Download FUNDAMENTOS DE LATEORIA DE LOS NUMEROS

I.Vinogradov
FUNDAMENTOS
DE LATEORIA
DE LOS NUMEROS
EDITORIAL · MIR· MOSCU
l!.OITORIAL MIR
V1. BuHorpaAo s
OCHOBhl
TEOPMV1 tIVfCEJ\
~
~3AATEAbCTBO·HAVKA·
I.Vinográdov
FUNDAMENTOS
DE LATEORIA
DE LOS NUMEROS
-•
'Traducido del ruso por
Candidato a doctor
en ciettcias fi'sico ·matemáticas,
catedTtÍtico
de matemáticas superiores
E. Aparicio B ernardo
EDITORIAL· MIR· MOSCU
hupNIO 11i la
un~
Sepada adlelÓs
@Traducclóa al ..paioJ. EdllMJal lflt. 1977
PROLOGO
RESE~A BIOGRAFICA
dedicada al 80 aniversario
del nacimiento del académico
1. M. Vinográdov
El autor de este libro, lrxm Mat!JéerJich Vinográdoo (nacido
el 14 (2) de Septiembre de 1891 ). es uno de los más célebres
matemáticos de la actualidad. las investigaciones de/. M. Vinográdov están directamente ligadas a los estudios de la escuela de
teoría <k los números de Petersburgo, a la cual pertenecieron
P. L. Chébishev ( 1821-1894). E. /. ZololariQIJ ( 1847-1878),
C. F. Voronog ( 1868-1908) g otros eminentes matenuÚicos.
El desarrollo de la teoría analítica de los números en la
VRSS durante los últimos 50 años está estrechamente relacionado con el nombre de Vinográdov g su escuela. Actualmente
se han publicado más de 140 trabajos científicos de l. M . Vinográdov. entre los cuales merecen especial atención las monografías
fundomentales: cUn método nuevo en la teoría analítica de los
númerOS> (año 1937) y cMétodo de las sumas trigonométricas
en la teoría de los númerOS> (año 1947) . En estas dos monografías se condensan los resultados de lodos las investigaciones anteriores del autor, que contribuyeron a la creación de un nuevo
6
PROLOOO DEL TRADUCTOR
método en la teoría de los números. E11 la aclualidad, éste se
conoce conw ttl método de V inográdou de las sumas trigonométricas. los fundamento& de este método fueron creados ya por él
miSl7U> en el año 1934. Este es un método muy general, muy
profundo y SUlllQ/nt!nte fecundo, mediante el cual l . M. Vinográdou consiguió resofoer los problemas clásicos de Goldbach,
Waring y otros más. En las monografías de 1. M. Virwgrádou
desempeña un papel decisiuo la acolación de las sumas trigonométricas múllipks, cuya introducción y estudio representaba
de por sl un ú il-0 de grandísima importancia en la teoría de los
números. Una de estas acotaciones uieM expuesta en el presente
libro (véase la pregunta 14 del capítulo V/) .
En esta reseña no tenemos posibilidad de hacer una exposición
detallada de la obra científica de J. M . Vinográdou.
Nos
limitaremos solamente a enunciar algunos de sus resultados
fundamen tales.
En el año 1917, / . M . Vinográdou se dedica al problema del
cálculo asintótico de W.s puntos enteros dentro de los circuito&
(uéa11se en ttl rop. //, las preguntM I a, b, c, d, e, 22 a, b y en
el cap: 111, las pregunkJs 5, 6). En su tiempo se ocupó de estos
problemas O. F. Voronog. los resultados que obtuvo Voronoy
para un caso particular (la hipérbola), los consiguió también
VinogrddorJ para una clase muy amplia de circuitos, basándose
en una8 ideas geométricas más claras y empleando unos métodos
analí ticos más sencillos. En el afio 1926, el matemdtico checo
V. Yarnik demostró que estos teoremas no podian mejorarse
PROLOOO DEL TRADUCTOR
7
considerablemente. En el año 1963, /. M. Vinográdov obtuvo
también el resultado más exacto respecto del número F de puntos
enteros en la esfera x 2
+ y'+ ~~a'. Esk número se expre-
sa p.:>r la fórmula asintótica
F=
f naª+ O (a•f3 (In a)•).
A lgunvs de los resultados de l. M . Vinográdcv ya son clásicos.
Por ejemplo, ya en el aiw 1918 demostró que la raíz primitiua
mínima de w1 número primo p
>3
(sobre las raíces primili·
uas, véase el cap. V l, § § 1-5 y las preguntas del mismo capítulo,
5, 12 c, 14) no es superior a 2'"
VP
In p, donde h denota la
cantidad de dit1isores primos distintos de p -
/.
Es bien conocido también el siguiente teorema de l. M. Vinográdov (año 1926). Sea p un número primo y sea n un ditJisor
de p -
1, donde n ;¡I:: l. Entonces, el no-resto mínimo de gra-
do n respecto del módulo p (tJéanse los conceptos de resto y noresto en el cap. V, § /, preguntas 8 d, 12 b y en el cap. VI,
.!.
1- !
§ 5) no es superior a p2.lt (In p) 1, donde k =e n . En relación con
esto, obsérvese que en el año 1796 Gauss denwslró que el no-res/o
cuadrátic:o mlnimo (mód. p) no
es superior a 2 Vp. El resultado
de Vinográdov fue el prime.r adelanto en esta cuestión desde los
tiempos de Gauss.
Mucha atención prestó!. M . Vinográdoo al problema de la re-
solución de la ecuación
x~
+ ... +~ ,:o N
en números enteros
x, ;;;;i: O (el llamado problema de Waring, planteadb por éste en
el año 1770). En el año 1909, D. Hilbert dem.u nlra que es/a
8
PROLOGO DEL TRADUCTOR
ecuaci&i a rooluble para valores
flC()/ado$
de r. En Jos años
1919-1920, Hard.g y Littkwood atudiaron el comportamiento
aaintótico del ruúrrero de aoluciol'U!S de las ecuaciones de Waring
para r ~ n 2". El 'IXlllJr mCnímo de r, para el cual la ecuación
de 'l/aring admite solución para todo$ los números N suficien·
temenk granda, se denota mediante G (n) . Para esta magnitud,
en el año 1934, /. M. Vinogrtúloo obturo la cota G (n)
<
<
n (3 In n + 11) yen el año 1959, fa cota más exacta G (n)
n (2 In n
+ 4 In In n + 2 In In In
n
+ 13) .
<
<
Eslos cotas no
pueden mejorarse considerablemente, puesto que es sabido que
>
G (n)
n (n
~
2).
l. M . Vinográáoo demostró también que fa fórmula asintófi·
ca, propuesta por Hardy y LiJl/ewood,
1 (N) = (f (1
(v
=
*.
r
r
+ "»' Nrv-1 ~ +o (N•'V- t -vt)
(rv)
(s) es la función Gamma de Euler; a es cla serie
especial., lntrodlicida por Hardg 11 Littlewood) para /.a canti·
dad de expresiona del número entero N
N
>
= ~ + ... + X:. <XJn enler" posiliCIOS .K1,
para r
O en la forma
• • . , .K,
es tlálida
;¡, [/On1 In ni.
l. M. Vtnogrddov obtuoo una serie de cotas importantes: para
p
la• aumas de Weil , de la forma S = ~ exp 2nimf (.x), donde
,,_I
m >O es un niuJuro enlero y F (x) es un polinomio de cocf icienies reo/es; para laJ sumas extendidas a números primos,
PROLOOO DEL TRADUCTOR
de la forma
9
~ exp (2nicip), donde ci es un número real ;
r><.N
para las sumas de la forma
~
p!i_N
x(p + k) .
donde
x deMta
un carácter no principal (véase la definición de carácter en
el cap. V/, pregunta 9), !I también en la teorla de la aproximación de polinomios mediante partes fraccionarias.
En general, es difícil indicar problemas de la teoría analítica
de los números, a los cuales l . M . Vinográdou no haga prestado
atención alguna. Por otra parte, algunos de los problemas resueltos por /. M . V inográdou habían. sido ya planteadas más de
150 años atrás, sin encontrar resolución alguna durante dichos
años, a pesar de los esf u.erzos realizadas para resoluerlos por los
científicos más notables del mundo. Tales son, por ejemplo, los
problemas de Waring !I Goldbach mencionadas anteriormente.
Este último problema apareció en el año 1742 en la correspondencia entre Chr. Goldbach y L. Euler. Chr. Goldbach manifestó
la hipótesis de que lodo número entero, mayor que tres, podía
expresarse en forma de una suma de no más de tres números primos. Todos los intentos de los grandes matemáticos de resoluer
este problema resu//aban inútiles. En lo fundamental, este problema fue resuelto por primera vez por/. M . Vinográdou en el
año 1937, demostrando que todo número impar, mayor que
cierto número N 0 (la constante de Vinográdou), se expresa en
forma de una suma de no más de tres números primos. También
demostró que el número de expresiones I (N) de un número impar
N
>
O en forma de una suma de tres números primos,
10
N
PROLOGO DEL TRADUCTOR
+ Pt + 1>3,
Pi
=
se expresa por la fórmula asintótica
I (N) =
donde S ( N)
>
~
S (N)
+ O (, 3 ~-•
0,6, r = In N y e
>
) ,
O es un número arbilra-
riamente /NU/Ueñc. Para la ron.sJante de Vinográdov, lós matemáli~
souiéticos ya han dembStrado que
No
~ exp exp ( 16,038) .
Son importantes también los resultados obtenidos por / . M. Vinogr6dou respecto die la t-funci6n de R~mann (oéase la definición en el cap. //, preguntas 12-14.20). /. M. Vinográdov
demoslró que
!I que
C( I + it) = O ((In t)213)
I + ti) no tiene ceros en la región
e(
a>I
A
(I n t) 2l 3 .
Para la cantidad de nú!T12ros prif11()S n (x) que no son superiores
a x (vhlse el cap. //, preguntas 19c. 24). de aJ¡ul resulta la
acolaci6n
:r
n (x) = Í ~ + O(xe-"'Clnz>ª·' ).
~ In .r
don.de a: > O ts una constante.
Los métodos de Vinogr6dou fueron cúsarrollados también.
!J liguen dnarrollárulMe actualmente, por sus numerosos alum""6,
de los cuale3 en ea/a breve reseña no tenemos posibílidad
de rtlalar.
Para concluir. indiquemos que desde el año 1932 l . M . Vinográlloo encabeza ti centro malanálico principal de la Uni611
l'ROLOOO DEL TRADUCTOR //
Soviética, el Instituto Matemático V. A. Sleklov de la Academia
de Ciencias de la URSS. /. M. Vinográdou es miembro rm·
merario de la Academia de Ciencias de la URSS desde el
año 1929.
Los méritos de /. M. V inográdoo en la teoría de los números lam·
bién han sido reconocioos como corresponde fuera de la Uniór.
Sooiética. J. M. V inográdoo es miembro extranjero de la Sociedad Real de Londres, de la Academia de Cien.cías de Dinamarca
y de la Academia Nacional deí linceí (Roma); es miemb10
honorífico de la Academia de Ciencias de Hungría; es miembro
correspondiente de la Academia de Ciencias de Alemania en
Berlín y de la Academia de Cíen.cías de París; es Doctor hóncr
rífico de filcsofia de la Uní'Oersídad de Osw (Noruega); es
miembro extranjero honorífico de las Sociedades Matemálicus
de Amsterdam, Londres y de la India, así como de la Sociedad
Filosófica americana en Filadelfia y de la Academia americana
de Artes y Ciencias en Bostón.
El libro que proponemos, cfundamenlos de la teoría de los
númerOS>, a distinción de olTas obras de /. M. Vinográdoo, es
un manual de texto destína(Ú) a los estudiantes de las facultades
de matemáticas de las uni'Oersidades. Es difícil hallar otro libro
tan conciso sobre teoría de los números, donde el material esté
expuesto con tanta claridad y rigurosidad.
En lo fundamental, está dedicuoo al estudio de la teuria de las
congruencias. No obstante, las preguntas expuestas al final
de cada cu pi lulo abaican un mateiriu 1 que está relaciona®
12
PROLOGO DEL TRADUCTOR
ya ccn los problemas fundamentales de la teoría analítica de
los números.
Durante la preparación de la traducción castellana, el autor
expuso al traductor su opinión acerca de la utilización del libro
por el lector. El autor cofl3idera que al preparar las respuestas
u las preguntas, primero hay que hacer la prueba de resolver
los problemas· planteados indi1Jidualmente. Solamen te cuando
se hayan agotado lodos los medios para su resolución, el lector
deberá examinar las respuestas e indicaciones qUJ! se dan al fin.a l
del libro.
El presente libro cFundamentos de la teoría de los númerOS>,
fue escrito sobre la base de los cursos explicados por el autor en
ll>s años 1918-1920 en la Unit>ersidad de Perm y en fDs a.ños
1920-1934 en la Universidad de leningrado . La primera edición
del libro salió en el año 1996. En adelante, el libro ha sido
mejorado y completado. la presente traducción se ha h2clw de
la séptima edición rusa .
25. XII. 1970
E. A P AMI C I O DERNA!IOO
CAPITULO PRIMERO
Teoría de la divisibilidad
§J. Conceptos
y teoremas
a. La teoría de los números se dedica al
estudio de las propiedades de los números
f andamentales enteros. Llamaremos enteros no sólo a los
números de la serie natural 1, 2, 3, ... (enteros positivos),
sino también al cero y a los enteros negativos - 1, -2,
- 3, ...
Por regla general, al exponer la teoría designaremos con letras
solamente los números enteros. Los casos en que las letras
no designen númeroo enteros los advertiremos especialmente,
si es que ello mismo no está claro.
La suma, diferencia y producto de dos enteros a y b también serán enteros, pero el cociente de la división de a por b
(si b es distin to de cero) puede ser tanto entero como no
entero.
b. Si el cociente de la división de a por b es entero, designán·
dolc con la letra q, se tiene a = bq, es decir, a es igual al
produclt> de b por un entero. Diremos entonces que a es divisi·
ble por b o que b divide a a. En este caso, a se llama múltiplo
de b y b se llama di1Jisor de a . El hecho de que b d iv ide a a
;e escribe así: b ·, a.
Subsisten los dos teoremas siguientes:
14
C.>.PITULO 1 TEORIA DE LA DIV ISIB ILIUAU
l. Si a es múlliplo de m !J m es múltiplo de b, a es mtillt ·
plo de b.
En efecto, de a = a,m, m = m 1 b se deduce que a =
= a,m,b , donde a,m 1 es entero. Esto demuestra el teorema.
2. Si en una igualdad de la forma k -+ l + ...
11 ~
- p .¡ q + . .. + s, respecio de todos los términos, a excepció11
de uno cualquiera de ellos,~ sabe que 3Vn múltiplos de b, en Ion ·
ces este término también es múltiplo de b.
En efecto, sea k tal término. Se tiene
+
1= 11b, .... n = n 1b, p=p1b, q = q,b, .. .,s = s1b,
k = p+q + ... + s - 1- ... -n =
::.. (p1
+ q, + ... + s1-J,- ... - n1)b.
Esto demuestra el teorema.
c. En el caso general, que incluye particularmente el caso en
que a es divisible por b, se tiene el teorema:
Todo entero a se expresa de un módo único mediante un entero
positiuo b en la forma
a = bq -1 r; O < r < /;,
En efecto, se obtiene una expresión de a en ta 1 forma tomando
bq igual al máximo múltiplo del número b que no es superior
a a. Suponiendo que también a - · bq 1 ·I r1 , O~ r , < b,
resulta O = b (q - q 1) ..¡ r - r2 , de donde se deduce
(2, b) quer - r1 esmúlliplodeb. Pero en virtud de¡r - r 1 I <
< b, lo último es posible solamente si r - r, = O, c-s decir,
si r = r" de donde se deduce también que q = q 1•
El número q se llama cociente incompleto y el número r, residuo
o res/o de la división de a por b.
EJe111>lo. Sea b = 14 . Se tiene
177=14-12 + 9;
-64 = 14·( -5)+ 6;
154 = 14 · 11 + O;
0<9 < 14 ,
0<6< 14,
0=0 < 14 .
f
§ 2. Máximo
comdn
divisor
2. MAXIMO COJ'IUN DIVISOR
15
a. A continuación consideraremos sólo los
divisores positivos de los números. Todo
entero que divide simultáneamente a los
enteros a, b, ... , l, se llama divisor común de los mismos.
El mayor de los divisores comunes se llama máximo común
divisor y se designa con la notación (a, b, . . . , l). Como la
cantidad de divisores comunes es finita, la ex istencia del
máximo común divisor es evidente. Si (a , b, .. . l) = 1,
a, b, ... , l se llaman primos entre sí. Si cada uno de los
números a, b, ... , l, es primo con cada uno de los demás,
a, b, . .. , l se llaman primos entre sl dos a dos. Es obvio q ue los
números primos entre sí dos a dos son también primos entre
si; en el caso de dos números los conceptos de cprimos entre
si dos a dos» y cprimos entre sb coinciden.
Ejemplos. Como (6, JO, 15) = 1, los números 6, JO, 15 son
primos entre sí. Como (8, 13) = (8, 21) = (13, 21) = 1, los
números 8, 13, 21 son primos entre si dos a dos.
b. Ocupémonos primero de los divisores comunes de dos
números.
1. Si a es múltiplo de b, el conjunto de los divisores comunes de
los números a y b coincide con el conjunto de los divi9:Jres del
solo nllfTrero b; en particular, (a, b) = b.
En efecto, todo divi!Or común de los números a y b es un
divisor de b. Reclprocamente, siendo a múltiplo de b, todo
divisor del número b (1, b, § I} es también un divisor del
número a, es decir, es un divisor común de los números b y a.
Por lo tanto, el conjunto de los divísores comunes de los
números a y b coincide con el conjunto de los divisores del
solo número b. Y como el máximo divisor del número b es el
mismo b, resulta (a, b) = b.
2. Si
a = bq + e,
entonces el conjunto de los divi9:Jres comww; de los núfTrerOS a v b
coincide con el conjunto de los divisores comunes de los núfTreros
by e; en particular. <a. b) = (b, e).
16
CAPITULO 1 fEORIA DE LA DIVISIBILIDAD
En efecto, la igualdad escrita más arriba muestra que todo
com6n divisor de los números a y b divide también a e (2, b,
1 1) y, por consiguiente es un común divisor de los números
b y c. Recíprocamente, la misma igualdad muestra que todo
común divisor de los números by e divide a a y, por consiguiente, es un común divisor de los números a y b. Por lo tanto,
los divisores comunes de los números a y b son los mismos que
los divisores comunes de los números b y e; en particular,
tienen que coincidir también los mayores de estos divisores,
es decir, (a, b) == (b, e).
c. Para buscar el máximo común divisor, así como para deducir sus propiedades principales, se emplea el algoritmo de
Euclides. Este último consiste en lo siguiente. Sean a y b
enteras positivos. Según e, 1 1, hallamas la serie de igualdades:
a = bq1 + rz,
O<rz<ó,
b = rzqz + r3,
0< r,< 'z•
rz = r,t¡3+r••
O< r• <rs.
(1)
'n-z =
fn-¡qn - 1
+ r,., o<'"< rn-h
fn-1 = TnQn,
que termina cuando se obtiene cierto rn +i = O. Esto último
es indispensable, puesto que la sucesión b, r 1 , r3 , • • • , como
sucesión de enteros decrecientes, no puede contener más
de b positivos.
d. Examinando las igualdades (1) de arriba a abajo, nos
convencemos (b) de que los divisores comunes de los números
a y b son iguales a los divisores comunes de los números
b y r 2 , luego son iguales a los divisores comunes de los
números r 1 y r 3, de los números r 3 y r,, . . . , de los números
'n - i y r,., finalmente, a los divisores del solo número r,..
A la vez, se tiene
(a, b)'="~ (b, r2) = (rz, f3) = ... = (rn.1•
Obtenemos Jos siguientes resultados.
r,.) = rn .
f 2. MAXIMO COMUN DIVISOR
11
1. El conjunto de los diuisores comunes de los números a y b
coincide con el conjunto de los diuisores de su mdximo común
diuisor.
2. Este máximo común diuisor es igual a r,. es decir, es
igual al último resto del algoritmo de Euclídes, dútinto de cero.
Ejemplo. Apliquemos el a lgoritmo de Euclides para averi·
guar (525, 231). Hallamos (los cálculos auxiliares se exponen
a la izquierda)
231
-2-
525=231·2 + 63,
231 = 63·3+42,
63=42·1 + 21,
42=21·2.
»»
Aquí el último resto positivo es r, = 21. Por lo tanto,
(525, 231) = 21.
e. 1. Designando con la letra m cuaú¡uier entero posifiuo, se
tiene (am, bm) = (a, b) m.
2. Designando con la letra 6 cualquier diuisor común de lo'i
número~ a y b, se tiene (
~ = (aÓ b) ; en particular, se
f, )
tiene ( (a~ b) 1 ca\) ) = 1, es decir, los cocientes de la diui·
sión de dos números por su máximo común divisor son números primos entre sí.
En efecto, multipliquemos las relaciones (1) término a término por m. Obtendremos nuevas relaciones, donde en lugar
de a, b, r 2, . . • , rn figurarán am, bm, r2m , ... rnm. Por esto,
(am, bm) = rnm, y por lo tanto, el aserto 1 es cierto.
Aplicando el aserto I , hallamos
(a , b) = {
i 6, {- 6) = (f, t) 6,
de donde se deduce el aserto 2 .
18
CAPITULO 1 TEORIA DE LA. OIVISIDILIOAD
f. l. Si (a, b) = 1, se tiene (ac, b) = (e, b).
En efecto, (ac, b) divide a ac y be y, por consiguiente, (1, d),
también divide a (ac, be), igual a e, debido a 1, e; pero (ac, b)
divide a b, por lo cual también divide a (e, b). Redprocamente,
(e, b) divide a ac y b, por lo cual también divide a (ac, b).
Por lo tanto, (ac, b) y (e, b) se dividen mutuamente y, por
consiguiente, son iguales entre si.
2. Si (a, b) = 1 11 ac es divisible por b, entonces e es divisible
por b.
En efecto, de (a, b) = l y de 1 se deduce que (ac, b) = (e, b),
y de la divisibilidad de ac por b y de 1, b se deduce que
(ac, b) = b. Por esto (e, b) =by, por.consiguiente, e es divisible por b.
3. Si cada uno de 1qs números a 1 , a:• ... , a,,. es primo con
cada uno de los números b1, bz, . .. , b,., el producto a1 az . • . am
es primo con el prodJJclo b, bz . . . b,..
En efecto, (teorema t), se tiene
(a,aaas ... am,
~)
= (az0s ... a,,., b11) =
= (as ... am, b11) "" ... = (a,,., b11)
= 1,
y haciendo luego para abreviar a1ai ... a,,. = A, hal !amos del
mismo modo
(b,bibs ... bn• A)= (bibs ... b,., A) =
= (bs ... bn. A) = .. . = (b,., A) = l.
f . El problema de la averiguación del máximo común divisor
de más ·de dos números se reduce al mismo para dos números.
Precisando, para hallar el máximo común divisor de los
números a1 , a2 , • • • , a,., formamos la sucesión de números:
(a 1, ai) = d2 , (d2 , a,,) = d1 , (d,, a,) = d,,
... , (d,. _,, a,.) = d,..
El número d,. será el máximo común divisor de todos los
números dados.
En efecto, (1, d), los divisor!?:$ comunes de ros n6meros a, y ai
/9
f 3. MINIMO C<»tUN MULTIPLO
coinciden con los divisores de d 2; por esto, los divisores comunes de los números a., a 1 y a1 coinciden con Jos divisores
comunes de los núme.ros d, y a 1 , es decir, coinciden con los
divisores de d,. Luego nos convencemos de que los divisores
comunes de los números a, , a 2 , a,, a, coinciden con los dlvl·
sores de d" etc., y, finalmente que los divisores comunes de
los números a,, a,, ... , a,. coinciden con los divisores de d,..
Y como el mayor divisor de d,. es el mismo d,. , Este será eJ máximo común divisor de los números a., a 1 , . . . , a,..
Examinando la demostración expuesta nos convencernos de
que el teorema 1, d subsiste también para más de dos números.
Subsisten también los teoremas 1, e y 2, e , puesto que al
multipilicar por m o al dividir por ~ todos los números a,,
a 1 , . . . , a,. también se multiplican por m o se dividen por 6
todos los números d 1 , d 1 , • . . , d,..
a. Todo entero que es un múltiplo de todos
los números dados se llama múlliplo común
de los mismos. E l menor múltiplo común
positivo se llama mlnimo común múltiplo.
b. OcupémoJ1<l6 primero del mlnimo común múltiplo de dos
números. Sea M algún múltiplo común de los enteros a y b.
Como éste es múltiplo de a, se tiene M = ak, donde k es en·
tero. Pero M también es múltiplo de b, por lo cual también
tiene que ser entero
§3. M lnlmo
comdn
mdltlplo
a.Ir
T•
el cual, haciendo (a, b) = d, a= a,d, b = b,d, se puede expresar•
en la forma
a,.ir
--¡;-,
donde (a 1 , bi) = 1 (2, e, § 2). Por esto
b
(2, f, § 2), k tiene que ser divisible por b., k=-b 11=-¡¡l,
donde I es entero. De aqui que
ab
M = 7 t.
20
CAPITULO 1 Tl?ORIA DE LA DIVISIBILIDAD
Recíprocamente, es evidente que cualquier M de esta forma
es múllipJo tanto de a como de b, y, por consiguiente, esta
forma proporciona todos los múltiplos comunes de los núme·
ros a y b.
El menor positivo de estos múltiplos, es decir, el mínimo
común múltiplo, se obtiene para / = 1. Este es
ab
m = -¡¡-·
lntroduciendo m, la fórmula obtenida para M se puede escri·
bir así:
M
=
mt.
La última y penúltima igualdades dan lugar a los teoremas:
l. El conjunto de los múltipWs comunes de dos números coin·
cide con el conjunt-0 de los múltiplos de su minimc común múltiplo.
2. Este mínimo oomún múltiplo de dos números es igual a su
producto, dividido por su máximo común divisor.
c. Supongamos que se necesita hallar el mínimo común múltiplo de más de dos números a 1, a2 •...• an. Designando en
general con la notación Ea, ól el mlnimo común múltiplo de los
números a y b, formemos la sucesión de números:
Ía1 , a2I = m2, [m1, a,J = m,, ... , !mn - 1o anl = mn·
El número mn obtenido de este modo será el minimo común
múltiplo de todos los números dados.
En efecto, (J, b), los múltiplo.s comunes de los número.s a1 y Oz
coinciden con los múltiplos de m2, por lo cual los múltiplos
comunes de los números a 11 a 2 , y a 3 coinciden con los múltiplos comunes de mi y a 3 , es decir; coinciden con los múltiplos
de m 3 • Luego nos convencemos de que los múltiplos comunes
de los números a1 , a 1 , a 3 , a, coinciden con los múltiplos de m 4 ,
etc., y, finalmente, de que los múltiplos comunes de los númerosª" a 1 , . . . • a,, coinciden con los múltiplos de mn, y como
el menor múltiplo positivo de m,. es el mismo m,,, éste
f 4. ALOORITMO DE EUCLIDES Y LAS FRACC. CONTINUAS
es el
mínimo común
Oz, · · · •
ªn·
múltiplo
de dos números
2/
ai.
Exam inando la demostración expuesta , vemos que el teorema I, b subsiste también para más de dos números. Además,
nos convencemos de que se verífica el siguiente teorema:
El mínimo común múltiple de números que son primo.; dos
a dos es igual al producto de los mismos.
a. Sea a cualquier número real. Desig·
§ 4. Relación
del algoritmo nemos con la letra q, el mayor entero que
de Eoclldes con no supera a a . Si a no es entero, se tiene
las f racclones
1
continuas
a = q, + - ; ª2 > l.
Exactamente igual, si a 2 ,
tiene
••• ,
ª•-•
ª•
no son enteros, se
1
a,_,- q,_,+; a,> 1,
ª•
en virtud de lo cual obtenemos el ·siguiente desarrollo de a
en fracción continua:
l
+ q,_,+a;
1.
(1)
b. Si a es irracional, todos los números ª • son irracionales
(si a , fuese racional, en virt ud de (1), resultada ta mbién ara·
cional) y el proceso indicado puede prolongarse indefini ·
da mente.
Si a es racional y~ por consiguiente, puede expresarse por
una fracción racional irreducible con denominador positivo:
a=
el proceso indicado será finito y puede efPCtuarse me·
T,
1%
CAPI TULO 1 TRORIA DE LA DI VISIBILIDA D
diante el algoritmo de Euclides. En efecto se tiene:
a
1
-¡;=q,+,,-.
a = bq1 + rz;
,,
r2
= Qt
+
1
r1 '
r3
J .
- =q,._, + -'A-t
'n-t
'n
Tn-1
'"-' = r,.q,.;
a
-¡;= q, +
1
9a+q-+
J
.
l
· ·+ -.
q,.
c . Los números q" q2 , • • . , que figuran en el desarrollo del
número a en fracción continua, se llaman cocientes incompletos
(en caso de et racional, según b, éstos son los cocientes incompletos de las divisiones sucesivas del algoritmo de Euclides),
las fracciones
6, = q, + -
- -,,,- . ...
qi+q;
se llaman reducidas.
d. Fácilmente se halla una ley muy simple de formación
de las reducidas, observando que 6, (s > 1) se obtiene de 6,_1
sustituyendo los números q,_1 por q,_, + _!_
en la expresión
q,
literal 6,. 1 • En efecto, haciendo para unificar P0 = l. Q0 =O,
podemos representar sucesivamente las fracciones reducidas
en la forma siguiente (aquí se escribe la igualdad
~ = ~:
23
4 . ALOORITMO DE EUCLIDES Y LAS FRACC. CONT INUAS
para designar A con la notación P. y B con la notación
"
q,
Q.) :
P1
ua = -¡- = Q.•
q, + ...!....
l!i = _ _q•_ = M!±..!.. =
1
q1 • I +o
q.Ps + Po
qaQs +Qo
1
( q1 + -q
•. ) P 1 +Po _ q3Pa+P1
1
- q3Q1 + Q1
Q1 Qo
( q•
+ q;-)
+
= !.!
Qa '
P,
= Q3
etc, y, en general,
ll. = q.P...1 + P...., _ P.
q.QH + Q•-l
- e¡;•
Por lo tanto, los numeradores y denominadores de las fracciones reducidas los podemos calcular sucesivamente por las
fórmulas
P. = q.P.-1+P•-2• }
Q. = q.Q._, + Q.+
(2)
Es útil realizar estos cálculos según el esquema siguiente
(las últimas dos columnas se escriben solamente en el caso en
que
ci
tivo:
es una fracción irreducible con el denominador posi-
ci
=
f ):
q,
q.
P.
o
q• .. .
q,.
24
CAPITULO 1 TEOIUA DE LA DIVISIBILIDA D
Ejemplo. Desarrollemos en fracción continua el número ' ; .
Aquí
~;s
_ij~
___m-+
_l_J-4-
lJ
+
»
Por esto. el esquema indicado anteriormente da:
q,
3
2
3
2
Q,
o
2
11
47
105
4
17
38
e. Examinemos la diferencia 6, - 6,_ 1 de dos fracciones
reducidas consecutivas. Para s > 1 hallamos
l5
• - 6•- t
P,
21:.
e¡; -
P,_1
h,
Qa-t = Q.Q,_s ·
donde h, = P,Q,_1 - Q,P,_1 ; poniendo en lugar de P, y Q.
sus expresiones (2) y haciendo las simplificaciones evidentes,
obtenemos h, = - h,_. . Esto último, junto con h 1 = q, ·O - 1·1 = - 1 da h, = (- 1)'.
Así, pues,
P,Q,_1 -Q,P, _1 = ( - !)"
{s >O),
{3)
6, - 6._. = C- I)'
Q,Q, _.
(s> 1).
Efemplo. En la tabla del ejemplo expuesto en d, s1: tiene
105 · 17- 38 . 47 = (-1) 6 = - l.
(4)
f 5. l'IUMeROS PRI M OS
f . De (3) se deduce que (P,, Q,) divide a (- 1)'
=±
25
1 (2, b,
§ 1). Por esto (P ,, Q,) = 1, es decir, las fracciones reducidas ~
son irreducibles.
g. Supongamos que s :;i.. 2 y que 6, no es igual 11 a. Las
expresiones para 6,_1 y para ll, se obtienen fáci lmente de la
expresión (1) para a: la primera, sustituyendo...!... por cero,
ª•
la segunda , sustituyendo _!..._ por el número J_ . Pero de las
ª•
iguald11des indicadas en a para
comprobamos que
q,
ª •-•• ... , a 2 , a,
a 1 hacer
I• strund ..
a l hacer
la primer•
su-1lltuctón
)U1t1tucl6n
a,_ 1 tf1sminuye,
aumenta,
ª •-3dlaminuye,
ª•-t
fácilmente
a 1 • 1 aumenta,
a,_1 disminuye,
a,. 3 aumenta,
y que, finalmente, al hacer una de dichas sustituciones a
d isminuye, y al hacer la otra a aumenta. Esto último muestra
que uno de los números 6 1 _ 1 y ll, es menor que a, y el otro
es mayor que a, y que, por lo tanto, a está comprendidD entre
ll,_, y 6,.
h . Se tiene
1
1a -6,_1 ¡ ~ Q.Q,,_, ·
En efecto, si 6, = a este aserto se deduce (con el signo de
igualdad) de (4). S i ll, no es igual a a , se deduce (con el s igno
de desigualdad) de g y de (4).
§6. Números
primos
a. El número 1 sólo tiene un div isor
positivo, precisamente 1. En este sentido
el número 1 en la sucesión de números naturales, es particu lar.
Todo entero mayor que 1 t iene a 1 menos dos div isores, pre·
cisamente 1 y él mismo; si con estos divisores se agotan todos
26
CAPITULO 1 TEORIA DE LA DIVISIBILIDA D
los divisores positivos del número entero, éste se llama primo.
Un entero mayor que 1, que tenga además de 1 y de sí mismo
otros divisores positivos, se llama compuesto.
b. El divisor menor, distinto de la unidad, de un entero mayor
que la unidad, es un número primo.
En efecto, sea q el divisor menor, distinto de la unidad, de
un entero a > 1. Si q fuese compuesto tendría un divisor q 1
con la condición 1< q1 < q; pero el número a, siendo d ivisible por q. tendría que ser divisible también por q 1 (1, b,
§ 1), y esto contradice a la hipótesis respecto del número q.
c. El divisor menor, distinto de la unidad, de un número
comp11esto a (según b, 11ene que ser primo) no es superior
a Va.
En efecto, sea q este divisor, entonces a = qa., a 1 ~ q, de
donde, multiplicando y simplificando por a., obtenem~
rt.
a~
q ~ Va.
d. la cantidad de números primos es infinila.
La validez de este teorema se deduce de que, cualesquiera
que sean los números primos distintos Pi. pz, .•. , PA•
se puede obtener un número primo nuevo que no está comprendido entre ellos. Tal es el divisor primo de la suma
P1 Pz ... PA + 1, el cual, dividiendo a toda la suma, no
puede coincidir con ninguno de los primos Pi. p 2 , • • •
. . .. PA (2, b, § 1).
e. Para· formar la tabla de números primos que no superan
a un número dado N, existe un método sencillo, denominado
criba de Eratóstenes. Este consiste en lo siguiente.
Escribamos los números
1, 2, .... N.
(1)
El primer número de esta sucesión que es mayor que la unidad
es el 2; éste sólo es divisible por J. y por si mismo y, por consiguiente, es primo.
t 6. UNICIDAD DE LA DESCOMPOSICION EN PACT. PRIMOS
21
Borremos de la sucesión (1) (como compuestos) todo.41 los
números que son múltiplos de 2, a excepción del mismo 2.
El primer número no borrado que le sucede al 2 es el 3; éste
no es divisible por 2 (pues en caso contrario estarla borrado),
por lo cual 3 sólo es divisible por 1 y por sf mismo y, por
consiguiente, es primo.
Borramos de la sucesión (1) todos los números que son múl·
tiplos de 3, a excepción del mismo 3. El primer número no
borrado que le sucede al 3 es el 5; éste no es divisible por 2 ni
por 3 (pues en caso contrario estaría borrado). Por consi·
guiente, 5 sólo es divisible por 1 y por si mismo, por lo cual,
también es primo. Etc.
Cuando se hayan borrado del modo indicado todos los números que son múltiplos de los números primos menores que
un número primo p, todos los números no borrados, menores
que p'. serán primos. En efecto, cualquier número compues·
to a, menor que p 1 , ya está borrado, por ser múltiplo de su
divisor primo menor, el cual ~Va< p. De aquí se deduce
que:
l. Al comenzar a borrar los múltiplos de un número primo p,
hay que empezar a borrar desde p'.
2. la formación de la tabla de números pritTWS ~ N se termina
en cuanto se hayan borrado todos los números compuestos que
son múltiplos de los números primos que no son superiores
aYN.
§ 6. Unicidad
de la
descomposición
en factores
primos
a. Todo e11teru a, o es primo con un número
primo dado p, o es 4ivisible por p.
En efecto, (a, p), siendo un divisor de p,
puede ser igual a 1 o a p. En el primer
caso a es primo con p, en el segundo a
es divisible por p.
b. Si el producto de varios factures es diuisible por p, al menos
uno de /Qs factores es diuisible por p.
28
C APITULO 1 T EO RIA DE LA DIVISIBILIDAD
En e.recto, (a), cada factor es primo con p o es divisible por p .
SI todos los factores fuesen primos con p, su producto (3, f .
f 2) seria primo con p; por esto, al menos uno de los factores
es divisible por p .
c. Todo entero, magor que la unidad, se descompone en un
producto de factores primos y, además, de modo único, si no
se tiene en c~nta el orden de los factores.
En efecto, sea a un entero, mayor que la unidad; designando
con la letra p, su divisor primo menor, se tiene a = p 1a 1•
Si a,> 1, designando con la letra Pz su divisor primo menor,
se tiene a, = Pif.lz. Si a2 > 1, de un modo semejante se obtiene a 2 = p:1J 3 , etc, y asl hasta que se llegue a obtener un
número a,. igual a la unidad. Entonces ªn-t = Pn· Multiplicando todas las igualdades obtenidas y efectuando la s im·
pllficación, resulta la siguiente descomposición del número
a en factores primos:
a = P1P2 · · · Pn· ·
Supongamos que para el mismo número a existe también una
segunda descomposición en factores primos a = q1q2 ...
. . . q,. Entonces
P1P2 · • · p,. = q,qz · · · q,.
El segundo miembro de esta Igualdad es divisible por q 1•
Por lo tanto (b), al menos uno de los factores del primer
miembro tiene que ser div isible por q1• Supongamos, por
ejempla, que p 1 es divisible por q1 (el orden de numeración
de los factores está a cargo nuestro); entonces Pi =
..- q 1 (p1 ademés de 1 es divisible por p,). Simplificando ambos
miembros de la Igualdad por p 1 = q1, se tiene P2P• ... p,. =
""' q,¡¡, ... q,. Repitiendo el razonamiento anterior para
esta l¡ualdad, obtenemos p 3 ... p,. = q3 ... q,, etc. Continuamos asl hasta q ue a l íin y al cabo en un miembro de la
igualdad, por ejemplo, en el primero, se simplifiquen todos
los factores. Pero simultáneamente tienen que simplificarse
S 6. UNICIDAD DE LA DESCOMPOSICION EN FACT. PRIMOS
29
también todos los factores del segundo miembro, puesto
que la igualdad 1 = qn +• . .. q, siendo Qn+s •• • ., q, superiores a 1, es imposible.
Por lo tanto, la segunda descomposición en factores primos
es idéntica a la primera.
d. En la descomposición del número a en factores primos
algunos de ellos pueden repetirse. Designando con las letras
p,. p 2 , •• . , P• los primos distintos que figuran en dicha
a 2 , • •• ,
sus órdenes
descomposición y con las letras
de multiplicidad en a, obtenemos la llamada descomposición
canónica del núml!ro a en factores:
ª"
ª•
Ejemplo. La descomposición canónica del número 588 000 es:
588000 = 21 · 3· 5' · '72.
e. Sea a =-· p~ip~z ... p:k la descomposición canónica del
número a. Entonces todos los divisores de a son lodos los
números de la forma
d --
p"•p~z
pll4 .
1 2 .... '
( 1)
En efecto, supongamos que d divide a a. Entonces (b, § 1)
a = di¡ y, por consiguiente, todos. los divisores primos de d
figuran en la descomposición canónica de a con exponentes
no menores que los exponentes con que ellos mismos figuran
en la descomposición canónica de d. Por esto d tiene la forma (l) .
Recíprocamente, todo número d de la forma (1) es, evidentemente, un divisor de a.
Ejemplo. Se obtienen todos los divisores del número 720 =
= 24 · 32 · 5 haciendo recorrer en la expresión 2ll13l12So• a
p,, p2 , P3 • independientemente unos de otros, los valores
p1 = O, l. 2, 3, 4; P2 = O, 1, 2; ~3 =O, l. Por esto, los
.'IO
CAPITULO 1 TEORIA DE LA OIVISl81LIDAO
divisores indicados son: l, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12. 24, 48,
9, 18, 36, 72, 144, 5, lO, 20, 40, 80, 15, 30, 60, 120, 240,
45, 90, 180, 360, 7'20.
Prefl•t1la1 refer•ntes al capitulo /
l. Sean a y b enteros, no simultáneamente iguales a cero.
y sea d = ax0 + by 0 el número posit ivo menor de la forma
ax + by (x e y son enteros). Demostrar que d = (a, b).
Deducir de aquí el teorema 1, d, § 2 y los teoremas e, § 2.
Generalizar estos resultados, considerando los números de
la forma ax + by
+ fu.
2. Demostrar que la fracción reducida 6, representa al número ex con más exactitud que cualquier fracción irreducible
+ ...
~que cumpla la condición O< / < Q,.
3. Supongamos que el número real a se ha desarrollado en
una fracción continua; sea N un entero positivo, k el número
de sus cifras decimales y n el entero mayor que cumple la
+
l. Para la
condición Q,. ~ N. Demostrar que n ~ 5k
demostración se deben comparar las expresiones para Q2 ,
Q 3 , Q,, ... , Q,. con las que éstos tendrían si todos los q,
fuesen iguales a 1, y comparar luego con los números 1, t
f.1 , . . . . tn-t, donde f. es la raíz positiva de la ecuación
f.' = f.+ l .
4. Sea -i- ~ 1. Una sucesión de fracciones racionales irreducibles, dispuesta!! en orden de crecimiento, con denominadores positivos no superiores a -i-, se llama sucesión de Farey
correspondiente a 't.
a. Demostrar que la parte de la sucesión de Farey corre~
pondiente a -r, que contiene fracciones ce con la condic:ión O~ ex~ 1, puede obtenerse del modo siguiente: escrl-
bimo.s las fracciones-} .
+·
fracciones introducimos
también la
Si 2 ~ 't, entonces entre estas
fracción
~ t : = -}.
PREOUNTAS REFERENTES AL CAP. 1.
31
después, en la sucesión obtenida
.f. f , +entre
rracciones consecutivas :; y ;:
con b1 + d 1 ~ T introduci-
mos la fracción :: : ;; , etc,
cada dos
y así continuamos siempre que
esto Sea posible. Demostrar previamente que para cualquier
par de fracciones consecutivas
.¡. y 7 de la sucesión
obte-
nida de este modo, se tiene ad-be = -1.
b. Considerando la sucesión de Farey, demostrar el teorema:
sea -r > 1, entonces cualquier número real a se puede expresar
en la forma
p
8
a. = Q+QT; O<Q~T, (P,Q) = I, 181< 1.
c. Demostrar el teorema de la pregunta b, aplicando r. § 4.
5, a. Demostrar que hay una cantidad infinita de números
primos de la forma 4m + 3.
b. Demostrar que hay una cantidad iníinita de números primos de la forma 6m + 5.
6. Demostrar que la cantidad de números primos es infinita,
calculando para ello la cantidad de números, no superiores
a N, en cuyas descomposiciones canónicas no figuran núme·
ros primos distintos ·de Pi. pz, ... , PA·
7. Sea K un número entero positivo. Demostrar que en la
sucesión de números naturales hay un conjunto infinito de
sucesiones M, M
1, . .. , M
K - 1, que no contienen
números pl'imos.
8. Demostrar que entre los números representados por el
lloX" + G¡X" " 1 + ... + Gn, donde
n > Q,
polinomio
a0 , a 1 , • • • , On son enteros y a0 >O, hay un conjunto infi·
nito de números compuestos.
