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Matemáticas
6
MATEMÁTICAS
6º grado
James R. Velasco Mosquera
Profesor Universidad de Pamplona
Luis Ernesto Rojas Morantes
Profesor Universidad de Pamplona
Yolanda Gallardo de Parada
Profesora Universidad de Pamplona
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL
Coordinación Pedagógica y Editorial
Hernando Gélvez Suárez
Supervisor de Educación
Impresión:
ISBN Colección 958-9488-56-0
ISBN Volumen 958-9488-65-X
Prohibida su reproducción total
y parcial sin autorización escrita del
Ministerio de Educación Nacional MEN.
Derechos Reservados
Distribución gratuita
CONTENIDO
LOS SISTEMAS NUMÉRICOS..............................................................................................1
LOS NÚMEROS NATURALES ..............................................................................................9
LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES .....................................................................20
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES .................................................................27
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES ...........................................................32
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES ..........................................................................38
DIVISIBILIDAD ...................................................................................................................43
POTENCIACIÓN .................................................................................................................52
APRENDAMOS QUE ES LA LÓGICA................................................................................59
TRABAJEMOS CON CONJUNTOS ...................................................................................75
REALICEMOS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS ...................................................81
LA ESTADÍSTICA.................................................................................................................86
NÚMEROS FRACCIONARIOS...........................................................................................95
ESTUDIEMOS GEOMETRÍA ...........................................................................................113
MEDIR ................................................................................................................................125
PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ....................................................................139
EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL .................................................................................143
POLÍGONOS ......................................................................................................................149
PRESENTACIÓN
El diagnóstico de la actual situación socioeconómica de las áreas rurales de Colombia presenta
un panorama complejo. Se da por una parte, la creciente modernización tecnológica y empresarial
del agro donde la actividad económica tiende a organizarse bajo la forma de empresas modernas
en el marco de la integración dependiente con la agroindustria y por otra parte se constata el
progresivo y creciente empobrecimiento de aquellos grupos de la población directamente
vinculada a la producción agrícola tradicional.
Una de las necesidades insatisfechas es la de la educación, considerada como un elemento clave
en cualquier estrategia que se proponga lograr un desarrollo rural equitativo. Se alude aquí,
específicamente a la educación básica obligatoria establecida por la Constitución Política de
Colombia de 1991.
La actual Ley General de Educación define la educación básica “Como la educación primaria y
secundaria”; comprende nueve grados y se estructura en torno a un currículo común, conformado
por las áreas fundamentales del conocimiento y de la actividad humana, las cuales deben
comprender por lo menos el 80% del plan de estudios. Los decretos reglamentarios de la Ley
General de la Educación se refieren a la educación básica en los siguientes términos:
• Es un proceso pedagógico que comprende nueve grados y debe organizarse de manera
secuenciada y articulada que permita el desarrollo de actividades pedagógicas, de formación
integral, que facilite la evaluación por logros y favorezca el avance y la permanencia del educando
dentro del servicio educativo (Decreto 1860 del 94).
• A quienes hayan terminado satisfactoriamente los estudios de educación básica se les otorgará
un diploma mediante el cual se certifica la culminación del bachillerato básico, por el cual se
permite comprobar el cumplimiento de la obligación constitucional de la educación básica y
habilita al educando para ingresar a la educación media, al servicio especial de educación
laboral o al desempeño de actividades que exijan este grado de formación,
El Ministerio de Educación Nacional consciente de la responsabilidad que tiene frente a la
promoción de la educación para las zonas rurales, no ha ahorrado esfuerzos para presentar
innovaciones y estrategias para el desarrollo rural. Actualmente esta en marcha el proyecto de
educación rural “PER”, que tiene como objetivos: cobertura con calidad en el sector rural;
capacidad de la gestión educativa fortalecida en las entidades territoriales; procesos de formación
de las escuelas y comunidades para la convivencia y la paz, y una política para la educación
técnica rural.
La Postprimaria rural como una opción de educación básica completa, enmarcada dentro del
objetivo de calidad y cobertura, surge a partir de innovaciones educativas vividas en la década
de los noventa que apuntaron especialmente, a la introducción de cambios en las metodologías
de aprendizaje, en las formas de organización escolar, en el diseño de materiales, en la evaluación
y promoción, en propuestas curriculares pertinentes al medio, mediante la implementación de
proyectos institucionales de educación rural que garantizaran articulación secuencia y
continuidad del servicio educativo.
La Postprimaria se puede considerar como una estrategia innovadora que integra educación
formal, no formal e informal especialmente dirigida a los niños y niñas jóvenes en edad escolar
para ofrecerles mas grados en las escuelas rurales que hayan logrado el 5º de primaria y puedan
ampliar los grados hasta alcanzar la educación básica completa directamente o por convenio
con instituciones rurales organizadas por fusión o asociación, para lo cual se ha diseñado un
conjunto de materiales curriculares o textos guías (del 6º al 9º grados) de apoyo para el auto
aprendizaje y el aprendizaje cooperativo en las áreas obligatorias y fundamentales, en los
proyectos pedagógicos y en los proyectos pedagógicos productivos.
La Universidad de Pamplona, dada su experiencia en el diseño de ese tipo de materiales fue
responsabilizada mediante convenio con el Ministerio de Educación Nacional para la producción
de dichos materiales, el énfasis está puesto en el funcionamiento de centros e instituciones
educativas de forma presencial y semipresencial, con calendarios, horarios, planes y programas
flexibles, y adecuados a la realidad del medio.
En este sentido los materiales curriculares que se incluyen se ubican en la perspectiva de adoptar
procesos que contribuyan a generar acciones que aproximan la educación básica rural a la
realidad vivida por los educandos y sus familias y abrir espacios de participación a través del
diseño de estrategias pedagógicas activas que ponen énfasis en su propia realidad y en la búsqueda
de soluciones a los problemas que los afectan.
La estructura curricular, adapta los contenidos a la realidad del medio, combinando en los
mismos ciencia y tecnología, propiciando el desarrollo de estrategias curriculares que sitúen en
la misma línea de objetivos la relación teoría-practica, en todas las áreas del conocimiento,
orientándolas hacia el análisis y comprensión de los obstáculos que frenan el desarrollo y la
búsqueda de soluciones a los problemas derivados de la producción e interacción comunitaria.
Los contenidos presentados en estos módulos, pueden ser trabajados en torno a ejes problemáticos
o proyectos seleccionados a través de procesos participativos, que comprometan en su conjunto
a la comunidad educativa, con el fin de que se generen conocimientos socialmente útiles. El
desarrollo de las temáticas deben ser seleccionadas según las necesidades y la realidad del
medio, especialmente en lo referente a las áreas optativas en las cuales se debe introducir
innovaciones por medio de la adaptación y selección de contenidos según las necesidades,
realidades e intereses de las comunidades locales.
En relación con la metodología que identifica el diseño de los materiales, no se puede definir
una sola metodología o una única metodología, cada una de las áreas, de los proyectos
pedagógicos presenta o aplica su propio proceso o procesos metodológicos, el fin es buscar la
producción e interpretación de conocimientos adaptados a las necesidades básicas de aprendizaje,
para luego contrastarlos con su practica cotidiana y con los factores que inciden en el desarrollo
de su comunidad, mediante la utilización de estrategias participativas de investigación y acción
educativa en la detección de problemas y desarrollo de proyectos.
Por último, el papel del educador como gestor y orientador de estos procesos, valorados desde
su actitud, sus dominios académicos, pedagógicos y de identidad con el medio en el cual labora,
son definitivos para el desarrollo del programa de Postprimaria Rural como una alternativa
para implantar la institución básica, reconociendo la capacidad del educando para generar y
adaptar los contenidos a sus necesidades e intereses.
Los módulos curriculares aquí desarrollados son un medio para el aprendizaje, no un fin.
D
U
1
N
LOS SISTEMAS
NUMÉRICOS
I DA
D
MATEMÁTICAS 6º
DA
•
•
U
NI
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
•ACTIVIDAD
OBJETIVOS1.
(Trabajo individual). Lectura
LOS INDÍGENAS TAMBIÉN CUENTAN
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○
Una de las expresiones intelectuales más antiguas del hombre es la de contar y comparar
el número de elementos de ciertas colecciones de objetos. Esta característica nos
diferencia de los demás animales, a pesar de que algunos de ellos poseen “cierto sentido”
para diferenciar conjuntos de hasta 3 ó 4 elementos.
Por otro lado la historia de la matemática nos enseña que cualquier grupo humano,
llámese pueblo, civilización, tribu, etc., por más primitivo que sea posee sus propias
palabras y símbolos, al igual que ciertas reglas de formación, para representar las ideas
que sobre números ellos poseen. Así por ejemplo en nuestro país tribus como los
Ticunas en el Amazonas, los Motilones en el Norte de Santander, poseen solo palabras
para expresar los números, en cambio los Mayas en Centroamérica, además de palabras
tienen símbolos para representar números. (Ver tabla de sistemas de numeración,
Actividad 4).
Con el transcurrir del tiempo se fueron estableciendo símbolos y reglas de formación
y, fue así como a partir del siglo XVI, el sistema de numeración indo-arábigo o decimal
terminó por imponerse en la mayoría de los países del mundo.
1
POSTPRIMARIA RURAL
El término indo-arábigo obedece a dos razones: la primera que se originó en la India y
la segunda, el haber sido los árabes quienes durante su hegemonía expansionista lo
trajeron de allí y lo impusieron en todos los pueblos que conquistaron. De esta manera,
a través de España, el sistema se introdujo en Europa y se extendió por toda la tierra. A
este sistema se le llama decimal porque su “base” es diez. Sin embargo existen sistemas
en otras bases como por ejemplo el sistema binario o de base 2, que es el que usan los
computadores en su memoria. Este sistema hace uso de dos números solamente: 0 y
1. y sus tablas para la suma y la multiplicación son muy sencillas.
