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República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Tel.: 958-5804
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno(a): ________________________________________ Grupo: 12º ______
Sección:  Bachiller Industrial
Especialidad: __________________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 4
Las Desigualdades Cuadráticas y
las Desigualdades Polinómicas
4.0 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Resolver desigualdades cuadráticas (o inecuaciones de segundo grado) con una incógnita,
empleando los procedimientos algebraicos para determinar su conjunto solución.
 Resolver desigualdades polinómicas o polinomiales (o inecuaciones de orden superior),
empleando los procedimientos algebraicos para determinar su conjunto solución.
4.1 INECUACIONES CUADRÁTICAS
Una inecuación cuadrática es una expresión de desigualdad que se soluciona como ecuación
cuadrática.
4.2 LAS DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
Son desigualdades de segundo grado, son el ejemplo más simple de desigualdades no
lineales, porque la potencia máxima de la variable está elevada al cuadrado. Son desigualdades
o inecuaciones cuadráticas las que presentan, o se pueden reducir a, las formas siguientes:
En donde a , b y c son constantes con a  0 .
Para resolver una desigualdad cuadrática,
debemos encontrar las equis1 ( x ’ s) que la satisfagan, esto se logra escribiendo al lado izquierdo
el producto de dos expresiones lineales, esto es, factorizando y examinando el signo de los
factores en los intervalos definidos por las raíces de los factores.
1
A los valores que satisfacen una expresión cuadrática, se le denominan raíces de la ecuación, pero en las
inecuaciones cuadráticas, se denominarán “puntos de separación, o puntos o números críticos” (valores
críticos).
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1
Cuando se plantean desigualdades que implican valores elevados al cuadrado, generalmente se
resuelven factorizando y dividiendo el eje numérico real en los puntos hallados en la
factorización, para encontrar luego los intervalos en que se cumplen la desigualdad.
Sin embargo, no podemos encontrar ecuaciones que son tan fáciles de factorizar, por lo cual en
estos casos, lo que aplica es usar la fórmula cuadrática
general2:
 b  b 2  4ac
x
2a
4.3 RESOLVER UNA DESIGUALDAD CUADRÁTICA
Resolver una desigualdad cuadrática, es hallar el conjunto de los valores reales de las
incógnitas que la verifican, o satisfagan, es decir, los valores que hacen que se cumpla la
desigualdad3. Para esto se debe dejar en el lado derecho de la desigualdad, el valor de 0, si es
que no está; después de esto se debe factorizar la expresión del lado izquierdo (si no se puede
factorizar directamente, se puede utilizar la fórmula general). Una vez factorizada la expresión
del lado izquierdo, podemos tener las siguientes situaciones donde
x  R1 x  R2 
son los
factores.
a) Si la desigualdad es ax 2  bx  c  0 (o del tipo: ax 2  bx  c  0 ). Es decir, si la desigualdad
es del tipo "mayor que", ambos factores deben ser positivos o ambos negativos, para que al
multiplicarlos dé una cantidad positiva. Es decir: x  R1 x  R2   0 .
Si
x  R1   0
y x  R2   0 ó
x  R1   0
y x  R2   0
b) Si la desigualdad es ax 2  bx  c  0 (o del tipo: ax 2  bx  c  0 ). Es decir, si la desigualdad
es del tipo "menor que", ambos factores deben ser de signo contrario, o sea uno negativo y
otro positivo. Es decir: x  R1 x  R2   0
Si
x  R1   0
y x  R2   0 ó
x  R1   0
y x  R2   0
4.4 LOS PUNTOS CRÍTICOS O VALORES CRÍTICOS
Una vez factorizada la ecuación cuadrática, para encontrar el conjunto solución es conveniente
evaluar la función en diferentes intervalos numéricos limitados por puntos críticos.
Los puntos críticos o los valores críticos son los valores que hacen cero la desigualdad, es
decir, son las raíces, son los valores numéricos que se obtienen al igualar cada factor a cero. Por
ejemplo: sean los factores: x  5x  9  0 Entonces: los puntos críticos serán:  5 y 9
2
Esta ecuación se obtiene después de haber completado el cuadrado de la ecuación general de segundo grado, es
decir, en la ecuación: ax  bx  c  0 También se le conoce como “fórmula general de la ecuación
cuadrática”.
3 Se requiere de la aplicación de los métodos de solución de ecuaciones cuadráticas, y de los casos de factorización.
2
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
2
Porque: x  5  0
x 5
; x90
x 9
4.5 ALGUNAS RECOMENDACIONES PARA RESOLVER DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
Las desigualdades cuadráticas son desigualdades en donde la variable tiene como mayor
exponente al número dos; y para resolverlas, podemos seguir las siguientes recomendaciones:
1. Se trasladan todos los términos, al miembro de la izquierda, y se deja cero en el miembro de
la derecha4.
Esto significa que la desigualdad se debe escribir en su forma canónica:
ax 2  bx  c  0 ó ax 2  bx  c  0 (  ó )
2. Se debe factorizar el miembro izquierdo. Si resulta difícil factorizar se puede aplicar la fórmula
general de la ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. En caso de que no se
pueda resolver, entonces la solución es trivial: R ó .
3. Halle los números o valores críticos, éstos números se encuentran igualando a cero, cada
factor. Luego coloque esos valores en la recta real.
4. Escriba los intervalos que se obtienen al ubicar los números críticos en la recta real.
5. Tomar valores de pruebas, y evaluar los factores con los valores de pruebas.
6. Luego escribir la solución, considerando sólo los intervalos donde se satisface la desigualdad,
tomando en cuenta el signo de la desigualdad.
Otro método que resulta más sencillo5, es el siguiente:
Después del cuarto paso, se procede así:
5. Confeccionar una tabla que contenga 5 columnas y cuatro filas. En la primera columna
debe ir los intervalos, en la segunda; los valores de pruebas, en la tercera: el signo del
primer factor, en la cuarta columna, el signo del segundo factor y por último debe ir el
signo de la multiplicación de los signos de ambos factores.
6. La respuesta se obtiene seleccionando el intervalo o la unión de intervalos que satisfacen
la desigualdad, considerando el signo que se obtiene en la última columna de la tabla. Si
la desigualdad es mayor que cero el signo que se selecciona es “+”, si es menor que
cero, es el signo “-“.
4.6 PROBLEMAS RESUELTOS DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
1) Resolver la desigualdad: x 2  12  x
4
5
En una desigualdad un término cualquiera puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.
Es tan fácil, porque se trata de un análisis de los signos, utilizando los valores de pruebas, en los intervalos
encontrados. Además, de que se trata de una tabulación, y aparece en la gran mayoría de los libros de Cálculo.
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Solución: Observe que el trinomio es de la forma: x 2  bx  c
x 2  12  x
x 2  12  x  0
x 2  x  12  0
x  4x  3  0
Buscando, los puntos críticos: x  4  0
x4
Los puntos críticos son:  3 y 4
;
x30
x  3
Intervalo
Valor de prueba
Signo de x  4
Signo de x  3
 , 3
 3 , 4
4 ,  
4
1
5
+
+
+
Signo de
x  4x  3
+