9, a . Demostrar que a la ecuación indeterminada
x' + y1 = z', x >O, y> O, z > O, (x, y, z) = l (l)
+
+
satisfacen aquellos sistemas x, y, z, y sólo aquéllos, en los
32
CAPI TULO 1 TIWRIA DI! LA DIVISIBILIDAD
que uno de los números x e !J tiene la fonna 2uu, el otro tiene
la fonna u' - rJ y, finalmente, z tiene la forma u1 + r/';
en este caso u > v >O. (u, u) = I ~ uv es par.
b. Aplicando el teorema de la pregunta a, demostrar que
la ecuación xt + y' = z' es irresoluble en enteros positivos
X,
!/• Z.
10. Demostrar el teorema: si la ecuación xn + a,xn- 1 +
+ ... +a,, = O, donde n > O y a., . . .• a,, son enteros,
tiene una ralz racional, esta raiz es un número entero.
1
1
1
11 , a. Sea s = 2 + 3 + ... +ñ; n> l. Demostrar que S
no es entero.
1
1
1
b. Sea S= 3 + 5 + ... +2n+I; n>O. Demostrar que S
no es entero.
12. Sea n entero, n >O. Demostrar que todos los coefi·
cientes del desarrollo del binomio de Newfon (a + b)" son
impares cuando, y sólo cuando, n tiene la forma ~ - J.
Ejercicios nt11Jurlcos referMte• al capitulo J
1, a. Aplicando el algoritmo de Euclides, hallar (6 188, 4 709).
b. H1llar (81 719, 52 003, 33 649, 30 107).
1
2, a . Desarrollando el número cr; = : ; en fracción continua y lor·
mando la tibia de fracciones reducidas (d, 1 4), hallar: a) <h. Pl la
expresión de a en la forma Indica da en la pregunta 4, b, considerando
T - 20.
5391
en fracción continua y formando la tabl a
b. Desarrollando cr; =
3976
de fr acciones reducidas, hallu: a) &,, Pl la expresión de cr; en l a lorma
Indicada en la pregunta 4, b. considerando T = 1 000.
a. Form1r la sucesión de fracciones de Farey (pre¡unla 4) desde O hasta I,
exc.luyendo 1. con los denominadores no superiores a 8 .
4. Formar fa tabla de números primos menores de 100.
6, • · Hallar la descomposición canónica def número 82 798 848.
b. Hallar la descomposición canónica del número 81 057 226 635 000.
CAPITULO SEGUNDO
Las funciones más importantes
de la teo ría de los números
§ J, Fo nclones a. En la teorla de los números desempeña
(x], {x}
un papel importante la función (xi; ésta
se define para todos los va lores reales de x y representa el
entero mayor, no superior a x. Esta función se llama parte
entera de x.
Ejemplos.
(71 = 7;
(2,6) = 2;
(-4,751 = - 5.
A veces se considera también la función {x}
= x-
lxl.
Esta función se llama parte fraccionaria de x.
Ejemplos.
{7}
= O;
(2,6}
= 0,6;
(-4,75) = 0,25.
b. Para mostrar la µtilidad de las funciones introducidas,
demostremos e l teorema:
El exponente, con el que un número primo dado p figura en el
producto ni , es igual a
[%]+[;i]+f ;,] + ...
En efecto, el número de factores en el producto ni que
son m últiplos de p, es igual a [
de p 2 hay
[;a J;
%J. entre ellos,
múltiplos
entre estos últimos, múltiplos de p 3 hay
:u
CAP ITULO 11 LAS PUHt:loNi;s MAS 1/0\POltTANTl!S
[-¡.. j,
ek. La suma de los números indicados da precisa-
mente el exponente buscado. puesto que cada factor en
producto ni que sea múltiplo de pm, pero no de p""'l,
cuenta del modo indicado m veces, como múltiplo de
pi, p', ... , y, finalmente, de p"'.
Ejemplo. El exponente con el que el múmero 3 figura
el producto 401 es igual a
el
se
p,
en
l~ J+ [ ~ J+ [~ J= 13 + 4 + 1 = 18.
§ 2. S11mas
a. En la leoria de los números desempeextendtdas
ñan un papel particularmente importante
a loa dlolsor es las funciones multiplicativas. Una funde
nómer o c1.on
•
. 11ca
. , 100,
.
s1. se
8 (a) se 11ama mu 111p
cumplen las condiciones siguientes:
f. lA función 6 (a) está definido. para todos tos enteros posilioos a y no se anula para ningún a de éstos.
2. Para cualesquiera positiuos a 1 y a 2 , primos entre sí, se
•n
tiene
Ejemplo. Fácilmente se observa que es multiplicativa la
función 6 (a) = a', donde s es un número real o complejo
arbitrario.
b. De las propiedades Indicadas de la función 8 (a) se deduce,
en particular, que 8 (1) = 1. En efecto, supongamos que
8 (ao) no es igual a cero, entonces 6 (o 0 )
8 (1 ·a0 ) =
8 (1) 8 (a 0), es decir, 8 (1) = l. Además, resulta la siguiente propiedad importante: si 8 1 (a) y 8 2 (a) son funciones
multiplicativas, entonces
(a) =: 8, (a) 82 (a) también es
una función multiplicativa. En efecto, se tiene
=
=
ª•
ªº
( 1) = 8, (1) 82 ( 1)
=
l.
• 1. SUMAS EXTENDIDAS A LOS DIVISORES O E UN NUMERO
J6
Además, para (a1, a 2) = 1, obtenemos:
60 (a,az) = 0, (a,az) 62 (a1a2) =
= 0, (a,) 0, (az) 62 (a,) 9, (az) =
= 61 (a,) 62 (a,) 91 (as) 91 (az) =
= &o (a1) &o (az).
c. Sea 0 (a) una función multiplicaJiva y sea a = p~•p~ ...
. . . p:"' la descomposición canónica del número a. Designando con la notación ~ la suma, extendida a todos los
d'-.o
divisores d del número a, se tiene
~ 0 (d) = (1
d~
+ 0 (p 1) + 9 (p:) + .. . + & (~1))
. ..
1
(p:"'»
. .. ( 1 +a (PA) + 9 (Pl) + ... +a
(en el C{J$() a = 1 se supone que el segundo miembro es igual
a 1).
Para demostrar esta identidad, abramos los paréntesis en el
segundo miembro. Se obtiene una suma de términos de la
forma
& (p~I) a (p~2) ... e
= 0 (p~1p~· .. . P!"');
(P!"'>
0-<~1-<ª1· 0-<~2-<ª2•
... , 0-<~11.-<ai..
donde ninguno de tales términos se omite y no se repite más
de una vez; esto es (e, § 8, cap. 1), precisamente, lo que
figura en el primer miembro.
d. Para 0 (a) = a' la identidad e toma la forma
+ ~ + p~· + ... + p~1 )
· · · (1 + Pk + P~ + · · · + P:"'').
~ d' =
d'-.4
1
(1
•••
(1)
En particular, para s = 1 el primer miembro de (1) representa la suma de los divisores S (a) del número a. Simplifi·
cando el segundo miembro, obtenemos:
a 1+t
I °'l+t I
a11¡+I
Pt
P2
P11.
- 1
S(a) = - -- · - -- . . .
•
Pi -
1
p¡-1
P11. -
I
36
CAPITULO 11 LAS PUNCIONES MAS IMPORlAN TES
Ejemplo.
S(720) = S (2'·32 ·5) =~
2 - 1 · ~·~
3-1
f> - 1 = 2 418.
Para s = O el primer miembro de (1) representa el número
de divisores "C (a) del número a, y se tiene:
"C (a) = (a1 + 1) (cx 1 + 1) . .. (a,. + 1).
Ejemplo.
T (720) = (4 + J) (2 + J) (l + J) = 30.
§ 3. Fanclón
a. LA función de M óbius µ (a) se define
de M6bl11s
para todos Jos enteros positivos a. Esta
se determina por las igualdades: µ(a) = O s i a es divisible
por un cuadrado distinto de la unidad; µ(a) = (- l f,
si a no es divisible por un cuadrado distinto de la unidad,
donde k denota el número de divisores primos del número a ;
en particular, para a = 1 se considera k = O, por lo cual
admitimos que µ (1) = l.
Ejemplos.
µ(5)= -1. "(9) = o.
µ(l )= l.
µ(10) = l.
µ(2) = - 1, µ (6)= 1,
µ (3) = - 1. µ(7) = - 1, µ(ll) = -1,
µ (12) = 0.
µ(8)=0,
µ(4) = 0,
b. Sea 6 (a) una /unción multiplicaJiua y sea
a=
p~tp~
. .. p~A
la descomposición canónica del núnrero a. Entonces
~ µ(d)0(d) = (t'-0(p1)){ 1-9(p2)) ... (1-9(p,.)).
"'4
(En el caso a =
1 se supone que el segun.do miembro es igual
a l).
En efecto, la función µ (a), evidentemente, es multiplicativa.
Por esto, es multiplicativa también la función 81 (a) =
= µ (a) a (a). Aplicando a esta última la identidad c, § 2
f
4. PUNCION oe euLl!R
37
y teniendo en cuenta que e, (p) = - 8 (p);. e, (p') =o para
s > l, nos convencemos de que el teorema es justo.
c. En particular, haciendo 8 (a) = 1, de b obtenemos
O, si a> l.
14 (d) = {
a
1, si a=I.
~
Haciendo 8 (d) =
~, resulta
d. Suponganws que a los enteros positivos
6 = 6¡, 62. . .. ' 6,.
les corresponil.en cualesquiera ualores reales o complejos f =
= /1. f 2, ... , f,.. En/onces, designando con la rwtación S'
fa suma de los ualores f que correspon<kn a los ualores iguáles
a I, y con la notación Sd la suma de los t1alores f que corresponden
a los valores 6 que sen múltiplos de d, se tiene
S'= ~µ(d)Sd,
donde d recorre lodos los números enteros positivos que dividen
al menos un ualor 6.
En efecto, en virtud de e, se tiene
S' = f1 ~ µ(d)+/i ~ 14(d)+ • .. +
d'lJ1
d'\f1
fn ~
14(d) .
if\,lJ,.
Reuniendo todos los términos con un mismo valor de d y sacando fuera de paréntesis µ (d), obtendremos entre paréntesis
la suma de aquellos números f, y sólo aquéllos, cuyos 6 correspondientes son m.Jltiplos de d, y esto es precisamente Sd.
§ 4. Fanclón
de Etder
a. la función de Euler q> (a} se define
para todos los enteros positivos a y representa Ja cantidad de números de la sucesión
O, l. ... , a - 1
(1)
que son primos con a.
38
CAPITULO 11 LAS PUNCIONES MAS IMPORTA NTES
EJtmplOI.
1j>(I) = I,
cp(4) = 2,
cp (2) = I,
cp(3) = 2.
cp (5) = 4,
cp(6) = 2.
b. Sea
a = p~t P'?
... p~ll
(2)
la tkscomposici6n canónica del número a. Enlonces
cp(a)=a
(1-i} (1 -;, ) ... (1 -
;J ,
(3)
o también
q>(a) = (p~1-p~t - l){p':1-p~t-I) .. . (p:• - p:ll- 1);
(4)
en particular,
cp (p") = p" - po.- 1,
q> (p) = p -
(5)
l.
En efecto, apliquemos el teorema d, § 3. En este caso, los
los números / 11 los definimos así: Supongamos
números
que k recorre los números de la sucesión (1). Hagamos
=
= (k, a) y ·a cada valor
le ponemos en correspondencia el
número f• = l.
Entonces S' será igual al número de valores de B. = (k, a)
que son iguales a 1, es decir, será igual a q> (a), mientras que
Sd será igual &I número de valores de Bll = (k, a) que son
múltiplos de d. Pero (k, a) puede ser múltiplo de d solamente
bajo la oondición de que d sea un divisor de a. Cumpliéndose
esta condición, sd será igual al número de valores de k que
a. y
ª•
ª•
son múltipfos ded, es decir, será Igual a
7. Así, pues, resulta
cp(a)= ~ 11 (d)7 ,
"'º
de donde, en virtud de e, § 3, se deduce la fórmu la (3), y
de esta última , en v irtud de (2), se ded uce la fór mula (4).
PREGUNTAS REFERENTES AL CAP. 11
Ejemplos.
cp(60) = 60 {
1--4-) (1-~) (1·--}) =
cp(81) = 81-27 = 54;
39
16;
cp(5) = 5- 1=4.
c. LA función q> (a) es mult1plical1Va.
En efecto, para (as. a 2) = 1 de b, evidentemente, se deduce
que
q> (a1aa)
=
q> (as) q> (a2)·
Ejemplo. q> (405) = q> (81) cp (5) = 54 ·4 = 216
d. ~ q1(d}=a.
d '.G
Para verificar esta fórmula, aplicamos la identidad e, § 2,
la cual para 8 (a) = q: (a) da
~ cp(d} = (I -f- cp(p¡}+ cp(p:) + · · · +cp(pf•)) ...
d'.a
. . . (1
+ cp (P•) + q> (pl) + ... + cp (p:•)).
En virtud de (5) el segundo miembro se escribe así:
(1 + (p,-1) + (p:-P 1) +
· .. -f-(pf'-pf•- 1)) . • •
.. · (1 +(p_.- l ) + (pl-PA) + ... + (p:- - p:A-
1
)).
lo cual, después de reducir los términos semejantes en cada
paréntesis grande, resulta ser igual a {P,' ¡P,• . .
=a
Ejemplo. Haciendo a = 12, hallamos
p:A
"' (l)
+ cp (2) + cp (3) + cp (4) + q> (6) + q> (12)· =
= 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4 = 12.
Preg11nto1 referente11 al eoplt11lo 11
I, a. Supongamos que en el intervalo Q ~ x ~ R la función
y no negatíva. Demostrar que la s uma
f (x) es continua
~ lf (.t))
Q<x~R
4JJ
CAPITULO 11 LAS PUNCIONF.S MAS IMPORTANTES
expresa el número de puntos enteros (puntos de coordenadas
enteras) de la región plana: Q < x ~R. O< g ~ f (x).
b. Sean P y Q números positivos impares, primo5 entre si.
Demostrar que
~
[ P
Qx]
LJ
Q
+
O<:r<-,
~
[ Q
- 1 Q- 1
P Y] =P2-·-2-·
~
p
O< Kz
c. Supongamos que r >O y sea T el número de puntos
enteros que hay en la región x2 + gz ~ r2 • Demostrar que
d. Supongamos que n >O y sea T el número de puntos
enteros que hay en la región x >O, g >O, xg ~ n. Demostrar-que
~
T=2
f7J - 1VñJ
2
•
O<~Vñ
e. C.Onsideremos un pollgono, cuyos vértices son puntos enteros y cuyo contorno no se corta consigo mismo y no es tangente
a si mismo. Sea S el área del poligono y T = ~ 6 - J, donde
la sumación se extiende a todos los puntos enteros que están
situados. en el interior del pol(gono y en su contorno, siendo
6 = 1 para 106 puntos Interiores y 6 = 0,5 para los puntos
del contorno. Demostrar que T = S.
2. Supongamo& que n >O, m es entero, m > 1 y x recorre
los nCuneros enteros positivos que no son divisibles por la
m-ésima potencia de un entero superior a 1. Demostrar
que
~ ÍV: ] = !nJ.
lt
PRl!OUNTAS Rl!PERENTES AL CAP. 11
41
3. Supongamos que los números positivos et y p son
tales que
fa.xJ; X= 1, 2, . . . ; IPyJ; Y = 1, 2, ...
forman conjuntamente todos los números de la sucesión
natural sin repeticiones. Demostrar que esto se cumple
cuando, y sólo cuando, et es irracional y
1
1
(l+-¡ = 1.
(TI~ 1, l = [T) y sean Xs. x 2 , • • • , x, los números 1, 2.... , l, dispuestos en tal orden que los números
4, a. Sea
º·
(a.x.}, {a.xi} •...• {a.xi}. 1
no decrezcan. Demostrar el teorema de la pregunta 4, b,
cap. 1, considerando las diferencias de los números consecutivos de la última sucesión.
b. Sean Ts. Tz, . . . , T1t números reales, cada uno de los
cuales no es menor que 1; supongamos que et 1, et 2 , • • • , a ...
son reales. Demostrar que existen unos números enteros
ts. tz, ... , t.... no simultáneamente iguales a cero, y un
número entero 'l· que satisfacen a las condiciones:
.... lt1tl~ T1t, (t., tz, ... ,tJt,'IJ)= 1,
1
1et1t1 + etJz + ... + et...t...-Tt l< T1T1 ... TJt .
ltsl~Ts. ltzl~Tz,
5. Sea
et
real y e entero, e> O. Demostrar que
6, a. Sean et, p, .... A números reales. Demostrar que
!et + p + ... + Al ~ letl +I PI + ... + !Al.
b. Supongamos que a, b, . .. , l son enteros positivos,
a + b + . . . + l = n. Aplicando b, § l, demostrar que
ni
al bl ... 11
e.s un número entero.
42
CAPITULO 11 L AS FUNCIONES MAS IMPORTANTES
7. Supongamos que h es entero, h >O, p es primo y
Representando h en la forma h = p,,.u,,. + Pm -•"m - 1 +
donde u,,. .es el máximo u, no superior
a h, p,,.u,,. es el máximo múltiplo de u,,. no superior a h,
p,,. - 1Um -s es el máximo múltiplo de u,,. - t no superior a h - p,,.u,,., p,,. - 2Um - 2 es el máximo múlti'plo de u,,. - i no superior a h - p,,.u,,. - p,,. _,u,,. -s. etc, demostrar que los números a que satisfacen a la condición de que en la descomposición canónica de a! el número p figura con el exponente h,
existen cuando, y sólo cuando, todos los números p,,.,
p,,. - s. . . . , Pi· Po soñ menores que p; además, en este caso
los números a indicados son todos los de la forma
.. . + P1U1 +Po.
a
=
PmP"'+l
+ Pm -1Pm + · · · + P1P' + PoP + p' ·
donde p' toma los valores: O, 1, .. ., p - l.
8, a. Supongamos que en el intervalo Q ~ x ~
ción
f (x)
R la fun·
admite derivada segunda continua. Haciendo
1
p(.r)=2-{.r}.
..
f p(1)dz ,
a(x) =
b
demostrar que (fórmula de Sonin)
11
O<z.,11
11
f(x) =
J/(x)dx + p(R)f(R) -
p(Q)f(Q)-
Q
¡
11
-a(R)/'(R)+a(Q)/'(Q)+
a(x)f"(x)d.x.
b. Supongamos que se cumple la condición de la pregunta
a para R arbitrariamente grandes, y que la integral
PREGUNTAS REFERENTES A L CAP. 11
..
Í 11" (x) 1d:c es convergente.
43
Demostrar que
Q
~
f (x) =
O«z~ll
11
=C+ Jf (x)dx +
..
p(R)f(R)-a(R)f'(R) -
Q
Í a(x)f"(x)dx.
11
donde C no depende de R.
c. Si B toma solamente valores positivos y la razón ~
permanece acotada superiormente, se escribe A
Sea n entero, n > l. Demostrar que
In (ni)
=
=
O (B).
n In n - n + O (In n).
9, a. Sea n ::;;¡,. 2, 0 (z, Zo) = ~
In p. donde p recorre los
"><P~•
números primos. Sea también 0 (z) = 0 (z, O) y para x >O
ip(x)
= 0(x)+0(Vi) + e(Vi)+ . . .
Demostrar que
ex)
In (In JI)= "1(n)+1j> ( i-)
+ 'IJ (-i) +
.. . ;
P) 1P (n) < 2n;
y) e ( n,
i) +e (-i. T) + 0
=
(
i. i) + . · · ~
n In 2+o(Vñ).
b. Para n > 2 , demostrar que
~
p~ n
':P
=In n + O (1),
donde p recorre números primos.
U
CAPITVl..0 11 l..AS PUNCI O NES MAS IMPO R T ANTES
c. Sea e una constante positiva arbitraria. Demostrar que
en la sucesión de números naturales existe un conjunto infinito de pares de números primos p11 , p,.+ 1 que satisfacen a la
condición
Pn+t
<
p,. (1
+ e).
d. Sea n > 2. Demostrar que
~
p ~n
f = C + ln lnn + O c:J,
donde p recorre números primos y C no depende de
11 .
e. Sea n > 2. Demostrar que
fl (1 - ~)=1~~(1 -+ 0 c:n)).
J)~ n
donde p recorre números priinos y C 0 no depende den.
f. Demostrar la existencia de una constante s0 > 2 con la
condición de que para cualquier entero s > s0 , para el s-ésimo
número primo p. de la sucesión 2, 3, 5, .. . se verifica la
desigualdad
p.< l,S., In s.
fl. Demostrar que
a
q>(a)
= O (In lna).
10, a. Sea 9 (a) una función multiplicativa. Demostrar que
91 (a)= ~ 9 (d) también es una función multiplicativa.
b. Supongamos que la función 9 (a) está definida para todos
los enteros positivos a y que la función "1 (a)= ~ 9.(a) es
""'
"'ª
multiplicativa. Demostrar que Ja función 9 (a) también es
multiplicativa.
11. Supongamos que, para m > O, 'tm (a) denota el número
de soluciones de la ecuación indeterminada X1Xi • •• Xm =
= a (x1, x 1 , • •• • x,,. recorren loe números enteros positivos
PREOUNTAS REPERl!NTl!S AL CAP. 11
45
independientemente uno de otro); en particular, es evidente
que T 1 (a) = 1, T 2 (a) = 't (a). Demostrar que
a. 'tm (a) es una función multiplicativa.
b. Sea p un número primo, a ;;;,.: O y m > 1. Entonces
(
Tm P
ex)
=
(a+ l)(a+2} ... (a+m-1)
1·2 .•. (m-1)
'
c. Si e es una constante positíva arbitraria, se tiene
lim Tm (a}= O.
a.-+CD
d.
~
'tm (a)
0
8
expresa el número de soluciones de la desi-
O<~n
gualdad x 1x 2
•••
Xm~n
en números enteros positivos
x 11
Xz, •• • , Xm·
12. Supongamos que R (s) representa la parte real del
número s.
Si R (s) > 1, hacem~
t (s) = ~ ~. .
Sea m >O,
m es
n-t
entero. Demostrar que
..
(t (s))m = ~ T"'n~n) .
-·
13, a. Siendo R (s) > 1, demostrar que
t{s)=
rr-'-1 '
1-p•
donde p recorre todos los números primos.
b. Demostrar que la cantidad de números primos es infinita,
basándose en la divergencia de la serie armónica.
c. Demostrar que la cantidad de números primos es infinita,
basándose en la irracionalidad del número
1
t (2)
=
'i?·
14. Sea A (a) = In p para a = p , donde p es primo y l
es un entero positivo; A (a) = O para los otros enteros posi·
46
CA PIT ULO 11 LAS FUNCIONES MAS IMPORTANTE S
tivos a. Siendo R (s) > l, demostrar que
C' (s)
C(s)
..
=_
~
/\ (n)
;!.J
n•
•
n ~I
15. Sea R (s) > l. Demostrar que
donde p recorre los números primos.
18, a. Sea n ~ l. Aplicando d, § 3, demostrar que
1
= ~
11 (d)
O<d ~n
b. Sea
que
M(z, 10) =
a)
~
11 (a);
ro<~•
r: l
M(x) = M(x,
M(n)+M(~)+M(~) +
... = I, n:;;i.1 ,
~) M(n,i) +M(i· ~) + M( i •
+ ... = -
0). Demostrar
i)+
1, n~2.
c. Supongamos que n ;;i: 1, l es entero, l > 1, T 1 , n es el
número de enteros x con la condición O< x ~ n, que no
son divisibles por la l-ésima potencia de un entero superior
a l. Aplicando d, § 3, demostrar que
..
T,, n = ~ 11 (d)
r;, J.
d- 1
17, a. Supongamos que a es entero, a> O, y que para los
enteros x1, x 2 , • . • , Xn se ha definido unlvocamente una
función f (x). Demostrar que
S' = ~ 11 (d) Sd.
..
~
donde S' denota la suma de los valores de f (x), extendida
a los v.alores de x que son primos con a, y Sd es la suma de
PllEGUNlAl> REFERENlE:. Al. l:AP. 11
47
los valores de f (x), extendida a los valores de x que son múlti·
plos de d.
b. Supongamos que k > 1 y que se han dado los s istemas
x;.
x;, .. . , xí.; x;, x;, .. ., xl;
.. . ; x~n>, x~">, .. .. x1n>,
donde cada uno de ellos consta de númP..ros enteros no simul·
táneamente iguales a cero. Supongamos también que para
estos sistemas se ha definido unívocamente una función
f (xi. x2 . .... x~ ). Demostrar que
S' =
L µ (d)S,¡ ,
donde S' denota la suma de los valores de f (x., x 2, . • •• x~).
extendida a los sistemas de números primoo entre sí, y sd
es la suma de los valores de f (x1, x 2 , • . ., x~). extendida
a los sistemas de númc~os que son simultáneamente múltiploo
de d. Aquí d recorre números enteros positivos.
c. Supongamos que a es entero, a> O, y que para los divi·
sores 6 del número a se ha definido unívocamente una función
F (6). Haciendo
G(ó) = ~ F(d),
"' º
demostrar que (la ley de inversión para las funciones numé·
ricas)
F (a) = ~ µ (d) G ( ~) .
"'ª
d. Supongamos qué a los enteros posi tivos
Ós. Ó2, · · ., Ón
les corresponden cualesquiera números reales o comp lejos,
no iguales a cero:
Demostrar que
P'
= f] P: <4 l.
donde P' denota el producto·de los valores f que corresponden
a los valores 6 que son iguales a l. P" denota el producto
48
CAPITULO ll LAS FUNCIONES MAS IMPOR T ANTES
de los valores f que corresponden a los valores 6 que son múltiplos de d, y d recorre todos los número.s enteros positivos
que dividen al menos a un 6.
18. Supongamos que a es entero, a > \, Om (n) = \m +
+ 2m + ... + nm, "1m (a) es la suma de las m-ésimas potencias de los números de la sucesión 1, 2, . . . , a que son
primos con a; p., p 2 , •• :• p- son los divisores primos del
n6mero a.
a. Aplicando el teorema de la pregunta 17, a , demostrar
que
~ µ(d) d"'om (:).
"1m(a) =
"'º
b. Demostrar que
'1>1 (a)= ; cp (a).
c. Demostrar que
2
'l>i (a)= ( ~
+(-51)- PtPz ... P~) cp (a).
19. Supongamos que z > 1, a es entero, a> O, T, es la
cantidad de números x con las condiciones O < x ~ z.
(x, a) = 1,, e es una constante positiva arbitraria.
a. Demostrar que
T, =
~
µ(d)r;
1·
d'\tJ
b. Demostrar que
T, =
¡} cp {a) +O (a•).
c . Supongamos que z > 1, n (z) denota la cantidad de números primos no superiores a z, a es el producto de los números
primos no superiores a Vz. Demostrar que
n <z> =
n (vz) - 1 + ~
d' o
1-1 (d)
r71 ·
PREOUNTAS REFERENTES Al. CAP. 11
49
20. Supongamos R (s) > I, a es entero, a> O. Demostrar
que
1 = C(s)
~ ' -;¡;-
lI ( 1-p.1 ) ,
donde n recorre en el primer miembro los números enteros
positivos que son primos con a, y p recorre en el segundo
miembro todos los divisores primos del número a.
21, a. La probabilidad P de que k números entero6 positivos
x 1, x 1 , • • • , x, sean primos entre sí, la definire.nos como
el límite para N - oo de la probabilidad P 11 de que sean
primos entre sí k números x,, x 2 , • • • x~. a cada uno de los
cuales, independientemente de los demás, se le ha asignado
uno de los valores 1, 2, . .. , N, los cuales se consideran
como valores igualmente posibles. Aplicando el teorema
de la pregunta 17, b, demostrar que P = (C (k)) - 1•
b. Definiendo la probabilidad P de que la fracción .! sea
11
Irreducible del mismo modo que en la pregunta a para k = 2.
demostrar que
6
P=nr·
22, a. Supongamos que r ~ 2, y sea T el número de puntos
enteros (x, y) situados en la región x 1
y 1 :i;;;;; ,a, y cuyas
coordenadas son números primos entre si. Demostrar que
+
6
T = nri ¡- O(rlnr).
b. Supongamos que r ~ 2, y sea T el número de puntos
enteros (x , y, z) situados en la región x' + y' + z' :i;;;;; ,S,
y cuyas coordenadas son números primos entre si. Demostrar
que
T=
3(' Z3> ,a + o(r ).
23, a. Demostrar el teorema e, § 3, contando los divisores
del número a que no son divisibles por el cuadrado de un
entero superior a 1 y que tienen 1, 2, .. . divisores primos.
.j()
CAP! íULO 11 L AS l'UNCC.ONl!S MAS lll\POIHANTE5
b. Supongamos que a es entero, a> 1, d recorre los divisores
del número a que tienen no más dem divisores primos. Demostrar que para m par, ~ I' (d) ;;;i:: O, y para m impar, ~ 11 (d} ~
~o.
c. En las condiciones del teorema d, § 3, considerando que
todos los valores f son no negativos y haciendo recorrer a d
solamente los números que tienen no más de m divisores primos, demostrar que
S' ~ ~ 11(d)Sd.
S' ::;;¡-.. ~ 11 (d) Sd
según que m sea par o impar.
d. En las condiciones de la pregunta 17, a, demostrar unas
desigualdades iguales a las de la pregunta e, considerando
que todos los valores de f (x} son no negativos; hacer lo mismo
también en las condiciones 17, b, considerando que todos
los valores f (x1 , Xz, . . . , x.) son no ,negativos.
24. Supongamos que e es cualquier constante con las condiciones O< e<-}. N ;;;i:: 8, r = In N.O< q ~ N1 - •, O~ l <
< q, (q, l) = l, n (N, q, l) es la cantidad de números primos
con las condiciones: p ~ N, p == ql + l, donde t es entero.
Demostrar que
n(N, q, 1) = 0(.6);
Nr"
!l = rcp (q}
•
Para la demostración, haciendo h = r•-o.••. los números
primos con las condiciones indicadas se deben considerar
como un caso particular de todos los números con estas condiciones que son primos con a, donde a es el producto de
todos los primos que no son superiores a 11' y que no dividen
a q. ~ debe apJlcar el teorema de la pregunta 23, . d (condiciones de ta pregunta 17, a) con el a indicado y m =
= 2 {2 In r + IJ.
26. Supongamos que k es par, k >O, la descomposición
canónica del número a tiene la forma a = P1Pi ... p~
y d recorre los divisores del número a con la condición
EJERCICIOS NUMER ICOS REFERENTES AL CAP. 11
O< d
51
< Va. Demostrar que
~ µ (d) = O.
d
26. Supongamos que k es entero, k > O, d recorre los números
con la condición q> (d) = k. Demostrar que
~µ(d) ='"' O.
d
27. Utilizando la expresión de q> (a), demostrar que la can·
tidad de números primos es infinita .
28, a. Demostrar el teorema d, § 4, estableciendo que la
cantidad de números de la sucesión 1, 2, ... , a que tienen
con a un mismo máximo común divisor 6, es igual a e¡> (
b. Deducir la expresión para q> (a}:
a) aplicando el teorema de la pregunta 10, b;
p) aplicando el teorema de la pregunta 17. c.
29. Sea R (s) > 2. Demostrar que
f) .
~
,._,
~
!tl!L= t<•-1).
n•
t(r)
30. Sea n entero, n :;;.. 2. Demostrar que
"
~ cp (m) = :
_,
2
n1
+O (n In n).
EJ1rcl,Jo1 11•""rüo1 r1f1r1nt11 oJ eopJlolo JI
1, a. Hallar el exponente con el que el número 5 figura en la descom·
posición canónica de 5 2581 (vhse 11 pregunt1 5).
b. Hallar la descomposición tanónlca del número 1251
2, a. Hallar t (S 600) y S (5 600).
b. Hallar t (1 16 424) y S (116 424).
3. Formar la tabla de los valores de la !unción I' (a) para todos los
a= 1, 2, . . . , 100.
4. Hallar a.) cp (S o.40), ~) cp (1 294 700).
5. Formar l• labia de los valores de la !unción f (a) para lodos los
a = 1, 2, .. . , 50, aplicando solamente la lórmula (S), 4 4 y el leo·
rema e, 4 <&.
CAPITULO TERCERO
Congruencias
§l. Conceptos a. Vamos a estudiar Jos números enteros
tJndanuntales en relación con los restos de la división
de los mismos por un entero positivo m dado, al cual lo llama·
remos mbdulo.
A cada número entero le corresponde el resto de su división
por m (e, § I, cap. 1); si a dos enteros a y b les corresponde
un mismo resto r, éstos se llaman congruentes según el mMulo
m, o respecte del mbdulo m, o simplemente, congruentes módu·
lom.
b. La congruencia de los n6meros a y b respecto del módulo
m se escribe asl:
f
a - b (mód. m).
lo cual se lee: a es congruente con b respecto del módulo m.
c. la congruencia de lolJ n~ros a y b respecto del mMulo
m a equioal.ente a:
1. la pocibilidad de expresar a en la forma a = b + mt,
dMde tes entero.
2. la divisibilidad de a - b por m.
En efecto, de a
=i
b (mód. m) se deduce que
a=mq+r. b - mq, +r;
O~r<m.
f 2 . PROPll!OADl!S DI! LAS CO NORUl!NCJAS
de donde
a - b = m (q - q 1), a = b
63
+ mt,
t = q - q,.
Redprocarnente, de a = b + mt, representando b en la forma
b = mq1 + r, O ~ r < m,
deducimos que
a = mq + r ; q = q1 + t,
es decir,
a = b (mód. m).
Por esto, la afirmación l es justa.
De 1 se deduce inmediatamente la afirmación 2.
a. Dos números que son congruentes con
§ 2. Propiedades
de las
con11r11enclas,
un tercero, S>n congruentes enlre sl.
Se deduce de a, § l .
b. Las congruencias se p~n sumar
semejantes a
las propled<Mks
de 108
lfl•Oldades
a1 s b1 (mód. m),
término a término.
En efecto, sea
a2
1a
b1 (mód. m), .. ..
ª• = b,. (mód. m).
(1)
ª•
(2)
Entonces, (1 , e, § l),
a 1 = b1
+ mt.,
a1
= b2 + mt2 ,
•• • ,
= b,.
+ mt,.,
de donde
ª' + a,+ .. . ª• =
= b1 + b2 + . . . + b,. + m (t1 + 12 + .. . + t,.),
o sea. (1 , e, § t),
a, + Oz + . .. + a,. a b1 + b2 + ... + b,. (mód. m).
Un sumando que figure en un miembro cual.quiera de la con-
gruencia se puede pasar al otro miembro, cambldndof.e el
signo.
En efecto, sumando la congruencia a + b :a e (mód. m)
con la congruencia evidente - b - - b (mód. m), resulta
a e e - b (mód. m).
54
CAPITULO 111 CONORU!NCIAS
A cada miembro de una congruencia se le puede sumar (o restar)
cualquier número que sea múltiplo del módulo.
En efecto, sumando la congruencia a = b (mód. m) con la
mk =
congruencia evidente mk s O (mód. m). resulta a
s b (mód. m).
c. las congruencias se pueden multiplicar término a tér·
+
mirw.
En efecto, examinemos de nuevo las congruenc ias (1) y las
igualdades (2) que se deducen de ellas. Multiplicando término
a término las igualdades (2), obtenemos
a,ai . .. a,. = b,bz . .. b,.
+ mN,
donde N es entero. Por consiguiente, (1, e, § 1),
a,az ... a_..
0
b1b2 ... b11 (mód. m).
Ambos miembros de la congruencia se pueden elevar a una
misma potencia.
Esto se deduce del aserto anterior.
Ambos miembros de la congruencia se pueder1 multiplicar por
un mismo entero.
En efecto, multiplicando la congruencia a a b (mód. m)
por la congruencia evidente k = k (mód. m), obtenemos
ak 511 bk (mód. m).
d. Las propiedades b y e (la adición y multiplicación de
congruencias) se generalizan mediante el siguiente teorema.
SI en la expreai6n de una funci6n racional entera de coeficien·
ta enteros
se suslilugen los números Aa 1, ••• , ª-'' x1, ... , x,. por los
números Bal' .. . , ª"' y 1, ... , y,.. los cuales son congruentes
con los anteriores respecto del módulo m, la expresión nueva
de S será congruente con la precedente respecto del módu·
lo m.
4 J
O lRAS P ROPl l!OADES DE LA S C"O NG RU ENCI AS
SS
En efecto, de
A,. 1, • • " .- -Ba., . .. . . "" (mód. m)
x 1 .... y 1 (mod. m), . .. , x . . e. Y• (mód . m)
hallamos (e)
x~1 e: y~1 (mód. m), .. ..
x:" =y:" (mód, m).
Aes .. . . , "-'x~• . .. x:.\ - Bca1• • • • a.... Y~ 1
•• •
!/,.• (mód. ml .
de donde, suma ndo. obtenernos
~ Aa1,
Sl
• ••
ca... x~• ... x: .11 ¡¡¡¡ ~ 8 01 •
a s: b (mód.
m),
a1 a
x -
se lieM
ax" -1 a1x" - • -r
• ,. ...
b 1 (mód . m) . .
y~ •
.. . y:• (mód. m).
a.
=b. (mód.
m) .
x 1 (mód. m),
+ a,. -
+
bx;'
b 1x;'-' +
. + b,. (mód. m ) .
Este aserto es un caso particular del anterior.
e. Ambos miembros de la congruencia se pueden dividir por su
común diuisor, si es/e úllimo es primo con el módulo.
En efecto, si a ::s b (mód. m). a = a1d, b = b,d, (d, m) = 1
resulta que la diferem.:ia a - b, igual a (a, - b 1) d, es divis ible por m. Por eslo (2, f, § 2, cap. ! ) (11 - b1 es divisible
por m, es dec ir. a, a i b1 (mód. m).
¡¡¡¡
§ 3. Otras
a. Ambos miembros de una congruencia
propiedades de y el módulo se pueden multiplicar por
las congraenclas un mismo número Pnlero.
En efecto. de a ;¡¡¡¡ b (mód. m) se deduce que
a = b + mi, ak = bk + mkt
y, por consiguiente, ak = bk (mód. mk).
b. Ambos miembros 4e UllD congruencia y el módulo se pueden
diuidir por cualquier común diuiSQr suyo.
En efecto, sea
a - b (mód. m). a - a 1d, b = b ,d. m 11 m,d
56
CAPITULO 111 CONORUENCIAS
Se tiene
a
= b + mi,
a 1d = b 1d
+ m dl,
1
a, = b 1
+m 1
1
y, por lo tanto, a1 - b 1 (mód. m).
c. Si se verifica la congruencia a 5!!!!! b respecto de varios módu·
los, entonces se veriflea también respecto del módulo que es
igual al mlnimo c.omún múltiplo de estos módulos.
En efecto, de a JS b (mód. m1), a """ b (mód. m2), •• • •
a .. b (mód. m~) se deduce que la diferencia a - b es divisible
por todos los módulos m1 , m 2 , . . . . m~. Por esto, (e, § 3,
cap. 1), también es divisible esta diferencia por el mínimo
común múltiplo m de estos módulos. es decir, a - b (mód. m).
d. Si una congruencia se verifica respecto de un módulo m,
lambiin se verifica respecto de un módulo d que sea igual a cualquier divisor del nú!Tll!ro m.
En efecto, de a - b (mód. m) se deduce que la diferencia
a - b tiene que ser divisible por m; por esto, (1, b, § 1,
cap. 1), esta diferencia tiene que ser divisible también por
cualquier divisor d del número m. es decir, a - b (mód. d).
e. Si un miembro de una congruencia y el módulo son divisibles
por algún nú!Tll!ro, el otro miembro de la congruencia tiene
que ~r divisible por el miS1111) número.
En efecto. de a ~ b (m6d. m) se deduce que a = b
mt;
si a y m son múltiplos de d, entonces (2, b, § I, cap. 1) también b tiene que ser múltiplo de d, como se afinnaba.
f. Si a - b (mód. m), entonces (a, m) = (b, m).
En efeéto, en virtud de 2, b, § 2, cap. 1, esta Igualdad se
deduce Inmediatamente de a = b
mi.
+
+
§ 4. Slnema
completo
de reatoa
a. Los números que dan un mismo resto,
o lo que es lo mismo. los que son congruen·
tes respecto del módulo m, forman una
clase de nú!Tll!ros respecto del módulo m .
De esta definición se deduce que a todos los números de
una clase les corresponde un misino resto r, por lo cual,
t 4. SISTEMA COMPLETO DI! ltl!STOS
61
+
haciendo recorrer a q en la forma mq
r todos los números
enteros, se obtienen todos los números de la clase.
Correspondientemente a m valores dístlntos de r, se tienen
m clases de n6meros respecto del módulo m.
b. Cualquier número de la clase se llama re&to o re&U:Wo
re&pecto del módulo m con relación a todos los números de
la misma clase. El resto que se obtiene para q = O, igual
al residuo mismo r, se llama reshJ no negatiuo mlnimo.
El resto p que es el menor en valor absoluto, se llama reshJ
absoluto mlnimo.
Evidentemente, si r <
;
se tiene p = r; si r >
p = r -m; finalmente, si m es par y r =
; , se
;
se tiene
puede tomar
por p cualquiera de los dos números ; y ; -m = - ; .
Tomando un resto de cada clase se obtiene un sistema complero
de re&tos respecto rkl módulo m. Por lo general, como sistema
completo de restos se emplean los restos no negativos mini·
mos O, 1, .. ., m - 1 o también los restos absolutos mini·
mos; como se deduce de lo expuesto anteriormente, estos
últimos, en caso de m impar, se representan por la sucesión
m-1
- - 2 - • ... , -
1,
o.
1, ...•
-r.
111 -
l
y en el caso de m par, por una cualquiera de las dos suce·
slones
111
- 2
111
+ 1,
111
... , - 1, O, 1, ... , T •
111
- 2 • ... • - 1, O, I, .. · • 2 - 1.
c. Cualesquiera m números que sean incongruente& dos a dos
respecto del módulo m, forman un sistema completo de restos
rk este módulo.
En efecto, estos números, siendo incongruentes, tienen que
pertenecer a distintas clases, y como en total hay m números,
58
CAPITULO 111 CONGRUENCIAS
es decir, tantos cuantas clases hay, en cada una de las clases
tiene que haber, indudablemente, un número único.
d. Si (a, m) = 1 y x recorre el sistema completo de restos respec·
to del módulo m, entonces ax + b, donck b es un entero cualquiera, también recorre el sistema completo de restos respecto
del módulo m.
En efecto, hay tantos números de la forma ax + b cuantos
números x hay, es decir, m. Según e, no queda más que mostrar que dos números cualesquiera ax1
b y ax2 b, que
corresponden a dos números incongruentes x 1 y x 2 , son también incongruentes entre sí respecto del módulo m.
Pero suponiendo que ax1 + b = ax2 + b (mód. m), se obtiene
la congruencia ax1 - ax2 (mód. m), de donde, en virtud de
que (a, m) = 1, resulta x 1 - x 2 (mód. m), lo cual contradice
a la incongruencia de los números x 1 y x 2 •
+
§ 6. Sistema
red11cldo
de renos
a. En virtud de f, § 3, los números de
una misma clase respecto del módulo m
tienen con el módulo un mismo máximo
común divisor. Son de suma importancia las el~ para
las cuales este divisor es igual a Ja unidad, es decir, las clases
que contienen números que son primos con el módulo.
Tomando sendos restos en estas clases, se obtiene el sistema
reducido de restos respecto del módulo m . Por consiguiente, el
sistema reducido de restos se puede formar de los n6meros
del sistema completo que son primos con el módulo. Ordina·
rlamente, el sistema reducido de restos se extrae del sistema
de restos no negativos mínimos: O, 1, .. . , m - l. Como
entre éstos hay cp (m) números que son primos con m, la can·
tidad de n6meros del sistema reducido, así como la cantidad
de clases que contienen n6meros primos con el módulo,
es igual a cp (m).
Ejemplo. El sistema reducido de restos según el módulo 42 es
l. 5, 11 , 13. 17. 19, 23. 25. 29. 31, 37, 41 .
te
TEOREMAS DE EULER Y PERMAT
59
b. Cualesquiera <¡> (m) números que sean incongruentes dos a dos
respecto del módulo m y que sean primos con el módulc, forman
un sistema reducido de restos según el módulc m.
En efecto, estos números, siendo incongruentes dos a dos
y primos con el módulo, tienen que pertenecer a distintas
clases que contienen números que son primos con el módulo,
y como en total hay <¡> (m) de tales números, es decir, tantos
cuantas clases hay del tipo indicado, en cada una de las
clases habrá, indispensablemente, un número único.
c. Si (a, m) = 1 !I x recorre el sistema reducido de restos según
el módul.o m, ax también recorre el sistema reducido de restos
según el módulo m.
En efecto, hay tantos números ax cuantos números x hay,
es decir, <¡> (m}. Por lo tanto, en virtud de b, no queda más
que demostrar que los números ax son incongruentes dos
a dos respecto del módulo m y son primos con el módulo.
