
10) 3x  12 x  2  6x  7x  1
1
x  3  2
11)
4
12) x  1x  2  x  3x  2
13) 0  5 1  x  6
2
x46
14)
3
15) x 2  x  1  x  2x  3
2
x20
16)
3
17) 0,4 x  0,6  0,1x  0,4
18)
5 x  1 3 x  13 5 x  1


4
10
3
19) 0,4 x  1,2  0,5 x  0,4
1
4x
3
20) 9  x 
2
5
21) 2xx  1  2x  3x  2
22) 0,8 y  0,6  0,5
5
4
3
2
23) x    x 
3
5
4
3
24) 2x  3  5  5  x
3
3 4
7
x  x
25)
10
5 3
15
x 1
 1
26)
4 4
2x  1 2x

1
27)
5
3
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