•
+
0
1
*
0
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0
0
1
0
0
0
1
1
10
1
0
1
Comenta la lectura con tus compañeros.
ACTIVIDAD 2. (Trabajo en grupos)
Respondo las siguientes preguntas:
1. ¿Has oído hablar o has visto números diferentes a los indo-arábigos? ¿Cómo se
llaman? Escribe 5 de estos números.
2. Ahora escribe estos 5 números en el sistema decimal. Compara sus escrituras y
escribe tus conclusiones.
3. ¿Qué diferencia y qué semejanza encuentras cuando lees lo siguiente: 3, tres,
three, III.?
4. Considera el número 4838. De izquierda a derecha, ¿qué representa el primer 8,
el 3? ¿y el último 8?
5. ¿La expresión “valor posicional” te dice algo de matemáticas?
• Comparemos las respuestas de cada uno: ¿Son iguales? ¿Difieren?
• Aclaremos dudas.
2
(Trabajo en grupo)
Trabajemos con el Ábaco
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El ábaco abierto es un instrumento de madera, muy sencillo en su forma y de fácil
manejo, pero con el que se puede construir conocimiento matemático que nos interesa.
ACTIVIDAD 2.
Fichas para introducir en las varillas
Varillas
Base de madera
Ábaco Abierto.
3
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 3.
POSTPRIMARIA RURAL
El Ábaco se utiliza para representar
Números:
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Para representar números usando el ábaco, primero decidimos “de a cuánto
vamos a contar”. Ejemplo: si decidimos que vamos a contar “de a diez”, esto
significa que cada vez que se tenga 10 fichas en una varilla, éstas se pueden y
deben reemplazar por una ficha colocada en la varilla siguiente trabajando de
derecha a izquierda, es decir:
➡
10 unidades.
1 decena ó 1 diez.
10 fichas de la varilla 1 (figura de la izquierda) se reemplazan por 1 ficha de la
segunda varilla (figura de la derecha)
Ahora si decidimos contar “de a dos” tendríamos:
➡
2 fichas de la varilla 1
4
representa lo mismo que
1 ficha de la varilla 2
MATEMÁTICAS 6º
Si se desea representar 13 fichas en el ábaco y contar “de a diez” se procede
así:
➡
Leémos: 1 diez y tres unidades, es decir trece.
El número 328 en el ábaco se representa así:
Leémos: tres cienes, dos dieces y ocho unidades.
O sea, 3x100, 2x10 y 8, es decir 328 = 3x100 + 2x10 + 8
= 3x102 + 2x10 + 8
Si en cambio queremos contar “de a 2”, veamos cómo representamos 7 fichas.
➡
➡
1 de 2 de 2
1
1 1
1 de 2 1 de 1
4 + 2 +1
5
POSTPRIMARIA RURAL
Es decir, si contamos “de a 2”, 7 fichas se representan como 111, o sea, 111 =
1x22 + 1x21 + 1
•
Comparemos 13 fichas representándolas en los casos anteriores. Hazlo en
tu ábaco.
13 = 1x10 + 3.
13 = 1 1 0 1 = 1x23 + 1x22 + 0x2 + 1, aquí decimos que trece en base dos, y
lo representamos como 1101.
•
Similarmente podemos contar “de a cinco” y para este caso 7 fichas se
representan... Completa el gráfico, pero hazlo antes en tu ábaco.
➡
➡
•
Ahora usando tu ábaco, ¿cómo representarías el número 23 contando “de
a ocho” ?
•
Analiza lo siguiente:
La base de un sistema de numeración corresponde al
número “de a cuántos vamos a contar”
6
MATEMÁTICAS 6º
Si vamos a contar “de a ocho” la base es ocho, si en cambio vamos a contar
“de a diez” la base es diez.
En casos anteriores veíamos que:
•
En base 10:
328 = 3x102 + 2x10 + 8
13 = 1x10 + 3
•
En base 2:
1101 = 1x23 + 1x22 + 0x2 + 1
10
= 1x2 + 0
Las expresiones ubicadas a la derecha del signo = en las 4 expresiones anteriores
son representaciones polinómicas de esos números, es decir, se representa el
mismo número pero de manera diferente algo así como cuando en vez de
Santafé de Bogotá escribimos “la capital de Colombia”.
Ahora considera el número 1101 en base 2. El primer 1 encontrado de izquierda
a derecha representa 1x23 o sea ocho, el último 1 representa 1. ¿Qué representa
el segundo 1?
Luego dependiendo del lugar donde se encuentre el 1 en el número 1101, éste
representa valores diferentes. Cuando esto sucede, se dice que el sistema de
numeración hace uso del principio del “valor posicional”.
¿Será que el sistema de numeración romano hace uso de este principio?
CONCLUYAMOS:
Un sistema de numeración es una colección de símbolos
junto a unas reglas de formación de nuevos símbolos, los
cuales nos sirven para representar números.
7
ACTIVIDAD 4.
(Trabajo grupal)
Responde:
1. ¿Por qué no usamos en nuestra sociedad el sistema en base 2 sabiendo que sólo
usamos el 1 y el 0?
2. ¿Cómo serían las tablas de multiplicar en el sistema binario?
3. Efectúa 1011 + 101 en base dos.
4. Encuentra las expresiones polinómicas de dos números de dos cifras en base 3 y
dos números de tres cifras en base 7.
Sistemas de Numeración Escritos
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○
○
○
○
○
○
○
○
○
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○
○
SISTEMA
○
○
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○
NUMERALES
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○
○
○
○
BASE
1
2
3
4
5
10
DIEZ
BABILÓNICO
¶
¶¶
¶¶¶
¶¶¶¶
¶¶¶¶¶
diez y sesenta
EGIPCIO
I
II
III
IIII
IIIII
∩
DIEZ
GRIEGO
I
II
III
IIII
Γ
∆
DIEZ
α
β
&
δ
ε
ι
MAYA
•
••
•••
••••
-
=
VEINTE
CHINO
-
=
≡
≡
≡
⊥
DIEZ
HINDÚ
-
=
≡
£
⊥
∧
2
3
ϒ
BINARIO
1
10
11
100
101
1010
ROMANO
I
II
III
IV
V
X
8
⊥
INDO-ARÁBIGO
➣
POSTPRIMARIA RURAL
RETANDO
DIEZ
∧•
DOS
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○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo en grupo). Recordemos
•
Responde a la siguiente pregunta basado en tu propia experiencia: ¿Cuáles fueron
los primeros conocimientos numéricos que tuviste? Es decir, cuándo empezaste a
contar, cuáles fueron los primeros números que aprendiste, para qué utilizabas los
números, ...
•
Comentemos las respuestas y seleccionemos los tres primeros conocimientos
numéricos que son comunes en todos.
Leémos lo siguiente:
La historia de la matemática nos cuenta que los pueblos además de tener sus
propios sistemas de numeración, también comerciaban, canjeaban artículos,
hacían mediciones etc. Esto los condujo a desarrollar una aritmética elemental
basada en las operaciones de suma y resta esencialmente y en casos especiales
la multiplicación y la división. Adicionalmente también tuvieron que establecer
relaciones de tipo cuantitativo (o sea utilizando números), para expresar hechos
de la vida real como por ejemplo quién tenía más ovejas, o quién era más alto
o más viejo, quién es menor que otro, o mayor que otro.
9
MATEMÁTICAS 6º
TRABAJEMOS EL SISTEMA
DE LOS NÚMEROS NATURALES
POSTPRIMARIA RURAL
Resumiendo podemos decir que en un momento dado de su historia, al conjunto
de los números que le servía al hombre para contar y que se representa como:
N = {1, 2, 3, 4, ...}, se le adhirieron operaciones y relaciones constituyéndose así lo
que hoy se denomina un sistema de numeración.
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
En tu cuaderno responde:
1. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto formado por los alumnos de tu salón de
clase?
2. ¿Si cambiamos la ubicación de los alumnos dentro del salón de clase, el número de
elementos del conjunto varía?
3. ¿Cuántos elementos aparecen en la siguiente gráfica?
<<<<<<<
4. Dados los siguientes conjuntos A y B:
A = { Santander, Norte de Santander, Boyacá, Antioquia }
B = { Bucaramanga, Cúcuta, Tunja, Medellín }
10
¿Cuántos elementos tiene el conjunto A?
◆
¿Cuántos elementos tiene el conjunto B?
◆
¿Se cumple que A es coordinable con B? ¿Por qué?
5.
Dado el conjunto V = { a, e, i, o, u }. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto
V?
6.
Sea M el conjunto formado por las mujeres que han sido presidentes de
Colombia. ¿Cuántos elementos tiene M?
7.
Sea N = { x/ x es la ciudad capital de Colombia}. ¿Cuántos elementos
tiene N?
8.
Reúnete con otros dos compañeros para comparar y discutir las respuestas
de los ejercicios anteriores.
ACTIVIDAD 3. (Trabajo en grupo)
En grupos de tres resolvemos los siguientes ejercicios:
1. Si dos conjuntos A y B son coordinables, ¿cómo es el número de elementos de A
con relación a B?
2. Sea R el conjunto formado por los meses del año.
•
¿Cuántos elementos tiene R?
•
¿Cuántos meses del año tienen menos de 30 días?
•
¿Cuántos meses del año tienen 30 días?
•
¿Cuántos meses del año tienen 31 días?
11
MATEMÁTICAS 6º
◆
POSTPRIMARIA RURAL
INFORMÉMONOS
Los expertos han llamado Cardinal de un conjunto al
número de elementos del conjunto.
ACTIVIDAD 4. (Trabajo en grupo)
Analicemos y respondamos:
•
¿Cuál es el cardinal de los siguientes conjuntos?
A =
B =
::::::
(((((
C = { x/x es un mes del año }
D = { x/x es un mes del año con 25 días }
E = { x/x es el Rector del Colegio }
12
Observemos los siguientes grupos de conjuntos.