Pero lo primero se demostró en d, § 4 para los números de
la forma más general ax + b; lo segundo se deduce de que
(a, m) = l, (x, m) = 1.
§ 6. Teoremas
de Ealer
y Fermat
> 1 !I (a, m)
rema de Euler):
a, Si m
=
1 se tiene (teo-
Q'Plm> - 1 (mód. m).
En efecto, si x recorre el sistema reducido de restos
x = ri. r2 , . . .. r0 ; c = <¡> (m),
formado por los restos no negativos mínimos, entonces los
restos no negativos mínimos Pi. p 2 , . . . , Pe de los números
ax también recorren el mismo sistema, pero, generalmente.
dispuestos en otro orden (c, § 6).
Multiplicando término a término las congruencias
ar, ao Pt (mód. m), ar 2 = Pi (mód. m),
... , ar< Pe (mód. m),
obtenemos
a<r,r2 ... '•..., P1P2 .. . Pe (mód . m).
=
60
CAPITULO 111 CONGRUENCIAS
de donde, dividiendo ambos miembros por el producto
r1ri . . . '• = P1P2 .. . p. , resulta
á- -
l (m6d. m).
b. Sí p es primo y a no es divisible por p, se
tie~ (teorema
de
F~rmal):
aP- 1 -
l (mód. p).
(1)
Este teorema es una consecuencia del teorema a para m = p.
Al último teorema se le puede dar una forma más cómoda.
Precisando, si se multiplican ambos miembros de la congruencia (1) por a, se obtiene la congruencia
aP - a (mód. p).
la cual es válida ya para todos los valores enteros de a, puesto
que también es válida si a es múltiplo de p.
Pr•6•nta• r•/•rentH al &opltalo 111
l, a. Expresando los números enteros en el sistema decimal
de numeración, deducir los criterios de divisibilidad por
3, 9, ll.
b. Expresando los números enteros en el sistema de numera·
clón de ha.se 100, deducir el criterio de divisibilidad por 101.
c. Expresando los números enteros en el sistema de numera·
clón de base l 000, deducir los criterios de divisibilidad
por 31•. 1, lJ, J3.
2. Supongamos que m > O, (a, m} = l, b es entero, x recorre
el ~istema completo y ~ el sistema reducido de restos res·
pecto del módulo m: Demostrar que
ci)
~
•
{ax:b} = -}Cm-1),
PIU!OUNTAS Rl!Pl!Rl!NTl!S AL CAP . 111
61
3, a. Supongamos que m >O (a, m) = 1, h ).J. O, e es real
m-1
S = ~ { ~+my(.c)}'
-o
donde W(X) para los valores considerados de X toma valores
que cumplen la condlclón e.<. '11 (x) .<.e+ h. Demostrar que
¡s--}ml<h+i·
b. Supongamos que M es entero, m > 0, (a, m) = 1, A y B
son reales,
Jl+m - 1
A=~+..!..m
mi•
S=
~
_,,,
{Ax+B}.
Demostrar que
1s-iml-<-P·l+f·
c. Sea M entero, m > O, (a, m) = I,
M+Wl-l
~ {f (x)},
-"
donde la función f (x) admite derivadas continuas f' (x)
y r(x) en el intervalo M~x.<.M+m - 1, y se cumplen
las condiciones
S=
f'(M)=:+:1
;
(a,m)=I; 10J<I,
~.<.Jr(x)I.<.~.
siendo
1
1-<. m .<.'f,
'f =
Ai,
A.-;. 2,
k).J. J,
Demostrar que
js--}m l<•t3·
4. Supongamos que en el desarrollo del número irracional A
en fracción continua todos los cocientes incompletos están
acotados, M es entero, m es entero, m > O, B es real.
b:J
CAPI TULO 111 COH OR IJE H CIA S
Demostrar que
.w+'"- 1
~ (Ax -t- B} ={m + O(ln m).
-11
6, a . Supongamos que A > 2, k ~ 1 y que la función f (x)
admite derivada segunda continua en el intervalo Q ~ x ~
~R. la cual satisface a las condiciones
1
k
A" ~1 r<x>l ~11·
Demostrar que
~ {/(x)) = {<R - Q) + M ;
¡t:lj< I ,
O:!fx :!fR
1
A= (2k1(R- Q) lnA + 8kA ) A- i.
b. Supongamos que O< a~ 1, Q y R son enteros. En las
condiciones de la pregunta a, demostrar que el número
~(a) de fracciones {! (x)}; x = Q + l. ... , R con la con·
dición O~ f (x) < o se expresa por la fórmula
,,, (a) = a (R - Q) + 9'-2&; 1e'1 < l.
e, a. Sea T Ja cantidad de puntos enteros (x. y) que hay en
la reglón x' + JI ~ r' (r ~ 2). Demostrar que
1
T=
nr +0(r3 In r).
b. Supongam0-1 que n es entero, n > 2, E
de Euler. Demostrar que
'f (I) +'f (2) + ... +<t (n) = n(lnn + 2E -
el
la constante
t
1) +o (n¡ ( In n)').
7. A un sistema den números enteros positivos, en que cada
número viene expresado en el sistema de numeración de
base 2, lo llamaremos regular, si para cualquier entero no
negativo 1 la cantidad de números, en cuya e.xpreslón figura
2', es par, e irregular, si al menos para un s este número
es Impar.
l'REOUNTAS REFE RENTl.!S AL CAi'. Jll
6.:1
Demostrar que un sistema. irregular se puede hacer regular
disminuyendo o excluyendo completamente un solo término
del mismo, y en sistema regular se hace irregular disminuyendo o excluyendo completamente cualquiera de sus ténni·
nos.
8, a. Demostrar que la forma
3nXn
+ 3n-1X11- 1 + · · · + 3x1 + Xo,
donde Xn, x,._s. . . ., Xi. x 0 recorren independientemente
uno de otro los valores - 1, O, 1, representa lodos los números
-H, . . ., - 1. O, 1, ...• H ;
H- ~
S- 1 .
y, además, cada núme.ro, de un modo único.
b. Sean ms. m2, . .. , m,. positivos, primos dos a dos. Aplicando e, § 4, demostrar que se obtiene el sistema completo
de restos respecto del módulo m1m2 , . . • , m,., haciendo
recorrer a los números .r1, x 2 , •• ., x_. en la forma
x, + m1Xz + m1mi.rs + ... + m1mz ... m.._,x"
los sistemas completos de restos respecto de los módulos
mi. m1, ... , m_..
9. Sean m1, m2 , ••
m1m2 ... m,.
.,
m,. primos dos a dos y sea
= M1m1 = M7111z = ... = M,.m ...
a. Aplicando e, §· 4, demostrar que se obtiene el sistema
completo de restos respecto del módulo msmz .. . m,.,
haciendo recorrer a los números x 1, Xz, . ... x" en la
fonna
M1x1 + M,.tz + . . . + M,.x,.
los sistemas completos de restos respecto de los módulos
ms. mz, .. ., m,..
b. Aplicando e, § 4, cap. 11 y b, § 6, demostrar que se obtiene
el sistema reducido de restos respecto del módulo m1m2 . ..
. . . m_., haciendo recorrer a los números x1, x1 , . . . , x,.
64
CAPITULO 111 COHORUBNCI AS
en la forma
+ M.xi + ... + M,,x,.
M1X1
los sistemas reducidos de restos respecto de los módulos
m11 m1 , ••• , m•.
c. Demostrar el teorema de la pregunta b independientemente del teorema e, § 4, cap. 11 y deducir entonces el último
teorema como consecuencia del primero.
d. Hallar de un modo elemental la expresión para cp (/11-) y,
aplicando la igualdad e, § 4, cap. 11, deducir la expresión
conocida para cp (a).
10. Sean m1 , m2 , •• ., m• primos dos a dos, superiores a 1,
m = mama .. . nt 11 ; m = M,m,.
a. Supongamos que xi. x1 , • . ., x,., x recorren los sistemas
completos de restos, y ~.. ~2. . . . . ~•• ' los s istemas reducidos de restos respecto de los módulos m1, m2 , •• ., m,., m.
Demostrar que las fracciones
... +~}
{ ~+~+
lllt
llla
m,.
coinciden con las fracciones { ~ } , y las fracciones
{ ~ + ~ + ... + : }
con las fracciones {
! }.
b. Sean dadas k funciones racionales enteras de coeficientes
enteros de r variables x, .. ., w(r> 1):
f• (x, ••• , ro) =
~
CI, • • • t
0
~! .... a ~ ... ~;
s ..,. I, ... , k,
y aea
f (x,
..• , w) =
c0 •
x,, ... , "'•
y
~.
~ c... .. .. o xº .•• ~;
m, •• , 6
•
•• ••
o - ] M,4°,1 •••• o:
recorren los sistemas completos de restos
• •. , co, los sis temu reducidos de restos respecto del
PREGUNTAS REFERENTES AL CAP. 111
65
módulo m,; x , ... , w recorren los sistemas completos de
restos y ~. . •• , w los sistemas reducidos de restos respecto
del módulo m. Demostrar que las fracciones
{
fdJCi. .. ., ui,)
m1
+ ... +'lt (1C1t,
coinciden con las fracciones {
f(JC, ;,; ·'
.... ..,,.)}
m11.
ai)}
y las fracciones
.... "'1l + •.. +l1t!E11..... , C111t)}
{ fdEi. nlt
m,.
con las fracciones { 1 <~.
;,; " "')}
(generalización de los teore-
mas de Ja pregunta a).
11, a. Supongamos que m es entero, m >O, a es entero,
x recorre el sistema completo de restos respecto del módulo m.
Demostrar que
~ inl ~
¿,,J
e
m
m, si a es múltiplo de m.
O en caso contrario.
{
=
b.Supongamos que a: es real, M es entero, P es entero,
P >O. Designando con la notación (a:) el valor absoluto de
la diferencia entre a: y el número entero más próximo a a:
(distancia de a: al entero mas próximo) demostrar que
N~-1
1
~
eZniaxj"'min
(P.
x~ M
h('-));
~
h~
{2~m~
( ) 1
SI <X ~- •
3 , ·.
6
c. Supongamos que m es entero, m > 1 y que las funciones
M(a) y P(a) para los valores a= 1, 2, .... m - 1 toman
valores enteros con la condición P (a)> O. Demostrar que·
m-1
M(o)+P(o)-1
-•
z-Al(o)
~j
~
211t~:c
e"'
J<
m In m - !!!...
in (2 (!!!...] + 1) ,
3
6
mlnm-;,sim-:;>12,
1mlnm-m,
si m > 60.
66
CAPITULO 111 CONGRUE NCIAS
12, a. Supongamos que m es entero, m > O, ~ recorre el
sistema reducido de restos respecto del módulo m. Demostrar que
- -~ 2nl J_
µ(m)= t'e
m.
b. Aplicando el teorema de la pregunta a, demostrar el
primero de los teoremas c, § 3, cap. 11 (véase la resolución
de la pregunta 28, a, cap. 11) .
c. Deducir el teorema de la pregunta a, aplicando el teorema
de Ja pregunta 17, a, cap. 11.
d. Supongamos que - -- - - - - - - - - - - -
! (x,
... , w)~
... .. .. 6
c.. , ... , x« ... ufl
es una función racional entera de coeficientes enteros de r
va.rlables x , .. . , w (r ~ l), a es entero, mes entero, m >O;
x, ... , w recorren el sistema completo de restos y t. . ... C1>
el sistema reducido de nstos respecto del módulo m . Introducimos las notaciones
.
..
:im a/(11,
S.,,,,.= ~ ...
~e
s~ .... =~
~e
...
••• , ID)
"'
,
2111 al(J, '· ·' •)
"'
.
Supongamos también que m = m 1 ••• m¡¡, donde m1 , • •• • m,.
son primos dos a dos, superiores a l, y sea m = M,m, .
Demostrar que
Sal, "'1 •••
s..,., ....,., =8111º1+· .• +11,.,..,.,• ....
s~ 1 • ...1 • •• s~.....,., = Sí.,..1+ .. .+"'-'º•· ....
e. Con las notaciones de la pregunta d, hacemos
A(m)-m_,. ~80 , ,,. ,
•
A' (m)-m-• ~~·"''
•
donde a recorre el sistema ceducido de restos respecto del
módulo m.
l!JERCICIOS NUMl!RICOS REPERENTES AL CAP. 111
67
Demostrar que
A (m1)
A' (m1 )
A (m1 ) = A (m),
A' (m1 ) =A' (m).
• • •
•••
13, a. Demostrar que
o-1
qi(a)-=
~
,._o
fI {
P
1-*
p-1
""
~ etnt-¡;-) •
-o
donde p recorre los divisores primos del número a.
b. Deducir la expresión conocida para q> (a) de la ídentldad
de la pregunta a.
14. Demostrar que
-r(a)=2
~
+~
:r-l
ol
/m"i' +6,
O<r<Yo ._O
donde 6 = 1 6 6 = O, según que a sea el cuadrado de un
número entero o no lo sea.
15, a . Supongamos que p es primo y htt hz, ... , h0 son
enteros. Demostrar que
(ha + hz + , ..
h 0 )P - hf
hf
(mód. p).
b. Deducir el teorema de Fermat del teorema de la pregunta a.
c. Deducir el teorema de Euler del teorema de Fermat.
+
+ + · · . + ":
Ejerclclo1 n•mlt'lco• refer•nt11 al capll•lo 111
1, a. Hallar el resto de la div isión de
+
b.
2,
el
b.
(12 371..
34)11 por 111.
1
¿Es divisible el numero 2 "'-2 por 1 0931?
a. Aplicando los criterios de divisibilidad de la prerunta t , hallar
desarrollo c.1n6nlco del n6mero 244 943 325.
Hallar el desarrollo c.1n6nlco del n6mero 282 321 246 671 737.
CAPITULO CUARTO
Congruencias con una
incógnita
§ l. Conceptos Nuestro objetivo próximo es el estudio
/11n4amentales de las congruencias de la siguiente forma general:
f (x) a;;Q (mód. m); f (x) = ax" + a 1x"- 1 + . . . + an(I)
Si a no es divisble por m, el número 11 se llama grado de la
C()ngrue11Cia.
Rtgj/rJer la congrW!ncia, significa hallar todos los valores
de x que la satisfacen. Dos congruencias, a las que satisfacf'.n
unos mismos valores de x, se llaman equivalentes.
Si a la congruencia (1) la satisface algún x = Xi. entonces
(d, 1 2, cap. 111) a la misma congruencia la satisfacen tam·
bién todos los números que son congruentes con x 1 respecto
del módulo m: :e - x 1 (mód. m). Toda esta clase de números
se considera como una solución. Por Jo tanto, Ja rongruencia (1)
tendrá tantas 10luciones cua11tos ratcs del sistema completo
la mtisfagan.
Ejemplo. A la congruencia
x' + X + 1 - 0 (mód. 7),
entre los números O, I, 2, 3, 4, 5, 6 del sistema completo de
restos respecto del módulo 7, la satl3facen dos números:
x = 2 y x = 4. Por ello, la congruencia Indicada tiene dos
soluciones:
x - 2 (mód. 7), x - 4 (mód. 7).
S 2. CONOR\JENCIAS DE PRIMER ORADO
§ 2. Con1runcla$
69
a. La congruencia de primer grado, después de trasladar el término independe prlttUr graáo diente (con el signo contrario) al segunoo
miembro, se reduce a la fonna
ax ¡;¡¡¡ b (mód. m).
(1)
b. C.Omenzando a estudiar el problema del número de soluciones de la congruencia (!). nos limitaremos primero al caso
(a, m) = l. En virtud del § 1, la congruencia considerada
admite tantas soluciones cuantos restos del sistema completo
la satisfacen. Mas, cuando x recorre el sistema completo
de restos respecto del módulo m, ax recorre el sistema completo de restos (d, § 4, cap. 111). Por consiguiente, para un
valor de x tomado del sistema completo, y sólo para uno,
ax será congruente con b. As!, pues, si (a, m) = 1 la congruencia (1) admite una sola solución. .
c. Supongamos ahora que (a, m) = d > l. Entonces, para
que la congruencia (1) tenga solución es necesario (e, § 3,
cap. 111) que b sea divisible por d , pues en caso contrario
Ja congruencia (1) sería imposible para algún x entero. Por
esta razón, suponiendo que b es un múltipló de d, hacemos
a
a1d, b = b1d, m = m 1d. Entonces la congruencia ( 1)
(después de haber s implificado por d) resulta equivalente a
a1x - b, (mód. m1), en la cual (a 1, m 1) = 1 y, por lo tanto
admite una solución respecto del módulo m,. Sea x 1 el resto
no negativo mínimo de esta solución respecto del módulo
m1 , entonces todos los números x que forman esta solución
serán de la forma
x a1 x 1 (mód. m1).
(2)
Respecto del módulo m los números (2) forman más de una
solución; forman precisamente tantas soluciones cuantos
números (2) haya en la sucesión O, 1, 2, ... , m - 1 que
sean restos no negativos mínimos respecto del módulo m .
Tales números son:
Xi. x, + ms, x 1 + 2m 1 , • • • , x 1 + (d 1) m1 ,
=
70
CAl"ITULO IV CO NORUl!NCIAS CON UN A INCOG NITA
es decir, en total d numeros (2) y, por consiguiente, la congroeru:ia (1) admite d soluciones.
d. Haciendo un resumen de todo lo demostrado, resulta el
teorema siguiente:
Sea (a , m) = d. La congruencia ax - b (mód. m) es imposible
si b no es diuisible por d. Si b es múltiplo de d, la congruencia
admik d soluciones.
e. Para averiguar las soluciones de la congruencia (l), indicaremos solamente un método, basado en la teoría de las
fracciones continuas; además, es suficiente limitarse al caso
(a, m) = l .
Desarrollando en fracción continua la razón m : a,
m
-¡¡-= q, -1-
1
1
q,+-q3+
1
·+q,.
y considerando las dos fracciones reducidas últimas:
Pn-1
q,;:;-·
P,.
m
Q,;"' = a-·
en v irtud de las propiedades de las fracciones continuas
§ 4, cap. 1), se tiene:
mQ,._1 - aP,.-1 = (- ! )" ,
aP,,_ 1 - (-l)" - 1 (mód. m),
a ·(-l)" - 1P,,_1b - b (mód. m).
(e,
Asf, p1;1es, la congruencia en cuestión admite la solución
x - (- l)"-1P,._ 1b (mód. m),
para cuya averiguación es suficiente calcular P,.-1 según
el método señalado en d, § 4, cap. l.
Ejemplo. Resolvamos la congruencia
11 lx - 75 (mód. 321).
(3)
Aquí (111,321) = 3, siendo 75 múltip lo de 3. Por esta razón,
la congruencia admite tres soluciones.
f <J. SISTl!~A 01! CONO RUl!NCIAS DI! PRIMl!A ORADO
11
Dividiendo ambos miembros de la congruencia y el módulo
por 3, obtenemos la congruencia
37x - 25 (mód. 107),
(4)
la cua 1 debe rd:>lverse primeramente. Se tiene
101
74
¡E_
2
:rr 1 33
33 T
3314
32 T
4
4
»• 1 •
q
2
2
3
8
4
26
107
=
Por lo tanto, en el caso dado n = 4, P,._,
26, b = 25,
y obtenemos la solución de la congruencia (4) en la forma
X -26 ·25 - 99 (mód. 107),
De aquí, las soluciones de la congruencia (3) se e.xpresan asf:
X 99; 99 + 107; 99 + 2 ·107 (nuSd. 321),
es decir,
X -
99; 206;
3)3 (mód. 321).
§ 3. $l$ttma
a. Estudiaremos solamente el sistema
dt congrotncla$ más simple de congruencias
dt prlmtr grado x _ bs (mód. m,),
x- b 2 {mód. ms), ... , x - b11 (mód. m11)
(1)
con una incógnita, pero con distintos módulo.s que son prilTI06
dos a dos.
b. Se puede resolver el sistema (1), es decir, se pueden hallar
lodos los valores de x que le satisfacen, aplicando el teorema
siguiente:
72
CAP I TULO IV CONGRUENCIAS CON UN A INCOONITA
Supongamos que los números M. !I M'. Qienen definidiJs por las
condiciones
m1m 2 ... m,, = M.m.. M,M; - 1 (mód. m,)
Y sea
x 0 = M,M;b, + M 1M~bz + ... + M1cMitb1c .
Entonces el conjunto de valores de x que satisfacen al sistema (1)
se determina por la congruencia
x
== x
0
(mód. m1mz ... m1c).
(2)
En efecto, como todos los números M ;. distintos de M ..
son divisibles por m., para cualquier s = l, 2, . .. , k
se tíene
x 0 &1 M.M;b.
b. (mód. m.),
=
y, por consiguiente, el sistema (1) es equivalente al sistema
x""' x 0 (mód. m,), x == x 0 (mód. mz). ...
. . . , x - x 0 (mód. m,..) (3)
(es decir, a los sistemas (l) y (3) les satisfacen unos mismos
valores de x). Pero, en virtud de Jos teoremas e, § 3, cap. IU
y d, § 3, cap. 111, al sistema (3) le satisfacen aquellas valores de x, y sólo aquellos, que satisfacen a la congruencia (2).
c. Si bi. b2 , • • • , b11. recorren independientemenf.e uno de otro
los sislemas completos de restos respecto de las módulos m,, mz, . . ,
. . . , m,,, entonces x0 recorre el sístema completo de restos respecto
del m6dulo m1mz . . . m11..
En efecto, x 0 recorre m1m2 . • • m11. valores, los cuales, en
virtud de d. § 3 , cap. 111 , son incongruentes respecto del
módulo m,m 2 . . . m,...
d. Ejemplo. Resolvamos el sistema
x - b, (mód. 4), x - b2 (mód. 5), x s b3 (mód. 7}.
=
Aqul 4 ·5 ·7 = 35 ·4
28 .5 = 20 ·1, y además.
35 .;¡ '== 1 (mód. 4), 28 ·2 = l (mód. 5),
20 -6 s 1 (mód. 7).
f 4 CONGRUENCIAS RESPECTO DE UN MODULO P RIMO
73
Por lo tanto
Xo = 35 ·3b1
+ 28 ·2bi + 20 ·6b3 = I05b1 + 56bi + 120b,
y, por consiguiente, e l conjunto de valores de x que satisfacen
al s istema puede expresarse en la forma
+
105bs + 56b2
X -
J20b1 (mód. 140).
Por ejemplo, el conjunto de valores de x que satisfacen al
sistema
x -
1 (mód . 4), x -
es
x-
105 · I
3 (mód. 5), x -
+ 56 ·3 + 120 ·2
&a
2 (mód. 7),
93 (mód. 140),
y el conjunto de valores de x que satisfacen al s istema
x
=
3 (mód. 4),
es
X =
105·3
x - 2 (mód. 5), x a 6 (mód . 7),
+ 56 ·2 +
120 ·6 =: 27 (mód. 140).
§ 4. Congrtien- a. Sea p un número primo. Demostremos
cJas
unos teoremas generales relativos a· ·una
de c"alq,,ler
congruencia de la forma
grado respecto
de tin m6d11lo
f (x) - O (mód. p) ;
primo
f (x) = ax" + a1x" - 1 + ... + a,.. ( 1)
b. Una congruencia de la formtJ (1) es t:quivalente a una con·
gruencia de grado no superior a p - 1.
En efecto, dividiendo f (x) por xP - x, se lienP.
f
(x)
= (xP -
x) Q (x)
+ R (x),
==
donde el grado de R (x) no es s uperior a p - 1. Como x" - x
s O (mód. p), resulta f (x) - R (x) (mód. p). de donde se
deduce el teorema indicado.
c. Si la congruencia ( 1) admite más de n soluciones, lodos los
coef1cienles de/ (x) son múlliphJs de p.
En efecto, supongamos, que la congruencia (1) admite al
menos n
1 soluciones. Designando los res tos de estas
+
74
CAPITULO IV CONGRUENCIAS CON UNA INCOGNITA
soluciones con las letras
expresar f (x) en la forma
f (x) = a (x-x 1) (x- x 2 )
Xi.
•••
+b(x-x1)(x- x 2 )
x2,
podemos
. . .. Xn, Xn ¡.¡,
(x-x,._z) (x-x,. _1) (x-x,.)
•••
+
(x-x,. _2 )(x-x,._1)+
x 1) (x - xz) ... (X - Xn-t) +
+ ......... .. ..... +
+e(x -
+k(x - x 1)(x-x2 )+
x 1) +
+ l(x +m.
(2)
Con este fin, transformando (abriendo paréntesis) los suman·
dos del segundo miembro en polinomios, elegimos b de tal
modo que la suma de los coeficientes de x" - 1 en los dos pri·
meros polinomios coincida con a,; una vez hallado b, elegí·
mos e de tal modo que la suma de los coeficientes de x"-1
en los primeros tres polinomios coincida con a 2 , etc.
Haciendo en (2) x = x 1 , x 2 , • • • , x,., x,.+ 1, sucesivamente,
comprobamos que todos los números m. l, k, ... . e, b, a
son múltiplos de p . Por lo tanto, también son múltiplos de p
lodos los números a, a., ... , a,. (como sumas de números
que son múltiplos de p).
d. Si pes un número primo, se uerifica la congruencia (teorema
de Wilson)
1 ·2 ... (p - 1)
1 == O (mód. p).
(3)
+
En efecto, si p = 2 el teorema es evidente. Si p
ramos la congruencia
(x -
1) (x -
2) . . . (x -
(p -
1)) -
(x"- 1
-
>
1)
!!!11
2 conside-
=
O (mód. p),
ésta es de grado no superior a p - 2 y admite p - 1 solucio·
nes; precisamente las soluciones cuyos restos son 1, 2, ...
. . .. p - l. Por consiguiente. según el teorema c todos sus
coeficientes son múltiplos de p; en particular, también es
J S. CONORUENCIAS RESPECTO DE UN MODULO COMPUESTO 75
divisible por p el término independiente, el cual es precisamente igual al primer miembro de la congruencia (3).
Ejemplo. Se tiene 1 ·2 ·3 ·4 ·5 ·6 + 1 = 721 = O (mód. 7).
§ 5. Congr11en- a. Si mi. m2 , • • • , m• son primos dos a
clas
dQs, la congriuncia
de c11alq11ler
f (x) ~ O (mód. m1mz ... m,,,) (1)
grado respecto
de an m6dolo es equivalente al sistema
comptusto
f (x) O (mód. m1),
=
f
(x)
=O (mód. mz), .. ., f (x)
¡¡¡
O (mód. m,,,).
Además, designando con Ti. T 2 , •• ., T,,, los 1"'meros de soluciona de cada una de las congriuncias de este sistema respecto
de los módulos correspondientes y con T el número de soluciones
de la congriuncia (1), se ti~
T = T1Tz ... T,,,.
En efecto, la primera parte del teorema se deduce de c y d,
§ 3, cap. 111 . La segunda parte se deduce de que cada una
de las congruencias
f (x) s O (mód. m,)
(2)
se cumple cuando, y sólo cuando, se cumple una de las T ,
congruencias de la forma
x
b, (mód. m,)
=
donde b. recorre los restos de las soluciones de la congruencia (2); además, son posibles en total T 1T 2 • • • T., combinaciones distintas de la forma
x
b1(mód. m 1), x
b 2 (mód. m 2), ••• x b,,, (mód. m,,,),
=
=
=
que dan lugar (c, § 3) a clases distintas respecto del módulo
m 1m 2
Ejemplo. La congruencia
f (x) O (mód. 35),
=
•••
f (x) =
m,,,.
x•
+ 2r + Bx + 9
(:J)
76
C APIT ULO IV CONG R UENCIAS CON UNA INCOGNITA
es equivalente al sistema
f (x) = O (mód.
Fácilmente se comprueba
5),
f (x) =
O (mód. 7).
(§ 1) que la primera congruencia
de este sistema tiene 2 soluciones: x ¡¡¡¡ 1; 4 (mód. 5), la
segunda congruencia tiene 3 soluciones: x = 3; 5; 6 (mód. 7).
Debido a esto, la congruencia (3) tiene 2 ·3 - 6 soluciones.
Para hallar estas 6 soluciones, hay que resolver 6 sistemas
de la forma
x b 1 (mód. 5), x ;e b 2 (mód. 7),
(4)
=
las cuales se obtienen haciendo recorrer a b, los valores b,
- 1; 4, y a b 1 los valores b 1 = 3; 5; 6. Pero, como
35
= 7.5 =
5-7, 7·3== 1(mód.5),
=
5·3s 1 (mód. 7),
d conjunto de valores de x que satisfacen al sistema (4) se
apresa en la fonna (b, § 3)
X = 2Jb1
)5bz (mód. 35).
+
Por lo tanto, las soluciones de la congruencia (3) son
X 31; 26; 6; 24; 19; 34 (mód. 35).
b. En virtud del teorema a, la discusión y solución de la
congruencia
f (x) - O (mód. pt•IP,2 ... p~•)
se reduce a la discusión y solución de las congruencias de la
forma
f (x) - O (mód. ¡P);
(5)
como ahora aclararemos, esta última congruencia se reduce
en ¡eneral a la congruencia
f (x) - O (mód.
p).
(6)
En electo, todo x que satisface a la congruencia (5) necesariamente tiene que satisfacer también a la congruencia (6)
Sea
X -
Xi
(mód. p)
t S CONO R UE NCIA S R ESPECTO DE U N MODULO COMPUESTO
n
alguna solución de la congruencia (6). Entonces x = X1 +
+ pt1, donde 11 es entero. Poniendo este valor de x en la
congruencia
f (x) • O (mód. p1 )
y desarrollando el primer miembro según la fórmula de
*/
1 1
Taylor, hallamos (teniendo en cuenta que
- (x1) es
entero y despreciando los términos que son m(Jltiplos de pi):
f (x1) + pt,f' (x1) . . o(mód. p 2 ), f ~·> + t,f' (x1) - 0 (mód. p) .
Limitándonos aquí al caso en que f' (x1) no es divisible por p,
resulta una solución:
t, a;a t; (mód. p); 11
=
t;
+ pti.
=
Xt
+ p'li;
La expresion de x toma 111 forma
X
=
X1
+ pf. + f"lz
poniéndola en la congruencia
f (x) a O (mód. p'),
resulta
f (xz) + p11J' (xi)== O (mód. p 1 ),
1 <~.J + tJ' (xi)-0 (rnód. p).
p
Aqul /' (xi) no es divisible por p, puesto que
Xi a x1 (mód. p),
(xi)
(x,) (mód. p),
y, por lo tanto, la última congruencia tiene una sola solución:
r =/'
t1 = t; (mód. p);
pt,.
ti-'~+
La expresión de x toma la fonna
X = Xi +
+ p't, = X1 p't,;
etc. De este modo, partiendo de la solución dada de la congruencia (6) hallamos la aoluclón congruente con ella de la
p•r.
+
78
C APITULO IV CONO llUENCIAS CON UNA INCOONITA
congruencia (5). En resumen, toda solución x a x 1 (mód. p )
de la congruencia (6), con la condición de que f' (x1) no sea
divisible por p, proporciona una solución de la congruencia (5):
X =
X4
+
X •
X4
(mód. p4).
p414
;
Ejemplo. Resolvamos la congruencia
f (.r) a O ( mód. 27); }
/(x) = x4+1x + 4.
(7)
La congruencia / (x) - O (mód. 3) tiene una solución x &1
- 1 (mód. 3); en este caso f' (1) - 2 (mód. 3) y, por consiguiente, no es divisible por 3. Hallamos:
X= l
3/i.
f ( 1) 3tJ' (1)-0 (mód. 9), 3+ 311 ·2 -o (mód. 9),
2J1 -t 1 =O (mód. 3), 11 - 1 (mód. 3), 11 = 1 + 311 ,
X = 4+9tz,
/(4)+9t1{'(4)-0(mód. 27), 18+911 ·2-0(mód.27),
212 +2-0(mód. 3), t 1 -2(mód. 3), t 2 = 2+3t3,
+
+
x = 22 + 27t,.
Por lo tanto, la congruencia (7) tiene una solución
X 22 (mód. 27).
p,,,.,.1-.
fl/•r•nt••
ol coplt•lo IV
1, a. Supongamos que m es entero, m >O, f (x, ... , w)
es una función racional entera de r variables x, ... , w (r ;;i. 1)
con coeficientes enteros. Si el sistema x = x0 , ••• , w = w0
satisface a la congruencia
f (x, .... w) - O (mód. m)
(1)
entonces (generalización de la definición del § 1), el sistema
de clase de números respecto del módulo m:
x - x 0 (mód. m), ... , w - w0 (mód. m)
PREOUNTAS REFERENTES AL CAP. IV
79
lo consideramos como una solución de la congruencia (1).
Sea T el número de soluciones de la congruencia (1). Demos·
trar que
m-1 in-1
Tm = ~
a.c:1. Q.
m- 1
}] , . , }] e2
x i. O
,. o/(.T, • •• • to)
1
m
,
'° -=O
b. Con las notaciones de Ja pregunta a ·y de la pregunta
12, e, cap. 111 , demostrar que
Tm=m• ~ A(m0 ) •
...., ...
c. Aplicar la igualdad de la pregunta a para demostrar
el teorema del número de soluciones de una congruencia de
primer grado.
d. Supongamos que m es entero, m >O; a, ... , f, g son
enteros, en total r + 1 Húmeros (r >O); d = (a, ...• f, m);
T es el número de soluciones de la congruencia
ax + ...+ fw + g - O (mód. m).
Aplicando Ja igualdad de la pregunta, a, demostrar que
T= {
m•-1 d, si g ~ múltiplo de d,
o en caso contrario.
e. Demostrar el teorema de la pregunta d partiendo del
teorema del número de soluciones de la congruencia ax - b (mód. m).
2, a. Sea m > 1, (a, m) = 1. Demostrar que la congruencia
ax - b (mód. m) admite la solución x - ~C•l-t(mód. m).
b. Sea p un número primo, O < a < p. Demostrar que la
congruencia ax >& b (mód. p) admite la solución
~-b(-1)°-1 (P-l)(p- 2) ... (p - a+J) (mód.p).
J.2 ... a
c. ex) Indicar el método más simple posible de resolución de
una congruencia de la forma
2-x • b (mód. m); (2, m) = 1.
8o
C APIT ULO I V CO NORUeNCIAS CON UNA INCOO NITA
ji) Indicar el método más simple posible de resolución de la
congruencia
3kx
b (mód. m); (3, m) = l.
=
y) Sea (a, m) = I , 1 <
a < m. Desarrollando los métodos
indicados en las preguntas et) y ji), demostrar que la búsqueda
de la solución de la congruencia ax = b (mód. m) puede reducirse a la búsqueda de las soluciones de congruencias de la
forma b + mt = O (mód. p), donde p es un divisor primo
del número a.
3. Sea m entero, m > 1, l ~ T < m, (a, m) = 1. Empleando
la teorla de congruencias, demostrar la existenc ia de enteros
x e y con las condiciones
ax-y(mód . m), O<x ~ -i. O< IYI< ~.
4, a. Siendo (a, m)
=
l, consideramos la fracción simbóli-
ca .!.
respecto del módulo m, la cual denota cualquier resto
a
de la solución de la congruencia ax = b (mód. m). Demostrar
(las congruencias se toman respecto del módulo m) que:
et)
s·
1
b
a - a,, b 1111 b1 , se raene 11
b,
-a.·
ji) El numerador b de la fracción simbólica
!
se puede
sustituir por un número congruente b,, múltiplo de a. Entonces,
es congruente con el número entero
la fracción simbólica ~
a
que se expre.'2 por la fracción ordinaria ~ •
y) ~+~- bc+ ad .
a
e
ac
b
d
bd
6) 11·-c-a;-·
b, et) Supongamos que p es primo, p > 2, a es entero,
O<a<p- 1. Demostrar que
(P-;;- 1) - ( - 1).. (mód. p).
PRl!O U NTAS REFERENTES Al
~)
Sea p un
-
21> - 2
p--
número primo,
1
1
p > 2.
C AP. IV
8/
Demostrar que
1
1- 2 + 3 - ... -:. p - 1 (mód . p).
5 , a. Sea d un divisor del número a, que no sea dlvls!ble por
el cuadrado de un número entero superior a 1 y tampoco por
los números primos menores qºue n, y ~ x el número de
divisores primos distintos del número d. Demostrar que en
la sucesión
l ·2 ... n, 2·3 ... (n + 1), .•. , a(a+I) . .. (a+n - 1) (1)
M
hay "/ números que son múltiplos de d.
b. Sean p 1, p 1 , •• • , p11 los divisores primos distintos del
número a, donde ninguno de ellos es inferior a n. Demostrar
que la cantidad de números de la sucesión (1) que son primos
con a, es igual a
a(l-~}(1 - ~} ... (1 - ~)·
6. Sea m1• 1 , .. • , ,. el mlnlmo común múltiplo de los núme·
ros m1. m 1, . . . • m 11 •
a . Supongamos que d = (m., ma). Demostrar que el sis-
tema
x ¡¡¡ b1 (mód. m 1), x a b1 (mód. ma)
admite solución, y sólo cuando, b1 - b1 es m61liplo de d.
Además, cuando admite solución, el conjunto de valores de x
que satisfacen a este sistema se detennína por una congruen·
cia de la fonna
x w x1, 1 (mód. m1,a).
b. Demostrar que en caso de que el sistema
x • b1 (mód. m 1) , x = b1 (mód. mi), ... , x 2 b 11 (mód. m,.)
admita solución, el conjunto de valores x que le satisfacen se
determina por una congruencia de la forma
x-
x 1 , i . ... . ,. (mód. m
1• i • ... . ,.) .
82
CAPITULO IV CONGRUE NCIAS CON UNA INCOGNITA
7. Supongamos que m es entero, m > 1, a y b son enteros,
u+N'
(
a, b )
""1 2nl -m
=¿_Je
m
'
"
reducido
donde x recorre el sistema
de restos respecto del
(mód.
m) (en el sentido de la premódulo m, y x'.,.. 1..
x
gunta 4, a). Demostrar las siguientes propiedades del símbolo (
ci) (
ª'mb ) :
ª',,.b)
M ( ª;,n
es real.
= (
b:riª).
')') Si (h, m) = 1 se tiene (
ª·:h )= (ah,;. b) .
6) Si m1 , m1 ,
m,, m1
• ••
••. , m- son
primos dos a dos,
m,. = m, M - M.m•• se tiene
haciendo
(ª~11) (ª~11 )
... (ª~1'1 ) =
= (Mfa1 + Mlat ~- .. +mlª"' 1).
8. Supongamos que la congruencia
ao.t" +a,x"-t + ... +a,. .. O(mód. p)
admite n soluciones
x - x 1 , x 1 , ••• , x,. (mód. p).
Demostrar que
-aoS1 {mód. p),
a,-
~-aoSi(mód.
p),
a,--aoS,(mód. p),
a,.-( - l)"aoS,.(mót!. p),
donde S 1 es la suma de todas las x •• S 2 es la suma de sus
productos dos a dos, S, es la suma de sus productos tres
a tres, etc.
E JERCICIOS NUMl!RICOS REFERENTES AL CAP. IV
83
9, a. Demostrar el teorema de Wilson, considerando los pares
de números x, x' de la sucesión 2, 3, ... , p - 2, que satis·
facen a la condición xx' = 1 (mód, p).
b. Sea P entero, P > 1, 1, 2 ... (P - 1) + 1
O (mód. P).
Demostrar que P es primo.
10, a. Sea (a 0 , nt) = l. Indicar una congruencia de 11-ésimo
grado con el coeficiente superior igual a 1, que st>a equivalente a la congruencia
aoXn
a 1x"- 1
On = O (mód. m).
=
+
+ ... +
b. Demostrar que la condición necesaria y suficiente para
a 1xn-1
que la congruencia f (x) == O (mód. p); f (x) = xn
an; 11 ~ p, admita 11 soluciones, es que sean divisibles por · p todos los coeficientes del resto de la división
de xP - x por f (x).
c. Sea n un divisor de p - l, n > l, (A, p) = l. Demostrar
que la condición necesa{ia y suficiente para que sea resoluble la congruencia x" = A (mód. p) es que se cumpla la con-
+
+ ... +
+
,,_,
gruencia A°"R e 1 (mód. p); además, en caso de resolubilidad, fa congruencia indfcada admite n soluciones.
11. Supongamos que n es entero, n >O, (A, m) = 1, y que
se conoce una solución x == x0 (mód. m) de la congruencia
x" = A (mód. m). Demostrar que todas las soluciones de esta
congruencia se expresan por el producto de x0 por los. restos
de las soluciones de la congruencia !I' s:: l (mód. m).
E}erclcfo1 n•m'rlco1 refere"'" ol coplt•lo IV
1, a. Resolver la congruencia 256.r • 179 (mód. 337).
b. Resolver la coneruencia 1 215.i • 560 (mód. 2 755).
2, a. Resolvér las congruencias de los ejercic ios 1, a y I, b por ti
método de la pregunta 2, c.
b. Resolver la congruencia l 29tix - 1 105 (mód. 2 413) por el método
de la pregunta 2, c.
3. Hallar lodos los pares de nümtros enteros x, 11 que salls(acen a la
l!cuació n índelerminada 47x - lllv = 89.
114
C 1\l'ITUT.O IV CO NORUENC:TAS CON UNA TNCO ONl l .\
4, a. Indicar la
~ulución
general para el s i.tema
x - b, (mód. 13), x - b1 (mód. 17).
Sir'liéndose de esta solución general, hallar hieg_o tres números que
al dividirlos por 13 y 17 den Jos restos I y 12, 6 y 8, 11 y 4, respectiva·
mente.
b. Indicar la wluc1ón general para el s btema
x - b 1 (mód. 25), x - b 1 (mód. 27), x • bs (mód. 59).
li, a . Resolver el sistema de congruencias (pregunta 8, a)
x - 3 (mod. 8), x - 11 (mód 20). x • 1 (mód. 15).
b. Resolver el sistema de congruencias
x - J (mód. 3), x - 4 (mód. 5), x - 2 (mód. 7),
x - 9 (mód. 11), x '!"' 3 (mód. 13).
e.
Resolver el sistema de congruencias
3x
411 - 29 - O (mód. 143), 2x - 911
84 - O (m6d. 143).
7, a. tA qué congruencia de grado inferior a 5 es equivalente Ja con·
gruencla
+
3x"
+
+ 4x'• + 3x11 + 2x" + ' + 2x' + 4x' + x' + 3.i' +
x' + 4x' + 2x •O (m6d. 5)?
b. tA qué coqgruencl1 de grado Inferior a 7
¡ru1mcla
es equivalente la con·
~+~+~+~+~+~+, + u+~+
+
+
+
+
+ +
+
+
3x'
4.i'
6;cll
4x'
X
4 - 0 (mód. 7) ?
8. ¿A qué congruencia, con el coeficiente superior Igual a 1, es equ1·
valtnte la congruencia (pregunta 10, a)
70x'
78.x'
26&"
68.x'
62.r'
4x
3 • o (mód. 101)1
t, L Resolver la congruencia
I (x) - O (mód. 27), I (x) - 7.i' 19x + 25,
hallandó primero mediante un tanteo todu las soluciones de la con·
¡ruencla
f (x) - O (mód. 3).
b. Resolver la congruencia 9x'
29.a:
62 •O (mód. 64).
10, a. Resolver la congruencia x'
2x
2 - O (mód. 125).
b. Rt!$Olyer la congruencia .c4+4x'+ 2x' + 2x+ 12 - O (mód. 625).
27x'
17x
20 •O {m6d. 30).
11, a. Resolver Ja congruencia 6x'
b. Resolver la congruencia 31.c4 ..¡.. 57x'
96x
191 - O (m6d. 225).
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
CAPITULO QUINTO
Congruencias de segundo
grado
§J. Teoremas
,eneraks
a. Entre las congruencias de grado n >
> 1, a continuación se estudiarán solamente
las más simples, precisamente, las
congr~ncias
x" s a (mód. m); (a, m)
=
l.
bin6micas:
(1)
Si la congruencia (1) admite solución, el número a se llama
resto de grado n, en caso contrario, a se llama no-resto de grado n. En particular, si n = 2, los restos y los no-restos se
!Jaman cuadráticm; si n = 3, cúbicos; si n = 4, bicuadráticos.
b. En el presente capitulo se est udiará detalladamente el caso
n = 2 y, en primer lugar, las congruencias binómica.s de
segundo grado respecto de un módulo impar p:
x'
= a (mód.
p);
(a, p) = 1.
(2)
c. Si a es un resto cuadrdtico respttlo del módulo p, la congrULncia (2) tiene dos soluciona.
En efecto, si a es un resto cuadrático, la congruencia (2) admi·
te al menos una !.<>lución x = x, (mód. p). Pero entonces,
como (-x1) ' = .i:. Is misma congruencia admite también una
segunda solución x e -x1 (mód. p). Esta segunda solúción
es distinta de la primera, puesto que de x, = - x, (mód. p)
86
CAPITU LO V CONGRUENCI AS DE SEGUNDO G RA DO
tendriamos que 2r1 = O (mótl. p), lo cual es imposible, ya
que (2, p) = (x1 , p) = l .