+
 S   3, 4
2) Resolver la desigualdad: x 2  x  2
Solución: Observe que el trinomio es de la forma: x 2  bx  c
x2  x  2
x2  x  2  0
x  2 x  1  0
Buscando, los puntos críticos: x  2  0 ;
x  2
x 1 0
x 1
Los puntos críticos son:  2 y 1
Intervalo
Valor de prueba
Signo de x  2
Signo de x  1
 , 2
 2 , 1
1 ,  
3
0
2
+
+
+
Signo de
x  2x  1


 S    ,  2  1,  
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3) Resolver la desigualdad: x  4x  1  0
Solución: Observe que el problema ya esta factorizado. Entonces, busquemos los puntos
críticos:
x  4  0 ; x 1 0
x4
x  1
Los puntos críticos son:  1 y 4
Intervalo
Valor de prueba
 , 1
  1, 4
4 ,  
Signo de x  4
Signo de x  1
2
3
7
+
+
+
Signo de
x  4x  1


 S    ,  1  4 ,  
4) Resolver la desigualdad: x 2  7 x  10
Solución: Observe que el trinomio es de la forma: x 2  bx  c
x 2  7 x  10  0
 x  2   x  5  0
Buscando, los puntos críticos: x  2  0
x2
Los puntos críticos son: 2 y 5
Intervalo
 , 2
2 , 5
5 ,  
;
x50
x5
Valor de prueba
Signo de x  2
Signo de x  5
1
3
+
+
+
8
Signo de
x  2x  5