MATEMÁTICAS 6º
•
GRUPO A
&
&
&
L =
M =
☺
☺
☺
C
C
C
N =
GRUPO B
S =
««
««
V =
T=
g g
g g
u u
V =
u u
U=
S S
S S
l l
l l
GRUPO C
O=
♣
P=
♦
Q=
♥ ♠
R=
13
POSTPRIMARIA RURAL
RESPONDEMOS:
•
¿Qué tienen en común los conjuntos del grupo A?
•
¿Qué tienen en común los conjuntos del grupo B?
•
¿Qué tienen en común los conjuntos del grupo C?
•
¿Cuántos conjuntos hay en el grupo A? ¿Cuál es el cardinal de cada uno
de estos conjuntos?
•
¿Cuántos conjuntos hay en el grupo B? ¿Cuál es el cardinal de cada uno
de estos conjuntos?
•
¿Cuántos conjuntos hay en el grupo C? ¿Cuál es el cardinal de cada uno
de estos conjuntos?
•
¿Cuáles de los anteriores conjuntos son coordinables?
•
Discutamos sobre el cardinal de los conjuntos coordinables y saquemos una
conclusión.
CONCLUYAMOS
Los conjuntos coordinables poseen la propiedad de tener el mismo número de
elementos, es decir tienen el mismo CARDINAL.
Con los números cardinales se forma el conjunto de los NÚMEROS NATURALES,
se simboliza con IN y se definen por extensión así:
IN = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }
14
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 5. (Trabajo individual)
Piensa y responde en tu cuaderno:
•
¿Para qué se usan los números naturales?
•
¿Puedo contar los libros que hay en este momento en mi salón de clase?
•
¿Cuántos libros hay?
•
¿Cuántas personas viven en tu casa?
•
En un dado: ¿Cuántos conjuntos con puntos se pueden formar con las caras del
dado? ¿Cuál es el cardinal de esos conjuntos?
•
¿Cuál es el cardinal de un conjunto vacío?
•
Dado el natural 15, ¿puedes decir con exactitud qué número natural sigue?
•
Dado el natural 2.018, ¿qué natural sigue?
•
Si tengo el natural 9.099, ¿cuál natural sigue?
•
Dado cualquier número natural, ¿se puede afirmar con exactitud qué natural es el
que sigue?
•
¿Podrías terminar de enumerar los números naturales?
15
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 6. (Trabajo en grupo)
Conformamos grupos de trabajo.
•
Comparemos las respuestas del anterior ejercicio, con las de nuestros compañeros.
•
¿Se parecen? ¿Se diferencian?
•
Discutamos, hallemos quién tiene la razón.
•
Escribamos los resultados de la discusión.
CONCLUYAMOS
El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades:
•
Es utilizado para contar los elementos de un conjunto.
•
El proceso de enumeración de sus elementos no termina, por lo tanto es un
conjunto infinito.
•
Dado un número natural cualquiera, se sabe con seguridad qué natural
sigue, por lo tanto es ORDENADO.
ACTIVIDAD 7. (Trabajo en grupo)
•
Conformemos grupos de trabajo y tracemos una recta en el pizarrón, sobre ella
marquemos el número 0, a partir del cero ubiquemos el número 1 y con esta
medida situemos los siguientes números así:
0
16
1
2
3
4
5
•
Observamos y respondemos:
◆
¿El natural 3 está localizado a la izquierda o a la derecha del 4?
◆
El natural 3 que está ubicado a la izquierda del 4. ¿Es 3 menos que 4?
◆
¿A qué lado del 5 está el 2?
◆
¿A qué lado del 2 está el 5?
◆
¿A qué lado del 6 está el 4?
◆
¿A qué lado del 4 está el 6?
◆
¿A qué lado del cero está el 1, el 2, el 3, el 4, el 5?
Representamos en la recta los siguientes números naturales:
a = 8;
b = 6;
c = 5+3
◆
¿A qué lado de a está b?
◆
¿A que lado de b está a?
◆
¿Donde están ubicados los naturales a y c?
◆
El natural b está a la izquierda del natural a, ¿cómo es el natural b con
respecto de a?
◆
¿Qué sucede cuando un natural b está a la izquierda de otro natural
a?
◆
¿Qué sucede cuando un natural a está a la izquierda de otro natural
b?
◆
¿Qué sucede cuando un natural a está a la derecha de otro natural
b?
◆
Cuando el natural a está ubicado en la recta en el mismo lugar que el
natural c. ¿Qué sucede con a y c?
17
MATEMÁTICAS 6º
•
POSTPRIMARIA RURAL
•
¿Es posible encontrar naturales menores que 8? Escribamos algunos.
•
¿Encontremos un natural mayor que 6 y menor que 10.
•
¿Cuántos números naturales son mayores que 30 y menores que 40?
•
Consideremos los siguientes naturales 21, 6, 8, 12, 45, 13, 50, 28, ordenémoslos
en forma ascendente.
•
Escribamos en el pizarrón los siguientes números:
•
2
5
5
2
14
30
30
14
21
3
3
21
4
1
1
4
7
10
10
7
Completemos el cuadro anterior así:
2 es menor que 5
18
5 es mayor que 2
14
30
30
15
21
3
3
21
4
1
1
4
7
10
10
7
Borramos en el cuadro anterior las palabras “mayor que” y “menor
que” y las reemplazamos por los símbolos > (mayor que) y < (menor
que). ¿Es lo mismo 2 es menor que 5 que 5 es mayor que 2?
◆
Realizamos el ejercicio anterior con números diferentes.
MATEMÁTICAS 6º
◆
CONCLUYAMOS
1.
2.
Dados dos números naturales cualesquiera a, b puede suceder una sola
de las siguientes relaciones:
a
es igual a
b
➝
a=b
a
es menor que
b
➝
a<b
a
es mayor que
b
➝
a>b
Si representamos un número natural sobre la recta, todos los naturales que
estén a su derecha serán MAYORES que él, y todos aquellos que estén a su
izquierda serán MENORES que él.
19
LA ADICIÓN CON NÚMEROS NATURALES
POSTPRIMARIA RURAL
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
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○
○
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○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo individual). Repaso
•
Diariamente vivimos situaciones como la siguiente: En la finca de Tomás hay dos
gallineros, uno de ellos tiene 12 gallinas y el otro 9. Tomás desea saber cuántas
gallinas tiene en total en su finca.
•
Analiza y responde en tu cuaderno.
Si consideramos cada gallinero como un conjunto:
*
¿Cuál es el cardinal de cada conjunto?
*
¿Qué debemos hacer para saber cuántas gallinas hay en el conjunto total de
gallinas?
•
Lée y analiza:
*
La acción de agregar, en matemáticas se transforma en la operación llamada
ADICIÓN.
*
Si al cardinal del primer conjunto, que es un número natural, le sumamos el
cardinal del segundo conjunto, que es otro número natural, obtenemos el cardinal del conjunto total, que es otro número natural.
*
El símbolo de la adición es +
12
Símbolo de la adición ➝ +
20
9
} Sumandos
21
➝ Resultado
La adición de dos o números naturales cualquiera a y b se simboliza
MATEMÁTICAS 6º
así: a + b = c. Los elementos de la adición son los sumados a y b. El
resultado es C
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
Piensa y responde en tu cuaderno:
•
Lanzar al azar dos dados. ¿Cuántos puntos obtengo en total en las caras superiores?
•
Un obrero trabajó la semana pasada durante 4 días y en esta semana 5 días. ¿Cuántos
días trabajó en las dos semanas?
•
Felipe tiene 6 hermanos, si dos de ellos son mayores que él. ¿Cuántos son menores
que Felipe?
•
Supón que estás jugando a saber cuántos puntos tienes en total con el dominó.
21
POSTPRIMARIA RURAL
•
•
• •
• •
¿Cuántos puntos tiene?
• •
• •
•
¿Cuántos puntos tiene?
•
•
¿Cuántos puntos tiene?
•••
•••
•
•
•
• •
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•••
•
•
¿Cuántos puntos tiene?
•
•
•
•
• •
• •
¿Qué puedes concluir de este ejercicio?
•
Mi vecino Jorge tiene dos establos uno de 8 caballos y el otro con 6. Si
desea saber cuántos caballos tiene en total,
22
¿Qué operación debe efectuar?
◆
Si suma primero 8 y luego 6, ¿qué resultado obtiene?
◆
¿Qué sucede si suma primero 6 y luego 8?
◆
¿Son diferentes los resultados?
•
Inés encontró 6 huevos en un nido y ninguno en el otro. ¿Cuántos huevos
hay en total?
•
¿Cuántos puntos suman las siguientes fichas de dominó?
• •
• •
•••
•••
•
•
•
•
•
•
•
23
MATEMÁTICAS 6º
◆
POSTPRIMARIA RURAL
•
Rosa tiene tres llaveros, el primero con 5 llaves, el segundo con 4 llaves y el
tercero con 2 llaves. ¿Cuántas llaves tiene en total?
•
Qué sucede si agrupamos los llaveros así:
•
¿Qué podemos concluir en los dos casos anteriores?
PONGAMOS EN COMÚN LO TRABAJADO
ACTIVIDAD 3. (Trabajo en grupo)
Conformemos grupos de trabajo:
•
Comparemos las respuestas de los ejercicios anteriores.
•
Discutamos. ¿Son iguales?, ¿difieren?, ¿en qué?
•
Discutamos y obtengamos conclusiones sobre:
•
¿Qué clase de números obtenemos cuando sumamos dos números naturales?
•
¿Qué sucede cuando cambiamos el orden de los sumandos?
•
¿Qué sucede cuando a un natural cualquiera le adicionamos el natural 0?
•
¿De cuántas maneras podemos adicionar tres sumandos?
24
La adición entre números naturales cumple las siguientes propiedades.
1.
La adición de dos números naturales es otro número natural. Propiedad
CLAUSURATIVA.
2.
El orden de los números no altera la adición. Propiedad CONMUTATIVA.
3.
Todo número natural adicionado con el cero (0) da el mismo número natural. Propiedad MODULATIVA.