Estas dos soluciones indicadas agotan todas las soluciones de
la congruencia (2), puesto que esta última, siendo una congruencia de segundo grado, no puede admitir más de dos soluciones (c, § 4 , cap IV).
d. El sistema reducido de restos respecto del módulo p
P-;
1
consta de
res/os cuadró/leos, los cuales son congruentes con los números
12, 22•. .. ' (
y de
P;
1
p-; 1
r.
(3)
rw-re:slos cuadráticos.
En electo, entre los restos del sistema reducido respecto del
módulo p, son restos cuadráticos aquéllos, y sólo aquellos, que
son congruentes con los cuadrados de los números (sistema
reducido de restos)
p- 1
p- 1
--2-· ...• -2, - 1, 1, 2, ... , -2-·
(4)
es decir, con Jos números (3). Por otra parte, Jos números (3)
no son congr uentes entre sí respecto del módulo p, puesto
P-;
1
ti (mód. p), 0< k < l ~
, se deduciría, en
2
contra de c, que a la congruencia x - /2 (mód. p ) la satisfacen cuatro de los números (4): x = - 1, - k, k , l.
e. Si a es un resto cuadrático respecto del módulo p,
se tiene:
que de k2 -
p-1
si a
~
(5)
a 2"" - 1 (mód. p);
un rw-resio cuadrático respecto del módulo p, se tiene
p-1
a-r - - 1 (mód. p).
(6)
En efecto, según el teorema de Fermal,
aP·t -
l(mód. p);
e.r
(aP; ' - í} (a + 1) -
O (mód. p).
t 2. Sllo\BOLO or; Ll!OBNDRE
87
Uno tle los factores del primer miembro de la última congruen·
tia, y sólo uno, es divisible por p (ambos factores no pueden
s imultáneamente ser divisibles por p, pues, en caso contrario,
su diferencia 2 seria divisible por p). Por lo tanto, se verifica
una de las congruencias (5) y (6), y sólo una.
Pero todo resto cuadrático a satisface para cierto x a la congruencia
(7)
a = x• (mód. p)
y, por consiguiente, satisface también a Ja congruencia (5) ,
la cual puede obtenerse elevando (7), término a término a
la potencia
P-; 1 •
Además, los restos cuadráticos agotan
todas las soluciones de la congruencia (5). puesto que, siendo
ésta de grado
P-; 1 ,
no puede tener más de
~ soluciones.
Por esto, los no-restos cuadráticos satisfacen a la ecuación (6).
§ 2. Slmbolo
de Legendre
a. Introduzcamos el simbo/o de ugendre(.¡)cseleeasl:simbolodeaconrespec-
to a p). Este símbolo se define para todos Jos números a que
no son divisibles por p, y es igual a I, si a es un resto cuadrá1ico, e igual a - 1, si a es un no-resto cuadráitco. El número a
se llama numerador del simbolo y el número p, denominador
del mismo.
b. En virtud de e, f 1, evidentemente, se tiene:
p-t
( : ) - aT(mód. p).
c. flquf deduciremos las propiedades principales del símbolo
de Legendre y en el párrafo siguiente, las del s fmbolo de
Jacobi (éste es una generalización del sfmbolo anterior),
las cuales facilitarán el cálculo rápido de dicho sfmbolo,
y. por consiguiente, permitirán resolver el problema de Ja
resolubilidad de la congruencia
.r1 - a (mód. p).
88
CAPITULO V CONORU!NCIAS D! SflOUNDO O RADO
d. Si a - a 1 (mód. p), se tiene, {; ) ·= { ~ ) . Esta propie-
dad se debe a que los números de una misma clase son
simultáneamente restos o no-restos cuadráticos.
e.
{f) =l.
En efecto, 1 = I' y, por lo tanto, 1 es un resto cuadrático.
f.
(p- 1) = ( -
Esta propiedad
Como
P;
1
p-1
1)
2 •
se
deduce de b para a= - 1.
es par si p es de la forma 4m + 1 y es impar
si p es de la forma 4rn+ 3, de aquí se deduce que -1
es un resto cuadrático respecto del módulo p, si p es de
la forma 4m + 1, y es un no-resto cuadrático respecto del
módulo p , si p es de la forma 4m + 3.
fZ·
(''·~·')=(:)(!)·· ·{f)·
En efecto, se tiene:
( ~)
P
-
11-l
(ab
...
,,_, ,,...,
,,__,
-ª_2_b_2_ .. • I 2""
/)Z- =
2
- (; )(! ) ... (f} (mód. p),
de don4e se deduce to que se afirmaba. De aquí, como consecuencia, resulta que
o sea, en el numerador del símbolo de Legendre se puede
despreciar cualquier factor cuadrado.
h . Para deducir las propiedades ulteriores del símbolo de
Le¡endre daremos primero otra interpretación del mismo .
89
f 2 . SIMBOLO DI! ll!Ol!NDRE
p-1
Haciendo p 1 = -
-,
2
consideremos las congruencias
a· l-e 1r 1 (mód. p),
a·2- e1r 2 (mód. p),
}
(1)
a·Ps!!!lle,,/,,1 (mód. p),
donde i.:rs es el resto absoluto mínimo de ax, r" es su
módulo. de modo que ex = ± l.
Los números a. J, -a· I, a·2, -a·2, ... , a·p1, -a ·p1 forman el sistema reducido de restos respecto del módulo p (c, § 5,
cap. 111); sus restos mínimos absolutos son e1r 1, - e1r 1,
e2r2, -e2r2, ... , e,,{p1, - ep/,,1. Los positivos entre estos
últimos, es tlecir, r 1, r 2 , •• ., rp 1• tienen que coincidir con
los números l, 2, ... , p 1 (b, § 4, cap. 111).
Multiplicando ahora las congruencias (1) y s implificando por
l ·2 · · · P1=
'1'2 · · · r,,1,
p-1
obtenemos a-2- aa e 1e2
•••
ep (mód. p),
1
de donde, (b), se
tiene
(2)
l. Demos una forma más terminada a la expresión hallada
del símbolo de Legendre. Se tiene
r;xJ = [ 2 [ a; J+ 2 { a; 1J 2 [ a; J+ [ 2 { a; } J.
2
=
lo cual es par o impar según que el resto mínimo no negativo del número ax sea menor o mayor que { p , es decir,
según que sea e,.= 1 o ex= - 1. De aquí, evidentemente.
se tiene
I
e,. =( -1) l~
P
,
90
CAPITULO V CONGRUENCIAS DI! SEGUNDO GRADO
por lo cual, de (2), hallamos:
[ 24ir
J>1
(pª) =(-1)-l:'
J
J>
J. Suponiendo a impar, transformemo:; la última igualdad.
Se tiene (a+ p es par)
(~)=(~;~) = (·:tp) = (ª!P)=
J>I
~
= ( - 1)"- I
l't
l
(G.+:\ll
l
Pt
~ l ': }+ ~"
"'= ( - 1)- 1
z- 1 ,
de donde
"•
2)(
ª)
L.J
(p p == (-!)-'
~(ar}
P' - 1
-¡;-+ - e
(3)
La fórmula (3) nos ~rmitírá deducir dos propiedades muy
importantes del sí mbolo de Legendre.
k.
(! )
pl-1
=(- I)_ª_·
Es consecuencia de la fórmula (3) para a = l.
Pero p puede expresarse en la forma p = 8m + s, donde s
es uno · de los números 1, 3, 5, 7. Además
1•-1
+2ms+8-,
pi;- 1 =8m2 +
siendo este número par sis= 1 ó s= 7 e
impar si s = 3 ó s = 5. Por lo tanto, el número 2 es un
resto cuadrático respecto del módulo p si p es de la forma
8m + 1 o de la forma 8m + 7 y es un no-resto cuadrático
respecto del módulo p si p es de la forma 8m + 3 o de la
forma 8m +s.
J 2 . SI MBOLQ. DE LECENDRE
91
1. Si p y q son primos impares, se tiene (ley recíproca de
los res/os r:uadráücQS).
p-1 q - 1
(;)=(-J)°T.. - 2 ( : ) .
Como
P;
1
• q~
1
es impar solamente cuando ambos números p
y q son de la forma 4m + 3, y es par si al menos uno de
estos números es de la forma 4m + 1, la propiedad señalada
se puede formular así:
Si ambos números p y q son de la forma 4m + 3, se tiene:
(!) = -(:);
si al menos uno <le ellos es de la forma 4m 1- 1, se tiene:
(;)=(~)·
Para llevar a cabo la demostración, obsérvese que, en virtud de K, la fórmula (3) toma la forma
PI
~l~I
( ; ) = (-- 1)%= I
Haciendo ahora
q;
1
=
(4)
q1 , consideremos los p 1q, pares de
números que se obtienen cuando en las expresiones qx, py
los números x e y recorren, independientemente uno del
otro, los sistemas de valores
X=
= J, 2, ... , Q1 ·
qx = py, puesto que
1, 2, . . " p,, !J
Nunca puede ocurrir que sea
de esta
igualdad se deduciría que py es múltiplo ele q, lo cual es
imposible, puesto que (p, q) = (y, q) = 1 (ya que O< y< q).
Por lo tanto, se puede hacer p 1q 1 = S, + S 2 , donde S, es
el número de pares con qx < py y S 2 es el número de pares
con py < qx.
92
CAPITULO V CONG RUENCIAS DE SECUN DO OR ADO
Evidentemente, S 1 es también el número de pares con
x
<
.!!..
q !I· Aquí, para cada !/ dado se puede tomar x = l ,
2, ... ,
[f y].
(como
f 11 ~fq1 <f.
se tiene
[f yJ ~
~p 1 ) . Por consiguiente,
91
Si= ~
.,.. 1
rf !!}
De un modo análogo, nos convencemos de que
Pt
S =
2
~
x .. 1
Pero entonces,
~gún
ff xJ.
la igualdad (4), se tiene
(f) =C-1)ª', (f)=C - t}ªª,
por lo cual,
(f) (f) = ( -- l)S1+S2= ( -
l)plql,
dt donde se dedu1 e la propiedad indicada.
§ 3. Simbolo
a. Para conseguir mayor rapidez en el
de Jacobl
cálculo del símbolo de Legendre, se
considera el simbolo más general de Jacobi. Sea P impar, mayor
que la unidad, y sea P = p 1p 2 • •• p, s u descomposición en
factores primos (entre ellos también puede haber iguales} .
Suponga·mos también que (a, P) = 1. Entonces el símbolo de
Jacobi
(J.) se define por la igualdad
(f)=(;,) (;.) ... (;,) .
1) En el seeundo miembro, (
1
)
~ ) denola el slmbolo de tegendre.
Por lo tanto, para P pr imo, los slmbolos de Jacobl y de Legendre
coinciden (N. <hl T.).
S 3.
SIMBOLO DE JACOBI
93
Las propiedades conocidas del símbolo de Legenclre permiten
establecer las propiedades análogas para el símbolo de Jacobi.
b. Si a a i a 1 (mód. P), se tiene (;)
En efecto,
( ; ) = (; ) (
;J) ... (;, ) =
= ( ~).
( :: ) (
;~ )
... ( ;~) = ( ~).
puesto que a, siendo congruente con a 1 respecto del módulo P.
es también congruente con a 1 respecto de los módulos
p 2, • •• , p ,, ya que éstos son divisores de P.
P•·
c. (-}) ~ ).
En efecto,
(; ) = (
;I )(:. ) ...(;, )= 1•
- ') = ( - 1)!=..!
d. ( p
2 •
Para demostrar esto, obsérvese que
(-; 1) = (-; 1) (; 1) ... (;: ) =
1
1
( 1)
pero
P-1
-2-=
P1P1 • ••
2
(1 + 2~) (1+2~)
=--
p,- 1
... (1+2~) --1
2
__ p1 - I . Pa-1 ..¡...
- -2- -i--2...
+ 2N '
+ p,-1
2
en virtud de lo cual, de la fórmula ( 1) deducimos que
(-;1) = ( -
P- 1
1)-2 .
!H
t.
CAPIT ULO V CONORUENCIAS Of, SEOUNOO ONAOO
(ºb ¡; . ') = ( ; ) (~) ... ( ; ) .
En efecto,
( ab
p. I } ._. ( nb ;; • I) .. . {ab ~:. I) =
= ( :. ) ( :. ) ... ( :. ) ... ( ;, ) ( :. ) ... (
~, )
;
reuniendo los símbolos que tienen iguales numeradores, se
obtiene la propiedad en cuestión. De aqul resulta la consecuencia
(~) = (;).
P'-1
f.
(!) =<- 1)-..
En efecto,
(-})=(:.) (!) ... (:,) =
l'f- 1 ,,,_,
~- 1
"" ( - 1)-¡-+-;-+·.
·+-..
(2)
Pero
J>1-1
M
-8--
...
8
pJ-1
-
(1 +a!l¡:!) (1+all¡=!) ... (1 +a&¡=!)-1
8
ID
Pl - 1 +
+ pJ-1
+ 2N
= .el=.!.+
8
8
. ..
8
1
en virtud de lo cual, de la fórmula (2) deducimos que
.Pl-1
(j) -(-1)-.-.
f· St P y Q
si, u tltne
SOtl
númeroc impares pOSítllXJ$, primos enJre
,, _ , 0-1
(.j}=(-
1)-2 . .,- ( ~ ) .
t 3. SIMBOLO DI! JACOBI
95
En efecto, supongamos que Q= q1q1 ••• q, es la descomposición de Q en factore~ primos (entre éstos, de nuevo puede
haber iguales). Se tiene
r
•
n rr (;:) =
( ~) = ( ,~ ) ( ~) .. . ( ~) =
11- 1~1
~ ~p.. - •
= e-
911-I
L.J L.J - 2 - - 2 1
11
tt-·
r
rr rr (:; }=
-
(±P~-1) ±
0 - 1 11-1
t11;t)
(
= ( -1) a-1
1
(~)·
11- 1
Pero, de un modo semejante a lo que se hizo en d, hallamos
r
P - 1_ ~
2 - ~
Po- 1+ 2N
2
•
•
a =I
Q- 1 - ~ q11- I
2
- ~
2
ll-1
+2N
"
en virtud de lo cual, la última fórmula implíc.a que
P-1 Q- 1
{ ~ ) = (-1)-2 · - 2 (~)·
Ejemplo. (.orno un ejemplo de cálculo del símbolo de Legendre (además, a éste lo vamos a considerar como un caso
particular del símbolo de Jacobi) averiguernos si admite
solución la congruencia
.r-219 (mód. 383).
Se tiene (aplicando sucesivamente las propiedades ¡, b, la
consecuencia e, ¡ , b, e, f, fl• b, d):
(ill) = - (~) =
= -
=-
c.n
1
-
(~~) =
= - (~) =
(M = - (~) =
-
(2 1~) :;
4
(fi) (~) =
- ( -; ')
= I;
por lo tanto, la congruencia considerada tiene dos soluciones.
96
CAPITULO V CONOR!JENCIAS DE SEGUN DO G RADO
§4. Caso
de 1111 m6da/o
compaesto
a. Las congruencias de segundo grado
respecto de un módulo compuesto se
estudian y resuelven de acuerdo a las indi·
caciones del § 5, cap. IV.
b. Comencemos con las congruencias de la forma
x'
= a (mód. p4);
tt
>O, (a. p) = 1,
(1)
donde p es un número primo impar.
Haciendo f (x) = x 1 - a, se tiene f' (x) = 2x, y s i x
x, (m6d. p) es una solución de la congruencia
=
x,
=a (mód. p).
=
(2)
entonces, en virtud de que (a, p) = 1 también (x,, p) = 1,
y como pes impar, resulta (2x1, p) = 1, es decir, f' (x1) no
es divisible por p. Por lo tanto, para la búsqueda de las soluciones de la congruencia (1) se pueden aplicar los razonamientos b, § 5, cap IV, proporcionando cada solución de la congruencia (2) una solución de la congruencia ( 1). De lo expuesto
deducimos que:
la congruencia (1) tiene dos soluciones o ninguna, según que
el número a sea un resto cuadrático o un no-resto cuadrático
respecto tú/ módulo p.
c. Consideremos ahora la congruencia
x'
=
a (mód. 2ª);
=
En este caso f' (x1)
ci
>O,
(a, 2)
=
l.
(3)
2x1 es divisible por 2, por lo cual no
pueden aplicarse los razonamientos expuestos en b, § 5,
cap IV; éstos deben modificarse del modo siguiente:
d. Si la congruencia (3) admite solución, entonces, como
(a, 2) = 1, se tiene (x, 2) = 1; por consiguiente (k, § 2),
x' - 1 es divisible por 8. Por esta razón, reduciendo la con·
gruencia (3) a la forma
(x1
-
1)
+ 1 = a (mód .
2<').
f 4. CASO l>F. UN MODULO COMPUESTO
97
nos convencemos de que para que esta congruencia admita solución e.s necesario que sea
a = 1 (mód. 4) si a = 2; a= 1 (mód. 8) si a~ 3. (4)
e. Supongamos cumplidas las condicione.s (4), examinemos el
problema de la búsqueda de las soluciones y de la cantidad
de ellas.
En virtud de d, en tos casos en que a ~ 3, a la congruencia
satisfacen todos los números impares. Por lo tanto, la con·
gruencia x'
a {mód. 2) tiene una solución: x = 1 (mod. 2)
la congruencia r = a (mód. 4) tiene dos solucione.s: x= l;
3 {mód. 4). la congruencia x 1 = a (mód. 8) tiene cuatro soluciones: x s 1;, 3; 5; 7 (mód. 8).
Para examinar los casos a = 4, 5, ... es convergente reunir todos los números impares en dos progresiones aritmé·
ticas:
X = ± (1
4/3}
(5)
=
+
=
+
(1
4t3 = 1 (mód. 4); - 1 -413 = - 1 3 {mód. 4)).
Veamos cuáles de los números (5) satisfacen a la congruencia
x' = a (mód. 16). Obtenemos
(1 + 4t3)Z-a (mód. 16),
{mód. 2),
1,-ª-;'
/3 =
t; +2t,, X = ± {1 + 4t; +8t,) = ± (x, + 8/,) .
Veamos cuáles de los últimos números satisfacen a la congruencia x' = a (mod. 32). Obtenemos
(x,
+ 81
4)
1
=: a (mód. 32),
X
= ±
(X1
t, =
+ 16/,),
t~
+ 2/1 ,
etc. De este modo, demostramos que para cualquier a> 3 los
valore.s x que satisfacen a la congruencia (3) se expresan en la
forma
X = ± (x.,. + 2"-1 / 0 ).
Estos valores x forman ruatro soluciones distintas de la con·
gruencia (3)
x-x(l; x.. +2"-
1
;
- x.,.;
-x"' - 2"- 1 (mód. 2")
98
CAPITUL() V CONGRUt:Nl.IAS DE SEGUN l.>O G RAOO
(respecto del módulo 4, las dos primeras Sl)n congruentes con
1 y las dos últimas con - 1).
Ejemplo. La congruencia
x' di 57 (mód. 64)
(6)
=
admite cuatro soluciones, puesto que 57
1 (mód. 8). Expre413), obtenemos
sando x en la forma x = ± (1
57 (mód. 16), 813 = 56 (mód. J6},
(1 + 4/3) 1
/3 e 1 (mód. 2), (3 = 1 + 21¡, X = ± (5 + 8/J,
(5
81J'
57 (mód. 32), 5·161 4 = 32 (mód. 32) ,
1, e 0 (mód. 2), /4 = 2/h X = ± (5
16/.),
(5 + 1611) 1 a 57 (mód. 64), 5 ·321•= 32 (mód. 64).
t. e 1 (mód. 2), t.= 1 + 21,, X = ± (21 + 321,).
=
+
=
+
+
Por lo tanto, las soluciones de la congruencia (6) son:
X !5 ± 21;
± 53 (mód. 64).
f. De e, d y e se deduce que:
Pata la congruencia
x'
=a (mód. 2°);
(a, 2) = 1
las condiciones necesaritll de resclubilidad sen: a e: 1 (mód. 4)
si a = 2, a
1 (mód. 8) si a ;;;:i: 3. Si se cumplen estas condiciona, el nú~ro de scluciones es igual a: 1 si a = 1; 2 si
a = 2; 4 si a ;;;:i: 3.
¡. De b, f y a, § 5. cap IV se deduce que:
Para la congruencia de la forma general
=
x•-a (mód. m); m.c 2"p~ 1 p~' ... p:~; (a, m) = 1
la1 condiciones necesarias de resalubi/idad son:
a-1 (mód . 4) si a = 2, a-1 (mód.8) si
a ~3.
(;,) =l, (:,) - 1, .. .,(;.)=!.
Si se cumplen todas es/as condiciones. el número de soluciones
esiguala:2-sia=Oy si a = I; 2-usia =2; 2-+isia~3.
PREGUNTAS REf'ERENTeS AL CAP. V
99
Pr•g• ntas r•fer•nt•s al caplt•lo V
A continuacíón, la letra p denotará siempre un número primo
impar.
1. Demostrar que la búsqueda de las soluciones de una con·
gruencia de la forma
ar + bx + e a o (mód.
(2a, m) = 1,
m),
se reduce a la búsqueda de las soluciones de una congruencia
de la forma x'
q (mód. m).
2. a. Aplicando e, § 1, hallar las soluciones de la congruencia
(en caso de que ello sea posible)
=
x'
=a (mód. p);
p = 4m
+ 3.
b. Aplicando b y k, § 2, indicar un método para buscar las
soluciones de las congruencias de la forma
r ; ;:; a (mód.
p);
p = 8m
+ 5.
c. Indicar el método más sencillo posible para buscar las
soluciones de las congruencias de la forma
r
=a (mód. p);
p
=
Bm
+ 1,
si se conoce un número N que es un no-resto cuadrático res·
pecto de l módulo p.
d. Aplicando el teorema de Wilson, demostrar que las soluciones de la congruencia
x•
+ 1 = O (mód.
p);
p
= 4m +
1
son
x
3, a. Demostrar
= ± 1 ·2 . .. 2m (mód.
que
x•
la
+
p).
congruencia
1 e O (mód. p)
(1)
admite solución cuando, y sólo cuando, p es de la forma
4rn + 1; la congruencia
x•
+2a
O (mód. p)
(2)
/(}(]
CAPITULO V CO NGRUENCIAS OE SEGUNDO GR ADO
admite solución cuando, y sólo c uando, p, es de la forma
8m + l ó 8m + 3; la congruencia
x• + 3 = O (mÓd. p)
(3)
admite solución cuando, y sólo cuando, p es de la forma
6m + l.
b. Demostrar que la cantidad de números primos de la forma 4m
l es infinita.
c. Demostrar que la cantidad de números primos de la forma
6m
1 es infinita.
4. Supongamos que, dividiendo a los números 1, 2, . ... p- l
en dos conjuntos, de modo que el segundo contenga al menos
un número, se tiene:
el producto de dos números de un conjunto es congruente
respecto del módulo p con un número del primer conjunto,
mientras que el producto de dos n<imeros de distintos conjuntos es congruente respecto del módulo p con un número del
se.gundo conjunto. Demostrar que esto ocurre cuando, y sólo
c uando, el primer conjunto consta de los restos cuadráticos y el segundo, de los no-restos cuadráticos respecto del
módulo p.
5, a. Deducir la teoria de las congruencias de la forma
+
+
x• = a (m6d. {P); (a, p) = 1,
expresando a y x en el sistema de numeración de base p.
b. Deducir la teorla de las congruencias de Ja forma
x' ;;;;; a (mód. 2"); (a, 2) = 1,
expresando a y x en el sistema de numeración de base 2.
8. Demostrar que las soluciones de Ja congruencia
x' = a (mód. {P); (a, p) = I,
son x .,, ±PQ' (mód. ¡11), donde
P
Q _ (z+ Vií)11 - (z-Va)11
_ (z+ \fii)O+(z-Vá)"
-
2
•
z' := a (mód. p), QQ'
-
2Va
= 1 (mód. pm).
'
PREOUNTAS REFERENTES AL CAP. V
/01
=
7. Indicar un método de resolución de la congruencia r
1 (mód. m), que se base en la circunstancia de que la
congruencia expuesta es equivalente a la siguiente:
(x - 1) (x
l) ='O (mód. m).
¡¡¡
+
8. Sea (;} =0 si (a, p) = p .
a. Siendo (k, p) = I , demostrar que
,,_,
(.r(.r:•)) =- l.
~
:r-0
b. Supongamos que cada uno de los números e y ·11 tiene
uno de los valores ± 1. T es la cantidad de pares x, x ¡.. 1,
(f) =e, (.r!° 1}=11.
con la condición
donde
x=I, 2 ,
... , p-2. Demostrar que
T=
{
(p -
2 - e (-; I ) - · 1'J -
ET)) .
c. Supongamos que (k, p) = l ,
S= ~ ~
"'
(.r11:•) •
11
donde x e g recorren las sucesiones crecientes, formadas
por X e Y restos. respectivamente, del sistema complet~
respecto del módulo p. Demostrar que
ISl<V XYp.
Para la demostración se debe aplicar la desigualdad
S2 ~ X ~ 1~ cr11:•}
"'
r.
1
)
11
1) Esta deaf(ua ldad se obtiene apllc:.ndo I• desi¡ualdad bien cunoclcla:
(N. d•I T.).
/(}2
CAPITULO V COHOROENCIAS DE SEOUHOO ORADO
d. Sea Q entero, 1 < Q < p,
p- 1
S -=
Q-1
~ ~; S,. = ~ ("'~') .
x-o
t- 0
a) Demostrar que S = (p - Q) Q.
fj) Sea .\ constante; O< .\ < 1. Demostrar que la cantidad T
de números de la sucesión x = O, 1, .. ., p - 1, para los
cuales no se cumple la condición S,. ~ Q u+uA, satisface a
la condición T ~ pQ- k.
y) Sea M entero, Q.= (yP), O< M, M
2Q ~p. Demos·
trar que en la sucesión
M, M
1, .. ., M
2Q - 1
hay un no-resto cuadrático respecto del módulo p.
9, a. Demostrar que el número de expresiones de un entero
m > 1 en la forma
m = ~
g', (x, y) = 1, x > O, !I > O
(l)
+
+
+
+
es igual al número de soluciones de la congruencia
r'
1 a O (mód. m).
+
(2)
Para la demostración, hacer T = Vñi, utilizar la expr~•on
de a =.!. según el teorema de la pregunta 4, b, cap. 1,
m
y considerar la congruencia que se obtiene al multiplicar
t~rmino a término (2) por Q1 •
b. Sea a uno de los números 2 y 3. Demostrar que el número de
expresiones de 'un número primo p, con la condición p > a,
en la forma
(3)
p =xi+ ag', x>O, y>O.
es igual a la mitad del número de soluciones de la congruencia
r'
a m O (mód. p).
(4)
c. Sea p de la forma 4m
1, (k, p) = I,
+
+
p-J
S (k) e: ~ (X (xip+Jt)
..-o
) .
PREGUNTAS REFERENT ES AL CAP . V
/()J
Demostrar que
ci) S (k) es un número par.
~)
y)
s (kt2 ) = (.¡) s (k).
Si ( j-) = 1, (;) =
- 1, se tiene \Compárese con la
pregunta a)
10. Sea D un entero positivo que no sea el cuadrado de un
número entero. Demostrar que:
a. Si para un entero dado k, satisfacen a la ecuación
x'-D!/ = k
dos pares de números enteros x =
entonces a la ecuación
X1,
y = !11 y x
=
Xz , !I = !Jz,
x• -DY9 = k'
satisfacen los números enteros X, Y que se determinan por
Ja igualdad (el signo ± se elige arbitrariamente)
x +Y V15 = (x1 + y1VD) (xz ± !12 VD).
b. La ecuación (ecuación de Pell)
x• - D!/ = 1
(1)
es resoluble en números enteros positivos x, y.
c. Si x 0 , Yo es el par de números positivos x, y con el valor
menor de x (o, lo que es equivalente, con el valor menor
de x +y
que satisface a la ecuación (1), entonces todos
los pares de números positivos x, y que satisfacen a esta
ecuación, se determinan por la igualdad
VD>.
X
+yYD =(xo+!loVD)';
r=
11, a. Sea a un número entero.
= ~ (.¡) e "
, ,
-
U a.
p
·
...
2111'!!:
1, 2.
(2)
UH
CAPITULO V CONO RUl?NCIAS DE Sl?OUNDO OR ADO
Siendo (a, p) = 1, demostrar que IUo.,. 1= V'P.
Para la demostración, se debe multiplicar la suma u... P por
la conjugada que se obtiene al sustituir i por - í. Designando
con las letras x1 y x las variables de sumaci6n de la suma fun damental y de Ja conjugada, respectivamente, se deben reunir
aquellos túminos del producto en los que para un t dado
a)
x 1 a xt (m6d. p),
o bien
X1
P)
+ t (mód.
e X
p).
Demostrar que
= u•.
(.!.)
P
U 1. p
p.
b. Sea m >2, (a, m) =- 1,
s... p = U'" P (pregunta a).
P) De los leo.remas de las preguntas et) y a,
a) Demostrar que
que 1s.,
ral:
11
1=
V P. Demostrar el
et) se deduce
siguiente aserto más gene-
1s...... 1= Viñ.
1s...... l=-O,
si m-1 (mód.2),
si
m-2 (m6d. 4),
fSo,ml= V2m,
si
m-o
(mód . 4).
y) Sea m > 1, (2A, m) = 1, a= cualquier número entero.
Demostrar que
.,_,
1 ~ /"
- o
1
Ax•+o.r
-"'- l- Vñi.
1%, a. Supongamos que m es un número entero, superior
a I , z recorre Z números enteros dados, ~
, denota una
suma extendida a todos estos números.
PREGUNTAS Rl!Pl!Rl!NTl!S AL C.AP. V
106
ci) Sea la función <ll (x) tal, que para cualquier a=- I, 2, ...
. . . , m - 1 se tiene
21ri ...
1~<ll(z)e
•
-;; 1-<& .
Supongamos también que M y Q son enteros, O<M<M+
+ Q~m. y que ~· denota una suma extendida solamente
•
a aquellos valores de z que son congruentes con los números de la sucesión M, M + l , ... , M +Q- 1 respecto del
módulo m. Demootrar que
~ ' <ll (z) = ~ ~ <ll(z)+ 8A (lnm-6).
donde 181<1 , 6>0 siempre, 6>0,5 si m:;;;..12.
~>I
si m~60.
~)
Supongamoo que para cualquier a= 1, 2, . .. , m-1
se tiene
y sea N un número entero arbitrarlo. Entonces, para
l=f 2~]
existe al menos un valor z que es congruente con uno de
los números de Ja sucesión
N-1 , .. . ,N - 1, N, N + l, . . .,N ·H
respecto del módulo m.
b. Sean M y Q enteros, O<M<M-1
ci). Demostrar que
-
Q ~ p.
11+ 0 - 1
1
~
(.¡) l<Vptnp.
M Sea R el número de restos cuadráticos y N el número
de n<>-restos cuadr6ticos en la sucesión M. M + 1, . . .
/06
CAP ITULO V CONORUENCIAS DE SEOUNOO ORADO
. .. , M +Q- 1. Demostrar que
R=iQ+} V:Olnp, N=iQ-{ Yplnp; 101< t.
y) Deducir la fórmula de la pregunta ~) aplicando el teorema
de la pregunta 11, b, ~) y el teorema de la pregunta a.
6) Sea (2A, m) = 1, M 0 y Q0 son enteros, O< M 0 < M 0
+ Q0 ~ m . Demostrar que para m ;;;:i. 60
Jlo+Qo-1
1
~
-JI·
+
2.Jll ,A,.I
e
ml<Yiñlnm.
f) Supongamos que (A, p) = 1, M0 y Q0 son enteros,
O< M 0 < M 0 + Q0 ~ p y T denota la cantidád de números
de la sucesión Ax1, x=M 0 , M 0 + 1, ... , M 0 +Q0 -I, que
son congruentes con los números de la sucesión M.
M + 1, ... , M + Q- 1 respecto del módulo p. Demostrar
que para m~60
T = QoQ + e V:O (Jnp)2 •
p
c. Deducir las fórmulas de la pregunta b,
la suma
~}
examinando
Ej1relcJ01 n•mlrlco1 r1/1r1nt1s al copttalo V
1, a. Seililense los restos cuadrjtlcos entre los restos del sistema
reducido respecto del módulo 23.
b. Seilálense los no-restos cuadrUlcos entre los restos del sistema
reducido respecto del módulo 37.
2, a. Aplicando e, 1 I, Indicar el número de soluciones de las con·
gruenclH
a) ,,.a• 3 (m6d. SI);
~) x• • 2 (mód. 3 1)
b. Indicar el número de soluciones de las congruencias
a) ,,.a - 5 (mód. 73);
~)' x1 - 3 (mód. 73)
EJERCICIOS NUMERICOS REPERENTES AL CAP. V
a,
107
a. Calculando el si mbolo de Jacobt, Indicar el n6mero de sol u·
clones de las congruencias
a) xi • 226 (mód. 663);
Pl xi • 429 (mód. 663).
b. Indicar el n6mero de soluciones de las congruencias
a) x' • 3 766 (mód. 6 987);
Pl ti a 3 149 (m6d. 6 987).
4, a. Aplicando los métodos de las preguntas 2, a ; 2, b;2, e resolnr
las congruencias
a) x• - 6 (mód. 19);
Pl x• m 5 (mód. 29); y) x•m 2 (mód. 97).
b. Resolver las congruencias
a) x' • 2 (mód. 311); P> x' - 3 (mód. 277); y) x'•l I (mód. 353).
6, a. Resolver la congruencia x• • 59 (mód. 125) aplicando los
métodos:
a) b, t 4; P> de la pregunta 6, a; y) de la pregunta e.
b. Resolver la congruencia x' - 91 (mód. 243).
6, a. Resolver la congruencia x• - 41 (mód. 64) aplicando los métodos:
a) e, t 4; Pl de la pregunta 6, b.
b. Resolver la congruencia x' • 145 (mód. 256).
CAPITULO SEXTO
Raíces primitivas e índices
a. Si (a, m} = 1, existen enteros positi·
vos y con la condición
= 1 (mód. m},
por ejemplo (según el teorema de Euler}, y = cp (m). El menor
de ellos se llama exponente, al cual pertenece el númeroa respecte del móduw m.
b. Si a perterux:e al exponente ll respecto del móduw m, los
números 1 = a0 , a1 , ••• , d'-1 no son congruentes entre si
r_espectc del ml>duw m.
En efecto, si fuese d - rJ (mód. m), O ~ k < l < 6 resultada que d-• - 1 (mód. m), siendo O< l - k < 6, lo cual
contradice a la definición de 6.
c. Si a pertenecf. al exponente 6 respecto del módulo m, entonces
av :: av· (mód. m) cuando, y sólo cuando, y - y' (mód. 6);
en particular (si y' = O), av - 1 (mód. m) cuando, y sólo
§l. Teorema$
1enerale1
ª'
cuando, y es divisible por a.
En efecto, sean r y r 1 los restos no negativos minimos de los
números y y y' respecto del módulo 6; entonces, para ciertos
enteros q y q 1, se tiene y = &¡ + r, y' = &¡1 + r 1• De aqul,
en virtud de que a6 = 1 (mód. m), resulta que
a'= (a6)' a' 1
a' (mód. m),
a?'= (a6)' a'• - a'• (mód. m).
Por lo tanto, d' a df1 (mód. m) cuando, y sólo cuando, a' e
c;;; tri (mód. m), es decir, (b), cuando r = r 1•
t
2. RAlCeS PR I M
RESPECTO oe LOS MDOULOS ptl. y 2ptl.
109
d. C.Omo ~ <m> = 1 (mód. m). de e (y' = O) se deduce que
q> (m) es divisible por 6. Por consiguiente, los exponentes a loa
cuales pertenecen los números respecte del módulo m, son diui·
sores de q> (m). El mayor entre estos divisores es el mismo
número q> (m). Los números que pertenecen al exponente q> (m)
(si tales existen) se llaman raices primitivas respecto del módulo m ,
§ 2. Ratees
a. Sea p un número primo impar y a ~ 1.
prlmltlo'"
Demostremos la existencia de raíces prirespecto de
mitivas respecto de Jos módulos ptl. y 2ptl..
loa módoloa pa b. Si x pertenece al exponente ab respecte
y 2p«
del módulo m, enlences x" pertenece al
exponente b.
En efecto, supongamos que x" pertenece al exponente 6.
1 (mód. m);
Entonces (x"6 ) = 1 (mód. m), de donde .xao
por lo tanto (e, § 1), a6 es divisible por ab, es decir, 6 es
divisible por b. Por otra parte, x"b = 1 (mód. m), de donde
(X")b = 1 (mód. m); por consiguiente (e, § 1), b es divisible
por /J. Por lo tanto, 6 = b.
c. Si x pertenece al exponente a e g pertenece al exponente b
respecto del módulo m, g (a, b) = 1, enlences xg pertenece al
=
exponente ab.
En efecto, supongamos que xg pertenece al exponente 6. En ton·
ces (xg)º = l (mód. m). De aqul resulta que .r>O if4 a
1 (rnód. m) y (e, § 1) x!16
1 (mód. m). Por lo tanto
(e, § 1), b6 es divisible por a, y como (b, a) = 1, 6 es divisible por a. Del mismo modo hallamos que 6 es divisible por
b. El número 6, siendo divisible por a y por b, y teniendo en
cuenta que (a, b) = 1, es también divisible por ab. Por otra
parte, de (xg)"°
1 (mód. m) se deduce (e, § l} que ab es
divisible por 6. Por lo tanto, 6 = ab.
d. Existen ralees primitivas respecto del módulo p.
En efecto, sean
(1)
6,, 6~ . .. .. 6,
=
=
=
110
~AVI JULO YJ R AJ(;i;S JIRJMJ tJYAS E J NDJ(;ES
todos los exponentes distintos a que pertenecen los números 1,
2, ... , (p-1) respecto del módulo p. Supongamos que "tes el
mínimo común múltiplo de estos exponentes y que "t =
= <ft•, qr:1 ... lf:1t es su descomposición canónica. Cada factor
<t:• de esta descomposición divide al menos a uno de los números 61 de la sucesión (!), el cual, por consiguiente, puede
expresarse en la forma; 61 = aq';. Sea t; uno de los números
de la sucesión 1, 2, . . ., p - 1, pertenecientes al exponente
61 • Según b, el número r¡,
t~ pertenece al exponente
q';", y según e, el producto g = T)1 r¡1 •• • rt1i pertenece al expo-
=
q:A
nente <F.' qr:i . ..
= T.
Pero, como todos los números (1) dividen a "t, todos los
números 1, 2, . .. , p - 1 son soluciones (c, § J) de la congruencia x• ;¡,¡; 1 (mód. p); por esta razón, en virtud de e, § 4,
cap. IV, se tiene, p - 1 ~T. Pero (d, § 1) "t es un divisor
del número p - 1. Por lo tanto, "' = p - 1 y g es una ralz
primitiva.
c. Sea g una raíz primitiva respecto del módulo p. Se puede
seiialar un número I de modo que el número u que se determina
por la igualdad (g + pf)P-t = 1 pu no sea divisible por p.
+
El número correspondit!nle g + pi es una raíz primitiva respecto
del módulo fP para cualquier a > 1.
En efedo, se tiene
gP-l = 1+ PTo,
(g + pt)P-1 = 1 + p (T0 -gP-tt + pT) =· l +pu,
(2)
donde u, simultáneamente con I, recorre el sistema completo
de restos respecto del módulo p. Por lo tanto, se puede indicar un número t de modo que u no sea dívisible por p. Para tal
valor t, de (2) se deduce también que
(g + pt)P1P-t1 = (1 pu)P = 1 p'u 2, }
(3)
(g pJ)P'•P-li = ( J + p'u2)P = 1 + p'uJ,
+
+
donde u 2 , ~ ,:
•· . •• • n~
+
·oon · cÍi.;is.ib·I~ ·pÓr · p·. · ·
S J. BUSQUtOA DE LAS RAIC ES PRIMITIVA ~
111
Supongamos que g + pi pertenece al exponente 6 respecto
del módulo ¡P Entonces
(g+pt)6 .. ¡ (mód. pa.).
(4)
+
De aqui que (g
pt)º = 1 (mód. p); por consiguiente, 6 es un
múltiplo de p - 1, y_como 6 divide a <p (¡1') = pa.-1 (p - 1)
se tiene que 6 = p'-1 (p - 1), donde r es uno de lo.s número.s l , 2, ... , a.. Sustituyendo el primer miembro de la congruencia (4) por su expresión de la igualdad correspondiente
de (2) y (3), resulta (u = u 1}:
l+p'u,¡¡¡¡; 1 (mód. pa.), p' -o(mód. pa.), r = a, 6=cp(pa.),
es decir, g
lo ¡P.
+ pi
es una raiz primitiva respecto del módu-
t. Sea g1
una raíz primitiva respecto del módulo ¡P, dtJruJe
1. Eritonces, el impar entre los números g 1 y g, + ¡P, es
una ra[z primitiva respecto del módulo 2¡P.
En efecto, es obvio que cualquier número impar x que satisfaga a una de las congruencias xv = 1 (mód. ¡P) y xY =
= 1 (mód. 2¡P) satisface también a la otra. Por lo tanto,
como <p (¡P) = q> (2¡P), cualquier impar x que sea una raíz
a.~
primitiva respecto de uno de los módulos ¡P y 2¡P es también
una raíz primitiva respecto del otro. Pero, entre las dos raíces
primitivas K1 y K1
¡P respecto del módulo ¡P, una de
ellas es, inevitableménte, impar, por consiguiente, ésta será
ta mbién una raiz primitiva respecto del módulo 2¡P.
+
§ 3. Bdsqtieda
de las ratees
Las ralees primitivas respecto de los
módulos ¡P y 2¡P, donde p es un número
pr/mltl"as
respecto
primo impar y a ~ 1, pueden buscarse
de 1011 módtilo11 aplicando el siguiente teorema general:
P"' y 2pa.
Sea e = <p (m) g sean q., qi• .... qk los
diuisores primos distintos del número c. Para que un número g,
que es primo con m, sea una ralz primitiua respecto del módulo
m, es necesario y su/icienle que 1!$le número g no satisfaga a nin·
112
CAPITULO VI llAICES PRIMITIVAS I! INDICES
guna de las congruencias.
g'• -
1 {mód. m),
g'• .. 1 {mód. m),
... ,
(1)
· · ·• g9" -1 {mód. m).
En efecto, si g es una raíz primitiva, éste pertenece al exponente e y, por consiguiente, no puede satisfacer a ninguna
de las congruencias (1).
Reclprocamente, supongamos que g no satisface a ninguna
de las congruencias (1). Si el exponente 6, al cual pertenece g,
fuese menor que e, entonces, designando con la letra q
alguno de los divisores primos de
tendrlamos que
T,
e
e
e
-
T = qu, -q = 1'u. g q - l (mód. p~. lo cual contradice a la
hipótesis hecha. Por lo tanto, 6 =e y ges una raíz primitiva.
Ejemplo l. Sea m
= 41.
Se tiene cp (41) = 40 = 2' ·5, ~ =
= 8, ~ = 20. Por consiguiente, para que un número g, no
divisible por 41, sea una ralz primitiva respecto del módulo 41 , es necesario y suficiente que ~te número g no satisfaga
a ninguna de las congruencias
g' i= l (mód. 41), g"' = l {mód. 41).
(2)
Ensayando los números 2, 3, 4, ... , hallamos (respecto del
módulo 41):
2' • 10, 3';:; 1, 41 e 18, 5' n 18, 6' !!! 10,
tit E? 1,
42• = 1, 510 .,. 1, 620 !!!! 40.
Vemos, pues, que los números 2, 3, 4, 5 no son rakes primitivas, puesto que cada uno de ellos satisface al menos a una de
tu congruencias (2). El número 6 es una raíz primitiva, puPS
no satisface a ninguna de las congruencias (2).
Ejemplo 2. Sea m = 1 681 = 41 1 . En este caso también se
podrfa buscar una ra!z prim1tiva aplicando el teorema general.
Sin embargo, la hallaremos qiás fácilmente aplicando el
S 4 . 1 NOJCt;S RESPECTO DE LOS MODULOS p 4
Y 2p4
/J;J
teorema e, § 2. Teniendo en cuenta (ejemplo 1) que el
número 6 es una raiz primitiva respecto del módulo 41,
hallamos:
6• 0 = 1 +41 (3 + 411),
(6+411)'º = 1 +41(3+41l-6"t+41T) = 1 +4lu.
Para que u no sea divisible por 41, es suficiente tomar t = O.
Por ello, se puede tomar por raiz primitíva respecto del
módulo 1 681 el número 6 + 41 ·O= 6.