 S    , 2  5 ,  
5) Resolver la desigualdad: 3x 2  10 x  8
Solución: Observe que el trinomio es de la forma: ax 2  bx  c ya que queda: 3x 2  10 x  8  0
Aplicaremos el método de aspa simple:
Los factores de 3x 2 son: 3x  x y los factores de 8 son: 1  8 y 2  4
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5
Hay varias posibles combinaciones, pero se busca la que la satisface:
3x
x
3x
4
 12 x
x
2

ó
 2x
2
4
 3x 2
 8
12 x  2 x

10 x
10 x
Los factores se obtienen en cruz: x  43x  2 Entonces: 3x 2  10 x  8  x  43x  2
Por lo tanto:
3x 2  10 x  8  0
x  4 3x  2  0
Buscando, los puntos críticos:
x40 ;
x  4
3x  2  0
3x  2
x
Los puntos críticos son:  4 y
2
3
2
3
Intervalo
Valor de prueba
 , 4
Signo de x  4
Signo de 3 x  2
5
3
4
+
+
+
  4 , 23 
23 ,  
Signo de
x  43x  2


 S   ,  4  23 ,  
6) Resolver la desigualdad: 4 x 2  9 x  9  0
Solución: Observe que el trinomio es de la forma: ax 2  bx  c ya que es: 4 x 2  9 x  9  0
Luego, factorizando tendremos:
4x 2  9x  9  0
x  3 4 x  3  0
Buscando, los puntos críticos: x  3  0 ;
x  3
Los puntos críticos son:  3 y
4x  3  0
x
3
4
3
4
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Intervalo
Valor de prueba
 , 3
 3, 34 
 34 ,  
Signo de x  3
Signo de 4 x  3
4
2
+
+
+
1
Signo de
x  34x  3


 S    ,  3   34 ,  
7) Resolver la desigualdad: x 2  x  6
Solución: Observe que el trinomio es de la forma: x 2  bx  c
x2  x  6
x2  x  6  0
x  3x  2  0
Buscando, los puntos críticos: x  3  0
x3
Los puntos críticos son:  2 y 3
x20
x  2
;
Intervalo
Valor de prueba
 , 2
 2 , 3
3 ,  
Signo de x  3
Signo de x  2
3
1
4
+
+
+
Signo de
x  3x  2
+

+
 S   2, 3
8) Resolver la desigualdad: 4 x 2  9 x  9  0
Solución: Observe que el trinomio es de la forma: ax 2  bx  c
4x 2  9x  9  0
x  3 4 x  3  0
Buscando, los puntos críticos: x  3  0
x  3
Los puntos críticos son:  3 y
;
4x  3  0
x
3
4
3
4
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7
Intervalo
Valor de prueba
 , 3
Signo de x  3
Signo de 4 x  3
5
0
+
+
+
 3, 
34 ,  
3
4
2
Signo de
x  34x  3
+

+
 S   3, 34 
9) Resolver la desigualdad: x 2  16
Solución: Observe que se trata de una diferencia de cuadrados: x 2  y 2  x  y x  y 
x 2  16
x 2  16  0
 x  4  x  4  0
Buscando, los puntos críticos: x  4  0 ;
x  4
Los puntos críticos son:  4 y 4
x40
x4
Intervalo
Valor de prueba
 , 4
  4 , 4
4 ,  
Signo de x  4
Signo de x  4
5
2
9
+
+
+
Signo de
x  4x  4
+

+
 S   4, 4
10) Resolver la desigualdad: x 2   2 x
Solución: Observe que se trata de factor común monomio: ax 2  x  xax  1
x 2   2x
x 2  2x  0
x x  2   0
Buscando, los puntos críticos:
x0
;
x20
x  2
Los puntos críticos son:  2 y 0
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Intervalo
Valor de prueba
 , 2
 2 , 0
0 ,  
3
1
3
Signo de
Signo de x  2
x
+
Signo de
xx  2

-
+
+

 S    ,  2  0 ,  
11) Resolver la desigualdad:
x 2  27  6
Solución: Observe que se trata de una diferencia de cuadrados: x 2  y 2  x  y x  y 
ya que:
x
x 2  27  6
2
 27

2
 6 
2
x 2  27  36
x 2  27  36  0
x
x2  9  0
 3x  3  0
Buscando, los puntos críticos: x  3  0
x3
Los puntos críticos son:  3 y 3
;
x 30
x3
Intervalo
Valor de prueba
 , 3
  3, 3
3 ,  
Signo de x  3
Signo de x  3
4
1
5
+
+
+
Signo de
x  3x  3