4.
Para adicionar tres sumandos podemos agruparlos de diferentes formas y
efectuar las sumas parciales sin que el resultado total varíe. Propiedad
ASOCIATIVA.
PRACTIQUEMOS
ACTIVIDAD 4. (Trabajo individual)
En tu cuaderno:
1. ¿Para qué valor de x se cumple que:
x
+
12
=
17?
8
+
x
=
20?
7
+
x
=
7?
x
+
11
=
11?
(5+x) +
3
=
10?
17
=
x?
13
+
25
MATEMÁTICAS 6º
CONCLUYAMOS
POSTPRIMARIA RURAL
2. Un agricultor recogió la cosecha de papa en una semana así: el lunes 23 bultos, el
martes 36 bultos, el miércoles 17 bultos, el jueves 19 bultos, el viernes 18 bultos y
el sábado 21 bultos. ¿Cuántos bultos de papa recogió en total?
3. Completa el siguiente cuadro en tu cuaderno con los números naturales
correspondientes.
SUMANDOS
8
2
TOTAL
0
9
1
20
0
5
12
6
18
7
4. Completa el siguiente cuadro en tu cuaderno de tal forma que en la dia-gonal
aparezcan las adiciones correspondientes.
a
b
c
a
5
8
3
b
8
16
c
3
a+b+c
26
6
a+b+c
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo individual) ¿Recuerdas?
•
Supón que en la finca de tu vecino se recogieron ayer 9 bultos de naranja y se
llevaron a la ciudad 7 de ellos para venderlos. ¿Cuántos bultos de naranja le
quedaron al vecino?
Responde:
◆
¿Cuántos bultos de naranja tenía inicialmente?
◆
¿Cuántos bultos de naranja vendió?
◆
¿Cuántos bultos le quedan en la finca?
◆
Si sumas el número de bultos que vendió con el número de bultos que le
quedan en la finca, ¿cuántos bultos obtiene en total?
◆
¿Cuanto le falta a 7 para ser igual a 9?
◆
¿Cuánto le falta a 2 para ser igual a 7?
Lo anterior se puede expresar así: 7 + 2 = 9
2 + 7 = 9
Si 2 + 7 = 9, entonces
◆
9 - 2 =7
9 - 7 = 2
¿Qué clase de número es el 7?
27
MATEMÁTICAS 6º
○
POSTPRIMARIA RURAL
•
Analiza la siguiente conclusión:
La operación inversa de la adición de números naturales es la SUSTRACCIÓN,
luego si a + b = c, entonces c - a = b. Al número natural c se llama MINUENDO,
al natural a SUSTRAENDO y al natural b DIFERENCIA.
En el caso anterior:
9
-
2
=
7
Minuendo Sustracción Diferencia
El signo de la SUSTRACCIÓN: - (Se llama menos)
ACTIVIDAD 2. (Trabajo en grupo)
Nos reunimos en grupos y realizamos los siguientes ejercicios:
1. Si a, b, c son números naturales definidos así: a = 8; b = 15; c = 3; realizamos
las siguientes sustracciones:
a) a - c
b) b - a
c) b - c
d) a - b
¿Algún problema?
28
MATEMÁTICAS 6º
2. ¿Cómo debe ser el minuendo comparado con el sustraendo para poder efectuar la
diferencia?
3. ¿Cuánto le falta al natural 8 para se igual al natural 15?
4. Realicemos las siguientes operaciones:
15 - 8
8 - 15
13 - 7
7 - 13
14 - 9
9 - 14
16 - 6
6 - 16
*
¿Qué conclusión podemos sacar de este ejercicio?
*
¿Es la sustracción una operación que cumple la propiedad conmutativa?
5. Realizamos las siguientes operaciones:
a) 9 - (4 - 3) = 9 - 1 = 8
b) 18 - (8 - 6) = ?
c) 14 - (7 - 2) = ?
6. Realizamos las siguientes operaciones:
a) (9 - 4) - 3 = ?
b) (18 - 8) - 6 = ?
c) (14 - 7) - 2 = ?
*
Comparemos los resultados de los ejercicios 5 y 6.
*
¿Qué conclusión podemos sacar?
*
¿Cumple la sustracción con la propiedad asociativa?
29
POSTPRIMARIA RURAL
7. Realizamos las siguientes sustracciones:
6 - 0
0 - 6
7 - 0
0 - 7
¿Qué podemos concluir de la diferencia con respecto a la propiedad modulativa?
8. Analicemos la siguiente conclusión:
La diferencia entre números naturales no cumple con las propiedades clausurativa,
conmutativa, asociativa y modulativa.
ACTIVIDAD 3. (Trabajo individual)
Resuelve los siguientes problemas:
1. Juan va al mercado y compra un kilo de papa que le cuesta $30, un kilo de carne
por $2.600, una libra de arroz por $300 y fruta por $250. Si llevaba en su cartera
$4.500. ¿Cuánto dinero le sobró?
2. En una escuela hay matriculados 25 alumnos en primer grado, 36 en segundo
grado, 12 en tercero, 24 en cuarto grado. Si la escuela tiene en total 132 alumnos
en los cinco grados, ¿cuántos alumnos hay en quinto grado?
3. Nos reunimos en grupos y comparamos las respuestas con los anteriores ejercicios.
Corregimos los errores.
30
MATEMÁTICAS 6º
CONCURSO
ACTIVIDAD 4. (Trabajo individual)
Para trabajar en el cuaderno.
Colocar en cada círculo uno de los números de 1 a 12. No se puede repetir ninguno.
La suma de los números que resulten en cada lado del triángulo debe ser la misma.
31
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo individual)
Realiza en tu cuaderno lo siguiente:
•
Toma un hoja de papel. Dóblala de manera que queden, bien 4 filas y 8 columnas
o bien 8 filas y 4 columnas así:
Columna 1
➪
Fila 1➪
Columna 1
➪
POSTPRIMARIA RURAL
MULTIPLICACIÓN DE LOS
NÚMEROS NATURALES
Fila 1➪
32
•
Responde las siguientes preguntas:
MATEMÁTICAS 6º
◆ ¿En cuántas partes queda dividido el papel?
◆ ¿Cuántos cuadrados tiene cada columna?
◆ ¿Cuántos cuadrados tiene cada fila?
◆ ¿Cuánto es 8 veces 4?, es decir, 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
◆ ¿Cuánto es 4 veces 8?, es decir, 8 + 8 + 8 + 8.
◆ ¿Cómo se escribe abreviadamente 4 veces 8?, 8 veces 4?
◆ ¿Qué resultado se obtiene?
•
Recuerda:
La operación, que es una suma abreviada de sumandos iguales, se llama
MULTIPLICACIÓN.
La multiplicación entre dos números naturales a y b, se simboliza así:
a•b
ó
a x b,
8 veces 4 = 8 x 4
El punto y el signo x indican multiplicación. Cada término que interviene en la
operación se llama FACTOR. El número que se repite se llama MULTIPLICANDO y
el número de veces que el sumando se repite se llama MULTIPLICADOR.
8
x
4
=
Multiplicando Multiplicador
32
Producto
Factores
33
POSTPRIMARIA RURAL
Analicemos las Propiedades
de la Multiplicación
○
ACTIVIDAD 2.
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
(Trabajo en grupo)
Conformamos grupos, realizamos las siguientes operaciones y sacamos conclusiones.
•
Respondamos en el cuaderno:
2 x 5 = 10
3 x 4 = 12
¿Qué clase de números son el 2 y el 5?
¿Qué clase de número es el 10?
¿Qué clase de números son el 3 y el 4?
¿Qué clase de número es el 12?
¿Qué clase de números son el 8 y el 7?
8 x 7 = 56
¿Qué clase de número es el 56?
¿Qué clase de número es el producto de dos números naturales?
•
En el cuaderno realizamos las siguientes multiplicaciones:
8x4=?
3X7=?
9x4=?
4x8=?
7x3=?
4x9=?
5x1=?
1x5=?
34
¿Qué podemos concluir?
En el cuaderno realizamos las siguientes multiplicaciones:
(4 x 2) x 3 = ?
(3 x 2) x 5 = ?
4 x (2 x 3) = ?
3 x (2 x 5) = ?
(6 x 2) x 3 = ?
(3 x 4) x 3 = ?
6 x (2 x 3) = ?
3 x (4 x 3) = ?
MATEMÁTICAS 6º
•
¿Qué conclusiones podemos sacar?
•
En el cuaderno. Contemos los puntos.
•
•
•
•
•
•
6 veces 1 = 6
1+1+1+1+1+1
6x1=6
•
•
•
•
•
•
•
Una vez seis
1x6=?
¿Qué conclusión podemos sacar?
35
POSTPRIMARIA RURAL
6x1=?
1x6=?
¿Cuánto es
7x1=?
1x7=?
¿Qué pasa cuando uno de los
factores es 1?
4x1=?
1x4=?
•
En el cuaderno realicemos las siguientes operaciones:
2 x (3 + 5)
(2 x 3) + (2 x 5)
Comparemos los resultados.
3 x (7 + 2)
(3 x 7) + (3 x 2)
Comparemos los resultados.
4 x (2 + 6)
(4 x 2) + (4 + 6)
Comparemos los resultados.
¿Qué conclusión podemos sacar?
•
Representemos gráficamente en una cuadrícula en la cual el primer natural indica las filas:
a) 2 x (3 + 4)
b) (2 x 3) + (2 x 4)
Comparemos los resultados: ¿Qué conclusión sacamos?
36
La multiplicación entre números naturales cumple las siguientes propiedades:
1.
La multiplicación de dos números naturales es otro número natural.
Propiedad CLAUSURATIVA.
2.
El orden de los factores no altera el producto. Propiedad CONMUTATIVA.
3.
Para multiplicar tres factores podemos agruparlos de diferentes formas y
efectuar los productos parciales sin que el producto final varíe. Propiedad
ASOCIATIVA.
4.