Ejemplo 3. Sea m = 3 362 = 2 · l 681 . En este caso también
se podria buscar una raíz primitiva aplicando el teorema
general. Sin embargo, la hallaremos más fácilmente aplicando el teorema f, § 2. Teniendo en cuenta (ejemplo 2) que el
número 6 es una raíz primitiva respecto del módulo l 681,
se puede tomar por raíz prim itiva respecto del módulo 3 362
el número impar entre los números 6, 6 + 1 681, o sea, el
número 1 687.
a. Supongamos que p es un número primo
§ 4. Indices
respecto
impar, ~ ;;¡¡: 1; mes uno de los números fP
de los m6dalos y 2¡P; e = q¡ (m), g es una raíz primitiva
pa. y 2pt>.
respecto del módulo m .
b. Si y recorre los restos no negativos mínimos y = O, J, . . . ,
e - l respecto <kl módulo e, entonces p;v recorre el sistema reducido de restos respecto <kl módulo m.
En efecto, ¡fl recorre e números que son primos con m y que, en
virtud de b, § 1, no son congruentes entre si respecto del
módulo m.
c. Para los números a que son primo$ con m introduciremos
el concepto de índice, el cual representa una analogia del
concepto de logaritmo; en este caso, la raíz primitiva desempeña un papel similar a i de la base de los logaritmos.
Si
a = ((V (mód. m)
114
CAPI rULO VI RAIC ES l'R IMITIVAS e INDI Cl!S
(se supone que y~ O), el número y se llama índice del número
a, respecto del módulo m, de base g y se designa con la nota·
ción y = ind a (más exactamente y = ing 1 a).
En virtud de b, todo a que sea primo con m admite un índice
único y' entre los números de la sucesión
y = O, 1, ... , e - l.
Una vez conocido y', se pueden señalar también todos los
indices del número a; según c, § 1, éstos serán todos los números no negativos de la clase
y = y' (mód. e).
De la definición de índice dada se deduce inmediatamente q ue
los números que poseen un Indice dado y forman una clase de
números respecto del módulo m.
d. Se tiene
indab ... /iminda+in:lb + ... +indl (mód. e)
y,
en particular,
ind an
En efecto,
=
n ind a (mód. e).
ª 0 (mód. m),
b- g 104 b (mód. m), ...
. . . ' 1- glnd 1 (mód. m),
de donde, multiplicando, hallamos
ab ... l = glndo+andH ..• +1odl (rnód. m).
a - g 10
Por consiguiente, ind a + ind b + ... + ind l es uno de los
Indices. del producto ab . . . l.
e .. Debido a las · aplicaciones prácticas de los índices, para
cada módulo p (claro, no muy grande) se han compuesto
tablas de Cndic~. Estas son dos: una para hallar el índice de un
número dado, otra para halla r los números por el ind ice.
Las tablas contienen los restos no negativos mínimos de los
números (el sistema reducido) y sus índices mínimos (el
sistema completo) respecto de los módulos p y e = <p (p) ·"
= p - I, respectivamente.
S 4. INDICES RESPECTO DE LOS MODULOS ,,0. Y tplll
115
Ejemplo. Formemos las tablas indicadas para el módulo p =
Anteriormente se demostró (ejemplo 1, § 3) que el
número g = 6 es una ralz primitiva respecto del módulo 41;
tomérnoslo por base de los Indices. Hallamos (las congruencias
se toman respecto del módulo 41):
= 41.
6º- 1
&- 6
61 -36
61 .a ll
6'-25
61 -21
s•-39
6'-29
s•- 10 s11 -18
6"-16
sn-14
6"- 2
621 -12
62'-31
52.1-22
6'°
9
11
6 -13
17
6•-19 6 -26
61º-32 61'-33
611 -28 5u-34
12
6
-
4
5io - 40
611 -24 621 -35
5u aa 21 s= .. 5
16
21
6 - 3 6 - 30
=
619 -37
6"-17
6"-20
616 -38
5u -23
6"- 15
6"- 8
""- 7,
por lo tanto, las tablas indicadas son:
N'O
1 2 3 4 5 6 7 8 9
o
o
1
2
3
..
26 15 12 22 1 39
8 3 Z'T 31 25 37 24 33
34 14 29 36 13 4 17 5
23 28 JO 18 19 21 2 32
20
38 30
16 9
11 7
35 6
/10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
!~I ~: H~ :! :: ~ HE
1
3r
1; 37 17 20 38 23 15 8
7
1
Aquf el núme.ro de la fila denota las decenas y el número de la
columna denota las unidades del número (del Indice). En
la casilla que es común para la fila y columna indicadas v iene
colocado el Indice (el número) correspondiente.
Por ejemplo, el lnd 25 se halla en la casilla de la primera
tabla que es común a la fila que- posee el número 2 y a la
columna que posee el número 5, es decir, ind 25 = 4. El
número cuyo Indice es 33 se halla en la casilla de la segunda
tabla que es común a la fila que posee el número 3 y a la
columna que posee el número 3, es decir, 33 = ind 17.
//6
CAPITULO VI llAI CES PRl!o\ITIVAS E I NDI C ES
§ 6. Consecoen- a. Supongamos que p es un número primo
cloa
impar; a ~ J, m es uno de los números
de la teorla
¡P, 2¡P, y, finalmente, c ""' cp (m).
antecedente
b. Sta (n, c) = d; entonces:
1. La congruene1a
(1)
x" = a (m6d. m)
admite solución (g, por C011Siguiente, a es un resto de grado n res·
pecto del módulo m) cuando, g sólo cuando, ind a es un múltiple de d.
Si la congruencia (1) es resoluble, ésta admite d soluciones.
2. En el sistema reducido de restos respecto del módulo m, el
número de restos de grado n es igual a~En efecto, la congruencia (1) es equivalente a la siguiente:
n ind x - ind a (mód. e),
(2)
la cual admite solución cuando, y sólo cuando, ind a es un
múltiplo de d (d, § 2, cap IV).
Si la congruencia (2) admite solución, para el ind x se obtienen
d valores incongruentes respecto del módulo e; a éstos les
corresponden d valores de x que son incongruentes respecto
del módulo m.
Por lo tanto, la afirmación l es cierta .
Entre los números O, 1, .. ., e - 1, los cuales son los Indices minimos de los restos del sistema reducido respecto del
módulo m, hay
7 números que son múl tiplos
de d. Por lo
tanto, la afirmación 2 es cierta.
Ejemplo 1. Para la congruencia
..t• !!!!
23 (mód. 41)
(3)
se tiene (8, 40) = 8, y como ind 23 = 36 no es divisible
por 8, la congruencia (3) es irresoluble.
Ejemplo 2. Para la congruencia
x11 a 37 (mód. 41)
(4)
5 6. CONSECUENCIAS DE LA Tl!ORIA ANTECEDENTE
111
se tiene (12, 40) = 4, y ind 37 = 32 es divisible por 4.
Por lo tanto, la congruencia (4) es resoluble y admite 4 soluciones. Las soluciones indicadas se hallan del modo siguiente.
La congruencia (4) es e~uivalente a las siguientes:
12 ind x ==< 32 (mód. 40), ind x a 6 (mód. 10).
De aquf, para el lnd x se hallan 4 valores incongruentes
respecto del módulo 40:
ind X
6, 16, 26, 36,
=
correspondientemente a lo cual se hallan 4 soluciones de la
congruencia (4):
X E 39; 18; 2; 23 (mód. 41).
Ejemplo 3. lo,, números
1, 4, 10, 16, 18, 23, 25, 31, 37, 40,
(5)
cuyos índices son múltiplos de 4, son todos los restos bicua·
dráticos (o también todos los restos de cua lquier grado n = 12,
28, 36, . . . , donde (n, 40) = 4), que hay entre Jos restos posi·
livos mlnimos respecto del módulo 41. La cantidad de núme·
ros en la sucesión (5) es igual a JO=
~·
c. Junto con el aserto b, 1 es útil el siguiente:
El número a es un resto de grado n respecto del módulo m cuando, !J sólo cuando,
e
ad'• I (mód. m).
(6)
En e fecto, la condición ind a• O (mód. d) es equivalente
a la siguiente: ;
ind a - O (mód. e). Por su parte, esta
última es equivalente a la condición (6).
EJe.mplo. En el teorema de l § 3, la imposibilidad de In
e
=
congruencia g4
1 (mód. m) es equivalente a la condición
de que g sea un no-resto de grado q respecto del módulo m.
118
CAPITULO VI RAICl!S PRIMITIVAS I! I NOICl!S
e
En particular, la imposibilidad de la congruencia g2 - 1 (mód. m) es equivalente a la condición de que g sea
un no-resto cuadrático respecto del módulo m (compárese
con e, § 1, cap. V).
d. l. El exponente 6, al cual pertenece a respecto del módulo m,
i;
se determina por la iguaú.tad (ind. a, c) =
en particular, la
pertenencia de a al conjunto de rafees primitivas respecto del
módulo m se determina por la iguaú.tad (ind a, c) = l.
2. En el sistema reducido de restos respecto del módulo m, la
cantidad de números que pertenecen al exponente 6 es igual
a cp (6); en particular, la cantidad de ratees primitivas es igual
a cp (e).
En efecto, 6 es el divisor mlnimo de e que satisface a la
condición ~ = 1 (mód. m). Esta condición es equivalente a
6 ind a
O (mód. e),
o sea,
=
ind a-o(mód. ~)·
Por lo tanto, 6 es el divisor menor de c para el cual ~
divide a ind a, de donde ~ es el divisor mayor de c que
divide a ind a, es decir, ~
= (ind
a, e). Por lo tanto, la
afirmación 1 es cierta.
Entre 'los números O, l, ... , c - 1, Jos cuales son los
indices mínimos de los restos del sistema reducido respecto
del módulo m, son múltiplos de
T lo3 números de la forma
~ y, donde !J =O, l, ... , 6- J. La condición ( ~ y,
e) =
= ~ equivale a que sea (!J, 6) = 1; a esta última condición
satisfacen cp (6) valores de g. Por lo tanto, la afir mación 2
es cierta .
f 6 1NDICES RESPECTO DEL MODULO 2<>
1/9
Ejemplo 1. En el sistema reducido de restos respecto del módulo 41, los números que pertenecen al exponente 10 son aquellos números a que satisfacen a la condición (ind a, 40) =
40
= TO
=
4, es decir,
. son 1os numeras
•
4, 23, 25, 31.
En total se tienen 4 = q¡ (10) números.
Ejemplo 2. En el sistema reducido de restos respecto del
módulo 41 son ralees primitivas los números a que satisfacen
a la condición (inda, 40) = 1, es decir, los números
6, 7, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 34, 35.
En total se tienen 16 = <p (40) raíces primitivas.
§ 6. Indices
a. Para el módulo 2':i la teoría precedente
se sustituve por otra un poco más comdel módulo :.!'A plicada.
b. Sea ex = 1. Entonces 2':i = 2. Se tiene q¡ (2) = 1. Es una
raíz primitiva respecto del módulo 2, por ejemplo, 1 =
s -1 (mód. 2). El número Iº = (-1)º = 1 forma el sistema
reducido de restos respecto del módulo 2.
c. Sea ex = 2. Entonces 2':i = 4. Se tiene <p (4) = 2. Es una
ralz primitíva respecto del módulo 4, por ejemplo, 3 =
= -1 (mód. 4). Los números (-1)º = 1, (- 1)1 := 3 (mód. 4)
forman el sistema reducido de restos respecto del módulo 4.
d. Sea ex ::;;i:. 3. Entonces 2° ::;;i:. 8. Se tiene .p (2'1) = 2"- 1
Fácilmente se observa que en este caso no hay raíces primitivas; más exactamente: el exponente al que pertenece un
número impar x respecto del módulo 2'1 no es superior a
respecto
:za- 2 =-} q¡ (2ª). En efecto,
se tiene
x = 1 + Bt1 ,
2
x'= 1 + 1611 ,
x2<1-Z = 1
+ 2"'1a.-2 -
1 (mód. 2"').
120
CAPITULO VI R AICES PRIMITIVAS E INDICES
Ahora bien, existen números que pertenecen al exponente
2°- 2• Tal es, por ejemplo, el número 5. En erecto,
5 = 1+4,
5i = 1+ 8 + 16,
5• ,.. 1+ 16 +32ui.
2"'-·
__, -
5
= I + ..:
+ ..:u.. _3,
de donde se ve qut> ninguna de las potencias 5 1, 5 2 ,
r.
5 ' •...• 5 ics- 3 es congruente con 1 respecto del módulo
Ficilmente se observa que los números de las dos filas
siguientes:
sº,
51, . . .•
52"-2- •.
- 5°,
-5 1 ,
• • ••
- 52" -
2
-
1
forman el sistema reducido de restos respecto del módulo 2<>.
En efecto, en total se tienen 2 ·2<'-1 = <¡> (2<>) números; los
números de cada fila por separado son incongruentes entre sí
respecto del módulo 2<> (b, § I); finalmente, los números de la
fila superior son incongruentes con los de la inferior, puesto
que, respecto del módulo 4, los primeros son congruentes con
1 mientras que los segundos son congruentes con - 1.
e. Pa ra mayor comodidad en las investigaciones posteriores
expresaremos los resultados b, c, d en una forma más uniforme, la cual valdrá también para el caso a = O.
Sta
si a = O. o si a ,.., 1:
e= 1, c0 = 1,
2
c=2. c0
si a :;;;i.2.
•
(por lo tanto, siempre cc0 - cp (r)) y supongamos que y y yo
recorren, in<kpendientemenJe uno <kl otro, los restos mínimos
no rugatioos
y = O....• c- 1: y0 = 0, ... , c0 - l
res¡:J«lo d.t los módulos e !/ c0 • Entonces (-1 )Y 5vo recorre el
sistema reducido <k restos res¡:J«lo el.ti módulo 2<>.
=r-
t 6 INDICES RESPECTO DEL MODULO 2"
121
(-l)Y' 5Y: {mód. 211)
(1)
f. La congruencia
(-J)Y 5Yo
=:
se verifica cuando, g sólo cuando
yray' {mód. e)
'Yo-Y~(mód.
Co).
En efecto, para a = O el teorema es obvio. Por lo tanto,
supongamos que a> O. Sean r y r0 los restos mfnlmos no
negativos respecto de los módu los e y c0 para los números
y y Yo. y sean r' y r; los restos correspondientes para los
números y' y y;. En virtud de c, § 1 (- 1 pertenece al exponente e
mientras que 5 pertenece al exponente c0), se verifíca la
congruencia (1) cuando, y sólo cuando, (-1)' 5'0 =
1SS(-l(
5'~ (mód.
2'1), es decir, {en virtud de e) cuando
r = r', r0 = r; .
g. Si
a;;:;;; ( -
1)'" 5Yo (mód. 2'"),
e l sistema y, y 0 se llama sistema de índices del número a respecto
del módulo 2ª.
En virtud de e, todo a que sea primo con 2" (o sea. impar)
admite un sistema único de índices y', y; entre los cc 0 =
= q> (2'1) pares de valores y, Yo indicados en e.
Conociendo el sistema y', y;· se pueden indicar también todos
los sistemas de índices del número a; según f, éstos serán todos
los pares y, y 0 formados por las clases de números no negativos
y
=
y' (mód. c), Yo
=y; (mód. c
0).
De la definición dada de sistema de índices se deduce inmedia·
tamente que los números que poseen un sistema de indices
dado y, Yo forman una clase de números respecto del módu·
lo 2'1.
h. Los indices del producto son congruentes con las sumas de los
indices de los factores respecto de los mé<fulos e g c0 •
En efecto, sean y (a), Yo (a); . . . ; y(/), Yo (1) los sistemas de
/22
CAPITULO VI RAICl!S PRIMITIVAS 1! INOICl!S
Indices de los números a, ... , l. Se tiene
a ...
l • (- 1)l'<•W .. · •y<IJ 5 vo<•J• ..+w<'I.
Por consiguiente, y (a) + ... + y ({), y 0 (a)
son los Indices del producto a ... l .
§ 1. Indices
rupecto
ae caalqaler
m6dalo
compHsto
+ ... + Yo ({)
a. Sea m = 2"p~ip:S ... p:11 la descom~ición
canónica del número m. Supon·
gamos que c y c0 denotan los valores
indicados en e, § 6; c, = cp (p~•); g, es
la ra[i primitiva m[nima respecto del módulo P°''·
b. Si
O•(-l)V5Yt(mód. 'Í') ,
}
a-gr1 (mód. p~•), .... a-g=ll (mód. p:ll).
el sistema y, y0 , y1,
••• ,
(l )
y11 se llama sistema de indices cúl
número a respecto del módulo m .
De esta definición se deduce que y, y0 es el sistema de
indices del nú}Tlero a respecto del módulo 'i' y y1, ••• , y,.
son los índices del número a respecto de los módulos
11 • Por ello (ir. § 6; e, § 4), todo a que es primo
p~•
con m (y que, por consiguiente, es primo con todos los
11 ) admite un sistema único de
números 2°, p~•
Indices y', y¿, y;, ... , YÁ entre los cc(IC1 ••• c4 ,... cp(m) sistemM y, y0, y 1, •.. , y11 que se obtienen cuando y, y0,
y 1, ••• , ·y11 recorren, independientemente uno de otro, los
restos mínimos no negativos respecto de los módulos e, c0 ,
c., ... , c11 . Formando todos los sistemas y, y 0, y., .. . , y11,
compuestos por los números no negativos .de las clases
Y-Y~ (mód. c), Yo 11!1 y; (mód. Co).
y, -Y~ (mód. C¡), ••.• Y• - yj. (mód. C11).
se obtltnen todos los sistemas de Indices del número a.
Loe números a que poseen un sistema dado de Indices y, y 0 ,
. ... , p:
. ... , p:
PREOUNTAS REPERBNTES Al. CAP. VI
/23
y 1, • • • , Y• pueden hallarse resolviendo el sistema (1) y, por
consiguiente (b, § 3, cap. IV), forman una clase de números
respecto del módulo m.
c. Como los índices y, y0 , y 11 • • • , Y11. del número a res·
pecto del módulo m son los Indices del mismo respecto de
los módulos '11', p~•
respectivamente, subsiste el
teorema:
Los indices del producto sen congruentes respecto de los m6du·
los c, c0 , ci. .. . , c,. con las sumas de los Indices de los factores.
. ... , p;.,,,,
d. Sea 'f=q¡(2ª) si a~2 y 'f=fq¡('t1') si a>2 y desig·
nemos con h el mínimo común múltiplo de los números
'f, c1, ••• , c11.. Para cualquier a que sea primo con m, se
cumple la congruencia a" .. 1 respecto de todos los módulos '11', p~1, ... , p:11. , por lo cual, también se cumple esta
congruencia respecto del módulo m. Por lo tanto, a no
puede ser una raíz primitiva respecto del módulo m si
h < q¡ (m). Per() esto último ocurre cuando a> 2 siendo
k > 1, y también cuando a= 2, k = l. Por consiguiente,
para m > 1 pueden existir raíces primitivas solamente en
los casos m= 2, 4, p~1, 2p~1. Pero precisamente en estos
casos fue demostrada anteriormente (§ 6, § 2) la existencia
de raíces primitivas. En resumen, todos los casos en que
existen raíces primitivas respecto de un módulo m, superior
a 1, son
m = 2, 4, pª, 2pª.
Pregantos referenttts al capitulo VI
A continuación, la letra p siempre denota un número primo
impar , y en la pregun ta 11, b, también el número 2.
l, a. Sea a un número entero, a> l. Demostrar que los divisores primos impares del número aP - 1 dividen a a - 1
o son de la forma 2px + 1.
JU
CAPITULO VI RAI Cl?S PRIMITIVA S
e
IN OIC l! S
b. Sea a un número entero, a> 1. Demostrar que los divisores primos impares del número aP+ 1 dividen a a + 1
o son de la forma 2px + 1.
c. Demostrar que hay una cantidad infinita de números primos de' la forma 2px + l.
d. Sea n un número entero, n > O. Demostrar que los divisores primos del número 21 n + 1 son de la forma 2n+1x + 1.
2. Sea a un número entero, a > 1, y sea n un número entero,
n >O. Demostrar que q> (a"-1) es un múltiplo den.
3, a. Sea n un número entero, n > 1. C.On los números 1,
2, .... n, siendo n impar, formemos las permutaciones
1, 3, 5, .... n - 2, n, n - I, n - 3, ... , 4, 2;
1, 5, 9, .. . , 7, 3,
etc. y siendo n par, formemos las permutaciones
1, 3, 5, .. .. n - 1, n, n - 2, .. .. 4, 2;
1, 5, 9, .... 7, 3,
etc. Demostrar que la k-ésima operación da la sucesión inicial
cuando, y sólo cuando, 2' = ± 1 (mód. 2n- I).
b. Sean n y m dos números enteros, n > 1, m > 1. C.Ontemos
los números 1, 2, .... n en orden directo desde 1 hasta n,
después en orden inverso desden hasta 2, luego de nuevo en
orden directo desde 1 hasta n, después otra vez en orden
inverso desde n hasta 2, ele. En este cálculo, escribamos los
números: el 1°, el (m + 1)-ésimo, el (2m + 1)-ésimo,
etc., hasta que se obtengan n números. Repitamos la misma
operación con la nueva sucesión den números, etc. Demostrar
que la k-ésima operación de la sucesión inicial cuando, y sólo
cuando,
nr' a ± 1 (mód. 2n - 1) .
4. Demostrar la existencia de q> (6) números perteneéientes al
exponente 6, considerando para ello la congr'uencia ~ =
a 1 (m6d. p) (pregunta 10, e, cap. 1V) y aplicando d, § 3,
cap. 11 .
PRIOOUNTAS Rl!Fl!RENTE S Al. CAP VI
/ 25
5, a. Demostrar que el número 3 es una raíz primitiva de
los números primos de la forma 2n + 1, n > 1.
b. Demostr~r que el número 2 6 -2 es una ralz primitiva de
los números primos de la forma 2p + 1, según que el número p
sea de la forma 4n
1 o de la forma 4n
3.
c. Demostrar que el número 2 es una raiz primitiva de Jos
números primos de la forma 4p + 1.
d. Demostrar que el número 3 es una raiz primitiva de los
números primos de la forma
+
+
2n p + 1, si n > l Y P >
32n- I
'"'2" ·
Ir.
6, a. a) Sea n ente.ro, n :> O, Sn = I" t 2" + . .. + (pDemostrar que
S,. - - 1 (mód. p), si n es un múltiplo de p-1,
S,. - O (mód. p)
en caso contrario.
~) Conservando las notaciones de la pregunta 9, e, cap. V,
demostrar que
S(I)--(:t)
(mód p)
b. Demostrar el teorema de Wilson aplicando b, § 4.
7. Supongamos que g y g 1 son raíces primitivas respecto del
módulo p, y que a. ind1g 1 :::= 1 (mód. p - 1).
a. Sea (a, p) = 1. Demostrar que
ind 61 a .. a ind8 a (mód. p - 1) .
b. Sea n un divisor de p - 1, 1 < n < p - l. Los números
que son primos con p pueden dividirse en n clases, refiriendo
a la S·ésima clase (s = O, J, ... , n - 1) los números que satis·
íacen a la condición ind a - s (mód. n). Demostrar que la
clase de orden s según la base g es equivalente a la clase de
orden s 1 st>gún la base g 1, dondes, = a. s (mód. n).
8. Señalar el método más simple posible de resolución de la
congruencia x" = a (mód. p) (que sea cómodo si (n, p - 1) no
}26
CAPITULO VI RAICES PRIMITIVA S E INDICES
es muy grande) en el caso en que se conoce una rali primitiva g respecto del módulo p.
9. Supongamos que m, a, e, co. e,, ... , c/t, y, Yo. Ys •... , Y11
denotan Jos valores indica~ en el § 7. Tomando cualesquiera ralees R. Ro. Rs. . .. , R11 de las ecuaciones
Ir = 1. R!º = l ,
R~ 1 .,,. 1, ... 1 R: 11 = l.
hacemos
x(a) = RvR:ºRI1. .. . , R!"·
Si (a, m) > 1, hacemo.s x (a) = O.
La función definida de este modo para todos los valores enteros de a, la llamaremos cardcter respecto del módulo m. Si
R = Ro = R1 = ... , = R11 = 1, al carácter lo llamaremos
principal; ~te admite el valor 1 si (a, m) = J y el valor O
si (a, m)> l.
a. Demostrar que del modo indicado se obtienen cp (m) caracteres distintos (dos caracteres se llaman distintos, si al menos
para un valor de a ~tos no son iguales entre si).
b. Deducir las propiedades siguientes de los caracteres:
ci)x(l) = I,
X(a1a1) == X (as) X(az),
y) x (a1)=x(az), si a1 =a2 (mód. m).
c. Demostrar que
~)
1
~ X(a)=
0
•
carác~er principal,
O para los demas caracteres.
{ cp (m) P.ara el
0
d. Demostrar que, sumando para un valor de a dado respecto de todos los cp (m) caracteres, se tiene
~
a - { cp (m), si a• I (mód. m),
¿,; X( ) O en caso contrario.
ll
e. Considerando la suma
lf= ~ ~
xcal
~~~(a)
X
o
l>REOliNTAS Rl!l'l!Rl!NTl!S Al. CAi>. VI
121
donde a recorre el sistema reducido de restos respecto del
módulo m, demostrar que la función~ (a), definida para todos
los valores enteros de a y que satisface a las condiciones:
1j> (a) = 0, si (a, m)> 1,
1j> (a) no es idénticamente igual a O,
1j> (a1a 2 ) = 1j> (a 1) 1j> (a2 ),
'!> (a2 ), si a 1 - a 2 (mód . m),
cp(a 1) =
es un carácter.
f. Demostrar los teoremas siguientes:
cx) Si X1 (a) y X2 (a) son dos caracteres, entonces Xi (a) Xi (a)
también es un carácter.
~) Si Xs (a) es un caráct~r y x(a) recorre todos los car8C'teres, entonces Xs (a) x (a) también recorre todos los caracteres.
y) Si (l. m) = 1, se tiene
~ x(a) - {cp(m), si
~
x (1)
-
a-1 (mód. m)
O en e.aso contrario.
X
10, a. Sea n divisor de p-1, 1 <n<.p-1, y I un entero
2Jll ..!...
que no sea divisible .por n. El número R1 = e
" es una
raíz de la ecuación R~ = 1 y, por consiguiente, la potencia
1..1
..!.!!!!!.
e
" , a la cual hay que asignarle el valor O cuando x
es un múltiplo de p, es un carácter respecto del módulo p.
a) Demostrar que si (k, p) = 1, se tiene
J>- 1
,.~e
_,
M Sea
,. llnd <x+ll - llndir
2 1
"
= - 1.
Q entero. 1 < Q < p,
0- 1
Si . ..... = ~ e
•-O
2,.1 /lnd(•+•>
"
128
CAPITULO VI RAICES PRIMITIVA S E IN OICF.S
Demostrar que S=(p-Q)Q.
11, a. Supongamos que a es un entero, n es divisor de
p- 1, 1 < n.:;;;;. p- 1, k es un entero que no es divisible
por n,
P-1
Uª· ,, = ,_,
~ e
2nl .\ lnd"
"
2nl
..!!:!..
e
P
•
a) Siendo (a, p) = 1, demostrar que 1Va.,. J = ~ · p.
M Demostrar que
2n•~
e
"
=
u... p
U1.,,.
y) Supongamos que p es de la forma 4m + 1,
P-2
S == ~e
Zitl lnd(r•+">
'
.
.r=I
Demostrar que p = AZ + 8 2 (compárese con las preguntas
9, a y 9, e, cap. V), donde A y B son enteros, definidos
por la igualdad S=A + Bi.
ó) Supongamos que x, recorre los números del s istema
reducido de restos respecto del módulo p que satisfacen a
la condición ind x, = s (mód. n) . Haciendo
.
"I;'
S = L.Je
demostrar que
2nf
2=!..
P,
[s ++I< (1 -+) Vfi.
b. Sean entero, n>2. m> 1, (a, m)= 1,
s...
m
="
""2111 -
= L.J e
"
m •
I
So, m =
fe
,
2ftl~
m •
donde .x recorre el sistema completo y ~ el sistema reducido de restos respecto del módulo m (compárese con la
pregunta 12, d, cap. 111 y con la pregunta 11 , b, cap. V) .
PReO UNTAS REl'EReNTes AL CAP. VI
a)
129
Sea 6 = (n, p- J ). Demostrar que
ISa.pl-E;;(6 -
l)Vp.
P> Sea (n, p)= 1 y seas un entero, 1 <s -<: n. Demostrar que
so, p• = p-- •, s:. p• =o.
y) Sea s un enlero, s > n. Demostrar que
s:.p•=O.
Sa.p• = P"- 1so,p..."'
6) Demostrar que
,_..!
ISa.ml<Cm ",
donde e depende solamente de n.
12. Sean M y Q enteros, 0-<:M<M + Q ~ p .
a. Supongamos que n es un divisor de p - 1, l <n<
< p- J, k es un entero, no divisible por n. Demostrar que
M+Q- 1
1 ~
-"
: I Alndl<
en - ,.- l<Vplnp.
b, a) Sea T Ja cantidad de números de Ja s·éslma clase de
la pregunla 7, b, comprendidos entre los números M, M +
+ 1, ... , M + Q-1 . Demostrar que
T = .!?..+aV/i
Jnp ;
n
101<J.
p) Sea N un entero arbitrario y 10 = (211 Vp- 11. Demostrar
que entre los números de la s·ésima clase de la pregunta 7, b
existe ºal menos uno que es congruente respecto del módulo p
con alguno de los números de la sucesión
N -
l 0,
••• ,
N -
1, N, N
+ 1, ... ,
N
+1
0•
c. Supongamos que k denota el número de divisores primos de
p - 1 y que H es el número de ralees primitivas respecto del
módulo p, comprendidas entre los núrne.ros M, M + 1, ... ,
M + Q - 1. Demostrar que
H= '!>CP
- 1> Q+ a:t¡/plnp;
p- 1
191< J.
130
CAPITULO VI llAICU PRIMITIVAS !l IN OICl!S
d. Supongamos que M 1 y Q1 son enteros, O ~ M 1 < M 1 +
+ Q1 ~ p - 1, y que J denota la cantidad de números de la
sucesión ind M. ind (M + 1), ... , ind (M + Q - l), comprendidos -entre los números de la sucesión M 1 , M 1 +
+ l , .. . , M 1 + Q1 - l. Demostrar que
101< 1.
J = QQ1 + aVP'(lnp)z;
p- 1
13. Demostrar la éxistencia de una constante p 0 que satisface a la condición: si p > p 0 , n es un divisor de p - 1,
1 < n < p - 1, entonces, el menor entre los no-restos positivos de grado n respecto del módulo p , es< h;
..!.
,_ ...!.
h = p • (lnp)1 ; C= 2e "·
14, a. Sea m>I . (a, m) = l ,
2Jt " lllrl/
.. - 1 M - 1
S= ~ ~ "(x)p(g}e ' · ;;-;
i - ov-o
m- 1
m- t
X•O
11 -0
~ lv(x)j2 +x.
~ 1p (g) 11 = y .
Demostrar que ISI~ V XYm.
b, et) S upongamos que m > l, (a, m) = l , /1 es un entero,
n >O, K es el número de soluciones de la congruencia
x" - 1 (mód. m).
M- 1
S
fUn
21u '~x(x)e
'
= ,._,
"'
.
Demostrar que ISl ~ K Vñi.
11 una constante pos itiva arbitrari&. Siendo n constante, demostrar para el número K de la ¡>regunta <1) que
K = O(m').
c . Sean 2, q1 , . . . . q4 los divisores primos distintos
del número p -1.
a) Supongamos que g recorre las raíces primitivas respecto
del módulo p, comprendidas en el sistema reducido de
M Sea
PRl!OUNTAS Rl!Pl!Rl!NTl!S AL CAP. VI
J:ll
restos, (a, p) = 1,
Demostrar que
1s 1< .!.
cp{P-l) ~ v¡;.
8 p- 1
Para la demostración se debe hacer recorrer a s y s' los
números que satisfacen a las condiciones respectivas:
O ~s<p - 1;
S
-s, ( mÓd . q,,)
O ~ s'
s-ocmód. 2);
/ s, ...,.
/ ~
O....,
;¿
(r = 2, . .. , k),
<p - 1; s'-1(mód.2);
o/....,s;....,., / q,-I
-
s, -s,, (mo.d . q,,)
(r = 2, .. . , k),
2
y se debe considerar la suma
w=
aw.1•1
~
L.J S,;
'
S, =
~~2111-
L.J L.J e
'
, ,
.~
u, =g!'. v, = g!'',
donde t recorre el sistema reducido de restos respecto del
módulo p y g 0 es una de las raíces primitivas.
~)Sean M y Qenteros, O <;: M<M+Q~p. Demostrar que
la cantidad T de ralees primitivas respecto del módulo p,
contenidas en la serie M, M + I, ... , M + Q- I, se expresa
por la fórmula
T=
cp!1>_-. 1> (Q +e: 2~VP1np); 101<1.
y) Sea N un número entero y 10 = [
~ ~ V.PJ. Demostrar
que existe una raíz primitíva respecto del módulo p que es
congruente con alguno de los números
N - 10 ,
•• • ,
N · l, N, N
+ 1,
... , N + 10 •
132
CAPITULO V I RAICl!S PRIMITIVAS
e
INDIC!S
15, a. Supongamos que (a, p) = (b, p) = 1, y sea n un
número entero distinto de 1, 1n1= n1, O< n 1 < p,
P- 1
S= ~e
,,_,
,. cu:"+b
2 1
P
•
Demostrar que
.! !
3
ISl<2n~p4.
b. Sea (A, p) = 1 y supongamos que n es un entero, distinto de 1, lnl = n 1 , O <n1 <p, M 0 y Q0 son enteros,
O<:Mo < Mo + Qo~P·
ci) Sea
Demostrar que
3
1 3
ISl<2nfp6 l np.
~) Supongamos que M y Q son enteros, 0 -<:M <M + Q<'.p,
T es la cantidad de níuneros de la sucesión Ax", x = M 0 ,
M0 + 1, .. ., M0 + Q0 - 1, que son congruentes respecto del
módulo p con los números de la sucesión M . M l, ...
+
... , M + Q-1.
Demostrar que
3
n_Q
1 3
T=7+e 2 n~pi(lnp) 1 ; 191< l.
c. Supongamos que (a, p) = 1 y sean
b y e enteros,
(b'-4ac, p) = l.
c:i) Sea y un entero,
S=
p~t { Gll'+:x+o } ew T.
•-o
3
!
Demostrar que 1S1< 2 p 4 •
l!JIU!CICIOS NUMl!RICOS Rl!Pl!RBNTES AL CAP. V1
~)Sean
M y Q enteros,
Q~M<M+Q~p.
M+Q- t
S=
J3J
(ax•+:.c+c}·
~
!
3
Demostrar que ¡s¡ < 2 p• Jnp.
Ejercl&l<» "ª""rlco11 referentes ol copÍt•lo VI
1, a. Hallar (mediante los célculos mh simples posible) el exponente
al cual pertenece el número 1 respecto del módulo 43.
b. Hallar el exponente al cual pertenece el número 5 rel.pecto del
módulo 108.
2, a. Hallar las ralees primitivas respecto de los módulos 17, 289, 578.
b. Hallar las ralees primitivu respecto de los módulos 23, 529, 1 058.
c. Hallar la raíz primitiva mlnfma respecto del módulo 242.
3, a. Formar la tabla de Indices respecto del módulo 17.
b. Formar la tabla de índices respecto del módulo 23.
4 , a. Hallar una ralz primitiva respecto del módulo 71, empleando
la nota del ejemplo e, § 5.
b. Hallar uoa rafz primitiva respecto del módulo 191.
5, a. Sirviéndose de la tabla de Indices, Indicar la cantidad de solu·
ciones de las congruencias:
a) • .c'O- 79 (mód . 97), ji) ,i&I - 17 (mód . 97), y) xn - 46 (mód. 97).
b. Indicar la cantidad de soluciones de las congruencias:
a) 3x11 - 31 (mód. 41), jl) 7x1 - 11 (mód. 41), y) Sx*' - 37 (mód. 41).
&, a. Sirviéndose de la tabla de Indices, resolver las congruencias:
a) .r1
-
59 (mód. 67),
y) x*' -
jl) ;!"' -
17 (mód . 67).
14 (mód . 67).
b. Resolver las congruencias:
a) 23..- -
15 (mód. 73), jl) 37.r' - 69 (mód. 73),
y) 44.r11 - 53 (mód. 73).
7, a. Aplicando el teorema e,
nes de las congruencias:
a) ~ -
t
5, determinar la cantidad de solucio·
2 (mód. 37).
jl)
x•• -
10 (mód. 37).
b. Determinar la cantidad de soluciones de las congruencias:
a) ~ - 3 (mód. 71),
jl) .r'ª - 5 (mód. 71).
/J4
CAPITULO VI RAICl!S PRIMITIVAS I! INDICl!S
8, a. Empleando el rnttodo de la pre¡unta 8, resolver las congruenclu
(al resolver 11 segunda coneruencla se debe utilizar la tabla de rafcea
primitivas que viene In.seriada al final del libro):
a) x' - 37 {mód. 101).
b. Resolver la coneruencla
P> x' -
44 (mód. 101).
x' - 23 (mód. 109).
t, a. Empleando la tabla de Indices, Indicar, entre los restos del
sistema reducido de restos respecto del módulo 19: a) los restos cuadr'·
tlcos, p) los restos cúbicos.
11. Indicar, entre los restos del sistema reducido de restos respecto
del módulo 37: a) los resto1 de erado 15, p) los restos de grado 8.
10, a. Indicar, entre los res tos del sistema reducido de restos respecto
del módulo 43: a) los números que pertenecen al exponente 6, p) las
ralees primitivas.
11. Indicar entre los restos del sistema reducido de restos respecto
del módulo 61: a) los números que pertenecen al uponente JO, P> las
ralees primitivas.
Respuestas a las preguntas
Resp11est1u a las pregantas d•I cap1't11lo I
1. El resto de la división de ax + b¡¡ por d, teniendo la forma ax'+ b¡/
y siendo menor que d, es necesariamente igual a cero. Por ello, d es
un divisor de lodos los nümeros de la forma ax + by y, en particular,
es un divisor común de los números a· I
b·O = a y o·O
b· I = b.
Por otra parte, la expresión de d muestra que todo divisor comün de
los números a y b divide a d. Por lo tanto, d = (a, b) y el teorema 1, d,
~ 2 es justo. Los teoremas e, § 2 K demuestran así: el menor nümero
poslllvo de la (orma amx
bmy es amx0
bmy0 ; el menor nümero
.
a
b
a
b
positivo de la forma 7i x ! 6 !/ es 6 xo
6 !lo·
+
+
+
+
+
La generalización de estos resultados es trivial.
2. Sea 6' - -} una fracción Irreducible con la condlcl6n O< l < Q,.
Para 6, = a el teorema es ev1dentP. Por ello, suponemos que 6, no es
igual a a y 1¡ue. por consiguiente, existe 6.. 1• Limil•monos al caso
6, < 6,. 1• Está claro que
~ -,Q't >-o IQt • 16' - 6,.d :;;i.,Q'· >,,-!--Q .
t+t
puede ser 6, < 6' <: 6,.1 )', por lo tanto, o 6' < 6,, o bien
W - 6,¡
HI
"\: HI
I
Por esto, no
~ ••1
6'. En ambos casos 6, esta más próximo a a que 6'.
3. S1 n .(: 6 el teorema es evidente: por lo tanto, suponemos que n
Se tiene
<
1+-Vs
t=- = J.618 .•• : loe1ot = O. 2 ... ;
2
Q, :;;.. 1
-= 11= '·
Q3 :;;. Q, .¡. 1
> Is = 2 > t .
Q, :;¡. Q3+ Q,
> g3 = f1 + t1>' 1 l = , 1.
> 6.
136
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS
que
De aqul
N
4, a. Para las
la fracción
< log,o
logioN + 2 < 5k+ 2;
n < Sk+ J.
~
o
1
fracciones - y T se t1e11t 0.f - 1· I = - 1. Intercalando
> ~n-•;
~!~
n
~
entre las fracciones
g
.y
que satislacen a la
condición AD - BC= -1, se tiene A (B+D) - 8 (A+C)=(A+C) D -<B+D)C= -1. Por lo tanto, es cierta la afirmación $dlalado al
final de la pregunta. La existencia de una fracción
nes
T< T< ~, /<
k
a
T,
e
l
+
con las condicio-
es imposible. En caso contrarío )e tend1 ia <1ue
k
e
l
a
b+ d
1
T - -;; >a; -¡¡- y > -¡¡¡; -¡¡-b >liid> bií·
b. Está claro que es .suficiente considerar el raso O
< a < 1. Supongamos
a
e
a
e
.
que -¡; < a< d , donde b y d son 1racc1ones con:.ecullvas de la sucesión de Fuey, correspondientes a
a
-¡; < a<
T.
Son posibles dos casos:
a+ c
a+ c
b+d;
b+ d
e
< a<7·
Por lo tanto, se verifica una de las dos desigualdades
1°-fl< b(b~d); ld -71<d(b~d)'
de donde, en virtud de que b+d
teorema indicado.
c. SI a es
p
por
Q
por
f
~
> T,
una fracción irreducible
se deduce ínmed1atamente el
a
a = -¡;
puede tomar la fracción m isma
con la condición b < 't,
a
b .
En caso contrur10,
se puede tomar la fracción reducida ;: que cumple la condi-
< <
ción Q, T Q,...1.
5, a. Los residuos que resultan al dividir los números prlm~ Impares
por 4 son Iguales a l ó a 3. El producto de números de la forma 4m
1
1. Por lo tanto, el número 4p1 • • • P1t - 1,
es de la forma 4m
donde p1 , • • • , Plt son primos de la forma 4m + 3, tiene que tener
un divisor primo q de la forma ~·m
3. El número q no coincide con
nln¡uno de los números p1 • • • • , P1t·
+
+
+
/$1
RESPUESTAS A LAS PRl!OUNTAS DEL CAP. 1
+
b. Los números prímos superíores a 3 son de la forma 6m
1 o de la
forma 6m
5. El número 6p1 • •• P>. - I, donde p 1 , •• • , P-. son
primos de la forma 6m
5, tiene que tener un divisor primo q de la
forma 6m
5. El número q no coincide con ninguno de los números
+
+
+
p,, . . . , p.,.
8. Supongamos que p 1 , ••• , p,,_ son lt números primos cualesqultta
y sea N un entero que cumpla las condiciones 2 < N, (3 In N)' < N .
La cantidad de números a de la sucesión I, 2, . . . , N, cuyas descom·
posiciones canónicas tienen la forma a = p~1
(
puesto 11ue
:~~ +
l
r
••.
p:-. no es super ior a
<(3 lnN)-. <N,
lnN
a, < lñ2.
Por lo tanto, en la sucesión 1, 2, .. . , N hay números en cuyas
de~composlciones canónicas figuran primos distintos de p 1 , • • • , 11). .
7. Se obtienen tales sucesiones, por ejemlpo, para
+
+
M = 2·3 . .. (1(
1) t
2;
I = 1, 2, . . .
8. Tomando un entero x0 con la condición de que para x
x0 sea
f (x) > 1 y /' (x) >O, hagamos f (x0 ) = X. Todos los números
f (x0
Xt), t = l. 2, . . . , son com puestos (múltiplos de X) .
9, a. SI se cumple ( 1), entonces uno de los números x, 11 es par ; sea x par.
De la igualdad
2 _ z + 11 z - 11
2
2
2 •
>
+
(.!...)
donde, evidentemente, (
1
~ 11 ,
z-; 11 } = I , nos conve.ncemos de la eicis·
tencia de mimeros enteros positivos u y
X
z = uu,
-l +-ll: :uz,
2
11
que cumplen las condiciones
l - 11
- - : : uz.
2
De aquí se deduce que las condiciones indicadas en la pregunta son
necesarias.
Es obvio que dichas condiciones son sullcieote.s.
b. Convengamos en desígnar aquí con letras solamente los números
enteros positivos. Supongamos que existen s istemas x, 11, z, que cumplen
las condiciones x'
/1' ti, x > O, 11 > O, z > O, (x, 11. z) 1;
elijamos entre ellos el sistema con el valor menor de z. Suponiendo
que x es par, obtenemos x1 = 2uo, ¡¡1 = u• - o", u > 11
l.
(u, 11) =- 1, donde o es par (si u fue.se par , tendr!amos 11' = 4N
1,
ii• ~ 4N,. ul =- 4N 1
1, 4N
1 = 4..V 1 - 4N1 - l. lo cual es
+ =
+
+
=
>
+
138
RESP UBST AS A LAS PREGUNTAS
Impos ible). De aqul que
u=zf, o=2w2, yJ+.Cw'=zf, 2w2=2u101,
U1=xf, 111=.vf, Jtf+Vf=zf, lo cual es imposible, puesto que z1<z.
De la lrresolubllidad de la ecuación ,,A+ 11' = zl, como un caso par ticular se deduce también, evidentemente, la lrresol ubllldad de la
ecuación ,,A+ 11' = t' en en teros positivos JC, ¡¡, l .
