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Espacio euclídeo 12. ESPACIO EUCLÍDEO 12 12.1. PRODUCTO ESCALAR En el espacio vectorial se define el producto escalar de dos vectores y como el número real que resulta del producto matricial y se nota por: ,
…
12.1.1. PROPIEDADES El producto escalar tiene las siguientes propiedades: 1.
,
Se verifica que 2.
,
,
3.
para todo para todos y ,
,
,
es para todos ,
,
para todos ,
,
0 y y ,
y y 0 (es simétrico) (es bilineal) (es definido positivo) 12.1.2. NORMA DE UN VECTOR Si , se llama norma o magnitud de al número real no negativo: Un vector Si se dice que es un vector unitario si su norma vale 1. es un vector no nulo y no unitario, se llama normalizado de al vector unitario que tiene la misma dirección y sentido que . El normalizado de es el vector: 1 Álgebra Lineal Miguel Reyes – Águeda Mata EJEMPLO 1: 1
0
calcular el producto de 1
0
1
1
y 1
1
Dados ,
. Estudiar si o son unitarios, y en caso negativo normalizar los vectores. Solución: ,
1
1 1
1
1
1
1
1
1
√4
1
1
1
1
0
1
0
2 2 1
0
Luego los vectores no son unitarios. El normalizado de es el vector 1
0
1
0
1
0
√2 1/2
1/2
. 1/2
1/2 1/√2
0
1/√2
0
El normalizado de es el vector: 12.2. DISTANCIAS Y ÁNGULOS ENTRE DOS VECTORES Dados dos vectores ,
, se define la distancia entre y como la norma del vector diferencia: ,
Se llama ángulo que forman dos vectores no nulos y de cos
al único valor 0,
tal que Dos vectores no nulos y son ortogonales, si el ángulo que forman es , y se tiene que: 2
cos
0 0
0
,
0 Espacio euclídeo 12 EJEMPLO 2: Dados 1
0
, calcular 1
0
1
1
y 1
1
,
y el ángulo que forman y . ¿Son ortogonales los vectores y ? Solución: 1
0
1
0
1
1
1
1
,
1
cos
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
2
1
2
1
1
0
1
0
2
2
1
2√2
√2
1
2
2
1
2
1
1
arccos
√10 1
√2
3
4
Los vectores y no son ortogonales. 12.3. COMPLEMENTARIO ORTOGONAL DE UN SUBESPACIO Sea un subespacio vectorial de . Se llama complementario ortogonal de en formado por todos los vectores de subespacio vectorial que se nota por al que son ortogonales a todos los vectores de : ,
,
0 12.3.1. PROPIEDAD Si ,…,
es una base cualquiera de , entonces el complementario ortogonal de ,
se puede definir como: ,
0 Demostración Sea ,
,
,
0 ,
0 ,
,
, se trata de comprobar que 0 3 Álgebra Lineal •
Claramente se tiene que si •
Para demostrar que también Para todo vector entonces ,
,
Puesto que , por tanto se verifica que , se considera un vector …
se tiene que ,
Por tanto Miguel Reyes – Águeda Mata …
0 para todo y . ,
, y el producto ,
…
resulta: ,
0 se deduce que ,…,
y por tanto si es una base de entonces: ,
,
0 EJEMPLO 3: Calcular una base del complementario ortogonal del subespacio 1
1
0 , 1
2
0
Solución: Las ecuaciones implícitas de ,
,
se obtienen directamente de la definición: 0 ,
2
,
1
0
2
1
1
0
0
0
0
0
Para obtener una base a partir de las ecuaciones implícitas se resuelve el sistema dado: 1
1
0
1
20
~
00
0
Se deduce que 2
2
1
0
2
2
2 0
20
es una base de 2
2 1
. OBSERVACIONES •
Si es un subespacio de un subespacio de , en la unidad 9 se ha definido el complementario de como tal que dim
y dim
0. Este subespacio no es único: el subespacio puede tener muchos subespacios complementarios en . Espacio euclídeo •
•
El subespacio es un subespacio complementario de en el sentido de que dim
y dim
Cada subespacio ,
•
12 0 de ,
tiene un único subespacio complementario ortogonal 0 . El subespacio complementario ortogonal de es , es decir: EJEMPLO 4: 1
1 ,
1
Comprobar que los subespacios y , que tienen por bases 0
1
1
1
0
1
y son complementarios. Determinar si es el complementario ortogonal de y en caso negativo calcular una base del complementario ortogonal de cada uno de ellos. Solución: 2, dim
y verifican que: dim
Tanto como son subespacios vectoriales de A partir de las bases de y de se obtiene un sistema de generadores de 1
1 ,
1
0
1
1 , 0
1
1
1. : Para calcular una base, se calcula el rango de la matriz que tiene por columnas a los vectores generadores: 1
1
1
1
0 1
1 0 ~ 0
1 1
0
1
1 ,
1
El rango es 3, por tanto dim
Se tiene que dim
dim
0
1
1
0
1
1 , 0
1
1
dim
1
1 ~ 0
0
0
0
0
3. y dim
dim
3 y dim
0
0 2
1
0 por tanto y 1
complementarios, pero no son complementarios ortogonales, pues 1
1
1
1
1 , 0
1
1
1
1
1
1
0
1
2
3
0 son subespacios 1
, 0
1
y 0 5 Álgebra Lineal Miguel Reyes – Águeda Mata El complementario ortogonal de es: 1
1
1
0
1
1
,
0
0
,
0
0
Para obtener una base a partir de las ecuaciones implícitas se resuelve el sistema: 1
0
Se deduce que 1
1
1 0
~
10
0
2
1
1
0
2
2 0
10
es una base de 2
1 1
. El complementario ortogonal de es: ,
1
0
1
0
,
0 Para obtener una base a partir de las ecuaciones implícitas se resuelve el sistema: 0
0
1
0
1|0
1
0 1
Se comprueba que los dos vectores obtenidos son linealmente independientes, de donde se deduce que 0
1 ,
0
1
0
1
es una base de .