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República de Panamá Ministerio de Educación DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA Tel.: 958-5804 Instituto Profesional y Técnico de Veraguas Nombre del Alumno(a): ________________________________________ Grupo: 12º ______ Sección: Bachiller Industrial Especialidad: __________________________________ UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 2 Las Desigualdades Lineales 2.0 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Resuelva inecuaciones lineales o desigualdades de primer grado con una incógnita, presentando su solución en notación de intervalo, de conjunto y representar su gráfica. Resuelva inecuaciones compuestas, empleando procedimientos algebraicos. 2.1 LAS INECUACIONES LINEALES Son desigualdades de primer grado, que poseen incógnitas lineales. En estas desigualdades1 aparecen letras (variables o incógnitas) y números que están ligados mediante las operaciones algebraicas y los signos de desigualdad (“<”, “”, “>”, y “”) con las operaciones usuales. 2.2 INECUACIÓN EN UNA VARIABLE Es una desigualdad en la que aparece una única variable (o incógnita) en uno de sus miembros o en ambos miembros de la desigualdad, simultáneamente. Por ejemplo: 2 x 3 x 5 es una inecuación lineal en una variable porque tiene la incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x 8 . Para x 8 se convertirá en una igualdad y para x 8 es una desigualdad de signo contrario. 2.3 INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Son inecuaciones en las cuales, después de realizar las operaciones necesarias para quitar paréntesis y denominadores, para reducir términos semejantes, etc., el grado más alto que tiene 1 Si son desigualdades estrictas (“<” ó “>”), entonces su solución siempre será un intervalo infinito. Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V. 1 la variable es uno; son aquellas que pueden reducirse a las formas: ax b 0 ; ax b 0 ; ax b 0 ; ax b 0 2.3.1 SOLUCIÓN A UNA INECUACIÓN Es todo valor de la incógnita, o conjunto de valores de las incógnitas, que verifican la desigualdad. 2.4 RESOLVER UNA INECUACIÓN Resolver una inecuación lineal2, es hallar el conjunto de los valores reales de las incógnitas que la verifican, o satisfagan, es decir, los valores que hacen que se cumpla la desigualdad. En las inecuaciones suele hablarse de conjunto de soluciones o conjunto de validez, pues las soluciones se dan mediante intervalos. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Además, es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; (un círculo lleno) en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente o vacío). 2.5 ALGUNAS RECOMENDACIONES PARA RESOLVER UNA DESIGUALDAD LINEAL Para resolver una inecuación hay que despejar la incógnita. Para ello hay que tener en cuenta las siguientes recomendaciones: 1. Se trasladan3, al miembro de la izquierda los términos que contienen la variable, y al miembro de la derecha los términos constantes (términos libres o independientes). 2. Se efectúa la suma algebraica de los términos en cada miembro, es decir, se aplica la reducción de términos semejantes. 3. Si el coeficiente de la variable resulta en un número negativo, se debe multiplicar por -1 toda la desigualdad, y se invierte el sentido de la desigualdad. 