 S    ,  3  3 ,  
12) Resolver la desigualdad: x  1x  4  0
Solución: Observe que el problema ya esta factorizado. Entonces, busquemos los puntos
críticos:
x 1 0 ; x  4  0
x  1
x4
Los puntos críticos son:  1 y 4
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Intervalo
Valor de prueba
 , 1
  1, 4
4 ,  
Signo de x  1
Signo de x  4
2
3
7
+
+
+
Signo de
x  1x  4
+

+
 S   1, 4
13) Resolver la desigualdad: x 2  2 x
Solución: Observe que se trata de factor común monomio: ax 2  x  xax  1
x 2  2x
x 2  2x  0
x x  2   0
Buscando, los puntos críticos: x  0
x20
x2
;
Los puntos críticos son: 0 y 2
Intervalo
Valor de prueba
 , 0
0 , 2
2 ,  
1
1
3
Signo de
+
+
x
Signo de x  2
+
Signo de
xx  2


 S    , 0  2 ,  
14) Resolver la desigualdad: 2 x 2  5 x  3  0
Solución: Observe que el trinomio es de la forma: ax 2  bx  c Podemos resolverlo por dos
métodos distintos:
1) Aplicando el método de aspa simple: Los factores de 2x 2 son: 2 x  x y los factores de  3
son: 1   3 ó 3   1 Luego, como hay varias posibles combinaciones, pero se busca la que
la satisfaga el trinomio:
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2x
3

6x
x
1

x
ó
2x
x
 2x 2
3
1
 3
6x  x



5x
5x
Los factores se obtienen en cruz: x  32x  1 Entonces: 2 x 2  5 x  3  x  32 x  1 Por lo
tanto:
2 x 2  5x  3  0
x  3 2 x  1  0
Buscando, los puntos críticos:
x30
2x  1  0
;
x  3
2x  1
x

Los puntos críticos son:  3 y
1
2
Intervalo
Valor de prueba
Signo de x  3
Signo de 2 x  1
 , 3
 3 , 12 
 12 ,  
4
0
+
+
+
1
1
2
Signo de
x  32x  1
+

+
 S   3, 12 
2) Aplicando la fórmula general de la ecuación cuadrática: x 
b 
b2  4 a c
2a
En donde,
según el trinomio: 2 x 2  5 x  3  0 los valores son: a  2 ; b  5 y c   3
x
b 
b2  4 a c
2a
Entonces: x1 

 5  5 2  4 2 3
2 2
5  7 2 1
 
4
4 2
y

 5  25  24

 5  49  5  7

4
4
4
 5  7  12
x2 

 3
4
4
De tal forma que: 2 x 2  5 x  3  0
2 x 2  5x  3  0
x  12  x  3  0
Como la desigualdad tiene signo “<” (menor que), entonces habrá dos posibilidades:
 Que el primer factor sea positivo y el segundo sea negativo,
Es decir que: x  12   0 y x  3  0
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 11
De tal manera que: x  12 y x   3 , que en intervalos es:
respectivamente, y gráficamente es:
 12 ,    y  ,  3 ,
Lo que significa que:  ,  3   12 ,    
 Que el primer factor sea negativo y el segundo sea positivo,
Es decir que: x  12   0 y x  3  0
De tal manera que: x  12 y x   3 , que en intervalos será:   , 12  y  3,   ,
respectivamente, y gráficamente es:
Lo que significa que:  , 12    3,     3, 12 
De las dos posibilidades sólo la segunda existe, por lo tanto la solución es:
 S   3, 12 
Y la representación gráfica de la solución es:
PRÁCTICA Nº 1
TEMA: LAS DESIGUALDADES CUADRÁTICAS O DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO
I Repasar la factorización o descomposición de trinomios de la forma: ax 2  bx  c
1)
2)
3)
4)
5)
4 x 2  x  33
3x 2  5 x  2
21x 2  11x  2
12 x 2  x  6
9 x 2  37 x  4
6) 2 x 2  7 x  6
7) 2 x 2  3x  2
8) 10a 2  11a  3
9) 10m 2  m  3
10) 6 x 2  7 x  3
11)
12)
13)
14)
15)
7 y2  5y  2
4x 2  x  5
4z 2  4z  3
5b 2  7b  6
3n 2  11n  20
II Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas o desigualdades de segundo grado y
expresar los resultados en notación de intervalo, y hacer la gráfica:
1) x 2  12  x
14)
2) 3x 2  10 x  8
15) 2x  110  3x  0
28) x 2  9  0
3) x 2  7 x  10
16) x 2x  3  5
29) x 2  8 x  15
4) 4 x 2  9 x  9  0
17) 15 x 2  5 x  8  3x 2  4
30) x 2  3x  2
18) x 2  4 x  5
31) x 3  2 x 2  15 x  0
19) x 2  10  3x
32) 2x  73x  5  0
5)
x  4x  1  0
6) x 2  x  6
x 2  33  7
27) x 3  8 x 2  20 x  0
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7) x 3  2 x 2  15x  0
20) x 2  21  10 x
33) x 2  25
8) x 2  10 x
21) x 2  x  1  7
34) x 2  7 x  12  0
9) 2x  1x  2  0
22) x 2  6 x  5  0
35) 3x 2  x 2  2 x  0
23) 2 x 2  5x  3  0
36)
10)
x2  9  5
x  3x  1  0
x 2  11  5
37) y  y  6   8
11) y 2  16
24)
12) x 2  x  6   10
25) 2 x 2  3x  2
38)
13) 2 x 2  15x  8
26) 3x 2  11x  4  0
39) x 2  5 x  0
x 2  25  13
4.6.1 DESIGUALDADES NO CUADRÁTICAS, QUE SE RESUELVEN COMO SI FUESEN
CUADRÁTICAS
1) Resolver la desigualdad: x 3  2 x 2  15 x  0
Solución: Observe que está desigualdad no es cuadrática6, pero se resuelve como si lo
fuese, aplicando el siguiente procedimiento de factorización:
x 3  2 x 2  15 x  0