10. Haciendo
x=+;
(11, l)=I, obtenemos
11n+ a 111n-11+ ... + anln=O.
Por lo tanto, 11n es un múltiplo de I y, por consiguiente, I = l.
11, a. Supongamos que k es el mayor número entero que cumple la
condición 2" ~ 11 y sea P el producto de lodos los números impares
que no son superiores a n. El número 211- 1 PS se expresa en forma de
una suma cuyos términos, a excepción de
2~-1 P 2~,
son números
enteros.
b. Supongamos que k es el mayor número entero que cumple la con·
211
1 y sea P e l producto de todos los números que son
dición 311
primos con el número 6 y que no son superiores a 211
1. El número
31i-1p5 se expresa en forma de una suma cuyos t érminos, a excepción
< +
+
de Jl'·•p ~ son números enteros .
12. Para 11 ~ 8 el teorema se comprueba Inmediatamente. Por lo
tanto, s uponiendo que n > 8 y que el t eorema es válído para los
binomios a + b, (a+ b) 1 , . . .. (a+ b)n- 1 , hay que demostrar el
teorema para (a + b)n. Pero los coeficientes del desarrollo de este
binomio, a excepción de los extremos que son iguales a 1, son los
números
11
11(11 - l )
11(11 - l) ..• 2
T '
1·2 ... (11 - l) •
-,-.2-
Para que todos estos números sean Impares es necesario y suliciente
que sean impares los números de los extremos, los cuales son precisa·
mente iguales a 11, y también que sean Impares todos los números que
se obtienen al borrar los factores Impares de los nume.r adores y deno·
minadores de los números restantes. Pero, haciendo /1 = 211,
l,
estos n úmeros se pueden expresar cc¡mo los términos de la s ucesión
+
111
T'
111 (111- l )
1· 2
111 (11¡-l) •.. 2
1·2 ... (11 1-ll
·
Rl!SPUl!STAS A LAS PREGUNTAS DEL CAP. 11
139
Mas éstos, como n 1 < n, aon Impares cuando, y sólo cuando, "1 es de
1=
I• forma 2• - I, es decir, cuando n es de la forma 2 (~ - 1)
- 2••1 - l.
+
Rnpulltu o toa pr''""'ª' d•I coplt•lo JI
1, a. En la ordenada del punto de la curva g = f (.r) cuya abscisa
es .r, hay lf (.r)J puntos enteros de la región indica da .
b. La Igualdad Indicada se deduce de la Igualdad T 1
Ta ~ T,
donde T, , Ta. T denotan la cantidad de puntos enteros en las reglones
Q
p
+
O<x< 2 . 0<11<-qx.
Q
p
O<.v< T'
O<.t<-p !I•
Q
p
O<.v<T·
O<x<T•
c. La Igualdad Indicada se deduce de la igualdad
+•
+
+
T = 1
(T1
T1
T, - T,),
donde T,, T 2 , T1 • T, denotan la cantidad de puntos enteros en las
regiones
X=- 0,
O<y<r;
O<x ~
V2 •
o<.11 < Vr2 -
0
<.11<
v2 ·
O<x .;;; VrZ - gz;
O<x ~
V2'
.r2:
+
d. La Iguald ad Indicada se deduce de la igualdad T ..., T,
T1 - T.,
donde T,, T1 • T 1 denotan la cantidad de puntos en teros en las regiones
n
O<.v < 7:
O<.v < Vñ.
O<x .;; Vñ.
O<x < ~ ;
IJ
O< .v < Vft.
e. En el cas.o de un rectángulo con los lados paralelos a los ejes coor·
denados , el teorema es evidente. En el caso de un tr•peclo con las
bases par•lelu a uno de los ejes coordenados y con un lado perpend i·
/4()
RBSPUl!STAS A LAS PREGUNTAS
cular a las bases, el teorema se demuestra fácilmente consi derando
el recUngulo que se forma al unír dos trapecios de éstos. El caso de
un tri,ngulo se reduce lácilmente al caso del trapecio indica do. Del
caso del trjjngulo no es difícil pasar también al caso general, obser·
vando que un pollgono con una cantidad de vértices mayor que 3 se
puede dividir en dos pol!gonos que tenga cada uno de ellos menor
cantidad de vértices. Esto se puede hacer mediante un segmento
rectlllneo que tenga los extremos en los vértices del pollgono y que
cada punto del mismo, a excepción de los extremos, sea un punto
Interior del poHgono .
2. La cantidad de números enteros posítivos , no superiores a 11, es
Ig ual a l 11J. Cada uno de ellos se expresa de un modo único en la
forma _xAm, donde lt: es un enltro positivo; a cada x dado corresponden
[ j:/ : ]
números de tal forma.
3. Demostremos .que las condiciones Indicadas son necesarias . El número
de valores x que cumplen la cond ición fax) ~ N se puede expresar en la
forma
!!..
+A; O<).< ..!...
;
a
a
y el número de valores y que cumplen la
N
< N se puede expresar en la forma lf
+ A1; O< A1 < "J1 .
De la l¡¡ualdad : +A+ -J-+A1 =N, dividiendo por N y pasando al
1
1
limite para N-oo, obtenemos ?-p= J. SI a fuese racional,
condición (~)
a=
f
(a> b >O), de la última igualdad obtendrfamos que (ab) =
= 111 (a -
b)). Por lo tanto, a y 11 no pueden ser racionales .
Supon¡¡unos que se cumplen las cond iciones Indicadas. Sea e un número
e
e
mtural. ~
.io=c¡+' e Jlo="J+'l
que cumplen
tas
condiciones
.so~ ,
es J¡¡ual a ~ si x no es Igual a x0 , y
l¡ual 1 v 0 ; ademú,
1,
'l
los menores nt'.lmeros enteros
J/o
O<'< O< <
Como
xt + J1o =c+ l+11.
se tiene
>T.
Es obvio que 1cul no
l~I
no es igual a e si /1 no es
1, ~ y 11'1 son irracionales.
l+ 'l=
1,
:'
+ ~ = J.
Por lo
tanto, uno y sólo uno de los números leuol y lll11ol es igual a c.
4,1. La dilertactas menclonada.s , pera {cu1 } >O son lgueles a
{C11X1}, {a (.s,-xt)}, ...• {a(x1 -Xt-1) }. {-ax¡}.
/4/
Rl!SPUl!STAS A LAS PIU!OUNTAS DBL CAP. 11
Estas no son negativas, su suma es 1¡1111 • 1, la cantidad de
ellas es i¡ual a t + 1. Por lo tanto, al menos lllla de estas dlfet"enciaa
no es superior a
+1 1 < ;-1 . Pero ésta tiene 11 lorma {cu'}= cu' -11',
1
<
es un número entero que cumple 11 condición O< 1x' 1 T
y y'= {a..t' }· Por consiguiente, desl¡nando con 11 letr1 h el nCunero 1
donde x'
<
ó -1, de modo que se1 1'1'' >O, se tiene 1a.U' -h11' 1
+.
De 1qul,
desi¡nando con las letras Q y P los eo<:ientes que se obtienen al dividi r 1'1'' y hy' por (1'1'', hy'), resul ta
1
JaQ-PI< ~ ;
O<Q<T,
de donde se deduce el teorema mencionado en la preeuota.
b. Haciendo l1=IT1). li=lts)... ., l4=(T") y suponiendo que
.r1 , •. .,
recorren los valores
.r"
.r.,
X1=0,l, .... I¡; Xa=O,l, .... lai ... ; X"=º· '· .... '"·
consideramos la sucesión formada por los números {a1.r1 +a.ti+ ...
y el número 1, dispuestos en orden no decreciente. Form.aodo
las diferencias de los números consecutivos de eata sucesión, se obtienen
(1 1 +1) (1 1 I) .•• (tA 1) diferencias. Al meno. una de HtlS no es
superior a
., .+ ª".r"}
+
+
1
(11+1) (ls-1- 1) .. · (t,. + I)
<---T1T1 .•. TA
Pero dicha diferencia llene la lorma ( Ol¡J(; + <12.r1 + ... + av~>. donde
x~. ~
son ntímeros enteros <!IM! cumplen llS condlclonea 1 1
,r. <
. ... , ri
< "•• .. ., 1ri1 <TA,
<Ti. l .G 1
1 cero. Haciendo
si mbolos ti. ;,,
xj,
4, .. ., .ri
y no
son
slmultineamente l¡uales
[a1rí+ezs.G+ ... +cz,.4J=11' y designando con los
... , ~. 1\ los cocientea que se obtienen al dividir
y por (.r;~... ., xl• 11'), resulta
la1E1+asEs+ ... +a•h-
11I <
1
T1T1 .. • Tll
lo cual demuestra el teorema Indicado en la pre¡unta.
6. Se llene
,
a=cq+r+{a}; O<r<c,
[l:IJ=[ H7 ]=q, [: ]=[q+ r+.,ta} ]=q.
6, a. Se tiene [cz + ~+
... + P»l·
... +>-J = [aJ+[~J + ... +f'•J+[{a}+(~}+ ...
142
ltl!SPUl!STAS A LAS PREOUNTAS
b. El numero primo p fi¡ura m 111, ol, ... , ll con los uponenles
(%]+Í ;J+ ... , Íf]+Í ;z]+ .... ···• Í~]+Í :zJ+ ...
r;.J, r; J+ ... + r;. J.
7. Suponlmdo que tX1ste un númtro a con las propiedades Indicadas,
reprtaentknoslo en la forma
a s=q11.p"•1+q11-1P" + ..• +q,pz+qop+q•;
o<q• < p, o-< q11.-1 < p, •. .• o< q, < p, o-< qg p, o.;;;: q' <p.
<
Setün b,
1
1, tltnt que ser
ll =q11.u11. 1 q11.-1U11.-1
+q1u1+qflllt.
Por otra parlt, para CU1lqultr •=I, 2, ... , m, M tlent
+ ...
+... + +
+
q,_,u...1 q...zU... s
q1u1 9c"t <u,.
Por lo tanto, la 61tima upresión de /1 tlent que coincidir por completo con 11 sellalada en la prttunta.
8, 1 . Sta x 1 un entero, Q..,; a<~ ...; R. x 1 <a< ~ < x 1 +l. Integrando
por perita, se obtiene
~
~
-J.. /
(x) d:c =
..J
p' (x) / (x) dx
=
= P (~) l @) - p (a)/ (a)-o (~) l' @>+a (a) L' (a)+
En particular, pare Q ..,;x1, x 1 +1
< R,
a (x) t• (x) d:c •
pasando al limite
:r1+1
-J
~
..J
st
tiene
r1+1
/(x)dx= - {-lCx.-f- l ) - {-tcx1)+
~
J
a(x)/'(x)dx.
~
u
fórmula indicada se obtiene ahora sin dillcultad.
b. Escribiendo la lórmula de lo prt1i1mta 1 en lo lorma
~
R
f(x) =
J
(/
f(x)dx - J f(x)dx + p(R)f(R) -p(Q)f(Q)-
Q<;r.;R
- a(R)f (R)+o(Q)/'(Q)+
¡-
a(x)/"(x)d:c - l
...
a(x)l"(x)dx,
noc convenetmOI de que la lórmula indiceda es justa.
lll!SPUl!STAS A LAS Plll!OUNTAS Dl!L CAP. 11
143
c. Aplicando el resultado de 11 pregunta b, hallamos
ln1+ln2+ •.• +lnn=
=C+n lnn - n+ilnn+
ti, a. a) Se
tiene (b, 1 1)
In ([n)I) :::
fa;:> dx=nlnn-n+O{\nn}.
"
~
{(
%]+[; ]+ ... ) lnp.
(1)
p~n
Aqul el segundo miembro representa la suma de los valores de la !unción
In p, utendlda 1 los puntos enteros (p, 1, u) con valores primos p de
la región p > O,
1
>O. O< u<~ . La parte de la suma que corrH-
p•
ponde a unos valores a
yu
dados, es ig111I
1
e(
V~);
la parte
que corresponde a un valor dado u, es igual a 1jl ( ~) •
P>
Aplicando para n
> 2 el
resultado de la pregunta a), se tiene
ln(ln)l)-2 In ([
='(n)-' {
H1c1end0
i] 1)=
i )+' {1- } - t {T }+ ... :> '(n)-t (i}.
ri]=m,
de aqul hallamos que ((n] = 2m, o [n] = 2m+ll
""' - '{~)
< In
2
(2m + l)I .(;
(mf)i
<In (2,,. 3·5 1·2
< ln(2"'3"') <n.
.......(2m+I))
m
'(n)=1jl(n) - "' {
i )+11' (i}- • (f )+
+t {.¡. )- 11>· {-ij-} + ... < n +i+f + ... =
y) Se tiene (la solución de lo pregunta
pregunta 8, e)
"n)-t
p)
y el resultado de la
(i) +;. {i)-;. (f) + ... = In
=In) ln[n)-(11) -
2[
2n.
([
iJ i}2.,.
i] In [ i]+2 ri j +O(lnn)=
=nln'l+O{lnn).
144
RESPUESTAS A LAS PRl!.OUNT AS
Por otra parte, para •
>2
obtenemos (pregunta j}))
e(Vñ) - e
+e
(Vñ)
- 3
(Vi)+
{ <2 Vñ alempre
. ..
=0 si 1>'"t; T=
J
[ !ñZ
lnn .
Por lo tanto
o<"' (11)-'1> (i) + "' (%-) - "' (.¡-) + ... - (ec11>- e(i) +e(i) - e(f) +··· ) <
<~y,¡ +2 rñ+2 Vñ + ... +2Tn<2<Vñ +'t Vñl=o<Vñ> .
b. Se deduQC de la igualdad (1). de la desleualdad de la pre¡¡unta a ,
ji) y de 11 lgua ldad de la pregunta 8. c.
c. Para m auflclentemenle grande, de la Igualdad de la pregunta b,
se tiene
~
l~P ,..lnm+O(I)> l~m,
~
M<~ml
m<p~ tnl
*>l.
< <
Si para todos los parts p,., p0 1 que cumplen la condic ión m p,.
<p,..1 < mi se verificase 11 desigualdad p,.. 1 > p,. (1 + e), resultarla
~ m(l~ e)• > l.
r-0
lo cu1l es Imposible para Vllores suficientemente grandes de m.
d. Evidentemente, es suficiente coiulderar solamente el caso en que
es entero.
lnr
Haciendo y (r) =--,- si r es primo y y (r) ... O si r=I o si res
11
compue1tp, se tiene (preeunta b)
= lrt r+ a (r); 1a (r)1 <c.,
donde C1 es Urtl constante. De aqul, para r > 1
y(r)= ln r-ln (r-1) + a(r)-a (r-'l),
l (l)+y (2)+ .•• +v (r)
~
.t.J
..!_=T + T.
T =
l
t
p
••
O<P~"
Ta = ~
~
~
~
l < r E;n
lnr-ln(r - 1)
In r
a(r) - a(r-1)
ln r
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DEL CAP. 11
/46
Se tiene (8, b)
1
r,= ~ rl~,+ ~ (2,a 1n r+3,1\n,+ ••• )=
l< r~n
t< r~n
=C1 +1nlnn+o(
l~n)•
donde C1 es una constante. Luego hallamos
1~2 - 1~3 )+ ' . .'
T, = a(2) (
1
· · · +a(n - I) ( ln(n-1)
1 )
a(n)
ln11 + lilii'",
de donde se deduce que
T1 = C3 + 0 ( ~),
donde C3 es la suma de la
a (2) (
Sl'!'le
absolutamente convl'rgente
I~ 2 - I~ 3 ) + a (3)
(-da-
I~ 4 ) + ...
e. Se tiene
In
11 (1-_!_)
=- ~
~ _!__
~
p
p
~
P~n
p~ n
(...!..+...!..+
. ··) =
2p2 3p•
p~n
= C' - In In n +O ( .: n ) ,
=
donde C' e.s una constan!~. De aqul, haciendo C'
In C0 , obtenemos
la igualdad indic.ada.
l. Haciendo n = ( 1,5 s In si y representando con la notación n (11)
la cantidad de números primos que no son superiores a 11, de la Igualdad
de la pregunta 9, a , y) deducimos (C es una constante positiva)
n (n)>
n ln2 -C yil
lnn
•
lo cual es mayor que s, si s0 se ha elegido suficientemente grande. De
aquí se deduce que , sis ~ s,,, el número p, e.si{ comprendido entre los
nümeros primos que no son ;uperiores a n .
11· Sean q1 • q1 , . , . • q, los divisores primos distintos del número a.
Hallamos: 2, 3, 4, . . . , (s
1) ~a, de donde (pregunta 8, e)
(s
1) In (s
J)
O (s
1) < a. J = O (ln a).
+
+
+ +
+
146
RESPUESTAS A LAS PltEOUNTAS
Por lo tanto \preguntas e y 1)
a
1
'P (a)
<
= ( 1J
1
:. ) ( 1-
:. ) . .. ( t - :. )
1
( 1- 2 ) ( 1-3) ... ( 1Se deduce de c. ¡ 2.
<
= O( ln p,) = 0 (In lna).
1
p.)
10, a.
b. Como 0(1) = 1j> (1) = 1, se cumple la condición 1, a, § 2 para la
función 0 (a). Sea a = a,a2 una de las descomposicione• de a en dos
factores, primos entre si. Se tiene
~
~ 0(d1d.J=+(a) = lj)(a1)1j>(a1) =
~
~ 0(d1)0(di).
(1)
"'" "' "•"º=
todos los productos menores
d'"º' "'"º'
Si se cumple la condición
2, a, f 2 para
tiene e (d,d2) = e (d,) e {di). y según
la Igualdad (1) 'resulta 0 (a1a 2 ) = 8 (a1 ) 0 (a 2 ). es decir , t ambién se
cumple la ciondlción 2, a, i 2 para lodos los productos a1 a1 que son
Iguales a a. Mas la condición 2, a, f 2 se cumple para el único pro·
dueto l · I, igual a 1. Por consiguiente, ~.ta se cumple también para
lodos los productos.
11, a. Sea m
I; para cada x,,. dado que l'Cll d1v1sor de a, la ecuación
queª· entonces, para dtf/.2
< a se
>
indeterminada x 1•
• • Xm-tXm =
Tm
(a) =
a admite T,,._ 1 ( ,..: ) soluciones. Por esto,
~
-Cm- t
x,,.,a
pero cuando
L:),
x,.1 recorre todos los d1vlsores del número a, el número
d = ..!!_ recorre en orden Inverso los mi~mos divisores. Por consiguienle,
.ltm
-e,,. (a) = ~ -c,,._1 (a).
""º
Por lo tanto (pregunta 10, a), si el leorema subsiste paro lo funci ón
entonces también subsiste para la función Tm (a). Pero el teorema
es v•lldo para la función -c 1 (a)= l. Eslosl¡nillcaqueel teorema siempre es
vi licio.
b. Si el teorema subsiste para la función Tm (p"'). se tienr
Tm- 1 (a),
-e
..
m+I
(p") = ~
..
( •) - ~ (s + l)Ct + 2) . .. (s + m - l)
LJ ,.,,. P - LJ
1·2 ... (m - 1)
·- o
.-o
ca + 1) (a+2) . .. (a + ml
=
1·2 . .. m
/47
RESPUESTAS A LAS PRl!OUNTAS DEL CAP. 11
Por consiguiente, el
Tm+t
teorema
tambi~n
subsiste
(pa.). Pero el teorema es válído para la función
mente, Igual a
ªi
para
la
T 1 (¡P)
función
( evident~
t ) . Por to tanto, siempre es válido.
c. Supongamos que t=nse 1 ,
t1
a=p71 .. .p:•
=2f), y que
es la
descomposición canónica del número a, donde Pio •.. , P• estin dls.puestos en orden cre<:iente. Para la función T1 (a}=T (a) se tiene
T (a)
..¡;:
<is+ 1 ex,+ l
20.1'1
a'I
. ..
1111
+1
(.t+ l)0.11'1
34!'1
Suponiendo, para simphflcar los razonamientos, que e< I, nos convencemos de que cada uno de los factores que fieuran en el segundo
..!..
; los factores
'l
miembro es menor que
+1
«r-t
,a.,_¡'I
que cumplen
la
1
condición r
e
= (
*)
> 2"
son menores
lo
tanto,
haciendo
'1, hallamos
'I
a
> 2,
Por
2
T (a)
S1 m
l.
que
1
<C•
ev 1dentemenle, se tiene
Tm
(a)..¡;: (-r (a))"'. Por ello
ltm Tm(a) .,¡;: lim ( T(a)
a-o:io
0 e:
)m =0.
0 e1
d. Los sistemas de valores xs, ... , Xm que satisfacen a la desigualdad
1nd1cada los dividimos en (ni clases con los números de orde.n l, 2, ...
. . .. [nf. A la clase del número de orden a referimos los sistemas que
cump len la condición x 1 ••• Xm =a; la cantidad de sistema de ~tos es
igual a Tm (a).
12. SI R (s)
1, la serie que expresa C(s) es absolutamente convergente. Por lo tanto
>
..
(ns ... n,,.)• •
n1 .;;;; I
n.,,,- t
Además, para un n positivo dado . la canlidad de sistemas
que cumplen la condiciñn n 1 ... nm=n. es igual a Tm (n).
111 •••• ,
nm
148
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS
IS, a. SI R (1)
> I,
el producto P
=
rr --
1
-1
P
1
1
e.<
absoluta~te
1- -
P'
1
+ ... ,
convt-r11enle. Como - -- = 1 +pi + pZ•
1
1- p•
tiene
para N
>2
se
donde en la segunda suma del segundo miembro n re.orre solament e
los números que son supet"iores a N. Pasando al limite para N ..... oo.
en el primer miembro resulta P. en la primera suma del segundo
miembro resulta t (•). y en la segunda cero.
b. Se. N
2. Suponlemlo que /10 hay nlimero.s prilll03 dislmlos dt
p 1• .•• • p,.., obtenernos (compárese con la solución de la pregunta a)
>
"
*·
rr-1-,
1-¡;¡ ~ ~
+ f +-} + .. ·. c.' diverg~ntc.
n< n" IY
1- 1
Como fa serie orm6nlca 1
part1 N suíl-
clentemcnte grande, estn desigualdad es 1mpo~1ble.
c. Suponiendo que no hay número.' primos disti ntos de p 1,
obtenemo.' (prq¡unta •)
rr" _,-,
1~ 1
••. ,
p-.
= t(2).
1- 7.
1
Como el número
si ble.
14. SI
t (2) = 6.ni
es
Irracional,
eo;ta
Igua ldad es impo-
R (1) > 1, el producto inlln1to para t (s) de la pre¡¡unta 13,
es absolutamente convercvite. Por lo tanto
In t (1) ==
~ ( ;, ..¡.. 2~Z• + 3;11 + ... ) •
p
..
donde p recorre todos los números primos. Derivando, hallamos
t' (1)
... ~ ( -
m "'-'
p
In p _ In p _ In p _ •.• ) _ _ ~ A (n) .
p•
pt•
pi•
"'-' n•
n- 1
a
RESPUESTAS A LAS PREGUNTA S DEL CA P . 11
15. Sea N
> 2.
t
Aplicando el teore.ma e,
n(
1_
~N
_!_)
=
p•
~
"'-'
I' (n)
n•
O<~N
149
3, se tiene
+ ~' I' (11)
6'.J
n• '
donde en la segunda suma del selfllndo miembro /1 recorre solamente
los números que son mayores que N . Pasando al liuiíle para N-+ oo
se obtiene la identidad indicada.
18, a. Apliquemos d, § 3 al caso
6= l, 2, . . . , (11), / = 1, l •.. .• J.
Entonces, evidentemente, S' = J. Por otra parte, S" representa el
número de valores ó que son múltiplos de d, es decir. e• ígual a (
%-J.
b. a) El segundo míembro de la Igualdad de la pregunta a expresa
la suma de los valores de la función µ. (d), extentida a los puntos enteros
(d, u) de la región d
>
O, O < u ~ ~· La parte de esta suma que co-
rresponde a un u dado, es igual a M { ~) .
Pl La igua ldad indicada se obtiene restando t t rmino a térm ino las
igualdades
i) + M ( 1-) + M ( T) + . .. = 1,
2M(.!})+
2M(-f)+ ... =2.
M (11)+ M (
c. Supongamos que 111 = (11); 61 , 6., .. .• 6,. se definen por la con·
dic!ón: 6, es el mayor entero cuya 1-éslma potencia es un divisor de
s, f, = l. Entonces S' = T1,,.. Sd es igual a la cantid ad de números,
no superiores a
11,
r
De aqul
T.,,.
de números
que son múltiplos de d' . o sea, S 4 =
~J.
resulta la expresión indicada para T 1,,..
En particular, como
t (2) = ~, para la cantidad
que no son superiores a /1 y que no son divisibles por el cuadrado de un
en tero, superior a 1, se tiene
6
r .. n=112 11+0(Vn)·
17, a. La igualdad •ndicada se obt iene de d, 1 3, hacwndo
6, = (x, , a), f, f (x,) .
=
150
Rl!SPUl!STAS A LAS PREGUNTAS
1 3, haciendo
f, = f(x<¡'>, ... , xi'».
b. La Igualdad Indicada se obtiene de d,
6,=(xi''· .. ., xi'».
c. Aplicando d,
t
3 al caso
6=6., 6 1 ,
••. ,
6t•
donde en la primera fila vlettn =ritos todos los divisores del número a,
se tiene
S'=F(a),
~ F(d~) =a(i)·
S11=
D"Í'
d. La Igualdad indicada se dedua! de
1:
J&(d)
P' = f~'61
1:
f~' 6s
1:
J&(d)
.•.
t!'ºn
J&(d)
18, a. Apliquemos el trorerna de la pregunta 17, a, suponiendo que x
re.corre los números 1, 2, ... , a y tomando f (x)=xm. Entonces
S' = 'f.,(a),
b.
7r d"'=d"'Om ( 7) ·
S<1=d"'+~m+ ... + (
~tiene
11'1 (a)= ~
~ 11 (d)
(ªi
ª) =2cp
a (a).
2d +2
d'"
El mismo resultado se puede obtener más fácilmente. Escribamos los
números de la sucesión I, ... , a que son primos con a, primero en
orden creciente y luego en orden decreciente. La suma de los términos
de ambas s ucesiones que equidistan del origen. es igual a a; la cantida d
de términos de cada auceslón es igual a cp (o).
c . Se tiene
ll's(o) =
~fl(d) (~+~+id) ca
d'o
a2
a
""3 cp (a)+6 (l - P1) ... (1-p~).
18, a. Apliquemos el trorema de la pregunta 17, a, suponiendo que x
recorre los nümeros 1, 2, ...• [z] y tomando f (x) = l. Entonces
S' = T,, Sd es igual a la cantidad de números, no superiores a z,
que son múltiplos de d, o su,
sd ... [ 7] .
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DEL CAP. 11
161
b. Se tiene
T,= ~ f'
(d)
7+0
(T
{a))=~cp (a}+O(aC).
d'a
c. Se deduce de la Igua ldad de la pregunta a.
20. Apliquemos el teorema de la pregunta 17, a, suponlendo que "
recorre los n6meros I, 2, .... N, donde N
> a, y tomando
1
f (Jt) = "; .
Entonces se obtiene
Pasando al límite para N - oo se obtiene la identidad indicada.
21, a. Apliquemos el teorema de la pregunta 17, b, considerando los
sistemas de valores .r1, .r2 , ••• , .r1o. indicados en la definición de probabilidad PN y tomando f(.r1 ,.r1 ,
•• .,
.r1o.)=I. Entonces PN= : : ,
Sd = [ : ]", y se tiene
N
~ 11 {d) [ ~
p
,.,
= d=I
N"
r
N
N
~ ~jl(d) +o (~ -·-) ·
,,¿¡
,,¿¡ Ndlo.-1
dio.
d-1
d- 1
Por lo tanto
1
A=N
lnN
si k>2,
A =~
.
b. Se tiene
si k = 2.
n2
t (2) =s.
22, a. Razonamientos elementales muestran que la cantidad de puntos
enteros (u, v) que hay en la región u•
vi
p•; p < O, es igua l
O (p) . Apliquemos el teorema 17, b, considerando las coordea np1
nadas .r, y de los puntos enteros de la región .r1
y'
~. distintos
1, Sd
del punto {O, O). y haciendo f (.r, y) = 1. Entonces T = S'
es igual a la canlídad de puntos enteros que hay en la región u•+ vi
+
+ <
+ <
+
<
152
RESP UESTAS A LAS PIH~GUNTAS
< {7)
1
•
si n contar el pun to (0, O) . Por lo tanto
sd ... n
+o (7) ,
;
Ir)
T=
~ I' (d) n
[r)
+O(
;
d-1
b.
~azonando
~ 7) = ~ ,2 +O {r In r)
d- 1
igual que anteriormente, se obtiene
Ir)
(r)
~
4
,,
( ~ ,2 }
T = """"'(d) J nda +O
"""dz
d- 1
4nr•
= Jt(J)
+ O(r2).
d- 1
23, a. Ui ~•ni 1dad de d1V1sorC$ d de un número a = p~t .. . p~ll, que no
son dlv1slbles por el cuadrado de un entero, superior a t, y que lle·
nen x divisores primos, es igual a (!) ; en este caso l' (d)=(- 1)".
Por lo i.oto
/t.
~ ... <dJ= ~ (!) c- •l"=(l - 1¡• ~ 0.
x-o
d'o
b. Supongamos que a tiene la misma forma que en la pregunta a .
Es suficiente considerar el cuo m < lt.. Para Ja suma Indicada se lie·
nen dos expresiones
~ /l (d)= ( ~ }
- (
n+ ...
+(-l¡m (
= (-· IJ"' (
SI m es par, entonces, para m
<2
k
! )""
(m ~ 1} - (m~2} + · · ·} ·
la primera upreslón es > O. y para
/t.
m > T 11 segund1 upreslón es > O. S1 m es Impar, entonces, para
m<
f
la prímtta expresión es < O, y par• m
>f
la segunda expre-
sión u <O.
c. La demost11cl6n es casi Igual que en d, t. a, pe.r o teniendo en cuenta
el taullldo de la pre¡unta b.
d. La demoitución es cul Igual que en las preguntu 17, a y 17, b.
24. Supon¡amos que d recorre Jos divisores del número a. Q (d) denota
Ja cantidad de divisores primos del número d, Q (a) - s. De acuerdo
153
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS Dl!L CA P. 11
a la Indicación hecha en la pregunta, se tiene (suponemo.s que N
suficientemente er1nde)
n(N.q,t><
~
µ(d)(;+ed)=T+T, - T,: 1ed1< 1.
]
Q(cf) ~ tn
ITI < ~
t,
To =!!_ ~
q 4.J
Q(d) ~m
µ(d),
d
el
L ueao halla=
N
n (1 - ~)
T0 = q
P~•ll
I
11 (t -¡¡)
=0(4).
p'q
Finalmente, designando con las letras C1 y C1 unu corutantfS, se
Ti <
z ] ] i <z ]
n-m+ 1 Cltd)-
1
1
( 2+-3+·
n..,,.+ 1
<~ ]
ni
tie~
1 )"
.. +p,
<
( c~t,1;' ~)" <
"-m+ t
N
<-¡
]
-+•
4
(3)n
N -4103
T <Ci -¡'
= 0(4).
25. A todo divisor d 1 del número a, que cumple la condición d 1
le corresponde un divisor d¡ que cumple las condiciones d¡
d1d1 =- a . Ahora bien, µ (d 1) =µ(di). Por lo tanto,
<Va,
>va.
28. Los números d que no son divisibles por el cuadrado de un entero,
superior 1 1, y que satisfacen a la condición cp {el) = lt, los coruideramos
/54
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS
a pares, de modo que en cada par figure un impar d 1 y un par 2d1 •
Se tiene µ(d 1) + 1•(2d1) =0.
27. Sean p 1 , •.• , p.., distintos números primos. Haciendo a=p 1 ••• p..,,
se llene
cp(a)=(P1-I) ... (p..,- 1).
San embargo, si no hubiese números primos, distintos de Pio ••• , Plt•
se tendría cp (a)= J.
28, a. Los números indicados se hallan entre los números s6;
i. Pero(~.
s= 1, 2, .. . ,
a)=6 cuando, y sólo cuando, {s.
i} = 1
t
2, cap. 1). Por lo tanto, es justa la alrrmacicin seila lada en la
pregunta, y se l 1ene
(e ,
a=~
cp (
i) =
6'\.0
~
cp (d).
d'\.O
b, a) Sea a=p~' . .. p~lt la descomposición canónica del número a.
En virtud de a, la función cp (a) es mull1plkativa, y se tiene
P':°=
p~· - ' =
~ cp(d),
~
cp(d),
4'.~·-1
d'\.Jlf•
~) Para un entero
m >O se tiene
m= ~ cp(d).
d'\.m
Por lo tanto
cp (a)=~ µ (d)
-i-.
d'\.O
29. ~ llene (p recorre todos los números primos)
~
..iC..J
cp (n) =
n•
nm: l
n( +
1
cp (p)
p•
+ cppZ•
(p2) + ... ) =
1'
1-....!....
=
1] 1-l__
pt-1
~(s - l )
C(S)"
RESPUESTAS A LAS PREOUNTAS DEL CAP. 111
155
SO. Se tiene
cp (l)+cp (2) + ... +cp (11) =
=
n
= ~ µ(d)
~ µ~dl + 2 ~ µ~d) + ... +
11
~ µ~d) -
~I
~2
~n
(1 +2+ .. .
+['i ]) = ~ µ(d) ~~ + o (n lnn)=
n
d=I
d- 1
2
=~
~ µd(~ +o (n lnn) =
; 2 112+0 (n ln11).
d-1
Re11pue11tas a ltu pregantos del capitulo 111
l, a. De
P= an lOn- J + an_ 1 JOn- z+ ... + a 1 ,
observando que JO ,.. 1 (m6d. 9),
P 5E On
se tiene
+ªn- 1+
... + a1 (m6d. 9).
Por consiguiente, Pes un múltiplo de 3 cuando, y sólo cuando, la suma
de las cifras que le representan es un múltiplo de 3; P es un mú ltiplo
de 9 cuando, y sólo cuando, la suma indicada es un múltiplo de 9.
Observando que 10 - - 1 (mód. 11), se tiene
+ + ...) -
+
P - (ot
a1
(a1
a, + ... ) (mód. 11).
Po r lo ta nto, P es un múltiplo de 1J cuando, y sólo cuando, la dile·
renc!a entre l a suma de las cifras que ocupan lugares impares (con·
tando desde la derecha) y la suma de las cifras que ocupan lugares
pares, es un múl típlo de 11.
b. De
P= bn 100n-1 + bn- iJOOn-2+ . .. + bi
debido a que 100 - - 1 (mód. 101), se tiene
P-
(b1
+ b, + ... ) -
(b2
+
b,
+ ... ) (mód .
101).
Por consiguiente, P es un múltiplo de 101 cuando. y sólo c uando,
(b1
b1
(b2
b,
es un múltiplo de 101.
c. De
P = cnl QOOn-1 + cn -il ooon-2 + ... +c 1
+ + ...) -
+ + ...)
debido a que 1 000 •
1 (mód . 37), se t iene
P - Cn + <n -•
+ e, (mód . 37).
Por lo tanto . P es un múltiplo de 37 c uando. y sólo cua ndo, en
+ c11 • 1 + .. . e, es un mú ltiplo de 37.
+ ...
+
+
156
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS
Co mo 1 000 - -1
P - (e,+ c1 +
(mód . 7 · 11 · 13),
(e,+ c4
se
tiene
(m6d. 7·11-13).
+ ...)
... ) -
Por ello, Pes un múltiplo de uno de los números 7, 11 , 13 cuando,
y sólo cuando, (c1 + e,
(c2
c4
es un múltiplo
de este mismo número.
2, ci) Cuando x recorre el sistema completo de restos respecto del
módulo m, ax+ b también recorre et sistema completo; el resto mí ni·
mono negativo' del número ax + b recorre los valores O, l. ... , m - J
De aqul que
+ . . .) -
~)
+ + ...)
Aplicando el resultado de la pregunta 18, b, cap. 11, se obtiene
~
{
~
} ·=
'(11~m) = {- q> (m).
~
3, a. Sea r el resto minimo no negativo del número ax
+ (el respecto
del módulo m. Se llene
donde e .(; ~(r) <•+h; e = {c}. Si m < 2h+ I el teorema es evidente.
Por lo fanto, consideraremos sólo el caso en que m > 2h + l. Haciendo
{r+:
(r} } -
: = 6 (r),
se llene - 1+ : <; 6(r) < h;:!;e si r=m - (h +11I, . ..• m - 1;
< 6 (r) <h + a en todos los demás caso$. De aqui resu rta que
m
-lll+al+e,s-m;t <;;h+e. ls- {-ml<h-¡-{.
b. ~tiene
m-t
S= ~ {az+m~(z)};
•- o
'f (z) = m (AM +B) + .!.. z.
m
~
<
RESPUESTAS A LAS PRe:OUNTAS De:L CAP. 111
Apllquemos el teorema de la pn¡unt1 a, haciendo 11 se obtiene ti resultado sdlalado.
c. Se halla
m-1
~
~
•-O
1k f.
/51
Entonces
{t (M)+~+~+
,. (M+io) zl} ·
m
2
'
mi
O<io<m-1.
Aplicamos el teorema .de 11 pregunta a, haciendo 11- 1
+ f . Entonces
se obtiene el resultado indicado.
4. Desarrollemos A tn lracción continua. Sta Q,. ~ Q' el mayor de los
denominadores de las lracciones reducidas, que no es superior a m.
Se tiene (pregunta 4, b, cap. 1)
6'
P'
A = q;- + Q'm'
(P', Q')= I.
<
+
18'1< l.
<
De las desflfualdades m < Q,. ..
(q,.+1
1) Q,.
CQ,., donde C es
una constante, a la cual no superan todos los n6meros q, 1, pau
ti mayor entero H' que cumple la condición H'Q'
m se dedu ce
que H' <C. Aplicando ti teorema de la pregunta 1, b, se obtiene
+
<
M+ H'Q'- 1
~
1
IA.r+B}- tH'Q' l~fc.
Sta m1 ~ m - H'Q' . Si m1 > O, entonces, ellgiendo los n úmeros q •
y H • en dependencia de m1 , del mismo modo que se ellgleron antes
los números Q' y H' en dependencia de m, se obtiene
M1+WQ"-I
~
j 1Ax+B}--4-wQ·l <fc.
:r= M 1
donde aplicamos la nota.:ión M, = M,_1 + HwQw. Sta m1 = m1 - H•.:¿•,
Si m1 >O, enton~es. de un modo semejante a lo anterior, se halla
M:+H•Q• - 1
1
<A..r+s}-twQ·I < f c
lle¡ue a un m" = O. Entonces
~
r-Jla
etc.,
( H'Q'
hasta que se
+ H"Q' + ... + H•••Q<•1= m)
M + m- 1
j ~ (A.r+Bl - {ml<}c.t.
:x= M
se
obti~
158
R ESPUeSTAS A LAS PREGlJ NTAS
Los números Q', Q· • . . .. Qtlu satisfacen a las condiciones
m :> Q' > m1 :;;i, Q' > m 1 ::;¡.. ••• > m __, ::;¡.. Q''11 :). J.
De a qu i que (pregunta 3, cap. 1) k "- O (In m) y. por cons iguiente,
la fórmula ind ica da en la pregunta es cierta.
6, a. Designemos con S la suma que figura en el primer miembro
1
Su T = A3. Para "f ~ 40 el teorema es ev ident e. P or lo tanto. supo ·
nemos que l > 40. Tomando M 1 = IQ -r 11. hallamos unos números
0 1, m 1 , 6 1 que cumplan la s condiciones
f'(M t ) =~+
~
·
ms
mft •
0<m1 .¡;; "f,
(o 1 , m1) = 1,
19tl< J.
Tomando M 1 = M 1 1 m 1 , del mismo modo hallamos los números a1 , m 1 •
6 1 : lomando M3 = M1 +m., hallamos los números o 3, m3 , 63 ; continuamos
a.si hasta que se llegue a M,.. 1 = M. +m. con la cond1c1ón º < !Rl - M ..1
(l) . Aplícando el teorema de la pregunta 3, c, se obt iene
<
js-fcm1+m:+ ... +m.+IRl-\ l - M,.,)j <
k -j 3
1
< s -¡r+:r ((RI + 1l
•
M,..).
1
11 + 3 l 1-1
s - 2<R
- Q) 1< s-2+-2- ·
La long1 tud del intervalo. para el cual
a
1
,
a
1
fñ -m <. t <xl ;;;> -;;¡-+m•
no es superior a
esl'n ligados
<
~.
m"f
Por consiguiente, con una mi sma fracción
¿ + J números m
2
m~l
1,
m
mr •
k(R -Q).
A
,
41-01 + 1 ~
k (R - Q)m
A
1- 1, 0S.
Por cons iguiente, con el m dado están ligados
< (!~"(
+1) (.t<R-::;Q>m + 1.os) :
k(R;Q) (
!+;
m
m 2 , • • , m1 • Sean o 1 )' o1 d
valor mlnimo y máximo de o 11ue corresponden a un m dado.
Se tiene
o1 -o 1 _.!_~
.!!....
) ( ;~T
-t 1) J.05
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DEI. Cl\P. 111
159
números m1, m1 , . . . , m,. Sumando la última expresión respKto de
todos los m= 1, 2, . .. , ['t}, se obtiene
s< k(RT-
Q) (2tnT + 2+
<
T~;'t
1
+
~:-l,OS<
k(R-Q) lnA + 2.~
't
2 T 1
b. Se llene
1 ~ {/(x}-t t - o} - -}CR - Q),<ó,
Q<.r<i. R
1
~
(/(x)}-f<R - Q)l<ó.
Q<x~ R
de donde, haciendo 6 (x} =(/ (x)
+ 1-o} -(/ (x)},
hallamos
1 ~ 6(x}1<26.
Q<:r~ R
Mas, si lf (x)} <o se tiene 6 (x) = 1 -o, y s1 {/ (x)} > o se liene
c'l(x}=-o. Por lo tanto, l (l-0)11>(0) - o(R - Q-11>(o))l<2ó, de
donde se obtiene la fórmula indicada.
6, a. Apliquemos la fórmula de la pregunta 1, e, cap. 11. Haciendo
f(x)=Vr2 - .r2, en el intervalo
f, (x)=
X
Vri - x2 •
1• (x)
O<x< ~se
v2
- ri
J ,
li~ne
+<
1t• (x) 1<
1;'8 ,
(rl-x2¡i
Por lo tanto (pregunta 8. a, cap. 11, pregunta 5, •)
r
Yz
T=•r +8
r Vr2-x~dx+8p, (~)
~- 8p(O)-r-4~ y2 y2
Vi
~
2
2
r2
r { r } +o(r3 lnr) = nri+O (r 3 lnr).
-•2+8
Yí
2
b. Se tiene (preguntas 11, d y 1, d, cap. 11)
T(l) t- T(2J+ ... + T(11)=2
~
O<x~
r~J -1vñ1 2 •
Yn
160
RESPUESTA S A LAS PRl!OUNTAS
Es suficiente comlderar solamente el caso n > 64. Dividamos el intervalo
X< .i
< Vñ.
1
donde X = 2nl, en O (In n) intervalos de la forma
M<x < M', donde M' ,¡;;; 2M. Haciendo f (x) = ~, en el intervalo
M
< x<
X
M ' se tiene
n
/' (x) = -X2.
2n
/" (xJ=xa;
4 ~, ~ t· (x) ,;;;; 4~, .
De a<¡ul .¡ue
(p~nta
5, a)
1
~
3
{-i-} = f(M' - MHO (n lnn ),
llt< 1<:!;.M'
~
1
{-i-}=fVii+ o (n3(1nn)2) .
O< x:!;. >'?;
Por otra peri.e (pregunta 8, b, cap. 11)
~
O<z~
7 = En+f n lnn +p(Vñ) Vii -1- 0(1).
Jlft
Por lo tanto
T (l) + T (2) + ... + 'f (n)=2En+n lnn +2p (y;i) Vñ -
- Vii-n+2 Vñ {Vli}+o. (n~ (ln n)2) = n (lnn + 2E-I)+
+o ()(lnn¡i).
7. Supongamos que el sistema es Irregular y sea s el mayor número
entero que cumple 11 condici6n de que 2• ligura en una cantidad Impar
de números del •istema. Uno de estos últimos números lo sustituimos
por otro menor, que contenga solamente aquellas potencias 2• que
ll¡uran eo una cantidad impar de números del sistema r~tante.
Suponramos que el sistema es rerular. Un número, que sea menor que
alruno de los números T de este sistema, se diferencia de T al menos
en una cifra en el sistema de numeración de base 2.