4. Para despejar la incógnita o variable, se divide los dos miembros de la desigualdad entre el coeficiente de la variable. En caso de que hubiese denominadores: 2 3 Requiere de la aplicación de reglas equivalentes a las ecuaciones lineales. En una desigualdad un término cualquiera puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo. Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V. 2 5. Se quitan denominadores si los hubiera, de tal manera que queden coeficientes enteros. Es decir, es posible suprimir denominadores en una desigualdad sin que varíe el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualad, o sea cada término de los dos miembros, por el m. c. m. de los denominadores. En la transposición de términos, se debe considerar lo siguiente: Se aísla la incógnita en el miembro en quede positiva. Lo que está sumando pasa al otro miembro restando y lo que esta restando pasa al otro lado sumando. Lo que esta multiplicando (que será positivo) pasará al otro miembro dividiendo y lo que está dividiendo (que será positivo) pasa multiplicando. Observación: Se debe tomar en cuenta que al multiplicar o al dividir ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad se invierte, se cambia. 2.6 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES LINEALES APLICANDO LAS PROPIEDADES Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita, es encontrar su conjunto de soluciones o conjunto de validez; a través de la aplicación de las propiedades de la suma, resta, multiplicación y división de desigualdades. Por ejemplos: Ejemplo 1: Resolver la desigualdad lineal: 3x 7 4 x 5 3x 7 4 x 5 Solución: 3x 7 7 4 x 5 7 Propiedad de la resta 3x 4 x 2 Reduciendo términos semejantes 3 x 4 x 4 x 2 4 x Propiedad de la resta x2 Reduciendo términos semejantes ( 1) x 2 Multiplica ndo por un número negativo x2 Se invierte el signo de la desigualda d Respuesta: Notación de intervalo: 2, Notación de conjunto: S x R / x 2 ó S x R / x 2, Graficando la solución: Resolviendo el mismo problema, pero ahora abreviando las propiedades de las desigualdades, de manera que sea menos complicada y más fácil de comprender. Resolver la desigualdad lineal: 3x 7 4 x 5 Solución: Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V. 3 3x 7 4 x 5 3x 4 x 5 7 ( 1) Trasposici ón de términos x2 Reduciendo términos semejantes x 2 Multiplica ndo por un número negativo x2 Se invierte el signo de la desigualda d Respuesta: Notación de intervalo: 2, Notación de conjunto: S x R / x 2 ó S x R / x 2, Graficando la solución: Ejemplo 2: Resolver la desigualdad lineal: 3 x 5 x 7 Solución: 3 x 5 x 7 3x x 7 5 Trasposici ón de términos 2 x 12 Reduciendo términos semejantes 2 x 12 Dividiendo por el coeficient e de la variable 2 2 x6 Simplificando Respuesta: Notación de intervalo: 6 , Notación de conjunto: S x R / x 6 ó S x R / x 6 , Graficando la solución: Ejemplo 3: Resolver la desigualdad lineal: 22x 3 10 6x 2 Solución: 22x 3 10 6x 2 4 x 6 10 6 x 12 Operando los paréntesis 4 x 4 6 x 12 4 x 4 4 6 x 12 4 Propiedad de la suma 4x 6x 8 4 x 6 x 6 x 8 6 x Propiedad de la resta 2x 8 ( 1) 2x 8 Multiplica ndo por menos uno, cambia el sentido de la inecuación 2x 8 x 4 Propiedad de la división, y simpliificando 2 2 Respuesta: Notación de intervalo: 4, Notación de conjunto: S x R / x 4 ó S x R / x 4 , Graficando la solución: Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V. 4 Ejemplo 4: Resolver la desigualdad lineal: 7 x 3 8 x 2 Solución: 7 x 3 8 x 2 7 x 8x 2 3 x 5 1 x 5 Respuesta: Notación de intervalo: , 5 Notación de conjunto: S x R / x 5 ó S x R / x , 5 Graficando la solución: 3x 7 x 1 7x 5 10 20 5 20 Solución: Multiplicamos por el M. C. M. (Mínimo común múltiplo), que en este caso es: 20 3x 7 x 1 7x 20 20 20 20 20 5 10 20 5 20 4 3x 2 7 1x 4 1 17 x 12 x 14 x 4 7 x 12 x x 7 x 4 14 4 x 18 18 x x 92 4 Ejemplo 5: Resolver la desigualdad lineal: Respuesta: Notación de intervalo: 92 , Notación de conjunto: S x R / x 92 ó S x R / x 92 , Graficando la solución: Ejemplo 6: Resolver la desigualdad lineal: 3x 1 x2 2 x 1 1 Solución: Resolviendo, multiplicando toda la inecuación por 2 : 2 3 x 1 2 5 2 6x 2 x 1 6x x 1 2 5x 1 Respuesta: Notación de intervalo: x 1 5 15 , Notación de conjunto: S x R / x 15 ó S x R / x 15 , Graficando la solución: Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V. 5 2.7 PROBLEMAS RESUELTOS DE DESIGUALDADES LINEALES 1) Resolver: 5 x 2 x 6 Solución: 5 x 2 x 6 5x x 6 2 2) Resolver: 3 2 x 9 4 x Solución: 3 2 x 9 4 x 2x 4x 9 3 4x 8 4x 8 4 4 x 2 Rta.: Intervalo: 2, Conjunto: S x R / x 2 ó S x R / x 2 , Gráfica: 1 6x 6 6x 6 6x 6 6x 6 6 6 x 1 Rta.: Intervalo: , 1 Conjunto: S x R / x 1 ó S x R / x , 1 Gráfica: 3) Resolver: x 3x 1 x 1 3x 2 Solución: x 3x 1 x 1 3x 2 x 2 x 3x 3 x 2 2 x 1 3x 2x 3 x 1 2x x 1 3 x4 Rta.: Intervalo: , 4 Conjunto: S x R / x 4 ó S x R / x , 4 4) Resolver: 32x 1 4 5x 1 Solución: 32x 1 4 5x 1 6x 3 4 5x 5 6x 5x 4 5 3 x2 Rta.: Intervalo: 2, Conjunto: S x R / x 2 ó S x R / x 2 , Gráfica: Gráfica: 5) Resolver: 3x 5 x 7 Solución: 3x 5 x 7 3x x 7 5 2 x 12 2 x 12 2 2 x6 Rta.: Intervalo: , 6 Conjunto: S x R / x 6 ó S x R / x , 6 Gráfica: 6) Resolver: 3x 4 2 x 6 Solución: 3x 4 2 x 6 3x 2 x 6 4 5 x 10 5 x 10 5 5 x2 Rta.: Intervalo: 2, Conjunto: S x R / x 2 ó S x R / x 2 , Gráfica: Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V. 6 7) Resolver: 2x 1 3 5x 2 10 Solución: 2x 1 3 5x 2 10 2 x 2 3 5 x 10 10 2 x 5 5x 2 x 5x 5 3x 5 1 3x 5 3x 5 3x 5 3 3 5 x 3 53 , Conjunto: S x R / x 53 ó S x R / x 53 , Rta.: Intervalo: x 2 2x 4 3 5 x 2 2x 4 Solución: 3 5 x 2 2x 4 15 15 3 5 5 x 2 32 x 4 8) Resolver: 5 x 10 6 x 12 5 x 6 x 10 12 1 x 2 x 2 x 2 Rta.: Intervalo: 2, Conjunto: S x R / x 2 ó S x R / x 2 , Gráfica: Gráfica: 9) Resolver: 0,3 y 1,4 0,7 y 0,2 Solución: 0,3 y 1,4 0,7 y 0,2 100,3 y 101,4 100,7 y 100,2 3 y 14 7 y 2 3 y 7 y 2 14 4 y 12 4 y 12 4 4 y 3 Rta.: Intervalo: 3, Conjunto: S y R / y 3 ó S x R / x 3, Gráfica: 10) Resolver: 0,4 x 0,6 0,1x 0,4 Solución: 0,4 x 0,6 0,1x 0,4 100,4 x 100,6 100,1x 100,4 4x 6 x 4 4x x 4 6 3 x 10 3 x 10 3 3 10 x 3 10 Rta.: Intervalo: , 3 10 Conjunto: S x R / x 3 10 ó S x R / x , 3 Gráfica: Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V. 7 11) Resolver: 42x 3 23x 1 5 3x Solución: 42x 3 23x 1 5 3x 8 x 12 6 x 2 5 3 x 8 x 6 x 3 x 2 5 12 x9 1 x 9 x 9 Rta.: Intervalo: 9, Conjunto: S x R / x 9 ó S x R / x 9, Gráfica: 12) Resolver: 5 y 3 4 6 y 1 5 y Solución: 5 y 3 4 6 y 1 5 y 5 y 15 4 6 y 1 5 y 5 y 6 y 5 y 1 15 4 4 y 20 4 y 20 4 4 y 5 Rta.: Intervalo: , 5 Conjunto: S y R / y 5 ó S x R / x , 5 Gráfica: 13) Resolver: x 3x 1 x 2x 5 Solución: x 3x 1 x 2x 5 x 2 x 3x 3 x 2 5 x 2 x 10 