x x 2  2 x  15  0
x x  5x  3  0
Buscando, los puntos críticos: x  0
x50
x  5
;
;
x30
x3
Los puntos críticos son:  5 ; 0 y 3
Intervalo
Valor de
prueba
Signo de
6
 ,  5
3
 5 , 0
2
0 , 3
4
3 ,  
 S   5 , 0  3 ,  
Signo de
x5
Signo de
x
x3
xx  5x  3
Signo de
+
+
+
+
+
+
-


2) Resolver la desigualdad: x  1x  1  x  3  0
2
6
A estas desigualdades se les conoce como desigualdades de orden superior o polinomiales.
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Solución: Observe que está desigualdad no es cuadrática, pero se puede resolver como si lo
fuera. Mira el segundo factor es una diferencia de dos cantidades al cuadrado,
ahora lo podemos trabajar, porque toda la expresión ya ésta factorizada:
x  1x  12 x  3  0
Buscando, los puntos críticos: x  1  0
x  1
;
x 1 0
x 1
y;
x30
x3
Los puntos críticos son:  1 ; 1 y 3
Valor de
prueba
Signo de
Intervalo
  ,  1
 1, 1 
1, 3 
3 ,  
2
0
2
4
+
+
+
x 1
Signo de
x  1
2
+
+
+
+
Signo de
Signo de
x3
x  1x  12 x  3
+
+


+
 S   1, 1  1, 3   1, 3
4.7 INECUACIONES POLINÓMICAS
Una
inecuación
polinómica
es
una
inecuación
de
orden
superior
de
la
forma:
an x n  an1 x n1    a1 x  a0  0 o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del
símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad:  ,  o  .
4.8 LAS DESIGUALDADES POLINÓMICAS
Para resolver las inecuaciones polinomiales o polinómicas podemos utilizar algún software de
aplicación que nos facilitan resolverlas gráficamente y analizarlas, pero no debemos olvidar que
usamos el hecho de que un polinomio puede cambiar de signo solo en los puntos donde es igual
a cero. (O sea los valores de x que hacen que el polinomio sea igual a cero).
Entre dos ceros consecutivos, un polinomio es solo positivo o solo negativo. Esto significa que si
trazamos estos valores en la recta real, estos puntos dividirán la recta real en intervalos en los
cuales el polinomio no tiene cambios de signo. Estos valores son conocidos como números
críticos de la inecuación, y los intervalos que se obtienen se llaman intervalos de prueba.
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4.8.1 RESOLVER UNA INECUACIÓN POLINÓMICA
Resolver una desigualdad polinómica, es hallar el conjunto de los valores reales de las
incógnitas que la verifican, o satisfagan, es decir, los valores que hacen que se cumpla la
desigualdad7.
4.8.2 MÉTODO PARA RESOLVER INECUACIONES POLINÓMICAS
Para resolver una desigualdad polinómica, seguiremos los siguientes pasos:
1.
Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias
para que toda la expresión polinómica quede a un lado de la inecuación y cero en el
otro lado.
2.
Factorizar el polinomio.
Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el
polinomio es igual a cero.
3.
Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada
factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta
numérica.
4.
Seleccionar un punto o valor de prueba en cada intervalo para determinar el signo en
cada intervalo.
5.
La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta.
La solución se puede expresar de distintas formas: como intervalo, como conjunto y
gráficamente.
4.9 PROBLEMAS RESUELTOS DE DESIGUALDADES DE ORDEN SUPERIOR
1) Resolver la desigualdad: x 3  2 x 2  15x
Solución: x 3  2 x 2  15x  0 Escribimos la desigualdad en su forma general