8, a. Agre¡1ndo el número H = 3" + 3n- 1 + ... + 3 + 1 a cada
uno de los números, representados del modo indicado, se obt lenen
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DEL CAP. 111
/6J
los números que se pueden obtener si en la misma forma x,., x,. _,
... • x 1 , x0 recorren los va lores O, I, 2, o sea, se obtienen lodos los
números O, 1, ...• 2H.
b. Del modo Indicado se obtienen m,m, . .. m11 números que no son
congruentes entre si respecto del módulo m1m1 • . • m11, pues!<> que de
x1 +m1x,+ 1ntm1xi+ ... + m1m1 ••. m11- 1"1t •
a x: +m1,G +m1m14+ .•. + m1m1 .•. m11-1x• (mód. msm1 ••• m11 )
se halla sucesivamente
.t1 •
(mód. m1). .r1 = .r;; ms.rs "" m1,G (mód. m,ma), .r, = .r;:
m 1m 1 e m1m1.ri (mód. m1m1ms), .r, = .r;,
ele.
11, a. Del modo Indicado se obtienen m1m1 ••• "'" números que no S<'ln
congruentes respecto del módulo m 1m1 .•• "'1t• puesto que de
x;
.r,
M1x1 + M..-1 + ... + M11.r11 e
a
M1x'¡ + M.4+ ... + Mv~ (mód. m 1m1
resultaría que (lodo M¡, distinto de M,,
M,x, e
M,.r~ (mód. m,),
x, e
~
•:•
11111)
un múltiplo de m,)
.r~ (mód.
mJ,
x, .: x~.
b. Del modo Indicado se obtienen cp (m1 ) cp (m1 ) •• • q> (m11 ) =
... cp (m1 m1 . . • m11 ) números, los cuales, en virtud del teorema de
la pregunta a, no son congruentes respecto del módulo m1m1 . ..
y como (M 1x1
M 1 x1
M11 x11. m,) = (M,x,. m,) = I,
son primos con m1 m1 • • • m11 .
c. Según el teorema de la pregunll a, el número M 1x1
M 1 x1
M11x11 • donde .r1 , x1 , •• ., x11 reccorren los slstemlS completos
de restos respecto de los módulos "'t, m1 , . . . , m 11 , recorre el sistema
completo de restos respecto del módulo m1 m1 ... m11. Este número
es primo con m1 m2 • • • m11 cuando, y sólo cuando, (x 1 , 111t) =
- (x1, m1) = ... = (.r11. m11) .. l. De aquí que cp (m1mi .•. m11) =
q> (m1) cp (mi) . . . q> (m11).
d. Para obtener lodos los números de la sucesión 1, 2, ... Po que son
primos con (JO, se deben borrar los números de esta sucesión que son
múltiplos de p, es decir, los números p, 2p, .... Po- 1p . Por fo tanto,
q> (Po) - Po - Po- 1 • De aqu! y del teorema e, 1 4, cap. 11 se deduce
Inmediatamente la expresión para cp (11).
10, a . La primera afirmación se deduce de
+
. . . +·
"'1t·
+ ... +
+
+ ...
=
... +~} -{Msxs + ... +M11x11}
{B...+
ms
m11
"'
;
162
Rl!SPUl!5TAS A LAS PREOUNTAS
la aecunda se deduce de
... +J~}-{M,,,+ ... + M•b} ·
{JL+
"'1
m11
m
11. Las fraa:lones
{
/¡(1,, ...• w,)
+ ... + '· ex.. ....
'"1
CIDJI)}
"'•
coinciden con las fracciones
{
/tCM111 + ... + M1111t • •.• ,
M1 :.r1+ ... + M1111111 + ...
m1
••• +f1t (M111+ •.• + M11z1t • • •••
o su, con 1ts f racc i onts { /t(x,
M11111+ ... + M1t11111)} •
"'•
. ..• w)+
+lit (.r,
.•.•
111)}
,.,,_
. ..
• ....,
m,
"'•
aqul se obtiene lácllmenle la primera afirmación. La se¡unda se demuestra
de un modo amlogo.
11, a. Si a es un m61tlplo de
111, ge
tltne
~e ~·~
• =~ l = m.
SI a no es divis ible por m, se tiene
~
""
'
z.u-
"' -
"
'
"
1lri !!!!. - 1
"'
Sld..!..
'
=0.
"' - 1
b. P1ra " no entero, ti primer miembro es i¡ual
1
1 21rio.(lil+P)_ 1 ZlllGM 1
1
<sen n(ci) < /1 (ci)
,2,.kí_ 1
1
1
c. s.<io ºtl teomna de la prf¡Unta b, el primer miembro no es superior
1
·-·
Ta. donde
T,,.=~ - ' - .
-
Pero al m es lmper
T,.. < m
~
1
11(:)
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DEL CAP. 111
163
y si m es per
~
m
Tm<T
2a + I+~
1n2a-I
kJ
O<o~ T
Como_!_ _
2
2a+I
ln2a _ 1 <mlnm.
O<a<T
_!_-=_!_, para m> 6 11 cola m In m se puede disminuir en
3
6
2~
(2[ T]+1) .
~ ln~~:=f ln
L1 últlma upresitín
12,
~
kJ
2
>;
H
si m
a. Supongamos que m= 11"1 ...
> 12 y
p:t ti
> m si m > 60.
es
11 dtsc:omposlclon canónica
11"1=1111, ... , p:t = mt,
del númtro m. Haciendo
y conservando las
nolaclonei de la pregunta 10, a, se tiene
~,
2nl
.!!..
,,
m 1 ... ~,
Znl
!t
~t
l _
t
2m
t'
-!,•
Pero, si a, = 1, se obtiene
2"1
~e
r.
SI a,> 1, haclmdo m,
~t
r.
1.nl
..!!..
m,=~e
2'11 ~
"•
"'•-i = - 1.
= p;n:, se obtiene
~
m, = ~ t
"•
2Jll ~ m;- 1 2nl ..!..
"'• - ~ t
"'~ =0.
u.- o
m-1 2111
b. Sl!a m entero, m > l. Se tiene ~ e
...!..
m
=0. La sum1 de los
-o
términos del primer miembro de Kla l¡¡ua1dad que cumplen 11 condi ·
ción (x, m) =d, es Igual a µ (
gunta a.
c. Obtenemos
.![[-) , en virtud del
teorem1 de 11 pre-
/64
RESPUESTAS A LAS PREOUl'ITAS
donde, haciendo
m=~.
se tiene
....- !
2id~
Sd = ~ e
mo •
...o
=m. De aquí
Esta suma u ieual a O si d < me igual a 1 si d
el teorema de la pre¡unla a.
d. l..as igualdades se deducen de la pre.g unta 10, b.
c. Se llene
resulta
A (m1) • • • A (m•) = m· • ~ ... ~ Sa 1, lllt · · · Sª•• m••
º'
ª•· ... , ª•
º"
donde
recorren los sistemas reducidos de restos respecto
de los módulos m 1 , ••• , m •. De aqui (pregunta d) se deduce Inmediatamente la primen l¡¡ualdad de la pregunta. La segunda Igualdad
se d.emuestra de un modo aniloqo.
I~. a. Se tiene
P~I 1111~ ,t.J e
-o
n es multlplo de p ,
O en caso contrario.
{ p, si
b. Desnrollando el producto que correspon'.!c a un n dado resulta
el- \
~¡i. ~d) ~
d' G
""
e21cl
tf
x-0
De aqul, sum ando respcclo de todos los /1 = O, 1, ... , a - 1, se
obtiene la expresión conocida par• cp (a).
14. L1 pule de la expresión del se¡¡undo miembro que corresponde
a un valor de x que es divisor de a, es lgu1l a 1; la parle q~ cor~p<m­
de a un nlor de x que no es dlvllOI' de a, es Igual 1 O. De aqul que la
upreslón en cuestión es Igual al doble del número de divisores de a,
menores que
m'5 a, es decir, es igual a T (a) .
va.
IS, a. Se Hene
(h1+h1) P=
• llf +( llf- 111,+ ... + (p~I} llt~ 1 +hf • hf+hf (mód.
(h1+11t+llal"•(ll1+llt>"+"fshf+llf+hr (mód. p), etc.
n
p);
b. Haciendo llt=ll,"" ... = h0 s:I, del teorema de la pregunta a
obtiene el leore1111 de Fermal.
c. Sea (a, p) =l. Para ciertos micros Ns. N1 , ••• , Na, 1e tiene
o<P-U
1+NfP, o'PCP-lJ =(1 +NfP}P .- 1+N1111,
opl(J>-IJ=l+N,p•,. ··• ~-f¡p- 0 ,..1+NaPca,
a•<P<&) • 1 (m64. ¡P).
1e
=
RE SPUESTAS A LAS PREGUNTAS DEL CAP. IV
165
Sea m-p~~ ... p:A la descomposición canónica del numero m. Se tiene
a
.. (J(l'l)
a
a.,
e 1 (mód. p 1 1) ,
1
(m) !I!
pf1),
1 (mód.
.. (p:A)
••. ,
••• ,
a
a.,
ªA
a l (mód . P•
)
p:•),
1 (mód.
(m) •
a•<m> e 1 (mód. m).
Resp11eato11 a la1 preg11nta1 del raplt11lo IV
1, a. El teorema se deduce Inmediatamente del teorema (de la pre11unta 11, a, cap. 111.
&. Su d un divisor del número m, m=mod, Hd denota la suma de los
t~rm lnos que cumplen la condición (a, m)=d en la expresión para Tm
de la pregunta a. Se obtiene
m- t
m- 1
2.u Ge/ (x, • . . • v)
Hd= ~ ~ .•. ~e
ao -o
...
-o
,
donde ao riteorre el s istema reducido de restos respecto del módulo "'o·
De aquí se deduce ·que
mo-1
Hd = dr ~ ~
Ge
21ri ºof(;q .. . q)
mo-t
•••
:ro-O
'"º
~ e
.,...o
=mrA (mo).
c. Supongamos que m > O, (a, m) = d, a = Qdi, m= mod. T es la canlidad de soluciones de la congruencia az a b (mód. m). Se tiene
m-tm- 1 z,.,a(<LT-b)
T m= ~ ~ e
~ z -sO
d~l
m
m - lm-l 2Ki~x-21ri~
= ~ ~ e
- 2n l
~1
=m L.Jn •
«1=
=
m- 1m- t m- t
~
~
-o
O en caso contrario.
m- t
(/,
d,_ 1) = d,, m = d1m1 ,
2,.1 a(ox+l>al+ . .. +f\O+ I)
~ •• • ~ e
m
a.=O
¡¡..O
IO- U
d¡- tm- l
m - 1 2nla1(b~+ . . • +fu>+tl
=m ~
~ . .. ~
et¡a:s O 1fa10
"' =
{ md, sí b es múltiplo de d,
d. Haciendo (a, m) = d 1, (b, d1) = d1 , •• . ,
d 1 = dsm2 • . . . , d,_s = d,m,. hallamos d = d, ,
Tm =
"'º
ep=Q x--0
1&1=-=0
1
dt
=
166
RESPUESTAS A LAS PRf.OUNTAS
c. Apliquemos el método de lnduccíón. Conservando las notaciones
de la preguntad, supongamos c¡ue el teorema es dlldo parar variables.
Consideremos la congruencia
+
lo+ a.e + •.. + /w
g - O (mód. m).
(2)
Sea (1, m) =- d 0 • La c.>ndlclón para que sea posible la congruencia (2).
es a.e + .. .
/111 + g - O (mód . d0 ). La última congruencia es
posible solamente si ges múltiplo de d', donde d' - (a, .. ., /, do) =
- (l. o, .. ., /. m); en este caso, ésta admite d~- 1 d' soluciones. Por
consiguiente, la congruencia (2) es posible solamente en el caso en que g
+
es múltiplo de d': entonces, ést a admite ~-1d' (
~) r do -
m•d' solucio-
+
nes. Por lo tanto, el teorema también es válido para r
1 variables. Pero el teorema subsiste para una variable. Esto signilica que
bte siempre es válido.
2, a. Se llene a1P(m) - 1 (mód. m). a·ba9 (m)-1 - b (mód . m).
b. Se llene
1·2 ... (o- l )ab(-1)•-l (p-l)i'.2" (p-o + I) s
•.• a
• b·l ·2 ... (1 - a) (mód. p),
de donde, dividiendo ttrmlno a término por l ·2 ... (o-1), se obtiene
el teorema indicado.
c. a) Evidentemente, es suficiente limitarnos al caso (2, b) =l. Eli·
glendo el signo de un modo adecuado, se tiene b ± m a O(mód. 4).
Sea
2°
la má.11ma potencia de 2 c¡ue divide a b ± m. SI 6
> lt,
se tiene
b±m ( ód )
z•-p-m.m.
SI 6
< lt,
se tiene
_._6
'/:. z •
b±m
~
(mód. m).
Con esta congruencia repetimos una operación anAloea, etc.
~) Suponemos c¡ue (3, b) • 1. Eligiendo el signo de un modo adecuado,
1t tiene b ± m•O (mód. 3). Sea 36 la máxima potencia de 3 que divide a
b ± m. Si 6 > lt, ~ tiene
b±m
z•~(m
... _ 6
z
,,--
ód
.m) .
b±m
•-za(mód. m).
Rll!:SPUr:STAS A LAS PREOUNTAS or:L CAP. IV
167
Con es11 congruencia repetimos una optracióo anilq¡a, etc.
y) Su p un divisor primo de a. Hallemos t de la condición b+ml •O
(m6d. p). Sea ,,O la múlma potencia de p que divide• (a, ll+ml), y eea
a ... a 1p6 • Se tiene
b+mt
a 1.i: • ~ (mód. m).
p
SI a 1
> 1, repetimos
una operación análq¡a con esta nueva concrum-
cla, etc.
El !Mtodo Indicado es cómodo en el caso en que el n6mero o poRa
factores primos no muy grandes.
S. Haciendo 1 ... [T), escribimos lu congruencias
a ·O• O(m6d. m),
a·l • 111 (m6d. m),
a·I • 111 (m6d. m).
a.o • m (m6d. m).
Coloundo estu congruencias en orden de ctedmlento de sus segundos
miembros (comp6rese con la pregunta 4, a, cap. 11) y restando término
a término cada congruencia (a excepción de la última) de la que le
sigue, se obtienen t
1 congruencias de la forma ai - 11 (rn6d. m);
+
O< 1i 1<T. En este cuo, al menos en una congruencia aer6 O< 11 <
m
~.
+
En efecto, 11 admite t
1 > T valores, estos valores son positivos,
y su suma es Igual a m.
4, a, a) Se deduce de la definición de fracc.lón shnbóllca.
11) Aqul se puede hacer b0 - 11+m1, donde t se define por la condición
11+mt •O (m6d. a); entonces, satisface a la conerueocia u • b el
número entero, representado por la fracción ordinaria
y) Se tiene (bo es un múltiplo de o,
do
!!.
.
a
es un múltiplo de e)
..!.+~.
!!.+~
- boc+ado
- bc+od.
a
e
e
e
ac
ac
6) Se llene
b d
bo do
boda
lid
-·-·-·-s=---•-·
ac
oc
oc
oc
b, a) Se tiene (las con¡ruenclas se toman respecto del módulo p)
(
p- 1 ) -
a
(P-l)(p-2) . . (p-a)
J.2 . .. o
8
(-1) 0 1·2 ... a •(-l)o.
1·2 ... o
168
La
RESPUESTA S A L A S PRE OUNTAS
pr~unta
2, b se resuelve mis fácilmente así:
.!._ =
a
Pl
b( - l)• - l(p - 1) . .. (p - (a - l)) ( 6d )
1·2 .. . (a - l)o
m · p.
Se tiene
p- J
(p - 1) (p - 2)
-p-~ 1 + --r:-r +
1·2 ·3
2P - 2 _
· ·•
+
+ ...
(p - 1) (p- 2) . . . (p - (p - 2)) ( 6d
1·2 .. . (p- 1)
m
)
·P •
+
+
6, a. Entre los números s. s
1, . . ., s
n - 1, ningún par puede
tener slmulUneamente divisores comunes con d . Los productos
s (s
1) ... (s
n - 1) pueden ser reunidos en "" clases según
la cantidad de modos con que el número d pueda dividirse en n factores
primos entre si, teniendo en cuenta el orden de estos úl timos (pre·
gunta 11, b, cap. 11). Sea d - u 1u 1 •• • u,. una de tales divisiones.
1La cantidad de productos con la condición s - O (m6d. u1), s
+
+
+
"'º (m6d . u
1). . . .,
s+ n - 1•0 (mód.
el número buscado es igual a
º"
a
b'
u,.) es igual a
Por lo tanto.
a·
b. El número indicado es igual a
d, .
donde x es igual a la cant idad de divisores primos del número d.
~ro, se tiene
d,~.. I' (d) n;a ""a (1e,
;I ) ( ;1 ).•.(
l-
l-
;_ } •
a. Todos los valores de x que satisfacen a la primera congruencia
vienen dados por la igualdad x
b1
m,t, donde t es entero. Para
ele¡lr entre éstos aquellos que satisfacen también a la segunda congruen·
cia, hay que limitarse solamente a aquellos valores de t que satisfacen
a 11 congruencia
m 11 • b1 - b1 (mód . m1 ) .
= +
Pero est1 congruencia es resoluble cuando, y sólo cuando, b1 - b 1
es múltiplo de d . Además, cuando ésta es resoluble, el conjunto de
valores t que la satisfacen se determina por una igualdad de la form1
' ""' '• + ~
1
t' , donde I' es entero: el conjunto de valores x que satisface
RE SPUESTAS A LAS PREGUN T AS 01!1.. CAP. IV
169
al sistema considerado en la pregunta se determina poc la igualdad
x ~ b 1 + m 1 (10 + ~z
1•) =x1. 1+m1. 1I';
b. SI el sistema
x • b1 (mód. m1), ;e a b, (mód. m 2 )
es resol uble, el conjunto de valores x que le satisface se expresa por
una congruencia de la forma x - x1 , 1 (mód . m1, 1 ) . SI el sistema
x -
x 1, 1 (mód. m1, 1 ),
x -
b, (m6d . m,)
es resoluble, el conjunto de valores x que le satisface se expresa por
x1 , 1 , 1 (mód. m 1, 1 ,,). Si el sistema
una congruencia de la forma x -
x - x 1.i. 1 (mód . m,,1 , 1). x - b, (mód. m¡)
es resolubl e, el conjunto de valores x que le satisface se expresa por
una congruencia de la forma x - x1 , 1 , 1 , 6 (mód. lftt,1 , 1 , 1 ), etc.
1, a) Al sustituir x por - x (en virtud de lo cual x' se sustituye
{ª;,.")
por-x') el valor de la suma
~) Cuando
no varia .
x recorre el sistema reducido de restos respecto del módu-
lo m, x' tam bién recorre el sistema reducido de restos respecto del
módulo m.
y) Haciendo x • hz (mód . m). resulta
Mr+b•'
a, bh ) _ ~ 2nl - , , . - ( ah , b )
e
= -m- .
( - m6) Se tiene
( º~ 1
1
) {
0~ 1
1
) =
~ ~e
X
2Jcl º""p+ a.,,,111+...1.r'+.n111'
m1m1
U
Haciendo m2 x' +m1.v' = z', se líene
(01m 2x +a1m 1y) (m,.x' +m1y') a o1ml +a2'"? (mód. m 1m 1).
( ~)
m1
(~ ) = (
m2
mlos + m?o1 , I ).
m1mi
lo cual demuestra la propiedad indicada para el caso de dos lictores.
La generaliza ción para el caso de más de dos factores es trivial .
8. La congruencia
a,,xn
+ a,X"- + .... + On
1
-
a,, (x - x 1 )(x .. O (mód p)
x.)
. . (x -
Xn) -
170
RESPUESTAS A LAS PREOUNTAS
admite n soluciones. Su grado es inferior a n. Por consigu ient e, todos
sus coeficientes son múltiplos de p , lo cua l se expresa mediante las
congruencias Indicadas en la preeunta.
9, • · Si p > 3, para cada x tomado de la sucesión 2, 3, •• . , p - 2,
hallamos en esta sucesi ón un número correspondiente x', distinto del
mismo x, que cumple la co nd ición u' - 1 (mód. p): en efecto, si
fuese x =- x' resuJlaría que (x - l)(x
1) - O (mód. p): x - 1
o x - p - l. Por consleuiente,
2·3 ... (p - 2) - 1 (mód. p):
l ·2 . . . (p - 1) • - 1 (mód p).
+
b. Sea P > 2. Suponiendo que P posee un d ivisor u que cumple Ja
condi ción 1 <u< P , se tendria que l ·2 ••. (P - 1)
1a l (mód. u) .
10. a. Hallamos un número h que cump la la condición aoh-1 (mód. m).
La congruencia dada equivale a la que sigue:
+
+ aihx"- 1 + ... + a,.h -
O (mód. m).
b. Sea Q (x) el cociente y R (x) el residuo de Ja división de xP - x
por I (x). Todos los coeficientes de Q (x) y R (x) son enteros. Q (x) es
de e;rado p - n, R (x) es de grado Inferior a " ·
xP - x - f (x) Q (x)
R (x).
Suponeamos que la congruencia f (x) - O (mód. p) posee n soluciones.
Estas mismas soluciones son también soluciones de la congruencia
R (x) - O (mód. p). Por lo tanto, todos los coeficientes de R (x) son
múltiplos de p .
Recíprocamente, supongamos que todos los ~flclentes de R (x) son
múltiplos de p . Entonces/ (x) Q (x) es mú.l tiplo de p para los mb mos
valores de x que xP - x; por lo tanto, la suma de los números de sol u·
clones de las congruencias
x"
+
Q (x) - O (mód. p)
/ (x) - O (mód. p),
no es menor que p . Supongamos que la primera a d mite a soluciones
y la segunda P soluciones. De
c:i
n, P p - n, p < a
ji
deduci mos que a = n, p =- p - n.
c. Elevando ttrm loo a término la con¡¡ruenc.la dada a la potenc.i a
p- 1
- ,.-. nos convencemos de que la condición Indicada es necesaria
Suponeamos que ae cumple esta condición; de
<
<
+
J>-t
xJ> - x - x ( xP-•-A-"-
P-1
+A-,.- -1
)
RESPUESTAS A l..AS PREOUNTAS DEI.. CAP. V
17 /
se deduce que el residuo de la división de xP-x por x"-A es igual
J>-1
)
J>- 1
a ( A " - 1 x, donde A " - 1 es múltiplo de p.
11. De"~ 111 A (mód. m), !I" a 1 (mód. m) se deduce que (Xofl)" e
n: A(mód. m); ahora bien, los productos x0 11 que corresponden a valores
de !I Incongruentes (respecto del módulo m), son Incongruentes.
De "~e A (mód. m), "" "' A (mód. m) se deduce que xn ax: (mód. m) Y,
determinando 11 de la condición x e ll"o (mód. m), se tiene
11" a 1 (mód. m).
Resptu1l<u a la• prelf•nla• del captt11lo V
t. La congruencia indicada es equivalente a la siguiente : (2a.r
b)1 - b1 - 4ac (mód . m). Para cada solución z • z0 (mód. m) ·de la con·
gruencla z1- b 1 - 4ac (mód. m) hallamos de 2ax
b- z., (mód. m)
una solución correspondiente de la congruencia ind icada.
+
+
2, a. Si { ; } = I , se tiene a21ft+I a 1 (mód. p), (am+l)Z e a (mód. p).
x
a± am+i (mód. p).
b. Si { ; ) ... 1, se liene a•m+2 e 1 (mód. p), a:!m+l e± 1 (mód. p),
a:!m+2 e ±
a (mód. p).
Como { : ) = - 1, también se tiene 21m+2 a - 1 (mód. p). Por lo
tanto, para un s que loma uno de los valores O: 1, resulta
atm+Z 211m+tu a a (mód. p), z s ± am+l 21Zm+J" (mód. p).
c. Sea P=2"fH· I, donde k :;;¡. 3 y hes impar,
1
a 2"- h'"' l
(mód. p),
2
a 2 "- " ,.
±
(-%-} =!.Se tieo1e
1 (mód. p),
N2"-1h "" -1 (mód. p)
Por consiguiente, para cierto entero no negativo s 1 , se obtiene
2•-•,.
a2 "~"N"2111-1 e l(mód. p) a
N'1 2•-2 e ± 1 (mód. P):
de aqul, para cierto entero negativos~, se obtiene
1
a2"- "N1• 2"- Z e 1 (mód. p).
a 2"-' "N'• 2"-• e
± 1 (mód. p),
etc.; finalmente, se obtiene
A+I
ahN111t e 1 (mód. p),
x e
±
a -2-N•k. (mód. p).
/12
IU!SPUl!STAS A LAS Pltl!OUNTAS
d. Se tiene
1·2 ... 2m (p - 2m) . . . l¡_ - 2) (p- J) + 1 •O (mód. p),
(1 ·2 ... 2m)
1 •O (mód. p).
3, a. Las condiciones de resolubllldad de las congruencias (1) y (2) se
deducen trivialmente (1, 1 2 y lt, 1 2). La con¡ruencla (3) es resoluble
+
-;ª )-1.
cuando, y sólo cuando, (
( p) {
T
""
Pero (
-;ª) ... ( ~ ) y
1, si pes de Ja forma 6m+1 .
- 1, si pes de la forma 6m + 5.
Cualesquiera que sean 10$ primos distintos p 1 , p 1 • • • • • p11
de la lorma
l. el divisor primo mlnlmo p del n6mero
(2p 1p 1 •• • Pll,)1
1 es distinto de p 1 , p 1 , • • . , P1a y, como
(2P1P1 • .. P11)1
1 - O (mód. p) , es de la lorma
l.
c. Cualesquiera que sean los primos distintos p 1 , Pa. . . .. P11
de la forma 6m
1, el divisor primo mínimo p del número
(2P1P1 • .• Pll.)1 3 es distinto de P1,P1• • •. , P11 y, como (2P1Pa • • .
PJ1)1
3 - O (mód. p), es de 11 forma 6m
l.
• · En el primer conjunto bey n6meros que son congruentes con
p-1 p - 1
l ·I, 2·2, ... , - - - -- , o se•, con todos los restos cuaddtlcos del
2
2
sistema completo; según la condición, un número que perleneoe al
ae¡undo conjunto es un no-resto cua dr 6 tico. Pero 11 se¡undo conju nto
pertenecen todos los productos de este no·reslo por lodos los restos,
es decir, pertenecen lodos los no·restos cu•dr'llcos.
5, a . SuponclDlOIS q ue en el slstmi1 de numeración de base p
D.
•m+ +
•m+
+
+
+
+
+
a=ao-1P"- 1+ ... +a1P+ao
y que la solución buscedl (el resto mínimo no ne¡1tlvo) es
+ ... +x1p+xo.
X= Jru- IP"- 1
Formemos la tabla:
ª·'
2.fox.._.
xf
xi
(1 )
173
RESPUESTAS A t.AS PREGUNTAS DEI. CAP. V
donde en la columna bajo a, figuran los números cuya suma engendra
el coeficiente de p• en el desarrollo del cu1dudo del segundo miembro
(1) según las potencias de p . Hallamos x0 de la condición
x: e ao (mód. p).
x•- ao
Haciendo - º-- = p 1, obtenemos x 1 de la oondición
p
P1 + 2Xox1
""ª•
(mód. p).
p1; obte.nemos x 1 de la condición
Haciendo Pi +2xoXi - ai
p
Ps + 2XoXa+xf a a, (mód. p),
etc. Como (x0 , p)=I, para el número x 0 dado, los números x 1, x1 •••
. . . , x..- 1 se determinan univocamente.
b. Aqui
a = a..-1~- 1 + ... +a,2• + a,2i + a12 + ao.
x = .ru-1~-l
+ ... + x,2•+x12' + x12+ xo·
y se tiene la tabla siguiente:
a~
a3
a,
xor..- 1
XgX3
XgX~
XoX1
x 1x.._3
XtXa
x,x.....
xi
Clu- 1
ª•
ªº
.rJ
xf
>
Consideremos solamente el caso a
3. Como (a, 2) = 1, tiene que
ser necesaria merite a,, = J . Por lo tanto, ~ = J. luego tiene
xf = x1 xf que ser necesariamente a, = O y, como x0 x,
e O (mód. 2), tiene que ser oecesarlamentea,= 0. Parax1 son posibles
dos valores: O y l. los números x1 , x 1 , . . . , x.. _, se determinan
unívocamente, y para x.. _, son posibles dos valores: O y l. Por lo
lanto, si a:> 3 tiene que ser necesariamente a - 1 (mód. 8), y enton·
ces la congruencia indicada admite 4 soluciones.
+
+
114
RESPUESTAS A LAS Pltl!OUNTAS
t. Evidentemente, P y
Q son entero1, y Q es congruente respecto del
módulo p con el número que se obtiene al sustituir a por i', para lo cual
es suficiente sustituir Va por z. Por lo tanto, Q-2"- 1zG- 1 (mód . p);
por consl¡ultote, (Q, p) = 1 y Q' verdaderamente se puede determinar
de la congruencia QQ' - 1 {mód. pª). St tiene
J>t - a~Z=(t+ Va)ª{z-"Vcí)ª = (zl-a)ª e O (mód. ¡P),
de doDdt
(PQ')2 a a (QQ')I .., a (mód. pª)·
7. Sea m = 2ªp~1
• • •,
p:• la descomposición canónica del número m.
EntollCleS m se expresa dt 211 maneras en la forma m=2"ab, donde
(o, b)-1.
Supongamos que et =- O. De (x que para ciertos a y 6.
x -
1 (mód. o);
l)(x
x -
+ 1) -
O (mód. m) se deduce
-1 (mód. 6).
Resolviendo este sistema se obtiene x - x0 (mód. m). Por lo tanto,
la congruencia Indicada tiene 2" soluciones.
Supongamos que et = l. Para ciertos a y b
Jl -
1 (mód . 2a);
z - -1 (mód. 2b).
Resolviendo este sistema se obtiene z - z0 (mód. m). Por lo tanto,
la congruencia In dlc:ada tiene 211 soluciones.
Supongamos que et ""' 2. Para ciertos a y b
z - 1 (mód. 2a); z - -1 (mód. 2b).
Resolviendo este sistema se obtiene
z a z0 ( mód. ; ) • Por lo tanto,
la congruencia Indicada tiene 2•+1 aoluclones.
Supoaeamos que et > 3. Para c.lertos a y b tiene que verificarse uno
de los 1latemas
Jl • 1 (mód. 2a);
x a - 1 (mód. 2"- 16);
Jl •
1 (mód. 2"- 1a);
X
m - 1 (mód. 26).
Resolviendo uno de estos siatemu se obtiene .s a
.ro (
mod; ).
Por lo tan-
to, la concruencla lndJcada tiene 211+1 aolucloues.
8. a. Determinando x de la concruencla xx' • 1 (mód. p), se tiene
J>-1
~
%-t
J>-1
( Jl(.1:~)) = ~
.-t
(.1.1'(.s.s~+b')
J>-1
)-
~
.._ ,
e+:·).
RBSPUESTAS A LAS PREQUNTAS OBL CAP. V
115
Evidentemente, 1 +.U' recorre todos los restos del sistern1 completo,
ext:epel6n de 1. De aqul st deduce ti teortma indicado.
11. La Igualdad en cuestión se deduce de la lfUlldad
1
P-2
T-{ ~ (1+11(; )) (t+'lrt~I )) -1
J>-2
-+ (1+e(: )+'1 (
~
-
x~I) +t'I (.r(x:I))).
1
c. Supongamos que 6 denota I• C4lllldad de nlores de /1 que son igu.
les a cero (por consiguiente, 6=0ó6=1). Se time
J>-1
S? < X~ ~ s
;S
== ~
~ ~ 111. 11
v•• ,
~
"• ..
z-o
((.r11+•><.rv1+•>)
.
p
Aflora hallarnos que:
s,,, 11"'-P.
si
111=¡.t= O;
5 11 ., •=O, si solamente uno de los números Vt
l=p- ( 11~).
s11 .. , =ps11•• 11 = -
( !/~!/ )
si
en los dtmás
f
/J es l¡u1I a cero;
V1=Y>O;
Cl$06.
Por lo tanto,
S2<X (.o6+ P(Y-6l- (l1 (
~) )
2
)
<.XYp.
v>-0
d. a.) Se tiene
.r
z
Para z1 = z, la sumaclón resprcto de da P-1. Para 1 distinto de z,
la sumación respecto de .r (pregunta •) da -1. Por lo tanto, S=
= pQ-QI.
11) Según el t~rema de la ptt¡Unta a), se tltnt
T(Qº· 5 +o.u)2.,;:S<pQ;
<
T<pQ-".
y) SI p
5, el teorema es trivial. SI p > 5, aplicamos el teorema de la
pregun ta a). Suponiendo que en la sucesión lncllcada en la pregunta
176
RESPUESTAS A L AS PR l!OUNTAS
no h•y no-rest0$ cu1drjliCO$, lle¡amos a la conclusión que Sx = Q
para x - M, M
1, . . . , M
Q. Por lo tanto (Q' + 2Q
y Q'
2Q
1 no son Iguales a p, puesto que son compuestos), halla-
+
+
+
+
moa
(Q
+ 1) Q' ~ (p -
Q) Q,
Q'
+ 2Q <
p,
(Q
+
1)1
<
p,
lo cual es Imposible.
9, a. SI tn se expresa en la forma ( 1), la solución
z-
z.
(5)
(mód. m)
de la congruencia x - z11 (mód. m) también es solución de la congruencia (2) . Diremos que la expresión lndlc:.ada está ligada con la solución
(6) de la congruencia (2).
Con cada solución (5) de la congruencia (2) esU ligada no menos de
una expresión (1). En efecto, toma a do T --= v;;., se tiene
~=.!...+-º--·
m
Q
Q Vñi •
(P• Q)
= l,. O< Q < ..,,I' m,
181 < l.
Por lo tanto, ioQ=mP+r, donde lrl<Ym· Luego, de (2) se deduce
que l r lª+Qt • O (mód. m) . De aqul y de 0'< l r ¡z+ Q• < 2m se obtiene
m ~ ¡r¡z+qz.
Ahora b leo, ( 1r ¡, Q)
l = r•+Q• _
m
= l,
(6)
puesto que
(zoQ-mP)zoQ-rmP +Qz •-rP (n¡ód. Q).
m
1r 1 - r. r - z.Q (mód. m). la upres ión (6) esU ligada con la
solución (5). SI 1r 1 - -r. como z!Q - z0 r (mód. m), Q • z. I rj(mód . m), la expresión m-= <l'+ lrl' está ligada con la so lución (5).
SI
Con cada aoluclón (6) est6 li¡ada no más de una expresión (1). En
efKto, al dos expresiones del n{imero m en la forma (1), m -= x'
j/1
y m - .tf V:. est6n li¡adas con una solución· (6), entonces, de
x - Z.11 (mód. m), .s, - z.111 (mód. m) se deduce que 11111 - x111 (m6d. m).
Por lo tanto, 11111 = "•11· y como (x, 11)
(xt. !Ji) ... 1, resulta que
" - .s,, 11 - 111 ·
b . SI p se expresa en la forma (3), la solución
+
+
=
z - ,. (mód. p)
(7)
de la coogrueocl1 x - 111 (mód. p) también es solución de la congruen·
cla (4). Diremos que la expresión Indicada esU ligada con la solución
(7) de la congruencia (4).
tn
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DEL CAP. V
Conociendo Ja soluc:lón (7) de la congruencia (4), hallamos no menos
de una expresión (3). En efecto, tomado T =
se tiene
VP.
.ro
P
e
-~- +-- ·
P
q Q 'VP'
O<Q<\IP. 16 1< 1.
donde 1r 1<YP. Luego, de (4) se
(P, Q)=I,
Por lo tanto, ZoQ - r (mód. p),
deduce que J r 11
aQ' - O (mód. p) . De aqul y de O < 1r I'
aQ' <(1
a) p se deduce que, si a = 2, tiene que ser l r 11
2Q' = p ó 1 r 11
2Q• = 2p. En el último caso 1r1 es par,
1 r 1 = 2r1 , p = Q'
2rf. Si a = 3, tiene que ser 1 r 11 3Q' p ,
ó 1 r 11
3Q' = 2p, ó 1 r 11
3Q' = 3p. El segundo caso es lmpo·
sible. pues, respecto del módulo 4 el primer miembro es congruente
con O, mientras que el segundo miembro es congruente con 2. En el
tercer caso, 1r1 es múltiplo de 3, 1 r 1 = 3r, , p = Q'
31.
Suponiendo que dos expresiones del número p en Ja forma (3),
p x•
a!I y p xi agf, están ligadas con una misma solución
de Ja congruencia (4), hallamos que x = x.. 11 = 111 • Suponiendo que
estas expresiones estin ligadas con soluciones distintas de la congruencia (4), hallamos que x - ;rg (mód. p) , x1 - - zg1 (mód . p) ,
de donde xg1
x 1g - O (mód. p), lo cual es imposible, puesto que
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
= +
= +
+
+ x,g¡• ~ (xi + /l)(xf + vll < ,,.
e, a) Los términos de la suma S (k) con x = x 1 y x = - .r1 son Iguales.
o<
(xg,
~) Se tiene
p-1
~ (.11 (.rtt•+iiª))
S (kl') = ,(.J
P
= ( P1 ) s (k).
"""'º
y) Haciendo p-1 = 2Pt• se tiene
PI
P1 (S (r))ª + Pt (S (n))I =
J11
~ (S(rtl))I + ~ (S (ntl))I =
,_ ,
P- 1
=~
S(k)ª =
ll-O
Si
v
de k
~ ~ ~
no es Igual
~)
(
.xg(.1ª+ ~ (llª+
k)).
-111-t "-O
1
x o a p - x , el resultado de la sumaclón respecto
es Igual a - ( ";);
(p- l)X (
1-1
,,_, p-tp- 1
s i 11= .1
o 11= p- x
- Por lo tanto,
1
PI (S (r))ª + pi(S (11))J = •PP• · p
~te es
+
igual a
= (-} s (r)) + ( s (11} )2
17&
ReSPUeSTAS A LAS PREGUNTAS
10, a. Se tiene
X1-DYl = (xr1-.V1 YO)(x1±!11 YO) (x1 -
VDl=ki.
-111 YDl(x1 ±v1
b. Tomando cua lquier t 1 que cumpla la condición t 1
unos enteros
x1,
O < 111 <;: 'f¡,
111 que cumplen
de
donde,
la condición
multiplicando
> I,
.,,-
1111 v D -
término a
hallamo;
x1 I
1
<Ti·
término
por
obl~os r.rf-[)gf l <2VD + l. Tomando
.., , 1
Ts > Ts de modo que sea 1!11 v D - x 1 1 > ~, hallamos unos nuevos
!11 V D+ xi< 2g,
Vo+ I ,
enteros X1, !fs que cumplen la condición 1xr-D111i<2 VD+ 1, tic.
De aqul se deduce que en el Intervalo
existe
un entero .t, distinto de cero, tal que entre los pares x 1, 111; x 1 , y·i; . .
hay un conjunto Infinito dt pares x, !I que cumplen la oondicíón
;c1- Dglocft: entre eslos 6ltlmos siempre habrj dos pares li. '11 y
t,, 'la que satisfacen a la condición ;, .. ,. (mód. 1k1 ), '11 e
• 'I• (mód. 1ft1 ). Determinando los enteros ~. 'la mediante la Igualdad
-2YD-1 < k< 2v:o+1
~+'lo YD=CC1+'11 lfl5l (la-'11 YD), se tiene (pregunta a)
Por lo
U-DIJJ=Jkj2, S. mtf-Dt¡f aO (mód . fftJ);
'lo • - C1'11 + ls'IJ •O (mód. 1k1).
tanto, ~ =llkl, '1o= 'llkl, donde l y 'I son
enteros y
,1 - ~l :: J.
números x, v q ue se determ inan por la Igualdad (2) ~tisfacen
(P"fllllta a) a la ecuaci6n (1).
Suponiendo que existe un par de enteros positivos x, v que ~tisfacen
a la ecuación ( I}, pero dl$1ínto de los pares que se determinan por la
l¡u.ldad (2). pera cierto r=l, 2, ... tendremos
c. Los
(xo+vo Vol' < x+vVD <<.io+vo yi5¡r+ 1 •
De aqul, dividiendo término a término por (.1o+11o yD)•, obtenemos
-vo.
l <X+ y VD< .ro+110
(3)
doada (precunta a) X e Y aon mteros que se determinan por Ja lgual-
doed
x+Y-VOy aatlaface.a
1
(~!:010>)' - <x+v Yol(xo-vo Vol'
la ecuación
(4)
RESPUESTAS A LAS PRE GUNTAS DEL CAP. V
179
Pero de (4) se deducen las desl¡¡1.111ldades O<X-Y VD< 1, las cuales, junto con la primera dtsl¡¡ualdad (3), muestran que X e Y son
positivos. Por lo tanto, la se¡¡unda desigualdad (3) contradice a la
di f mlclón de los números JCo, Jlo·
11 , a, a) Se tiene
-
21.C~
t
1>-IJ>-I
1Ua.pl2=U0 ,,,u0 ,
,.= ~ ~
(-p)e
1-1-1
Para l=I la swnación respecto de x da p- 1¡ para
- (-f,-) . Por lo tanto
IUa, ,,1 =p-l- ~ ( ~}
,, .
t > 1 resulta
J>-1
2
= p, IUo,,l=YP:
1-2
o sea
J>-1 p-1
I Ua,,,l2=U0 ,,,ü11 ,,,= ~ ~
t-0
"'
.i;t) (~)/"'-P.
(
-o
Para 1=0 la sumación respecto de x da p-1¡ para t.>Oresulta
2111.!!..
-e
,, . Por lo tanto
1>-1 2m.!!..
IUa, p lª=p- 1-~e
,_,
I Uo, p l=YP:
"=p,
ji) Si (a, p) =p el teorema es evidente. Si (a, p) = l éste se deduce de
J>-1
2111
Ua,p=(: ) ~ (';,"}e
-·
....
-P
=(; )uq.
b, a) Supongamos que r recorre los restos cuadr61lcos, y n los no-restos cuadr6ticos, comprendidos en el sistema CDmpleto de restos.
Se llene
Restando de aqul tmnlno a t~rmlno
&ni~
0=1+~·
,
ae obtiene la l¡ua!dad lndlcadl.
,,
Slli~
+~·
"
p
16()
RESPUESTAS A LAS l>REOUNTA.S
ji) Se tiene
m - 1 ,,._ ¡
,. ca(l• +21lr)
2 1
!Sa,ml2 = ~ ~e
.x- o
"'
'-º
2nt.!!!.
Para un t dedo la sunuclón respecto de :e cla rru
"' 6 O,
sea divisible ti por m o no. Si m es Impar, se 11-
seeun que
,,..~
1So."'12 =1'111
=m.
"'
Si m ts par, m=2m1t se tiene
IS..,,,.¡s=m ( e
2"1~
"' +e
2(11ª""')
"'
.
Aqul el squndo miembro es l¡ual a cao si m 1 es Impar y u igu.al
a 2m si m 1 es par.
y) Para ewilquier entero b, se tiene
· - • 2ir« Ax•+2Abl<
1s..... 1=1 ~'
..
-o
de donde, elt¡lendo b de la condición 2Ab •
(pre,unla ji) el ruulbdo Indicado.
12, a, a) Se tiene
Jt+0- 1 .,._ ,
m~'IJ>(z) =~
~
•
4
I·
(mód. m), se obtiene
2nl o(a- • )
~ ~(z)e
"'
_,, ...o
u
parte dt la suma del secundo miembro que oom.spoode a a= O, es
i¡ual a Q ~ IJ> (z); la parte que corresponde a los valores restantes
'
de o ts en valor absoluto (pn!(unla 11, e, cap. 111)
,,._ , Jl+Q - 1 2ir1..::!
«~ ~
~ t
"'l<Am(lnm - 0).
.:J,
Es suficiente demostrar que la auma
1
-i
~)
r
1 • -1 :im•<o-l'f-r+r11
T=~ ~ ~ ~'
•
• a-Ora-o-o
•
la cual a l¡u1I 11 producto de m por el número de aoludones de 11
con¡ruencla r • N - 1
1 1 (m6d. m), a positiva. ,,.,_o la pute
+
de •b suma que corr•ponde
Zll':
1
o - O, a t¡ual
/1 -
'
+ l.
1
IUlSPUllSTAS A LAS PRllOUHTAS DEL CAP. V
La patle que corresponde a un valor
menor que
181
a> O dado, es en valor 1b50lulo
Por co.n .siguitnle, la parle que corraponde • lodos loe va10f't9 po1l.
tlvos a, es en valor absoluto menor que
"'
2A
00
260
~ n;iin
_,
(h
2
, :;,: )
Por lo tanto,
< 260 (
00
Jo
h2 da+
J::
•
du.) =26omh.