La multiplicación de cualquier número natural por 1, da como resultado el
mismo número natural. Propiedad MODULATIVA. (El módulo del producto
es el 1).
5.
El producto de un número natural por una adición de dos números naturales es igual al producto de dicho número por cada uno de los sumandos.
Propiedad DISTRIBUTIVA.
37
MATEMÁTICAS 6º
CONCLUYAMOS
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES
POSTPRIMARIA RURAL
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo en grupo)
•
Conformemos grupos de trabajo, realicemos los ejercicios planteados y obtengamos
conclusiones.
◆ ¿Qué número multiplicado por 8 da 24?
◆ ¿Cuántas veces debo sumar 5 para obtener 20?
◆ Ricardo compró 6 lápices en $600. ¿Cuánto le costó cada lápiz?
◆ En un costal puedo meter 4 conejos. Si tengo 36 conejos. ¿Cuántos costales
necesito?
◆ ¿En una multiplicación cuántos números naturales intervienen como mínimo?
¿Cómo se llaman?
•
En el cuaderno completamos los espacios.
7 x3 =
38
7 x
=
21 =
3 x
21
6x4
=
6x
=
24
=
24
x4
9
9
x5
=
x5
=
45
x
=
45
La operación inversa respecto a la multiplicación se llama DIVISIÓN.
Si se conoce el producto de dos factores y uno de esos mismos factores, se
puede hallar por medio de la división el otro factor. El signo de la división es ÷
Simbólicamente: Si a, b, c son números naturales tales que:
a x b = c,
c÷a=b
c÷b=a
entonces,
En una división exacta los términos son: dividendo, divisor, cociente.
x
÷
y
Dividendo
=
z
Divisor
Otras formas de escribir
x
x
y
= z,
Cociente
÷
y
=
z son:
x y
z
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
Analiza si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos. Justifica tu respuesta, si es
falso da un contraejemplo.
1. La división de dos números naturales es siempre otro número natural.
2. La división de dos números naturales cumple la propiedad conmutativa.
3. La división de números naturales cumple la propiedad asociativa.
4. La división de números naturales cumple la propiedad modulativa.
5. La división de números naturales cumple la propiedad distributiva respecto a la
suma.
39
MATEMÁTICAS 6º
CONCLUYAMOS
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 3. (Trabajo en grupo)
•
Discutimos el ejercicio anterior. Comparamos las respuestas. Obtenemos
conclusiones sobre las propiedades que cumple la DIVISIÓN.
•
Realizamos los siguientes ejercicios:
◆ Pedro dispone de $940 para comprar cuadernos. Si cada cuaderno vale $300.
¿Cuántos cuadernos puede comprar? ¿Cuánto dinero le sobra? ¿Cuánto es: (3
x 300) + 40?
◆
34 ÷ 5 = ?
(6 x 5) + 4 = ?
26 ÷ 6 = ?
(4 x 6) + 2 = ?
47 ÷ 8 = ?
(5 x 8) + 7 = ?
70 ÷ 8 = ?
(8 x 8) + 6 = ?
¿Qué conclusión podemos sacar?
EVALUEMOS LO APRENDIDO
ACTIVIDAD 4. (Trabajo individual)
Realiza los siguientes ejercicios:
1. Luisa tiene 15 docenas de naranjas para empacarlas en cajas donde sólo caben 20
naranjas, ¿Cuántas cajas necesita para empacar todas las naranjas?
2. Juanito tenía una alcancía donde sólo ahorraba monedas de $100. El día que la
abrió contó 325 monedas. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado?
40
3. En el cuaderno completa el siguiente cuadro:
3
5
2
9
8
MATEMÁTICAS 6º
x
10
1
8
0
¿Qué propiedades de la multiplicación de números naturales aplicas?
4. En el cuaderno realiza las siguientes operaciones siguiendo el sentido de la flecha.
÷
÷
÷
5. A un almacén llegó el siguiente pedido:
19
docenas de camisas a $6.500 cada camisa.
53
pares de medias a $1.680 cada par.
13
docenas de sombreros a $4.500 cada sombrero.
33
docenas de pantalones a $18.600 cada pantalón.
41
POSTPRIMARIA RURAL
*
Halla:
a) El total de camisas.
b) Total de sombreros.
c) Total de pantalones.
d) Valor total de la compra.
*
Si en la venta de cada artículo se gana lo siguiente:
Por cada camisa $300.
Por cada par de medias $50.
Por cada sombrero $430.
Por cada pantalón $280.
¿Cuál es el valor total de la ganancia?
6. En el cuaderno completa las siguientes tablas:
MULTIPLICANDO
MULTIPLICADOR
23
35
12
216
26
234
DIVIDENDO
DIVISOR
COCIENTE
450
9
3
132
•
PRODUCTO
29
12
Reúnete con otros dos compañeros y discute el anterior ejercicio. ¿En qué
están de acuerdo?, en qué en desacuerdo? Revisen nuevamente los
ejercicios y obtengan conclusiones.
42
DIVISIBILIDAD
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo en grupo)
Reúnete con unos compañeros y completa en el cuaderno los siguientes árboles y
responde las preguntas.
*
2
x
ARBOL DEL 2
1
2
2
4
3
?
4
?
5
?
6
?
7
?
8
?
9
?
10
?
¿Los números de los círculos en el
árbol del 2, de dónde resultan?, ¿se
puede dividir por 2 exactamente?
3
x
ÁRBOL DEL 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
6
?
?
?
?
?
?
?
?
¿Los números de los círculos, de
dónde resultan?, ¿se pueden dividir
por 3 exactamente?
43
MATEMÁTICAS 6º
○
POSTPRIMARIA RURAL
4
x
ÁRBOL DEL 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
8
?
?
?
?
?
?
?
?
•
¿Los números de los círculos, de
dónde resultan?, ¿se pueden dividir
por 4 exactamente?
Elaboremos los árboles del 5, 6, 7, 8 y 9.
ANALICEMOS
•
Los números que resultan en los círculos, en el árbol del 2, se llaman MÚLTIPLOS
de 2.
•
Los números que resultan en los círculos, en el árbol del 3, se llaman MÚLTIPLOS
de 3.
•
Los números que resultan en los círculos, en el árbol del 4, se llaman MÚLTIPLOS
de 4.
•
Los múltiplos de 2 se pueden dividir por 2 exactamente.
•
Los múltiplos de 3 se pueden dividir por 3 exactamente.
•
Los múltiplos de 4 se pueden dividir por 4 exactamente.
¿Podríamos decir lo mismo de los árboles del 5, 6, 7, 8 y 9?
44
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
INFÓRMATE
Cuando un número divide a otro exactamente, se dice:
éste es divisible por él.
ejemplo: 10 es divisible por 2 porque 10 ÷ 2 = 5
•
Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios.
◆
¿24 es divisible por 2? ¿Por qué? ¿El 24 termina en número par o
impar?
◆
¿20 es divisible por 2? ¿Por qué? ¿El 20 termina en par o impar?
◆
Un número es divisible por 2 si termina en cero o en cifra par. ¿Estás de
acuerdo? ¿Puedes buscar ejemplos que contradigan?
◆
¿18 es divisible por 3? ¿Por qué? ¿Cuánto es 1+8? ¿Es 9 divisible por
3?
◆
¿24 es divisible por 3? ¿Por qué? ¿Cuánto es 2+4? ¿Es 6 divisible por
3?
◆
En general, ¿cuándo un número es divisible por 3? ¿Puedes buscar otros
ejemplos?
◆
¿125 es divisible por 5? ¿Por qué? ¿En qué número termina 125?
◆
¿150 es divisible por 5? ¿Por qué? ¿En qué número termina 150?
◆
En general, ¿cuándo un número es divisible por 5?
◆
Escribe los divisores de 30, 25, 17, 27, 10, 7 y 13.
45
POSTPRIMARIA RURAL
Ejemplo:
5
30 ÷ 5
=
6
6
30 ÷ 6
=
5
15
30 ÷ 15
=
2
2
30 ÷ 2
=
15
1
30 ÷ 1
=
30
30
30 ÷ 30
=
1
30
•
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
INFÓRMATE
Un número es divisible por otro cuando su división es exacta. Constantemente
necesitamos saber cuándo un número es divisible por otro.
Cuando un número sólo admite dos divisores que son él mismo y el 1, se llama
PRIMO. El 1 no se considera número primo.
•
Copia los números de 1 a 50 en tu cuaderno y encierra con un círculo los
números primos.
La siguiente tabla resume algunos criterios de divisibilidad. Cópiala en tu
cuaderno y completa:
46
POR 2
EJEMPLOS
MATEMÁTICAS 6º
DIVISIBILIDAD
12, 20, ...
Un número es divisible por 2,
cuando su última cifra es cero o par.
POR 3
Un número es divisible por 3,
cuando la suma de sus cifras
es un múltiplo de 3.
POR 4
Un número es divisible por
4, cuando sus dos últimas cifras
son ceros o múltiplos de 4.
POR 5
Un número es divisible
por 5, cuando termina en cero o en 5.
POR 6
Un número es divisible por 6,
cuando es divisible por 2 y por 3 al
mismo tiempo.
POR 10
Un número es divisible por 10
cuando termina en cero.
47
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 3. (Trabajo en grupo)
•
Analicemos los ejercicios, discutamos las respuestas y obtengamos conclusiones.
Descompongamos en factores primos los números 12, 18 y 24. Ejemplo:
12
2 ←
(12 ÷ 2 = 6)
6
2 ←
(6 ÷ 2 = 3)
3
3 ←
(3 ÷ 3 = 1)
12 = 2 x 2 x 3
2. En tu cuaderno completa la siguiente tabla:
NÚMERO
12
DIVISORES
1, 2, 3, 4, 6, 12
18
24
3. ¿Cuáles divisores son comunes a 12 y a 18?
4. ¿Cuáles divisores son comunes a 12, 18 y 24?
5. ¿Cuál es el MAYOR divisor común de 12, 18 y 24?