x x 2  2 x  15  0 Factorizamos el polinomio por x y se nos forma un trinomio
x x  5x  3  0 Factorizamos el trinomio y buscamos los ceros del polinomio.
Buscando los puntos o valores críticos del polinomio: x  0
x50 ;
x  5
Luego los puntos o valores críticos del polinomio son:  5 ; 0 y 3
;
x30
x3
Formamos una tabla, para analizar el polinomio, así:
7
Se requiere de la aplicación de los métodos de solución de ecuaciones cuadráticas, y de los casos de factorización.
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Intervalos
Valor de
prueba
 ,  5
 5 , 0
0 , 3
3 ,  
6
3
2
4
Polinomio evaluado en el valor de prueba
xx  5x  3  0
 6 6  5 6  3   6 1 9   54  0
 3 3  5 3  3   3 2 6  36  0 V
22  52  3  27 1   14  0 F
44  54  3  49 1  36  0 V
F
Como la solución estará conformada por todos los intervalos que hacen que la desigualdad
sea cierta, tendremos que:
 S   5 , 0  3 ,  
Otra manera es resolverla, de igual forma como si fuese una desigualdad cuadrática:
Solución: Observe que está desigualdad no es cuadrática, pero se resuelve como si lo fuese,
aplicando el siguiente procedimiento:
x 3  2 x 2  15 x  0


x x 2  2 x  15  0
x x  5x  3  0
Buscando, los puntos críticos: x  0
;
x50
x  5
;
x30
x3
Los puntos críticos son:  5 ; 0 y 3
Intervalo
 ,  5
 5 , 0
0 , 3
3 ,  
Signo de
Valor de
prueba
Signo de
Signo de
x5
Signo de
x
x3
xx  5x  3
6
3
2
4
+
+
+
+
+
+
-


 S   5 , 0  3 ,  
2) Resolver la desigualdad: x3  2 x 2  3x  0


Solución: x x2  2 x  3  0 Factorizamos el polinomio por x y se nos forma un trinomio
x x  3x  1  0 Factorizamos el trinomio y buscamos los ceros del polinomio
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Buscando los puntos o valores críticos del polinomio: x  0
x30 ;
x  3
Luego los puntos o valores críticos del polinomio son:  3 ; 0 y 1
x 1 0
x 1
;
Formamos una tabla, para analizar el polinomio, así:
Intervalos
Valor de
prueba
 ,  3
 3, 0 
0, 1 
 1,  
4
1
0,5
2
Polinomio evaluado en el valor de prueba
xx  3x  1  0
 4 4  3 4  1  4 1 5   20  0 F
11  31  1  12 2  4  0 V
0,50,5  30,5  1  0,53,5 0,5   0,875  0
22  32  1  251  10  0 v
F
Como la solución estará conformada por todos los intervalos que hacen que la desigualdad
sea cierta, tendremos que:
 S   3, 0   1,   y la gráfica es:
Otra manera es resolverla, de igual forma como si fuese una desigualdad cuadrática:
Solución: Observe que está desigualdad no es cuadrática, pero se resuelve como si lo fuese,
aplicando el siguiente procedimiento:
x3  2 x 2  3x  0


x x2  2 x  3  0
x x  3x  1  0
Buscando los puntos o valores críticos del polinomio: x  0
x30 ;
x  3
Luego los puntos o valores críticos del polinomio son:  3 ; 0 y 1
Intervalo
 ,  3
 3, 0 
0, 1 
 1,  
;
x 1 0
x 1
Signo de
Valor de
prueba
Signo de
Signo de
x5
Signo de
x
x3
xx  5x  3
4
1
0,5
2
+
+
+
+
+
+
-