14) Resolver: x 1x 2 x 3x 2 Solución: x 1x 2 x 3x 2 x 2 2 x x 2 x 2 2 x 3x 6 x2x6 2 x 3 3x 10 2 x 3x 10 3 xx62 5x 7 2x 4 5x 7 5 5 7 x 5 7 Rta.: Intervalo: , 5 2x 4 2 2 x2 Rta.: Intervalo: , 2 7 Conjunto: S x R / x 5 Conjunto: S x R / x 2 ó S x R / x 3, Gráfica: 7 ó S x R / x , 5 Gráfica: Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V. 8 15) Resolver: 2 x4 6 3 2 x4 6 3 2 3 x 34 36 3 2 x 12 18 Solución: 2 x 18 12 2 2 4 x 3 5 5 2 2 4 Solución: x 3 5 5 2 2 4 15 x 15 15 3 5 5 52 x 32 34 16) Resolver: 10 x 6 12 10 x 12 6 2x 6 2x 6 2 2 x3 Rta.: Intervalo: , 3 10 x 6 10 x 6 3 x 10 10 5 3 Rta.: Intervalo: , 5 Conjunto: S x R / x 3 Conjunto: S x R / x ó S x R / x , 3 ó S x R / x , 53 3 5 Gráfica: Gráfica: 4 x 1 2x x 1 5 3 4 x 1 2x x 1 Solución: 5 3 4 x 1 2x 15 15 15 x 1 5 3 3 4 x 51 2 x 15 x 1 17) Resolver: 12 3 x 5 10 x 15 x 15 3 x 10 x 15 x 15 12 5 8x 8 8x 8 8 8 x 1 Rta.: Intervalo: , 1 Conjunto: S x R / x 1 ó S x R / x , 1 Gráfica: 2x 1 4x 1 4x 1 x 3 2 6 2x 1 4x 1 4x 1 x Solución: 3 2 6 2x 1 4x 1 4x 1 6 6 6 6 x 2 6 3 2 2 x 1 3 4 x 1 14 x 1 6 x 4 x 2 12 x 3 x 1 6 x 4 x 12 x 4 x 6 x 1 2 3 6x 4 1 6x 4 4 2 x x 6 3 2 Rta.: Intervalo: , 3 18) Resolver: Conjunto: S x R / x 23 ó S x R / x , 23 Gráfica: Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V. 9 2.8 PROBLEMAS RESUELTOS DE DESIGUALDADES COMPUESTAS 1) Resolver: 4 3x 2 10 Solución: 4 3x 2 10 4 3 x 2 10 4 2 3 x 10 2 6 3 x 12 6 3 x 12 3 3 3 2 x4 Rta.: Intervalo: 2, 4 Conjunto: S x R / 2 x 4 ó S x R / x 2, 4 Gráfica: 2) Resolver: 2 6 4 x 8 Solución: 2 6 4 x 8 2 6 4x 8 6 8 4x 2 1 8 4 x 2 8 4x 2 8 4x 2 4 4 4 1 1 2x x2 2 2 1 Rta.: Intervalo: 2 , 2 Conjunto: S x R / 12 x 2 ó S x R / x 12 , 2 Gráfica: 1 3x 1 4 1 3x 1 Solución: 4 4 1 3 x 44 4 41 4 16 1 3 x 4 3) Resolver: 4 16 1 3 x 4 1 1 15 3 x 3 4) Resolver: 4 2 1 y 8 Solución: 4 2 1 y 8 4 2 1 y 8 2 2 2 2 1 y 4 2 1 y 4 1 3 y 3 1 3 3 y 3 15 3 x 3 15 3 x 3 15 3 x 3 3 3 3 5 x 1 Rta.: Intervalo: 5, 1 Conjunto: S x R / 5 x 1 ó S x R / x 5, 1 y3 3 y 3 Rta.: Intervalo: 3, 3 Conjunto: S y R / 3 y 3 ó S y R / y 3, 3 Gráfica: Gráfica: Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V. 10 4 3x 1 2 4 3x 1 Solución: 5 2 4 3x 2 5 2 2 1 2 10 4 3 x 2 2x 5 11 3 2x 5 11 Solución: 1 3 2x 3 1 3 35 311 3 3 2 x 15 33 5) Resolver: 1 6) Resolver: 5 3 15 2 x 33 15 10 4 3 x 2 4 18 2 x 18 14 3 x 2 18 2 x 18 2 2 2 9 x9 Rta.: Intervalo: 9, 9 14 3 x 2 3 3 3 2 14 x 3 3 2 14 Rta.: Intervalo: , 3 3 Conjunto: S x R / 9 x 9 ó S x R / x 9, 9 Conjunto: S x R / 23 x 143 ó Gráfica: 2 14 S x R / x , 3 3 Gráfica: PRÁCTICA Resuelve las siguientes desigualdades lineales: con coeficientes enteros, decimales, fraccionarios, con expresiones de polinomios, y las desigualdades compuestas. Exprese los resultados en notación de intervalo, en notación de conjunto y haga la gráfica: 1) 3x 5 8 x 2) 3 2 3) 3 x 2 7 4) 3x 1 5 5x 2 1 4x 3 5) 9 x 2 5 6) 6 2 x 4 12 1 x 2 x 5 3 8) 2x 3 x 5 7) 9) 3x 7 x 1 7x 5 10 20 5 20 10) 3x 12 x 2 6x 7x 1 1 x 3 2 11) 4 12) x 1x 2 x 3x 2 13) 0 5 1 x 6 2 x46 14) 3 15) x 2 x 1 x 2x 3 2 x20 16) 3 17) 0,4 x 0,6 0,1x 0,4 18) 5 x 1 3 x 13 5 x 1 4 10 3 19) 0,4 x 1,2 0,5 x 0,4 1 4x 3 20) 9 x 2 5 21) 2xx 1 2x 3x 2 22) 0,8 y 0,6 0,5 5 4 3 2 23) x x 3 5 4 3 24) 2x 3 5 5 x 3 3 4 7 x x 25) 10 5 3 15 x 1 1 26) 4 4 2x 1 2x 1 27) 5 3 Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T.V. 11