INFÓRMATE
Los expertos han llamado el mayor de los divisores comunes de dos o más
números MÁXIMO COMÚN DIVISOR, y lo simbolizan así: (m.c.d.).
•
Verifica con tus compañeros, ¿cuál es el máximo común divisor de 12, 18 y
54?
48
Analizamos la siguiente situación:
1. Dos empleados encargados de vigilar una finca deciden revisarla recorriéndola a
caballo. El primero tarda 5 minutos en dar la vuelta; el segundo 3 minutos en dar
una vuelta. Si parten del mismo punto, ¿cuántos minutos deben transcurrir para
que se encuentren de nuevo en el punto de partida si continúan dando vueltas a la
finca? Construye un esquema que represente la situación.
2. Consideremos los números 12 y 18. Construyamos en el cuaderno 6 múltiplos de
estos dos números. Encerremos en un círculo rojo los múltiplos comunes de 12 y
18, señala con una cruz (x) el menor de los múltiplos comunes.
3. Escribamos nuevamente los números 12 y 18 como producto de números primos.
12 = 2 x 2 x 3 x 1 = 22 x 3 x 1
18 = 2 x 3 x 3 x 1 = 2 x 32 x 1
*
Seleccionemos los factores comunes con su mayor exponente y los no comunes
tomados una sola vez.
*
Efectuemos el producto de los factores seleccionados.
*
Comparemos este resultado con el menor de los múltiplos comunes de 12 y
18:
*
¿Qué podemos concluir?
49
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 4. (Trabajo en grupo)
POSTPRIMARIA RURAL
INFORMÉMONOS
Los expertos han llamado el menor de los múltiplos comunes de dos o más
números MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, y lo simbolizan (m.c.m.).
Verifica con tus compañeros si el mínimo común múltiplo de 12 y 18 es 36.
EJERCITÉMONOS
ACTIVIDAD 5. (Trabajo individual)
En tu cuaderno:
1. Considera los números 8, 10 y 24.
a) Descompónlos en factores primos.
b) Encuentra los divisores comunes a 8, 10 y 24.
c) ¿Cuál es el mayor de los divisores comunes?
d) ¿Cómo han llamado los expertos este número que es el MAYOR de los divisores
comunes?
e) Encuentra múltiplos de 8, 10 y 24.
f ) Selecciona los múltiplos comunes.
g) Selecciona el menor de los múltiplos comunes.
h) ¿Cómo han llamado los expertos a este número que es el MENOR de los múltiplos
comunes?
50
36 m
60 m
3. En un almacén se compraron 3 piezas de tela. La primera tiene 72 metros, la
segunda 48 metros y la tercera 96 metros. Se quiere obtener pedazos de tela
iguales y de mayor longitud posible para no desperdiciar la tela. ¿Cuál ha de ser la
longitud de cada pedazo de tela? Cuántos pedazos de tela resultan de cada pieza?
Reúnete con dos compañeros más y discutan el
ejercicio anterior.
•
¿En qué están de acuerdo?
•
¿Cuáles son las diferencias?
•
Apóyense en el profesor y obtengan conclusiones.
51
MATEMÁTICAS 6º
2. El padre de mi vecino compró un lote que tiene forma rectangular de 60 metros
de largo y 36 metros de ancho. Él quiere dividir el lote en 36 lotes más pequeños.
¿Cuáles deben ser las máximas dimensiones de cada uno de esos lotes, si quiere
que todos los lotes sean iguales?
POTENCIACIÓN
POSTPRIMARIA RURAL
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo individual)
1. Observa la siguiente figura geométrica:
¿Cuántos cuadrados tiene?
¿Cuántos cuadrados tiene la base?
¿Cuántos cuadrados tiene en la altura?
2. El número de cuadrados se puede obtener multiplicando 4 x 4 Abreviadamente
4 x 4 = 42 = 16
INFÓRMATE
Para evitar escribir el mismo número como factor varias veces, los expertos
idearon una nueva operación que llamaron POTENCIACIÓN.
Si a es un número natural, an significa repetir n veces a.
an = a x a x a x a x ... x a
n-veces
52
Exponente
➝
➝
MATEMÁTICAS 6º
an = b ➝ potencia
Base
Por definición a0 = 1, donde a1-1 = a0; y a1/a1 = 1
PRÁCTICA
•
¿Qué significado tienen las expresiones: 53, 35?
•
Halla la base, el exponente y la potencia en cada uno de los siguientes
ejercicios: 24, 31, 26, 40, 103
•
Representa gráficamente: 32 y 23
•
En el cuaderno completa el siguiente cuadro.
0
1
2
3
4
➝
EXPONENTE➝
BASE
0
0
1
2
1
1
3
•
Descomponer el número 16 de diferentes formas, utilizando potencias.
•
¿A qué potencia debo elevar el 3 para obtener 81?
•
¿A qué potencia debo elevar el 2 para obtener 32?
53
POSTPRIMARIA RURAL
•
¿A qué potencia debo elevar el 10 para obtener 1.000?
•
¿Qué valor de a hace que a2 = 36?
•
¿Qué valor de b hace que b3 = 8?
INFÓRMATE
La operación inversa de la potenciación que nos permite hallar la base
conociendo el exponente y la potencia, se llama RADICACIÓN. Cuyo símbolo
es:
, y quiere decir que:
Si ab = c, entonces, b c = a
EJERCITÉMONOS
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
•
En el cuaderno escribe el número correspondiente para cada operación.
54
62
=
➮
2
36 =
43
=
➮
3
64 =
24
=
➮
102
=
➮
103
=
➮
4
81 =
➮
34 =
5
32 =
➮
25 =
3? = 27
➮
3
27 =
5? = 25
➮
2
25 =
10? = 100
➮
2
100 =
3? = 81
➮
4
81 =
16 =
MATEMÁTICAS 6º
4
100 =
3
1000 =
ACTIVIDAD 3. (Trabajo en grupo)
•
Analicemos el anterior ejercicio. Confrontemos respuestas y discutamos las
afirmaciones.
55
POSTPRIMARIA RURAL
•
Efectuar las siguientes operaciones:
2
8
2
3
a) 3 + 4
e) 2
8
b) (2 + 5)3
f)
3
10 x 10
104
2
4
c) (3 + 2)
g)
d) 42 x 43 x 40
h)
2
8 x8x8
0
23
9 2 − 33
22
INFORMÉMONOS
La operación inversa de la potenciación que consiste en hallar el exponente
conocidas la base y la potencia, se llama LOGARITMACIÓN.
Su símbolo es loga y se lee “logaritmo en base a de....”, y quiere decir que:
Si ab = c, entonces loga c = b.
EVALUEMOS LO APRENDIDO
•
Analicemos el siguiente ejercicio:
Encontremos el valor de la incógnita a.
23 = a, a = ?
Puesto que: 3 a = 2
log2 a = 3
56
•
Puesto que: 5 a = 2
log2 a = 5
Completemos en el cuaderno el siguiente ejercicio:
2
32 = ?
9 = ?
log3 9
•
•
MATEMÁTICAS 6º
25 = a, a = ?
= ?
Escribamos en el cuaderno las siguientes dos columnas de datos y tracemos
una flecha que una la expresión con el resultado respectivo.
log2 64
2
3
125
1
log3 81
5
4
10.000
6
log10 100
10
16
343
73
4
En cada segundo, el número de bacterias en un determinado proceso se
triplica. Si de este tipo de bacterias inicialmente se tienen 3 en un tubo de
ensayo, ¿cuántas bacterias se tendrán al cabo de 5 segundos?
57
Realiza los siguientes ejercicios:
POSTPRIMARIA RURAL
•
a)
52
d)
b) 3 4 6
e)
3
4 x 64
9 x4
24
64
c) 3
8
•
Simplifica las siguientes expresiones. Para tal fin:
a) Descompón la cantidad subradical en factores primos.
b
Aplica la propiedad que dice: p mp = m
Ejemplo: 4 81
81
3
27
3
9
3
3
3
81 = 34
1
Luego: 4 81 = 4 34 = 3
58
1) 3 27
4) 3 343
2) 5 32
5)
3) 4 256
6) 3 1.000
256
U
2
N
APRENDAMOS
QUE ES LA
LÓGICA
D
I DA
D
MATEMÁTICAS 6º
DA
•
•
U
NI
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
INFORMÉMONOS
ACTIVIDAD 1.
(Trabajo individual)
Lee lo siguiente:
HISTORIA DE LA LÓGICA
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Aristóteles el gran filósofo griego nacido en Estagira, fue el iniciador de la lógica
al conseguir sistematizar los procesos de razonamiento en un número reducido
de reglas independientes del significado particular de las proposiciones que
conforman el tema discutido.
Así se considera la lógica como el arte de guiar correctamente a la razón en el
conocimiento de las cosas.
Como en otras disciplinas del saber, la influencia de Aristóteles permaneció
inalterada hasta el siglo XVII, época en la que el filósofo y matemático alemán
Leibnitz desarrolla la lógica simbólica y propone un lenguaje científico universal
comúnmente llamado “Característica Universal” y un cálculo de razonamiento
para la manipulación de aquel lenguaje. Pero este programa de Leibnitz no
llegó a feliz término.
Sin embargo en 1847 el inglés George Boole crea el “álgebra booleana”, la
cual es la base para el posterior desarrollo de la lógica. Es así que en una obra
59
POSTPRIMARIA RURAL
se consigue por primera vez un cálculo manejable y completo aplicando en
forma sistemática operaciones de tipo matemático a la lógica.
Como en muchos otros pasajes de la historia de la ciencia, la obra de Boole no
fue reconocida en su época al no recibir buena aceptación, y no fue hasta
que Bertrand Russell y Alfred Whitehead utilizaron la lógica simbólica en su obra
“Principia Mathematica”, que el mundo de la matemática dio importancia a
las ideas propuestas por Leibnitz alrededor de 250 años antes.