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 S   3, 0   1,  
3) Resolver la desigualdad: x 3  4 x 2  4 x  16
Solución: x 3  4 x 2  4 x  16  0 Escribimos la desigualdad en su forma general. Luego, como
el polinomio es de orden n  3 , utilizaremos la división sintética o la regla de Ruffini.
Como los divisores de 16 son: D16  1  2  4  8  16 , podemos aplicar la regla una vez y el
trinomio
resultante
se
x  2x  2x  4 
factoriza,
de
manera
que
el
polinomio
nos
quedará:
0
Buscando los puntos o valores críticos del polinomio: x  2  0 ; x  2  0
x2
x  2
Luego los puntos o valores críticos del polinomio son:  4 ;  2 y 2
;
x40
x  4
Formamos una tabla, para analizar el polinomio, así:
Intervalos
Valor de
prueba
 ,  4
 4,  2
 2, 2 
 2,  
5
3
0
3
Polinomio evaluado en el valor de prueba
x  2x  2x  4  0
 5  2 5  2 5  4   7 3 1   21  0
 3  2 3  2 3  4   5 11  5  0 V
0  20  20  4   224   16  0 F
3  23  23  4  157  35  0 V
F
Como la solución estará conformada por todos los intervalos que hacen que la desigualdad
sea cierta, tendremos que:
 S   4,  2  2,   y la gráfica es:
4) Resolver la desigualdad: x 3  5  5x 2  x
Solución: x 3  5x 2  x  5  0 Escribimos la desigualdad en su forma general. Luego, como el
polinomio es de orden n  3 , utilizaremos la división sintética o la regla de Ruffini.
Como los divisores de 5 son:
x  1x 2  6 x  5 
D5  1  5 , podemos aplicar la regla una vez:
0 y el trinomio resultante se factoriza, de manera que el polinomio
nos quedará: x  1x  5x  1  0
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Buscando los puntos o valores críticos del polinomio: x  1  0 ; x  5  0
x  1
x5
Luego los puntos o valores críticos del polinomio son:  1 ; 1 y 5
;
x 1 0
x 1
Formamos una tabla, para analizar el polinomio, así:
Intervalos
Valor de
prueba
 ,  1
 1, 1
1, 5
5,  
3
0
2
7
Polinomio evaluado en el valor de prueba
x  1x  5x  1  0
 3  1 3  5 3  1   2 8 4   64  0
0  10  50  1  1 5 1  8  0 F
2  12  52  1 3 31   9  0 V
7  17  57  1 826  96  0 F
V
Como la solución estará conformada por todos los intervalos que hacen que la desigualdad
sea cierta, tendremos que:
 S   ,  1  1, 5 
5) Resolver la desigualdad: x  1x  1  x  3  0
2
Solución: x  1x  1  x  3  0 Es una expresión que ya está factorizada, luego buscando
2
los puntos o valores críticos del polinomio: x  1  0
x  1
;
x  12  0
x  12
y
x30
 0
x3
x 1 0
x 1
Los puntos críticos son:  1 ; 1 y 3
Formamos una tabla, para analizar el polinomio, así:
Intervalos
 ,  1
 1, 1
1, 3
3,  
Valor de
prueba
2
0
2
4
Polinomio evaluado en el valor de prueba
x  1x  12 x  3  0
 2  1 2  12  2  3   19 5  45 
0  10  12 0  3  11 3   3  0 V
2  12  12 2  3  31 1   3  0 V
4  14  12 4  3  591  45  0 F
0 F
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Como la solución estará conformada por todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea
cierta, por lo que: S   1, 1  1, 3   1, 3 y la gráfica es:
Otra forma para resolver esta desigualdad, es tratarla como si fuese una desigualdad polinómica
de segundo grado, es decir, una desigualdad cuadrática.
Solución: observe que x  1x  1  x  3  0 es una expresión que ya está factorizada:
2
;
Buscando, los puntos críticos: x  1  0
x  1
x  12  0
x  12 
y
x30
x3
0
x 1 0
x 1
Los puntos críticos son:  1 ; 1 y 3
Signo de
Signo de
Intervalo
Valor de
prueba
x 1
x  12
  ,  1
 1, 1 
1, 3 
3 ,  
2
0
2
4
+
+
+
+
+
+
+
Signo de
Signo de
x3
x  1x  12 x  3
+
+