T > Zh'-26of'lh >O.
b, a) Se deduce del ltorema de la pregunta JI, a, a) y del teorema
de la pregunta a.
p) La desigualdad de la pre¡unta e&} da R-N.,,8Vplñp. Además ,
es obvio que R+N ==Q.
y} Del teorema de la pregunta 11, b, P} se deduce que se cumplen las
condiciones del teorema de la pregunta a, a) si se hace m = p, 4>(z} = 1
!;. = VP'. y z recorre los valores z = .r'; x = O, I, • .. , p - l. Pero
entre Jos valores de z hay uno que es congruente respecto del roódulo p
con O y sendos pares que son congruentes respecto del módulo p con
cada resto cuadrático del sistema completo. Por lo tanto,
~'cp(z) = 2R,
:i:
~cp(z)=p
J
y 9t obtiene
2R=_g_P+8
Vpln p.
p
6) Se deduce del teorema de la pregunta ti, b, y) y del teorema de
la pregunta a, a).
e) Del teorema de la pregunta 6) se deduc:e que se cumplen las condlcionei del teorema de la pregunta a, a) si se hace m =p, (p(z) = I,
6=1/pln p, y z recorre loa valores z =Ax' ; x Mo. M0 1, • . . , Mo+
+Qo-1. Por lo tanto,
=
~· '1>(z) = T,
J
de donde se deduce la lórrnula indicada en la pregunta.
+
182
RESPUESTAS A LAS PREOUNTAS
c. La parte de la •uma que contiene 103 términos con ( ; } = 1, es
Igual a p (R'+ N~, la parte restante es igual a -2pRf l . Por lo tanto,
toda la suma es igual a p <R-N)•.
La parte de la suma que contiene los términos con 2=0, es igual a O.
La parle restante es en valor ab$oluto menor (pregunta lJ, e, cap. 111),
p-1 M+Q- 1 2nl~ p-1 M+Q-1 Znl~
~ /
o-1
~
~
e
P
1~1
o.-1
'51. e
P
J<P'(lnp)'·
ll=i,
Por comlguiente,
p(R-N)• <
p' (lnp)I,
1R-N 1<
VP lnp.
R•ap11nta• a las pre~anlas del caplt11to VI
1, a. SI q es un número primo impar y o1' - 1 (mód. q), entonces
a respecto del módulo q pertenece a uno de los exponentes 6 = 1;
p. Si 6 = 1, se tiene a - 1 (mód. q), si 6 = p, se tiene q - 1 = 2px;
x es entero.
1 - O (mód. q), entonces
b. SI q es un número primo Impar y aP
a'P - 1 (mÓd. q). Por lo tanto, respecto del módulo q el número a
pertenece a uno de los exponentes 6 = J, 2, p, 2p. Los casos 6 == 1;
p s'on Imposibles. ·s¡ 6 = 2, se tiene
1 (mód. q), a
1- O
(mód. q). Si 6 = 2p, se tiene q - 1 = 2px; x es entero.
c. Son primos de Ja forma 2px
J, por ejemplo, los divisores primos
del número 21'- l. Sean p1 , pz, ... , PA cualesquiera k números
I; el número (p1 , p1 , • • • PA)P - 1 posee
primos de la forma 2px
un divisor primo de la forma 2px
J, distinto de p 1 , p,, . . . , P1t
d. Si q es primo y 2s"+ 1 - O (mód. q), entonces 21"+1 - 1 (mód. q) .
Por lo tanto, respecto del módulo q el número 2 pertenece al exponente
2Jl+l y, ,por consiguiente, q - 1 ""' 2"•' x; x es entero.
2. Evidentemente, respecto del módulo a" - 1 el número a pertenece
al exponente n. Por lo tanto, n es un divisor de qi (a" - 1).
S, a. Supongamos que después de realizar l a k·éslma operación se
obtiene la sucesión Inicial. Evidentemente, la k·éslma operación
es equivalente a la siguiente: en la sucesión
+
a• -
+
+
+
+
1, n,n,n - l, ... , 2, I, I, . . .
l, n,n,n - 1, ... , 2, L 2, .. .
. 1, 2, .. . , n . . ., n -
+
se loman los números que ocupan los lugares 1. 1
2". 1+ 2 ·2". .
Por lo tanto, en Ja sucesión Inicial, en el 1
2" lugar tiene que estar
+
RESPUESTAS A l.AS PR EOUNTAS DEI. CAP. VI
183
el número 2. Por consiguiente, 11 condición Indicad• en Ja pre¡unt1
es necesaria . Pero é$b también es suficiente, puesto que 11 cumplirse
se ti enen las siguientes congruencias respecto del módulo 2n - l:
1-
o bien
1-
J,
J,
l
+
1
º·
2• -
+ 2• -
1 + 2·2" -
2,
1
- 1•...
+ 2·2" -
3, ...
b. La solución es análog1 a la solución de 11 pregunta a .
4. La solución de la congruencia x6 a 1 (mód. p) pertenece a un e:iipc>6
~le de la forma O- , donde 6' es un divisor de
Aqul 6' es un
a.
o
múltiplo de d cuando, y sólo cuando, xd,.. 1 (mód. p). Escribiendo
todos los 6 valores de 6' y tomando
f = 1,
donde S' es el número buscado y Sd
obtentmos S' = ~ 11 (d) S4,
~o
= ~.
5, a. Aquí (§ 3; ejemplo c, t 5) tiene que ser ( n ~ )
2
1
condición se cumple para g 3.
b. Aqul no lient que ser
=
( 2,~ 1 ) =
= -1.
Esta
1, g2 e J (mód. 2p + 1). Esta con-
dición se cumple para los valores Indicados de g.
c. Aqui no tiene que ser
( 4 P~ 1)
= 1,
":+
g',.. 1 (mód. 4p+ 1). Esta
condición se cumple para g=2.
+
2
d. Aqul no tiene que ser ( 2
1 } = 1, g " !E!I 1 (mód. 2np 1). Esta
condición se cumple para g=3.
6, a. a) SI n es múltiplo de p - 1, el teorema es evidente. Supongamos
que n no es divisible por p - l. Los números 1, 2, .. ., p - !, sin
tener en cuenta el orden que siguen, son congruentes respecto del
módulo p con los números g. 2g, . .. , (p - 1) g, donde ges una rali
primitiva respecto del mód ulo p. Por lo tanto,
S,. a g"S,. (mód. p) , S,. 5i O (mód. p).
P> Se tiene
p-t
~
P-1
('' (x:+ I)} .,.
p-t
p-1
~ x-2- (xt+ 1)2 (mód. p),
a--t
x-1
de donde (pregunta a)) se obtiene el resu ltado Indicado.
2, se tiene
b. Si p
>
1.2 ... (p-1)
=g 1+ +· ·
2
p-1
-+P- I
a g-2-
a - 1 (mód. p).
184
llESPUEST AS A LAS PREGUNTAS
.
7, a. Se Irene
g 1lnd11a a a ( mód. p). ind
11
ind a
11
i!ll ot
a in d1 ¡¡1
=.
1nd 1 a
( m6d . p - 1),
índ11 a (mód. p - 1).
b. De ind1 a a s (mód. n). ind a e
11
ot
1nd1 a (mód. p - 1) se deduce que
a a as m s1 (mód. n).
11
8. Sea (n, p - 1)= l. Hallando u de la cond1cl6n nu e 1 (m6d. p - 1},
lnd
obtenemos la solución x 5! ª" (m6d. p).
Supongamos que n es primo, p- 1 = n"I, a es un entero positivo,
(1, n} =l. Si la congruencia es posible, se tiene
a""- 11 s
1 (mód. p);
11
si a> I, entonces, observando que z ;e ¡¡""- ' (mód. p), r =O, 1, . ..
. . ., n - 1, son todM las soluciones de la congruencia :r" e 1 (mód. p),
para cierto r 1 =0, 1, .. ., n-1, se tiene
a""- 211""- 1"• =1 (mód. p);
si a> 2, pAra cierto r1 = 0, l. ... , n - 1, se tiene
a""-31,,.a-%1r1+n"-11,, a 1 (mód. p},
etc.; finalmente, pa11 cierto r a-1 =O, 1, .. ., n - 1, se tiene
11
• "''1+"' 1•1+· · ·+"- 'a-I
ª'I
a ¡ (mód. p).
Hallando u y o de la oondiclón tu -no= - 1, se obtlenen n soluciones:
vl(r 1+..,1+ . .. +.."'-2ra 1i+na-t,, ( 6d
m . p);
r=O, I, .. . n-1.
x e a•t
Supon¡amos que el número primo n1 es un divisor de (n, p -
1),
> l.
Para cada solución de la congruencia 11"' s a (m6d . p) buscamos un• solución correspondiente de la congruencia
n = nsn1 , n1
x"• - 11 (mód. p).
t, a. Del modo lndlc:.tdo se obtienen cc,,c1 • • • c4 = <p (m) caracteres.
Supon¡amo.s que pita dos caracteres x. (a) y Xs (a) son di.s lintos
entre si los valores R' y R" de alguna de las ralees R. Ro. R 1, • • •
. . .. Rl; para el número as. cuyos Indices son todc>s iguales 1 O, a excep·
ción de uno, correspondiente 1 los valores indicados R' y R", e igual
a I, se tiene
Xt (a¡)= R', XJ (a1 ) R'.
=
b,
ot}
Se tiene x<IJ = Rº . .. Rl=I.
RESPUESTAS A LAS PREOUNT AS DEL C AP. VI
~)
Sean
y
y', .. ., yl; .,., .. ., y¡ los sistemas de Indices
..., ,..+.,¡ es el slstenu
a2 ; entonca y' + y•,
número o1o1 {e, t 7).
o1
185
de los números
de Indices del
y) Si o1 "" a1 (mód. m), los Indices de los números 01 y 0 1 soo coocruen·
tes entre si respecto de los módulos e, ... , c• .
c. La propiedad Indicada se deduce de
· -·
~
x (o) -=
•-1
a.-0
d. La propiedad Indicada se
··- 1
~ R' .. . ~
v-o
'•-º
~uce
R:•.
de
~ x(o) = ~ R' ... ~RZ•.
JI
X
JI.
e. Supongamos que '4' (o1) no es igual a O; de la Igualdad • (o 1) =
= '41(01)'41(1) se deduce que: •Cll-1. Por otra parte '4'(a) es dilerenle
de O si (a, m) 1; en electo, determinando a' de la condición aa' =i
• 1 (mód. m), obtenemos 'f (a),¡. (a')= l.
S1 (a., m) = I , se llene
=
~ · x (a)
-'.I '4' (a)
=~·
4
por lo cual,
o~·~~:~
xCa1a)
-'.I '4' (010)
o
= 0
= x<a1)
~ · x(o).
'4' (a1) -'.I '11 (a)
o
'
o bien '4'(a1 ) =- X(a1) para lodos los valo-
•
res de a1 • Pero la primera proposición no puede ver1lic:arse para lodos
los X· pues en caso contrario seria H = O, mientras que H - tp (m) ya
que, sumando para un valor dado a respecto de lodos los caracteres, se
llene
~ x(a) _ {tp(m), si a s 1 (mód. m),
-'.I '4' (a) O
en caso contnrio.
X
l. a) Si R', ... , R• y R•, .. ., R¡ son los valores de R, .. . , R••
C(>-
rrespond1entes a los caracteres x1 (a) y la (a): entonces Xr (a) Xa (a) es
el carácter cuyos valores correspondientes son R' R", ... . R¡ R¡.
~) Cuando R, ., ., R1t recorren todas las ralees de las correspondientes
e cuaciones, R' R, ... , RlR" recorren en cierto orden las mismas raíces.
y) Determinando /' de la condic ión 11' a 1 .Cmód.111), se tiene
~ X(a)
-'.I X (/)
l
= -'.I
~ X(al') ~ ~ x(al')
X (11')
-'.I
.
l
X
/Bó
RESPUEST AS A LAS PREOUN TAS
lo cual es lrual • cp (m) o a O, se¡Cm que su a"" 1 (mód. m) o no.
10, • , a ) Detrrmlrwxlo .i• mediante la coorruencia n• • 1 (mód. p),
se tiene
p-t 21d l IDd(x+l )-ltndx
~ ·
"
x- 1
~) Se
,.,llnd(l+lx')
-J
c=: ~6
2
- - 1.
"
-1
tiene
p-t Q- 1 Q-t
S ea ~ ~ ~ t
x-0 ,,_o a-
,. 1 lnd (z+11) - l lod (x+ •I
1 1
n
o
Si z1 =z la sumaclón respecto de x da p-1, si z1 no es Igual a z la
sumaclón respecto de x {pre,unta a)) da -1. Por lo tanto,
s-QCP- I J-Q(Q-J) = <p-Q)Q.
11. a, a) Se tiene
P- l p-1 2ftl "lndl 2ftl~
I UG,pl 1 -=~~i!
p
ni!
1- J z- t
=
p-1 2.. 1~
=p-1- ~e
"
=P·
t-.2
~)Si
(a, p) - p, el teorema es evidente. SI (a, p)=I, el teorema se
deduce de
2nl~ p-J
"~
L.J t
.z-t
Ua,p-C
-
y) Eviden temente,
2.. 1 ~ 2..1.!!
2111~
" t
P -t
" Uf.p·
A y B son enteros
y
1Si•=A'+82. Par3
ciertos a,
a', a• que cumplen la condición 1a1=1 a• 1=a" I = I, se tiene (pre¡unta ~)
p-1 p-lp- 1 2 1•nd11+lnd1 z,.,•1x+1cx+I)
S-=
1
•YP•VP
~ ~ ~e"
~ ~
l
'
P
•1-1-1-0
SI 1 1 +i no es lpl a p, la sumación respecto de
lo tanto
p-t
s ~ i· :~H ; )•
.i
2..1 •
•-1
¡;=a· YP.
1s1•=p.
n--,._
" ,
1 P-1 n - 1 ..•
s~ñ ~ ~ ,
x- 1 ,.-0
• 11ndx-• )
¡"
1
2
p
da cero. Por
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DEL CA P . VI
/BJ
La parte de esta expresión que corresponde a t ... o, ea igual a-2-.
n
La parte que corresponde a todos los valorea positivos de t es en valor
absoluto menor que (pre¡unla C11))
(1-+)-v;.
b. a) Para un valor de z dado, la co~uencla x" a z (mód. p) es
posible solamente cuando 1nd z ea divisible por 6, tenJendo en eate
caso 6 soluciones. Por lo tanto
Znl~
Sa.p = l + 6~e
11
¡
=6(T+~e
2nl~
11
) •
'º
.ro
donde Z'o recorre los números de l sistema reducido de restos respecto
del módulo p que cumplen la condición lnd z • O (mód. 6). Por lo
tanto (pregunta a, 6))
Sa, p < 6 (
1- f} VP= (6- 1) y¡;.
!}) Haciendo
x-u + p.-io; u = O, ... , pr-l-1, o = O, ... , p-1 ,
se tiene
Si (u, p) = 1 la sumación respecto de o da cero. Por lo tanto
p•-l_¡
S
ª· P
•""'
~
.ro--o
n-1 n
,z..1ap
"º ... pr-1 ,
,=- O.
S'
ª·"
y) Sea p' la máxima pote.n eis de p que divide a n. Se llenes:;;,. T+ 3.
Haciendo
x=u+p•- 1 -'11, u ... o,
... , p•-
1
o=O, .•. , p~+ 1 -l,
-~-I,
obtenemos
e
2nl o.•n
p• = •2nla(""p-•+n,.n- t,,-~- 1 9 >.
Si (u, p) = 1 la surnac1ón re.s pecto de v da cero. Por lo tanto
p•-l
S
,= .:ro~ e
a, p
O
n
2nl~
p•-n
=pn-lS
•-n• S'
ca,p
0
1
p
,= O
168
Re&PUESTAS A lAS PREOUHTAS
ó) Sea m = p~ 1
•••
p;• la ducomposícidn can6n/cs ~1 número n
Haciendo
ª" ... , ª•
de 11 ~-ondición
a a M1a 1 f- .•. M•ª" (mód. 111).
ae tiene (pregunta 12, d, cap. 111)
y
determinando
+
T,.,m = T
a. •.• T
"'.
ºt• P1 t
" • • p ll
Pero, al a = 1, se tiene
i
1T
'" ,,.
Si 1 < • <: n, (n , p) = I,
l<p-l+'"nYP" < np- i.
1e
tiene
IT
l= p- •+rvp•- 1 <l.
º· ,,.
S i l<•<:n, (n, p) = p, se tiene
JT
º· p
,l <: p-+"'P' < P < n.
f.lcuo• > n,envirluddequeT
se
red~
al .:sso
s<:n.
o,
p
, = p->+,,.,pn- ts
•• J:
.-n= To,p..."
'Por lo tanto
1To, ml < C= n"'+<>,
de donde se deduce Is dulftuldad Indicada en Ja pregunta.
12, a. Se deduce del teorema de la p~uota 11, 1, a) y del teorema
de la pregunta 12, a, a) cap. V.
b, a) Se tleoe
lt+Q - lll-1 2.xi~
Tn =
•=O,
~
~
-"' ,...o
t
"
.
•> O
Para
aumando respecto de ir, resulta Q; para
resulta un
número cuyo módulo ea menor que vP In p . De aqul te deduce la
fórmula Indicada en la pregunt..
ji) Se deduce del teorema de ta preeunta 12, a , j\) cap. V y del leo·
~ de 11 prei¡unt1 11 , 1 , 6).
c. Tom11ndo f (.r) = I, s i i recorre loa valores x = ind M, 1nd (M 1) . ...
. . •, lnd (M+Q- 1). ruulla (prqunla 17, a , cap. 11) S'= ~ µ(d)S4.
+
d1J>-I
AqulS' ael nümero de valorttde.r que cumplen la condición (.r,p - 1) = I;
RESPUESTAS A LAS PIU!OUNTAS DEL CAP . VI
189
por lo tanto, s· == H. Por otra parte, S4 es ti oúmero de valores de X
que son múltiplos de d, es decir, es el número de resto. de erado d
que hay en la sucesión M, M+I, ... , M + Q- 1. Por co115lCuiente,
H=
~ ¡.i(d)(~+&c1VP'lnp ) ; f8c1f<I,
81==0.
d\p- 1
d. Del teorema de la pregunta a ae deduu que se cumplen lu condlciOnes de la pregunta 12, a, at) cap. V, alee hace m=p - 1, 41(z)=1 ,
A= lfplnp, y z recorre los valoru z = lndx; x=M, M+I, ...
. .. , M+Q - 1. Entoncea ae obtiene (Q 1 en hicar de Q)
~·4/(z) = J,
~4/(z) =Q,
J=
p~I
Q+OVP(lnp)1.
I~. Supongamoa que no hay no-restos no superlorn a 11 . La cantidad
de no-restos de grado n que hay entre Jos números
1, .•. , Q;
Q=(yP(lnp)lJ
se puede acotar de dos modos:
Partiendo de la fórmula de la pr~1mta lf, b y teniendo en cuenta
que pueden ser no-restos solamente los números que aon divl1iblu por
números primos mayores que h. Resulta
1
1-
1
11<ln
2
1np+2lnlnp
-
lap+21nlnp
1
e
1
+ 0 10·
P
i+• lo lop
O< ln
1
~+o (TnP
}
·
l + 2c lnlnp
lnp
La imposibllidad de la última desigualdad para todc» los números p
suficientemente grandes demueatra el teorema.
14, a. Se tiene
,.._ , .,._ , -
:lid C1%(r1-r)
1
fSl1 < X ~ ~ ~ p(l¡¡)p(V)~
-o
••-••-o
•
•
Para valores dadol de 111 e v. la aumaclón respecto clt x da Xm J p (l¡)fl
o cero, s~ún que sea 111 = !1 o no. Por lo tanto
fSJZ<:XY111,
fSI<:~.
190
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS
b, a) Se llene
1
.
S = cp(t11)~~x(u)x(o)e
..
ou"•n
i1u--
"',
donde u y u recorren los sistemas reducidos de restos respecto del
módulo m. De aqui que
l
S
%rtl~
m - 1 M- I
=cp (m)
~ ~
v (.r) p (g) e
"' ;
.r - o ~ -o
~
v(.r) =
x(u),
~
PIN) =
,.n E ,.(mód. m)
xM.
•n !E 11(m6d. m)
Pero, se tiene (prtgunta 11, cap. IV)
m- 1
~
z- o
1v (.r) ¡z < l(cp (m).
M-1
~
f P (y) (Z < /('cp (m).
11-0
Por lo tanto (pregunta a)
1
ISI< cp(mJ 1/Kcp(mJKcp(mJm = KViii.
=
~) Sea m 2'1p~ 1 ••• p:" la descompoaiclón canónica del número m.
La coll(ruencla .r" • 1 (mód. m) ea equivalente al sistema
.rn • 1 (m6d.
2'1),
.r• m 1 (m6d. p;I), ... , .r" e 1 (mód. p:").
Sean y (.r) y Yo (.r) los Indices del número .r respecto del módulo 2ª
((1 , t 6). La con¡ruencla .rn • 1 (mód. 2'1) es equivalente al sistema
ny (.r) a O (mód. e), ny0 (.r) • O (mód. co). La primera congruenc ia de
rste sistema ~e no mb de 2 toluciones; la segunda po$ee no más
de n aol~io~ . Por lo tanto, la congruencia X" e 1 (m6d. 2ª) posee
no mh de 2n soluclo~s. Sq6n b, t 15, e.da una de 111 concruencias
1 (mód. p~ 1 ), ••• , .r" • 1 (m6d.
na. Por consl¡uleole,
.&" •
J(
'ª"
< 2 (-r (m))liiT;
p:"> posee no mAs de n aoluclo·
1( ... 0 (m 1 ).
e, ca) P6cllmenta ae obHrva que a recorre
U:s (p-1 ) ( 1+ :. ) ... ( l +
q~
v-•
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DEL CAP. VI
191
va lores, y s' recorre
V = (p- I)
1 )
1 ) z-(1 -q.
... (1-q;
valores. Además, cuando t, para unos valores d1dol de s y •', recorre
el sistema reducido de restos respecto del módulo p-1, el producto
(•+•') t también recorre el sistema reducido de restos respecto del
módulo p-1. Por lo tanto. Vl = llVS. Pero, en virtud del teorema de
UVp y. por consiguiente, I' =
la pregunta a, se tiene 1s,¡
=e¡> (p - l) -vuvP. Comparando lu dos expresiones halladas para r ,
se obtlene
< -V
cp (p-1)
s <cp<P-•ril ifv
p- 1
<
2~-vp
v(
1-
:, ) . .. ( •
-t)
<
~ cp(p-1) ... ~,r.:
8 p-1 "' V p.
ji) Se deduce del teorema de la pregunta 12, a, ex) cap. V y del teorema de la pregunta ex).
y)" Se deduce del teorema de la pregunta 12, a, ji) cap. V y del teorema de la pregunta a).
IS, a. Se tiwe
J>-1 J>-1
21110<1"-l)x"+&(l- l)z
fS l1 == ~ ~ •
P
t-tz-t
En el caao tn a 1 (mód. p), la 1umaclón · respecto de x da p- 1 al
t= 1 y -1 si t >J. En. el caso contrario, t omando z (t - 1)- 1 en
llJl(ar de x la parte de la suma doble que corresponde al valor 1 elegido la expresamos en la forma
,s.-1 !KI o (tn-
~
_,
o (1-1)-">"+11.r
JJ
t
Por lo tanto
,,_,,,_1
1s11..;;;p-t+l
~ ~ v(u)p(o)•
_,_,
•
am~
,.
l.
donde v (u) no es superior al número de soluciones de la co~uencla
(/" - l)(t-1)-" •u (mód. p) con la condición t
1, y 1p (o)1 no es
auperior al nCunero ele aolucloneJ de la coneruencla Z" • o (mód. p).
>
191
llESPUESTAS A LAS PREGUNTAS
Por lo tanto, v (u} < 2n1 ,
J p (u} J <
J>-1
~ (v (u))I < (p_,
ns.
p-1
t) 211¡,
~ lp(v)(2 < (p - l)n 1 .
·-·
Aplicando el teorema de la prq¡uola H, a, obtenemos
J
fSJl<p- 1+1f(p- 1)2n1 (p-1) ntP <2n 1p 2 .
b, «) Se deduce dcel teot"ema de la pregunta a y del teorema dt la
prq¡unta 12, a, a) ~p. V.
Dtl kortma de la prq¡unta a) se deduc:e que se cumplen las condlclooes del leortma dt la prq¡uot1 12, a, a) cap. V s i se hace m=p,
~)
1 1
«P (z).,. ¡, A=
3 - n~p' In p, y z reeorre los valores z = AX"; x = M 0 ,
2
M,+1 • .. .. M0 +Q,-l. Por lo tanto
~· «P (z) "" T,
•
~ «P (z) =Q0 ,
•
de donde se deduce la fórmula Indicada tn la prq¡unta.
e, a) Supon¡¡amos que y• 4ay1 (mód. p). Se tiene (pregunta 11, a,
cap. V)
La úlClma 1uma es en ulor absoluto (prfl(un!a 1)
<:
'
p1 .
~) Se deduce del teorema dt la prfl(Unl• a) y del teortm1 de la
P"(Wlta ti, a, a) ~p. V.
Respuestas a, .los ejercicios
numencos
Respu1lo1 o los e}ercltlos del toplltúo /
1, • • 17. b. 23
15
2, • • a) 6, -=o;
80
b. a) 61 =sg ;
3. En total se obtienen 22 lracciones.
5, • . 2'·3.. 11". b. 2"·3' ·5' ·'r ·ll'·l7·23·37.
R11pu1to1 o los 1}1rcltlos dll eopltrilo 11
1, • . 1312.
b. 2m.3w ·6'1·P"·111'·13'·11'·19'·23'·29'·31'·3'r·41'·43 1 X
X 47' ·531 · 59' ·611 ·67 •71•73 · 79·83 ·89·97·101·103·107·109·113.
2, •. t (5600) - 36; s (5600) - 15 624.
b. t (116 424) = 96:
(116 424) - 410 400.
3.
l.1 su ma de todos los valores es igual a l.
4.
a) 1152: ~) 466 400.
11.
La suma de lodos los valores es igual 1 774.
s
R11ptu/ltos o 101 1Jercl,lo1 dll copltalo 111
l. a. 70. b. Es divisible .
2, • . 3s.5s.111.2m. b. 1.¡3.37. 73. 101.131.¡7.19.2s1.
194
RESPUESTAS A LOS · EJl!RCICIOS NUMERICOS
R11ptustas o loa 1}1r&lclo& del copltalo IV
1, a .... •
2, b .... 3.
.&' 4, a. x x b . .&' 6, a .... 6.
x •
7, a. 3....
b. x'
8.
x'
9, a. x 10, •· ... -
81 (mód. 337). b .... _ 200; 751 ; 1302; 1853; 2404 (mód. 2755).
1630 (mód. 2413).
94
111 I; /1 - 39
47 1, donde tes un entero arbitrario.
l 10b1
526 2 (mód. 221);
131 (mód . 221); .1: - 110 (m6d . 221); x - 89 (mód . 221).
11 151 b1
11 800b 2
16 875b 3 (mód . 39 825).
91 (m6d. 120) . b .... • 8479 (mód. 15 015).
100 (mód. 143); /1 - 111 (mód . 143)
2x'
3.1'1
2x - O (mód. 5).
5.c' 3x1 3.1' 2 - O (mód. 7).
4x6
22x'
76x'
70.cl
52x
39 - O (mód . 101).
16 (mód. 27). b. x - 22; 53 (mód. 64)
113 (m6d. 125).
b .... - 43, r23, 16S', 248, 293, 373, 418,-498, 543, 623, (mód. 625).
11, a . .&' - 2, 5; JI, 17, 20, 26 (mód. 30).
b. x - 76, 22, 176, 122 (mód. 226).
+
+
+
+
+
+ + +
+ + + +
+ +
+
+
+
+
R11ptu1to1 a 1011 1}1rcldos del capltrilo V
1, a.
b.
2, •·
3, •.
4, •·
I, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18.
2, 6, 6, 8, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 29, 31, 32, 35.
Cl) O; Pl 2. b. a) O; Pl 2.
~) O; P> 2. b.Cl) O; Pl 2.
Cl) x - ±9 (mód. 19); Pl 1. - ± 11 (mód. 29);
y) ... • ± 14 (mód. 97).
b. Cl) .&' - ±66 (mód . 3 11); Pl .&' • ± 130 (mód. 277);
y) X - ±94 (rnód . 353).
5, a. JC • ±72 (mód. 125). b. x - ± 127 (mód. 243).
t, a. x • 13, 19, 46, 51 (mód. 64). b. x - 41, 87, 169, 215 (mód. 256)
R••PH•to• o
'º' 1)1relclo1 "'' caplt•IO
VI
1, •• 6. b. 18.
2, • • 3, 3, 3. b. 6, 5, 6. c. 7.
5, •. Cl) O; P> 1: Y) 3. b. Cl) O; P> I ; y) 10.
t, a. Cl) x - 40; 27 (mód . 67) . AJ ... • 33 (mód. 67).
y) ... - 8, 36, 28, 69, 31 , 39 (mód. 67).
b . Cl) x-11 (mód. 73). Pl x-50, 12, 35, 23, 61, 38
y) ... - 3, 24, · 46 (mód. 73).
(mód. 73).
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS NUM!IUCOS
7, • •
8, a.
b.
11, •.
b.
196
ot) O; ~) 4. b. ot) O; P> 7.
ot) x - 54 (mód. 101). p) x - 53, 86, 90, 66, 8 (mód. 101).
X•
59, JI, 39 (mód. 109).
ot} I, 4, 5, 6, 7, 9, JI, 16, 17; Pl J, 7, 8, JI, 12, 18.
ot) l , 6, 8, JO, JI, 14, 23, 26, 27, 29, 31, 36;
Pl 1, 7, 9, JO, 12, 18, 26, 33, 34.
10, a. otl 1. 37; Pl 3, 5. 12. 18, 19. 20, 26, 28, 29, 30, 33, 34.
b. ot) 3, 27. 41, 52;
Pl 2. 6, 1. 10. 11. 18. 26. 30. 31 , 35, 43. 44, 51, 64. 56, 59
TABLAS DE INDICES
NUMERO PRIMO 3
Nlo
0
1 2
3
4
S 6
7
8
9
1 1°1 •I 1 1 1 1 1 1
''º
0
1 2 3 4
ll
1 2I
5 6 7 8 9
1 11 1 1
1 1
NUMERO PRIMOS
N'O 1
2 3 4 5 6 7 8 9
0
1
3
2
1 1°1 1 1 1 1 1 1 1
' 'º
1 2 3
0 1
1 l 2[
•l
4
5 6 7
8 9
31 1 1 1 1 1
NUMERO PRIMO 7
N'O 1
0
2 3 4 6 6 7 8 9
1
11°l 2f l •/ sf
3
f
/ O 1 2 3 4
º' 1
1 3 2
11
5 6
7 8 9
5
el •1 1 1 r 1
NUMERO PRIMO 11
NOJ23 4 6 6 7 8 9
10123 4 66789
NUMERO PRIMO 13
N'O
1 2 3 4 5 6 7 8 9
/lo 1
2 3 4
5 6 7 8 9
~l,J ~I !I ·l 21 1 111 ~1,~ ;! ·1111' 111
9
5 11 3
8
8
3
6
2 11 9
5
TABLAS DE INDI CU
lf/1
NUMERO PRIMO 17
Nlo
2 3 4 5 6 7 8 9
o
14 1 12 5
7 IJ .f
9 6
·~
11 . , ,
I O
2 3 4 5 6 7 8 9
3 9 1
1 8 7 .f 12
ºI'
,J
5 15 11 16 14
~6
NUMERO PRIMO 19
N'O 1
2 3 4 5 6 1 8 9
.:
~1.~ ,! ·~ : :: ·: ·~ : •
1lo
o
1
1 2 3 •
s
6 1 8 9
1 2 • 8
17 15
JI 3
NUMERO PRIMO 23
NIO 1
2 3 4 5 6 1 8 9
o
o
2 16 4 1 18 19 6 10
1 3 9 20 14 21 17 8 1 12 15
2 5 13 11
''º
7 8 9
1 2 3 4 5 6
2 10 4 20 8 17 16 11
1 9 22 18 21 13 19 3 15 6 1
2 12 14
'I' .
NUMERO PIUMO 29
N'O
1 2 3 4 5 6 1 8 9
~L3 j ~ I~ 1; ~ ~~~L~ 1~
2
F· 17126 ro¡
8 16
I~ I~ 1~1
NUMERO PRIMO 31
. . .r
213
NIO
1
o
o 24
4 5 6 7 8 9
3 lf
12 3
12 2
1 14 23 19 JI 22 21 6 1 26 4
2 1 29 17 27 13 10
/0
3 16 9
O 1
9 27
4
5
67
I~~ I~ 22
1
13 8 24 1
2 5 15 14 11 2
2
1
89
17 20 29
4 12
1 21
/98
TABl.AS DE INDICES
NUMERO PRIMO 37
Nlo
1 2 3 4 5 6 7 8 9
'º
1 2 3 4 5 6 7 8 9
~ ~2 ~~~ ! 3; I~ ~ ºf.~ ~ 16322~ 1~931
1
4
2
3 14
2
11
31 1
10 12 6 34 21
6 20 8 19 18
1 5
2
3 11
261 3Cl23
1
35
214
10 20 3 6 12 24
7 1 28 19
''º
1 2 3 4 5 6 7 8 9
NUMERO PRIMO 41
Nlo
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1~:~~q~:¡ ~r
636112527~291~19
o1 321 28
, 4 24 21 3 18 26 33 34
2 40 35 5 30 16 14 2 12 31 22
3 9 13 37 17 20 38 23 15 8 7
NUMERO PRIMO 43
NIO
1 2
3 4 5 6 7 8 9
12
~~º ~ ~~3~ ~ =~~!111:
2 37 36 15 16
3 11 34
31 2
4
6 21
17
18 14
s
5 41
4 33
1lo
1 2 3 •
O~l
l IC 30
3 94 27
12
2 14 42 40 34
~~
1 8 9
~2~41
25 32
22 23 37
26 35
19
5 15 2 6 18
7 21 20 17 8
3 11 33 13 39
4
ss
29
NUMERO PRIMO 47
NO 1 2 3 4 5 6 7 8 9
/0
12 3 4 5 6 7 8 9
~~~~14 2~~1
1 12 1 18 43 27 41 17 38 2 10
o2
3 36
1
23
42221
8 40
2426
35 34 29 4 2
6 30
4 9 45 37 44 32
l~
TABLAS
oe
199
IN DICl!S
NU MERO PRIMO 53
Nlo
1 2
o
o
1 41!
2
3
4
5
49
13
50
43
3
4
1 17 2
6 19 24 15
31 7 39 20
33 5 23 11
45 32 22 8
27 26
5
6 1
8
9
47 18 14 3 34
12 4 1o 35
42 25 51 16
9 36 3o 38
29 40 44 21
37
46
41
28
NUMERO PRIMO 59
Nlo 1
o
r~
1 7 25
2 8
3 57
4 9
5 13
2 3 4 5
2 6
52 45 19 56
26 15 53 12
5 17 41 24
11 33 27 48
47 22 35 31
1
49
14
32
6
51
4
46
44
16
21
7 8 9
1a 3 42
40 43 38
34 20 28
55 39 37
23 54 36
JO 29
1lo
1 2
o
1 2
1 17 34
2 24 48
3 37 21
4 46 39
5 40 27
''º
4
15
43
42
25
3
4
5
e 16 32
30 7
33 13
31 9
50 47
14 28 3 6 12
26 52 51 49 45
18 36 19 38 23
41 29 5 lC 20
1 2 4
1 21 42 25
2 28 56 53
3 57 55 51
4 17 34 9
5 3 6 12
8
50
47
43
18
24
16 32 5
41 23 46
35 11 22
27 54 49
36 13 26
48 37 15
4 5
6
3
4
6
o
1 2 J
6 1 8 9
11 22 4 4 35
NUMERO PRlMO 61
Nlo
o
1 23
'1 24
3 29
4 25
5 45
6 30
1 2
3
4 5
6
7
8
9
1lo
o 1
15 8
55 16
59 5
54 56
53 42
6
40
57
21
43
33
2 22
50 28
9 44
48 11
17 34
19 37
7
4
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o
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52
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10 ·20
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r
40
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5 6
1
NUMERO PRIMO 67
Nlo
o
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2
3
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o 1 39
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52 f
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1lo
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1 2
·~·
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43
13
46
3
57
11
2()()
TABLAS De. INDICES
NUMERO PRIMO 71
Nlo
1 2
3 4
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4
5
6
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NUMERO PRIMO 73
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s
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1lo
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o
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NUMERO PRIMO 79
N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
do
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TABLAS DI! INDICES
201
NUMERO PRIMO 83
N O 1 2
o
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4
40
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do
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50
•3
NUMERO PRIMO 89
N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
o
o 16
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NUMERO PRIMO 97
Nlo
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o
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o
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3
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TABLA
de los números primos <4070
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'
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UI
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3391
3407
3 4 13
5
3
3
5
2
3697
3701
3709
37 19
3727
5
2
2
7
3
402 1
4027
4049
405 1
4057
3
3641
3547
3t;$?
7
2
~
2
b
l
3
2
5
2
2
2
3
3
6
5
INDICE ALFAB~TICO DE MATERIAS
Algor itmo de Euclides 16
Canti dad de div isorea de un número 36
Carácter 126
Clase de númeroa respecto del
módulo m 56
Cociente t4
Cocientes Incompletos 22
Congruencia 52
Congruencia de primer grado 69
Congruencias binómlcas 85
Congruenclu de cualquier grado
respecto de un módulo compuesto 75
Congruencias de cualquier grado
recpecto de un módulo prl·
mo 73
Congruencias equivalentes 68
Criba de Eratóitenea 26
Criterios de divisibilidad 60
Desarrollo en fracción contl·
nua 21
Descomposición canónica de un
número 29
Olviaor 13
Ecuación de Pell 103
En1ero 13
Exponente a que perlenece un
número re1pecto de un núme·
ro 108
Fórmula de Sonln 42
Fracción continua 21
Fraeclonea reducldaa 22
Función de Euler 31
Función de Miiblus 36
Función (.1) 33
Función {.1) 33
Función n (.1) 48
Función t(x) 43
Función C (s) 45
Función 8 (t, Zo) 43
función ~ (a) 36
función multipl!callva 34
Grado de una congruencia 68
Indice de un número 114
Ley reciproca de los restos cua·
drátk0$ 91
Máx imo común divisor 15
Mlnlm.i común múltiplo 19
Módulo de una congruencia 52
Múlt iplo 13
Número compuesto 26
Ntímero primo 26
·Números con¡ruentes 52
Números primos entre si 15
Números primos entre si dos
a dos 15
~alces primitivas respecto de un
módulo 109
~esiduo o resto 14
~eaolución de una congruencia 68
~esto absoluto minlmo 57
~esto (no resto) cuad rático, cú·
bico, b!cuadrático, de ¡rado
fl
85
~esto
~uto
no negativo mlnimo 57
respetto del módulo m 57
Slmbolo de Jacobi 92
Simbolo de Legendre 87
Sistema completo de re.tos 57
Sislema de co ngruencias de pri·
mer gra do 71
Sistema de indices de un número
reapecto del módulo 2a 121
Siatema de lndicea de un número
respecto de un módulo compuesto 122
Sistema reducido de reatos 58
Sucesión de Farey 30
Suma de divisores de un núme·
ro 35
Tabla de nlimeros yrimos 202
Tablas de índices 1 4, 115, 196201
Teorema de Euler 59
Teorema de Fermat 60
Teorema de Wilson 74
IN DI CE
PROLOGO DEL TRADUCTO R
s
CAPITULO PRIM ERO
TEO RIA DE LA DIVISIBI L I DAD
S l. CONCEPTOS Y TEOREMAS FUNDAMENTA LES
S 2. MA X IMO COMUN DI VISOR
S 3 MI NIMO COMUN MUI. TI PLO
13
15
/9
f 4. RELAC ION DEL ALGORITMO OE EUC LIDES CON L AS FRACCIONE S CO NTIN UAS
NU MEROS PRIMOS
S 6. UN ICIOAO DE LA DESCOMPOSICION EN FACTO RES PRIMOS
PREGUNTA S R EFE RENTES AL CAPITUL O 1
EJERCICIOS NUMERICOS "REFERENTES AL CAPI TllLO 1
SS.
21
25
27
30
32
CA PITULO SEGUNDO
LAS FUNCIONES MAS IMPORTANTE S DE LA TEORI A
DE LOS NUMEROS
S l.
F UNC IONES(•). ( x )
S 2.' SUMAS EXTE NDIDAS A LOS DIVISORES DE UN NUMERO
§ 3. FU NCION DE M081US
S 4. FUNCION DE EULER
PREGUNTAS REFER ENTE S AL CAPITULO 11
EJERCICIOS NUMERICOS REFERENTES AL CA PIT ULO 11
3J
$4
36
37
39
61
CA PITULO T ERCERO
CONGRUENCIAS
S l. CO NCE PTOS FUNDA MENTALES
S 2. PROPIEDA DES DE LA S CONGRUENC IAS. SEME J ANTE S A LAS
PROPIEDAOCS OE L AS I GUA LDADES
S J . OT RAS PROPIEDADES OE LAS CONGRU ENC I AS
S 4 SIST l"MA COMP LETO DE RESTOS
~ S ~l~lf MA IH OUCIOO 1)1'. R ESTOS
52
5.1
5 .S
S~
Sil
INDICE
206
S 6 . TEOREMAS DI! l!ULER Y PERMAT
PREGUNTAS REFERENTES AL CAPITUI O 111
EJERCICIOS NUMl!RI COS REFERENTES AL C APITULO 111
59
60
67
CA PITULO CUARTO
CONOIWENCIAS CON UNA INCOONITA
f l . CONCEPTOS FUNDAMENTALES
f 2. CONGRUENCIAS DE PRI MER ORADO
S 3. SISTEMA DE CONGRUENCIAS DE PRIM ER ORAOO
S • .CONGRUENCIAS DE CUALQUIER ORADO RESPECTO
DE UN MOOULO PRIMO
J 6. CONGRUENCIAS DE CUALQU IER ORADO RESPECTO
DE UN MODULO COMPUESTO
PREGUNTAS REPl!RENTES AL CAPITULO IV
EJ ERCICIOS NUMERICOS REFERENTES AL CAPITULO IV
68
69
71
73
75
78
83
CAPITULO QUINTO
CONGRUENCIAS DE SEGUNDO ORADO
f l. TEOREMAS GENERALES
85
f 2 . SIMBOLO DE LEGENDRE
87
~
92
3. SIMBOLO DE JACOBI
f • . CASO DI! UN MODULO COMPUESTO
PREGUNTAS REFERENTES AL CAPITULO V
E JERC ICIOS NUMERICOS REFERENTl!S AL CAPITULO V
96
99
106
CAPITULO Sl!XTO
RAICES PRIMITIVAS E INDICES
S l. TEOREMAS GENl!RALES
f 2 . RAICES PR I MI TIVAS RESPECTO DI! LOS MODULOS p"' Y 2¡P
f 3. BUSQUEDA DI! LAS RAICES PRIMITIVAS RESPECTO
DE LOS MODULOS ¡P Y 2/P
f • · 1 NDICl!S Rl!SPECTO DE LOS MO DULOS ¡P Y 2p°'
f 6 . CONSl!CUENCIAS DE LA TEORIA ANTECEDENTE
f 6 . INDICl!S R l!SPECTO Dl!L MODULO 20.
f 7. INDICl!S RESPECTO DE CUALQUIER MOOULO COMPUESTO
PREGUNTAS REPERl!NTl!S AL CAPITULO VI
EJERCICIOS NUMl!RICOS REFERENTES AL CAPITULO VI
108
/09
///
I /3
/16
/19
122
/22
133
RESPUESTAS A LAS PRl!GUNTAS
RESPUESTAS
RESPUESTAS
RESPUESTAS
RESPUESTAS
RESPUESTAS
RESPUESTAS
A
A
A
A
A
A
LAS PREGUNTAS DEL CAPITULO 1
LAS PREGUNTAS DEL CA PI TULO 11
LAS PREGUNTAS DEL CAPITULO 111
LAS PREGUNTAS DEL CAPITULO IV
LAS PREGUNTAS DEL CAPITULO V
LAS PREGUNTAS DEL CAPITULO VI
135
139
155
165
171
182
I NDICE
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS NUMEIUCOS
RESPUESTAS
RESPUESTAS
RESPUESTAS
RES P UESTAS
Rl!SPUESTAS
RESPUESTAS
A LOS EJERCICIOS DEL CAPI T ULO 1
A LOS EJERCICIOS DEL CAPITULO 11
A LOS EJERCICIOS DEL CAPITULO 111
A LOS EJERCICIOS DEL CAPITULO IV
A LOS EJERCICIOS DEL CAPITULO V
A LOS EJERCICIOS DEL CAPITULO VI
19J
/9J
l9J
194
194
194
TABLAS DE INDIC ES
196
TABLA DI! LOS NUM E RO:. PRIMOS < 4070 Y SUS RAICl!S
PRIMITIVAS MINIMA S
202
INDICI! ALFABETICO OF MATERIA S