Para cualquier persona es importante comunicarse de una manera inteligente
con los demás por lo cual se hace necesario adquirir capacidad para analizar
los argumentos de los otros. Es así que la lógica es una parte importante del
mundo que nos rodea y ahora veremos cómo podemos ser más lógicos, es
decir darle sentido a expresiones como: “Eso es lógico”,“necesariamente...”, o
“es suficiente que ...”, etcétera.
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
Lee el siguiente texto:
Juan estudia en la escuela Cariongo del municipio de Pamplona, llega a las ocho de la
mañana, saluda a los profesores y compañeros.
Está establecido que los dos primeros alumnos en llegar al salón de clase, deben colocarle
agua a las matas.
Después de su llegada Juan se sienta y se alista a iniciar sus clases.
60
-
¿Quién fue el primer alumno en llegar?
-
¿Cuál de mis alumnos no ha saludado?
-
¿Cuáles alumnos trajeron el equipo de deporte?
•
En el anterior texto busca lo siguiente:
MATEMÁTICAS 6º
Cuando el profesor llega al salón hace las siguientes preguntas:
1. Tres expresiones
ACTIVIDAD
2. que puedan ser verdaderas.
2. Tres expresiones que puedan ser falsas.
3. Dos expresiones de las cuales se pueda decir que no son ni verdaderas, ni falsas.
En grupo:
Reúnete con otros dos compañeros y discute la verdad o falsedad de cada
una de las expresiones que sacaste del texto anterior.
Junto a tus otros dos compañeros analiza la verdad o falsedad de las siguientes
expresiones:
1.
¿Cuál fue el primer alumno en llegar?
2.
¿Cuál de mis alumnos no ha saludado?
3.
¿Cuáles alumnos trajeron el equipo de deporte?
4.
¡Oh Dios mío!
5.
¿Pensarás en mí?
6.
La vaca es un cuadrilátero.
7.
Colón descubrió América.
8.
Santafé de Bogotá es la capital de Colombia.
61
POSTPRIMARIA RURAL
INFORMÉMONOS
En lógica, a estas expresiones o enunciados de los que podemos decir, que son
verdaderos o falsos ( pero no ambos a la vez ) se les llama proposiciones
simples.
A la verdad o falsedad de una proposición simple se le llama valor de verdad
de la proposición , generalmente usamos las letras p, q, r... para representar
proposiciones.
ACTIVIDAD 3. (Trabajo individual)
Analiza las siguientes expresiones usadas en el
lenguaje diario:
1. Voy a la ciudad y compro semillas para sembrar.
2. Si mañana no llueve, entonces llevo al niño al puesto de salud.
3. Juan revisa su tarea, o le pone agua a las matas.
•
Con el primer enunciado “Voy a la ciudad y compro semillas para sembrar”,
haz lo siguiente:
a. Saca las proposiciones simples que lo conforman.
b Establece el valor de verdad de ellas.
c. Escribe la palabra que conecta las proposiciones simples del enunciado.
•
Haz lo mismo con los otros dos enunciados.
•
Usa las palabras “y”, “o”, “entonces”, “si y solamente si” y con ellas une o
conecta proposiciones simples.
62
Hay enunciados formados por dos proposiciones simples, como los tres anteriores,
a los cuales podemos llamar proposiciones compuestas.
Las proposiciones simples de una proposición compuesta se suelen unir con
algunas palabras como: “y”, “o”, “entonces”, “si y sólo si”; a estas palabras
generalmente se les llama conectivos, enlaces u operadores lógicos.
La lógica simbólica tomó del lenguaje natural las palabras “y”, “o”, “no”,
“si...entonces,...”, “si y sólo si”, para construir proposiciones compuestas a partir
de las simples.
Estas palabras reciben el nombre de conectivos, enlaces u operadores lógicos.
CONECTIVO
NOMBRE LÓGICO
SÍMBOLO
No...
Negación
~
...y...
Conjunción
∧
...o...
Disyunción
∨
si.., entonces...
Implicación o
→
condicional
...si y sólo si...
Doble implicación o
bi-condicional
↔
63
MATEMÁTICAS 6º
CONCLUYAMOS
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 4. (Trabajo individual)
En español encontramos palabras que representan la negación de una expresión: no,
si, nada, ninguna...
•
Lee detenidamente las siguientes tres proposiciones y niégalas:
p: Colombia es un país.
q: 3 es un número par.
r:
La papa es un cereal.
•
Establece el valor de verdad de cada una de las proposiciones p, q
de sus negaciones.
•
Haz una tabla con sus valores.
∧
r, y también
CONSTRUYAMOS
EN GRUPO:
•
Con tres de tus compañeros analiza la siguiente proposición :
“Juan compra un kilo de arroz y un kilo de papa”.
Llamaremos p: “Juan compra un kilo de arroz” y q: “Juan compra un kilo
de papa”.
64
Con estas dos proposiciones pueden suceder cuatro casos:
1.
Que Juan compre un kilo de arroz y compre un kilo de papa.
2.
Que Juan compre un kilo de arroz y no compre un kilo de papa.
3.
Que Juan no compre un kilo de arroz y compre un kilo de papa.
4.
Que Juan no compre un kilo de arroz y no compre un kilo de papa.
•
Con tu grupo de trabajo analiza en cual de los cuatro casos anteriores la
proposición compuesta es verdadera.
•
Para mayor facilidad al final construyamos una tabla de verdad.
CONCLUYAMOS
El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad
de cada proposición simple que la conforma y del conectivo que las une.
En este ejemplo anterior la proposición p está unida a q por medio del conectivo
“y”.
Se simboliza por p ∧ q y se llama la CONJUNCIÓN.
La conjunción p ∧ q es verdadera solamente cuando p ∧ q son verdaderas,
en los demás casos es falsa.
65
MATEMÁTICAS 6º
•
POSTPRIMARIA RURAL
p
q
p∧ q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
APLICA LO APRENDIDO
ACTIVIDAD 5. (Individual)
•
Analiza las siguientes proposiciones y responde:
p:
Bogotá es la capital de Colombia.
q:
3 > 4
¿Qué valor de verdad tiene p ∧ q?
•
Considera las siguientes proposiciones y responde:
p:
América es un continente.
q:
El trigo es un cereal.
¿Qué valor de verdad tienen las preposiciones?
•
1) p
3) ∼ p
5) p ∧ q
7) ∼ p ∧ q
2) q
4) ∼ q
6) ∼ p ∧ ∼ q
8) p ∧ ∼ q
Escribe las ocho proposiciones anteriores en lenguaje natural.
66
MATEMÁTICAS 6º
CONSTRUYAMOS
ACTIVIDAD 6. (Trabajo en grupo)
•
Propongamos ejemplos de proposiciones compuestas utilizando la “o”.
Ejemplo:
- Voy a estudiar o voy a pasear.
- Compro un vestido o compro una cicla.
- Apruebo el año o me ponen a trabajar.
- Se necesita obrero que sepa carpintería o que sepa albañilería.
•
Analicemos lo que puede suceder en esta última situación:
1. Sabe carpintería o sabe albañilería.
2. Sabe carpintería o no sabe albañilería.
3. No sabe carpintería o sabe albañilería.
4. No sabe carpintería o no sabe albañilería.
•
Junto a otros dos compañeros analiza en cuál de las cuatro situaciones anteriores el
obrero será aceptado en el empleo.
CONCLUYAMOS
La proposición p unida con q por medio del conectivo “o” se llama disyunción
y tiene un valor falso solamente cuando las dos proposiciones simples son falsas.
67
POSTPRIMARIA RURAL
La disyunción es verdadera en los demás casos.
La “o” se representa por el símbolo ∨ y su tabla de verdad es:
p
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Esta clase de disyunción es llamada INCLUSIVA.
Algunas veces la disyunción es exclusiva y es la más utilizada en el lenguaje
usual; ésta es verdadera cuando sólo una de las dos proposiciones es verdadera,
en los otros casos es falsa.
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
ACTIVIDAD 7. (Trabajo individual)
Considera las proposiciones simples:
68
p:
3 es menor que 5
q:
6 es un número entero.
Construye la proposición compuesta p ∨ q.
•
Haz una tabla de verdad para ella.
MATEMÁTICAS 6º
•
Considera ahora las dos proposiciones siguientes:
•
•
p:
En mi escuela hay pupitres.
q:
Venezuela no limita con Colombia.
En relación con ellas da el valor de verdad de cada una de las proposiciones que a
continuación encuentras.
1) p ∨ q
3) ∼ q
5) q ∨ ∼ p
2) ∼ p
4) ∼ q ∨ ∼ p
6) ∼ p ∨ q
Escribe las seis proposiciones anteriores en el lenguaje usual.
CONSTRUYAMOS
ACTIVIDAD 8.
(Grupo)
Analicemos el compromiso pactado entre Luis y Pablo: “si mañana pare la vaca, entonces,
le mando un litro de leche”.
Denominemos las proposiciones:
p:
Si mañana pare la vaca.
q:
Le mando un litro de leche.
69
POSTPRIMARIA RURAL
El cumplir el compromiso lo asimilamos con la verdad de la proposición
compuesta si p, entonces q.
•
Analicemos el valor de la proposición compuesta, teniendo en cuenta el
valor de verdad de las proposiciones que la componen.
1.
Si pare la vaca y le envía el litro de leche, Luis está cumpliendo el
compromiso.
2.
Si pare la vaca y no le envía el litro de leche, Luis no está cumpliendo el
compromiso.
3.
Si no pare la vaca y le envía el litro de leche, Luis está cumpliendo el
compromiso.
4.
Si no pare la vaca y no le envía el litro de leche, Luis está cumpliendo el
compromiso.
•
Cada uno responde la siguiente pregunta: ¿En qué caso usted le diría a
Luis: “No sea falso” usted no me cumplió el compromiso?
Analizando las cuatro situaciones anteriores vemos que el único caso donde
no se cumple lo pactado es el 2 , luego es falso.