+
 S   1, 1  1, 3   1, 3
6) Resolver la desigualdad: x 4  x
Solución: trabajamos la expresión, llevándola a su forma general y luego aplicamos
factorización así: x 4  x  0


x x 3  1  0 Entonces tendrá dos factores, luego buscando los puntos o
valores críticos del polinomio: x  0
;
x3  1  0
x3  1
3
x3  3 1
x 1
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Los puntos críticos son: 0
y 1
Formamos una tabla, para analizar el polinomio, así:
Intervalos
Valor de
prueba
 , 0 
 0, 1 
1,  
Polinomio evaluado en el valor de prueba


x x3  1  0
 2 23  1   2 8  1   2 9  18  0 F
0,50,53  1  0,50,125  1  0,5 0,875   0,4375  0
223  1  28  1  27   14  0 F
2
0,5
2
V
Como la solución estará conformada por el intervalo que hacen que la desigualdad sea cierta, es
decir: S   0, 1  y la gráfica es:
Otra forma para resolver x 4  x  0 , es tratarla como si fuese una desigualdad polinómica de
segundo grado, es decir, una desigualdad cuadrática.
Solución: x 4  x  0


x x3  1  0
Entonces, busquemos los puntos críticos: x  0
;
x3  1  0
x 1
Los puntos críticos son: 0 y 1
Intervalo
Valor de prueba
 , 0 
 0, 1
1 ,  
2
0,5
2
Signo de
x
Signo de
+
+
+
x3  1


x x3  1
+

+
Signo de
 S   0, 1 
7) Resolver la desigualdad: x  12x  33x  4  0
Solución: x  12x  33x  4  0 Es una expresión que ya está factorizada, luego buscando
los puntos o valores críticos del polinomio:
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 21
x 1  0
2x  3  0
x 1
2x  3
x
Los puntos críticos son: 
4
; 1 y
3
y
3x  4  0
3x   4
3
2
x
4
3
3
2
Formamos una tabla, para analizar el polinomio, así:
Intervalos
 ,  43 
  43 , 1 
1, 32 
 32 ,  
Valor de
prueba
2
0
1,3
2
Polinomio evaluado en el valor de prueba
x  12x  33x  4  0
 2  12 2  33 2  4  3 7 2   42  0 F
0  120  330  4  1 34  12  0 V
1,3  121,3  331,3  4 0,3 0,47,9   0,948  0
2  122  332  4 1110  10  0 V
F
Como la solución estará conformada por todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea
 4  3

cierta, es decir: S    , 1   ,    y la gráfica es:
 3  2

8) Resolver la desigualdad: x  2x  5x  1  0
Solución: x  2x  5x  1  0 Es una expresión que ya está factorizada, luego buscando
los puntos o valores críticos del polinomio: x  2  0
x  2
;
x5 0
x  5
y
x 1 0
x 1
Los puntos críticos son:  5 ;  2 y 1
Formamos una tabla, para analizar el polinomio, así:
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 22
Intervalos
Valor de
prueba
  ,  5
 5 ,  2 
  2, 1 
1,  
7
4
0
2
Polinomio evaluado en el valor de prueba
x  12x  33x  4  0
 2  12 2  33 2  4  3 7 2   42  0 F
0  120  330  4  1 34  12  0 V
1,3  121,3  331,3  4 0,3 0,47,9   0,948  0
2  122  332  4 1110  10  0 V
F
Como la solución estará conformada por todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea
 4  3

cierta, es decir: S    , 1   ,    y la gráfica es:
 3  2

PRÁCTICA N°2
TEMA: LAS DESIGUALDADES POLINOMIALES O DESIGUALDADES POLINÓMICAS
I Resuelve las siguientes desigualdades polinómicas o desigualdades de orden superior y
expresar los resultados en notación de intervalo, y hacer la gráfica:
1)
x  1x  32x  1  0
7)
x  1x  12 x  3  0
2) 2 x3  3x 2  11x  6  0
8) x5  3x 4  5 x3  15x 2  4 x  12  0
3) 2 x3  11x 2  16 x  7  0
9) x3  2 x 2  2 x  4  0
4) x3  2 x 2  5 x  6  0
10) x 4  3x 2  4  0
x  2x  3x  4  0
5)
x  2x  1x  3  0
11)
6)
x  4x  22
12) x5  2 x 4  3x3  0
0
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 23