CONCLUYAMOS
En matemáticas dos proposiciones simples unidas por el conectivo “entonces”
se llama implicación y se notan por p → q.
70
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
MATEMÁTICAS 6º
A p se le llama el antecedente y q el consecuente. Su tabla de verdad es:
De la tabla se concluye que la implicación es FALSA únicamente cuando el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
ACTIVIDAD 9. (Trabajo en grupo)
Conforma grupos de trabajo de dos personas, construye una implicación en
que se pacte un compromiso entre los dos.
Una vez pactado y escrito el compromiso, analiza en qué casos no se cumple lo
pactado.
RESALTEMOS
El dominio y manejo adecuado de la implicación, es determinante para la
construcción y comprensión del conocimiento matemático.
71
POSTPRIMARIA RURAL
Es lógico, filósofo y matemático Bertrand Russell define la matemática
como el estudio de todas las proposiciones p → q
INFORMÉMONOS
La implicación si p, entonces, q se puede escribir de diferentes formas como:
a) q si p
b) Si p, q
c) p es suficiente para q
Ejemplo: La implicación.
Si llueve, entonces, se moja la tierra, también se puede expresar así:
1. Se moja la tierra, si llueve.
2. Si llueve, se moja la tierra.
3. Es suficiente que llueva para que se moje la tierra.
EJERCITEMOS LO APRENDIDO
ACTIVIDAD 10. (Individual)
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Sea la expresión: Si hoy es lunes, mañana es martes. Escribe simbólicamente la
anterior expresión y analiza su valor de verdad.
72
Sean p:
q:
5 = 2 + 3
1 < 6
MATEMÁTICAS 6º
2.
¿Qué valor de verdad tienen las siguientes proposiciones compuestas?
a) p → q
c) q → p
e) ∼ p → ∼ q
b) ∼ p → q
d) ∼ q → ∼ p
f) p → ∼ q
CONSTRUYAMOS
ACTIVIDAD 11. (Trabajo en grupo)
Consideremos y analicemos la siguiente
situación:
•
La experiencia nos enseña que si una persona está viva, respira y si respira entonces
está viva.
•
De esta expresión saquen dos proposiciones simples y llámenlas “p” y “q”.
•
Con el enunciado que acaban de leer formen dos proposiciones y únanlas por
medio de y.
•
Fácilmente llegan a la proposición compuesta (p → q) ∧ (q → p).
CONCLUYAMOS
En matemáticas (p → q) ∧ (q → p) es una expresión compuesta la cual se
llama bicondicional, doble implicación o equivalencia y generalmente se
simboliza por: p ↔ q.
73
POSTPRIMARIA RURAL
Su tabla de verdad:
p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Como se puede concluir de la tabla, la equivalencia es verdadera únicamente
cuando las dos proposiciones simples p y q son ambas verdaderas o ambas
falsas.
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
ACTIVIDAD 12. (Individual)
•
Construye dos proposiciones simples y únelas por el conectivo bicondicional.
•
Analiza la verdad o falsedad en cada situación.
74
TRABAJEMOS CON CONJUNTOS
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
MATEMÁTICAS 6º
○
ACTIVIDAD 1. (En grupo)
Leamos:
Reseña Histórica
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
A pesar de que el concepto intuitivo de conjunto es tan antiguo como el mismo hombre,
sólo hasta finales del siglo XIX la Teoría de Conjuntos se desarrolló en forma rigurosa
y sistemática. Fue el matemático alemán George Cantor (1845-1918) la persona que
propuso una nueva forma de ver y estudiar conjuntos al introducir nuevas ideas
matemáticas muy revolucionarias para su época. Fueron tan profundas estas ideas que
muchos de sus colegas, ante la incapacidad de entenderlas, llegaron hasta tildarlo de
loco con tan mala suerte que estos ataques le produjeron una crisis nerviosa y terminó
su existencia en un hospital para enfermos mentales.
De entre las novedosas ideas desarrolladas por Cantor para estructurar la Teoría de
Conjuntos podemos extractar dos fundamentales: la correspondencia 1-1 o apareo y la
de conjunto contable o enumerable. Con todas sus ideas llegó a argumentar que existen
en matemáticas casos o situaciones un tanto extrañas como por ejemplo: “El todo no
es mayor que cada una de sus partes”. Así logra sacar a algunas personas de lo inmediato
natural e intuitivo y ubicarlas en niveles más altos de pensamiento.
La real importancia de los conjuntos en la matemática radica en el hecho de que basados
en ellos se pueden fundamentar, sistematizar, y desarrollar todos los temas de esta
disciplina del conocimiento.
•
Busquemos en el diccionario las palabras desconocidas.
•
¿Por qué son importantes los conjuntos?
75
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
Con los conocimientos que tienes sobre
conjuntos realiza lo siguiente:
•
En un rectángulo representa todos los animales de tu finca. Dentro de él, representa
por medio de círculos o de otras figuras geométricas, los siguientes animales también
de tu finca: aves, mamíferos, perros, gallinas.
•
En la situación y representación anterior responde las siguientes preguntas:
1. ¿Todas las gallinas son aves?
2. ¿Ninguna gallina es un ave?
3. ¿Algunos mamíferos son perros?
4. ¿En tu finca hay aves que sean mamíferos?
5. ¿Dentro de los mamíferos están todos los perros?
6. ¿En tu diagrama no hay perros que sean aves?
7. ¿Las aves están dentro de los animales?
8. ¿Las aves no tienen elementos en común con los mamíferos?
76
•
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 3. (Trabajo en grupo)
Reúnete con otros compañeros y discute con ellos el siguiente cuestionario:
a. ¿Cuál sería para ti el conjunto referencia en la situación anterior?
b. ¿Enumera todos los subconjuntos que encuentres en dicho ejemplo?
c. ¿De todos los conjuntos anteriores en cuáles se pueden contar los elementos y
este proceso de contar termina?
d. ¿Qué puedes decir del conjunto de las gallinas con respecto al conjunto de las
aves?
e. ¿Qué puedes decir del conjunto de las aves con respecto al conjunto de los
animales?
f. ¿En esta situación encuentras algún conjunto en el cual el proceso de contar no
termine?
•
Comparemos y discutamos las respuestas con las de nuestros compañeros.
a. ¿Cuáles se parecen?
b
¿Cuáles son diferentes?
c. Discutamos y hallemos entre todos la razón.
d. Escribamos los resultados de la discusión.
77
POSTPRIMARIA RURAL
CONCLUYAMOS
En matemáticas y en situaciones como las del ejemplo tratado en las actividades
1, 2 y 3 usamos los siguientes conceptos.
En teoría de conjuntos se acostumbra determinar un conjunto que contenga a
todos los demás involucrados en un problema a resolver. Este conjunto recibe el
nombre de referencial.
Un conjunto formado por un número de elementos diferentes que se pueden
contar y en el cual el proceso de contar termina en alguna parte, recibe el
nombre de conjunto finito.
Si el proceso de conteo no termina se llama Conjunto infinito.
Se dice que un conjunto M es subconjunto de un conjunto N si, y solamente si,
todo elemento de M es también un elemento de N. Lo anterior se nota por M
⊂ N.
NOTA: El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, o sea, φ ⊂ A,
para cualquier conjunto A.
RECORDEMOS
Un conjunto se determina por comprensión cuando se da una propiedad, regla
o ley que deben cumplir todos los elementos del conjunto.
Ejemplo:
A = {x / x es una letra anterior a m en el alfabeto}
Recordemos que la barra “/” significa “tal que” o “tales que”.
Cuando al representar un conjunto escribimos todos y cada uno de los elementos
que lo conforman, se dice que el conjunto se nota por extensión.
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MATEMÁTICAS 6º
APLIQUEMOS LO APRENDIDO
SOBRE CONJUNTOS
ACTIVIDAD 4. (Trabajo en grupo)
Realizamos los siguientes ejercicios:
1. Sea P el conjunto de los números naturales menores que 8.
a. Notemos P por extensión.
b. Notemos P por comprensión.
2. Dados los siguientes conjuntos expresémoslos por extensión
A = {x / x es planeta del sistema solar}
B = {x / x es cordillera de Colombia}
C = {y / y es vereda de nuestro municipio}
3. Digamos cuáles de los siguientes 5 conjuntos son finitos y cuáles son infinitos.
A = Conjunto formado por los días de la semana.
B = Conjunto de veredas de tu municipio.
C = Conjunto formado por estrellas del firmamento.
D = Conjunto formado por los alumnos de mi salón de clase.
E = Conjunto formado por los números naturales.
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4. En la escuela Cariongo consideremos los siguientes conjuntos.
POSTPRIMARIA RURAL
A = {Los alumnos de 5º grado}
B = {Los alumnos mayores de 12 años}
C = {Los alumnos que hacen parte del equipo de fútbol de la escuela}
D = {Los alumnos que viven a menos de 1 kilómetro de la escuela}
Encontremos cuál es el conjunto referencial más apropiado para el caso de los
conjuntos A, B, C, D.
5. Consideremos el conjunto referencial H = {y / y es río de Colombia}
Construyamos 3 subconjuntos de H.
6. Consideremos el conjunto M = {1, 0, 2} analicemos si la expresión es falsa o
verdadera.
a) 1 ∉ M
c) 5 ∈ M
b) 2 ∈M
d) 0 ∉ M
7. El conjunto S de los colores del arco iris los podemos notar por extensión de la
siguiente manera S = {violeta, rojo, naranja, verde, azul, amarillo} Notemos este
conjunto por comprensión.
8. De los siguientes conjuntos digamos cuáles son vacíos.
a) El conjunto de matas de papa que producen plátanos.
b) El conjunto de ríos de la tierra.
c) El conjunto de personas vivientes mayores de 30 años.
d) El conjunto de pares entre 4 y 8.
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MATEMÁTICAS 6º
REALICEMOS OPERACIONES
ENTRE CONJUNTOS
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ACTIVIDAD 1. (Trabajo individual)
Considera los siguientes conjuntos:
M = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1